《零次幂和负整数指数幂》知识解读知识讲解

幂的知识点总结一、概念1. 幂的定义在数学中，幂是一种表示形式，其中一个数（底数）被另一个数（指数）乘以自身多次。

幂的一般写法为a^n，其中a是底数，n是指数。

例如，2^3表示2的立方，即2 × 2 × 2 = 8。

2. 底数和指数在幂的表示中，底数是被乘法指数次的数，指数表示底数需要乘以自身的次数。

例如，2^3中，2是底数，3是指数。

3. 正整数幂和零次幂正整数幂是指幂的指数为正整数的情况，例如2^3。

零次幂是指幂的指数为0的情况，例如2^0。

4. 负整数幂负整数幂是指幂的指数为负整数的情况，例如2^-3。

对于底数a和负整数n，a^-n = 1 / (a^n)。

5. 幂的计算幂的计算是指根据幂的定义和性质，对给定的幂进行求解和化简。

计算幂时，要注意底数和指数的符号、性质和运算规则。

二、幂的性质1. 幂的乘法若a、b为非零实数，m、n为任意整数，则：a^m * a^n = a^(m+n)即，相同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。

2. 幂的除法若a、b为非零实数，m、n为任意整数，则：a^m / a^n = a^(m-n)即，相同底数的幂相除，底数不变，指数相减。

3. 幂的乘方若a、b为非零实数，m、n为任意整数，则：(a^m)^n = a^(m*n)即，幂的幂，底数不变，指数相乘。

4. 幂的倒数若a为非零实数，m为任意整数，则：1 / a^m = a^(-m)即，幂的倒数等于底数的相反数的幂。

5. 幂的幂若a、b为非零实数，m、n为任意整数，则：(a * b)^m = a^m * b^m即，幂的积等于各底数的幂的积。

6. 幂的零次幂任何非零实数的零次幂都等于1，即a^0 = 1。

其中a为非零实数。

7. 幂的一次幂任何非零实数的一次幂都等于其自身，即a^1 = a。

其中a为非零实数。

三、解决问题1. 幂的乘法和除法在实际问题中，可以利用幂的乘法和除法性质，简化计算和化简式子，从而方便求解和表达问题。

初中数学中零指数幂与负整指数幂详解教案一、背景知识在数学中，指数是一种表示乘方的数学运算符号，它用于表示底数(基数)上幂次(指数)的运算。

一个数a的b次方，可以表示为ab，其中a是底数，b是指数。

但是，当底数为零或者负整数时，就会涉及到特殊的指数问题，这就是本次教案所要重点讲解的内容——零指数幂与负整指数幂。

对于初中学生来说，理解和掌握这些知识点是十分必要的。

二、知识点解析零指数幂：当底数为0时，幂为0，即0的任何次幂均为0。

例如：0³=0；0²=0；0¹=0；0⁰=1负整指数幂：当底数为非零实数a，指数为正整数n时，aⁿ表示a 的n次幂；当a≠0，n>0时，a−n称为a的负整数幂(倒数)，它表示乘以n个因数a的倒数。

即：a⁻ⁿ = 1/aⁿ。

例如：2³=8；2²=4；2¹=2；2⁰=1；2⁻¹=1/2；2⁻²=1/4；2⁻³=1/8。

三、教学设计Step1：引入新知通过提问或者演示，引入”零指数幂“和”负整指数幂“的概念，让学生打好基础。

Step2：讲解零指数幂通过课件或者白板展示，向学生解释零指数幂的概念和特性，可以采用如下的方式进行：将0的任意次幂和其他数字的幂的结果进行比较：0³=0；2³=8；0²=0；2²=4；0¹=0；2¹=2；0⁰=1；2⁰=1；让学生通过对比发现，无论是什么数的0次幂都等于1，而0的任何次幂都等于0，这就是零指数幂的特性。

Step3：讲解负整指数幂通过课件或者白板展示，向学生解释负整指数幂的概念和特性，可以采用如下的方式进行：将一个数的正整数幂和负整数幂的结果进行比较：2³=8；2⁻³=1/8；2²=4；2⁻²=1/4；2¹=2；2⁻¹=1/2；让学生发现，当n>0时，aⁿ表示a的n次幂；当a≠0，n>0时，a−n称为a的负整数幂(倒数)，它表示乘以n个因数a的倒数。

