高中数学第一章三角函数.2任意角的三角函数(第2课时)预习导航学案新人教A版

1.2 任意角的三角函数第1课时 三角函数的定义[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 11～P 15的内容，回答下列问题．如图，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P (a ，b )，它与原点的距离r ＝a 2＋b 2>0.过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为a ，线段MP 的长度为b .(1)根据初中学过的三角函数定义，你能表示出sin α，cos α，tan α的值吗？提示：sin_α＝MP OP ＝b r ，cos_α＝OM OP ＝a r ，tan_α＝MP OM ＝b a.(2)根据相似三角形的知识，对于确定的角α，请问(1)的结果会随点P 在α终边上的位置的改变而改变吗？提示：不会随P 点在终边上的位置的改变而改变．(3)若将点P 取在使线段OP 的长r ＝1的特殊位置上，如图所示，则sin α，cos α，tan α各为何值？提示：sin_α＝b ，cos_α＝a ，tan_α＝ba.(4)以上3个问题中的角α为锐角，若α是一个任意角，上述结论还成立吗？ 提示：上述结论仍然成立．(5)一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tan α为何值？提示：sin_α＝y r ，cos_α＝x r ，tan_α＝y x. 2．归纳总结，核心必记 (1)任意角的三角函数的定义(3)规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (4)公式一①终边相同的角的同一三角函数的值相等． ②公式：sin(α＋k ·2π)＝sin_α， cos(α＋k ·2π)＝cos_α，tan(α＋k ·2π)＝tan_α，其中k ∈Z .[问题思考](1)三角函数值的大小与点P 在终边的位置是否有关？提示：三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．(2)若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sin α与sin β，cos α与cos β，tan α与tan β之间有什么关系？提示：sin_α＝sin_β，cos_α＝cos_β，tan_α＝tan_β. (3)三角函数在各象限的符号与角的终边上点P 的坐标有怎样的关系？提示：由三角函数的定义知sin_α＝y r ，cos_α＝x r ，tan_α＝y x，三角函数在各象限的符号由角α终边上的任一点P 的横坐标、纵坐标的正负确定．(4)对于角α，若sin α<0，cos α>0，则α为第几象限角？ 提示：第四象限角．[课前反思](1)任意角的三角函数的定义： ；(2)三角函数的定义域： ；(3)三角函数值的符号： ；(4)公式一的内容： ．[思考1] 任意角α的正弦值sin α、余弦值cos α，正切值tan α都有意义吗？ 名师指津：当α的终边在y 轴上时，tan_α不存在．[思考2] 若α的终边与单位圆交于点(x 0，y 0)，且x 0≠0，则如何求sin α，cos α，tan α的值？名师指津：sin_α＝y 0，cos_α＝x 0，tan_α＝y 0x 0.[思考3] 若已知α终边上一点P (x 0，y 0)，且x 0≠0，如何求sin α，cos α，tan α的值？sin_α＝y 0r ，cos_α＝x 0r ，tan_α＝y 0x 0.[思考4] 若已知α终边所在的直线方程为y ＝kx ，则如何求sin α，cos α，tan α的值？名师指津：可在直线y ＝kx 上任取一点(x 0，y 0)，x 0≠0，然后利用sin_cos_tan_α＝y 0x 0求解． 讲一讲1．(1)若角α的终边经过点P (5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________.(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．[尝试解答] (1)∵x ＝5，y ＝－12，∴r ＝52＋（－12）2＝13，则sin α＝y r ＝－1213，cos α＝x r ＝513，tan α＝y x ＝－125. (2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r ＝（－1）2＋（3）2＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r ＝12＋（－3）2＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3.答案：(1)－1213 513 －125求任意角的三角函数值的两种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P 的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P (x ，y )，(P 与原点不重合)； 第二步，计算r ：r ＝|OP |＝x 2＋y 2；第三步，求值：由sin α＝yr ，cos α＝x r ，tan α＝y x(x ≠0)求值． 在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用． 练一练1．(1)已知角α的终边经过点P (1，－1)，则sin α的值为( ) A.12 B.32 C.22 D ．－22(2)已知角α的终边与单位圆的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y (y <0)，则sin αtan α＝________. (3)已知角α的终边上一点坐标为(－3，a )，且α为第二象限角，cos α＝－35，则sin α＝________.解析：(1)∵α的终边经过点P (1，－1)， ∴sin α＝－112＋（－1）2＝－22. (2)∵α的终边与单位圆的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋y 2＝1，即y 2＝34.又∵y <0，∴y ＝－32.∴sin α＝－32，cos α＝－12，tan α＝3， sin αtan α＝－32×3＝－32. (3)∵(－3，a )为α终边上的一点，cos α＝－35，∴－3（－3）2＋a2＝－35，∴a 2＝16. 又∵α为第二象限角，∴a ＞0，即a ＝4.∴sin α＝45.答案：(1)D (2)－32 (3)45讲一讲2．(1)若sin αtan α＜0，且cos αtan α＜0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角 (2)判断下列各式的符号：①tan 120°·sin 269°；②cos 4·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4.[尝试解答] (1)由sin αtan α＜0可知sin α，tan α异号，从而α为第二、三象限角．由cos αtan α＜0可知cos α，tan α异号，从而α为第三、四象限角．综上可知，α为第三象限角． (2)①∵120°是第二象限角， ∴tan 120°＜0.∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. ∴tan 120°·sin 269°＞0.②∵π＜4＜3π2，∴4弧度是第三象限角，∴cos 4＜0.∵－23π4＝－6π＋π4，∴－23π4是第一象限角，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π4＞0.∴cos 4·tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4＜0. 答案：(1)C判断给定角的三角函数值正负的步骤(1)确定α的终边所在的象限；(2)利用三角函数值的符号规律，即“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断． 练一练2．(1)若sin 2α＞0，且cos α＜0，则α终边在第________象限． (2)判断下列各式的符号： ①sin 105°·cos 230°；②cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3.解析：(1)因为sin 2α＞0，所以2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )，所以k π＜α＜k π＋π2(k ∈Z )．当k 为偶数时，α是第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角．所以α是第一或第三象限角．又因为cos α＜0，所以α为第三象限角．(2)①∵105°，230°分别为第二，第三象限角，∴sin 105°＞0，cos 230°＜0. 于是sin 105°·cos 230°＜0.②∵π2＜3＜π，∴3是第二象限角，∴cos 3＜0，又－2π3是第三象限角，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＞0，∴cos 3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＜0.答案：(1)三讲一讲3．