三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)

创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克*
和差化积和积化和差公式
正弦、余弦的和差化积 2cos
2sin
2sin sin β
αβ
αβα-⋅+=+
2
sin
2cos 2sin sin β
αβαβα-⋅+=- 2
cos
2
cos
2cos cos β
αβ
αβα-⋅+=+
2
sin
2
sin
2cos cos β
αβ
αβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者：别如克*
是和还是差？
这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。

规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。

如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。

正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号
这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。

但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。

创作编号：BG7531400019813488897SX
创作者：别如克*。

和差化积、积化和差、万能公式在数学的三角函数领域中，和差化积、积化和差以及万能公式是一组非常重要且实用的公式。

它们在解决各种与三角函数相关的问题时，发挥着至关重要的作用。

首先，咱们来聊聊和差化积公式。

和差化积公式包括四个，分别是：sinα ＋sinβ ＝2sin(α ＋β) ／2cos(α β) ／ 2sinα sinβ ＝2cos(α ＋β) ／2sin(α β) ／ 2cosα ＋cosβ ＝2cos(α ＋β) ／2cos(α β) ／ 2cosα cosβ ＝－2sin(α ＋β) ／2sin(α β) ／ 2这些公式的作用在于将两个三角函数的和或差转化为乘积的形式。

这在处理一些复杂的三角函数表达式时，能够大大简化计算过程。

比如说，当我们遇到形如 sin5x ＋ sin3x 的式子，如果直接计算可能会比较困难。

但通过和差化积公式，将其转化为 2sin4xcosx，计算就会变得相对简单许多。

接下来，再看看积化和差公式。

它们是：sinαcosβ ＝1/2sin(α ＋β) ＋sin(α β)cosαsinβ ＝1/2sin(α＋β) sin(α β)cosαcosβ ＝1/2cos(α ＋β) ＋cos(α β)sinαsinβ ＝－1/2cos(α ＋β) cos(α β)积化和差公式则是把两个三角函数的乘积形式转化为和或差的形式。

比如说，计算∫sin2xcos3xdx 这样的积分问题，如果先使用积化和差公式将sin2xcos3x 转化为和差形式，再进行积分运算，就会轻松不少。

最后，咱们来认识一下万能公式。

万能公式包括：sinα ＝2tan(α/2) ／（1 ＋tan²(α/2)）cosα ＝（1 tan²(α/2)）／（1 ＋tan²(α/2)）tanα ＝2tan(α/2) ／（1 tan²(α/2)）万能公式的厉害之处在于，它可以将任何一个三角函数用tan(α/2)来表示。

和差化积和积化和差的公式口诀在数学中，我们经常会遇到和差化积和积化和差的问题。

和差化积和积化和差是一种重要的运算方法，可以简化复杂的计算，并且在代数表达式的化简、方程的求解等问题中都有很重要的应用。

下面我将介绍和差化积和积化差的公式以及一些口诀，帮助你记忆和应用它们。

（一）和差化积公式和差化积是将包含和差的表达式转化为包含乘法的表达式。

下面是一些常见的和差化积公式：1. \(a \pm b = (a + b)(a - b)\)这是和差平方的公式，即一个数加上另一个数再减去这两个数的差，可以表示为这两个数的和与差的乘积。

2.\(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\)这是差平方的公式，即两个数的平方相减，可以表示为这两个数的和与差的乘积。

3. \((a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)这是平方的二次方程的和差公式，即一个数与另一个数的和（或差）的平方，可以表示为这两个数的平方、和与差的乘积。

4. \((a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3\)这是立方的和差公式，即一个数与另一个数的和（或差）的立方，可以表示为这两个数的立方、和、差、积的各种组合。

（二）积化和差公式积化和差是将包含乘法的表达式转化为包含和差的表达式。

下面是一些常见的积化和差公式：1. \(ab \pm ac = a(b \pm c)\)这是公因式的分配律，即一个数与两个数的和（或差）的乘积，可以表示为这个数与每个数的乘积的和（或差）。

