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第五节 其他插补方法前面已经介绍了几种较常用的插补方法，但数控技术经过数十年的发展，特别是微处理器的应用，在原有的脉冲增量法插补原理基础上又派生出许多改进或新型的插补算法，例如：比较积分法、时差法、矢量判别法、最小偏差法、脉冲增量式的直接函数法等。
针对复杂曲线轮廓或列表曲线轮廓，在数据采样法中又提出了一些新的插补算法，例如：样条插补、螺纹插补等。
为此，下面继续简单介绍比较积分法插补、样条插补以及螺纹插补的基本思路。
一、比较积分法前面己经介绍，逐点比较法速度平稳，调整方便，但不容易实现多坐标轴的联动；而DDA 法便于坐标轴的扩展，但速度控制不太方便。
现若将这两种算法结合在一起，就能够扬长避短，集两者优点于一身，实现各种函数和多坐标轴联动插补，且插补精度较高，运算简单，易于调整，是一种比较理想的脉冲增量式插补方法。
（一）比较积分法直线插补设将要插补的第一象限直线起点在坐标原点O （0，0），终点为E （X e ，Y e ），则直线上的所有动点N （X i ，Y i ）必然满足下面等式i ee i X X Y Y =（3-97） 现对式（3-97）求微分得 ee i i X Y dX dY = （3-98） 如果在此基础上引入时间变量t ，分别对两坐标变量进行积分，就可得到前面介绍的DDA 直线插补算法。
显然，如此处理不是目的，下面必须另辟新径，寻找一种更理想的解决方案。
为此引入比较判别的思想，建立两个被积函数之间的内在联系，将式（3-98）改写为增量形式，即有Y e ∆X i =X e ∆Y i （3-99）由于式中X e 、Y e 均是以脉冲当量为单位的数字量，设∆X i 、∆Y i 均为单位位移增量，在数值上为“1”。
现对式（3-99）两边进行积分，并利用矩形法求其积分值，可得∑∑===ii Y j e X i e X Y 11 或 Y e ＋Y e ＋……＋Y e =X e ＋X e ＋……＋X e （3-100）（X i 项） （Y i 项）在这里要指出的是，式（3-100）等号两边求和的项数不一定相等，等式左边是X i 项，而右边是Y i 项。
数据采样插补一、概述数据采样插补多用于进给速度要求较高的闭环掌握系统。
它与前面我们介绍的插补方法的最大不同就是前者计算机一般不包含在伺服掌握环内，计算机插补的结果是输出进给脉冲，伺服系统依据进给脉冲进给。
每进给一步（一个脉冲当量），计算机都要进行一次插补运算。
进给速度受计算机插补速度的限制，很难满意现代数控机床高速度的要求。
而后者计算机一般包含在伺服掌握环内。
数据采样插补用小段直线来靠近给定轨迹，插补输出的是下一个插补周期内各轴要运动的距离，不需要每走一个脉冲当量就插补一次，可达到很高的进给速度。
1. 数据采样插补的基本原理粗插补：采纳时间分割思想，依据进给速度F和插补周期T，将廓型曲线分割成一段段的轮廓步长L，L=FT，然后计算出每个插补周期的坐标增量。
精插补：依据位置反馈采样周期的大小，由伺服系统的硬件完成。
2. 插补周期和检测采样周期插补周期大于插补运算时间与完成其它实时任务时间之和，现代数控系统一般为2~4ms，有的已达到零点几毫秒。
插补周期应是位置反馈检测采样周期的整数倍。
3.插补精度分析直线插补时，轮廓步长L与被加工直线重合，没有插补误差。
圆弧插补时，轮廓步长L作为弦线或割线对圆弧进行靠近，存在半径误差。
二、数据采样法直线插补1.插补计算过程（1）插补预备主要是计算轮廓步长l＝FT及其相应的坐标增量。
（2）插补计算实时计算出各插补周期中的插补点（动点）坐标值。
2.有用的插补算法（1）直线函数法插补预备：插补计算：2）进给速率数法（扩展DDA法）插补预备: 引入步长系数K则插补计算：三、数据采样法圆弧插补1. 直线函数法（弦线法）如图5-13所示，要加工圆心在原点O（0，0）、半径为R的第一象限顺圆弧，在顺圆弧上的B点是继A点之后的插补瞬时点，两点的坐标分别为A（Xi，Yi）、B（Xi＋1，Yi＋1），现求在一个插补周期T内X 轴和Y轴的进给量△X、△Y。
