高中 必修3 第二章 统计单元复习1

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所以这组数据的方差为5.5，标准差为2.3 .
例4. 从甲、乙两名学生中选拔一人乘积射 击比赛，对他们的射击水平进行测试，两 人在相同的条件下各射击10次，命中环数 如下﹕ 甲﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4； 乙﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7. （1）计算甲、乙两人射击命中环数的平 均数和标准差； （2）比较两人的成绩，然后决定选择哪 一人参赛.
变量间的相关关系
最小二乘法
回归直线方程 y bx + a
n
n
(xi - x)( yi - y) xi yi - nx y
b i1 n
i1 n

, a y - bx
(xi - x)2
xi2 - nx 2
i1
i1
7.小王记录了产量x（吨）和能耗y（吨标准煤）对应
的四组数据，用最小二乘法求出了 yˆ 0.7x +，0不.3慎5 将
6. 2009年义乌小商品博览会共设国际标准展位5000个。 为了解展览期间成交状况，现从中抽取100展位的成交 额（万元），制成如下频率分布表和频率分布直方图：
频率/组距
分组 频 频率 频率/ 0.026
0.50
数
组距 0.022
[150,170) 4 0.04 0.002 0.018
0.36
[170,190)
5
0.05 0.0025 0.014
[190,210) 36 0.36 0.018
0.010
[210,230) 50 0.50 0.025
0.006
[230,250] 5 0.05 0.0025
0.04 0.05
0.05
0.002

人教A版必修③
第二章 统计复习
收集数据
（随机抽样）
本章知识框图
整理、分析数据 并估计、推断
用样本估 计总体
变量间的 相关关系
简 单 随 机
分系 层统
抽 抽 用样本的 样 样 频率分布
用样本的 数字特征
抽 样
估计总体 估计总体
线 性 回 归
分
析
统计学是研究如何合理收集、整理、分析数据
的学科，它可以为人们制定决策提供依据。
抽样的常用方法
三简类单随随机机抽抽样样中中每每个个个个体体被被抽抽取取的的概概率率均相相等等. .
抽签法
等
简单随机抽样 随机数表法
总体个数较少
概 率 抽
第一段用简 单随机抽样
系统抽样
总体个数较多
样
每一层用简 单随机抽样
分层抽样
各部分差异明显
知识梳理
1. 简单随机抽样
（1）思想：设一个总体有N个个体， 从 中逐个不放回地抽取n个个体作为样本， 如果每次抽取时总体内的各个个体被抽 到的机会都相等, 则这种抽样方法叫做 简单随机抽样.
[190,210) 36 0.36 [210,230) 50 0.50
[230,250] 5 0.05
合计 100 1
频率/组距
0.026
0.50
0.022 0.36
0.018
0.014
0.010
0.006 0.002
0.04 0.05
0.05
150 170 190 210 230 250 万元
6. 2009年义乌小商品博览会共设国际标准展位5000个。 为了解展览期间成交状况，现从中抽取若干展位的成交 额（万元），制成如下频率分布表和频率分布直方图：