2.3.2 零次幂和负整数指数幂学习目标1、了解零次幂和负整数指数幂的意义。

2、能根据整数指数幂运算法则，对零次幂和负整数指数幂进行计算。

3、熟练运用科学计数法表示小数。

一、掌握基本知识1、零次幂的意义：)0(10≠=a a 。

2、负整数指数幂的意义：。

特别的为正整数)0(1);,0(11≠=≠⎪⎭⎫⎝⎛=--a aa n a a a nn 3、科学记数法：把一个非零的数表示成na 10⨯的形式，其中101<≤a ，n 是整数，像这样的记数法叫做科学记数法。

二、重难点演练1、)0(10≠=a a 的推理过程及运用。

推理：.10(1;00=≠===÷-a a aa a aa a m m mm mm），所以因为例：（1）()____14.30=-π （2）()____102=+x解：（1）因为014.3≠-π，所以()114.30=-π（2）因为()11011022=+≠≥+x x ，所以练习：（1）()____120=-- （2）若()。

的取值范围是则_________,120x x =-2、会根据),0(1);,0(11≠=≠⎪⎭⎫⎝⎛=--a a a n a a ann特别的为正整数来进行计算。

例2：计算： 32, 21 , 10 , 22323----⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛解：8121233==- 01.010011011022===- 88112112133==⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛- 499413213222==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 例3：把下列各式写成分式。

（1）2-x （2）32-xy 解：（1）221xx=- （2）3332122y x y x xy =⋅=- 练习：1、计算：（1）510- （2）343-⎪⎭⎫⎝⎛2、把下列各式写成分式：（1）3-x （2）325y x --3、注意负整数指数幂不是负数。

例：试比较()()()的大小与；与33433322-------。

《零次幂和负整数指数幂》知识解读
知识点一零次幂和负整数指数幂
任何不等于0的数的零次幂都等于1，即10=a （0≠a ）. 任何不等于0的数的n -（n 是正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.即（0≠a ，n 是正整数）.
注意事项：
（1）10=a 的前提是0≠a ，如1)2(0=-x 成立的条件是2≠x ；
（2）条件是0≠a ，n 为正整数，而20-等是无意义的.当0>a 时，n a -的值一定为正；当0<a 时，n a -的值视n 的奇偶性决定，如，.
（3）正整数指数幂的某些运算，在负整数指数幂中也能适用. 例1 计算：120)3
2()31()31(---+-+.
分析：此题主要是负整数指数幂和零指数幂的运算. 解：原式218=.
知识点二科学记数法
对于一些绝对值较小的数，我们可以依照绝对值较大数的记法，用10的负整数次幂来表示.即表示成n a -⨯10，其中1≤a ＜10，n 为正整数.
注意事项：
（1）用科学记数法表示一个数时一定要注意a 的范围，即1≤a ＜10；
（2）用科学记数法表示一个纯小数时，小数点后面有n 个零，则10的指数就是)1(+-n ，如510100001.0-⨯=.
例2纳米是一种长度单位，1纳米910-=m.已知某种植物花粉的直径为43000nm ，那么用科学记数法表示这种花粉的直径为m.
分析：先把43000nm 化成n a 10⨯的形式，再运算.
解：因为1纳米910-=m ，
所以43000nm 91043000-⨯=9410103.4-⨯⨯=51034.4-⨯=.。

第四节 零指数幂与负整数指数幂要点精讲一、零指数幂同底数幂除法法根据除法的意义发现二、零指数幂的意义任何不等于零的数的零次幂都等于1． 零的零次幂无意义．三、负整数指数幂负整数指数幂的一般形式是 a^（-n ） （ a≠0，n 为正整数）四、负整数指数幂的意义规定：任何不等于零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数．六、运算性质引入负指数幂后，正整数指数幂的运算性质（①~⑤）仍然适用： （a m ）·（a n ）= a （m+n ） ①即 同底数幂相乘，底数不变，指数相加．（a m ） n = a （mn ） ②即 幂的乘方，底数不变，指数相乘．（ab ） n =（a n ）（b n ） ③即 积的乘方，将各个因式分别乘方．（a m ）÷（a n ）=a （m-n ） ④即 同底数幂相除，底数不变，指数相减．（a/b ） n =（a n ）/（b n ） ⑤即 分式乘方，将分子和分母分别乘方相关链接指数函数的一般形式为y=a x（a>0且≠1） （x ∈R ）． 它是初等函数中的一种．它是定义在实数域上的单调、下凸、无上界的可微正值函数． 典型分析 1． 计算－22+（－2）2－（－ 12）－1的正确结果是（ ）A ．2B ． －2C ．6D ．10 )0(10≠=a a 为正整数）n a a a n n ,0(1≠=-)0(05555≠==÷-a a a a a )0(155≠=÷a a a 10=a【答案】A【解析】根据负整数指数幂和有理数的乘方计算即可．原式=－4+4+2=2．故选A ．2.下列各运算中，计算正确的是【 】A. B.（－2x2y ）3= －8x5y3 C. （－5）0=0 D. a6÷a3=a2【答案】A 。