求下列各式的值：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－(a －b )2tan 765°－2ab cos(－1 080°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 25π3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4. [尝试解答] (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－(a －b )2tan (2×360°＋45°)－2ab ·cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－(a －b )2tan45°－2ab cos 0°＝a 2＋b 2－(a －b )2－2ab ＝0.(2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝sin π6＋cos π3tan π4＝12＋12×1＝1.公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0，2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．练一练3．求下列各式的值： (1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4； (2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°.解：(1)原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π4＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin (2×360°＋90°)＋tan (3×360°＋45°)＋cos ()360°＋60°＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋12＝52.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及公式一的应用，难点是三角函数的定义及应用．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)三角函数的定义及应用，见讲1； (2)三角函数值符号的判断，见讲2； (3)公式一的应用，见讲3.3．本节课的易错点是已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误，如讲1的第(2)题．课下能力提升(三) [学业水平达标练]题组1 三角函数的定义及应用 1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32 B ．－12 C.32 D.12解析：选B sin α＝－121＝－12.2．若角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值等于( ) A.12 B ．－12 C ．－32 D ．－33解析：选C ∵角α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)， ∴角α终边上一点的坐标为(1，－3)，故sin α＝－312＋（－3）2＝－32. 3．已知角α的终边经过点P (m ，－6)，且cos α＝－45，则m ＝________．解析：由题意r ＝|OP |＝m 2＋（－6）2＝m 2＋36，故cos α＝mm 2＋36＝－45，解得m＝－8.答案：－84．已知点P (－4a ，3a )(a ≠0)是角α终边上的一点，试求sin α，cos α，tan α的值．解：由题意得r ＝（－4a ）2＋（3a ）2＝5|a |.当a ＞0时，r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34；当a ＜0时，r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.题组2 三角函数值的符号5．已知cos θ·tan θ＞0，那么角θ是( ) A ．第一、二象限角 B ．第二、三象限角C ．第三、四象限角D ．第一、四象限角解析：选A 由cos θ·tan θ＞0可知cos θ，tan θ同号，从而θ为第一、二象限角，选A.6．已知角α是第二象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选C 由α是第二象限角知，α2是第一或第三象限角，又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2＜0.∴α2是第三象限角． 7．若α是第一象限角，则sin 2α，cos α2，tan α2中一定为正值的个数为________．解析：由α是第一象限角，得2k π＜α＜π2＋2k π，k ∈Z ，所以k π＜α2＜π4＋k π，k ∈Z ，所以α2是第一或第三象限角，则tan α2＞0，cos α2的正负不确定；4k π＜2α＜π＋4k π，k ∈Z ，2α的终边在x 轴上方，则sin 2α＞0.故一定为正值的个数为2.答案：2题组3 公式一的应用8．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π6的值等于( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32解析：选A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－24π－5π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋5π6＝sin 5π6＝12.故选A.9．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________．解析：原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos (2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案：3210．化简下列各式：(1)a cos180°＋b sin 90°＋c tan 0°； (2)p 2cos 360°＋q 2sin 450°－2pq cos 0°； (3)a 2sin π2－b 2cos π＋ab sin 2π－ab cos 3π2.解：(1)因为cos 180°＝－1，sin 90°＝1，tan 0°＝0，所以原式＝－a ＋b ； (2)因为cos 360°＝cos 0°＝1，sin 450°＝sin(360°＋90°)＝sin 90°＝1，cos 0°＝1，所以原式＝p 2＋q 2－2pq ＝(p －q )2；(3)因为sin π2＝1，cos π＝－1，sin 2π＝sin 0＝0，cos 3π2＝0，原式＝a 2＋b 2.[能力提升综合练]1．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B ∵－1 000°＝－3×360°＋80°， ∴－1 000°是第一象限角，则sin(－1 000°)＞0； ∵－π4是第四象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＞0； ∵2 rad ＝2×57°18′＝114°36′是第二象限角，∴tan 2＜0. 2．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选B ∵点P 在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0，∴α为第二象限角． 3．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C 则下列各组数中有意义且均为正值的是( ) A ．tan A 与cos B B ．cos B 与sin C C ．sin C 与tan A D ．tan A2与sin C解析：选D ∵0＜A ＜π，∴0＜A 2＜π2，∴tan A2＞0；又∵0＜C ＜π，∴sin C ＞0.4．若tan x ＜0，且sin x －cos x ＜0，则角x 的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选D ∵tan x ＜0，∴角x 的终边在第二、四象限，又sin x －cos x ＜0， ∴角x 的终边在第四象限．5．sin 13π6＋cos 13π3－tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π4的值为________． 解析：原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋π4＝sin π6＋cos π3－tanπ4＝12＋12－1＝0. 答案：06．若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝________．解析：当α在第二象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝－sin αcos α＋sin αcos α＝0；当α在第四象限时，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝sin αcos α－sin αcos α＝0.