工程数学-概率统计简明教程课后习题参考答案
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概率统计简明教程课后习题答案 工程代数 同济大学版
(1) 2 只都合格； (2) 1 只合格，1 只不合格； (3) 至少有 1 只合格。 解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为 A, B,C ，则
P( A)
4 2
Байду номын сангаас
43
2
2
6 2
652
5
P(B)
4 1
12
4
2
2
8
62
6 5 15
注意到 C A B ，且 A 与 B 互斥，因而由概率的可加性知
P( A) 6 1 62 6
(ⅱ) B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
10 5 P(B)
62 18 ( ⅲ ) C 含 样 本 点 (1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点。
(2) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A) P(B) 0.6 ；
(3) P(AB) P(A) 0.4 ；
(4) P(BA) P(A B) P() 0 , P(AB) P(A B) 1 P(A B) 1 0.6 0.4 ;
53
25
7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：
(1) 事件 A ：“其中恰有一位精通英语”；
(2) 事件 B ：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件 C ：“其中有人精通英语”。
解 样本点总数为 53
P( A)
4 2
Байду номын сангаас
43
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2
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652
5
P(B)
4 1
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8
62
6 5 15
注意到 C A B ，且 A 与 B 互斥，因而由概率的可加性知
P( A) 6 1 62 6
(ⅱ) B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)
10 5 P(B)
62 18 ( ⅲ ) C 含 样 本 点 (1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点。
(2) P(A B) P(A) P(B) P(AB) P(A) P(B) P(A) P(B) 0.6 ；
(3) P(AB) P(A) 0.4 ；
(4) P(BA) P(A B) P() 0 , P(AB) P(A B) 1 P(A B) 1 0.6 0.4 ;
53
25
7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率：
(1) 事件 A ：“其中恰有一位精通英语”；
(2) 事件 B ：“其中恰有二位精通英语”； (3) 事件 C ：“其中有人精通英语”。
解 样本点总数为 53
工程数学-概率统计简明教程答案
习题一解答 1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件� A (1) 抛一枚硬币两次�观察出现的面�事件}{两次出现的面相同�A � (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数�事件{�A 一分钟内呼叫次数不超过次}� 3(3) 从一批灯泡中随机抽取一只�测试其寿命�事件{�A 寿命在到小时之间}。
20002500解(1) )},(),,(),,(),,{(����������� )},(),,{(�����A .(2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数�则 },2,1,0|{������k k X � }3,2,1,0|{���k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命�单位�小时��则 )},0({�����X � )}2500,2000({��X A . 2. 袋中有10个球�分别编有号码1至10�从中任取1球�设�A {取得球的号码是偶数}��B {取得球的号码是奇数}�{取得球的号码小于5}�问下列运算表示什么事件� �C (1)�(2)B A �A B �(3)�(4)A C A C �(5)C A �(6)C B ��(7)C A �. 