高考数学复习 考前三个月 第三篇 考点回扣8 计数原理 理

高考理科计数原理知识点什么是计数原理计数原理是数学中的一个重要分支，它研究的是各种计数问题的解决方法和规律。

在高考理科中，计数原理是必考的一部分，因此对于考生来说，掌握计数原理的知识点是非常重要的。

排列组合排列组合是计数原理中的基础概念，它用于解决从一组元素中选取若干个元素进行排列或组合的问题。

在排列中，元素的顺序是重要的，而在组合中，元素的顺序不重要。

排列排列是从一组元素中选取若干个元素进行排列的问题。

在排列中，元素的选取是有顺序的，不同的顺序会得到不同的排列结果。

对于n个元素中选取m个元素进行排列，排列数的计算公式为：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n的所有正整数的乘积。

组合组合是从一组元素中选取若干个元素进行组合的问题。

在组合中，元素的选取是没有顺序的，不同的顺序不会影响组合的结果。

对于n个元素中选取m个元素进行组合，组合数的计算公式为：C(n, m) = n! / (m! * (n-m)!)二项式定理二项式定理是计数原理中的一个重要定理，它用于计算二项式的展开式中各项的系数。

在高考中，二项式定理经常用于计算多项式的展开式。

二项式定理的公式如下：(a + b)^n = C(n, 0) * a^n * b^0 + C(n, 1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C (n, n) * a^0 * b^n其中，C(n, m)表示从n个元素中选取m个元素进行组合的组合数。

应用实例下面我们通过一个实际的应用例子来说明计数原理在高考中的应用。

例题某班有8名男生和6名女生，从中选取3名男生和2名女生组成一个5人的代表团，问有多少种不同的选取方式？解答思路根据题目要求，我们需要从8名男生中选取3名男生，并从6名女生中选取2名女生，然后将这5人组成一个代表团。

由于男生和女生之间的选取是相互独立的，我们可以分别计算男生和女生的选取方式，然后将结果相乘即可。

对于男生的选取方式，根据排列的原理，我们可以计算出男生的选取方式为：A(8, 3) = 8! / (8-3)! = 8! / 5!对于女生的选取方式，同样可以计算出女生的选取方式为：A(6, 2) = 6! / (6-2)! = 6! / 4!最后，将男生和女生的选取方式相乘即可得到最终的结果：A(8, 3) * A(6, 2) = (8! / 5!) * (6! / 4!)结果计算根据上述公式，我们可以进行计算如下：A(8, 3) = 8! / 5! = (8 * 7 * 6 * 5!) / 5! = 8 * 7 * 6 = 336A(6, 2) = 6! / 4! = (6 * 5!) / 4! = 6 * 5 = 30最终的结果为：336 * 30 = 10080因此，有10080种不同的选取方式。

2019-2020年高三数学专题复习 回扣八 计数原理与概率 理 陷阱盘点1 忽视概率公式使用条件致误应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，并且注意对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．[回扣问题1]抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B 为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，求出现奇数点或2点的概率之和为________． 陷阱盘点2 在(a ＋b )n展开式的通项公式中忽视a ，b 的顺序致误二项式(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分．还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同． [回扣问题2]设⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则A ∶B ＝________．陷阱盘点3 几何概型的概率计算中，几何“测度”选择不准致误[回扣问题3](xx·石家庄调研)由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，y －x －2≤0确定的平面区域记为Ω1，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ＋y ≥－2确定的平面区域为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为( ) A.18 B.14 C.34 D.781.23 [∵事件A ，B ，互斥，∴P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝12＋16＝23.] 2．4∶1 [T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r ＝C r 6(－1)r 2r x 6－32r ，6－32r ＝3，r ＝2，系数A ＝60，二项式系数B ＝C 26＝15，所以A ∶B ＝4∶1.]3．D [如图，平面区域Ω1就是三角形区域OAB ，平面区域Ω2与平面区域Ω1的重叠部分就是区域OACD ，易知C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，故由几何概型的概率公式，得所求概率P ＝S 四边形OACD S △OAB ＝2－142＝78.]。

