2018届北师大版 不等式选讲 检测卷

章末综合测评(三)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是( )【导学号：91022303】A ．ac >bdB ．a －c >b －dC ．a ＋c >b ＋dD ．a d >b cC [∵a >b ，c >d ，∴a ＋c >b ＋d .]2．设m ＝(x ＋5)(x ＋7)，n ＝(x ＋6)2，则m 、n 的大小关系是( ) A ．m ≤n B ．m ＞n C ．m ＜nD ．m ≥n C [m －n ＝(x ＋5)(x ＋7)－(x ＋6)2＝x 2＋12x ＋35－x 2－12x －36＝－1＜0，故m ＜n .]3．不等式1x －2≥2的解集为( ) A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52C ．(－∞，2)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，52A [原不等式可化为2x －5x －2≤0，解之得⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52.]4．已知点P (x 0，y 0)和点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( )【导学号：91022304】A ．3x 0＋2y 0>0B ．3x 0＋2y 0<0C ．3x 0＋2y 0<8D ．3x 0＋2y 0>8D [设f (x ，y )＝3x ＋2y －8，则由题意，得f (x 0，y 0)·f (1,2)<0，得3x 0＋2y 0－8>0.]5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A ．72 B ．4 C ．92D ．5C [由a ＋b ＝2得12(a ＋b )＝1，故y ＝1a ＋4b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92，当且仅当b ＝2a ，即a ＝23，b ＝43时等号成立．] 6．已知正三角形ABC 的顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 的取值范围是( )【导学号：91022305】A ．(1－3，2)B ．(0,2)C ．(3－1,2)D ．(0,1＋3)A [如图，根据题意得C (1＋3，2)．作直线－x ＋y ＝0，并向左上或右下平移，过点B (1,3)和C (1＋3，2)时，z ＝－x ＋y 取范围的边界值，即－(1＋3)＋2<z <－1＋3，∴z ＝－x ＋y 的取值范围是(1－3，2)．]7．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0.则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A ．[－1,1]B ．[－2,2]C ．[－2,1]D ．[－1,2]A[f (x )≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0－x ＋2≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2－x －2≤0或⎩⎨⎧x >0x 2＋x －2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0－1≤x ≤2或⎩⎨⎧x >0－2≤x ≤1⇔－1≤x ≤0或0<x ≤1⇔－1≤x ≤1.]8．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )【导学号：91022306】A ．(－∞，2]B ．(－2,2)C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)C [当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式化为－4＜0对一切x ∈R 恒成立．当a －2≠0时，即a ≠2时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0，解得－2＜a ＜2.综上所述，a 的取值范围为－2＜a ≤2，故选C.]9．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ，则x ＋2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9D [作出可行域如图中阴影部分所示．设z ＝x ＋2y ，则y ＝－12x ＋12z .作出直线l 0：y ＝－12x ，并平移该直线，可知当直线y ＝－12x ＋12z 过点C 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，故C (3,3)． ∴z max ＝3＋2×3＝9.]10．已知O 是坐标原点，点P (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2，x ≤1 ，y ≤2上的一个动点，则O P →·OM→的取值范围是( )【导学号：91022307】A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]C [OP →·OM →＝(－1,1)·(x ，y )＝y －x ，画出线性约束条件 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2，表示的平面区域如图所示．可以看出当z ＝y －x 过点A (1,1)时有最小值0，过点C (0,2)时有最大值2，则OP →·OM →的取值范围是[0,2]，故选C.]11．已知实数x ，y 满足2x ＋y －5＝0，那么x 2＋y 2的最小值为( )【导学号：91022308】A ． 5B ．10C ．2 5D ．210 A [∵y ＝5－2x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(5－2x )2＝5x 2－20x ＋25＝5(x －2)2＋5， ∴当x ＝2时，x 2＋y 2的最小值为 5.]12．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0交于M 、N 两点，且M 、N 关于直线x －y ＝0对称，动点P (a ，b )在不等式组⎩⎨⎧kx －y ＋2≥0，kx －my ≤0，y ≥0，表示的平面区域内部及边界上运动，则ω＝b －2a －1的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(－∞，－2]C ．