章末复习课【画一画知识网络、结构更完善】【填要点、记疑点】 1．抽样方法(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，可采用抽签法． (2)当总体容量较大，样本容量较小时，可用随机数法． (3)当总体容量较大，样本容量也较大时，可用系统抽样法． (4)当总体由差异明显的几部分组成时，常用分层抽样． 2．用样本估计总体用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据作频率分布表与频率分布直方图．当样本只有两组数据且样本容量比较小时，用茎叶图刻画数据比较方便． 3．样本的数字特征样本的数字特征可分为两大类：一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差． 4．变量间的相关关系(1) 两个变量之间的相关关系的研究，通常先作变量的散点图，根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系(函数关系)． (2)求回归直线方程的步骤：①先把数据制成表，从表中计算出x ，y，∑ni ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i ；②计算回归系数a ^，b ^.公式为⎩⎨⎧b ^＝∑ni ＝1x i y i－n x y ∑n i ＝1x 2i－n x 2，a ^＝y －b ^x .③写出回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^. 【探题型、提能力】 题型一 抽样方法的应用应用抽样方法抽取样本时，应注意以下几点：(1)用随机数法抽样时，对个体所编的号码位数要相等．当问题所给位数不相等时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数．(2)用系统抽样法抽样时，如果总体容量N 能被样本容量n 整除，抽样间隔为k ＝N n ，如果总体容量N 不能被样本容量n 整除，先用简单随机抽样法剔除多余个体，抽样间隔为k ＝[N n ]．([N n ]表示取Nn的整数部分)例1 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，干事20人，上级机关为了了解机关人员对政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，如何抽取？ 解 用分层抽样抽取．∵20∶100＝1∶5，∴105＝2，705＝14，205＝4，即从副处级以上干部中抽取2人，一般干部中抽取14人，干事中抽取4人． 因副处级以上干部与干事人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人，对一般干部采用00,01，…，69编号，然后用随机数法抽取14人．跟踪训练1 某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ( )A ．6B ．8C ．10D ．12答案 B解析 分层抽样的原理是按照各部分所占的比例抽取样本，设从高二年级抽取的学生数为n ，则3040＝6n，得n ＝8.题型二用样本的频率分布估计总体分布利用样本的频率分布表和频率分布直方图对总体情况作出估计，有时也利用频率分布折线图和茎叶图对总体情况作出估计．直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够看到在分布表中看不清楚的数据模式，这样根据样本的频率分布，我们可以大致估计出总体的分布．但是，当总体的个体数较多时，所需抽样的样本容量也不能太小，随着样本容量的增加，频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条曲线为总体密度曲线，它能给我们提供更加精细的信息．在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，它不但可以保留原始信息，而且可以随时记录，这给数据的记录和表示都能带来方便．例2有1个容量为100的样本，数据的分组及各组的频数如下：[12.5,15.5)，6；[15.5,18.5)，16；[18.5,21.5)，18；[21.5,24.5)，22；[24.5,27.5)，20；[27.5,30.5)，10；[30.5,33.5)，8.(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；(2)画出频率分布直方图；(3)估计数据小于30的数据约占多大百分比．解(1)样本的频率分布表如下：分组频数频率累积频率12.5～15.560.060.0615.5～18.5160.160.2218.5～21.5180.180.4021.5～24.5220.220.6224.5～27.5200.200.8227.5～30.5100.100.9230.5～33.580.08 1.00合计100 1.00(2)(3)小于30的数据约占90%.跟踪训练2 为了了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道后5组频数和为62，视力在4.6到4.8之间的学生数为a ，最大频率为0.32，则a 的值为( )A ．64B ．54C ．48D ．27答案 B解析 [4.7,4.8)之间频率为0.32，[4.6,4.7)之间频率为1－0.62－0.05－0.11＝1－0.78＝0.22.∴a ＝(0.22＋0.32)×100＝54.题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征为了从整体上更好地把握总体的规律， 我们还可以通过样本数据的众数、中位数、平均数和标准差等数字特征对总体的数字特征作出估计．众数就是样本数据中出现次数最多的那个数；中位数就是把样本数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则是处于中间位置的数；如果数据的个数是偶数，则是中间两个数据的平均数．平均数就是所有样本数据的平均值，用x 表示；标准差是反映样本数据分散程度大小的最常用统计量，其计算公式如下： s ＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2] .有时也用标准差的平方s 2——方差来代替标准差，实质一样．例3 甲、乙两机床同时加工直径为100 cm 的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差；(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定． 解 (1)x 甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，x 乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.s 2甲＝16 [(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝16 [(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，又s 2甲>s 2乙， 所以乙机床加工零件的质量更稳定．跟踪训练3 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：解 甲的平均成绩为x 甲＝74，乙的平均成绩为x 乙＝73.所以甲的平均成绩好． 甲的方差是s 2甲＝15(142＋62＋42＋162＋42)＝104，乙的方差是s 2乙＝15×(72＋132＋32＋72＋22)＝56.因为s 2甲>s 2乙，所以乙的各门功课发展较平衡．题型四 回归方程的应用分析两个变量的相关关系时，我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘法求出回归方程．把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，构成的图叫做散点图．从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系．如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，直线方程叫做回归方程．例4 下表提供了某厂节能降耗技术改进后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据.(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ (参考数值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5) 解 (1)散点图如下图所示：(2)x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i ＝1x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，∑4i ＝1x 2i＝32＋42＋52＋62＝86， ∴b ^＝∑4i ＝1x i y i －4x y ∑4i ＝1x 2i －4x 2＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝0.7，a ^＝y －b ^ x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35. ∴所求的回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35. (3)现在生产100吨甲产品用煤y ^＝0.7×100＋0.35＝70.35，∴90－70.35＝19.65. ∴生产能耗比技改前降低约19.65吨标准煤．跟踪训练4 2019年元旦前夕，某市统计局统计了该市2019年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表： 年收入x (万元) 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年饮食支出y (万元)0.91.41.62.02.11.91.82.12.22.3(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．(参考数据：∑10i ＝1x i y i ＝117.7，∑10i ＝1x 2i＝406) 解 (1)依题意可计算得：x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36， x y ＝10.98，又∵∑10i ＝1x i y i ＝117.7，∑10i ＝1x 2i ＝406， ∴b ＝∑10i ＝1x i y i －10x y ∑10i ＝1x 2i －10x2≈0.17，a ＝y －b x ＝0.81，∴y ^＝0.17x ＋0.81.∴所求的回归方程为y ^＝0.17x ＋0.81.(2)当x ＝9时，y ^＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．可估计大多数年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．【呈重点、现规律】名称数形结合频率分布直方图数据分组及频数：[40,50)，2； [50,60)，3；[60,70)，10； [70,80)，15； [80,90)，12； [90,100]，8①可求众数：最高小长方形的中点所对应的数据；②可求中位数：中位数左边和右边的直方图面积相等；③可求平均数：每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和；④可求落在各个区域内的频率总体密度曲线同上可精确地反映一个总体在各个区域内取值的百分比，如分数落在(a ，b )内的百分比是左图中阴影部分的面积茎叶图甲的数据：95,81,75,89,71,65,76,88,94； 乙的数据：83,86,93,99,88,103,98,114,98①茎是十位和百位数字，叶是个位数字；②可以帮助分析样本数据的大致频率分布；③可用来求数据的一些数字特征，如中位数、众数等可以判断两个变量之散点图n个数据点(x i，y i)间有无相关关系。