数学高考知识点计数原理在高中数学中，计数原理是一个重要的知识点。

它涉及到如何统计和计算事件的可能结果数量，是很多概率和组合问题的基础。

本文将从排列、组合和种类等角度介绍计数原理的相关内容。

一、排列和组合在计数原理中，排列和组合是两个常见的概念。

排列指的是从一组元素中按照一定顺序选择若干个元素进行排列，而组合指的是从一组元素中选择若干个元素进行组合，顺序不重要。

1. 排列排列的计算是根据不同情况下元素选择的方式。

假设有n个元素，需要从中选取r个元素进行排列，那么计算排列数的公式为P(n, r) = n! / (n - r)！。

其中n!表示阶乘，即n!= n × (n - 1) × (n -2) … × 2 × 1。

2. 组合组合的计算是根据选择元素的方式，顺序不考虑。

同样假设有n个元素，需要从中选取r个元素进行组合，那么计算组合数的公式为C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)。

二、计数原理的应用计数原理的应用在高考中经常出现，下面以几个例子来介绍如何应用计数原理解决问题。

1. 乒乓球比赛某乒乓球比赛中，共有6名选手，每轮比赛两两对阵，两名选手按顺序开始比赛。

要求分别计算比赛进行了多少轮和总共进行了多少场比赛。

解析：每一场比赛是由两名选手来进行的，所以总场数等于选手人数除以2的商。

即6 / 2 = 3，所以比赛总共进行了3场。

而每一轮比赛都会淘汰一名选手，所以轮数等于选手的人数减一。

即6 - 1 = 5，所以比赛进行了5轮。

2. 数字密码某门锁的密码由4位数字组成，这些数字来自0-9这10个数字。

不允许重复数字，那么总共有多少种可能的密码？解析：第一位数字有10种选择，第二位数字有9种，第三位数字有8种，第四位数字有7种。

根据乘法原理，总共的可能性为10 × 9 × 8 × 7 = 5040种。

三、计数原理的延伸除了排列和组合，计数原理还可以应用在更复杂的问题中，例如种类问题。

高考数学计数原理知识点数学是高考中的一门重要科目，其中计数原理是数学中的一个重要知识点。

计数原理用于解决计数问题，是数学中的基础工具。

在高考中，计数原理常常出现在复合概率、组合数学等题目中。

掌握计数原理的知识点对于高分通过高考数学是非常重要的。

下面将介绍一些常见的计数原理知识点。

一、排列和组合排列是指从一组元素中选取若干元素进行有序排列的方式。

对于n个元素，从中选取k个元素进行排列，可以得到 nPk 种不同的排列，其中P表示排列。

组合是指从一组元素中选取若干元素进行无序选择的方式。

对于n个元素，从中选取k个元素进行组合，可以得到 nCk 种不同的组合，其中C表示组合。

排列和组合的计算公式如下:nPk = n! / (n-k)!nCk = n! / (k!(n-k)!)其中n!表示n的阶乘，即n! = n(n-1)(n-2)...3*2*1。

通过排列和组合的计算公式，我们可以快速计算出排列和组合的结果，而不用逐个枚举。

二、乘法原理和加法原理乘法原理是指若一个事件发生的方式有m种，而另一个事件发生的方式有n种，且这两个事件的发生方式相互独立，那么这两个事件同时发生的方式有m * n种。

