动量定理解决连续流体问题

动量定理是物理学中的一个重要定理，它描述了物体的动量变化与作用力之间的关系。

在许多实际应用中，动量定理可以用于解决流体动力学问题，特别是在涉及到流体运动的情况。

在流体动力学中，流体模型是一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解流体的运动规律。

在动量定理中，流体模型通常指的是将流体视为连续介质，即流体是由无数个微小粒子组成的。

这种模型假设流体具有连续的物理性质，如密度、速度和压力等。

通过使用流体模型，我们可以将复杂的流体运动问题简化为一系列的微分方程，从而更容易地求解。

在流体动力学中，常见的流体模型有欧拉模型和有限差分模型等。

欧拉模型是一种基于欧拉方程的流体模型，它假设流体的密度、速度和压力等物理性质是时间、空间和流速的函数。

有限差分模型则是一种基于有限差分法的流体模型，它通过对流体区域的离散化，将流体的运动过程转化为一系列离散方程，从而更好地模拟流体运动。

对于流体模型的动量定理，我们需要考虑流体中的各个物体的相互作用。

这些相互作用可以表现为作用于物体上的力和作用于流体上的反作用力。

由于流体是连续的，所以流体的动量变化是由物体与流体的相互作用引起的。

在这个过程中，流体的动量定理起着关键作用。

动量定理的基本形式是：作用在物体上的力等于物体动量的变化率。

对于流体模型，这个定理可以表述为：作用于流体上的力等于流体质点的动量变化率。

这意味着，当流体受到外力作用时，流体的动量会发生改变，而这个改变量等于作用在流体上的力与时间间隔的乘积。

在实际应用中，流体模型的动量定理可以用于解决许多实际问题。

例如，在航空航天领域，飞机和火箭的飞行需要精确的计算流体动力学模型来预测气流的流动和阻力。

在水利工程中，工程师需要使用流体模型来模拟水流和波浪的运动，以评估水坝、河流改道等工程的可行性。

在化学工程中，流体模型的动量定理也被广泛应用，例如在管道输送、传热和燃烧等领域。

总之，流体模型的动量定理在许多实际应用中发挥着重要作用。

1、流体问题"流体"一般是指液体流、气体流等，质量具有连续性。

涉及有求解质量、体积和力等问题。

2、两类问题①连续流体类问题对于该类问题流体运动,可沿流速v的方向选取一段柱形流体作微元设在极短的时间Δt内通过某一横截面积为S的柱形流体的长度为Δl,如图所示。

设流体的密度为ρ则在Δt的时间内流过该截面的流体的质量Δm=ρSΔl=ρSvΔt根据动量定理得：FΔt=ΔmΔv分两种情况:(1)作用后流体微元停止，有Δv=-v，则F=-ρSv2(2)作用后流体微元以速率v反弹，有Δv=-2v，则F=-2ρSv2②连续微粒类问题"微粒"一般是指电子流、尘埃等，质量具有独立性，通常给出单位体积内的粒子数n：（1）建立"柱状"模型，沿运动速度v0的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S；（2）微元研究，作用时间△t内的一段柱体的长度为v0△t，对应的体积为△V=S v0△t，则微元内的粒子数N=nS v0△t（3）先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N计算。

例题1．如图所示，一根横截面积为S的均匀带电长直橡胶棒沿轴线方向做速度为v的匀速直线运动。

棒单位长度所带电荷量为﹣q，则由于棒的运动而形成的等效电流大小和方向（）A．vq，方向与v的方向相反B．vqS，方向与v的方向相反C．，方向与v的方向相反D．，方向与v的方向相同解析：棒沿轴线方向以速度v做匀速直线运动时，每秒通过的距离为v米，每秒v米长的橡胶棒上电荷都通过直棒的横截面，每秒内通过横截面的电量大小为：Q＝q•v根据电流的定义式为：I＝，t＝1s，得到等效电流为：I＝qv．由于棒带负电，则电流的方向与棒运动的方向相反，即与v的方向相反。

故A正确，BCD错误。

故选：A。

2．打开水龙头，水顺流而下，仔细观察将会发现在流下的过程中，连续的水流柱的直径是逐渐减小的．设出水口方向竖直向下的水龙头直径为1cm，g取10m/s2．如果测得水在出水口处的速度大小为1m/s，则距出水口75cm处水流柱的直径为（）A．1cmB．0.5cmC．0.75cmD．0.25cm解析：设水在水龙头出口处速度大小为v1，水流到距出水口75cm 处的速度v2，由代入数据解得v2＝4m/s，设极短时间为△t，在水龙头出口处流出的水的体积为V1＝v1△t①水流进接水盆的体积为V2＝v2△t•②由V1＝V2得v1△t•＝v2△t•代入解得d2＝1cm故选：A。

3动量定理流体问题动量定理在流体问题中的应用是解决质量连续变动问题的基本思路。

首先，我们可以建立“柱体”模型，选择一段柱形流体沿流速方向，通过某一横截面积为S的流体长度为Δl，流体的密度为ρ，那么在Δt时间内通过该截面的流体的质量为Δm＝ρSΔl＝ρSvΔt。

其次，当所取时间Δt足够短时，我们可以采用微元法，即以一微小段为研究对象的方法。

最后，我们可以应用动量定理，即流体微元所受的合外力的冲量等于微元动量的增量，即F合Δt＝Δp。

解答质量连续变动问题的具体步骤是应用动量定理分析连续体相互作用问题的方法是微元法。

具体步骤为：首先，确定一小段时间Δt内的连续体为研究对象；其次，写出Δt内连续体的质量Δm与Δt的关系式；然后，分析连续体的受力情况和动量变化；最后，应用动量定理列式、求解。