[－2,2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D [由题意分析直线y ＝kx ＋1与直线x －y ＝0垂直，所以k ＝－1，即直线y ＝－x ＋1.又圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k2，－m 2在直线x －y ＝0上，可求得m ＝－1.则不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋2≥0，－x ＋y ≤0，y ≥0，所表示的平面区域如图，ω＝b －2a －1的几何意义是点Q (1,2)与平面区域上点P (a ，b )连线斜率的取值范围．k OQ ＝2，k AQ ＝－2，故ω的取值范围为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．不等式－4x 2＋7x －3≥0的解集为________．[解析] 原不等式可化为4x 2－7x ＋3≤0，即(4x －3)(x －1)≤0解得34≤x ≤1，则不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，114．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，且满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz 的最小值为________.【导学号：91022309】[解析] 由题意知y ＝x ＋3z 2，所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz＝x 2＋9z 24xz ＋32≥29x 2z 24xz ＋32＝32＋32＝3(当且仅当x 2＝9z 2时等号成立)，所以y2xz 的最小值为3.[答案] 315．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．[解析] 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.再求f (x )<5的解，由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，x 2＋4x <5，得－5<x <0，即f (x )<5的解为(－5,5)．由于f (x )向左平移两个单位即得f (x ＋2)，故f (x ＋2)<5的解集为{x |－7<x <3}． [答案] {x |－7<x <3}16．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b 取得最小值.【导学号：91022310】[解析] 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎨⎧b 4|a |＝|a|b ，a <0，即a ＝－2.[答案] －2三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解不等式组⎩⎨⎧3x －2x －6≤1，2x 2－x －1＞0.[解]3x －2x －6≤1⇒2x ＋4x －6≤0⇒x ∈[－2,6)，2x 2－x －1＞0⇒(2x ＋1)(x －1)＞0⇒x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1＋∞)，所以，原不等式组的解集为x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，－12∪(1,6)．18．(本小题满分12分)若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}.【导学号：91022311】(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .[解] (1)由题意知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a <041－a＝－261－a ＝－3，解得a ＝3.∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，解得x <－1或x >32.∴所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >32.(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，若此不等式的解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6. 19．(本小题满分12分)已知x ，y 都是正数． (1)若3x ＋2y ＝12，求xy 的最大值； (2)若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y 的最小值． [解] (1)xy ＝16·3x·2y ≤16×⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋2y 22＝6. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＝2y ，3x ＋2y ＝12， 即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，时取“＝”号．所以当x ＝2，y ＝3时，xy 取得最大值6. (2)1x ＋1y ＝13(x ＋2y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋x y ＋2y x ≥13⎝⎛⎭⎪⎫3＋2x y ·2y x ＝1＋223.当且仅当⎩⎨⎧x y ＝2y x ，x ＋2y ＝3，即⎩⎨⎧x ＝－3＋32，y ＝3－322时，取“＝”号．所以，当x ＝－3＋32，y ＝3－322时，1x ＋1y 取得最小值1＋223.20．(本小题满分12分)某厂准备生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元，2千元．甲、乙产品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲产品所需工时分别为1时、2时，加工一件乙产品所需工时分别为2时、1时，A 、B 两种设备每月有效使用工时分别为400时和500时．如何安排生产可使月收入最大？[解]设甲、乙两种产品的产量分别为x ，y 件，约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4002x ＋y ≤500，x ≥0，y ≥0目标函数是f ＝3x ＋2y ，要求出适当的x ，y 使f ＝3x ＋2y 取得最大值．