加法原理是指若一个事件发生的方式有m种，而另一个事件发生的方式有n种，且这两个事件的发生方式互斥（即两者不能同时发生），那么这两个事件发生的方式有m + n种。

乘法原理和加法原理是解决计数问题的基本原理，它们在计数原理中有着广泛的应用。

通过灵活运用乘法原理和加法原理，我们可以简化计数问题的解决过程，提高解题效率。

三、重复排列和重复组合重复排列是指从n个元素中选择k个元素进行有序排列，允许元素重复出现的方式。

对于重复排列，共有 n^k 种不同的排列方式。

重复组合是指从n个元素中选择k个元素进行无序组合，允许元素重复出现的方式。

对于重复组合，共有C(n+k-1, k)种不同的组合方式。

通过重复排列和重复组合的计算公式，我们可以快速计算出重复排列和重复组合的结果，进而解决相关的计数问题。

高考计数原理知识点总结高考的数学考试中，计数原理是一个非常重要的知识点。

计数原理涉及到对各种情况下的计数方法的掌握和运用。

通过对计数原理的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提升解题能力。

在本文中，将对高考计数原理的相关知识点进行总结。

一、基本计数原理基本计数原理是计数原理的基础，也是其他计数原理的出发点。

基本计数原理指的是：当一个事件可以分解为若干个独立的步骤时，每个步骤的取法总数之乘积就是整个事件的取法总数。

例如，从A、B、C三个城市中选择一个作为旅游目的地，再从目的地城市的旅游景点中选择一个进行游览。

根据基本计数原理，这个问题的解决步骤可以分为两步，首先是选择旅游目的地的步骤，共有3种选择；其次是选择旅游景点的步骤，共有景点数种选择。

据此，整个问题的解决步骤就是3×景点数。

二、排列与组合排列与组合是计数原理中的两个重要概念。

排列指的是从一组元素中按照一定顺序选取若干个元素进行排列的方法；组合则是从一组元素中无序地选取若干个元素进行组合的方法。

1. 排列排列的概念可以通过一个简单的例子来加以说明。

假设有4个小朋友A、B、C、D要站成一排，那么有多少种不同的排列方法呢？根据排列的定义，首先有4种选择选取第一个位置的小朋友，然后在剩下的3个小朋友中选择一个放在第二个位置，再在剩下的2个小朋友中选择一个放在第三个位置，最后剩下的一个小朋友放在最后一个位置。

据此，整个问题的解决步骤就是4×3×2×1，即4的阶乘。

排列的计算公式可以用数学符号简洁地表示为：A(4,4)=4！。

2. 组合与排列不同，组合不考虑元素的先后顺序。

如果要从A、B、C、D这4个小朋友中选取2个小朋友玩游戏，那么有多少种不同的组合呢？根据组合的定义，首先有4种选择选取第一个小朋友，然后在剩下的3个小朋友中选择一个作为第二个小朋友。

由于不考虑元素的先后顺序，所以(A,B)和(B,A)被视为同一种情况，即同一个组合。

计数原理高三知识点计数原理是离散数学的一个重要内容，也是高三数学中的一项重要知识点。

在学习计数原理时，我们需要了解基本的概念和原理，并学会应用相关的计数方法。

本文将以简洁明了的方式介绍计数原理的相关知识点。

一、排列与组合排列与组合是计数原理的基础，我们先来了解一下这两个概念。

1. 排列排列是指从一组事物中按照一定的顺序选取若干个事物进行排序的方式。

一般来说，排列分为有限排列和无限排列两种情况。

有限排列不允许重复选取，而无限排列允许重复选取。

2. 组合组合是指从一组事物中选取若干个事物进行组合的方式，不考虑事物的顺序。

同样，组合也分为有限组合和无限组合两种情况。

有限组合不允许重复选取，而无限组合允许重复选取。

在解决具体问题时，我们需要根据题目的情况选择使用排列或组合的方法进行计算，正确地理解题目中的条件和要求是解题的关键。

二、加法原理和乘法原理加法原理和乘法原理是计数原理中的基本原理，它们在解决复杂的计数问题时起到了重要的作用。

1. 加法原理加法原理是指对于两个同时发生的事件，其总数等于每个事件发生的情况数之和。

换句话说，当我们需要计算多种情况的总数时，可以将每种情况的数目相加得到结果。

2. 乘法原理乘法原理是指对于两个依次发生的事件，其总数等于每个事件发生的情况数相乘。

换句话说，当我们需要计算多个事件连续发生的情况总数时，可以将每个事件发生的情况数相乘得到结果。

通过灵活运用加法原理和乘法原理，我们可以解决更加复杂的计数问题，例如排队问题、密码问题等。

三、置换与组合的计算公式在计数原理中，我们还需要了解排列和组合的计算公式，以便可以快速地计算出特定情况下的排列和组合总数。

1. 排列计算公式排列计算公式表示从 n 个不同的元素中，取出 m 个元素进行排列的情况总数。

公式如下所示：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，n! 表示 n 的阶乘，表示将 n 个数从大到小相乘的结果。