举个例子，当飞船进入宇宙微粒尘区时，为了保持飞船速度不变，我们需要增加飞船的牵引力。

假设有一宇宙飞船，它的正面面积为S＝0.98 m2，以v＝2×103m/s的速度进入宇宙微粒尘区，尘区每1 m3空间有一微粒，每一微粒平均质量m＝2×10－4g，若要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？由于飞船速度保持不变，因此增加的牵引力应与微粒对飞船的作用力相等。

只要求出时间t内微粒的质量，再由动量定理求出飞船对微粒的作用力，即可得到飞船增加的牵引力。

时间t内附着到飞船上的微粒质量为M＝m·S·vt，设飞船对微粒的作用力为F，由动量定理得Ft＝Mv＝mSvt·v，即F＝mSv2，代入数据解得F＝0.784 N，由牛顿第三定律得，微粒对飞船的作用力为0.784N，故飞船的牵引力应增加0.784 N。

另外，还有一个例子是一艘小船在静水中由于风力的推动作用做匀速直线运动，船体的迎风面积S＝1 m2，风速v1＝10 m/s，船速v2＝4 m/s，空气密度ρ＝1.29kg/m3.小船在匀速前进时船体受到的平均风力大小为多少？根据动量定理，我们可以求出小船受到的风力大小为46.4 N。

应用动量定理分析流体问题分析流体模型的思路(1)在极短时间Δt内，取一小段柱体作为研究对象，小柱体的体积ΔV＝v SΔt；(2)小柱体的质量Δm＝ρΔV＝ρv SΔt；(3)小柱体的动量变化量大小Δp＝Δm v＝ρv2SΔt；(4)应用动量定理FΔt＝Δp，列方程计算；(5)结合牛顿运动定律进行综合分析。

典例2021年7月25日台风“烟花”登陆舟山普陀区。

台风“烟花”登陆时的最大风速为38 m/s。

如图所示，某高层建筑顶部广告牌的尺寸为高5 m、宽20 m，空气密度ρ＝1.2 kg/m3，空气吹到广告牌上后速度瞬间减为0，则该广告牌受到的最大风力约为()A. 1.7×104 NB. 1.7×105 NC. 2.7×104 ND. 9.0×104 NB解析：广告牌的面积S＝5×20 m2＝100 m2，设Δt时间内吹到广告牌上的空气质量为Δm，则有Δm＝ρS vΔt，以风速的方向为正方向，根据动量定理有－FΔt＝0－Δm v＝0－ρS v2Δt，解得广告牌对空气的最大作用力的大小为F＝ρS v2，代入数据得F＝1.7×105 N，根据牛顿第三定律得，广告牌受到的最大风力大小约为1.7×105 N，故B正确。

2．(应用动量定理处理“流体冲击力问题”)如图所示为清洗汽车用的高压水枪。

设水枪喷出的水柱直径为D，水流速度为v，水柱垂直汽车表面，水柱冲击汽车后水的速度变为0。

手持高压水枪操作，进入水枪的水流速度可忽略不计，已知水的密度为ρ。

下列说法正确的是()A. 高压水枪单位时间内喷出的水的质量为ρπv D 2B. 高压水枪单位时间内喷出的水的质量为14ρv D 2 C. 水柱对汽车的平均冲力为14ρv 2D 2 D. 当高压水枪喷口的出水速度变为原来的2倍时，喷出的水对汽车的压强变为原来的4倍D 解析：高压水枪单位时间内喷出的水的质量等于单位时间内喷出的水柱的质量，即m 0＝ρV ＝ρπ⎝ ⎛⎭⎪⎫D 22·v ＝14πρv D 2，故A 、B 错误；设水柱对汽车的平均冲力为F ，由动量定理得F Δt ＝m Δv ，即F Δt ＝14πρv D 2Δt v ，解得F ＝14πρv 2D 2，故C 错误；高压水枪喷出的水对汽车产生的压强p ＝F S ＝14πρv 2D 214πD 2＝ρv 2，则当高压水枪喷口的出水速度变为原来的2倍时，喷出的水对汽车的压强变为原来的4倍，故D 正确。

应用动量定理分析流体问题模型发布时间：2022-05-12T02:19:50.027Z 来源：《教育学》2021年11月总第267期作者：黄承军[导读] 应用动量定理分析求解流体的连续相互作用问题，常见问题有以下两类，连续流体类问题，连续微粒类问题，两种解题的方法相似，一般需构建柱体或方体微元模型，利用微元法求解。

福建省沙县第一中学365500应用动量定理分析求解流体的连续相互作用问题，常见问题有以下两类，连续流体类问题，连续微粒类问题，两种解题的方法相似，一般需构建柱体或方体微元模型，利用微元法求解。

一、连续流体类问题“流体”一般是指液体流、气体流等，质量具有连续性。

对于该类问题流体运动，可沿流速v的方向选取一段柱形流体作微元，设在极短的时间Δt内通过某一横截面积为S的柱形流体的长度为Δl。

设流体的密度为ρ，则在Δt的时间内流过该截面的流体的质量Δm=ρSΔl=ρSvΔt，根据动量定理，流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动量的增量，即FΔt=ΔmΔv，分两种情况：1.作用后流体微元停止，有Δv=-v，代入上式有F=-ρSv2。