图中的弦AB是圆弧插补时每个插补周期内的进给步长l，AP是A点的圆弧切线，M是弦的中点。
数控系统插补的方法和原理数控机床上进行加工的各种工件，大部分由直线和圆弧构成。
因此，大多数数控装置都具有直线和圆弧的插补功能。
对于非圆弧曲线轮廓轨迹，可以用微小的直线段或圆弧段来拟合。
插补的任务就是要根据进给速度的要求，在轮廓起点和终点之间计算出若干中间掌握点的坐标值。
由于每个中间点计算的时间直接影响数控装置的掌握速度，而插补中间点的计算精度又影响整个数控系统的精度，所以插补算法对整个数控系统的性能至关重要，也就是说数控装置掌握软件的核心是插补。
插补的方法和原理许多，依据数控系统输出到伺服驱动装置的信号的不同，插补方法可归纳为脉冲增量插补和数据采样插补两种类型。
一、脉冲增量插补这类插补算法是以脉冲形式输出，每次插补运算一次，最多给每一轴一个进给脉冲。
把每次插补运算产生的指令脉冲输出到伺服系统，以驱动工作台运动。
一个脉冲产生的进给轴移动量叫脉冲当量，用δ表示。
脉冲当量是脉冲安排计算的基本单位，依据加工的精度选择，一般机床取δ＝0.01mm，较为精密的机床取δ＝1μm或0.1μm 。
插补误差不得大于一个脉冲当量。
这种方法掌握精度和进给速度低，主要运用于以步进电动机为驱动装置的开环掌握系统中。
二、数据采样插补数据采样插补又称时间标量插补或数字增量插补。
这类插补算法的特点是数控装置产生的不是单个脉冲，而是数字量。
插补运算分两步完成。
第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来拟合给定曲线，每一微小直线段的长度△L 都相等，且与给定进给速度有关。
粗插补时每一微小直线段的长度△L 与进给速度F和插补T周期有关，即△L＝FT。
图1 数据采样插补其次步为精插补，它是在粗插补算出的每一微小直线上再作“数据点的密化”工作。
这一步相当于对直线的脉冲增量插补。
数据采样插补方法适用于闭环、半闭环的直流或沟通伺服电动机为驱动装置的位置采样掌握系统中。
在CNC系统中较广泛采用的另一种插补计算方法即所谓数据采样插补法，或称为时间分割法。
它尤其适合于闭环和半闭环以直流或交流电机为执行机构的位置采样控制系统。
这种方法是把加工一段直线或圆弧的整段时间细分为许多相等的时间间隔，称为单位时间间隔（或插补周期）。
每经过一个单位时间间隔就进行一次插补计算，算出在这一时间间隔内各坐标轴的进给量，边计算，边加工，直至加工终点。
与基准脉冲插补法不同，采用数据采样法插补时，在加工某一直线段或圆弧段的加工指令中必须给出加工进给速度v，先通过速度计算，将进给速度分割成单位时间间隔的插补进给量（或称为轮廓步长），又称为一次插补进给量。
例如，在FANUC 7M系统中，取插补周期为8 ms，若v的单位取mm/min，f的单位取mμ/8 ms，则一次插补进给量可用下列数值方程计算：10008260100015vf v⨯⨯==⨯按上式计算出一次插补进给量f后，根据刀具运动轨迹与各坐标轴的几何关系，就可求出各轴在一个插补周期内的插补进给量，按时间间隔（如8 ms）以增量形式给各轴送出一个一个插补增量，通过驱动部分使机床完成预定轨迹的加工。
由上述分析可知，这类算法的核心问题是如何计算各坐标轴的增长数x∆或y∆（而不是单个脉冲），有了前一插补周期末的动点位置值和本次插补周期内的坐标增长段，就很容易计算出本插补周期末的动点命令位置坐标值。
对于直线插补来讲，插补所形成的轮廓步长子线段（即增长段）与给定的直线重合，不会造成轨迹误差。
而在圆弧插补中，因要用切线或弦线来逼近圆弧，因而不可避免地会带来轮廓误差。
其中切线近似具有较大的轮廓误差而不大采用，常用的是弦线逼近法。