作出可行域，如图．设3x ＋2y ＝a ，a 是参数，将它变形为y ＝－32x ＋a2，这是斜率为－32，随a 变化的一组直线．当直线与可行域相交且截距a2最大时，目标函数f 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y ＝400，2x ＋y ＝500得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝200，y ＝100.因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200,100件时，可得最大收入800千元．21．(本小题满分12分)甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于 3 000元，求x 的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[解] (1)根据题意，200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000⇔5x －14－3x ≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112， 故x ＝6时，y max ＝457 500元．22．(本小题满分12分)已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b },【导学号：91022312】(1)求a ，b 的值；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.[解] (1)由题意知，1和b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，则⎩⎪⎨⎪⎧3a ＝1＋b2a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝2.(2)不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即为x 2－(c ＋2)x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0. ①当c >2时，2<x <c ； ②当c <2时，c <x <2； ③当c ＝2时，原不等式无解．综上知，当c >2时，原不等式的解集为{x |2<x <c }；当c<2时，原不等式的解集为{x|c<x<2}；当c＝2时，原不等式的解集为∅.11。

[A级基础达标](时间：40分钟)1．[2017·绵阳周测]设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则下列关于t和s 的大小关系中正确的是()A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s答案 D解析s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t，选D项．2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x2>0，则f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C．恒为正值D．无法确定正负答案 A解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x2>0，可知x1>－x2，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)<0.3．[2017·东城模拟]在△ABC中，sin A sin C＜cos A cos C，则△ABC 一定是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案 C解析由sin A sin C＜cos A cos C，得cos A cos C－sin A sin C＞0，即cos(A＋C)＞0，所以A＋C是锐角，从而B＞π2，故△ABC必是钝角三角形．4．[2017·郑州模拟]设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sin x＋cos x)2，则() A．P>Q B．P<QC．P≤Q D．P≥Q解析 因为2x ＋2－x ≥22x ·2－x ＝2(当且仅当x ＝0时等号成立)，而x >0，所以P >2；又(sin x ＋cos x )2＝1＋sin2x ，而sin2x ≤1，所以Q ≤2.于是P >Q .故选A.5．设x ，y ，z ＞0，则三个数y x ＋y z ，z x ＋z y ，x z ＋xy ( ) A ．都大于2 B ．至少有一个大于2 C ．至少有一个不小于2 D ．至少有一个不大于2 答案 C解析 因为x ＞0，y ＞0，z ＞0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋y z ＋( z x ＋z y )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y x ＋x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y z ＋z y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋z x ≥6，当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立，则三个数中至少有一个不小于2，故选C.6．下列条件：①ab >0，②ab <0，③a >0，b >0，④a <0，b <0，其中能使b a ＋ab ≥2成立的条件的序号是________．答案 ①③④解析 要使b a ＋a b ≥2，只需b a >0且ab >0成立，即a ，b 不为0且同号即可，故①③④都能使b a ＋ab ≥2成立．7．[2016·兰州调研]已知a ，b 是不相等的正数，x ＝a ＋b2，y ＝a ＋b ，则x ，y 的大小关系是________． 答案 x ＜y解析 ∵a ＋b2>ab (a ≠b )⇒a ＋b >2ab ⇒2(a ＋b )>a ＋b ＋2ab ⇒a ＋b >(a ＋b )22⇒a ＋b >a ＋b 2，8．已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图象上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图象上的点，其中n ∈N *，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为________．