A．分层抽样法，系统抽样法 B．分层抽样法，简单随机抽样法 C．系统抽样法，分层抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法
答案 B
规律技巧 要掌握三种抽样方法的定义及适用范围．
例3 将一个总体的100个个体编号为0,1,2，…，99，并依 次将其分为10个组，组号为0,1,2，…，9.要用系统抽样法抽取 一个容量为10的样本，如果在第0组(号码为0～9)随机抽取的 号码为2，则所抽取的10个号码为________．
x3 4 5 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91
7
7
7
已知：x2i ＝280，yi2＝45309，xiyi＝3487，
i＝1
i＝1
i＝1
(1)求 x ， y ； (2)画出散点图； (3)求纯利y与每天销售件数x之间的回归直线方程．
解析 (1) x ＝3＋4＋5＋67＋7＋8＋9＝6， y ＝66＋69＋73＋871＋89＋90＋91≈79.86. (2)散点图如下：
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
专题三 用样本的数字特征估计总体的数字特征 例6 佛山市在每年的春节后，市政府都会发动公务员参 与到植树活动中去．林管部门在植树前，为保证树苗的质量， 都会在植树前对树苗进行检测．现从甲乙两种树苗中各抽测了 10株树苗的高度，量出的高度如下(单位：厘米) 甲：37,21,31,20,29,19,32,23,25,33 乙：10,30,47,27,46,14,26,10,44,46