解(1) 是必然事件� ��B A � (2) ��A B 是不可能事件� (3) {取得球的号码是2�4}� �A C (4) �A C {取得球的号码是1�3�5�6�7�8�9�10}� (5) �C A {取得球的号码为奇数�且不小于5}�{取得球的号码为5�7�9}� (6) ��C B C B ��{取得球的号码是不小于5的偶数}�{取得球的号码为6�8�10}�(7) ���C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6�8�10} 3. 在区间上任取一数�记]2,0[���������121x x A ����������2341x x B �求下列事件的表达式�(1)�(2)B A �B A �(3)B A �(4)B A �. 解(1) ���������2341x x B A �;(2) ������������B x x x B A �21210或����������������2312141x x x x �;(3) 因为B A ��所以��B A � (4)������������223410x x x A B A 或��������������223121410x x x x 或或 4. 用事件的运算关系式表示下列事件� C B A ,,(1) 出现�都不出现�记为�� A C B ,1E (2) 都出现�不出现�记为�� B A ,C 2E (3) 所有三个事件都出现�记为�� 3E(4) 三个事件中至少有一个出现�记为�� 4E(5) 三个事件都不出现�记为�� 5E (6) 不多于一个事件出现�记为�� 6E (7) 不多于两个事件出现�记为�� 7E (8) 三个事件中至少有两个出现�记为�。
概率统计简明教程课后习题答案(工程代数_同济大学版)
45 5 k 2 . 于是 1
45 5 1 2 k 45 44 5 3! 99 P( A) n 50 49 48 2! 392 50 3
1 1 (2) A B x 0 x 或 1 x 2 B x x 2 4 (3) 因为 A B ，所以 AB ； 1 x 1 x 2 3 ; 2
1 1 1 3 3 (4) A B A x 0 x 或 x 2 x 0 x 或 x 1或 x 2 4. 用事件 A, B, C 4 2 4 2 2 的运算关系式表示下列事件： (1) A 出现， B, C 都不出现（记为 E1 ） ； (2) A, B 都出现， C 不出现（记为 E 2 ） ； (3) 所有三个事件都出现（记为 E3 ） ； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为 E 4 ） ； (5) 三个事件都不出现（记为 E5 ） ；
(6) E6 A B C AB C A BC A B C ；
(7) E7 ABC A B C ；(8) E8 AB AC BC . 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设 Ai 表示事件“第 i 次 抽到废品” ， i 1,2,3 ，试用 Ai 表示下列事件： (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品； (4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。 解 (1) A1 A2 ； (2) A1 A2 A3 ； (3) A1 A2 A3 ； (4) A1 A2 A3 ； (5) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 . 6. 接连进行三次射击，设 Ai ={ 第 i 次射击命中 } ， i 1,2,3 ， B { 三次射击恰好命中二次 } ，
45 5 1 2 k 45 44 5 3! 99 P( A) n 50 49 48 2! 392 50 3
1 1 (2) A B x 0 x 或 1 x 2 B x x 2 4 (3) 因为 A B ，所以 AB ； 1 x 1 x 2 3 ; 2
1 1 1 3 3 (4) A B A x 0 x 或 x 2 x 0 x 或 x 1或 x 2 4. 用事件 A, B, C 4 2 4 2 2 的运算关系式表示下列事件： (1) A 出现， B, C 都不出现（记为 E1 ） ； (2) A, B 都出现， C 不出现（记为 E 2 ） ； (3) 所有三个事件都出现（记为 E3 ） ； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为 E 4 ） ； (5) 三个事件都不出现（记为 E5 ） ；
(6) E6 A B C AB C A BC A B C ；
(7) E7 ABC A B C ；(8) E8 AB AC BC . 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设 Ai 表示事件“第 i 次 抽到废品” ， i 1,2,3 ，试用 Ai 表示下列事件： (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品； (4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。 解 (1) A1 A2 ； (2) A1 A2 A3 ； (3) A1 A2 A3 ； (4) A1 A2 A3 ； (5) A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 . 6. 接连进行三次射击，设 Ai ={ 第 i 次射击命中 } ， i 1,2,3 ， B { 三次射击恰好命中二次 } ，