2.作用后流体微元以速率v反弹，有Δv=-2v，代入上式有F=-2ρSv2。

例1：(2020?海南高考真题)太空探测器常装配离子发动机，其基本原理是将被电离的原子从发动机尾部高速喷出，从而为探测器提供推力，若某探测器质量为490Kg，离子以30km/s的速率(远大于探测器的飞行速率)向后喷出，流量为3.0×10-3g/s，则探测器获得的平均推力大小为( )A．1.47N B．0.147N C．0.09N D．0.009N 解析：对离子，根据动量定理有而Δm=3.0×10-3×10-3Δt解得F=0.09N，故探测器获得的平均推力大小为0.09N，故选C。

二、连续微粒类问题“微粒”一般是指电子流、尘埃等，质量具有独立性，通常给出单位体积内的粒子数n：1.建立“柱状”模型，沿运动速度 v0的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S。

用动量定理解析流体问题作者：柯岩来源：《理科考试研究·高中》2012年第02期高中物理习题中常出现求解与连续物相关的问题，这类问题又称流体问题.通常液体流、电子流、光子流、气体流等被广义地视为“流体”，而电子流、光子流、气体流可统称为粒子流，对于液体流，选取质量为m的液柱为研究对象；对于运动粒子流，通常是以体积元ΔV=Δt·v·S的体积内的个粒子为研究对象，从而把问题转化成用动量定理来求解.学生解决这类问题时不善于建立模型，普遍感到困难.一、气体流例1某地强风的风速为v，设空气的密度为ρ，如果将通过横截面积为S的气体的动能全部转化为电能，其电功率多大？解析风可视为连续流动的空气.首先在风速方向上选取一段空气气柱微元为研究对象，在Δt时间内流过横截面S的空气质量Δm=ρSvΔt(1)Δt时间内流过S截面的空气的动能Ek=12Δmv2(2)依题意，电功率P=EkΔt(3)由(1)(2)(3)式得P=12ρSv3.二、液体流例2采煤中常用水流将煤层击碎而把煤采下，现有一采煤用的水枪，从枪口射出的高速水流速度为v.设水的密度为ρ，水流垂直射向煤层表面，试求煤层表面可能受到的最大压强.分析设水枪枪口横截面积为S，在Δt时间内射出的质量m=ρ·SvΔt.在水流撞击煤层表面后反溅的速度大小、方向有多种可能，而水流动量变化的最大的要属水流撞击后以原速反溅的情形.设煤层对水的平均作用力为F，取F方向为正方向，根据动量定理有F·Δt=mv2-mv1=ρSvΔt·v-(-ρSvΔt·v).得F=2ρSv2.由牛顿第三定律知煤层受到水流的作用力大小为F′=2ρSv2，故煤层表面受到的最大压强p=F′S=2ρSv2S=2ρv2.三、宏观颗粒流例3图1是米店自动称米装置示图.现如果要称米M千克，那么台称称量达到M千克(未计容器质量)时，自动装置能立即在米出口处切断米流，这种称米方法准确吗？为什么？分析设米在出口处的初速度为零，米的流量为m kg/s，米下落过程中做自由落体运动，落到台秤上称量值为M时距容器内米的上表面的距离为h，运用运动学公式有v2=2gh,v=2gh.应用动量定理求出此时米流对称盘面的作用力为F，取Δt时间内落入容器的米流为研究对象，有F·Δt=Δm·v.而ΔmΔt=m,F=m·2gh.此时台秤的称量值M、容器中所装米的质量m1与米流对称的作用力F满足Mg=m1g+F.若能证明空中米流(此时还有高度为h的米流尚未入容器)的质量m2满足m2=Fg，即说明这种称米方法正确.设最上面米粒落到容器的时间为t，有m2=m·t，而h=12gt2.解得m2=m·2hg=m2ghg=Fg.可见，这种称米方法正确.四、电子流例4图2为阴极射线管示意图.由阴极K产生的热电子(初速度为零)经电压加速后，打在阳极A板上.若A板附近单位体积内的电子数为N，电子打到A板上即被吸收.求电子打击A板过程中A板受到的压强.解设电子到达A板时的速度为v，电子质量为m.电子加速过程中由动能定理得eU=12mv2(1)在靠近A板处沿电子流方向取一横截面积为S、长度为vΔt的电子流柱体微元.因为所取Δt极小，所以微元中各电子的速度均可认为等于电子打击A板时的速度v，则时间Δt内打到A板上的电子数为NSvΔt，由动量定理得FΔt=(NSvΔt)mv(2)由(1)、(2)两式及牛顿第三定律得A板所受压力F′=2eUNS(3)由(3)式及压强定义得A板所受压强p=2eUN.五、光子流例5科学家设想在未来的航天事业中用太阳帆来加速星际宇宙飞船，按照近代光的粒子说，光由光子组成，飞船在太空中张开太阳帆，使太阳光垂直射到太阳帆上，太阳帆面积为S，太阳帆对光的反射率为100%，设太阳帆上每单位面积每秒到达n个光子，每个光子的动量为p，如飞船总质量为m.求：(1)飞船加速度的表达式.(2)若太阳帆面对阳光一面是黑色的，情况又如何？解析(1)设经过时间t，则在时间t内射到太阳帆上的光子数N=nSt①对光子由动量定理得Ft=NP-N(-P)②对飞船由牛顿运动定律得F=ma③由以上三式解得飞船的加速度为a=2nSPm.(2)若太阳帆面对阳光的一面是黑色的，则对光子由动量定理得ft=0-N(-P)④由①③④得a=nSPm.六、物体流例6一挺机枪每分钟能发射216颗子弹，每颗子弹质量m为50 g，子弹出口时的速度为1000 m/s，则机枪手抵住机枪的作用力为多大？解析可把子弹流近似当做流体，取Δt时间内射出的子弹流为研究对象，它的总质量为M，有M=21660×Δt×m.设机枪对子弹流的作用力为F，运用动量定量可得F·Δt=Mv，F=MvΔt=216×Δt×mv60×Δt=21660×0.05×1000 N=180 N.由牛顿第三定律可知，子弹流对机枪的作用力为180 N.所以，为使机枪处于平衡状态，机枪手抵住机枪的作用力应为180 N.小结以上是六类变质量(或连续流体)问题，对这类问题的处理，一般要选取一段时间的流体为研究对象，然后表示出所选研究对象的质量，分析它的受力及动量的变化，根据动量定理列方程求解.链接训练1.国产水刀——超高压数控万能水切割机以其神奇的切割性能在北京国际展览中心举行的第五届国际机床展览会上引起轰动，它能切割40 mm厚的钢板、50 mm厚的大理石等材料.水刀是将普通的水加压，使其从口径为0.2 mm的喷嘴中以800 ～1000 m/s的速度射出的水射流.我们知道，任何材料承受的压强都有一定限度，下表列出了一些材料所能承受的压强限度.A橡胶5×107 PaB花岗石1.2×108 Pa～2.6×108 PaC铸铁8.8×108 PaD工具钢6.7×108 Pa设想有一水刀的水射流横截面积为S，垂直入射的速度v=800 m/s，水射流与材料接触后，速度为零，且不附着在材料上，水的密度ρ=1×103 kg/m3，则此水刀不能切割上述哪些材料？2.一宇宙飞船以速度v=1.0×104 m/s在密度为ρ=2.0×10-5 kg/m3的微陨石云中飞行，如果飞船的最大正截面积S=5.0 m2，且近似地认为微陨石与飞船碰撞后都附着在飞船上，则飞船受到微陨石的平均作用力为多大？参考答案1.以射到材料上的水量Δm为研究对象，以其运动方向为正方向，由动量定理得pSΔt=-ρSvΔt·v，p=-ρv2=-6.4×108 Pa.由表中数据可知，不能切割C、D.2.以飞船为参照系，则微陨石流以v=1.0×104 m/s的速度撞击飞船上.设在极短时间Δt内附到飞船上的陨石流的质量为m，则m=ρ·Δv=ρ·S·Δt·v，对这部分陨石流应用动量定理，设飞船对它的作用力为F.F·Δt=mv，F=mvΔt=ρSvΔt·vΔt=ρSv2=2.0×10-5×5.0×(1.0×104)2=1.0×104 N.由牛顿第三定律知，飞船受到微陨石流的平均作用力为1.0×104 N.。