综上，sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：07．求下列各三角函数值：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6；(2)tan 9π4；(3)sin 1 140°. 解：(1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝cos π6＝32； (2)tan 9π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π4＝tan π4＝1；(3)sin 1 140°＝sin (3×360°＋60°)＝sin 60°＝32. 8．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，可知sin α＜0，由lg(cos α)有意义可知cos α＞0，所以角α是第四象限角．(2)∵|OM |＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m ＜0，从而m ＝－45.由正弦函数的定义可知sin α＝yr＝m |OM |＝－451＝－45. 第2课时 三角函数及其应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 15～P 17的内容，回答下列问题．(1)观察教材P 16的图1.2­7，有向线段MP ，OM ，AT 的方向是如何规定的？提示：当方向与x 轴或y 轴的方向一致时，则有向线段MP ，OM ，AT 的方向为正；当方向与x 轴或y 轴的方向相反时，则有向线段MP ，OM ，AT 的方向为负．(2)观察教材P 16的图1.2­7，你认为sin α，cos α，tan α与有向线段MP ，OM ，AT 有什么关系？提示：|sin_α|＝|MP |，|cos_α|＝|OM |，|tan_α|＝|AT |． 2．归纳总结，核心必记 (1)有向线段带有方向的线段，叫做有向线段． (2)三角函数线的终边与单位圆交于P ，过P 作PM 垂直于续表(1)三角函数线的长度等于三角函数的值吗？提示：不等于，三角函数线的长度等于三角函数值的绝对值． (2)三角函数线的方向能表示三角函数的正负吗？提示：能，当三角函数线与x 轴(或y 轴)正向同向时，所表示三角函数值为正的，与x 轴(或y 轴)正向反向时，所表示三角函数值为负的．[课前反思](1)有向线段的概念： ；(2)三角函数线的概念及作法： ．讲一讲1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线． (1)－π4；(2)17π6；(3)10π3.[尝试解答] 如图．其中MP 为正弦线，OM 为余弦线，AT 为正切线．三角函数线的作法步骤(1)作直角坐标系和角的终边．(2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P ，与x 轴正半轴的交点为A . (3)过点P 作x 轴的垂线，垂足为M .(4)过点A 作x 轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T . (5)有向线段MP ，OM ，AT 即分别为角的正弦线，余弦线和正切线． 练一练1．作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线．解：如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .讲一讲2．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32； (2)cos α≤－12.[尝试解答] (1)如图①所示，作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z .(2)如图②所示，作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z .利用三角函数线解简单不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．练一练2．利用三角函数线，求满足下列条件的α的范围． (1)sin α＜－12；(2)cos α＞32.解：(1)如图①，过点⎝⎛⎭⎪⎫0，－12作x 轴的平行线交单位圆于P ，P ′两点，则sin ∠xOP＝sin ∠xOP ′＝－12，∠xOP ＝11π6，∠xOP ′＝7π6，故α的范围是⎩⎨⎧α|7π6＋2k π＜α＜⎭⎬⎫11π6＋2k π，k ∈Z .(2)如图②，过点⎝⎛⎭⎪⎫32，0作x 轴的垂线与单位圆交于P ，P ′两点，则cos ∠xOP ＝cos∠xOP ′＝32，∠xOP ＝π6，∠xOP ′＝－π6，故α的范围是⎩⎨⎧α|－π6＋2k π＜α＜π6＋}2k π，k ∈Z .讲一讲3．(1)下列关系式中正确的是( ) A ．sin 10°＜cos 10°＜sin 160° B ．sin 160°＜sin 10°＜cos 10° C ．sin 10°＜sin 160°＜cos 10° D ．sin 160°＜cos 10°＜sin 10°(2)设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 的大小顺序排列为________．[尝试解答] (1)由三角函数线知，sin 160°＝sin 20°＞sin 10°，而cos 10°＞sin 20°，所以选C.(2)由如图的三角函数线知：M 1P 1＝MP ＜AT ，因为2π7＞2π8＝π4，所以MP ＞OM ，所以cos 2π7＜sin 2π7＜tan 2π7，所以b ＜a ＜c .答案：(1)C (2)b ＜a ＜c(1)利用三角函数线比较大小的步骤 ①角的位置要“对号入座”； ②比较三角函数线的长度； ③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点： ①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向． 练一练3．设π4＜α＜π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2＜α＜3π4，上述长度关系又如何？解：如图所示，当π4＜α＜π2时，角α的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT ，显然在长度上，AT ＞MP ＞OM ；当π2＜α＜3π4时，角α的正弦线为M ′P ′，余弦线为OM ′，正切线为AT ′，显然在长度上，AT ′＞M ′P ′＞OM ′.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小问题，难点是对三角函数线概念的理解．2．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题 (1)三角函数线的画法，见讲1；(2)利用三角函数线解简单不等式，见讲2； (3)利用三角函数线比较大小，见讲3. 3．理解三角函数线应注意以下四点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值； (4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后．课下能力提升(四) [学业水平达标练]题组1 作已知角的三角函数线1．角π5和角6π5有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定解析：选C 在同一坐标系内作出角π5和角6π5的三角函数线可知，正弦线及余弦线都相反，而正切线相等．2．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、四象限的角平分线上 D ．第一、三象限的角平分线上解析：选C 由条件知sin α＝－cos α，α的终边应在第二、四象限的角平分线上． 3．若角α的余弦线长度为0，则它的正弦线的长度为________．解析：若角α的余弦线长度为0，则α的终边落在y 轴上，所以它的正弦线的长度为1.答案：1题组2 利用三角函数线解简单不等式4．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 D ．[0，π] 解析：选 A 如图，画出三角函数线sin x ＝MP ，cos x ＝OM ，由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4，sin π4＝cos π4，为使sin x ≤cos x 成立，则由图可得－3π4≤x ≤π4.5．利用单位圆，可得满足sin α＜22，且α∈(0，π)的α的集合为________． 解析：如图所示，终边落在阴影内的角α满足sin α＜22.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π 6．求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －22的定义域． 解：由题意，得自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x ＞22. 则不等式组的解的集合如图阴影部分所示，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π3≤x ＜2k π＋3π4，k ∈Z .题组3 利用三角函数线比较大小7．