(完整版)工程数学概率统计简明教程第二版同济大学数学系编课后习题答案(全)
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .3. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}4. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
概率与数理统计第四版(简明版)课后习题答案
随机变量的函数及其分布
总结词
描述通过函数变换得到的随机变量的概率分 布情况。
详细描述
对于一个或多个随机变量，通过函数变换可 以得到新的随机变量。这些新随机变量的概 率分布可以通过对原随机变量的概率分布进 行函数变换得到。例如，如果X是一个随机 变量，f(X)是关于X的函数，那么f(X)的概率 分布可以通过对X的概率分布进行函数变换 得到。常见的函数变换包括线性变换、幂函 数变换等。在得到新随机变量的概率分布后， 可以进一步分析其性质和特征。
多元线性回归分析的假设包括线性关系、误差项独立同分 布以及误差项的无偏性。
详细描述
在进行多元线性回归分析之前，需要检验各因变量与自变 量之间的线性关系，并确保误差项独立且服从相同的分布 ，同时误差项的均值为零，以保证估计的回归系数是无偏 和有效的。
总结词
多元线性回归分析的应用范围广泛，包括经济、金融、生 物、医学和社会科学等领域。
随机变量的定义与性质
随机变量是定义在样本 空间上的一个实值函数 ，其取值随试验结果的 变化而变化。
随机变量具有可加性、 独立性、有限可加性等 性质，这些性质在随机 变量的计算和推导中有 着重要的应用。
离散型随机变量是取有 限个或可数个值的随机 变量，其分布律是一个 离散的概率分布。常见 的离散型随机变量包括 二项分布、泊松分布等 。
边缘概率分布与条件概率分布
总结词
描述随机变量的边缘概率分布和条件概 率分布，即考虑某些变量的取值对其他 变量的概率分布的影响。
VS
详细描述
边缘概率分布是指考虑某些随机变量的取 值后，其他随机变量的概率分布情况。对 于两个随机变量X和Y，X的边缘概率分布 表示为P(X)，表示在给定Y取某个值的条件 下，X的概率分布。条件概率分布则表示在 给定某个事件发生的条件下，其他随机变 量的概率分布情况。条件概率分布表示为 P(X|Y)，表示在Y取某个值的条件下，X的 概率分布。
概率统计简明教程(同济大学第四版)课后答案
习题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）；(8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
概率统计简明教程(第四版)课后答案
习 题一1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件A ：(1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件}{两次出现的面相同=A ；(2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件{=A 一分钟内呼叫次数不超过3次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件{=A 寿命在2000到2500小时之间}。
解 (1) )},(),,(),,(),,{(--+--+++=Ω， )},(),,{(--++=A . (2) 记X 为一分钟内接到的呼叫次数，则},2,1,0|{ ===Ωk k X ， }3,2,1,0|{===k k X A .(3) 记X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时），则)},0({∞+∈=ΩX ， )}2500,2000({∈=X A .2. 袋中有10个球，分别编有号码1至10，从中任取1球，设=A {取得球的号码是偶数}，=B {取得球的号码是奇数}，=C {取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：(1)B A ；(2)AB ；(3)AC ；(4)AC ；(5)C A ；(6)C B ；(7)C A -. 解 (1) Ω=B A 是必然事件； (2) φ=AB 是不可能事件；(3) =AC {取得球的号码是2，4}；(4) =AC {取得球的号码是1，3，5，6，7，8，9，10}；(5) =C A {取得球的号码为奇数，且不小于5}={取得球的号码为5，7，9}；(6) ==C B C B {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}； (7) ==-C A C A {取得球的号码是不小于5的偶数}={取得球的号码为6，8，10}3. 