有时，数据采样插补是分两步完成的，即粗插补和精插补。
第一步为粗插补，它是在给定起点和终点的曲线之间插入若干个点，即用若干条微小直线段来逼近给定曲线，粗插补在每个插补计算周期中计算一次。
第二步为精插补，它是在粗插补计算出的每一条微小直线段上再做“数据点的密化”工作，这一步相当于对直线的脉冲增量插补。
第四节数据采样法随着数控系统中计算机的引入，大大缓解了插补运算时间和计算复杂性之间的矛盾，特别是高性能直流伺服系统和交流伺服系统的研制成功，为提高现代数控系统的综合性能创造了充分条件。
相应地，这些现代数控系统中采用的插补方法，就不再是最初硬件数控系统中所使用的脉冲增量法，而是结合了计算机采样思想的数据采样法。
所谓数据采样法就是利用一系列首尾相连的微小直线段来逼近给定曲线。
由于这些线段是按加工时间来分割的，因此，数据采样法又称为“时间分割法”。
一般来讲，分割后所得到的微小直线段相对系统精度而言仍显过大，需要在微小直线段的基础上进一步密化数据点。
获取微小直线段的过程称为粗插补，将微小直线段进一步密化的过程称为精插补。
通过两者的紧密配合即可实现高性能零件轮廓插补。
一般情况下，数据采样插补法中的粗插补是由软件实现。
由于粗插补可能涉及到一些比较复杂的函数运算，因此，大多采用高级语言完成。
而精插补算法大多采用前面介绍的脉冲增量法，它既可由软件实现也可由硬件实现，由于相应算术运算较简单，所以软件实现时大多采用汇编语言完成。
一、插补周期与位置控制周期所谓插补周期T S是指相邻两个微小直线段之间的插补时间间隔，而位置控制周期T C则是数控系统中伺服位置环的采样控制时间间隔。
对于给定的数控系统而言，插补周期和位置控制周期是两个固定不变的时间参数。
通常取T S≥T C，目的是便于系统内部控制软件的处理。
当T S与T C不相等时，一般要求T S是T C的整数倍。
这是由于插补运算较复杂，处理时间较长；而位置环数字控制算法较简单，处理时间较短。
因此，每次插补运算的结果可供位置环多次使用。
现假设程编进给速度为F，插补周期为T S，则可求得插补分割后的微小直线段长度为∆L（暂不考虑单位）为∆L=FT S。
插补周期T S对系统稳定性没有影响，但对被加工轮廓的轨迹误差有影响。
位置控制周期T C不仅对系统稳定性而且对轮廓误差均有影响。
因此，T S的选择，主要从插补精度方面考虑，而T C的选择则需从伺服系统的稳定性和动态跟踪误差两个方面加以考虑。
一般情况下，插补周期T S越长，插补计算误差就越大。
因此，单从减小插补计算误差的角度来考虑时，希望插补周期T S越小越好。
但另一方面，T S也不能太小，由于数控系统在进行轮廓插补控制的同时，其数控装置中CPU不仅要完成插补运算，而且还必须处理一些其他任务，例如：位置误差计算、显示、监控、I/O处理等。
因此，T S不单是指CPU完成插补运算所需时间，而且还必须留出一部分时间用于执行其他相关的数控任务。
由此可见，要求插补周期T S必须大于插补运算时间和完成其他相关任务所需时间总和。
据有关资料介绍，数控系统数据采样法插补周期一般不大于20ms，使用较多的大都在10ms左右。
例如美国AB公司的7360数控系统中T S=10.24ms；德国SIEMENS公司的System-7数控系统中T S=8ms。
但随着CPU处理速度的提高，为了获得更高的插补精度，插补周期也会越来越小。
数控系统位置控制周期的选择有两种方式：一种是T C=T S，如7360系统中T C=T S =10.24ms；另一种是T S为T C的整数倍，如System-7数控系统中T S=8ms、T C=4ms，即插补周期是位置控制周期的2倍。
插补程序每8ms调用一次，计算出该周期内各坐标轴相应的进给增量，而位置控制程序每4ms将插补计算增量的一半作为该位置控制周期的位置给定，也就是说，每个插补周期计算出来的坐标增量均分两次送给伺服系统去执行。