2. 组合计算公式组合计算公式表示从 n 个不同的元素中，取出 m 个元素进行组合的情况总数。

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回扣8 算法、复数、概率统计1．复数的相关概念及运算法则（1)复数z=a＋ｂi（ａ,b∈Ｒ)的分类①z是实数⇔ｂ=０;②z是虚数⇔b≠0；③z是纯虚数⇔a＝0且ｂ≠０.(２）共轭复数复数z＝a＋ｂi的共轭复数错误!＝a-b i.（3)复数的模复数ｚ=a+b i的模｜z|＝错误!.(4）复数相等的充要条件a+b i＝c＋d i⇔a＝ｃ且b＝d(a,ｂ，c，d∈R)．特别地,a＋bｉ＝０⇔a=０且b＝0(a，ｂ∈Ｒ）．（5）复数的运算法则加减法:(a+ｂi）±(c＋dｉ)＝（a±c)＋(b±d)i;乘法：(a＋bｉ）(c+ｄｉ)=(ac-ｂｄ)＋(aｄ＋bｃ)i;除法:（ａ+bｉ）÷(ｃ+ｄi）＝＼f（aｃ+ｂｄ,c2+d2)+＼f（bc－ad，c2+ｄ2)ｉ错误!。

2．复数的几个常见结论(1)(1±i）２=±２ｉ。

（2）错误!=i,错误!=－i。

(３）i4n=1,ｉ4ｎ＋１＝ｉ，i4n＋2＝-1,i４ｎ+3＝-i，i4ｎ＋i4n+1+i4n＋2＋i4n＋３=0(n∈Z)．（４)ω＝－错误!±错误!ｉ,且ω0＝1，ω2＝错误!，ω３＝1,1＋ω＋ω２＝0．3.程序框图的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示．(2)条件结构:如图(2)和图(３）所示．(3)循环结构：如图（4)和图(5)所示．4.牢记概念与公式（1)概率的计算公式①古典概型的概率计算公式P（A)＝错误!；②互斥事件的概率计算公式P(A＋B）＝P（A)+Ｐ(B）;③对立事件的概率计算公式P（＼x＼to（A））=1-P（A)；④几何概型的概率计算公式P(A）＝错误!。