在区间]2,0[上任取一数，记⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B ，求下列事件的表达式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)B A .解 (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤=2341x x B A ;(2) =⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤≤=B x x x B A 21210或⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤2312141x x x x ; (3) 因为B A ⊂，所以φ=B A ；(4)=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<≤=223410x x x A B A 或 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<≤<<≤223121410x x x x 或或 4. 用事件CB A ,,的运算关系式表示下列事件：(1) A 出现，C B ,都不出现（记为1E ）； (2) B A ,都出现，C 不出现（记为2E ）； (3) 所有三个事件都出现（记为3E ）；(4) 三个事件中至少有一个出现（记为4E ）； (5) 三个事件都不出现（记为5E ）； (6) 不多于一个事件出现（记为6E ）； (7) 不多于两个事件出现（记为7E ）； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为8E ）。
概率统计简明教程(同济大学第四版)课后答案
⎧ ⎫ ⎧ ⎫ 1 3 1 1 3 (4) A U B = A U ⎨ x 0 ≤ x < 或 < x ≤ 2⎬ = ⎨ x 0 ≤ x < 或 < x ≤ 1或 < x ≤ 2⎬ 4. 用事件 A, B, C 4 2 4 2 2 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 的运算关系式表示下列事件： (1) A 出现， B, C 都不出现（记为 E1 ） ； (2) A, B 都出现， C 不出现（记为 E 2 ） ； (3) 所有三个事件都出现（记为 E3 ） ； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为 E 4 ） ； (5) 三个事件都不出现（记为 E5 ） ； (6) 不多于一个事件出现（记为 E 6 ） ； (7) 不多于两个事件出现（记为 E 7 ） ； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为 E8 ） 。 解 (1) E1 = AB C ； (3) E3 = ABC ； (2) E 2 = ABC ； (4) E 4 = A U B U C ；
(5) E5 = A B C ；
(6) E 6 = A B C U AB C U A BC U A B C ；
(7) E 7 = ABC = A U B U C ；(8) E8 = AB U AC U BC . 5. 一批产品中有合格品和废品 i 次 抽到废品”， i = 1,2,3 ，试用 Ai 表示下列事件： (1) (2) (3) (4) (2) 解 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； 只有第一次抽到废品； 三次都抽到废品； 至少有一次抽到合格品； 只有两次抽到废品。 (1) A1 U A2 ； (2) A1 A2 A3 ； (3) A1 A2 A3 ；
(4) A1 U A2 U A3 ； (5) A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 . 6. 接连进行三次射击，设 Ai ={第 i 次射击命中 } ， i = 1,2,3 ， B = { 三次射击恰好命中二次 } ，
概率统计简明教程习题答案
概率统计简明教程习题答案概率统计简明教程习题答案概率统计是一门研究随机事件发生规律的学科，它在各个领域中都有广泛的应用。
为了帮助读者更好地掌握概率统计的知识，我们为你准备了一些习题，并提供了详细的答案解析。
通过解答这些习题，相信你会对概率统计有更深入的理解。
1. 掷骰子问题问题：一个六面骰子，每个面的数字为1、2、3、4、5、6。
如果我们连续掷两次骰子，求以下事件的概率：（1）两次掷得的点数之和为7；（2）第一次掷得的点数比第二次掷得的点数大。
解答：（1）两次掷得的点数之和为7的情况有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)共6种，而每次掷骰子的可能结果有6种，所以该事件的概率为6/36=1/6。
（2）第一次掷得的点数比第二次掷得的点数大的情况有(2,1)、(3,1)、(3,2)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(5,1)、(5,2)、(5,3)、(5,4)、(6,1)、(6,2)、(6,3)、(6,4)、(6,5)共15种，而每次掷骰子的可能结果有6种，所以该事件的概率为15/36=5/12。