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α＞1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α＜1 D ．不能确定解析：选A 如图，角α的终边与单位圆交于P 点，过P 作PM ⊥x 轴于M 点，由三角形两边之和大于第三边可知sin α＋cos α＞1.8．若－3π4＜α＜－π2，则sin α，cos α，tan α的大小关系是( )A ．sin α＜tan α＜cos αB ．tan α＜sin α＜cos αC ．cos α＜sin α＜tan αD ．sin α＜cos α＜tan α解析：选 D 如图，在单位圆中，作出－3π4＜α＜－π2内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线．由图知，|OM |＜|MP |＜|AT |，考虑方向可得sin α＜cos α＜tan α. 9．sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是( ) A ．sin 1＞sin 1.2＞sin 1.5 B ．sin 1＞sin 1.5＞sin 1.2 C ．sin 1.5＞sin 1.2＞sin 1 D ．sin 1.2＞sin 1＞sin 1.5解析：选C 如图，易知0＜1＜1.2＜1.5＜π2，|MA |＜|NB |＜|QC |，且同向，∴sin 1＜sin 1.2＜sin 1.5.10．试利用单位圆中的三角函数线证明当0＜α＜π2时，sin α＜α＜tan α.证明：如图，单位圆与α的终边OP 相交于P 点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，连接AP ，过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作AT ⊥ x 轴交OP 于T ，则sin α＝MP ，α＝AP ︵l，tan α＝AT ，由S 扇形OAP＜S △OAT ，即12OA ·AP ︵l ＜12OA ·AT ，所以AP︵l ＜AT .又MP ＜PA ＜AP ︵l ，因此MP ＜AP ︵l＜AT .即sin α＜α＜tan α.[能力提升综合练]1．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论中正确的是( )A ．MP ＜OM ＜0B ．OM ＞0＞MPC ．OM ＜MP ＜0D ．MP ＞0＞OM解析：选D 如图所示，正弦线为MP，余弦线为OM，结合图象，可知：MP＞0，OM＜0，故OM＜0＜MP.2．已知角α的正切线是单位长度的有向线段，那么角α的终边( )A．在x轴上B．在y轴上C．在直线y＝x上D．在直线y＝x，或y＝－x上解析：选D 由题意可知，如图，|AT|＝1，∴AT＝±1.则tan α＝±1，角α的终边在直线y＝±x上，故选D.3．设a＝sin(－1)，b＝cos(－1)，c＝tan(－1)，则有( )A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b解析：选C 如图作出角α＝－1 rad的正弦线、余弦线及正切线，显然b＝cos(－1)＝OM＞0，c＝tan(－1)＜a＝sin(－1)＜0，即c＜a＜b.4．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于直线y＝x对称 D．关于原点对称解析：选A 利用单位圆中的余弦线解题易知A正确．5．若0＜α＜2π，且sin α＜32，cos α＞12.利用三角函数线，得到α的取值范围是________．解析：利用三角函数线得α的终边落在如图所示∠AOB的区域内，所以α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，2π6．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，3π2，则sin θ的取值范围是________．解析：由图可知sin 3π4＝22，sin 3π2＝－1，－1＜sin θ＜22，即sin θ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，22.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，22 7．利用三角函数线写出满足下列条件的角x 的集合． (1)sin x ＞－12，且cos x ＞12；(2)tan x ≥－1.解：(1)由图①知，当sin x ＞－12，且cos x ＞12时，角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π6＋2k π＜x ＜π3＋2k π，k ∈Z .(2)由图②知，当tan x ≥－1时，角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π－π4≤x ＜2k π＋π2，k ∈Z ∪⎩⎨⎧x |2k π＋3π4≤x ＜⎭⎬⎫2k π＋3π2，k ∈Z ，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |k π－π4≤x ＜k π＋π2，k ∈Z .8．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.证明：如图所示 ，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox 、PN ⊥Oy ，M 、N 分别为垂足．∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ， ∴12sin α＋12cos α＜π4， 即sin α＋cos α＜π2，∴1＜sin α＋cos α＜π2.第3课时 同角三角函数的基本关系[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P 18～P 20的内容，回答下列问题． (1)观察教材P 19图1.2－8，图中α的正弦线、余弦线各是什么？ 提示：正弦线是MP ，余弦线为OM ．(2)若P 点坐标为(x ，y )，则sin α，cos α各为何值？sin α与cos α有什么关系？提示：sin_α＝y ，cos_α＝x ，sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝1．(3)若α≠π2＋k π，k ∈Z ，能否用sin α和cos α来表示tan α？如果能，试写出它们的关系式．提示：能．tan_α＝sin αcos α．2．归纳总结，核心必记 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin 2α＋cos 2α＝1． (2)商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan_α⎝ ⎛⎭⎪⎫其中α≠k π＋π2（k ∈Z ）. [问题思考](1)对任意α，都有sin 2α＋cos 2α＝1成立吗？ 提示：是．(2)对任意α，都有tan α＝sin αcos α成立吗？提示：只有当α≠π2＋k π，k ∈Z 时，tan_α＝sin αcos α才成立．(3)对任意的角α，sin 22α＋cos 22α＝1是否成立？ 提示：成立．(4)当2α≠π2＋k π，k ∈Z 时，tan 2α＝sin 2αcos 2α是否成立？提示：成立．[课前反思](1)同角三角函数的平方关系： ；(2)同角三角函数的商数关系： ；(3)同角三角函数的基本关系式成立的条件： .讲一讲1．(1)已知cos α＝－45，求sin α和tan α.(2)已知tan α＝3，求下列各式的值． ①4sin α－cos α3sin α＋5cos α；②sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α； ③34sin 2a ＋12cos 2α. [尝试解答] (1)sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝⎝ ⎛⎭⎪⎫352，因为cos α＝－45＜0，所以α是第二或第三象限角，当α是第二象限角时，sin α＝35，tan α＝sin αcos α＝－34；当α是第三象限角时，sin α＝－35，tan α＝sin αcos α＝34.(2)①原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114；②原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝9－2×3－14－3×32＝－223； ③原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×9＋129＋1＝2940.已知三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin α＝m ，可以先应用公式cos α＝±1－sin 2α求得cos α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(2)若已知cos α＝m ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(3)已知tan α＝m ，可以求a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α或a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的值，将分子分母同除以cos α或cos 2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(4)对于a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin 2α＋cos 2α进行代替后分子分母同时除以cos 2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值．