这样，在不改变计算机速度的前提下，可提高位置环的采样频率，使得进给速度变化较为平缓，提高了系统的动态性能。
一般来讲，位置控制周期T C取值范围大致在4～20ms之间。
二、插补周期与精度、速度之间的关系在数据采样法直线插补过程中，由于给定轮廓本身就是直线，那么插补分割后的小直线段与给定直线在理论上是重合的，也就不存在插补误差问题。
但在圆弧插补过程中，一般采用切线、内接弦线和割线来逼近圆弧，显然，这些微小直线段不可能完全与圆弧相重合，从而造成了轮廓插补误差。
下面就以弦线逼近法为例来加以分析。
r⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21θcos R e r （3-52） 式中 R ——被插补圆弧半径（mm ）；θ ——步距角，即每个插补周期所走过的弦线对应的圆心角，其值为θ≈∆L /R =FT S /R （3-53）反过来，在给定所允许的最大径向误差e r 后，也可以求出最大的步距角为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=R e arccos r max 12θ （3-54） 由于θ 很小，现将 cos(θ/2) 按幂级数展开，有-+-=！）（！42221242/)/(cos θθθ若取上式的前两项，代入式（3-52），得 ()R FT R /R R e S r 188221222）（！==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--≈θθ （3-55） 由式（3-55）可以看出：在圆弧插补过程中，插补误差e r 与被插补圆弧半径R 成反比，与插补周期T S 以及程编进给速度F 的平方成正比。
即T S 越长、F 越大、R 越小，圆弧插补的误差就越大；反之，误差就越小。
对于给定的圆弧轮廓以及插补误差而言，T S 尽可能选小一些，以便获得较高的进给速度F ，提高了加工效率。
进一步当插补周期、插补误差不变时，被加工圆弧轮廓的曲率半径越大，其允许使用的切削速度就越高。
三、数据采样法直线插补（一）基本原理假设刀具在XOY 平面内加工直线轮廓OE ，起点为O （0，0），终点为E （X e ，Y e ），动点为N i －1（X i －1，Y i －1），且程编进给速度为F ，插补周期为T S ，如图3-28所示。
易求出该插补周期内各坐标轴对应的位置增量为e e i KX X LL X ==∆∆ （3-56a ） e e i KY Y LL Y ==∆∆ （3-56b ） 式中 L ——被插补直线长度 22e e Y X L +=（mm ）；K ——每个插补周期内的进给速率数K =ΔL /L =（FT S ）/ L 。
从而得出下一个动点N i 的坐标值为e i i i i X L L X X X X ∆∆+=+=--11 （3-57a ） e i i i i Y L LY Y Y Y ∆∆+=+=--11（3-57b ） （二）实现方法通过前面的分析可以看出，利用数据采样法插补直线的算法比较简单。
主要分为两个步骤：第一步是插补准备，主要完成一些常量的计算工作，例如L 、K 的计算，对于每个零件轮廓段一般仅执行一次；第二步是插补计算，主要完成该周期对应坐标增量值 (△Xi ,△Yi ) 及动点坐标值 (Xi ,Yi )的计算工作，一般每个插补周期均执行一次。
具体软件流程如图3-29所示。
关于如图3-29所示软件流程图说明如下：1）数据采样法插补计算所使用的起始坐标、终点坐标及插补所得到的动点坐标均为带有符号的代数值，而不象脉冲增量插补算法那样使用绝对值参与插补运算，并且这些坐标值也不一定要转换成以脉冲当量为单位的整数值。
也就是说，数据采样法中所涉及到的坐标值是带有正、负符号的真实坐标值。
2）求取坐标增量值与动点坐标值的计算公式（3-56）和（3-57）并非唯一的，例如，也可以利用直线轮廓与横坐标夹角的三角函数关系来求得。
