切线的性质和判定[1]PPT课件

答：圆心O到直线L
的距离是＿⊙＿O ＿的＿半＿径.
直线L是⊙O的 ＿切＿线＿ .
O
lL
A
探究新知
切线的判定定理：
经过_半__径__的__外__端___并且__垂__直___于这条半径的的
直线是圆的切线.
定理的几何语言：如图
∵OA是⊙O的___半__径___，
OA＿⊥＿L ，
O
lL
A
∴直线是切线．
探究新知
分析：要证AC 是⊙O 的切线，只要证 明由点O 向AC 所作的垂线段OE 是 _⊙__O___的__半__径___就可以了.而OD是⊙O的 半径，则要证OE=OD.
探究新知
证明： 过点O 作OE⊥AC， 垂足为E,连接OD,OA. ∵AB与⊙O 相切于点D,∴ ___O__D_⊥__A_.B 又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC 的中点， ∴ ____A_O__是__∠__B_A__C__的__平___分__线______.（ 三线合一） ∴_O__E_=__O__D_.（ 角平分线性质 ） 即OE 是⊙O 的半径, ∴AC 经过⊙O 的半径OE 的外端E，OE⊥AC， ∴AC 是⊙O的切线( 切线的判定定理 )．
1.已知一个圆和圆上的一个点， 如何过这个点画出圆的切线？（用尺规作图）
l
作法：
1、连接OA; 2、过点A 作直线l 与OA 垂直, 直线l 就是所求作的切线，如图.
探 究 新 知 ２.如图，AB是⊙O 的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB． 求证：AT 是⊙O 的切线．
证明：
∵AT＝AB, ∠ABT＝45°,∴∠ATB=45°, ∴∠TAB=90°,即OA⊥TA. ∵AT经过⊙O 的半径于点A, ∴AT是⊙O 的切线.

高为半径的圆与底边相切．
2020年10月2日
7
练习：P50-3
❖ 已知：AB是⊙O的直径， ∠ABT=450， AT=AB，
❖ 求证：AT是⊙O的切线
B
O
T
A
2020年10月2日
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练习：P50-4
❖ AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上， BD=OB，点C在圆上，∠CAB=300
❖ 求证：DC是⊙O的切线
高为底半边径AB的上圆的与中线底．边相
切∴AB⊥OC．
直线AB经过半径0C的外端C，
B
并且垂直于半径0C，所以AB
是⊙O的切线．
2020年10月2日
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判断：
❖ (1)经过半径外端的直线是圆的切线． ❖ (2)垂直于半径的直线是圆的切线． ❖ (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直
线是圆的切线． ⊙O ❖ (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线． ❖ (5)以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的
4
切线的判定方法
❖ ①直线与圆有唯一公共点； ❖ ②直线到圆心的距离等于该圆的半径； ❖ ③切线的判定定理．
2020年10月2日
5
例1
❖ 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且 OA=OB，CA＝CB．
❖ 求证：直线AB是⊙O的切线．
O
A
C
证明结：∵论0连A：＝结以00BC等，腰CA三＝角CB形，的 顶∴点0C为是圆等腰心三，角底形边0A上B的
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
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段，再证明这条垂线段等于圆旳半径。（作垂直，证半径）
3. 圆旳切线性质定理：圆旳切线垂直于圆旳半径。
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径，得垂直”。
总结：
1.切线和圆只有一种公共点. 2.切线和圆心旳距离等于半径. 3.切线垂直于过切点旳半径. 4.经过圆心垂直于切线旳直线必过切点. 5.经过切点垂直于切线旳直线必过圆心.
∴AC与⊙O相切
课堂小结
1. 鉴定切线旳措施有哪些？
与圆有唯一公共点
l是圆旳切线
直线l 与圆心旳距离等于圆旳半径 经过半径外端且垂直这条半径
l是圆旳切线 l是圆旳切线
2. 常用旳添辅助线措施？
⑴直线与圆旳公共点已知时，作出过公共点旳半径，
再证半径垂直于该直线。（连半径，证垂直）
⑵直线与圆旳公共点不拟定时，过圆心作直线旳垂线
A
O
E C
小结
例1与例2旳证法有何不同?
O A
D
B
O
A
C
B
E C
(1)假如已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆 心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简 记为：连半径,证垂直。
(2)假如已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线旳垂线段为辅助线,再证垂线段长 等于半径长。简记为：作垂直,证半径。
∵ AB为直径
A
∴ OB=OA， ∵BP=PC， ∴OP∥AC。
O
E B PC
又∵ PE⊥AC，
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0旳切线。
例2:已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为
半径作⊙O。 求证：⊙O与AC相切。
D
B

分析：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证 OA 垂直于 AC 即可.
证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°，
B
∴∠ACB =∠ABC = 45°.
∴∠BAC = 180° -∠ABC -∠ACB = 90°， O
即 AB⊥AC.
∵ AB 是☉O 的直径，∴ AC 是☉O 的切线. A
C
24.2.3切线的判定与性质
证明：连接 OP，如图.
A
∵ AB = AC，∴∠B =∠C.
∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB.
∴∠OPB =∠C.
O
∴ OP∥AC.
∵ PE⊥AC，∴ PE⊥OP.
E
∴ PE为 ⊙O 的切线.
B PC
24.2.3切线的判定与性质
6. 如图，PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O交于 B、
（2）则 OM＜OA，即圆心到直线 CD 的
距离小于⊙O 的半径，因此，CD
与⊙O 相交. 这与已知条件“直线
与⊙O 相切”相矛盾；
C
（3）所以假设不成立，故 AB 与 CD 垂直.
O AMD
24.2.3切线的判定与性质
例4 如图，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交⊙O 于
点 B，连接 AB. 若∠B = 25°，求∠P 的度数.
切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式
O
∵直线 l 是⊙O 的切线，A 是切点，
∴直线 l⊥OA.
A
l
24.2.3切线的判定与性质
性质定理的证明 证法：反证法
理由是：直径 AB 与直线 CD 要么垂直，要么不垂直.
（1）假设 AB 与 CD 不垂直，过点 O 作