练一练1．(1)已知sin α＝1213，并且α是第二象限角，求cos α和tan α.(2)已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．(3)已知tan α＝2，求4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α的值．解：(1)cos 2α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝⎝ ⎛⎭⎪⎫5132，又α是第二象限角，所以cos α＜0，cos α＝－513，tan α＝sin αcos α＝－125.(2)由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α，①又sin 2α＋cos 2α＝1，② 由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，故cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.(3)4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α ＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1 ＝4×4－3×2－54＋1＝1.讲一讲2．已知sin α＋cos α＝－13，0＜α＜π.(1)求sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．[尝试解答] (1)由sin α＋cos α＝－13，得(sin α＋cos α)2＝19，sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，sin αcos α＝－49.(2)因为0＜α＜π，sin αcos α＜0，所以sin α＞0，cos α＜0⇒sin α－cos α＞0. sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝173.(1)sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以利用平方关系求其他两个，即“知一求二”．(2)求sin α＋cos α或sin α－cos α的值，要注意判断它们的符号． 练一练2．(1)若sin θ－cos θ＝2，则tan θ＋1tan θ＝________． (2)已知sin αcos α＝18，且π4＜α＜π2，则cos α－sin α＝________．解析：(1)由已知得(sin θ－cos θ)2＝2， 所以sin θcos θ＝－12.所以tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－2.(2)(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34.因为π4＜α＜π2，所以cos α＜sin α，即cos α－sin α＜0，所以cos α－sin α＝－32. 答案：(1)－2 (2)－32讲一讲3．化简sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α.[尝试解答] 原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·（1－cos α）21－cos2α＝sinα1－cos α·1－cos α|sin α|＝±1.(1)利用同角三角函数关系化简的常用方法①化切为弦，减少函数名称，便于约分化简；②对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值号表示，然后考虑正负；③对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简．(2)简单的三角恒等式的证明思路①从一边开始，证明它等于另一边；②证明左、右两边等于同一个式子；③逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简．练一练3．求证：sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝1.证明：sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝sin α1－cos α·cos α·sin αcos α1＋cos α＝sin α1－cos α·sin α1＋cos α＝sin2α1－cos2α＝sin2αsin2α＝1.——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是利用同角三角函数基本关系式求值以及sinθ±cos θ与sin θcos θ关系的应用．难点是三角函数式的化简与证明．2．要掌握sin θ±cos θ与sin θcos θ之间的转换(1)(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ；(2)(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ；(3)(sin θ＋cos θ)2＋(sin θ－cos θ)2＝2；(4)(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θcos θ.3．要掌握同角三角函数基本关系式的三个应用(1)利用同角三角函数的基本关系求值，见讲1；(2)sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用，见讲2； (3)三角函数式的化简与证明的方法，见讲3.4．本节课的易错点是利用同角三角函数基本关系式求sin α、cos α的值时，易忽视对角α所处象限的讨论，造成sin α、cos α漏解或多解的错误，如讲1的第(1)题．课下能力提升(五) [学业水平达标练]题组1 利用同角三角函数的基本关系求值1．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513 C.513 D.213解析：选A 因为α是第二象限角，所以cos α＜0，故cos α＝－1－sin 2α＝ －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫5132＝－1213.2．已知tan α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos α＝( )A ．±45 B.45 C ．－45 D.35解析：选C 由tan α＝34，即sin αcos α＝34，所以sin α＝34cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫34cos α2＋cos 2α＝1，整理得cos 2α＝1625，解得cos α＝±45.又α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，所以cos α＜0，故cos α＝－45. 3．若cos α＝－45，α是第三象限角，则sin α＝________，tan α＝________．解析：由sin 2α＋cos 2α＝1得sin 2α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝925.已知α是第三象限角，则sin α＜0，于是sin α＝－35.从而tan α＝sin αcos α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝34.答案：－35 344．已知2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π.求：(1)tan α；(2)2sin α－3cos α4sin α－9cos α.解：(1)2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2α＝2cos 2α＋3cos αsin α－3sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2α， 则2＋3tan α－3tan 2α1＋tan 2α＝1，即4tan 2α－3tan α－1＝0. 解得tan α＝－14或tan α＝1.∵a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，－π，∴α为第二象限角， ∴tan α＜0，∴tan α＝－14.(2)原式＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝－2×14－3－4×14－9＝720.题组2 sin θ±cos θ与sin θcos θ关系的应用5．已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin θcos θ的值为( )A.23 B ．－23 C.13 D ．