答案 c n ＋1＜c n解析 由条件得c n ＝a n －b n ＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n，∴c n 随n的增大而减小，∴c n ＋1＜c n .9．[2017·唐山模拟]已知a ＞0，1b －1a ＞1，求证：1＋a ＞11－b .证明 由已知1b －1a >1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b ，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －bab >1，即1b －1a >1，这是已知条件，所以原不等式得证．10．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2＋1，3a 1＋3d ＝9＋32，则d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)．(2)证明：由(1)得b n ＝S nn ＝n ＋ 2.假设数列{b n }中存在三项b p ，b q ，b r (p ，q ，r 互不相等)成等比数列，则b 2q ＝b p b r ，即(q ＋2)2＝(p ＋2)(r ＋2)，所以(q 2－pr )＋2(2q －p －r )＝0. 因为p ，q ，r ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧q 2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0. 所以p ＝r ，这与p ≠r 矛盾，所以数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．[B 级 知能提升](时间：20分钟)11．若1a <1b <0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2 B ．ab <b 2 C ．a ＋b <0 D ．|a |＋|b |>|a ＋b |答案 D解析 ∵1a <1b <0，∴0>a >b .∴a 2<b 2，ab <b 2，a ＋b <0，|a |＋|b |＝|a ＋b |.12．已知m >1，a ＝m ＋1－m ，b ＝m －m －1，则以下结论正确的是( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．a ，b 大小不定 答案 B解析 ∵a ＝m ＋1－m ＝1m ＋1＋m ，b ＝m －m －1＝1m ＋m －1.而m ＋1＋m >m ＋m －1>0(m >1)， ∴1m ＋1＋m <1m ＋m －1，即a <b .13．[2017·邯郸模拟]设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b ＞1；②a ＋b ＝2；③a ＋b ＞2；④a 2＋b 2＞2；⑤ab ＞1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)答案 ③解析 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b ＞1， 但a ＜1，b ＜1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出； 若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；对于③，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.14．已知a ，b ，m 为非零实数，且a 2＋b 2＋2－m ＝0，1a 2＋4b 2＋1－2m ＝0.(1)求证：1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2；(2)求证：m ≥72.证明 (1)要证1a 2＋4b 2≥9a 2＋b 2成立，只需证⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋4b 2(a 2＋b 2)≥9，即证1＋4＋b 2a 2＋4a 2b 2≥9，只需证b 2a 2＋4a 2b 2≥4， 根据基本不等式，有b 2a 2＋4a 2b 2≥2b 2a 2·4a 2b2＝4成立．当且仅当2a 2＝b 2时等号成立，所以原不等式成立．(2)因为a 2＋b 2＝m －2，1a 2＋4b 2＝2m －1， 由(1)知(m －2)(2m －1)≥9，即2m 2－5m －7≥0，解得m ≤－1或m ≥72.又a 2＋b 2＝m －2＞0，1a 2＋4b 2＝2m －1＞0，7所以m≥2.。

一、选择题1. 【2016东北师大附中月考】设点(),M x y 满足约束条件13300x y x y x y ì-?ïï-?ïí³ïï³ïî，且点()1,2N -，则OM ON ×的取值范围是（ ）A ．[]4,1-B ．[]2,0-C ．[]1,2D ．[]3,3- 【答案】A 【解析】考点：向量的数量积，简单的线性规划的应用．2. 【2016重庆巴蜀中学月考】若正数b a ,满足)(log log 3log 2632b a b a +=+=+，则ba 11+的值为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．721 【答案】C【解析】试题分析：设2362log 3log log ()a b a b t +=+=+=，则22t a -=，33t b -=，6t a b +=，所以2323232323t t t t ab --⋅=⋅=⋅6108108t a b +==，所以11108a b a b ab++==．故选C ． 考点：对数式与指数式的互化，指数的运算．3. 【2016大连双基测试】已知点(,)x y 满足不等式组43021032190x y x y x y -+≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）（A ）7- （B ）1- （C ）1 （D ）2 【答案】C4. 【2016吉林实验中学月考】已知实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≥+-012012y x x y x ，122--=y x z ，则z 的取值范围是______. 