网络流最大流算法

最大流问题的求解方法及应用
最大流问题，是指在一个有向图中，从源点 s 到汇点 t 的最大
流量。

在实际应用中，最大流问题往往用于描述网络传输、油管输送等流量分配问题。

求解最大流问题的方法包括以下几种：
1. 网络流算法：这是一种基于图论和线性规划的算法。

通过构建网络流图，将最大流问题转化为最小割问题，再利用线性规划求解最小割问题的对偶问题来求解最大流问题。

2. 增广路算法：这是一种经典的最大流算法，其基本思想是不断找到增广路径，即从源点 s 到汇点 t 的一条路径，沿途边权
均有剩余容量，使得该路径上的边的剩余容量中的最小值最大化，最终得到最大流。

3. 矩阵树定理：这是一种基于图论和矩阵运算的算法，适用于有向图和无向图。

通过计算图的拉普拉斯矩阵的行列式等方法，求得图的生成树个数，从而计算最大流。

4. Dinic算法：是对增广路算法的改进。

在增广路算法中，每
次查找增广路径的过程需要遍历整个图，为了提高效率，
Dinic算法引入了分层图的概念，将图分层之后只在图的一层
中查找增广路径，最终求得最大流。

这些方法在实际应用中常常被用来解决路由选择、网络流量优化、模拟电路分析等问题。

例如，最大流可以被用来优化数据传输、流水线设计、流量管道的运营和管理，提高资源利用率和数据传输速度。

⽹络流⼊门--最⼤流算法Dicnic算法感谢WHD的⼤⼒⽀持最早知道⽹络流的内容便是最⼤流问题，最⼤流问题很好理解：解释⼀定要通俗!如右图所⽰,有⼀个管道系统,节点{1,2,3,4},有向管道{A,B,C,D,E},即有向图⼀张. [1]是源点,有⽆限的⽔量,[4]是汇点,管道容量如图所⽰.试问[4]点最⼤可接收的⽔的流量?这便是简单的最⼤流问题,显然[4]点的最⼤流量为50死理性派请注意:流量是单位时间内的,总可以了吧!然⽽对于复杂图的最⼤流⽅法是什么呢,有EK,Dinic,SAP,etc.下⾯介绍Dinic算法()Dinic 算法Dinic算法的基本思路:1. 根据残量⽹络计算层次图。

2. 在层次图中使⽤DFS进⾏增⼴直到不存在增⼴路3. 重复以上步骤直到⽆法增⼴引⾃,相当简单是吧…⼩贴⼠:⼀般情况下在Dinic算法中,我们只记录某⼀边的剩余流量.残量⽹络:包含反向弧的有向图,Dinic要循环的,每次修改过的图都是残量⽹络,层次图:分层图,以[从原点到某点的最短距离]分层的图,距离相等的为⼀层,(⽐如上图的分层为{1},{2,4},{3})DFS:这个就不⽤说了吧…增⼴ :在现有流量基础上发现新的路径,扩⼤发现的最⼤流量(注意:增加量不⼀定是这条路径的流量,⽽是新的流量与上次流量之差)增⼴路:在现有流量基础上发现的新路径.(快来找茬,和上⼀条有何不同?)剩余流量:当⼀条边被增⼴之后(即它是增⼴路的⼀部分,或者说增⼴路通过这条边),这条边还能通过的流量.反向弧:我们在Dinic算法中,对于⼀条有向边,我们需要建⽴另⼀条反向边(弧),当正向(输⼊数据)边剩余流量减少I时,反向弧剩余流量增加I Comzyh的较详细解释(流程) :⽤BFS建⽴分层图注意:分层图是以当前图为基础建⽴的,所以要重复建⽴分层图⽤DFS的⽅法寻找⼀条由源点到汇点的路径,获得这条路径的流量I 根据这条路径修改整个图,将所经之处正向边流量减少I,反向边流量增加I,注意I是⾮负数重复步骤2,直到DFS找不到新的路径时,重复步骤1注意(可以⽆视):Dinic(其实其他的好多)算法中寻找到增⼴路后要将反向边增加IDinic中DFS时只在分层图中DFS，意思是说DFS的下⼀个节点的Dis(距源点的距离)要⽐⾃⼰的Dis⼤1,例如在图1中第⼀个次DFS中,1->2->4这条路径是不合法的,因为Dis[2]=1;Dis[4]=1;步骤2中“获得这条路径的流量I “实现:DFS函数有参量low,代表从源点到现在最窄的(剩余流量最⼩)的边的剩余流量,当DFS到汇点是,Low便是我们要的流量I对于反向弧(反向边)的理解:这⼀段不理解也不是不可以,对于会写算法没什么帮助,如果你着急,直接⽆视即可.先举⼀个例⼦(如右图):必须使⽤反向弧的流⽹络在这幅图中我们⾸先要增⼴1->2->4->6,这时可以获得⼀个容量为2的流,但是如果不建⽴4->2反向弧的话,则⽆法进⼀步增⼴,最终答案为2,显然是不对的,然⽽如果建⽴了反向弧4->2,则第⼆次能进⾏1->3->4->2->5->6的增⼴,最⼤流为3.Comzyh对反向弧的理解可以说是”偷梁换柱“,请仔细阅读:在上⾯的例⼦中,我们可以看出,最终结果是1->2->5->6和1->2->4->6和1->3->4->6.当增⼴完1->2->4->5(代号A)后,在增⼴1->3->4->2->5->6(代号B),相当于将经过节点2的A流从中截流1(总共是2)⾛2->5>6,⽽不⾛2->4>6了,同时B 流也从节点4截流出1(总共是1)⾛4->6⽽不是4->2->5->6,相当于AB流做加法.简单的说反向弧为今后提供反悔的机会,让前⾯不⾛这条路⽽⾛别的路.Alwa同学⾮要我给他的⽂章加⼀个链接,⼤家可以看看他的⽂章:。