3）关于数据采样法的终点判别问题，将在后面集中加以讨论。
四、数据采样法圆弧插补数据采样法圆弧插补的基本思路是在满足加工精度的前提下，用弦线或割线来代替弧线实现进给，即用直线段逼近圆弧。
（一）直接函数法——内接弦线法1．基本原理所谓“内接弦线法”就是利用圆弧上相邻两个采样点之间的弦线来逼近相应圆弧的插补算法。
为了计算方便，将坐标轴分为长轴和短轴，并定义位置增量值较大的轴为长轴，位置增量值较小的轴为短轴。
由圆的参数方程求导可以得出，在圆弧插补过程中，坐标轴的进给速度与动点坐标的绝对值成反比。
也就是说，动点坐标的绝对值越大，其对应的位置增量值越小。
因此，长轴也可以定义为坐标绝对值较小的轴。
如图3-30所示SR 1，设A （X i －1，Y i －1）和B （X i ，Y i ）是圆弧上两个相邻的插补点，弦AB 是弧对应的弦长ΔL ，若进给速度为F ，插补周期为T S ，则有ΔL =FT S 。
当刀具由A 点运动到B 点时，其对应的X 轴坐标增量为|ΔX i |，Y 轴的坐标增量为|ΔY i |。
由于A 、B 两点均为圆弧上的点，故它们均应满足圆的方程，即()()2212122R Y Y X X Y X i i i i i i =+++=+--∆∆ （3-58） 式中ΔX i 、ΔY i 均为带符号数，且有ΔX i ＞０，ΔY i ＜０。
对于如图3-30所示情况，由于|Y i －1|＞|X i －1|，故取X 轴为长轴，这时先求ΔX i 。
根据图中几何关系可得)cos(L cos L X i i i θα∆α∆∆211+='=- （3-59）其中，θ为AB 对应的圆心角(步距角)。
由于图中M 点为弦AB 的中点，故有 OMO Y )cos(M i =+-θα211≈R /Y Y i i 21∆-- （3-60） 上式中由于|ΔY i |未知，因此，不能直接求得余弦值，只有通过近似方法来求。
由于在圆弧插补过程中，两个相邻插补点之间的位置增量值相差很小，尤其对于短轴（Y 轴）而言，|ΔY i －1|与|ΔY i |相差就更小了，这样就可以利用|ΔY i －1|近似代替|ΔY i |参与计算，由此而引起的轮廓误差暂时可以忽略不计。
故将式（3-60）改写成|)Y ||Y (|R )cos(i i i 11121121----≈+∆θα （3-61） 将式(3-61)代入式(3-59)可求得 )Y Y (R L X i i i 1121--+=∆∆∆ （3-62a ） 又根据式（3-58）可求得 ()2121i i i i X X R Y Y ∆∆+-±-=-- （3-62b ）通常，θ 很小，对于递推算式（3-62）而言，ΔX i 和ΔY i 的初值可近似为RY L)cos(L )cos(L X S ∆α∆θα∆∆=≈+=00021 （3-63a ） RX L )sin(L )sin(L Y S ∆α∆θα∆∆=≈+=00021 （3-63b ） 式中 （X S ，Y S ）为圆弧起点坐标。
通过上述推导过程可以看出，在近似处理过程中仅对角度αi ′= αi －1＋θ/2有微小的影响。
由于式（3-58）的约束条件保证了所有插补点均落在圆弧上，因此，插补的主要误差来自弦线代替弧线进给所造成的误差。
同理，当|X i －1|＞|Y i －1|时，应取Y 轴作为长轴，并先求|ΔY i |＝ΔL sin αi ′，则可推得)X X (R L Y i i i 1121--+=∆∆∆ （3-64a ） ()2121i i i i Y Y R X X ∆∆+-±-=-- （3-64b ）根据上述坐标增量值可求得动点坐标为X i =X i －1＋∆X i （3-65a ）Y i =Y i －1＋∆Y i （3-65b ）2．软件实现对于位置增量计算表达式（3-62）和式（3-64）而言，均有“±”号问题。