2. 抽样问题问题：有一箱中有10个球，其中3个红球，7个蓝球。
现从箱中随机抽取两个球，求以下事件的概率：（1）两个球都是红球；（2）两个球都是蓝球；（3）一个球是红球，一个球是蓝球。
解答：（1）两个球都是红球的情况只有一种，即从3个红球中选取2个红球，所以该事件的概率为C(3,2)/C(10,2)=3/45=1/15。
（2）两个球都是蓝球的情况只有一种，即从7个蓝球中选取2个蓝球，所以该事件的概率为C(7,2)/C(10,2)=21/45=7/15。
（3）一个球是红球，一个球是蓝球的情况有C(3,1) * C(7,1) = 3 * 7 = 21种，所以该事件的概率为21/45=7/15。
3. 正态分布问题问题：某商品的重量服从正态分布，平均重量为500g，标准差为10g。
概率统计简明教程习题答案
习题三解答1．已知随机事件A 的概率5.0)(=A P ，随机事件B 的概率6.0)(=B P ，条件概率8.0)|(=A B P ，试求)(AB P 及)(B A P .解 4.08.05.0)|()()(=⨯==A B P A P AB P)()()(1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P +--=-==3.04.06.05.01=+--=2．一批零件共100个，次品率为10%，从中不放回取三次（每次取一个），求第三次才取得正品的概率。
解 10789989981989910090910=⨯=⨯⨯⨯⨯=p . 3．某人有一笔资金，他投入基金的概率为0.58，购买股票的概率为0.28，两项投资都做的概率为0.19(1) 已知他已投入基金，再购买股票的概率是多少？ (2) 已知他已购买股票，再投入基金的概率是多少？解 记=A {基金}，=B {股票}，则19.0)(,28.0)(,58.0)(===AB P B P A P(1) .327.058.019.0)()()|(===A P AB P A B P (2) 678.028.019.0)()()|(===B P AB P B A P . 4．给定5.0)(=A P ，3.0)(=B P ，15.0)(=AB P ，验证下面四个等式：),()|(),()|(A P B A P A P B A P == )()|(B P A B P =，).()|(B P A B P =解 )(213.015.0)()()|(A P B P AB P B A P ====)(5.07.035.07.015.05.0)(1)()()()()|(A P B P AB P A P B P B A P B A P ===-=--==)(3.05.015.0)()()|(B P A P AB P A B P ====)(5.015.05.015.03.0)(1)()()()()|(B P A P AB P B P A P B A P A B P ==-=--==5．有朋自远方来，他坐火车、船、汽车和飞机的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，若坐火车，迟到的概率是0.25，若坐船，迟到的概率是0.3，若坐汽车，迟到的概率是0.1，若坐飞机则不会迟到。
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抽到废品” ， i = 1,2,3 ，试用 Ai 表示下列事件： (1) 第一次、第二次中至少有一次抽到废品； (2) 只有第一次抽到废品； (3) 三次都抽到废品； (4) 至少有一次抽到合格品； (2) 只有两次抽到废品。 解 (1) A1 U A2 ； (2) A1 A2 A3 ； (3) A1 A2 A3 ； (4) A1 U A2 U A3 ； (5) A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3 . 6. 接连进行三次射击，设 Ai ={ 第 i 次射击命中 } ， i = 1,2,3 ， B = { 三次射击恰好命中二次} ， C = {三次射击至少命中二次}；试用 Ai 表示 B 和 C 。 解
2 3 2 1 = 3 × 3! = 3 ； (2) P( B) = 5 × 4 × 3 10 5 3 (3) 因 C = A U B ，且 A 与 B 互斥，因而 3 3 9 P(C ) = P( A) + P( B) = + = . 5 10 10 + y = 1 所围成的三角形内，而落在这三 8．设一质点一定落在 xOy 平面内由 x 轴、 y 轴及直线 Sx A 1 x = 1 / 3 的左边的概率。 角形内各点处的可能性相等，计算这质点落在直线 y 解 记求概率的事件为 A ，则 S A 为图中阴影部分，而 | Ω |= 1 / 2 ，
2
2