【解析】分别根据二次根式的加减法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法以及零指数幂的知识进行计算，然后判断各选项即可：AB 、（－2x2y ）3=－8x6y3，故本选项错误；C 、（－5）0=1，故本选项错误；D 、a6÷a3=a3，故本选项错误。

究竟什么是初中数学中的零指数幂与负整指数幂？。

什么是零指数幂？在数学中，零指数幂指的是任何非零数的0次幂。

也就是说，任何一个非零数的0次幂都等于1。

例如：6的0次幂等于1，3的0次幂等于1。

值得注意的是，零的0次幂是没有意义的。

那么为什么非零数的0次幂等于1呢？一般来说，幂指数的定义是将一个数字乘以自己指数次。

例如，2的3次幂是2x2x2=8。

但是当幂的指数为0时，根据这个规则，幂应该是1。

所以，我们得出结论，非零数的0次幂等于1。

虽然零指数幂看似笔直无奇，但是在数学运算中很有用。

例如，我们可以用它来消除分母中的x。

当我们想要消除分式中的x，但是分式中分子与分母没有相同的未知数时，我们就可以把x移动到分子或分母中，将分子或分母中的x变成0次幂，从而消除它。

什么是负整指数幂？负整指数幂是指给定的数的负值的指数。

比如，2的-3次幂是1/(2^3)，也就是1/8。

这里的指数是负整数，也就是基数的分母。

在数学中，一个数的负指数表示着将该数的倒数作为幂。

因此，一个负整数幂可以写成一个分数的形式。

在分数形式中，分母是基数，分子是1。

一个负整数幂是分母是这个基数的乘幂。

一个数的负整数幂可以通过计算这个数的正整数幂，然后求其倒数来获得。

例如，-2的-3次幂是-1/(2^3)。

它等于-1/8。

另一种方法是使用负数指数规则，该规则表示n的-m次幂等于1/n的m次幂。

例如，2的-3次幂是1/2的3次幂，即1/(2^3)。

负整数幂的运算规律在进行负整数幂的运算时，需要注意以下几点：1.乘幂的规则：a(m+n) = am x an其中，a、m和n为实数。

这个规律表明，将最后一个幂与另一个幂相加，然后把它们作为单个幂的指数，就相当于将这两个幂相乘。

例如，2的3次幂乘以2的-4次幂等于2的（3-4）次幂，也就是2的-1次幂，等于1/2。

2.除幂的规则：a(m-n) = am / an其中，a、m和n为实数。

这个规律表明，将最后一个幂与另一个幂相减，然后把它们作为单个幂的指数，就相当于将这两个幂相除。

第14讲：同底数幂的除法、零指数幂与负整数指数幂一、本讲知识标签同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减.零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1.负整数指数幂：a-n=n a 1( a ≠0,n 为正整数）即：任何不为零的-n （n 为正整数）次幂等于这个数n 次幂的倒数要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.二、范例分析例1.已知，求的值．【分析】利用除法与乘法的互逆关系，通过计算比较系数和相同字母的指数得到的值即可代入求值．解：由已知，得，即，，，解得，，．所以． 也可以直接做除法，然后比较系数和相同字母的指数得到的值.【变式】（1）已知，求的值． （2）已知，，求的值． （3）已知，，求的值．【答案】解：（1）由题意，知．∴ ． ∴ ，解得．a m n ，m n >()010.a a =≠312326834m n ax y x y x y ÷=(2)n m n a +-m n a 、、312326834m n ax y x y x y ÷=31268329284312m n n ax y x y x y x y +=⋅=12a =39m =2812n +=12a =3m =2n =22(2)(23212)(4)16n m n a +-=⨯+-=-=m n a 、、1227327m m -÷=m 1020a =1105b =293a b ÷23m =24n =322m n -312(3)327m m -÷=3(1)2333m m --=3323m m --=6m =（2）由已知，得，即．由已知，得．∴ ，即．∴ ∴． （3）由已知，得．由已知，得．∴ ．例2.已知2a=3,4b=6,8c=12,a 、b 、c 的关系.【分析】本题逆用幂的运算规律,同底数幂乘除的规律,巧妙地将3用2a 代替将6用22b 代换,化成2的幂,从而找出a 、b 、c 之间的关系.解:因为8c=12,所以(23)c=2×6,又因为4b=6,所以23c=2×4b=2×22b=22b+1,所以3c=2b+1因为4b=6,所以22b=2×3,又因为2a=3,所以22b=2×2a=2a+1,所以2b=a+1,所以3c-1=a+1,所以a-4b+3c=0.三、训练提高（一）选择题:1.（2015•下城区二模）下列运算正确的是（ ）A ．（a3﹣a ）÷a=a2B ．