概率论

几何性质：介于曲线y＝f(x)与Ox轴之间的面积等于1。X落在区间(x1,x2]的概率P{x1＜X≤x2}等于区间(x1,x2]上曲线y＝f(x)之下的曲边梯形的面积。
对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，即P{X＝a}＝0。事实上0≤P{X＝a}≤P{a－△x＜X≤a}＝F(a)－F(a－△x).P{a＜X≤b}＝P{a≤X≤b}＝P{a＜X＜b}.
定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
多个事件相互独立：一般，设A1，A2，…，An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。
推论：①若事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的。
第一章 概率论的基本概念
一、事件运算常用定律（设A,B,C为事件）：
二、频率与概率
1.概率的公理化定义：
①非负性：对于每一个事件A，有P加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj＝∅，i≠j，i,j＝1,2,…，有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋….
P{X＞s＋t|X＞s}＝P{X＞t}
3.正态分布(高斯分布)[X～N(μ,σ2)]：
正态分布性质：
①曲线关于x＝μ对称，这表明对于任意h＞0有P{μ－h＜X≤μ}＝P{μ＜X≤μ＋h }.
②当x＝μ时取到最大值 ，x离μ越远，f(x)的值越小。
③在x＝μ±σ处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。
标准正态分布：μ＝0，σ＝1.其概率密度和分布函数分别用φ(x)，Φ(x)表示，即有：
②若n个事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。

f (x) 具有如下性质：
1° f (x) 的图形是关于 x 对称的； 2° 当 x 时， f () 1 为最大值；
2 若 X ~ N (, 2 ) ，则 X 的分布函数为
F(x) 1
(t )2
x
e
2 2
dt
2
(x) 是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
X
~ N (0,1)
充要条件：X 和 Y 不相关。
（1） D(C)=0；E(C)=C
（2） D(aX)=a2D(X)； E(aX)=aE(X)
（3） 方差 的性 质
（3） D(aX+b)= a2D(X)； E(aX+b)=aE(X)+b （4） D(X)=E(X2)-E2(X) （5） D(X±Y)=D(X)+D(Y)，充分条件：X 和 Y 独立；
更一般地，对事件 A1，A2，…An，若 P(A1A2…An-1)>0，则有
P( A1A2 … An) P( A1)P( A2 | A1)P( A3 | A1A2) …… P( An | A1A2 … An 1) 。
独立性
①两个事件的独立性
设事件 A 、 B 满足 P( AB) P( A)P(B) ，则称事件 A 、 B 是相互独立的。
第三章 二维随机变量及其分布
对 于 二 维 随 机 向 量 (X,Y) ， 如 果 存 在 非 负 函 数
f (x, y)( x , y ) ，使对任意一个其邻边
分别平行于坐标轴的矩形区域 D，即 D={(X,Y)|a<x<b,c<y<d}有
连续型
P{(X ,Y ) D} f (x, y)dxdy, 则称 为连续型随机向量；

⑴.两件都是正品: ；
⑵.两件都是次品: ；
⑶.一件是正品、另一件是次品: ；
⑷.第二件是次品: 。
6、高射炮向敌机发射三枚炮弹，设每发炮弹击中敌机的概率为 (每发击中与否相互独立)，而敌机中一弹时坠落的概率为 ，中两弹时坠落的概率为 ，中三弹时坠落的概率为 。
⑴.求敌机被击落的概率；
⑵.若敌机被击落，求它只中一弹的概率。
解:用 分别表示电话是打给 的， 分别表示 因公外出，则
⑴. ；
⑵. ；
⑶. ；
⑷. ；
⑸. 。
解:用 表示敌机中 弹， ，用 表示敌机被击落,则
， ，故
，
。
7、已知男子中有 是色盲患者，女子中有 是色盲患者，现从男女人数相等的人群中随机地选一人，问此人是色盲患者的概率为多少若已知此人是色盲患者，求此人是男性的概率。
解:用 表示所选人为男性， 表示所选人为色盲患者，则
， ， ，故
，
。
8、甲、乙、丙三人独立地去破译密码，已知甲、乙、丙各自能译出密码的概率分别为 ，问三人中至少有一人能将此密码译出的概率为多少
概率论的基本概念
第一章概率论的基本概念
【内容提要】
一、随机事件及其运算关系
1．随机现象在一定条件下，可能出现不同结果(不可预先确知的)的现象。
2．随机试验在一定条件下，对随机现象进行观测或观察的过程。随机试验具有如下特点:
⑴.可以在相同条件下重复进行；
⑵.每次试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；
⑴．非负性: ，有 ；
⑵．规范性: ；
⑶．可列可加性:对任意可列无穷多个两两互斥的事件 ，有 。
则称 为事件 的概率。事件的概率有如下性质:

，使对任意实数 x，都有
F ( x)＝P( X x)＝x f (u)du
则称 X 为连续型随机变量，f (x)为 X 的概率密度函数，简称概率密度或密度函数。 记为 X～ f (x) , (- < x <+)
2. 密度函数的性质
(3)
若
x是
f(x )
f (x)的连续点，
dF(x dx
)
.
（4）
P(a X b)＝ b f (u)du a
P{X xk } pk ,k 1,2,
数学期望 E(X)是一个常数,而非变量．它是一种以概率为权的加权平均值 （1）X ~（0—1）分布
（2）X~B（n，p）二项分布 （3）X~（或）Poisson 分布
2. 连续型随机变量的数学期望
（1）X~U(a，b)均匀分布 其概率密度函数为：
f(x )
5. 边缘分布 6. 二维连续型随机变量及其密度函数 联合密度 f (x , y )的性质
7. 边缘密度函数
8. 条件密度函数
1）fX|Y (x
y)
f (x, y) 称为Y fY ( y)
y下, X的条件密度函数
2）fY|X ( y
x)
f (x, y) 称为X fX (x)
x下,Y的条件密度函数
8、相关系数： 若 r.v. X，Y 的方差和协方差均存在, 且 D(X )> 0, D(Y )> 0，则
称为 X 与 Y 的相关系数. X 与 Y 不相关 Cov(X, Y )=0 E(XY )= E(X )E (Y )。
8、矩 （1）k 阶原点矩 E(X k ), k=1, 2, … 而 E(|X|k)称为 X 的 k 阶绝对原点矩； （2）k 阶中心矩 E[XE(X )]k, k=1, 2, … 而 E|X-E(X )|k 称为 X 的 k 阶绝对中心矩；