《分式》复习指导一.分式的定义：［知识点解析］注:A÷B=A×1/B =A×B -1= A•B -1.有时把 写成负指数即A•B -1,只是在形式上有所不同,而本质里没有区别.［方法指导］：是不是分式的关键在，分母是不是有表示未知数的字母.［例题解析］在代数式132x +、5a 、26x y 、35y +、23a b +、2325ab c 、π1中，分式有（ ）.（A ）4个 （B ）3个 （C ）2个 （D ）1个 ［详解］：分式的定义中分母一定要有未知字母，5a 和35y+是分式，故选择C. ［注意］：π是常数，不是未知字母. ［精典练习］：二. 分式的意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义. ［知识点解析］：分母为0，分式无意义；分式有意义，分母不为0 ［方法指导］：分母的含义是分数线下边的整个式子. ［例题解析］例 当取何值时，下列分式有意义？（1）； （2）；［详解］：（1）要使有意义，2≠x（2）要使有意义，41-≠x ［注意］：分式有意义只须分母不为0，与分子无关.［精典练习］：1.使式子11-x 有意义的x 的取值范围为（ D ）.A 、x ＞0B 、x ≠1C 、x ≠－1D 、x ≠±12、同时使分式2568x x x -++有意义，又使分式223(1)9x x x ++-无意义的x 的取值范围是（ D ）A.42x x ≠-≠-且B.42x x =-=或C.4x =-D.2x =3. 1. 分式55+x x，当______x 时有意义； 参考答案：5-≠x 4.下列分式，当x=－3时，无意义的是（ D ） A 、9313+--x x B 、3632--x x C 、15523--x x D 、15592+-x x三.分式值为0的条件［知识点解析］：在分母不等于0的前提下，分子等于0,则分数值为0. ［方法指导］：分母的含义是分数线下边的整个式子. ［例题解析］例 当取何值时，下列分式的值为零？（1）； （2）；［详解］：（1） 3-=x （2） 2-=x ［注意］：（2）中的2=x 使分母为0，应该舍去.［精典练习］：1.当时，分式的值为零 参考答案：1=x2.当时，分式的值为零 参考答案：1=x3.当时，分式的值为零 参考答案：不存在4.当式子2545x x x ---的值为零时，x 的值是（ B ）A 、6B 、-5C 、-1或5D 、-5或5 四. 分式的基本性质和约分1.分式的基本性质:分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变.2.约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.［知识点解析］：约分前必须保证分子分母都完全分解因式，就是分子分母全是因式的乘积.约分就是分子分母同时除以相同的因式.约分步骤:（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.（2）分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去. ［方法指导］：1. 公因式的提取方法:系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.2.若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分.约分后，分子与分母不再有公因式［例题解析］例：约分44422+--x x x［详解］：44422+--x x x ＝2)2()2)(2(--+x x x ＝22-+x x .［注意］：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分.约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.［精典练习］：1.下列约分，结果正确的是（ D ）A.632x x x = B.x m m x n n+=+ C.22x y x y x y +=++ D .1x y x y -+=-- 2. 计算yx xx y x y x +•+÷+222)(的结果是------------------------------（ A ） A.yx x +22 B.y x +2C. y 1D. y +11五.最简分式和最简公分母:［知识点解析］：一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.［方法指导］：1.最简分式的分子分母不能再同时整除一个式子或字母、数字.2.最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积.［例题解析］：例1.求分式4322361,41,21xyy x z y x 的（最简）公分母. ［详解］：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x 为底的幂的因式，取其最高次幂x 3，字母y 为底的幂的因式，取其最高次幂y 4，再取字母z.所以三个分式的公分母为12x 3y 4z. 例2. 求分式2241x x -与412-x 的最简公分母.［详解］：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即4x —2x 2= －2x （x-2），x 2－4=（x+2）（x －2），把这两个分式的分母中所有的因式都取到，其中，系数取正数，取它们的积，即 2x （x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母. ［注意］：找最简公分母的步骤： 1.取各分式的分母中系数最小公倍数； 2.各分式的分母中所有字母或因式都要取到； 3.相同字母（或因式）的幂取指数最大的；4.所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母 ［精典练习］分式1a b +、222a a b -、bb a-的最简公分母为（ D ）. （A ）22()()()a b a b a b -+- （B ）22()()a b a b -+（C ）22()()a b b a -- （D ）22a b -六.通分［知识点解析］：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式,叫做分式的通分.［方法指导］：先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子. ［例题解析］：若分式yx yx -+中的x 、y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值（ ） A 、不变 B 、是原来的3倍 C 、是原来的31 D 、是原来的61 七.