高中数学计数原理高中数学中的计数原理是一种基础的数学方法，用于计算不同情况下的计数问题。

计数原理包括排列、组合两个基本方法，通过它们可以解决各种不同的计数问题。

首先，我们来看一下排列。

排列是指从一组事物中按照一定顺序选取若干个的方法数。

在排列中，每一次选择都会对结果产生影响，所以顺序是非常重要的。

具体而言，排列可以分为有放回排列和无放回排列两种情况。

在有放回排列中，我们可以使用一个简单的例子来说明。

假设有3个不同的球，现在要从中任选2个球放回，问一共有多少种不同的放法。

我们可以使用以下方法来计算：第一个球有3种选择，第二个球同样有3种选择，所以总共有3x3=9种不同的放法。

接下来，我们来看一下无放回排列。

在无放回排列中，每次选择后都将该物体排除，不再使用。

同样以一个例子来说明。

假设有4个不同的球，现在要从中任选3个球不放回，问一共有多少种不同的放法。

我们可以使用以下方法来计算：第一个球有4种选择，第二个球有3种选择，第三个球有2种选择，所以总共有4x3x2=24种不同的放法。

除了排列，我们还有组合。

组合是指从一组事物中选取若干个无顺序的方法数。

在组合中，顺序不重要，我们只关心选择的物体是否相同。

同样，组合也可以分为有放回组合和无放回组合两种情况。

有放回组合是指每次选择后将该物体放回，继续下一次选择。

例如，从3个不同的球中选取2个球，可以计算出有放回组合的方法数为4。

而无放回组合是指每次选择后将该物体排除，不再使用。

例如，从3个不同的球中选取2个球，可以计算出无放回组合的方法数为3。

通过掌握排列和组合这两种计数方法，我们可以解决各种不同情况下的计数问题。

在解题过程中，我们需要明确问题的具体情况，确定是使用排列还是组合，并且根据题目给出的条件进行运算。

通过不断练习和积累，我们可以灵活运用计数原理来解决各种复杂的计数问题。

【步步高】（全国通用）2016版高考数学复习 考前三个月 第三篇 回扣专项练8 计数原理 理1.将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A.12种B.10种C.9种D.8种2.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A.60种B.63种C.65种D.66种3.从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( )A.9B.10C.18D.204.用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A.243B.252C.261D.279 5.使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A.4B.5C.6D.7 6.设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m +1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )A.5B.6C.7D.8 7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎪⎫x －1x 6，x <0，－x ， x ≥0，则当x >0时，f [f (x )]表达式的展开式中常数项为( )A.－20B.20C.－15D.158.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )A.3×3!B.3×(3！)3C.(3！)4D.9! 9.10名同学合影，站成了前排3人，后排7人.现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为( )A.C 27A 55B.C 27A 22 C.C 27A 25 D.C 27A 35 10.若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________. 11.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________.12.从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种.(用数字作答)13.若⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含x 3的项的系数为________.14.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种.15.实验员进行一项实验，先后要实施5个程序(A ，B ，C ，D ，E )，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C 或D 在实施时必须相邻.则实验顺序的编排方法共有________种.答案精析回扣专项练81.A [分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有C 12＝2(种)选派方法； 第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有C 24＝6(种)选派方法.由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种).]2.D [满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有C 45＝5(种)； 二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有C 25·C 24＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种).] 3.C [由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25＝20种，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C.] 4.B [0,1,2，…，9共能组成9×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个).∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个).]5.B [展开式的通项公式T r ＋1＝C rn (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ， ∴T r ＋1＝3n －r C rn xn －52r ，r ＝0,1,2，…，n . 令n －52r ＝0，n ＝52r ，故最小正整数n ＝5.] 6.B [(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，∴a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1.∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1. ∴13·m ！m ！m ！＝7·m ＋！m ＋！m ！.∴m ＝6.] 7.A [当x >0时，f (x )＝－x <0，所以f [f (x )]＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 6，T r ＋1＝C r 6x －12(6－r )·(－12x )r ＝(－1)r C r6x －3＋r 2＋r 2， 由r －3＝0，得r ＝3.所以f [f (x )]表达式的展开式中常数项为(－1)3C 36＝－20.]8.C [把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种.]9.C [从后排抽2人的方法种数是C 27；前排的排列方法种数是A 25.由分步乘法计数原理知不同调整方法种数是C 27A 25.]10.12 解析 T r ＋1＝C r 8x 8－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 3x r ＝a r C r 8x 8－43r ，由8－43r ＝4得r ＝3，由已知条件a 3C 38＝7，则a 3＝18，a ＝12.11.96解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A 44种分法，∴不同的分法种数共有4A 44＝96.12.60解析 分三步：第一步，一等奖有C 16种结果；第二步，二等奖有C 25种结果；第三步，三等奖有C 33种结果，故共有C 16·C 25·C 33＝6×10＝60种可能的结果.13.－80解析 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x n 展开式中各项的二项式系数之和为32，∴2n ＝32，n ＝5.故展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 5·25－r ·x 5－r ·(－1)r ·x －r ＝(－1)r ·25－r ·C r 5·x 5－2r .令5－2r ＝3，解得r ＝1，则该展开式中含x 3的项的系数为－16×5＝－80，故答案为－80.14.24解析 先把甲、乙捆绑在一起有A 22种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有A 22种情况，这样产生了三个空位，插入丙、丁，有A 23种情况，所以着舰方法共有A 22A 22A 23＝2×2×2×3＝24(种).15.24解析 依题意，当A 在第一步时，共有A 22A 33＝12(种)；当A 在最后一步时，共有A 22A 33＝12(种).所以实验的编排方法共有24种.。

计数原理高三数学知识点计数原理是高三数学中的一个重要知识点，主要涉及到排列组合和概率统计方面的内容。

本文将对计数原理进行详细的介绍和讲解。

1. 基本概念计数原理是研究事物的计数方法和规律的数学理论。

在高三数学中，计数原理主要包括排列和组合两个部分。

2. 排列排列是指从一组元素中按照一定的顺序抽取若干个元素进行排列的方法。

排列的计算公式为：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，P表示排列数，n表示一组元素的个数，m表示抽取的元素个数。

排列的应用场景非常广泛，比如从一组数字中选取若干个数字进行排列，从一组人员中选取若干人进行排列等等。

3. 组合组合是指从一组元素中按照一定的顺序抽取若干个元素形成一个集合的方法。

组合的计算公式为：C(n, m) = n! / [(n - m)! * m!]其中，C表示组合数，n表示一组元素的个数，m表示抽取的元素个数。

组合的应用场景也非常广泛，比如从一组数字中选取若干个数字形成一个集合，从一组人员中选取若干人形成一个小组等等。

4. 基本性质排列和组合都具有一些基本的性质，这些性质对于解题非常重要，需要牢记。

以下是一些常用的性质：（1）互补性原理：P(n, m) = C(n, m) * m!在排列中，从一组元素中选取m个进行排列，即为P(n, m)；而在组合中，从一组元素中选取m个形成一个集合，然后对这个集合进行排列，即为C(n, m) * m!。