2. \(a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2\)这是平方的二次方程的积的和差公式，即两个数的平方与两倍它们的积、和的三次组合。

3. \(a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)\)这是立方的和差公式，即一个数与另一个数的立方的和（或差），可以表示为这两个数的立方、和与差的乘积。

和差化积记忆口诀1：正和正在先,sinα+sinβ=2sinα+β/2·cosα-β/2正差正后迁,sinα-sinβ=2cosα+β/2·sinα-β/2余和一色余,cosα+cosβ=2cosα+β/2·cosα-β/2余差翻了天,cosα-cosβ=-2sinα+β/2·sinα-β/2前提是角度α+β/2在前,α-β/2在后的标准形式和差化积记忆口诀2：正加正,正在前：sinα+sinβ=2sinα+β/2·cosα-β/2余加余,余并肩：cosα+cosβ=2cosα+β/2·cosα-β/2正减正,余在前：sinα-sinβ=2cosα+β/2·sinα-β/2余减余,负正弦,cosα-cosβ=-2sinα+β/2·sinα-β/2和差化积：有相关的口诀正加正,正在前,余加余,余并肩正减正,余在前,余减余,负正弦反之亦然注意事项在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行;若是异名,必须用化为同名；若是高次函数,必须用降幂公式降为一次口诀正加正,正在前,余加余,余并肩正减正,余在前,余减余,负正弦反之亦然;生动的口诀3：和差化积帅+帅=帅哥1帅-帅=哥帅哥+哥=哥哥哥-哥=负嫂嫂反之亦然;语文老师教的口诀4：口口之和仍口口cosα+cosβ=2cosα+β/2·cosα-β/2赛赛之和赛口留sinα+sinβ=2sinα+β/2·cosα-β/2口口之差负赛赛cosα-cosβ=-2sinα+β/2·sinα-β/2赛赛之差口赛收sinα-sinβ=2cosα+β/2·sinα-β/2前提是角度α+β/2在前,α-β/2在后的标准形式：语文老师教的口诀5：正弦加正弦,正弦在前面,sinα+sinβ=2sinα+β/2·cosα-β/2正弦减正弦,余弦在前面,sinα-sinβ=2cosα+β/2·sinα-β/2余弦加余弦,余弦全部见,cosα+cosβ=2cosα+β/2·cosα-β/2余弦减余弦,余弦负不想见,cosα-cosβ=-2sinα+β/2·sinα-β/2记忆方法和差化积公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单记忆方法;如何只记两个公式甚至一个我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个;而第二个公式中的-si nβ=sinβ+π,也就是sinα-sinβ=sinα+sinβ+π,这就可以用第一个公式解决;同理第四个公式中,cosα-cosβ=cosα+cosβ+π,这就可以用第三个公式解决;如果对诱导公式足够熟悉,可以在运算时把cos全部转化为sin,那样就只记住第一个公式就行了;用的时候想得起一两个就行了;结果乘以2这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断;sin和cos的值域都是-1,1,其积的值域也应该是-1,1,而和差的值域却是-2,2,因此乘以2是必须的;也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如：cosα-β-cosα+β=cosαcosβ+sinαsinβ-cosαcosβ-sinαsinβ=2sinαsin β故最后需要乘以2;只有同名三角函数能和差化积无论是还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积;这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法下去了;乘积项中的角要除以2在和差化积公式的证明中,必须先把α和β表示成两角和差的形式,才能够展开;熟知要使两个角的和、差分别等于α和β,这两个角应该是α+β/2和α-β/2,也就是乘积项中角的形式;注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”,但位置不同；而只有和差化积公式中有“乘以2”;使用哪两种三角函数的积这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”α-β/2的三角函数名;是否同名乘积,仍然要根据证明记忆;注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积;所以,余弦的和差化作同名三角函数的乘积；正弦的和差化作异名三角函数的乘积;α-β/2的三角函数名规律为：和化为积时,以cosα-β/2的形式出现；反之,以sinα-β/2的形式出现;由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的;如果要使和化为积,那么α和β调换位置对结果没有影响,也就是若把α-β/2替换为β-α/2,结果应当是一样的,从而α-β/2的形式是cosα-β/2；另一种情况可以类似说明;余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况,完全可以死记下来;当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如0,π内余弦函数的单调性;因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以当α大于β时,cosα小于cosβ;但是这时对应的α+β/2和α-β/2在0,π的范围内,其正弦的乘积应大于0,所以要么反过来把cosβ放到cosα前面,要么就在式子的最前面加上负号;。