网络最大流的算法网络最大流的算法分类：一、Ford-Fulkerson增广路方法1、Ford-Fulkerson标号算法（最简单的实现）分别记录这一轮扩展过程中的每个点的前驱与到该节点的增广最大流量，从源点开始扩展，每次选择一个点（必须保证已经扩展到这个点），检查与它连接的所有边，并进行扩展，直到扩展到t。

2、最大容量增广路算法每次找一条容量最大的增广路来增广，找的过程类似Dijkstra，实现起来相当简单。

3、Edmonds-Karp，最短路增广算法的BFS实现每次找一条最短的增广路，BFS是一个可以很方便的实现思想。

4、距离标号算法最短路增广的O(n)寻找实现，使用距离函数d：d[t]=0;d<=d[j]+1若存在(i,j)∈E；只有路径上满足d=d[i+1]+1的增广路才为满足要求的，一开始我们初始化使标号恰好满足要求，之后不断更改标号使其可以使增广继续。

5、Dinic，分层思想对网络分层（按照距t的距离），保留相邻层之间的边，然后运用一次类似于距离标号的方法（其实质是DFS）进行增广。

二、预留与推进算法1、一般性算法随便找个点，要么将他的盈余推出去，要么对他进行重标记，直至无活跃点为止。

2、重标记与前移算法维护一个队列，对一个点不断进行推进与重标记操作，直至其盈余为0，若过程中他没有被重标记过，则可出列，否则加入队头，继续等待检查。

3、最高标号预留与推进算法记录d值，然后优先处理d值较高的，直至没有盈余。

网络最大流的算法实现一、Edmonds-Karp（EK）算法就是用广度优先搜索来实现Ford-Fulkerson方法中对增广路径的计算，时间复杂度为O(VE2)，Shortest Augmenting Path (SAP) 是每次寻找最短增广路的一类算法，Edmonds - Karp 算法以及后来著名的Dinic 算法都属于此。

SAP 类算法可统一描述如下：Shortest Augmenting Path{ x <-- 0while 在残量网络Gx 中存在增广路s ~> t do{ 找一条最短的增广路径Pdelta <-- min{rij:(i,j) 属于P}沿P 增广delta 大小的流量更新残量网络Gx}return x}在无权边的有向图中寻找最短路，最简单的方法就是广度优先搜索(BFS)，E-K 算法就直接来源于此。

⽹络流学习笔记-最⼤流问题的四种算法最⼤流问题最⼤流问题满⾜以下三个条件：容量限制：f(u,v)≤c(u,v)斜对称性：f(u,v)=−f(v,u)流量平衡：∑(u,v)∈E f(u,v)=0（除s,t外的图中任意两点）原图中不存在的边也假设存在，视为容量为0.残量⽹络：计算出每条边上容量c与流量f之差后所得到的图。

由于上述的原因，边数可能是原图的两倍。

对于原图中⼀条c=16,f=11的单向边，在残量⽹络中对应边权为5(16−11)与11(0−(−11))的两条边。

增⼴路算法当且仅当残量⽹络中不存在s→t的有向道路（增⼴路）时，此时的流是从s到t的最⼤流。

Edmonds-Karp算法核⼼流程对图进⾏BFS，直到形成s−>t的通路（即当找到t时），同时维护这条通路上的最⼩残量minflow=e[i].cap−e[i].flow，并保存通路上每⼀个节点的⼊边。