（2）和原理：C(n, m) = C(n - 1, m - 1) + C(n - 1, m)在组合中，C(n, m)表示从一组元素中选取m个形成一个集合的数目。

根据和原理，可以将这个问题分解成两个子问题，分别是从前n-1个元素中选取m-1个的集合和从前n-1个元素中选取m个的集合。

由此可得，C(n, m) = C(n - 1, m - 1) + C(n - 1, m)。

5. 概率统计中的计数原理计数原理在概率统计中也有广泛的应用。

计数原理两个计数原理（II ） 排列、组合（II ） 二项式定理（II ）1.从考查题型来看，涉及本知识点的题目以选择题、填空题为主，考查计数原理及二项式展开式中特定项或其系数等问题，2.从考查内容来看，主要考查利用两个计数原理及排列数、组合数公式，结合分类讨论思想考查完成事情的方法总数；考查利用二项式定理，求解二项展开式中特定项或其系数或系数的最大或最小问题等.3.从考查热点来看，排列、组合、二项式定理是高考命题的热点，根据两个计数原理及排列数、组合数公式确定完成事情的方法总数，同时注意方法的选用.二项展开式中特定项的系数问题是主要的考查内容，着重考查学生运用公式计算的能力.1.两个计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有类不同的方案，在第一类方案中有 种不同的方法，在第二类中有种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法，则完成这件事的所有方法种数为.(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要个不同的步骤，在第一个步骤中有种不同的方法，在第二个步骤中有种不同的方法，…，在第个步骤中有种不同的方法，则完成这件事的所有方法种数为.(3)两个计数原理的区别在于完成事情的方法是可以完成事情的所有，还是完成事情的某一个步骤.分类加法计数原理中的各种方法都是相互独立的，任何一种方法都能够完成这件事情；分步乘法计数原理中各个步骤的方法是相互联系的，只有各个步骤都完成，才能完成这件事情.要注意两个计数原理的综合应用. 2.排列、组合(1)排列与排列数：一般的，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.n 1m 2m n n m 12n Nm m m =+++L n 1m 2m n n m 12n Nm m m =⨯⨯⨯L n ()m m n ≤n m n m A mn排列数公式：.全排列：.规定：.(2)组合与组合数：一般的，从个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合，所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.组合数公式：. 规定：.组合数的性质：，.(3)排列与组合的异同点：共同点是“从个不同元素中取出个元素”，都是取元素；不同点是排列是取出元素后要按照给定的顺序排列，组合则只需要取出元素放在一起即可.因此，我们区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看选出的元素是否需要排序. (4)比较常见的一些方法：特殊元素、特殊位置优先安排法，相邻元素捆绑法，相间、分离元素插空法，间接法，分类讨论法等.要能够根据问题所呈现的信息，看是否存在元素、位置的特殊性，考查的元素是否相邻等，若考查的问题比较复杂，则需要综合考虑，分类讨论时，则要注意分类标准的确定，要保证不重不漏.若类与类之间出现重叠，则要把重叠的情况找出来，在整体中减去这些重叠的部分. 3.二项式定理：(1)二项式定理：公式 叫做二项式定理.：二项式系数， ：二项展开式的通项，即. !A (1)(2)(1)()!mn n n n n n m n m =---+=-L A !(1)(2)21nnn n n n ==--⋅L 0!1=n ()m m n ≤n mn m C mn A (1)(2)(1)!C A (1)(2)21!()!m m n nmm n n n n m n m m m m n m ---+===--⋅-L L 01nC =C C mn m nn -=11C C C m m m n n n -+=+n ()m m n ≤011()C C C C ()nn n k n k k n n n n n n a b a a b a b b n --*+=+++++∈N L L C (0,1,2,,)k n k n =L C k n k k n a b -1C k n k kk n T ab -+=要注意第项二项式系数与第项的系数的区别. (2)二项式系数的相关性质：，.若为偶数，则第项的二项式系数最大；若为奇数，则第和项的二项式系数和最大.(3)利用二项展开式的通项求特定项的系数时，可以通过建立方程找到该项是展开式的哪一项，然后再求得该项的系数.(4)二项展开式的系数和或差问题的求解策略通常是采用赋值法，令，则可以求得二项展开式中所有项的系数的和；令，则可以求得二项展开式中所有项的系数正、负相间的和；若上述两式相加或相减，则可以得到展开式中所有的奇数项系数的和与偶数项系数的和；令，则可以求得展开式中常数项的系数. (5)求解两个二项式乘积中一些特定项或特定项的系数的问题可以根据多项式的乘法法则，弄清楚这些特定的项的构成规律，然后再进行具体的计算.1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．2．（2018新课标全国Ⅲ理科）的展开式中的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80【答案】C【解析】由题可得T r+1=C 5r (x 2)5−r (2x )r =C 5r∙2r ∙x 10−3r ，令10−3r =4,则r =2，1r +1r +0122n n n n n n C C C C +++⋅⋅⋅+=021312n n n n n C C C C -++⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅=n 12n +2C nn n 112n -+112n ++12C n n-12Cn n+1x =1x =-0x =522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x所以C 5r ∙2r =C 52×22=40.