突破31 用动量定理解决连续流体的作用问题通常情况下应用动量定理解题，研究对象为质量一定的物体，它与其他物体只有一次相互作用，我们称之为“单体作用”。

这类题目对象明确、过程清楚，求解不难。

而对于流体连续相互作用的这类问题，研究对象不明，相互作用的过程也较复杂，求解有一定难度。

1．流体作用模型对于流体运动，可沿流速v 的方向选取一段柱形流体，设在极短的时间Δt 内通过某一横截面S 的柱形流体的长度为Δl ，如图所示．设流体的密度为ρ，则在Δt 的时间内流过该截面的流体的质量为Δm ＝ρS Δl ＝ρSv Δt ，根据动量定理，流体微元所受的合外力的冲量等于该流体微元动量的增量，即F Δt ＝Δm Δv ，分两种情况：(1)作用后流体微元停止，有Δv ＝－v ，代入上式有F ＝－ρSv 2；(2)作用后流体微元以速率v 反弹，有Δv ＝－2v ，代入上式有F ＝－2ρSv 2. 2．微粒类问题 微粒及其特点通常电子流、光子流、尘埃等被广义地视为“微粒”，质量具有独立性，通常给出单位体积内粒子数n分析步骤(1)建立“柱体”模型，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S(2)微元研究，作用时间Δt 内一段柱形流体的长度为Δl ，对应的体积为ΔV ＝Sv0Δt ，则微元内的粒子数N ＝nv0S Δt(3)先应用动量定理研究单个粒子，建立方程，再乘以N 计算【典例1】某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M 的卡通玩具稳定地悬停在空中．为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S 的喷口持续以速度v 0竖直向上喷出；玩具底部为平板(面积略大于S )；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开．忽略空气阻力．已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g .求：(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量；(2)玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度．【答案】：(1)ρv 0S (2)v 202g －M 2g 2ρ2v 20S2【解析】：(1)设Δt时间内，从喷口喷出的水的体积为ΔV，质量为Δm，则Δm＝ρΔV ①ΔV＝v0SΔt ②由①②式得，单位时间内从喷口喷出的水的质量为Δm＝ρv0S. ③Δt(2)设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h，水从喷口喷出后到达玩具底面时的速度大小为v.对于Δt【典例2】有一宇宙飞船，它的正面面积S = 0.98m2，以v = 2×103 m/s的速度飞入一宇宙微粒尘区，此尘区每立方米空间有一个微粒，微粒的平均质量m = 2×10﹣7 kg，要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？（设微粒与飞船外壳碰撞后附于飞船上）。