－13解析：选A 由sin 4θ＋cos 4θ＝59，得(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝59.∴sin 2θcos 2θ＝29.∵θ是第三象限角，∴sin θ＜0，cos θ＜0，∴sin θcos θ＝23. 6．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝( )A.12 B ．2 C ．－12D ．－2 解析：选B 由已知可得(cos α＋2sin α)2＝5， 即4sin 2α＋4sin αcos α＋cos 2α＝5(sin 2α＋cos 2α)， ∴tan 2α－4tan α＋4＝0，故tan α＝2.7．已知0＜θ＜π，且sin θ－cos θ＝15，求sin θ＋cos θ，tan θ的值．解：∵sin θ－cos θ＝15，∴(sin θ－cos θ)2＝125.解得sin θcos θ＝1225.∵0＜θ＜π，且sin θ·cos θ＝1225＞0，∴sin θ＞0，cos θ＞0.∴sin θ＋cos θ＝（sin θ＋cos θ）2＝1＋2sin θcos θ＝1＋2425＝75.由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－cos θ＝15，sin θ＋cos θ＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝45，cos θ＝35，∴tan θ＝sin θcos θ＝43.题组3 三角函数式的化简与证明 8．化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin 2130°. 解：原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1. 9．求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.证明：法一：∵右边＝tan 2α－sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2α（1－cos 2α）（tan α－sin α）tan αsin α＝tan 2a sin 2α（tan α－sin α）tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．法二：∵左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α（1－cos α）＝sin 2αsin α（1－cos α）＝sin α1－cos α，∴左边＝右边，原等式成立．[能力提升综合练]1．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15 B ．－35 C.15 D.35解析：选 B ∵sin α＝55，∴cos 2α＝1－sin 2α＝1－15＝45.sin 4α－cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝sin 2α－cos 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫552－45＝15－45＝－35.故选B.2．若α为第三象限角，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1解析：选B ∵α为第三象限角，∴原式＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－3.3.⎝⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x sin 2x 等于( ) A ．tan x B ．sin x C ．cos x D.1tan x解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan x ＋1tan x sin 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ＋cos x sin x sin 2x ＝1sin x cos x ·sin 2x ＝sin x cos x ＝tan x .4．当α≠k π2(k ∈Z )时，⎝⎛⎭⎪⎫cos α＋1tan α(sin α＋tan α)的值( )A ．恒为正B ．恒为负C ．恒非负D ．可正可负解析：选A ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α＋1tan α(sin α＋tan α)＝sin αcos α＋cos α·sin αcos α＋ sin α·cos αsin α＋1＝sin α＋cos α＋1＋sin αcos α＝(1＋sin α)(1＋cos α)．∵α≠k π2，k ∈Z ，∴1＋sin α＞0，1＋cos α＞0，故选A.5．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5(m ≠0)，则m ＝______，tan θ＝________． 解析：∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴（m －3）2（m ＋5）2＋（4－2m ）2（m ＋5）2＝1.得m ＝0(舍)，或m ＝8.∴sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ＝sin θcos θ＝－512.答案：8 －5126．若sin x ＋cos x ＝2，那么sin 4x ＋cos 4x 的值为________． 解析：由sin x ＋cos x ＝2，得2sin x cos x ＝1. 由sin 2x ＋cos 2x ＝1，得sin 4x ＋cos 4x ＋2sin 2x cos 2x ＝1. 所以sin 4x ＋cos 4x ＝1－12(2sin x cos x )2＝1－12×1＝12.答案：127．已知tan 2α＝2tan 2β＋1，求证：sin 2β＝2sin 2α－1. 证明：法一：∵tan 2α＝2tan 2β＋1， ∴tan 2β＝tan 2α－12.①∵tan 2β＝sin 2βcos 2β， ∴tan 2β＝sin 2β1－sin 2β， ∴sin 2β＝sin 2βsin 2β＋cos 2β＝sin 2βcos 2βsin 2βcos 2β＋cos 2βcos 2β＝tan 2β1＋tan 2β.② 由①②，得sin 2β＝tan 2α－121＋tan 2α－12＝tan 2α－1tan 2α＋1＝sin 2αcos 2α－1sin 2αcos 2α＋1＝sin 2α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2sin 2α－1.法二：∵tan 2α＝2tan 2β＋1，∴tan 2α＋1＝2(tan 2β＋1)． ∴sin 2α＋cos 2αcos 2α＝2·sin 2β＋cos 2βcos 2β.∴1cos 2α＝2cos 2β. ∴cos 2β＝2cos 2α.∴1－sin 2β＝2(1－sin 2α)． ∴sin 2β＝2sin 2α－1.8．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0，2π)，求：(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ的值；(2)m 的值；(3)方程的两根及θ的值． 解：因为已知方程有两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3＋12， ①sin θcos θ＝m 2， ②Δ＝4＋23－8m ≥0. ③(1)sin θ1－1tan θ＋cos θ1－tan θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ＝3＋12. (2)对①式两边平方，得1＋2sin θcos θ＝2＋32，所以sin θcos θ＝34. 由②，得m 2＝34，所以m ＝32.由③，得m ≤2＋34，所以m ＝32.(3)因为m ＝32， 所以原方程为2x 2－(3＋1)x ＋32＝0. 解得x 1＝32，x 2＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝32，sin θ＝12.又因为x ∈(0，2π)， 所以θ＝π3或θ＝π6.。