故选C.【名师点睛】本题考查二项式定理，准确写出二项展开式，能正确求出的通项 ，从而求得系数． 3．（2018新课标全国Ⅱ理科）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C. 【名师点睛】先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 4．（2017新课标全国I 理科）展开式中的系数为 A ．15B ．20C ．30D ．35【答案】C【解析】因为，则展开式中含的项为，展开式中含的项为，故的系数为，选C.【名师点睛】对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项式的每项，分析含的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的不同.5．（2017新课标全国II 理科）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，4x 30723=+112114115118210C 45=7+23=11+19=13+17=3031=4515621(1)(1)x x++2x 6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+6(1)x +2x 22261C 15xx ⋅=621(1)x x ⋅+2x 442621C 15x x x⋅=2x 151530+=2x r则不同的安排方式共有 A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【答案】D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把工作分成三份：有种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有种． 故选D ．【名师点睛】（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 6．（2017新课标全国III 理科）的展开式中的系数为 A ．B ．C ．40D ．80【答案】C【解析】， 由展开式的通项公式可得：当时，展开式中的系数为；当时，展开式中的系数为，则的系数为.故选C.【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.1．[辽宁省大连市2020届高三上学期第二次模拟考试数学（理）试卷] (x 2−1x )n 的展开式中，常数项为15，则n =24C 2343C A 36⨯=()()52x y x y +-33xy80-40-()()()()555222x y x y x x y y x y +-=-+-()52x y -()()515C 2rrrr T x y -+=-3r =()52x x y -33xy()3325C 2140⨯⨯-=-2r =()52y x y -33x y ()2235C 2180⨯⨯-=33xy804040-=A ．3B ．4C ．5D ．62．[山东省烟台市2019-2020学年高三上学期期末考试数学试题]为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ） A ．216B ．480C ．504D ．6243．[黑龙江省哈尔滨市香坊区第六中学校2019-2020学年高三上学期期末数学（理)]某市为了提高整体教学质量，在高中率先实施了市区共建“1+2”合作体，现某市直属高中学校选定了6名教师和2名中层干部去2所共建学校交流学习，若每所共建学校需要派3名教师和1名中层干部，则该市直属高中学校共有（ ）种选派方法 A ．160B ．80C ．40D ．204．[内蒙古乌兰察布市等五市2019-2020学年高三1月调研考试（期末)数学（理)]二项式()6210mx m x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的展开式中常数项为60，则m =（ ） A 2B 3C ．2D ．35．[2020届湖北省黄冈市高三上学期期末数学（理)]将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ）A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种6．[湖北省武汉市部分学校2020届高三上学期起点质量监测数学（理)试题] 若32nx x ⎛+ ⎝的展开式中所有项系数和为81，则展开式的常数项为________.7．[四川省泸县泸州市第四中学2019-2020学年高三上学期期末考试数学（理）]已知21()nx x+的展开式的各项系数和为64，则展开式中3x 的系数为______8．[天津市滨海新区七所学校2019-2020学年高三上学期期末数学试卷]二项式1022x x ⎫⎪⎭，则该展开式中的常数项是______.9．[2020届浙江省绍兴市诸暨市高三上学期期末数学试题]用0，1，2，3，4组成没有重复数字的四位数，其中奇数有______个.10．[2020届河南省驻马店市高三上学期期末数学(理)]某部队在训练之余，由同一场地训练的甲､乙､丙三队各出三人，组成33⨯小方阵开展游戏，则来自同一队的战士既不在同一行，也不在同一列的概率为______.1．中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能：礼、乐、射、御、书、数.“礼”，礼节，即今德育：“乐”，音乐，“射”和“御”，射箭和驾驭马车的技术，即今体育和劳动：“书”，书法，即今文学；“数”，算法，即今数学。