只要能到达t，这条通路就是增⼴路，否则图中已经没有增⼴路。

形成通路之后，按照先前保留的各节点的⼊边，从终点t开始沿着通路倒退回去，并更新路上每⼀条边的正向边的流量e[i].flow与反向边的流量e[i^1].flow。

整条通路的流量更新完毕后，更新答案maxflow。

重复以上步骤，直到图中没有增⼴路。

优化⽅法重边处理。

即将正向边u→v的多条管道合并为⼀条，只需将cap属性累加即可。

⽽反向边不需要特殊处理。

（链式前向星+重边处理）int n, m, s, t;int num = 1;//让边的编号从2开始int head[maxn], pre[maxn];LL flow = 0;LL d[maxn];int flag[300][300];//记录重边，重边的容量累加到⼀条边上struct Edge {int next, to;LL cap;LL flow;}e[maxn*4];void addedge(int from,int to,LL cap){//存正向边num++;e[num].next = head[from];e[num].to = to;e[num].cap = cap;e[num].flow = 0;head[from] = num;//存反向边num++;e[num].next = head[to];e[num].to = from;e[num].cap = 0;e[num].flow = 0;head[to] = num;}void update() {//从终点开始退回去，沿路修改边权//通路的最⼩值m即d[t]for (int x = t; x != s; x = e[pre[x]^1].to) {e[pre[x]].flow += d[t];e[pre[x] ^ 1].flow -= d[t];}flow += d[t];}void ek(int s, int t) {for (;;) {mem(d, 0);//d[i]记录s->i路径上的最⼩残量//由于总是正数，可以同时起到记录是否访问过的作⽤queue<int> q;q.push(s);d[s] = INF;while (q.size()) {int u = q.front(); q.pop();for (int i = head[u]; i; i = e[i].next) {if (!d[e[i].to] && e[i].cap > e[i].flow) {pre[e[i].to] = i;//记录e[[i].to是从哪条边过来的d[e[i].to] = min(d[u], e[i].cap - e[i].flow);q.push(e[i].to);}}if (d[t]) break;//已经访问过t，可以跳出了}if (!d[t]) break;//整张图找遍依然到达不了t,说明已经没有增⼴路了update();}}int main() {cin >> n >> m >> s >> t;mem(flag, 0);f(i, 1, m) {int u, v, w;cin >> u >> v >> w;if (!flag[u][v]) {addedge(u, v, w);flag[u][v] = num - 1;//num是v->u的编号//num-1才是u->v的编号}else e[flag[u][v]].cap += w;//如果是重边，容量加到已存在的那条边上}ek(s,t);cout << flow;return 0;}Dinic算法EK算法中，每⼀次BFS都只能找到⼀条增⼴路，效率不⾼。

网络流算法的实现与应用网络流算法是图论中的一类重要算法，通过对网络中流的分配与调度来解决相关问题。

本文将探讨网络流算法的实现原理与应用场景。

一、网络流算法概述网络流算法主要处理的是“网络流”问题，即在一个图论模型中，寻找一种边的流动方式，使得源点到汇点的流量最大化或者达到某种要求。

常见的网络流算法包括最大流算法、最小割算法和最大权闭合子图算法等。

二、网络流算法的实现1. 最大流算法最大流算法旨在寻找网络中从源点到汇点的最大流量。

其中，最常用的算法是Edmonds-Karp算法，它是基于BFS（广度优先搜索）的增广路径寻找。

在实现过程中，可以使用图的邻接矩阵或邻接表来表示网络，利用算法的迭代思想不断寻找增广路径，并同时更新网络中的流量与残余容量，直到无法找到增广路径为止。

2. 最小割算法最小割算法用于求解网络中的最小割问题，即将网络分割为两个部分，使得切开的边的权值之和最小。

其中，Ford-Fulkerson算法是经典的最小割算法之一。

在实现过程中，可以通过DFS（深度优先搜索）或BFS寻找增广路径，并不断更新割与割集，直到最小割的权值无法再减小。

3. 最大权闭合子图算法最大权闭合子图算法用于求解有向图中的最大权闭合子图问题，其中闭合子图是指若干个节点的集合，对于任意一对节点u和v，如果存在一条从u到v的有向边，则u必定属于闭合子图中。

在实现过程中，可以使用Bellman-Ford算法来寻找最短路径，并通过路径上的正权重进行子图的扩展，最终得到最大权闭合子图。

三、网络流算法的应用网络流算法具有广泛的应用场景，以下介绍几个常见的应用领域：1. 传输网络规划网络流算法可以用于解决最大流问题，从而优化传输网络的规划。

例如，在通信网络中，可以通过最大流算法来确定最大传输容量，从而提高网络的传输效率。

2. 作业调度网络流算法可以用于解决作业调度问题，例如在工业生产中，通过最大流算法来确定最大的作业处理能力，从而提高生产效率。

⽹络流（⼆）最⼤流的增⼴路算法传送门：⽹络流的相关定义：源点：有n个点，有m条有向边，有⼀个点很特殊，只出不进，叫做源点。

汇点：另⼀个点也很特殊，只进不出，叫做汇点。

容量和流量：每条有向边上有两个量，容量和流量，从i到j的容量通常⽤c[i,j]表⽰,流量则通常是f[i,j].通常可以把这些边想象成道路，流量就是这条道路的车流量，容量就是道路可承受的最⼤的车流量。

很显然的，流量<=容量。

⽽对于每个不是源点和汇点的点来说，可以类⽐的想象成没有存储功能的货物的中转站，所有“进⼊”他们的流量和等于所有从他本⾝“出去”的流量。

最⼤流：把源点⽐作⼯⼚的话，问题就是求从⼯⼚最⼤可以发出多少货物，是不⾄于超过道路的容量限制，也就是，最⼤流。

求解思路：⾸先，假如所有边上的流量都没有超过容量(不⼤于容量)，那么就把这⼀组流量，或者说，这个流，称为⼀个可⾏流。

⼀个最简单的例⼦就是，零流，即所有的流量都是0的流。

(1).我们就从这个零流开始考虑，假如有这么⼀条路，这条路从源点开始⼀直⼀段⼀段的连到了汇点，并且，这条路上的每⼀段都满⾜流量<容量，注意，是严格的<,⽽不是<=。