巧建模型求解流体问题流体问题涉及的对象有液体流、气体流、粒子流等，因其与外界作用具有一定的连续性，与平时研究的独立实物有所不同，故此它的有关计算成为同学们学习中的一个难点。

本文拟从巧妙构建模型、恰当选取规律出发，探究其解法，旨在培养同学们处理此类问题的能力。

一、 模型的建立。

大家之所以对此问题感到比较棘手，主要是不知道“选取谁作为研究对象去进行分析”。

求解此类问题，通常建立如下“柱状模型”：如图1所示，沿流体流动方向取一截面，面积为S ，取t ∆时间内流过该截面的流体为研究对象，则t ∆内流过该截面的流体的体积t Sv V ∆⋅=∆，这段流体的质量为t Sv V m ∆⋅=∆⋅=∆ρρ。

由此可近一步确定这段流体的其它物理量，如动量t Sv mv p ∆=∆=2ρ、动能t sv mv E K ∆=∆=322121ρ等。

这样，把流体转化成了我们熟悉的独立实物，具备了物体的特征，再选取合适的物理规律，便可求解。

因流体与外界作用时，作用时间短，涉及的物理量主要有力、时间及速度的变化，故此动量定理是处理流体问题的首选取规律。

二、模型的应用例1 水力采煤就是利用从高压水枪中喷出的强力水柱冲击煤层而使煤层碎裂。

设水枪的直径为d ，水速为v ，水的密度为ρ，水柱垂直地冲击到竖直煤壁上后，沿竖直煤壁流下，求水柱施于煤层上的冲力大小。

解析 如图2所示取t ∆时间内射到煤层的水为研究对象，设这部分水的质量为m ∆，则 t v d m ∆⋅⋅=∆024πρ这部分水经t ∆时间，其水平方向的动量由m ∆v 0变成零，以水喷出方向为正方向，由动量定理得00mv t F -=∆（F 表示水受到的煤层的作用力），故42020v d t mv F ρπ-=∆∆-= 由牛顿第三定律，水柱对煤层的作用力为 42020/v d t mv F F ρπ=∆∆=-=。

S 图1 图2v例2 竖直发射的火箭质量M =kg 3106⨯，已知每秒喷出气体的质量为m 0=200kg ，若使火箭最初能得到20m/s 2的向上加速度，喷气的速度应为多大？（g 取10 m/s 2）解析 取t ∆时间内喷出的气体为研究对象，则t m m ∆⋅=∆0因m ∆相对火箭质量很小，故可忽略喷出气体后火箭重力的变化，设火箭受到的推力为F ，对火箭应用牛顿第二定律得 Ma Mg F =-以这部分气体为研究对象，由动量定理得mv t F ∆=∆⋅/由于F =F /，所以火箭喷射气体的速度为 s m m a g M m t a g M v /900)()(0=+=∆∆+=。

第1页（共13页）2025年高考物理总复习专题18应用动量定理解决流体模型模型归纳
1．流体模型
分类方法指导
示例
流体类“柱状
模型”通常液体流、气体流等被广义地视
为“流体”，质量具有连续性，通常
已知密度ρ。

1.建立“柱状模型”，沿流速v 的方向
选取一段柱形流体，其横截面积为S 。

2.微元研究，作用时间Δt 内的一段
柱形流体的长度为Δl ，对应的质量
为Δm ＝ρSv Δt 。

3.建立方程，应用动量定理研究这
段柱状流体。

微粒类
“柱状
模型”通常电子流、光子流、尘埃等被广
义地视为“微粒”，质量具有独立
性，通常给出单位体积内粒子数n 。

1.建立“柱状”模型，沿运动的方向选取一段微元，柱体的横截面积为S 。

2.微元研究，极短作用时间Δt 内一段柱形流体的长度为Δl ＝v 0Δt ，对应
的体积为ΔV ＝Sv 0Δt ，则微元内的粒
子数N ＝nv 0S Δt （n 为单位体积内的
粒子数）。

⽤动量定理解决连续流体的作⽤问题
在⽇常⽣活和⽣产中，常涉及流体的连续相互作⽤问题，⽤常规的分析⽅法很难奏效。

若构建柱体微元模型应⽤动量定理分析求解，则曲径通幽，“柳暗花明⼜⼀村”。

[例.4]有⼀宇宙飞船以v=10km/s在太空中飞⾏，突然进⼊⼀密度为ρ=1×10-7kg/m3的微陨⽯尘区，假设微陨⽯尘与飞船碰撞后即附着在飞船上。

欲使飞船保持原速度不变，试求飞船的助推器的助推⼒应增⼤为多少?(已知飞船的正横截⾯积S=2 m2)
[解析]选在时间Δt内与飞船碰撞的微陨⽯尘为研究对象，其质量应等于底⾯积为S，⾼为vΔt的直柱体内微陨⽯尘的质量，即m=ρSvΔt，初动量为0，末动量为mv.设飞船对微陨⽯的作⽤⼒为F。