高考计数原理知识点计数原理作为高考数学中的一个重要知识点，无论在高考试卷中还是在日常生活中都具有广泛的应用。

本文将介绍高考计数原理的相关知识点，帮助同学们更好地掌握这一内容。

一、基本定义计数原理是数学中研究计算数量的方法和技巧的一门学科，主要研究集合中元素的数量问题。

在高考中，常用的计数原理包括排列、组合、多重集合和分配原理等。

二、排列1. 定义排列是从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。

在高考中，常用的排列公式是Amn = n! / (n-m)!，其中n表示元素的总数，m表示选取的元素个数。

2. 排列的性质a. 排列中元素的顺序不同，即使选取的元素相同，排列的结果也是不同的。

b. 当选取的元素个数等于元素的总数时，排列的结果即为全排列。

c. 当选取的元素个数小于元素的总数时，排列的结果即为部分排列。

三、组合1. 定义组合是从给定的元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。

与排列不同的是，组合中元素的顺序不重要。

在高考中，常用的组合公式是Cmn = n! / (m!(n-m)!)，其中n表示元素的总数，m表示选取的元素个数。

2. 组合的性质a. 组合中元素的顺序不同，选取的元素相同，组合的结果是相同的。

b. 当选取的元素个数等于元素的总数时，组合的结果即为全组合。

c. 当选取的元素个数小于元素的总数时，组合的结果即为部分组合。

四、多重集合1. 定义多重集合是指集合中元素可以出现多次的情况。

在高考中，常用的多重集合问题可以使用组合公式进行求解。

2. 多重集合的性质a. 多重集合中元素可以出现多次，且顺序不重要。

b. 多重集合的排列问题可以转化为组合问题进行求解。

五、分配原理1. 定义分配原理是计数原理中的一个重要概念，它用于解决将若干物品分配给若干人的问题。

在高考中，常用的分配原理可以用于解决分配座位、奖项等相关问题。

2. 分配原理的性质a. 如果有m个物品需要分配给n个人，且物品和人之间没有特殊的要求，那么每个人至少分得一个物品的方案数为n^m。

高三计数原理知识点一、基本概念计数原理是概率论的一个基本分支，主要研究计数问题。

在概率论和组合数学中，计数原理用于确定某个事件发生的可能性，并通过计算不同情况的组合、排列或选择的方式来解决问题。

下面将介绍一些高三计数原理的基本知识点。

二、排列与组合1. 排列在计数原理中，排列是指从给定对象的集合中选择特定数量的对象，按照一定的顺序进行排列。

排列的计算公式为：nPr = n! / (n - r)!其中，n代表集合中的对象数量，r代表选取的对象数量。

2. 组合组合是指从给定对象的集合中选择特定数量的对象，不考虑顺序。

组合的计算公式为：nCr = n! / (r! * (n - r)!)其中，n代表集合中的对象数量，r代表选取的对象数量。

三、二项式定理二项式定理是计数原理中的重要定理，它描述了将两个项相加的n次幂展开的形式。

二项式定理可以用来计算排列和组合中的项数。

二项式定理的公式为：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,n) * a^0 * b^n其中，C(n,r)表示从n个对象中选择r个对象的组合数。

四、鸽笼原理鸽笼原理是指将n+1只鸽子放入n个笼子中，那么至少会有一个笼子中有两只或两只以上的鸽子。

这个原理在计数问题中经常被使用，特别是在解决抽屉原理问题时。

鸽笼原理可以简单地表述为：当物体数量超过容器数量时，必定会出现至少一个容器内包含多个物体。

五、应用举例1. 出题排列组合问题小明手中有10个不同的球，他将其中5个排成一排。

请问共有多少种排列方式？解答：根据排列的计算公式，可以得知共有10P5 = 10! / (10 - 5)! = 30240 种排列方式。

2. 场次排列问题某足球比赛有8个球队参加，其中有4个比赛场次。

请问共有多少种比赛场次的安排方式？解答：根据排列的计算公式，可以得知共有8P4 = 8! / (8 - 4)! = 1680 种比赛场次的安排方式。