(2).那么，我们⼀定能找到这条路上的每⼀段的(容量-流量)的值当中的最⼩值delta。

我们把这条路上每⼀段的流量都加上这个delta，⼀定可以保证这个流依然是可⾏流，这是显然的。

(3).这样我们就得到了⼀个更⼤的流，他的流量是之前的流量+delta，⽽这条路就叫做增⼴路。

我们不断地从起点开始寻找增⼴路，每次都对其进⾏增⼴，直到源点和汇点不连通，也就是找不到增⼴路为⽌。

(4).当找不到增⼴路的时候，当前的流量就是最⼤流，这个结论⾮常重要。

补充：(1).寻找增⼴路的时候我们可以简单的从源点开始做BFS，并不断修改这条路上的delta 量，直到找到源点或者找不到增⼴路。

(2).在程序实现的时候，我们通常只是⽤⼀个c 数组来记录容量，⽽不记录流量，当流量+delta 的时候，我们可以通过容量-delta 来实现，以⽅便程序的实现。

图论中的网络流最大流算法网络流最大流算法是图论中的重要算法之一，用于在一个网络中找到从源节点到汇节点的最大流量。

通过这个算法，可以解决很多实际问题，如网络传输、货物调度等。

本文将介绍网络流最大流算法的原理、应用场景以及具体实现方法。

一、算法原理网络流最大流算法基于图论中的流网络模型，它将待解决的问题建模成一个有向图，图中的节点表示网络中的顶点，边表示两个顶点之间的连接，并且每条边上有一个权值，代表该边的流量上限。

该模型中包括一个源节点和一个汇节点，算法的目标是找到一条从源节点到汇节点的路径，使得沿着这条路径的流量最大。

算法的基本思想是不断地寻找增广路径，并通过增加流量来提高路径的流量。

具体实现中，可以使用深度优先搜索或广度优先搜索来查找增广路径。

每次找到增广路径后，算法就会在路径上增加流量，并更新网络的容量。

通过不断寻找增广路径并增加流量，最终得到的流量即为网络的最大流。

二、应用场景网络流最大流算法可以解决很多实际问题，以下是几个常见的应用场景：1. 网络传输：在计算机网络中，经常需要确定网络中的最大可承载流量，以保证网络的正常运行。

网络流最大流算法可以帮助我们找到网络中数据传输的最大流量，并优化网络的传输效率。

2. 货物调度：在仓储物流管理中，需要确定货物从供应商到销售点的最佳路径，并保证货物的流动效率。

网络流最大流算法可以用来确定货物流动的最大流量，并提供最优的货物调度方案。

3. 交通规划：在城市交通规划中，需要确定交通网络中路段的最大容量，以保证道路的通行能力。

网络流最大流算法可以应用于交通规划中，帮助我们找到道路的最大容量，并优化交通流动。

三、具体实现方法网络流最大流算法有多种具体实现方法，其中最经典的算法是Ford-Fulkerson算法。

Ford-Fulkerson算法的基本思想是不断地寻找增广路径，并通过增加流量提高路径的流量。

算法的具体步骤如下：1. 初始化网络流为0。

2. 使用深度优先搜索或广度优先搜索找到一条增广路径。

最大流算法解决最小割问题及网络流问题最大流算法（maximum flow algorithm）是解决网络流问题的一种常用方法。

网络流问题是指在一个有向图中，每条边都有一个容量限制，要求在源点和汇点之间找到一条路径，使得路径上每条边的流量都不超过其容量限制，同时保证从源点流出的总流量最大。

最小割问题（minimum cut problem）是网络流问题的一个相关概念。

在一个有向图中，边上的容量表示其最大流量限制，我们需要找到一条割（cut），将图分为两个部分，并使得割的容量最小。

割的容量是指割中每条边的容量之和。

最大流算法可以解决最小割问题。

常用的最大流算法包括Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。

Ford-Fulkerson算法是一种经典的最大流算法。

它通过不断寻找增广路径来更新流的值，直到无法找到增广路径为止。

增广路径是一条从源点到汇点的路径，其上每条边的剩余容量都大于0，并且路径上的流量不超过容量限制。

Edmonds-Karp算法是基于Ford-Fulkerson算法的一种优化方法。

它使用广度优先搜索（BFS）来寻找增广路径，可以保证在每次寻找增广路径时更新的流量最小。

最大流算法的应用非常广泛。

例如，可以使用最大流算法来优化交通流量，解决作业分配问题，以及在计算机网络中进行路由和流量控制等。

总结起来，最大流算法是解决最小割问题和网络流问题的一种常用方法。

通过寻找增广路径来更新流的值，最大流算法可以在保证路径上每条边的流量不超过容量限制的前提下，使得从源点流出的总流量最大化。

⽹络流（最⼤流-Dinic算法）⽹络流定义　 在图论中，⽹络流（Network flow）是指在⼀个每条边都有容量（Capacity）的有向图分配流，使⼀条边的流量不会超过它的容量。