（a3）2=a5C ．a3+a2=a5D ．a3÷a3=12.化简11)(--+y x 为（ ） A 、y x +1 B 、y x 1+ C.、1+xy y D 、1+xy x 3.已知P=,那么P 、Q 的大小关系是( ) A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.无法确定（二）填空题:4. 计算.5.（2015春•成都校级月考）（﹣a6b7）÷= ． 1020a =22(10)20a =210400a =1105b =211025b =221101040025a b ÷=÷2241010a b -=224a b -=22222493333381a b a b a b -÷=÷===23m =3227m =24n =2216n =32322722216m n m n -=÷=9999909911,99Q =()()34432322396332x y x y x y x y x y xy -+÷=-+-6.若整数x 、y 、z 满足,则x=_______,y=_______,z=________.(三) 解答题:7.先化简，再求值：，其中＝－5．8.已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，12=-x ，2=y ，求22007)(y cd x b a --++ 的值.（4分）9.若2010=a ， 1510-=b ，求b a 239÷的值.10.已知,求整数x.11.阅读下列材料：关于x 的方程：121212111,;222,;333,;x c x c x x c cx c x c x x c cx c x c x x c c +=+==+=+==+=+==的解是的解是的解是 …请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程(0)m m x c m x c +=+≠与它们的关系，猜想它的解是什么？并加以验证.12.请你来计算：若1＋x ＋x2＋x3＝0，求x ＋x2＋x3＋…＋x2012的值．91016()()()28915x y x ⨯⨯=()()()23242622532a a a a a ⎡⎤⋅-÷÷-⎢⎥⎣⎦a 2(1)1x x +-=。

幂的四则运算（知识总结）一、同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘,底数不变，指数相加。

用式子表示为： n m n ma a a +=⋅(m 、n 是正整数)二、同底数幂的除法运算法则:同底数幂相除,底数不变，指数相减。

用式子表示为：nm nma a a -=÷。

(0≠a 且m 、n 是正整数，m>n 。

) 补充：零次幂及负整数次幂的运算：任何一个不等于零的数的0次幂都等于1；任何不等于零的数的p -（p 是正整数）次幂，等于这个数的p 次幂的倒数。

用式子表示为：)0(10≠=a a ，ppa a 1=-（0≠a ，p 是正整数）。

三、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘. 用式子表示为：()nm mna a =（m 、n 都是正整数） 注：把幂的乘方转化为同底数幂的乘法 练习： 1、计算：①()()()()2452232222x x x x -⋅-⋅ ②()()()32212mn m a a a a -⋅-⋅补充：同底数幂的乘法与幂的乘方性质比较：幂的运算 指数运算种类同底数幂乘法 乘法 加法 幂的乘方 乘方乘法四、积的乘方运算法则：两底数积的乘方等于各自的乘方之积。

用式子表示为：()n n nb a b a ⋅=⋅(n 是正整数)扩展p n m p n m a a a a -+=÷⋅()np mp pn mb a b a= (m 、n 、p 是正整数)提高训练 1.填空(1) (1/10)5 ×(1/10)3 = (2) (-2 x 2 y 3) 2 = (3) (-2 x 2 ) 3 = (4) 0.5 -2 =(5) (－10)2 ×(－10)0 ×10-2 = 2.选择题(1) 下列说法错误的是. A. (a －1)0 = 1 a ≠1B. (－a )n = － a n n 是奇数C. n 是偶数 , (－ a n ) 3 = a 3nD. 若a ≠0 ,p 为正整数, 则a p =1/a -p (2) [(-x ) 3 ] 2 ·[(-x ) 2 ] 3 的结果是( )A. x -10B. - x -10C. x -12D. - x -12 (3) a m = 3 , a n = 2, 则a m-n 的值是( )A. 1.5B. 6C. 9D. 8 3.计算题(1) (-1/2 ) 2 ÷(-2) 3 ÷(-2) –2 ÷(∏-2005) 0 = = (2) (-2 a ) 3 ÷a -2 = (3) 2×2m+1÷2m =(4) 已知:4m = a , 8n = b , 求: ① 22m+3n 的值.② 24m-6n 的值.。