和差化积公式大全及推导过程如下：
积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=(1/2)[cos(α-β)-cos(α+β)]
积化和差公式证明：
对于上面的积化和差公式，我们可以按照以下步骤进行证明：
第一步，根据三角函数的定义，我们知道
sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，同时
sin(a-b)=sinacosb-cosasinb。

第二步，将上述两个公式相加，得到：
sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb，即
sinacosb=(1/2)[sin(a+b)+sin(a-b)]。

第三步，类似地，将第一步中的两个公式相减，得到：cos(a+b)-cos(a-b)=2cosasinb，即
cosasinb=(1/2)[cos(a+b)-cos(a-b)]。

第四步，再次利用三角函数的定义，对于cos(a+b)和cos(a-b)，我们也可以使用类似的方法来证明其余的积化和
差公式。

通过上述证明过程，我们可以得到和差化积公式：sinacosb=(1/2)[sin(a+b)+sin(a-b)]
cosasinb=(1/2)[cos(a+b)-cos(a-b)]
cosacosb=(1/2)[cos(a+b)+cos(a-b)]
sinasinb=(1/2)[cos(a-b)-cos(a+b)]。

三角函数和差积公式的记忆口诀三角函数和差积公式的记忆口诀一、两角和与差的正余弦公式记忆正弦异名加一起，sin(a+b)=sinacosb+cosasinb余弦同名加减异，cos(a+b)=cosacosb-sinasinb前面是a后面b二、积化和差与和差化积公式记忆积化和差公式：sinα?cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] 前正后余正弦加cosα?sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] 前余后正正弦差cosα?cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] 余余得值余弦加sinα?sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 全正变号余弦差和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 正弦加正弦正弦在前面sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 正弦减正弦余弦在前面cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] 余弦加余弦全都是余弦cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 余弦减余弦变号改正弦记忆数学知识点的诀窍1归类记忆法就是根据识记材料的性质、特征及其内在联系，进行归纳分类，以便帮助学生记忆大量的知识。

比如，学完计量单位后，可以把学过的所有内容归纳为五类：长度单位;面积单位;体积和容积单位;重量单位;时间单位。

这样归类，能够把纷纭复杂的事物系统化、条理化，易于记忆。

2歌诀记忆法就是把要记忆的数学知识编成歌谣、口诀或顺口溜，从而便于记忆。

比如，量角的方法，就可编出这样几句歌诀：“量角器放角上，中心对准顶点，零线对着一边，另一边看度数。

”再如，小数点位置移动引起数的大小变化，“小数点请你跟我走，走路先要找准‘左’和‘右’;横撇带口是个you，扩大向you走走走;横撇加个zuo，缩小向zuo走走走;十倍走一步百倍两步走，数位不够找‘0’拉拉钩。

和差化积记忆口诀1：正和正在先，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正差正后迁，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余和一色余，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余差翻了天，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）和差化积记忆口诀2：正加正，正在前：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余加余，余并肩：cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正减正，余在前：sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余减余，负正弦，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]和差化积：有相关的口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。

若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然。

生动的口诀3：（和差化积）帅+帅=帅哥[1]帅-帅=哥帅哥+哥=哥哥哥-哥=负嫂嫂??反之亦然。

语文老师教的口诀4：口口之和仍口口cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]赛赛之和赛口留sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]口口之差负赛赛cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]赛赛之差口赛收sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）：语文老师教的口诀5：正弦加正弦，正弦在前面，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正弦减正弦，余弦在前面，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余弦加余弦，余弦全部见，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余弦减余弦，余弦（负）不想见，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]记忆方法和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。