通常在运筹学中，有向图称为⽹络。

顶点称为节点（Node）⽽边称为弧（Arc）。

⼀道流必须匹配⼀个结点的进出的流量相同的限制，除⾮这是⼀个源点（Source）──有较多向外的流，或是⼀个汇点（Sink）──有较多向内的流。

⼀个⽹络可以⽤来模拟道路系统的交通量、管中的液体、电路中的电流或类似⼀些东西在⼀个结点的⽹络中游动的任何事物。

————维基百科　最⼤流 正如可以通过将道路交通图模型化为有向图来找到从⼀个城市到另⼀个城市之间的最短路径，我们也可以将⼀个有向图看做是⼀个“流⽹络”并使⽤它来回答关于物料流动⽅⾯的问题。

设想⼀种物料从产⽣它的源结点经过⼀个系统，流向消耗该物料的汇点这样⼀个过程。

源结点以某种稳定的速率⽣成物料，汇点则以同样的速率消耗物料。

从直观上看，物料在系统中任何⼀个点上的“流量”就是物料移动的速率。

这种流⽹络可以⽤来建模很多实际问题，包括液体在管道中的流动、装配线上部件的流动、电⽹中电流的流动和通信⽹络中信息的流动。

我们可以把流⽹络中每条有向边看做是物料的⼀个流通通道。

每条通道有限定的容量，是物料流经该通道时的最⼤速率，如⼀条管道每⼩时可以流过200加仑的液体。

流⽹络中的结点则是通道的连接点。

除了源结点和终结点外，物料在其他结点上只是流过，并不积累或聚集。

换句话说，物料进⼊⼀个结点速率必须与其离开该结点的速率相等。

这个性质称为“流量守恒”，这⾥的流量守恒与Kirchhoff电流定律等价。

在最⼤流问题中，我们希望在不违反任何容量限制的情况下，计算出从源结点运送物料到汇点的最⼤速率。

这是与流⽹络有关的所有问题中最简单的问题之⼀().，这个问题可以由⾼效的算法解决。

⽽且，最⼤流算法中的⼀些基本技巧可以⽤来解决其他⽹络流问题。

三种⽹络流（最⼤流）的实现算法讲解与代码[洛⾕P3376题解]⽹络流（最⼤流）的实现算法讲解与代码定义对于给定的⼀个⽹络，有向图中每个的边权表⽰可以通过的最⼤流量。

假设出发点S⽔流⽆限⼤，求⽔流到终点T后的最⼤流量。

起点我们⼀般称为源点，终点⼀般称为汇点内容前置1.增⼴路在⼀个⽹络从源点S到汇点T的⼀条各边剩余流量都⼤于0(还能让⽔流通过,没有堵住)的⼀条路。

2.分层预处理出源点到每个点的距离(每次寻找增⼴路都要,因为以前原本能⾛的路可能因为⽔灌满了,导致不能⾛了).作⽤是保证只往更远的地⽅放⽔,避免兜圈⼦或者是没事就⾛回头路(正所谓⼈往⾼处⾛⽔往低处流).3.当前弧优化每次增⼴⼀条路后可以看做“榨⼲”了这条路，既然榨⼲了就没有再增⼴的可能了。

但如果每次都扫描这些“枯萎的”边是很浪费时间的。

那我们就记录⼀下“榨取”到那条边了，然后下⼀次直接从这条边开始增⼴，就可以节省⼤量的时间。

这就是当前弧优化具体怎么实现呢，先把链式前向星的head数组复制⼀份，存进cur数组，然后在cur数组中每次记录“榨取”到哪条边了。

[#3 引⽤⾃]()解决算法Ford-Fulkerson 算法(以下简称FF算法)FF算法的核⼼是找增⼴路,直到找不到为⽌。

(就是⼀个搜索，⽤尽可能多的⽔流填充每⼀个点，直到没有⽔⽤来填充，或者没有多余的节点让⽔流出去)。

但是这样的⽅法有点基于贪⼼的算法，找到反例是显⽽易见的，不⼀定可以得到正解。

为了解决这种问题，我们需要⼀个可以吃后悔药的⽅法——加反向边。

原本我们的DFS是⼀条路⾛到⿊的，现在我们每次进⼊⼀个节点，把⽔流送进去，同时建⽴⼀个权值与我们送⼊的⽔流量相等，但是⽅向相反的路（挖⼀条路让⽔流能够反向流回来，相当于给⽔流吃⼀颗后悔药）。

我们给了FF算法⼀颗后悔药之后就可以让他能够找到正确的最⼤流。

Ford-Fulkerson算法的复杂度为O(e×f) ,其中 e 为边数, f为最⼤流上代码。

最大流问题算法最大流问题算法介绍最大流问题是在网络流中的一个重要问题，它是指在一个有向图中，给定一个源点和汇点，每条边都有一个容量上限，求从源点到汇点的最大流量。