1.3.2 零次幂和负整数指数幂【知识与技能】1.通过探索掌握零次幂和负整数指数幂的意义.2.会熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算.3.会用科学记数法表示绝对值较少的数.【过程与方法】通过探索，让学生体会到从特殊到一般是研究数学的一个重要方法.【情感态度】通过探索，让学生体会到从特殊到一般是研究数学的一个重要方法.【教学重点】零次幂和负整数指数幂的公式推导和应用，科学记数法表示绝对值较小的数.【教学难点】零次幂和负整数指数幂的理解.一、情景导入，初步认知1.同底数的幂相除的法则是什么？用式子怎样表示？用语言怎样叙述？a m÷a n=m na (a≠0,m、n是正整数，且m>n)2.这个公式中，要求m>n,如果m=n,m<n,就会出现零次幂和负指数幂，如：有没有意义？这节课我们来学习这个问题.【教学说明】通过复习让学生更好的用旧知识迁移推导出新的知识：零指数幂、负整数指数幂的计算.二、思考探究，获取新知1.探究：mmaa等于多少？【分析】根据分式的基本性质.可以得到mmaa=11·mmaa=11=1.根据同底数幂的除法，可以得到a m÷a m=11·mmaa=0a(a≠0)由此，你能得到什么结论？【归纳结论】任何不等于零的数的零次幂等于1.即：0a=1(a≠0) 【教学说明】通过引导学生进行计算，合理推导出零指数幂等于1.2.试试看：填空：3.探究：负整数指数幂的意义.（1）填空：（2）思考：2333与23÷33的意义相同吗？因此他们的结果应该有什么关系呢？【归纳结论】n a -=1na (a ≠0) 【教学说明】通过计算让学生推导出负指数幂计算公式（法则）. 3.做一做：（1）用小数表示下列各数：110-,210-,310-,410-.你发现了什么？（10n -= ）（2）用小数表示下列各数：1.08×210-,2.4×310-,3.6×410-思考：1.08×10-2,2.4×10-3,3.6×10-4这些数的表示形式有什么特点？(a ×10n (a 是只有一位整数，n 是整数))叫什么记数法？（科学记数法）当一个数的绝对值很小的时候，如：0.00036怎样用科学记数法表示呢？你能从上面问题中找到规律吗？【归纳结论】我们可以用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10-n 的形式，其中n 是正整数，1≤|a|≤10，其公式为00.0001n ⋯个=10n -.三、运用新知，深化理解 1.教材P17例3 ，P18例4、例6. 2.－2.040×510表示的原数为（ A ） A ．－204000 B ．－0.000204 C ．－204.000 D ．－20400 3.用科学记数法表示下列各数. （1）30920000 （2）0.00003092 （3）－309200 （4）－0.000003092【分析】用科学记数法表示数时，关键是确定a 和n 的值. 解：（1）30920000=3.092×710 （2）0.00003092=3.092×510- （3）－309200=－3.092×510 （4）－0.000003092=－3.092×610-6.已知9m ÷223m +=13n（），求n 的值8.把下列各式写成分式形式：2x -,32xy - 解：2x -=21x；32xy -=32x y . 9.(1）原子弹的原料——铀，每克含有2.56×2110个原子核，一个原子核裂变时能放出3.2×1110-J 的热量，那么每克铀全部裂变时能放出多少热量？（2）1块900mm 2的芯片上能集成10亿个元件，每一个这样的元件约占多少mm 2？约多少m 2？（用科学计数法表示）【分析】第（1）题直接列式计算；第（2）题要弄清m 2和mm 2之间的换算关系，即1m=1000mm=103mm，1m2=106mm2，再根据题意计算.解：（1）由题意得2.56×2110-=8.192×1010(J)10×3.2×11答：每克铀全部裂变时能放出的热量8.192×1010J.答：每一个这样的元件约占9×10-7平方毫米；约9×1310-平方米.【教学说明】通过练习，牢固掌握本节课所学知识，并能运用知识计算.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题1.3”中第2、3、4 题.1.进行有关0次幂和负整数幂的运算要注意底数一定不能为0，特别是当底数是代数式时，要使底数的整体不能为0；2.在正整数幂的基础上，我们又学习了零次幂和负整数幂的概念，使指数概念推广到整数的范围；3.对0指数幂、负整数指数幂的规定的合理性有充分理解，才能明了正整数指数幂的运算性质对整数指数幂都是适用的.11.3 单项式的乘法（2）教学目标【知识与能力】使学生能按步骤进行简单的单项式与多项式相乘的运算。