三角函数的积化和差与和化积与差化积与和差化积与差和化积公式三角函数是数学中重要的概念，它们在几何、物理等领域有广泛的应用。

本文将介绍三角函数的积化和差公式以及和化积公式，以及它们的推导和运用。

一、三角函数的积化和差公式1. 正弦函数的积化和差公式对于正弦函数，积化和差公式可以表示为：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)这个公式可以通过向量法推导得到。

假设有两条向量OA和OB，它们的夹角为θ。

根据向量叉乘的定义，可以求得向量OA和OB的叉乘的模长等于OA和OB对应线段的长度的积与θ的正弦值相等。

即：|OA × OB| = |OA||OB|sinθ将向量OA和OB表示成平面直角坐标系中的坐标形式，可以得到：|OA × OB| = |(x1, y1, 0) × (x2, y2, 0)| = |(0, 0, x1y2 - x2y1)| = |x1y2 -x2y1|另一方面，根据向量OA和OB的夹角的三角函数定义，可以得到：sinθ = (x1y2 - x2y1) / (|OA||OB|) = (x1y2 - x2y1) / (sqrt(x1^2 + y1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2))将上述两个等式相等，即可得到正弦函数的积化和差公式。

2. 余弦函数的积化和差公式对于余弦函数，积化和差公式可以表示为：cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)同样，这个公式也可以通过向量法推导得到。

基本思路与正弦函数的积化和差公式相似，推导过程略。

二、三角函数的和化积公式1. 正弦函数的和化积公式对于正弦函数，和化积公式可以表示为：sin(A) + sin(B) = 2sin[(A + B) / 2]cos[(A - B) / 2]这个公式可以通过将两个正弦函数相加并化简得到。

三角函数的和差化积与积化和差三角函数是数学中重要的概念之一，它们在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。

而三角函数的和差化积与积化和差是一种常用的技巧，可以简化复杂的三角函数表达式，使得计算更加方便和高效。

一、和差化积和差化积是将两个三角函数的和或差转化为一个三角函数的积。

有两种常见的和差化积公式，分别是正弦和差化积公式和余弦和差化积公式。

1. 正弦和差化积公式正弦和差化积公式可以表示为：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB其中，符号“±”表示正负号可以取加或减。

这个公式可以帮助我们将两个正弦函数的和或差转化为一个正弦函数与余弦函数的乘积。

2. 余弦和差化积公式余弦和差化积公式可以表示为：cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB同样，符号“±”表示正负号可以取加或减。

这个公式可以将两个余弦函数的和或差转化为两个余弦函数或两个正弦函数的乘积。

通过使用和差化积公式，我们可以将复杂的三角函数表达式转化为简单的乘积形式，便于进一步的计算和推导。

二、积化和差积化和差是将两个三角函数的乘积转化为一个三角函数的和或差。

同样，有两种常见的积化和差公式，分别是正弦积化和差公式和余弦积化和差公式。

1. 正弦积化和差公式正弦积化和差公式可以表示为：sinAcosB = 0.5[sin(A + B) + sin(A - B)]这个公式可以将两个三角函数的乘积转化为两个正弦函数的和。

2. 余弦积化和差公式余弦积化和差公式可以表示为：cosAcosB = 0.5[cos(A + B) + cos(A - B)]这个公式可以将两个三角函数的乘积转化为两个余弦函数的和。

通过使用积化和差公式，我们可以将复杂的三角函数乘积化简为两个和的形式，从而使得计算更加方便。

三、应用举例下面通过具体的例子来说明和差化积与积化和差的应用。

例1：将sin(A + B)化简为乘积形式。

三角函数的和差化积与积化和差三角函数是数学中重要的一部分，应用广泛且具有深厚的理论基础。

在解决三角函数相关问题时，和差化积与积化和差是非常有用的技巧。

本文将介绍和差化积与积化和差的概念及其具体应用。

1. 和差化积三角函数的和差化积是指将两个三角函数的和（差）转化为一个三角函数的乘积。

具体而言，我们有以下公式：sin(x ± y) = sinxcosy ± cosxsinycos(x ± y) = cosxcosy ∓ sinxsinytan(x ± y) = (tanx ± tany) / (1 ∓ tanxtany)通过和差化积，我们可以将含有三角函数和（差）的复杂表达式转化为只含有乘积的形式，从而更容易进行计算和化简。