1．2.1 任意角的三角函数(第二课时)[教材研读]预习课本P15～17，思考以下问题1．有向线段是如何定义的？2．三角函数线是如何定义的？[要点梳理]1．有向线段带有方向的线段叫做有向线段．2．三角函数线判断(正确的打“√”，错误的打“×”)1．三角函数线的长度等于三角函数值．( )2．三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) 3．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) [答案] 1.× 2.√ 3.×题型一 三角函数线的画法思考：用字母表示三角函数线时，字母顺序能否颠倒？ 提示：不能，因为三角函数线有方向．作出3π4的正弦线、余弦线和正切线．[思路导引] 作三角函数线时，充分利用单位圆，找到角的终边与单位圆的交点． [解]如图，角3π4的终边与单位圆的交点为P .作PM 垂直于x 轴，垂足为M ，过A (1,0)作单位圆的切线AT ，与3π4的终边的反向延长线交于点T ，则3π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT .三角函数线的画法(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从A (1,0)点引x 轴的垂线，交α的终边(α为第一或第四象限角)或α终边的反向延长线(α为第二或第三象限角)于点T ，即可得到正切线AT .[跟踪训练]作出－9π4的正弦线、余弦线和正切线．[解] 如图所示，－9π4的正弦线为MP ，余弦线为OM ，正切线为AT . 题型二 利用三角函数线比较大小思考：利用三角函数线比较大小应注意什么？提示：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的绝对值．(1)下列关系式中正确的是( )A ．sin10°<cos10°<sin160°B ．sin160°<sin10°<cos10°C ．sin10°<sin160°<cos10°D ．sin160°<cos10°<sin10°(2)设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 的大小顺序排列为________．[思路导引] 利用单位圆中的三角函数线求解． [解析] (1)如图，由三角函数线知，OM >M 1P 1>MP ，∴cos10°>sin160°>sin10°，所以选C.(2)由57π与27π的终边关于y 轴对称，如右图的三角函数线知：M 1P 1＝MP <AT ，因为2π7>2π8＝π4， 所以MP >OM ，所以cos 2π7<sin 5π7<tan 2π7，所以b <a <c .[答案] (1)C (2)b <a <c(1)利用三角函数线比较大小的步骤 ①角的位置要“对号入座”； ②比较三角函数线的长度； ③确定有向线段的正负．(2)利用三角函数线比较函数值大小的关键及注意点 ①关键：在单位圆中作出所要比较的角的三角函数线．②注意点：比较大小，既要注意三角函数线的长短，又要注意方向． [跟踪训练]利用三角函数线比较下列各组数的大小： ①sin 2π3与sin 4π5；②tan 2π3与tan 4π5.[解] ①由如图的三角函数线知：MP >M 1P 1，∴sin2π3>sin 4π5.②∵AT <AT 1，∴tan 2π3<tan 4π5.题型三 利用三角函数线解不等式思考：利用三角函数线解不等式的步骤是什么？提示：①先作出取等号的角；②利用三角函数线的直观性，在单位圆中确定满足不等式的角的范围；③将图中的范围用不等式表示出来，注意终边相同的角．利用单位圆中的三角函数线，分别确定角θ的取值范围． (1)sin θ≥32；(2)－12≤cos θ<32. [思路导引] 利用单位圆中的三角函数线找到取等号时的角，再结合图形写出角的取值范围．[解] (1)图①中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π＋π3≤θ≤2k π＋2π3，k ∈Z. (2)图②中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪⎪2k π－2π3π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋23π，k ∈Z .利用三角函数线解简单不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．要特别注意是否含角的边界．[跟踪训练]利用三角函数线，写出满足下列条件角α的集合．(1)sin α≥22；(2)cos θ≤12. [解] (1)如图：当sin α≥22时，角α满足的集合为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π4＋2k π≤α≤3π4＋2k π，k ∈Z(2)如图，当cos θ≤12时，角α满足的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪π3＋2k π≤α≤5π3＋2k π，k ∈Z课堂归纳小结1．本节课的重点是三角函数线的画法，以及利用三角函数线解简单的不等式及比较大小问题，难点是对三角函数线概念的理解．2．本节课应重点掌握三角函数线的以下三个问题 (1)三角函数线的画法，见典例1； (2)利用三角函数线比较大小，见典例2； (3)利用三角函数线解不等式，见典例3. 3．理解三角函数线应注意以下四点(1)位置：三条有向线段中有两条在单位圆内，一条在单位圆外；(2)方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向切线与α的终边(或其延长线)的交点；(3)正负：三条有向线段中与x 轴或y 轴同向的为正值，与x 轴或y 轴反向的为负值； (4)书写：有向线段的始点字母在前，终点字母在后.1．已知角α的正弦线的长度为单位长度，那么角α的终边( ) A ．在x 轴上 B ．在y 轴上 C ．在直线y ＝x 上D ．在直线y ＝－x 上[解析] 由题意知sin α＝±1，∴角α的终边在y 轴上． [答案] B2．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( ) A.π4 B.3π4 C.7π4D.3π4或7π4[解析] 由题意知角α的终边落在第二或第四象限角平分线上，故α＝3π4或7π4.[答案] D3.如图在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT[解析] 由图可知角α的正弦线为MP ，正切线为AT .[答案] C4．在[0,2π]上，满足sin x ≥12的x 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π [解析]如图所示，sin x ≥12的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6. [答案] B5．sin1.5________sin1.2.(填“>”或“<”)[解析]∵π3<1.2<1.5<π2，由图可知 M 1P 1<M 2P 2，∴sin1.2<sin1.5.[答案] >。

问题 2．以上结论对任一个角 都成立吗？你能够说明吗？
（1） (sin)2 (cos)2 1对任一个角 都成立；
sin tan 对任何一个不等于 k (k Z ) 的角 都成立．
cos
2
（2）说明方法 1：用三角函数的定义说明（利用定义）
说明方法 2：用三角函数线说明（数形结合）
（3）体会从特殊到一般的认知规律，了解同角三角函数关系的几何意义.
右
所以原等式成立.
证法 2、(1 sin x)(1 sin x) 1 sin2 x cos2 x cos x cos x
且1 sin x 0，cos x 0 cos x 1 sin x
（2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所 在象限进行分类讨论．
五、评价设计
(1) 作业：习题 1.2A 组第 10,13 题. (2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.
1.2.3 同角三角函数的基本关系
教学重点：正弦、余弦、正切线的概念。 教学难点：正弦、余弦、正切线的利用。 授课类型：新授课 教学模式：讲练结合 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1．三角函数的定义及定义域、值域：
练习 1：已知角 的终边上一点 P( 3, m) ，且 sin 2m ，求 cos,sin 的值。
r
x
当 m 5 时， r 2 2, x 3 ，
cos x 6 , tan y 15 ；
r4
x3
当 m 5 时， r 2 2, x 3 ，
cos x 6 , tan y 15 ．
r4
x3
2．三角函数的符号：

第1课时 三角函数的定义1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用.2.能判断任意角的三角函数值的符号.3.掌握公式一及其应用.1.任意角的三角函数(1)单位圆：在直角坐标系中，称以________为圆心，以 为半径的圆为单位圆. (2)锐角的三角函数：如图所示，在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，OA=a ，AB=b ，OB=r ，设∠BOA=α，则有：(3)以α的始边为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系.设P (x ，y )是α的终边与单位圆的交点，则有：利用角α终边上任意一点的坐标定义三角函数如下：设α是一个任意角，α的终边上任意一点P (除原点外)的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2)，那么：①比值y r 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y r .②比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x r.③比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x.(x ≠0)(4)定义：当α＝ (k ∈Z )时，tan α无意义.除此之外，对于每一个确定的α，都分别有 确定的正弦值、余弦值、正切值与之对应，所以这三个对应法则都是以角α为 ，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，这三个函数统称为 ，分别记作y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x .