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2× 2 2 = . 6 × 5 15 4．一个盒子中装有 6 只晶体管，其中有 2 只是不合格品，现在作不放回抽样，接连取 2 次， 每次取 1 只，试求下列事件的概率： (1) 2 只都合格； (2) 1 只合格，1 只不合格； (3) 至少有 1 只合格。 解 分别记题(1)、(2)、(3)涉及的事件为 A, B, C ，则 4 2 4× 3× 2 2 P( A) = = = 6 6 × 5× 2 5 2 4 2 1 1 = 4× 2× 2 = 8 P( B) = 6×5 15 6 2 注意到 C = A U B ，且 A 与 B 互斥，因而由概率的可加性知 2 8 14 P(C ) = P( A) + P( B) = + = 5 15 15 5．掷两颗骰子，求下列事件的概率： (1) 点数之和为 7；(2) 点数之和不超过 5；(3) 点数之和为偶数。 解 分别记题(1)、(2)、(3)的事件为 A, B, C ,样本点总数 n = 6 2 (ⅰ) A 含样本点 (2,5), (5,2) ,(1,6),(6,1),(3,4),(4,3) 6 1 ∴ P ( A) = 2 = 6 6 (ⅱ) B 含样本点(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2) 10 5 ∴ P( B) = 2 = 18 6 ( ⅲ ) C 含 样 本 点 (1,1),(1,3),(3,1),(1,5),(5,1);(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,3), (3,5),(5,3);(4,4),(4,6),(6,4);(5,5);(6,6), 一共 18 个样本点。 18 1 ∴ P(C ) = = 36 2 6．把甲、乙、丙三名学生随机地分配到 5 间空置的宿舍中去，假设每间宿舍最多可住 8 人， 试求这三名学生住不同宿舍的概率。 解 记 求 概 率 的 事 件 为 A ， 样 本 点 总 数 为 53 ， 而 有 利 A 的 样 本 点 数 为 5 × 4 × 3 ， 所 以 5 × 4 × 3 12 P ( A) = = . 25 53 7．总经理的五位秘书中有两位精通英语，今偶遇其中的三位，求下列事件的概率： (1) 事件 A ： “其中恰有一位精通英语” ； (2) 事件 B ： “其中恰有二位精通英语” ； (3) 事件 C ： “其中有人精通英语” 。 5 解 样本点总数为 3
(7) E 7 = ABC = A U B U C ；(8) E8 = AB U AC U BC . 5. 一批产品中有合格品和废品，从中有放回地抽取三次，每次取一件，设 Ai 表示事件“第 i 次
Байду номын сангаас
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1 3 1 1 3 (4) A U B = A U x 0 ≤ x < 或 < x ≤ 2 = x 0 ≤ x < 或 < x ≤ 1或 < x ≤ 2 4. 用事件 A, B, C 4 2 4 2 2 的运算关系式表示下列事件： (1) A 出现， B, C 都不出现（记为 E1 ） ； (2) A, B 都出现， C 不出现（记为 E 2 ） ； (3) 所有三个事件都出现（记为 E3 ） ； (4) 三个事件中至少有一个出现（记为 E 4 ） ； (5) 三个事件都不出现（记为 E5 ） ； (6) 不多于一个事件出现（记为 E 6 ） ； (7) 不多于两个事件出现（记为 E 7 ） ； (8) 三个事件中至少有两个出现（记为 E8 ） 。 解 (1) E1 = AB C ； (3) E3 = ABC ； (5) E5 = A B C ； (2) E 2 = ABC ； (4) E 4 = A U B U C ； (6) E6 = A B C U AB C U A BC U A B C ；
所求概率为
2 3 1 2 2 × 3 × 3! 6 3 = (1) P( A) = = = ； 5 × 4 × 3 10 5 5 3
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B = A1 A2 A3 U A1 A2 A3 U A1 A2 A3
C = A1 A2 U A1 A3 U A2 A3
习题二解答
1．从一批由 45 件正品、5 件次品组成的产品中任取 3 件产品，求其中恰有 1 件次品的概率。 50 解 这是不放回抽取，样本点总数 n = 3 ，记求概率的事件为 A ，则有利于 A 的样本点数 45 5 k = 2 1 . 于是 45 5 1 2 45 × 44 × 5 × 3! 99 k P( A) = = = = 50 × 49 × 48 × 2! 392 n 50 3 2．一口袋中有 5 个红球及 2 个白球，从这袋中任取一球，看过它的颜色后放回袋中，然后， 再从这袋中任取一球，设每次取球时袋中各个球被取到的可能性相同。求 (1) 第一次、第二次都取到红球的概率； (2) 第一次取到红球，第二次取到白球的概率； (3) 二次取得的球为红、白各一的概率； (4) 第二次取到红球的概率。 解 本 题 是 有 放 回 抽 取 模 式 ， 样 本 点 总 数 n = 7 2 . 记 (1)(2)(3)(4) 题 求 概率 的 事 件 分 别 为 A, B, C , D .