这在求解一些三角方程、证明三角恒等式等问题中非常有帮助。

2. 积化和差积化和差是和差化积的逆过程，即将一个三角函数的乘积转化为两个三角函数的和（差）。

以下是具体的公式：sinxsiny = 1/2[cos(x - y) - cos(x + y)]cosxcosy = 1/2[cos(x - y) + cos(x + y)]sinxcosy = 1/2[sin(x + y) + sin(x - y)]sinxtany = 1/2[cos(x - y) - cos(x + y)] / [sin(x + y) + sin(x - y)]通过积化和差，我们可以将含有三角函数乘积的表达式转化为只含有和（差）的形式，这对于求解三角方程、证明三角恒等式以及进一步分析或化简问题非常有帮助。

3. 应用举例接下来，我们通过几个具体的例子来说明和差化积与积化和差的应用。

例一：证明三角恒等式我们希望证明恒等式sin2x = 2sinxcosx。

首先，考虑左边的等式sin2x，根据和差化积的公式，我们有sin2x = sin(x + x) = sinxcosx + cosxsinx。

和差化积与积化和差的记忆方法和差化积与积化和差是高中数学中的复杂数学概念，尤其在三角函数的学习中占有重要位置。

它们涉及将多个三角函数的乘积或和差转换成另一种形式，这在数学解题中经常用到。

下面将介绍一些记忆和差化积与积化和差公式的方法。

### 导语在数学的世界里，记住公式是掌握知识的关键一步。

对于和差化积与积化和差，理解它们的内在联系和形成规律，可以帮助我们更有效地记忆和应用。

下面将分享一些实用的记忆方法。

### 和差化积的记忆方法1.**图像法**：- 利用三角函数的图像来记忆。

例如，正弦函数的和差可以想象为两个波形在同一直线上的叠加或错位，通过观察波形叠加或错位后的变化，可以帮助记忆公式。

2.**特征数字法**：- 记住公式中的特征数字。

比如，和差化积中的公式`sin(A) ± sin(B) = 2sin((A±B)/2)cos((AB)/2)`，可以记忆为“两个正弦相加减，结果中正弦的系数是2，余弦中的角是原来两角和的一半”。

3.**关键词法**：- 选择公式中的关键词，如“正弦和余弦”、“系数2”等，通过联想这些关键词，构建记忆链。

### 积化和差的记忆方法1.**公式对比法**：- 将积化和差与和差化积的公式进行对比记忆。

例如，积化和差公式`sin(A)sin(B) = (cos(A-B) - cos(A+B))/2` 与和差化积公式有类似的结构，记住其中一个，另一个就不难推导出来。

2.**公式故事法**：- 给公式编织一个故事，比如将积化和差想象成两个“sin”角色在互相转换“cos”角色的能量，而转换的过程中，一个角色增加能量，另一个减少，从而记忆`(cos(A-B) - cos(A+B))/2` 这个结构。

3.**互动记忆法**：- 与同学或朋友一起记忆，通过互相提问和解释，加深对公式的理解。

### 结合实际例题通过解决实际问题，将理论应用于实践，也是加深记忆的有效方式。

和差化积、积化和差、万能公式在数学的三角函数领域中，和差化积、积化和差以及万能公式是非常重要的工具，它们在解决各种与三角函数相关的问题时发挥着关键作用。

先来说说和差化积公式。

和差化积公式包括四个，分别是：sinα ＋sinβ ＝2sin(α ＋β)／2cos(α β)／2sinα sinβ ＝2cos(α ＋β)／2sin(α β)／2cosα ＋cosβ ＝2cos(α ＋β)／2cos(α β)／2cosα cosβ ＝－2sin(α ＋β)／2sin(αβ)／2这些公式的作用可不小。