第十七章 分式§17.4 零指数幂与负整指数幂一． 知识点：1.零指数幂：任何不等于零的数的零次幂都等于1。

2.负整指数幂：任何不等于零的数的－n （n 为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.3.科学记数法：可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10－n 的形式，其中n 是正整数，1≤∣a ∣＜10.二．自主学习类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a ×10－n 的形式，其中n ．是正整数，．．．．．1．≤∣．．a ．∣＜．．10．．.．例如，0.000021可以表示成2.1×10－5.三．练习（一）基础1.计算（1）810÷810； （2）10－2； （3）（－0.1）0； （4）2－2；2.用科学记数法表示：（1）0.000 03； （2）－0.000 0064； （3）0.000 0314； （4）2013 000.3.用科学记数法填空：（1）1秒是1微秒的1000000倍，则1微秒＝_______秒；（2）1毫克＝_________千克； （3）1微米＝_________米； （4）1纳米＝_________微米；（5）1平方厘米＝_________平方米； （6）1毫升＝_________立方米.（二）巩固4.计算：（1）101)1)-+ （2）0221(()(2)2--+---（3）16÷（－2）3－（31）－1+（3－1）05.用小数表示下列各数：（1）10－4； （2）2.1×10－5.6.用小数表示下列各数：（1）－10－3×（－2） （2）（8×105）÷（－2×104）3（三）提高7.计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：（1）(a －3)2(ab 2)－3； （2）(2mn 2)－2(m －2n －1)－3.8.计算)102.3()104(36⨯⨯⨯- 2125)103()103(--⨯÷⨯。