最大流问题有很多应用，如交通网络、电力系统、通信网络等。

本文将介绍最大流问题的算法。

Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早提出的解决最大流问题的方法之一。

该算法通过不断地增广路径来寻找增广路，并更新残留网络中的边权值。

具体步骤如下：1. 初始化残留网络：对于原图G(V, E)，构造残留网络Gf(V, Ef)，其中Ef包含所有满足c(u, v)>0或f(u, v)>0的(u, v)。

2. 寻找增广路：在残留网络中寻找从源点s到汇点t的增广路。

3. 更新残留网络：根据增广路更新残留网络中的边权值。

4. 重复步骤2和3直到不存在增广路为止。

该算法存在多种实现方式，如DFS、BFS等。

Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的一种特殊实现方式，使用BFS来寻找增广路。

该算法的时间复杂度为O(VE^2)，其中V和E分别为原图G(V, E)的顶点数和边数。

Dinic算法Dinic算法是一种基于分层图的最大流算法，它通过构造分层图来寻找增广路。

该算法的时间复杂度为O(V^2E)，其中V和E分别为原图G(V, E)的顶点数和边数。

Push-Relabel算法Push-Relabel算法是一种基于预流推进的最大流算法，它通过不断地调整节点之间的流量来求解最大流。

该算法存在多种实现方式，如FIFO、HL等。

其中HL算法是一种比较优秀的实现方式，它将节点按照高度进行划分，并使用桶来管理节点。

总结以上介绍了最大流问题的四种常见算法：Ford-Fulkerson、Edmonds-Karp、Dinic和Push-Relabel。

这些算法各有优缺点，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的算法。

By ----Kash最近在在学习网络流，但是网上的网络流资料比较分散，所以总结一下，希望为大家带来帮助网络流定义：流网络G（V,E）是一个V有向图，其中S为源点，T为汇点。

定义：C(u,v)为u到v的容量,其中对于每条边（u,v）∈E,有C（u,v）≥0。

否则C(u,v)=0。

定义：f(u,v)为u到v的流量,对所有u,v∈V, 有f(u,v)≤c(u,v)。

∑f(u,v)称作网络的流,记作f(S,T) 定义：max(∑f(u,v))=max(f(S,T))为网络的最大流量。

记住|f(s,t)|残留网络定义：Cf(u,v)为u到v的残留容量, Cf(u,v)=C(u,v)-f(u,v)。

定义：残留网络Ef={(u,v)∈VXV,Cf(u,v)}石油残留边组成的网络。

定义：增广路径是起点为S，终点为T的一组边集，其中Cf(p)=min{cf(u,v)：(u,v)∈p}称为增广路径的容量。

最大流最小割定义：割(S,T)将网络分成两部分，割得流等于∑c(u,v) ,(u∈S,v∈T) 记作c(S,T)。

明显f(S,T)≤c(S,T)，我们以后用c(S,T) 表达最小割。

定理：若残留网络中不存在增广路，则当前流为最大流定理：最大流等于最小割证明：假设残留图Gf不存在增广路径，根据以下规则划分两个点集合S={v∈V:Gf 存在从s到v的路径}T={v∈V:v∉S}因为Gf不存在增广路，所以t ∉ S, 对顶点u,v, 若u∈S，f(u,v)=c(u,v)，则v属于T，否则v属于 S，此时 f(S,T)=C(S,T)，f(S,T)<=C(S,T) 所以f(S,T)为最大流，此时残留图中无增广路Ford-Fulkerson方法Ford-Fulkerson方法每次在残留图中寻找增广路，直到图中没有增广路结束。

伪代码：Memset(f,0,sizeof(f));While(exist path from s to t){Cf=min{cf(u,v): (u,v)in p}For(each (u,v) in p )F[u,v]+=cf;F[v,u]-=cf;}Ford-Fulkerson方法中寻找增广路可用BFS,或者DFS完成，其中DFS完成的算法效率低下。

图论中的网络流最大流算法网络流最大流算法是图论中的重要算法之一，用于求解网络中最大的流量。

在许多实际应用中，如交通流量优化、电力系统规划和通信网络传输等领域，网络流最大流算法都具有重要的应用价值。

一、问题描述在介绍网络流最大流算法之前，首先要明确问题的具体描述。

假设有一个有向图G=(V, E)，其中V表示顶点的集合，E表示边的集合。

每条边(u, v)∈E都有一个非负容量c(u, v)表示从u到v的最大流量上限。

而源点s和汇点t分别表示网络中的起始点和终点。

网络流最大流算法的目标就是在该有向图中找到从源点s到汇点t的最大流量。

二、Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早提出的网络流最大流算法之一，它基于不断地寻找增广路径来不断增加流量。