比如，当我们需要将两个三角函数的和或差转化为乘积形式时，和差化积公式就派上用场了。

举个例子，如果要计算sin75°＋sin15°，直接计算可能会比较复杂。

但通过和差化积公式，我们可以将其转化为 2sin45°cos30°，这样计算就简单多了。

再来看积化和差公式，它们分别是：sinαcosβ ＝1/2sin(α ＋β) ＋sin(α β)cosαsinβ ＝1/2sin(α ＋β) sin(α β)cosαcosβ ＝1/2cos(α ＋β) ＋cos(α β)sinαsinβ ＝－1/2cos(α ＋β) cos(α β)积化和差公式在一些积分计算、三角函数的化简等方面非常有用。

比如说，在计算某些复杂的积分时，如果被积函数中包含三角函数的乘积，我们就可以利用积化和差公式将其转化为和或差的形式，从而使积分计算变得更加容易。

接下来谈谈万能公式。

万能公式是指：sinα ＝2tan(α/2) ／（1 ＋tan²(α/2)）cosα ＝（1 tan²(α/2)）／（1 ＋tan²(α/2)）tanα ＝ 2t an(α/2) ／（1 tan²(α/2)）万能公式的“万能”之处在于，它可以将任意的三角函数都用正切函数的半角形式来表示。

这在解决一些复杂的三角函数问题时，往往能起到化繁为简的效果。

三角函数和差化积与积化和差公式(附证明和记忆方法)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1和差化积和积化和差公式正弦、余弦的和差化积 2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-⋅+=+ 2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-⋅+=-2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-⋅+=+2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-⋅+-=- 【注意右式前的负号】使用同名三角函数的和差无论乘积项中的三角函数是否同名，化为和差形式时，都应是同名三角函数的和差。

这一点主要是根据证明记忆，因为如果不是同名三角函数，两角和差公式展开后乘积项的形式都不同，就不会出现相抵消和相同的项，也就无法化简下去了。

使用哪种三角函数的和差仍然要根据证明记忆。

注意两角和差公式中，余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积，正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。

所以反过来，同名三角函数的乘积，化作余弦的和差；异名三角函数的乘积，化作正弦的和差。

是和还是差这是积化和差公式的使用中最容易出错的一项。

规律为：“小角”β以cosβ的形式出现时，乘积化为和；反之，则乘积化为差。

由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。

如果β的形式是cosβ，那么若把β替换为-β，结果应当是一样的，也就是含α+β和α-β的两项调换位置对结果没有影响，从而结果的形式应当是和；另一种情况可以类似说明。

正弦-正弦积公式中的顺序相反/负号这是一个特殊情况，完全可以死记下来。

当然，也有其他方法可以帮助这种情况的判定，如[0,π]内余弦函数的单调性。

因为这个区间内余弦函数是单调减的，所以cos(α+β)不大于cos(α-β)。

但是这时对应的α和β在[0,π]的范围内，其正弦的乘积应大于等于0，所以要么反过来把cos(α-β)放到cos(α+β)前面，要么就在式子的最前面加上负号。

三角函数的积化和差与和差化积三角函数是数学中一类非常重要且广泛应用的函数。

在三角函数中，有两个重要的性质是积化和差与和差化积。

这两个性质在解决三角函数的运算问题时起到了关键的作用。

本文将详细介绍三角函数的积化和差与和差化积的定义、推导以及其在实际问题中的应用。

一、积化和差积化和差是指将两个三角函数的乘积表示为两个不同三角函数的和或差。

具体而言，对于任意两个三角函数sinθ与cosθ，其积可以表示为以下公式：sinθ·cosθ = 1/2[sin(θ+θ') + sin(θ-θ')]其中，θ与θ'可以是任意实数。

这个公式就是积化和差公式，它将两个三角函数的乘积转化为两个和差的三角函数。

我们可以通过推导来证明积化和差公式。

首先，根据三角函数的定义，可以得到以下等式：sin(θ+θ') = sinθ·cosθ' + cosθ·sinθ'sin(θ-θ') = sinθ·cosθ' - cosθ·sinθ'将这两个等式相加，并应用正弦函数的和角公式，可得：sin(θ+θ') + sin(θ-θ') = 2sinθ·cosθ'将等式两边除以2，即可得到积化和差公式：sinθ·cosθ = 1/2[sin(θ+θ') + sin(θ-θ')]通过积化和差公式，我们可以将一个三角函数的积化简为两个和差的三角函数，从而更方便地进行计算和推导。