专题1.3.2零次幂和负整数指数幂（知识讲解）【学习目标】1．了解零次幂和负整数指数幂的意义，会熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算．2．会用科学记数法表示绝对值较小的数．3．在学习过程中进一步体会从特殊到一般是数学研究的一个重要方法．【知识梳理】知识点一: 零次幂归纳：a 0＝1(a≠0)，即任何不等于零的数的零次幂都等于1．知识点二: 负整数指数幂归纳：a －n＝1a n ＝⎝⎛⎭⎫1a n (a≠0，且n 是正整数)特别地，a －1＝1a (a≠0)． 知识点三:用科学计数法表示绝对值小于1的数用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即将它们表示成a×10- n的形式，其中n 是正整数，1≤∣a ∣＜10.【典型例题】类型一、零次幂例1. 如果(n −3)n =1，则n 的值为 （ ）A.n ≥3B.n =3C.n =0D.n =0或2或4【答案】D【解析】解：−1的偶次幂，1的整数次幂，非零的数的零次幂都为1，当n −3=−1时，即n =2，(n −3)n =(2−3)2=1；当n −3=1时，即n =4，(n −3)n =(4−3)4=1；当n =0时，(n −3)n =(0−3)0=1. 综上可知， n =0或2或4.【变式1】(x 2−1)0=1成立的条件是 （ ）A.x ≠1B.x ≠−1C.x ≠1或x ≠−1D.x ≠1且 x ≠−1 【答案】D【解析】解：要使(x 2−1)0=1成立，则x 2−1≠0，∴ x 2≠1，∴ x ≠±1.【变式2】若(m +2)0=1，则 （ ）A.m ≠0B.m ≠−2C.m ≤−2D.m ≥−2 【答案】B【解析】解：∵ (m +2)0=1，∴ m +2≠0，∴ m ≠−2.例2. 若(x +2)0=1有意义，则x 的取值范围是________.【答案】x ≠−2【解析】零指数有意义时，x +2≠0，由此求得x 的取值范围．【解答】解：∵ (x +2)0=1有意义，∴ x +2≠0，解得：x ≠−2．【点评】本题考查了零指数幂有意义的条件，属于基础题.【变式1】计算：|−2|+(π−1)0=________.【答案】3【解析】解：|−2|+(π−1)0=2+1=3.【变式2】代数式(x −2)0+x x−3有意义，则实数x 的取值范围是________.【答案】x ≠2且x ≠3【解析】根据分式有意义，分母不为0；非零数的零次幂才有意义，列式解答即可．【点评】本题考查的是分式有意义和二次根式有意义的条件，掌握分式有意义，分母不为0；非零数的零次幂才有意义是解题的关键．类型二、负整数指数幂例3.已知a =(−2)0，b =(12)−1，c =(−3)−2，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A.b >a >cB.c >a >bC.a >b >cD.c >b >a【答案】A【解析】解：∵ a =(−2)0=1，b =(12)−1=2，c =(−3)−2=19，∴ b >a >c ． 【点评】本题考查了零指数幂和负整数指数幂的性质，熟记性质是解题的关键．【变式1】 5−2×10−3=( )A.2.5×10−5B.4×10−4C.5×10−5D.4×10−5【答案】D【解析】根据负整数指数幂的法则计算，即可解答.【点评】本题主要考查负整数指数幂的法则，即a−n=1a n(a≠0)【变式2】已知(x−3)(x+1)=x2−mx+n，则m n的值为()A.−8B.8C.−18D.18【答案】D【解析】利用多项式乘法化简(x−3)(x+1)，再比较系数求出m=2，n=−3，进而求解即可.【点评】本题考查多项式乘法，考查负整数指数幂的运算，属于基础题.例4.将5x−3y2写成只含有正整数指数幂的形式是：________．【答案】5y 2x3【解析】根据a−p=1a p进形变形即可．【点评】本题主要考查了负整指数幂.【变式1】计算：(x2y)−2(xy−2)2=________.（结果不含负指数幂）【答案】1x2y6【解析】根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．【点评】本题考查的是负整数指数幂，即负整数指数幂等于所对应的正整数指数幂的倒数．【变式2】式子①(−2)−2=−14；②a2÷a3=1a；③3a−2=13a2；④7.02×10−4=0.0000702．其中正确的式子有________（填序号）【答案】②【解析】结合负整数指数幂以及同底数幂的除法，进行判断求解即可．【点评】本题主要考查了负整数指数幂和同底数幂的除法，解答本题的关键在于熟练掌握各知识点的概念和运算法则．例5.计算：(1)−12020+|−7|−(2021−5.28)0−(−2)−2；【解析】(1)根据非0数的0次幂是1，负指数次幂等于正指数的倒数来求解；【解答】解：(1)−12020+|−7|−(2021−5.28)0−(−2)−2=−1+7−1−14=434.【点评】注意：非0数的0次幂是1，负指数次幂等于正指数的倒数．【变式1】计算：|−2|−(−2)3×(14−12)+(−13)−1−(π−3)0.解：原式=2−(−8)×(−14)−3−1=2−2−3−1=−4.【变式2】计算：(−13)−2+4×(−1)2019−|−23|+(π−5)0.【解析】根据零指数幂的意义以及负整数指数幂的意义即可求出答案．【点评】本题考查实数运算，解题的关键是正确理解负整数幂的意义以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．类型三、用科学计数法表示绝对值小于1的数例6.2020年我国部分省份发生了猪瘟疫情，经科学家检测猪瘟病毒的直径是0.000000042米，将0.000000042用科学计数法表示为()A.4.2×10−9B.4.2×10−8C.0.42×10−8D.42×10−9【答案】B【解析】解：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．0.000000042=4.2×10−8.【点评】此题考查科学记数法—表示较小的数，难度不大【变式1】2015年4月，生物学家发现一种病毒的长度约为0.0000043米，利用科学记数法表示为() A.4.3×106米 B.4.3×10−5米 C.4.3×10−6米 D.43×107米【答案】C【解析】绝对值小于1的正数可以用科学记数法的表示，一般形式为a×10−n的形式．其中1≤|a|<10−n=原数左边第一个不为0的数字前面的0的个数的相反数．【变式2】某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns)，已知1纳秒＝0.000000001秒，该计算机完成15次基本运算，所用时间用科学记数法表示为()A.1.5×10−9秒B.15×10−9秒C.1.5×10−8秒D.15×10−8秒【答案】C【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．例7.钟南山院士表示，从全球视角来看，新冠肺炎与人类的长期共存将成为可能，我们切不可掉以轻心，要做好日常防护．导致新冠肺炎病毒的平均直径约为0.00000098m．这个数用科学记数法表示为________m．【答案】9.8×10−7【解析】解：科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式（1≤a<10，n为整数），所以0.00000098m=9.8×10−7m.【变式1】0.000909用科学记数法表示为：________.【答案】9.09×10−4【解析】解：0.000909=9.09×10−4.【变式2】新型冠状病毒在2020年1月12日被世界卫生组织命名为2019−nCoV，冠状病毒直径大约80−140纳米，1纳米=10−9米，将80纳米用科学记数法表示为________米．【答案】8×10−8【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【点评】此题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．。