25 5 (ⅰ)有利于 A 的样本点数 k A = 5 ，故 P( A) = = 49 7 5 × 2 10 (ⅱ) 有利于 B 的样本点数 k B = 5 × 2 ，故 P( B) = 2 = 49 7 20 (ⅲ) 有利于 C 的样本点数 k C = 2 × 5 × 2 ，故 P(C ) = 49 7 × 5 35 5 = . (ⅳ) 有利于 D 的样本点数 k D = 7 × 5 ，故 P( D) = 2 = 49 7 7 3．一个口袋中装有 6 只球，分别编上号码 1 至 6，随机地从这个口袋中取 2 只球，试求：(1) 最 小号码是 3 的概率；(2) 最大号码是 3 的概率。 解 本题是无放回模式，样本点总数 n = 6 × 5 . (ⅰ) 最小号码为 3，只能从编号为 3，4，5，6 这四个球中取 2 只，且有一次抽到 3，因而有利 2×3 1 样本点数为 2 × 3 ，所求概率为 = . 6×5 5 (ⅱ) 最大号码为 3，只能从 1，2，3 号球中取，且有一次取到 3，于是有利样本点数为 2 × 2 ，
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习题一解答
1. 用集合的形式写出下列随机试验的样本空间与随机事件 A ： (1) 抛一枚硬币两次，观察出现的面，事件 A = {两次出现的面相同} ； (2) 记录某电话总机一分钟内接到的呼叫次数，事件 A = { 一分钟内呼叫次数不超过 3 次}； (3) 从一批灯泡中随机抽取一只，测试其寿命，事件 A = { 寿命在 2000 到 2500 小时之间}。 解 (1) Ω = {( +,+), (+,−), (−,+), (−,−)} ， A = {(+,+), (−,−)} . (2) 记 X 为一分钟内接到的呼叫次数，则 Ω = { X = k | k = 0,1,2,LL} ， A = { X = k | k = 0,1,2,3} . (3) 记 X 为抽到的灯泡的寿命（单位：小时） ，则 Ω = { X ∈ (0, + ∞)} ， A = { X ∈ (2000, 2500)} . 2. 袋中有10 个球， 分别编有号码 1 至 10， 从中任取 1 球， 设 A = {取得球的号码是偶数}， B = {取 得球的号码是奇数}， C = {取得球的号码小于 5}，问下列运算表示什么事件： (1) A U B ；(2) AB ；(3) AC ；(4) AC ；(5) A C ；(6) B U C ；(7) A − C . 解 (1) A U B = Ω 是必然事件； (2) AB = φ 是不可能事件； (3) AC = {取得球的号码是 2，4}； (4) AC = {取得球的号码是 1，3，5，6，7，8，9，10}； (5) A C = {取得球的号码为奇数，且不小于 5} = {取得球的号码为 5，7，9}； (6) B U C = B I C = {取得球的号码是不小于 5 的偶数} = {取得球的号码为 6，8，10}； (7) A − C = AC = {取得球的号码是不小于 5 的偶数}={取得球的号码为 6，8，10} 1 1 3 3. 在区间 [0 , 2] 上任取一数，记 A = x < x ≤ 1 ， B = x ≤ x ≤ ，求下列事件的表达式： 2 2 4 (1) A U B ；(2) A B ；(3) AB ；(4) A U B . 1 3 解 (1) A U B = x ≤ x ≤ ; 2 4 1 (2) A B = x 0 ≤ x ≤ 或 1 < x ≤ 2 I B = 2 (3) 因为 A ⊂ B ，所以 AB = φ ； 1 1 3 x ≤ x ≤ U x1 < x ≤ ; 2 2 4