具体步骤如下：1. 初始化流量：将所有边的流量设置为0。

2. 寻找增广路径：在残余图中，利用广度优先搜索或深度优先搜索找到一条从源点s到汇点t的路径。

如果找不到增广路径，则跳至步骤4。

3. 更新流量：通过增加路径上的最小容量，更新每条边的流量。

4. 输出最大流量：计算网络中所有从源点s出发的边的流量之和，即为最大流量。

Ford-Fulkerson算法的核心思想是不断地沿着增广路径增加流量，直到无法找到增广路径为止。

虽然该算法可以求解网络流最大流问题，但是其时间复杂度较高，不适用于大规模的问题。

三、Edmonds-Karp算法为了改进Ford-Fulkerson算法的效率，Edmonds-Karp算法采用了广度优先搜索作为寻找增广路径的策略。

相比于深度优先搜索，广度优先搜索可以保证找到的增广路径具有最小的边数。

具体步骤如下：1. 初始化流量：将所有边的流量设置为0。

2. 寻找增广路径：利用广度优先搜索找到一条从源点s到汇点t的路径。

如果找不到增广路径，则跳至步骤4。

3. 更新流量：通过增加路径上的最小容量，更新每条边的流量。

4. 输出最大流量：计算网络中所有从源点s出发的边的流量之和，即为最大流量。

最大流算法在网络问题中的应用网络问题是计算机科学中的一个重要领域，主要研究节点之间的连通性，以及数据在网络中的传输和处理方式。

网络问题的解决方法之一就是最大流算法。

最大流算法可以用来求解网络流问题，是一种常用的优化算法。

下面将详细介绍最大流算法在网络问题中的应用。

一、最大流算法的定义最大流算法（Maximum Flow Algorithm）是计算最大流问题的常用算法，用于解决网络流问题。

最大流问题是在网络中从源点s 到汇点t的最大可行流问题，也可以理解为管道输送液体的最大流量问题。

最大流算法求解的本质就是如何找到一条从源点到汇点的路径，并计算出最大流量，以使所有流量达到最大。

二、最大流算法的应用最大流算法的应用非常广泛，在交通、卫星通信、电信等领域均有广泛应用。

下面分别从交通、卫星通信和电信三个方面来介绍最大流算法的应用。

1、交通领域在交通领域，最大流算法可以应用于城市道路布局规划、交通信号灯调度和公交线路规划等问题。

以城市道路布局规划为例，我们可以通过最大流算法来确定城市中心和周边地区之间的交通流量。

这样，我们就可以在城市道路规划过程中根据交通流量分配道路宽度和车行道数量，以确保道路能够承载最大交通流量。

2、卫星通信领域在卫星通信领域，最大流算法可以应用于网络拓扑设计、路由设计和带宽分配等问题。

通过最大流算法，我们可以确定卫星通信网中每个节点之间的最大传输速率，以便于选择最佳的路径或设计最优的路由方案。

此外，最大流算法也可以用于带宽管理，以确保卫星通信网中的每个节点都能够按照其需求获得足够的带宽。

3、电信领域在电信领域，最大流算法可以应用于网络拓扑设计、路由设计和负载均衡等问题。

电信网络中的节点之间互相连通，通过最大流算法，我们可以确定节点之间的最大传输速率，并根据传输速率设计最优的路由方案，以确保数据传输的完整性和可靠性。

此外，最大流算法还可以用于网络负载均衡，以确保所有节点的负载能够均衡分配。

⽹络流基础-最⼤流最⼩割定理
最⼤流最⼩割定理，指⽹络流的最⼤流等于其最⼩割。

最⼤流指符合三个性质的前提下，从S到T能流过的最⼤流量。

最⼩割指符合割的定义，最⼩的割容量。

求最⼤流：
不断寻找增⼴路，计算能增加的最⼩流量，然后增加。

找到⼀条增光路，最多能流过2，则：
找到第⼆条路径：
最后还剩a-c-e⼀条，则可计算出最⼤流量为4。

但遇到以下情况，且第⼀条路径为a-b-c-d时，就不⾏了：
此时需要增加反向路径，即当减去增⼴路时，反向加上减去的流量，提供后悔的选择：
这样，当考虑a-c-b-d时，可以对冲掉b-c的流量。