根据⽜顿第三定律可知，微陨⽯对飞船的撞击⼒⼤⼩也等于20N.因此，飞船要保持原速度匀速飞⾏，助推器的推⼒应增⼤20N。

t2 1 222中学物理 Vol ． 31 No ． 21 11 月巧用动量定理解决几种典型问题冯小明( 启东市东南中学 江苏 启东 226200)动量定理的表述为: 物体所受合外力的冲量等于它的动量的变化． 其表达式为: Ft = p 2 － p 1 或Ft = m v 2 － m v ． 它反映了外力的冲量与物体动量变化的因果关系，在涉及力、时间、 物体的速度发生变化的问题中，应优先考虑选用动量定理求 解． 下面我们用动量定理解决几种典型应用问题． 1变力冲量的计算动量定理不仅适用于恒定的力，也适用于变力． 问题中 “碰撞”，最终获得共同速度．选两个木块为一系统，应用整体法，取竖直向下为正方向，设最终木块速度为 v ，则对系统应用动量定理得:( M + m) gt = ( M + m) v － ( m － M) v 0( 1) 又由相对运动规律可得L = 2v 0 t( 2)联立以上二式可解得若只计算变力的冲量，可对整个过程用动量定理，根据初、末 v = gL +( m － M) v 0 = 3m － M ．动量做出计算; 问题中若计算变力的大小，定理中的 F 可理 2v 0 m + MM + m解为变力在作用时间内的平均值．例 1 蹦床是运动在一张绷紧的弹性网上蹦跳、翻滚并作各种空中动作的体育器材． 一个质量为 60 kg 的运动员，从离水平网面 3． 2 m 高处自由落下，着网后沿竖直方向回到离水平网面 1． 8 m 高处． 已知运动员与网接触时间为 1． 4 s ． 试求网对运动员的平均作用力．解析 将运动员看成是质量为 m 的质点，从高为 h 1 处下落，刚接触网时的速度大小为v 1 = 槡2gh 1 ( 方向向下)( 1) 弹跳后上升的高度设为 h 2 ，则刚离网时的速度为v 2 = 槡2gh 2 ( 方向向上)( 2)讨论: ( 1) 当 M = 3 m 时，v = 0，两木块瞬时静止; ( 2) 当 M ＞ 3m 时，v 为负，表示 v 的方向竖直向上; ( 3) 当 M ＜ 3m 时，v 为正，表示 v 的方向竖直向下． 点评( 1) 在对系统应用动量定理时，I = Ft 应为系统所受的合外力的冲量，Δp 应为系统总动量的增量;( 2) 在计算系统总动量时，必须注意动量的矢量性和相对性，系统内各物体应选取同一参照系;( 3) 在对系统运用动量定理之前，也必须明确正方向， 以便用正负号表示冲量与动量的方向． 3用动量定理解决连续流体问题在日常的生活和生产中，常涉及流体的连续相互作用问 ，与网接触过程中，运动员受到向下的重力 mg 和网对其向上的弹力 F ． 选择竖直向上方向为正方向，由动量定理得( F － mg) Δt = mv － ( － mv ) ，题 用常规的方法，很难解决，若构建柱体微元模型，然后用动量定理分析求解，则可曲径通幽，迎刃而解．例 3 一艘帆船在静水中由于风力的推动作用做匀速2 1直线运动，帆面的面积 S = 10 m 2 ，风速 v = 10 m / s ，帆速 解以上三式得F = mg + m 槡2gh 2 + 槡2gh 1 ， v = 4 m / s ，空气密度 ρ = 1． 29 k g / m 3 ． 帆船在匀速前进时帆 代入数值可解得 F = 1． 2 × 103 N ． 2 动量定理在物体系中的应用动量定理的应用范围较广，它既适用于单个物体，也适 用于物体系． 如果系统受到的合外力恒定，但系统内各物体的动量发生变化，就可以对整体用动量定理求解．例 2 质量分别为 M 和 m 的两个木块之间用长为 L = 0． 4 m 的轻绳相连，开始时，两木块叠在一起，如图 2 所示，在 空中以初速度v 0 = 2 m / s 将它们分别竖直向上与竖直向下抛 面受到的平均风力大小为多少?解析 以帆面为底，( v 1 － v 2 ) t 为高的空气柱为研究对象，这些空气在帆面的作用下在时间 t 内速度由 v 1 变为 v 2 ，如图 2 所示，根据动量定理有－ Ft = mv 2 － mv 1 ，将 m = ρS( v 1 － v 2 ) t 代入上式可得F = ρS ( v 1 － v ) = 1． 29 × 10 × ( 10 － 4) N = 464 N ． 出，一段时间后绳被拉直，最后两木块获得共同速度，试求这个速度，并讨论这个共同速度的方向与M / m 的关系( 设空气阻力可忽略不计，绳子绷直过程的时间不计，g 取 10 m / s 2 ) ．解析 两个木块的运动过程有两个阶段组成: 第一阶段，两木块分别做竖直上抛运动和竖直下抛运动，到它们的 相对位移为 L 时结束; 第二阶段，两木块通过绳子作用发生由牛顿第三定律知，空气对帆面的平均作用力大小为 464 N ，方向与 v 2 方向一致．