分式的四则运算［知识点解析］：1.同分母分式加减法则:分母不变,将分子相加减. 2.异分母分式加减法则:通分后,再按照同分母分式的加减法法则计算. 3.分式的乘法法则:用分子的积作分子,分母的积作分母. 4.分式的除法法则:把除式变为其倒数再与被除式相乘. ［方法指导］：注意一定要按运算顺序运算. ［例题解析］：例1.计算：1112++--a aa a . ［详解］：解法1：原式=1)1)(1(1)1)(1(1)1)(1()1()1)(1(122=-+-=-+-+-=-+-+-+-a a a a a a a a a a a a a a a . 解法2：原式=1111111)1)(1(1=++=+++=++-+-a a a a a a a a a a .［注意］：异分母分式的加减法可用通分后再加减；若能先约分的，则先化简，一般可起到简便运算的效果. 例2.化简：)2(121y x xyx y x x --++- ［详解］：解法1：原式xx y x y x x x y x x x y x y x x 2)21)((121]2)(22[121-++-=+-++-=x x x 22121--=122==xx解法2：原式1121212121=+-=++++•+-=xx y x y x x y x y x x ［注意］：本题可按运算顺序先算括号再乘除后加减；或利用乘法分配率起到简便运算功效. 例3.先化简代数式1)12111(2-÷+-+-+a aa a a a ，然后选取一个使原式有意义的a 值代入求值.［详解］：原式11)1(1])1(1)1()1)(1([2222-=-•-=-÷-+--+=a aa a a a a a a a a a . 1≠a Θ且0≠a ，若,2=a 则原式2=.［注意］：若原题改为先化简代数式22)1()12111(-÷+-+-+a a a a a a ，然后选取一个你喜欢的a 的值代入求值.则化简得原式a =，但仍然要考虑使原式有意义，即1≠a 且0≠a .例4.先化简,再求值:)21(222222ab b a abb a b a ++÷--,其中5a =3b =-［详解］：原式)222(222222ab b a ab ab abb a b a ++÷--=b a b a ab b a ab b a b a +=+•--+=2)(2)())((2当5a =3b =-1=.［注意］：分式的除法没有分配律，避免出现原式ab b a ab b a b a ab b a b a 212222222222+÷--+÷--=的错误例5.已知实数a 满足0822=-+a a ，求34121311222+++-⨯-+-+a a a a a a a 的值. ［详解］：化简得原式2)1(2+=a 由0822=-+a a 知，9)1(2=+a ； ［注意］：整体代入，起到降次化简的显著效果. ［精典练习］1. 计算：（1）xy y x xy y x 2)(2-++）（；（2）xyy x xy y x 22)()(--+参考答案：（1）xy y x xy y x 22)()(-++ ＝ xyy x y x 22)()(-++ ＝ xy y xy x y xy x 222222+-+++ ＝ xy y x )(222+（2）xy y x 2)(+－xyy x 2)(-＝xy y x y x 22)()(--+ ＝ xy y xy x y xy x )2()2(2222+--++ ＝ xyxy 4 ＝42.计算：231x ＋x 43； 参考答案：231x ＋x 43 ＝22129124x x x +＝21249xx + 4.计算：2444222-÷⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+x x x x x x 分析：应先算括号里的5. 222244242yx yx y x y y x ---++ 本题应采用逐步通分的方法依次进行. 6.⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⋅+-y x x y x y x x 2121 7. ()()⎪⎭⎫⎝⎛--+÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+b a b a b a b a 111122 分析：可先把被除式利用平方差公式分解因式后再约分8. 12112111122-=++-•--+x x x x x x 其中先化简再求值9. 先化简233211x x x +---，然后选择一个合适的你最喜欢的x 的值，代入求值. 解：原式3(1)2321(1)(1)1111x x x x x x x +=-=-=+-----.依题意，只要1x ≠±就行，如2x =，原式1=.10. 若实数a 、b 满足：2a bb a+=，则22224a ab b a ab b ++++的值为_________ .11. 先化简，再求值：已知2212()22x x x x x x x x+-=-÷--求的值. 八.分式方程［知识点解析］：分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.［方法指导］：.分式方程的解法:①去分母（方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程）;②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根（求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根） ［例题解析］：例1、解方程41143-=---x x x . ［详解］：去分母，得x －3－（4－x ）＝－1.去括号、整理，得2 x ＝6 解得x ＝3，检验：当x ＝3时，04≠-x . 所以，x ＝3是原方程的解. 例2、（扬州市）若方程11)1)(1(6=---+x mx x 有增根，则它的增根是（ ）A.0B.1C.－1D.1和－1 ［详解］：B.［注意］：分式方程有增根，求未知字母的值的一般步骤：1、先把分式方程化为整式方程；2、找出使分母值为零的未知数的值；3、把找出的未知数的值代入整式方程，求出未知字母的值.例3、（梅州市）解方程：xx x x 2211+=++. ［详解］：解法1：原方程可化为：xx x x )1(2112+=++， ∴ 2)1(2)12(+=+x x x 解得：32-=x ，经检验可知，32-=x 的原方程的解.解法2：设1+=x x y ，则原方程化为：022=-+y y ,∴（y+2）（y －1）=0. ∴y=－2或y=1.