证明：
定理⼀：对于任⼀割和任⼀流，流量等于正向割边流量减去反向割边流量。

即f = f c+ - f c-，其中c+代表正向割边流量。

推论：任⼀割容量必定⼤于等于任⼀流量，由于：C+ > f c+ > f c+ - f c- > f。

则如果存在某流量和某割，则此流量必定为最⼤流，此割必定为最⼩割。

当我们计算出最⼤流时，不妨思考下此时的残留⽹络：
此时残留⽹络不存在增⼴路，即不存在⼀条能从S到T的路径。

此时残留⽹络中，我们把S能到达的节点记为s'集，能到达T的节点记为t’集，则s'和t'构成割集。

在残留⽹络中，流量指容量为0的边（满流），⽽这些边⼜是割边，所以流量和等于割的容量和。

⽐如对于：
其⼀个残留⽹络为：
其中两条虚线边为满流的边，也是割边。

最大流常见算法介绍最大流算法是图论中的经典问题之一，涉及在一个有向图中，确定从一个源节点到一个汇节点的最大流量。

最大流常见算法用来解决这个问题的是Ford-Fulkerson 算法和Edmonds-Karp算法。

本文将重点介绍这两种算法及其应用。

Ford-Fulkerson算法算法原理1.初始化网络流为0。

2.寻找一条从源节点到汇节点的增广路径（即路径上的边上还有可用容量）。

3.如果存在增广路径，则通过这条路径增加流量，并更新网络流。

4.重复2-3，直到不存在增广路径。

算法步骤1.使用深度优先搜索或广度优先搜索找到一条增广路径。

2.计算增广路径上可用容量的最小值，即该路径上所有边上的剩余容量的最小值。

3.更新增广路径上的每条边的流量，并更新网络流。

4.重复1-3，直到不存在增广路径。

时间复杂度Ford-Fulkerson算法的时间复杂度取决于寻找增广路径的方法。

使用深度优先搜索的时间复杂度为O(E|f|)，其中E为边的数量，|f|为最大流量。

使用广度优先搜索的时间复杂度为O(VE^2)。

Edmonds-Karp算法算法原理Edmonds-Karp算法是Ford-Fulkerson算法的一种优化算法，使用广度优先搜索寻找增广路径。

与Ford-Fulkerson算法不同的是，Edmonds-Karp算法每次寻找增广路径时，选择最短路径（即路径上的边数最少）。

算法步骤1.使用广度优先搜索找到一条最短增广路径。

2.计算增广路径上可用容量的最小值，即该路径上所有边上的剩余容量的最小值。

3.更新增广路径上的每条边的流量，并更新网络流。

4.重复1-3，直到不存在增广路径。

时间复杂度Edmonds-Karp算法的时间复杂度为O(VE^2)，其中V为节点数，E为边的数量。

应用最大流算法具有广泛的应用领域，包括但不限于以下几个方面： 1. 交通流量优化：在道路交通网络中，最大流算法可以用于优化交通流量分配，确保交通效率最大化。

⽹络最⼤流FF算法题⽬描述如题，给出⼀个⽹络图，以及其源点和汇点，求出其⽹络最⼤流。

输⼊输出格式输⼊格式：第⼀⾏包含四个正整数N、M、S、T，分别表⽰点的个数、有向边的个数、源点序号、汇点序号。

接下来M⾏每⾏包含三个正整数ui、vi、wi，表⽰第i条有向边从ui出发，到达vi，边权为wi（即该边最⼤流量为wi）输出格式：⼀⾏，包含⼀个正整数，即为该⽹络的最⼤流。

输⼊输出样例输⼊样例#1：4 5 4 34 2 304 3 202 3 202 1 301 3 40输出样例#1：50说明时空限制：1000ms,128M数据规模：对于30%的数据：N<=10，M<=25对于70%的数据：N<=200，M<=1000对于100%的数据：N<=10000，M<=100000样例说明：题⽬中存在3条路径：4-->2-->3，该路线可通过20的流量4-->3，可通过20的流量4-->2-->1-->3，可通过10的流量（边4-->2之前已经耗费了20的流量）故流量总计20+20+10=50。

输出50。

求⽹络最⼤流的算法还是很多的，这⾥讲⼀下最简单的FF算法。

还是利⽤增⼴路，找到⼀条从源点到汇点的任意路径，所有边上的最⼩值delta如果不是0，那么总流量就可以增加delta，在将路径上的边的容量减去delta，这就是⼀条增⼴路。

易知，如果找不出增⼴路了，那么此时的流量就是最⼤了。

但是，就这样还不⾏，如果“⾛错了”怎么办？现在引进反向弧，反向弧可以解决这个问题。

其他的博客上很多说反向弧可以让流量后悔，这个⽐喻很⽣动，但⽤我⾃⼰的话来说，反向弧因为是同原边反向的，两者中⼀者减去delta时，将另⼀者加上delta，那么之后找增⼴路时，⾛反向弧相当于原边少⾛，⾮常巧妙。

算法⼤概是将完了，代码应该还好打的。

#include<set>#include<map>#include<queue>#include<cmath>#include<cstdio>#include<vector>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<algorithm>#define INF 2147483647using namespace std;int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}struct edge{int next,to,head,b;}f[440000];long long ans;int tot=0,n,m,s,t;bool mark[400000]={0},flag;void add(int u,int v,int w){f[tot].next=f[u].head;f[u].head=tot;f[tot].to=v;f[tot].b=w;tot++;}int dfs(int x,int flow){//dfs求任意路径if(x==t){ans+=flow;flag=1;return flow;}mark[x]=1;for(int i=f[x].head;i!=-1;i=f[i].next){int x1=f[i].to;if(mark[x1]||f[i].b==0) continue;int delta=dfs(x1,min(flow,f[i].b));if(flag){f[i].b-=delta;f[i^1].b+=delta;return delta;}}return0;}void FF(){//有增⼴路就增⼴memset(mark,0,sizeof(mark));flag=0;dfs(s,INF);while(flag){memset(mark,0,sizeof(mark));flag=0;dfs(s,INF);}}int main(){n=read();m=read();s=read();t=read();for(int i=1;i<=n;++i) f[i].head=-1;while(m--){int x,y,w;x=read();y=read();w=read();add(x,y,w);add(y,x,0);}FF();printf("%lld",ans);return0;}注意，这种dfs的形式也是我⾃⼰很少打的，求任意⼀条路径，先dfs到汇点，再做⼀个标记flag，回来时有标记就更新。