点评若遇流体或类似流体( 如粒子流) 的研究对象，选择的原则是: 一般是选择一段时间内作用在某物体上的流体为研究对象，然后确定出流体柱的体积、质量、状态变化及受力情况，再确定与其对应的物理规律． 4用动量定理解决曲线运动问题动量定理不仅适用于直线运动，也适用于曲线运动． 只要选择合适的始末状态，用动量定理解决一些曲线运动问•85•2槡r v2a － Ｒ )( ， 槡2013 年 11 月 V o l ． 31 N o ． 21 中学物理五种方法求解地球的第一宇宙速度徐 慧( 南京师范大学附属中学 江苏 南京 210003)在讲解《万有引力定律》时，计算第一宇宙速度是一个 重点，第一宇宙速度是指人造卫星恰好贴地球表面做匀速圆 周运动的速度，是人造卫星绕地球旋转的最大环绕速度，也 是其再也不落回地球的最小发射速度． 本文以地球为例，分 因为 h Ｒ 且 ACＲ，故 C D ≈ 2Ｒ，分别将 B C 、AC 、C D 代入 ( 1) 式 ，有v 2 Δt 2 = 1g Δt 2 •2Ｒ，别用五种不同的思路和方法求解第一宇宙速度．解得 v = 槡g Ｒ ≈ 7． 9 k m / s ．方法一 物体不再落回地面恰好“贴着”地球表面做匀速圆周运动，假设地球为一半径为 Ｒ 的球体，此时物体与地球间的万有引力提供向心力，有GMm v 2方法四 类比汽车过凸形桥，在最高点需要限制速度． 如果把地球看成一个巨大的拱形桥，桥面半径即为地球半径Ｒ． 在最高点当重力完全提供向心力时，物体恰好即将与地球v 2r2= m r ，脱离，又不会落回地面，有 m g = m Ｒ，解得 v = 槡g Ｒ ≈ 7． 9 得v = GM， 由于绕地球表面飞行， r ≈ Ｒ， GMk m / s ． 而在其环绕过程中的每个瞬间，物体都处于拱形桥的最高点．方法五 根据开普勒第二定律及人造卫星绕地球旋转 时机械能守恒． 发射卫星时，卫星绕地球旋转的轨道一般为 故第一宇宙速度槡Ｒ ≈ 7． 9 k m / s ．椭圆轨道( 令椭圆半长轴为 a) ，地 方法二近地附近卫星的重力与万有引力相等，故也可认为重力提供匀速圆周运动的向心力，有2 mg = m Ｒ ，球位于其中一个焦点上( 图 2) ． 近地点 A 到地心的距离为 Ｒ，远地点 B 到地心的距离为( 2a － Ｒ) ． 当人GMm得v = 槡g Ｒ ≈ 7． 9 k m / s ．造卫星位于 A 时，势能为 －Ｒ; 方法三 根据牛顿的最初设想，物体抛出后不再落回地面，假设地球为一半径为 Ｒ 的球体如图 1，在距地面高 h 处 ( hＲ) ，以 v 0 平抛一物体，再也不落回地面． 即要求物体运 位于 B 时势能为 － GMm． 由于卫星绕地旋转时，满足机械 能守恒有动轨迹的弯曲程度等于或小于地球表面弯 1 mv 2 + ( － GMm ) = 1 mv 2 + ( － GMm ) ( 2)2 A Ｒ 2 B 2a － Ｒ曲程度． 取一非常短时间 Δt ，Δt 内可认为物体的万有引力( 与重力近似相等) 大小方向均不变，物体做平抛运动由A 运动到B ，恰好 根据开普勒第二定律，取一段非常小的时间 Δt ，在 A 、B 两个位置的速度有如下关系:v •Ｒ•Δt = v ·( 2a － Ｒ) ·Δt ( 3) 不落回地面，即 B 与 A 到地心的距离相等，A BAC 为Δt 内平抛运动在竖直方向上的分位移根据( 2) 、( 3) 两式解得人造卫星的总机械能为 GMm AC = 1g Δt 2 h Ｒ2B C 为Δt 内平抛运动在水平方向上的分位移: B C = v Δt ．在 A 位置有E = － 1 mv 2+ － 2 2a ， GMm = － Ｒ GMm2a( 4)O 为地心，延长A O 到D ，A 和D 都位于以地心为圆心，( h + Ｒ) 为半径的圆周上． 连接 BD ，△A B C 与 △A DB 相似，有B C 2 = AC •C D( 1)1若使其不再落回地面，所需发射速度最小即为a = Ｒ 时，代入( 4) 式有v = G M≈ 7． 9 k m / s ．其中CD = 2( Ｒ + h) － AC = 2( Ｒ + h) －g Δt 2Ｒ2檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵檵题也是十分方便的． 请看例子:例 4 摆长为 L 的单摆在做小角度的振 速度:v 0 = 0，v t =槡2gL( 1 － cos θ) ， 动，如图 3 所示，摆球质量为 m ，最大偏角为 θ，当摆球从最大偏角位置运动到平衡位置的过程中，合力的冲量为多大?解析 单摆从最大偏角运动到平衡位置的过程中，所受合力是变力，但是，由机械能守恒，我们很容易确定其始、末状态的•86•故由动量定理可得合力的冲量大小为I 合 = mv t = m 槡2gL( 1 － cos θ) ．点评 用动量定理解题应注意的几个问题: ( 1) 注意动量定理的矢量性，选取正方向; ( 2) 选择合适的始末状态，对所选研究对象进行正确的受力分析，注意各力的方向与正方 向的关系; ( 3) 正确列出方程．，A。