初中数学知识点详解：零指数幂与负整指数幂零指数幂与负整指数幂在初中数学教育中，零指数幂和负整指数幂是非常重要的概念。

在这篇文章中，我们将深入探讨这两个概念的定义、性质和运用，希望能够帮助初中学生更好地掌握这些知识点。

一、零指数的定义与性质1.定义在数学中，零指数幂是指任何数的0次幂，即a^0=1。

其中，a是任何实数。

这个定义可以简单地表示为：任何数的0次幂等于1。

这意味着，无论a是什么数，a^0都等于1。

例如：2^0 = 15^0 = 1(-3)^0 = 12.性质零指数幂有一些非常有用的性质，这些性质在数学中经常被使用。

任何数的1次幂等于该数本身，即a^1=a。

这是由指数幂的定义可以得知的。

任何数的负整数次幂等于该数的倒数的该数幂次方，即a^(-n)=1/a^n。

其中，n为正整数，a不等于0。

例如：2^(-3) = 1/2^3 = 1/85^(-2) = 1/5^2 = 1/25(-3)^(-4) = 1/(-3)^4 = 1/81除此之外，零的0次幂是一个未定义的运算，因为0^0没有数学上的意义。

二、负整指数幂的定义与性质1.定义在数学中，负整指数幂是指一个实数的指数为负整数n的幂，即a^(-n)。

这个定义可以看作是指数幂的倒数。

由于指数为负数，因此需要对指数幂做出一定的特殊定义。

2.性质负整指数幂也有一些非常有用的性质，这些性质同样在数学中经常被应用。

任何数的负整数幂等于该数的倒数的该数幂次方，即a^(-n)=1/a^n。

其中，n为正整数，a不等于0。

例如：2^(-3) = 1/2^3 = 1/85^(-2) = 1/5^2 = 1/25(-3)^(-4) = 1/(-3)^4 = 1/81任何数的负幂次方都可以写成分数的形式，即a^(-n)=1/a^n=a^(1/n)/a。

例如：3^(-2) = 1/3^2 = 1/9 = 3^(1/2)/34^(-3) = 1/4^3 = 1/64 = 4^(1/3)/4这种形式的转化对于问题的计算和解决非常有用。

《零次幂和负整数指数幂》学习任务单一、学习目标1、理解零次幂和负整数指数幂的概念。

2、掌握零次幂和负整数指数幂的运算法则。

3、能够运用零次幂和负整数指数幂的知识进行简单的计算和化简。

二、学习重难点1、重点（1）零次幂的定义及计算。

（2）负整数指数幂的定义和运算法则。

2、难点（1）对零次幂和负整数指数幂定义的理解。

（2）负整数指数幂在计算中的符号处理。

三、知识讲解1、零次幂任何非零数的零次幂都等于 1，即 a^0 ＝ 1（a ≠ 0）。

为什么呢？我们可以这样想：假设 a^m ÷ a^m （a ≠ 0，m 为正整数），根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减，得到 a^（mm) ＝ a^0。

而 a^m ÷ a^m ＝ 1，所以 a^0 ＝ 1 。

但要注意，0 的 0 次幂没有意义。

2、负整数指数幂当 n 是正整数时，a^（n) ＝ 1 ／ a^n （a ≠ 0）。

例如，2^（－3) ＝ 1 ／ 2^3 ＝ 1 ／ 8 。

同样，我们可以通过同底数幂的除法来理解：a^m ÷ a^（m ＋ n) （a ≠ 0，m、n 为正整数），得到 a^（m （m ＋ n)）＝ a^（n) ，而a^m ÷ a^（m ＋ n) ＝ 1 ／ a^n ，所以 a^（n) ＝ 1 ／ a^n 。

四、例题解析例 1：计算（1）5^0（2）（－3)＾0（3）（π 314)＾0解：（1）因为5 ≠ 0 ，所以 5^0 ＝ 1 。

（2）因为－3 ≠ 0 ，所以（－3)＾0 ＝ 1 。

（3）因为π 314 ≠ 0 ，所以（π 314)＾0 ＝ 1 。

例 2：计算（1）2^（－2)（2）（1/3)＾（－3)解：（1）2^（－2) ＝ 1 ／ 2^2 ＝ 1 ／ 4 。

（2）（1/3)＾（－3) ＝ 1 ／（1/3)＾3 ＝ 1 ／（1/27) ＝ 27 。

例 3：化简（1）a^5 ÷ a^7（2）（x^2 y)＾（－3)解：（1）a^5 ÷ a^7 ＝ a^（5 7) ＝ a^（－2) ＝ 1 ／ a^2 。