当y=－2时，21-=+x x ，解得:32-=x ；当y=1时，11=+x x ，方程无解. 经检验可知，32-=x 是原方程的解.［注意］：换元法也是解分式方程的常用方法.例4、（青岛市）为响应承办“绿色奥运”的号召，某中学初三、2班计划组织部分同学义务植树180棵，由于同学们参与的积极性很高，实际参加植树活动的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了2棵树，问实际有多少人参加了这次植树活动？ ［详解］：设原计划有x 人参加植树活动，则实际有1.5x 人参加植树活动. 由题意得：25.1180180=-xx 去分母，整理得：3x ＝90 x ＝30.经检验；x ＝30是原方程的解答：实际有45人参加了植树活动.［注意］：列分式方程解应用题应相应地增加检验的过程. 例5、解方程11322x x x -=--- ［详解］：解法一：方程的两边都乘以2x -，约去分母，得113(2)x x =---. 解这个整式方程，得2x =.检验：当2x =时，20x -=，所以2是增根，原方程无解.解法二：∵11322x x x -=---， ∴11322x x x --=---， ∴232x x -+=--， ∴-1＝-3. ∴原方程无解. 解法三：∵11322x x x -=---，∴121322x x x -+=---， ∴111322x x =+---， ∴11222x x =---， ∴0＝-2. ∴原方程无解. ［精典练习］1. 某煤厂原计划x 天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2天完成任务，列出方程为-----------------------------------------（D ）A31202120-=-x x B 32120120-+=x x C 31202120-=+x x D 32120120--=x x2. A ，B 两地相距135千米，两辆汽车从A 开往B ，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度. 参考答案：设大车的速度为2x 千米/时，小车的速度为5x 千米/时，根据题意得21551352135-=-x x 解之得x=9 经检验x=9是原方程的解 当x=9时，2x=18，5x=45答：大车的速度为18千米/时，小车的速度为45千米/时3. 购一年期债券，到期后本利只获2700元，如果债券年利率12.5%，&127;那么利息是多少元?参考答案：（1）设利息为x 元，则本金为（2700-x ）元，依题意列分式方程为：解此方程得 x=300 经检验x=300为原方程的根答：利息为300元. 合作交流解法，学以致用.4.一组学生乘汽车去春游，预计共需车费120元，后来人数增加了41，费用仍不变，这样每人少摊3元，原来这组学生的人数是多少个？本题是策略问题，应让学生合作交流解法.注意分类讨论思想.合作交流解法5.某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元, 乙工程队工程款1.1万元.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算： （1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成； （2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；（3）若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成. 在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？6.一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元， （1） 这个八年级的学生总数在什么范围内？（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？7. 轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相同，已知水流速度是每小时3千米，求轮船在静水中的速度.8. 某一项工程预计在规定的日期内完成，如果甲独做刚好能完成，如果乙独做就要超过日期3天，现在甲、乙两人合做2天，剩下的工程由乙独做，刚刚好在规定的日期完成，问规定日期是几天？ 九.零指数幂与负指数幂［知识点解析］：掌握)0(1),0(10≠=≠=-a aa a a n n两个法则以及会用科学计数法表示绝对值较小的数［方法指导］：科学计数法就是把一个数m 表示成na 10⨯的形式，其中,101<≤a 当1<a 时，n 的相反数等于小数点向右移的位数，或m 的左边第1个有效数字前所有零的个数（包括小数点前面的那个零）.［例题解析］ 例1、（青岛市）下列运算正确的是（ ） A.aa3131=- B. C. D. ［详解］：D.例2、（浙江省湖州市）1)21()13(2-+---.［详解］：原式=3.例3、（浙江省绍兴市2005年）实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球，它的直径约为0.00000156m ，则这个数用科学记数法表示是（ ）（A ）50.15610-⨯ （B ）50.15610⨯ （C ）61.5610-⨯ （D ）61.5610⨯ ［详解］：C［注意］：任何不等于零的数的零次幂都等于1.［精典练习］：1.计算： （1）810÷810； （2）10-2； （3）101031-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛ 参考答案：（1）1 （2） 0.01 （3） 0.12.计算：（1）（-0.1）0；（2）020031⎪⎭⎫ ⎝⎛；（3）2-2；（4）221-⎪⎭⎫ ⎝⎛. 参考答案：（1） 1 （2） 1 （3）0.25 （4） 43.计算：()()202010101010-⨯-+⨯； ()()44062242222410--⎡⎤-⨯-⨯÷-÷⨯÷⎣⎦ 参考答案： 200 －0.54.计算 （1）01)12()12(-++（2）220)2()21()2(---+--（3）计算：16÷（－2）3－（31）-1+（3-1）0 参考答案：（1）12+ （2）1 （3）－45.用小数表示下列各数：（1）10-1； （2）2.1×10-5.参考答案：（1） 0.1 （2） 0.0000216.用小数表示下列各数：（1）-10-1×（-2）（2）（8×105）÷（-2×107）参考答案：（1）0.2 （2）-0.04。