二、和差化积和差化积是指将两个三角函数的和或差表示为一个三角函数的乘积。

具体而言，对于任意两个三角函数sinθ和sinθ'，其和可以表示为以下公式：sinθ + sinθ' = 2sin(θ/2 + θ'/2)·cos(θ/2 - θ'/2)这个公式就是和差化积公式，它将两个三角函数的和转化为一个三角函数的乘积。

三角函数和差化积记忆方法与巧记口诀和差化积记忆口诀1：正和正在先，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正差正后迁，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余和一色余，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余差翻了天，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）和差化积记忆口诀2：正加正，正在前：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余加余，余并肩：cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正减正，余在前：sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余减余，负正弦，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]和差化积：有相关的口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。

若是异名，必须用诱导公式化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然。

生动的口诀3：（和差化积）帅+帅=帅哥[1]帅-帅=哥帅哥+哥=哥哥哥-哥=负嫂嫂反之亦然。

语文老师教的口诀4：口口之和仍口口 cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]赛赛之和赛口留 sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]口口之差负赛赛 cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]赛赛之差口赛收 sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）：语文老师教的口诀5：正弦加正弦，正弦在前面，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正弦减正弦，余弦在前面，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余弦加余弦，余弦全部见，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余弦减余弦，余弦（负）不想见，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]记忆方法和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。

三角函数和差化积经历方式与巧记口诀和差化积经历口诀1：正和正在先，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正差正后迁，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余和一色余，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余差翻了天，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）和差化积经历口诀2：正加正，正在前：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余加余，余并肩：cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正减正，余在前：sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余减余，负正弦，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]和差化积：有相关的口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然注意事项在应用和差化积时，必需是一次同名三角函数方可实行。

若是异名，必需用化为同名；若是高次函数，必需用降幂公式降为一次口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然。

生动的口诀3：（和差化积）帅+帅=帅哥[1]帅-帅=哥帅哥+哥=哥哥哥-哥=负嫂嫂反之亦然。

语文老师教的口诀4：口口之和仍口口cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]赛赛之和赛口留sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]口口之差负赛赛cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]赛赛之差口赛收sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）：语文老师教的口诀5：正弦加正弦，正弦在前面，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正弦减正弦，余弦在前面，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余弦加余弦，余弦全数见，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余弦减余弦，余弦（负）不想见，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]经历方式和差化积公式的形式比较复杂，经历中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单经历方式。

三角函数和差化积记忆方法与巧记口诀集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#三角函数和差化积记忆方法与巧记口诀和差化积记忆口诀1：正和正在先，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正差正后迁，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余和一色余，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余差翻了天，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）和差化积记忆口诀2：正加正，正在前：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余加余，余并肩：cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正减正，余在前：sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余减余，负正弦，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]和差化积：有相关的口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然注意事项在应用和差化积时，必须是一次同名三角函数方可实行。

若是异名，必须用化为同名；若是高次函数，必须用降幂公式降为一次口诀正加正，正在前，余加余，余并肩正减正，余在前，余减余，负正弦反之亦然。

生动的口诀3：（和差化积）帅+帅=帅哥[1]帅-帅=哥帅哥+哥=哥哥哥-哥=负嫂嫂反之亦然。

语文老师教的口诀4：口口之和仍口口cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]赛赛之和赛口留sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]口口之差负赛赛cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]赛赛之差口赛收sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]（前提是角度(α+β)/2在前，(α-β)/2在后的标准形式）：语文老师教的口诀5：正弦加正弦，正弦在前面，sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]正弦减正弦，余弦在前面，sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]余弦加余弦，余弦全部见，cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]余弦减余弦，余弦（负）不想见，cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]记忆方法和差化积公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了各自的简单记忆方法。