【答案】5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：由已知的不等式组,画出可行域如图阴影部分,三角形三个顶点坐标分别为3(2,)2,(2,1)-,12(,)33,当z 取不同值时, 122--=y x z 表示的是斜率为1的平行直线系,经过点12(,)33时,z 取最小值53-,在经过点(2,1)-时,取最大值5,由于不等式2x <表示的区域不包括直线2x =,所以不能取到最大值5,故z 的取值范围是5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.考点：1.不等式组所表示的区域；2.简单的线性规划.5. 【2016甘肃张掖一模】已知M 是△ABC 内的一点，且=2，∠BAC=30°，若△MBC ，△MCA 和△MAB的面积分别为，x ，y，则+的最小值是（ ）A ．20B ．18C ．16D ．9【答案】B二、填空题1. 【2016甘肃兰州模拟】已知变量,x y 满足：202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 . 【答案】4 【解析】试题分析：如下图所示，画出不等式组所表示的区域，作直线l ：20x y +=，平移l ，则可知当1x =，2y =时，max 4z =，故填：4．考点：本题主要考查线性规划．2. 【2016山东实验中学月考】若关于x 的不等式0x xe ax a -+<的解集为(,)m n (0)n <，且(,)m n 中只有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．221[,)32e e B ．221[,)3e e C ．221(,)32e e D ．221(,)3e e【答案】A考点：函数零点3. 【2016山东实验中学月考】若实数,x y 满足约束条件2110y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值为___________. 【答案】37 【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中112(,1),(2,1),(,)233A B C ---，则直线3z x y =+过C 点时取最大值37考点：线性规划求最值4. 【2016山东实验中学月考】已知正数,x y 满足111x y +=，则4911x yx y +--的最小值为___________. 【答案】25 【解析】。

【走向高考】2018年高考数学总复习 13-3不等式选讲课后作业 北师大版一、选择题1．(2018·山东理，4)不等式|x －5|＋|x ＋3|≥10的解集是( )A ．[－5,7]B ．[－4,6]C ．(－∞，－5]∪[7，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[6，＋∞)[答案] D[解析] 本题主要考查了绝对值不等式的解法．依题意：“|x－5|＋|x ＋3|”的几何意义为：点x 到点5，－3的距离之和．而当x ＝－4或6时，|x －5|＋|x ＋3|＝10，∴原不等式的解集为x∈(－∞，－4]∪[6，＋∞)．2．(文)已知a<0，b<－1，则下列不等式成立的是( )A ．a>a b >a b 2 B.a b 2>a b >a C.a b >a b 2>a D.a b >a>a b 2 [答案] C[解析] ∵b<－1，∴1b <0<1b 2<1， 又∵a<0，∴a b >a b 2>a ，∴选C. (理)(2018·天津理)设集合A ＝{x||x －a|<1，x∈R}，B ＝{x||x －b|>2，x∈R}．若A B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b|≤3B ．|a ＋b|≥3C ．|a －b|≤3D ．|a －b|≥3[答案] D[解析] 由题知：A ＝{x|a －1<x<a ＋1，x∈R}，B ＝{x|x<b －2或x>b ＋2}，若A B ，则有a －1≥2＋b 或a ＋1≤b－2，解得a －b≥3或a －b≤－3，即|a －b|≥3，故选D.二、填空题3．(2018·江西文，15)对于x∈R，不等式|x ＋10|－|x －2|≥8的解集为________．[答案] [0，＋ ∞)[解析]本题主要考查绝对值不等式的解法．利用分情况解决．当x≤－10时，原不等式变为：－x－10＋x－2≥8，即－12≥8，不符合要求；当－10<x<2时，原不等式变为：x＋10＋x－2≥8，即2x≥0，解得0≤x<2，当x≥2时，原不等式变为：x＋10－x＋2≥8，即12≥8恒成立，∴x≥2.综上所述，原不等式的解集为：[0，＋∞)．4．(2018·深圳模拟)已知命题“x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，则实数a 的取值范围是________．[答案](－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析]∵命题“x∈R，|x－a|＋|x＋1|≤2”是假命题，∴命题“x∈R，|x－a|＋|x＋1|>2”是真命题，由绝对值的几何意义得|a＋1|>2，即a<－3或a>1.5．(陕西质检二)对任意实数x，若不等式|x＋2|＋|x＋1|>k恒成立，则实数k的取值范围是________．[答案]k<1[解析]∵|x＋2|＋|x＋1|≥|x＋2－x－1|＝1，∴当且仅当k<1时，不等式|x＋2|＋|x＋1|>k恒成立．本题考查了含绝对值的不等式恒成立的问题，利用不等式的结构特征将变量消去是处理恒成立问题的通法．6．(北京海淀期中练习)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a>0)．若不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，则a的值为________．[答案] 2[解析]由题易知f(－2)＝f(3)＝5，解得a＝2.三、解答题7．(2018·福建理21(3))设不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．[解析](1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得0<x<1.所以M ＝{x|0<x<1}．(2)由(1)和a ，b∈M 可知0<a<1,0<b<1.所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)>0，故ab ＋1>a ＋b.8．(2018·辽宁理，24)已知函数f (x)＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f (x)≤3；(2)求不等式f (x)≥x 2－8x ＋15的解集． [解析] (1)f (x)＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3， x≤2，2x －7， 2<x<5，3， x≥5.当2<x<5时，－3<2x －7<3.