由于角的集合与实数集之间建立了一一对应关系，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数，即实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)，其关系如下图所示：(5))A.tan αB.sin αC.cos αD.sin αcos α【做一做1－2】 若角α的终边与单位圆相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，则sin α的值为( )A.22 B.－22 C.12D.－12.三角函数值的符号sin α，cos α，tan α在各个象限的符号如下：正弦、余弦和正切函数在各象限的符号可用以下口诀记忆： “一全正，二正弦，三正切，四余弦”. 其含义是在第一象限各三角函数值全为正，在第二象限只有正弦值为正，在第三象限只有正切值为正，在第四象限只有余弦值为正.【做一做2】 已知α是第三象限角，设sin αcos α＝m ，则有( )A.m ＞0B.m ＝0C.m ＜0D.m 的符号不确定 3.公式一(k ∈Z )sin(α＋2k π)＝________， cos(α＋2k π)＝________， tan(α＋2k π)＝________.该组公式说明：终边相同的角的同名三角函数值相等；如果给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(不存在者除外)，反过来，如果给定一个三角函数值，却有无数多个角与之对应.【做一做3－1】 已知sin 5.1°＝m ，则sin 365.1°＝( )A.1＋mB.－mC.mD.与m 无关【做一做3－2】 已知α与β的终边相同，则下列正确的是( )A.sin α＝－sin βB.cos α＝cos βC.tan αtan β＝0D.tan α＝－tan β答案：1．(1)原点 单位长度 (2)b r a r b a (3)y x y x (4)π2＋k π 唯一 自变量三角函数 (5)R R {x |x ≠k π＋π2，k ∈Z }【做一做1－1】 A 角α的终边在y 轴的非负半轴上，则α＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以tan α无意义．【做一做1－2】 B x ＝22，y ＝－22，则sin α＝y ＝－22. 【做一做2】 A3．sin α cos α tan α 【做一做3－1】 C 【做一做3－2】 B对任意角的三角函数的理解剖析：可以从以下几方面来理解任意角的三角函数： (1)要明确sin α、cos α、tan α分别是一个整体，如sin α不是sin 与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f (x )表示自变量为x 的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的.(2)三角函数值是比值，是一个实数，没有单位，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，而仅由角α的终边位置所决定.对于确定的角α，其终边的位置也唯一确定了.就是说，三角函数值的大小仅与角有关，它是角的函数.(3)任意的三角函数的概念与锐角三角函数概念的实质是一样的，锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角的三角函数是锐角三角函数的推广.题型一 三角函数值的计算【例1】 求2π3的正弦、余弦和正切值.分析：根据定义，只需求出角2π3的终边与单位圆的交点坐标即可.【例2】 已知角α的终边经过点P (3,4)，求sin α，cos α， tan α. 分析：分别写出x ，y ，r 的值，应用定义求得.【例3】 已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值.分析：根据任意角的三角函数的定义，应首先求出点P 到原点的距离r ，由于含有参数a ，要分类讨论.反思：(1)对于α的终边上一点P (x ，y )(非原点)，P 到原点的距离为r ，根据三角函数的定义可得sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.(2)求三角函数值往往用上述定义，而不必再转化为求出角的终边与单位圆的交点坐标，只要知道角的终边上任意一点(非原点)的坐标即可.题型二 判断已知角的三角函数值的符号 【例4】 判断下列三角函数值的符号：(1)sin(－670°)cos 1 230°； (2)sin 8·cos 8. 分析：判断出相关角的终边所在的象限，确定各三角函数值的符号，则积的符号可判断. 反思：已知α的大小，判断sin α，cos α，tan α的符号的步骤：①确定α所在象限；②由α所在象限确定sin α，cos α，tan α的符号.题型三 利用三角函数值的符号确定角所在象限 【例5】 若sin θtan θ＜0，则θ是( )A.第一或第二象限角B.第一或第三象限角C.第一或第四象限角D.第二或第三象限角反思：已知sin α，cos α，tan α中任两个值符号，确定α所在象限时，首先分别确定出α终边所在的可能位置，二者的交集即为α的终边位置.题型四 公式一的简单运用 【例6】 求下列三角函数值：(1)cos(－1 050°)；(2)tan 19π3；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4.分析：先利用公式一化简，再求值.答案：【例1】 解：因为角2π3的终边与单位圆的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，所以sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，tan 2π3＝－ 3.【例2】 解：由x ＝3，y ＝4，得r ＝32＋42＝5. ∴sin α＝y r ＝45，cos α＝x r ＝35，tan α＝y x ＝43.【例3】 解：r ＝－4a 2＋a 2＝5|a |.若a ＞0，r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝3a 5a ＝35，cos α＝x r ＝－4a 5a ＝－45，tan α＝y x ＝3a －4a ＝－34.若a ＜0，r ＝－5a ，角α在第四象限．sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.【例4】 解：(1)∵－670°＝－2×360°＋50°，∴－670°是第一象限角，∴sin(－670°)＞0.又1 230°＝3×360°＋150°， ∴1 230°是第二象限角，∴cos 1 230°＜0，∴sin(－670°)cos 1 230°＜0. (2)∵52π＜8＜3π，即8 rad 的角是第二象限角，∴sin 8＞0，cos 8＜0.∴sin 8·cos 8＜0.【例5】 D ∵sin θtan θ＜0，∴sin θ＞0，tan θ＜0或sin θ＜0，tan θ＞0.当sin θ＞0，tan θ＜0时，θ是第二象限角；当sin θ＜0，tan θ＞0时，θ是第三象限角．综上所得，θ是第二或第三象限角．【例6】 解：(1)∵－1 050°＝－3×360°＋30°，∴cos(－1 050°)＝cos(－3×360°＋30°)＝cos 30°＝32. (2)∵19π3＝3×2π＋π3，∴tan 19π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×2π＋π3＝tan π3＝ 3.(3)∵－31π4＝－4×2π＋π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π4＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－4×2π＋π4＝sin π4＝22.1．sin 390°等于( )A.12B.2C.2D.12．若sin α＜0且tan α＞0，则α的终边在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 3．已知角α的终边过点P (4a ，－3a )(a ＜0)，则2sin α＋cos α的值是________. 4．判断下列各式的符号.(1)tan 250°cos(－350°)；(2)sin 105°cos 230°. 5．利用定义求5sin 4π，5cos 4π，5tan 4π的值.答案：1．A sin 390°＝sin(30°＋360°)＝sin 30°＝12. 2．C 由于sin α＜0，则α的终边在第三或四象限，又tan α＞0，则α的终边在第一或三象限，所以α的终边在第三象限．3.25∵x ＝4a ，y ＝－3a ，∴r |5a |＝－5a .∴sin α ＝y r ＝35.cos α＝x r ＝45-. ∴2sin α＋cos α＝2×35－45＝25.4．解：(1)∵250°是第三象限角，－350°＝－360°＋10°是第一象限角， ∴tan 250°＞0，cos(－350°)＞0， ∴tan 250°cos(－350°)＞0.(2)∵105°是第二象限角，230°是第三象限角， ∴sin 105°＞0，cos 230°＜0， ∴sin 105°cos 230°＜0.5．解：如图所示，在坐标系中画出角5π4的终边．设角5π4的终边与单位圆的交点为P ，则有P 22⎛-- ⎝⎭. ∴5πtan 42-＝1，5πsin 4＝2-，5πcos 4＝2-.。