所以－3≤f (x)≤3.(2)由(1)可知，当x≤2时，f (x)≥x 2－8x ＋15的解集为空集； 当2<x<5时，f (x)≥x 2－8x ＋15的解集为{x|5－3≤x<5}；当x≥5时，f (x)≥x 2－8x ＋15的解集为{x|5≤x≤6}． 综上，不等式f (x)≥x 2－8x ＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}.一、选择题1．不等式(1＋x)(1－|x|)>0的解集是( )A ．{x|0≤x<1}B ．{x|x<0且x≠－1}C ．{x|－1<x<1}D ．{x|x<1且x≠－1}[答案] D[解析] 解法一：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x>0，1－|x|>0①或⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x<0，1－|x|<0②由①式得－1<x<1，由②式得x<－1，故知原不等式的解集是{x|x<1且x≠－1}，故选D.解法二：取x ＝0，－2，显然是原不等式的解，故排除A 、B 、C ，从而选D.解法三：函数y ＝(1＋x)(1－|x|)的零点为－1,1，在(－∞，－1)，(－1,1)，(1，＋∞)上y 的正负号依次为正、正、负，故选D.2．(文)(2018·绵阳模拟)已知p ：|2x －5|≤1，q ：(x ＋2)(x －3)≤0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 依题意，p ：|2x －5|≤1，解得2≤x≤3，q ：(x ＋2)(x －3)≤0，解得－2≤x≤3，所以p 是q 的充分不必要条件．(理)(2018·兰州模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤y≤3|x|y≤2，则z ＝2x －y 的最小值为( )A ．－5B ．－6C ．1D ．2[答案] B[解析] ⎩⎪⎨⎪⎧ |x|≤y≤3|x|y≤2可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x≥0y≥x y≤3x y≤2或⎩⎪⎨⎪⎧ x<0y≥－x y≤－3x y≤2，表示的平面区域如图中阴影部分，当直线y ＝2x －z 经过(－2,2)时，－z 取得最大值，则z 取得最小值，所以z 的最小值为－6.二、填空题3．(2018·江西理，15(2))对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2| ≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________．[答案] 5[解析]本题主要考查绝对值不等式的性质．|x－2y＋1|＝|x－1－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2×1＋2＝5.4．(文)(2018·陕西文，15A)若不等式|x＋1|＋|x－2|≥a对任意x∈R恒成立，则a 的取值范围是________．[答案](－∞，3][解析]本题考查绝对值不等式，不等式恒成立问题．令y＝|x＋1|＋|x－2|，由绝对值不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|知y＝|x＋1|＋|x－2|＝|x＋1|＋|2－x|≥|x＋1＋2－x|＝3.所以a≤3.(理)(2018·陕西理，15A)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．[答案](－∞，－3]∪[3，＋∞)[解析]本小题考查绝对值不等式的解法．|x＋1|＋|x－2|≥3.∴|a|≥3.∴a≤－3或a≥3.5．关于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集为空集，则实数a的取值范围是________．[答案](－1,0)[解析]|x－1|＋|x－2|≥|(x－1)－(x－2)|＝1，要使原不等式解集为空集，则必须a2＋a＋1<1，解得－1<a<0.6．已知a，b，c∈R，且a＋b＋c＝2，a2＋2b2＋3c2＝4，则a的取值范围为____________．[答案]211≤a≤2[解析]由已知得b＋c＝2－a,2b2＋3c2＝4－a2，联想柯西不等式可得(2b2＋3c2)(12＋1 3)≥(b＋c)2，得(4－a2)×56≥(2－a)2，所以11a2－24a＋4≤0，得211≤a≤2.三、解答题7．(吉林质检)设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＋a.(1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围．[解析]本题考查不等式的解法，含有参数，需要分类讨论，有一定难度．(1)由题设知：|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象，得定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．(2)由题设知，当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a.又由(1)|x＋1|＋|x－2|≥3，∴－a≤3⇒a≥－3.8．(2018·新课标理，24)设函数f (x)＝|x －a|＋3x ， 其中a>0，(1)当a ＝1时，求不等式f (x)≥3x＋2的解集．(2)若不等式f (x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a 的值．[解析] (1)当a ＝1时，f (x)≥3x ＋2可化为|x －1|≥2. 由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f (x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f (x)≤0得|x －a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x≥a，x －a ＋3x≤0或⎩⎪⎨⎪⎧ x<a ，a －x ＋3x≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x≥a，x≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧ x<a ，x≤－a 2.因为a>0，所以不等式组的解集为{x|x≤－a 2}．由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2.。