动量定理流体问题考点规律分析1．解答质量连续变动问题的基本思路(1)建立“柱体”模型。

对于流体，可沿流速v的方向选取一段柱形流体，设在Δt时间内通过某一横截面积为S的流体长度为Δl，如图所示，若流体的密度为ρ，那么，在这段时间内流过该截面的流体的质量为Δm＝ρSΔl＝ρSvΔt；(2)掌握“微元”方法。

当所取时间Δt足够短时，图中流体柱长度Δl就足够短，质量Δm也很小，这种以一微小段为研究对象的方法就是微元法；(3)运用动量定理，即流体微元所受的合外力的冲量等于微元动量的增量，Δt＝Δp。

即F合2.解答质量连续变动问题的具体步骤应用动量定理分析连续体相互作用问题的方法是微元法，具体步骤为：(1)确定一小段时间Δt内的连续体为研究对象；(2)写出Δt内连续体的质量Δm与Δt的关系式；(3)分析连续体的受力情况和动量变化；(4)应用动量定理列式、求解。

典型例题1.飞船在飞行过程中有很多技术问题需要解决，其中之一就是当飞船进入宇宙微粒尘区时如何保持飞船速度不变的问题。

我国科学家已将这一问题解决，才使得“神舟五号”载人飞船得以飞行成功。

假如有一宇宙飞船，它的正面面积为S＝0.98 m2，以v＝2×103 m/s的速度进入宇宙微粒尘区，尘区每1 m3空间有一微粒，每一微粒平均质量m＝2×10－4g，若要使飞船速度保持不变，飞船的牵引力应增加多少？(设微粒与飞船相碰后附着到飞船上)[规范解答]由于飞船速度保持不变，因此增加的牵引力应与微粒对飞船的作用力相等，据牛顿第三定律知，此力也与飞船对微粒的作用力相等。

只要求出时间t内微粒的质量，再由动量定理求出飞船对微粒的作用力，即可得到飞船增加的牵引力。

时间t内附着到飞船上的微粒质量为M＝m·S·vt，设飞船对微粒的作用力为F，由动量定理得Ft＝Mv＝mSvt·v，即F＝mSv2，代入数据解得F＝0.784 N，由牛顿第三定律得，微粒对飞船的作用力为0.784 N，故飞船的牵引力应增加0.784 N。

1．最近，我国为“长征九号”研制的大推力新型火箭发动机联试成功，这标志着我国重型运载火箭的研发取得突破性进展．若某次实验中该发动机向后喷射的气体速度约为3 km/s ，产生的推力约为4.8×106 N ，则它在1 s 时间内喷射的气体质量约为A ．1.6×102 kgB ．1.6×103 kgC ．1.6×105 kgD ．1.6×106 kg2．雨打芭蕉是中国古代文学中常见的抒情意象，为估算雨滴撞击芭蕉叶产生的平均压强p ，小明将一圆柱形量筒置于雨中，测得时间t 内筒中水面上升的高度为h ，设雨滴下落的速度为0v ，雨滴竖直下落到水平芭蕉叶上后以速率v 竖直反弹，雨水的密度为ρ，不计雨滴重力。

压强p 为（ ）A ．0()v thv ρ- B ．0()v thv ρ+C ．220()v v ρ- D ．220()v v ρ+3．在某次火箭垂直回收飞行实验时，质量为M 的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，火箭所在处的重力加速度为g 。

已知气体的喷出速度为v ，则火箭发动机对气体做功的功率为（ ）A ．MgvB ．12MgvC ．2MgvD ．212Mgv4．由高压水枪竖直向上喷出的水柱，将一个质量为16kg 的小铁盒开口向下倒顶在空中，铁盒悬停在距离水枪口的距离为1.8m 。

已知水以恒定速率从横截面积为3210m S -=的水枪中持续喷出，向上运动并冲击铁盒后，水流以不变的速率竖直返回；忽略水在与盒作用时水的重力的影响，水的密度为3310kg /m ，210m /s g =，则下列说法正确的是（ ）A．水冲击铁盒后以5m/s的速度返回B．水枪的输出功率为4kWC．水从水枪口喷出的速度为10m/s D．以上结果均不对5．在一个小池塘中有一个竖直向上的喷口，在水泵的工作下连续不断的竖直向上喷水，喷出的水又都会落回池塘。

已知喷口面积为S，水喷出后相对喷口能达到的最大高度为H，水的密度为ρ，重力加速度为g。

动量定理解决的流体类问题庆威邀请你一起研究物理，探索坚持的力量。

本文将介绍动量定理在流体类问题中的应用，以及一些有趣的物理实验。

1.XXX号的光帆利用太阳光的光压修正轨道，节约了燃料。

假设光帆为一个边长为a的正方形聚酰亚胺薄膜，已知太阳发光的总功率为P，伊卡洛斯号到太阳的距离为r，光速为c。

如果伊卡洛斯号正对太阳，并且80%反射太阳光，那么伊卡洛斯号受到的太阳光推力大小为多少？解析：在时间Δt内，照射到光帆上的光子总能量为ΔE=PΔt。

由于光子的能量为hν，动量表达式为p=h/λ，因此这些光的总动量为P/c。

80%反射太阳光造成的动量变化为ΔP=PΔt，根据动量定理有：FΔt=ΔP，解得：F=9Pa^2/(220πrc)。

2.我国研制的大推力新型火箭发动机联试成功，喷射出的气体速度约为3 km/s，产生的推力约为4.8×10^6 N。

如果在1s时间内喷射的气体质量为多少？解析：设该发动机在ts时间内，喷射出的气体质量为m，根据动量定理，Ft=mv，可知，在1 s内喷射出的气体质量m=4.8×10^6 N/3000 m/s=1.6×10^3 kg。

3.一座平顶房屋，顶的面积为S=40 m^2.第一次连续下了t=24小时的雨，雨滴沿竖直方向以v=5.0 m/s的速度落到屋顶，假定雨滴撞击屋顶的时间极短且不反弹，并立即流走。

第二次气温在摄氏零下若干度，而且是下冻雨，也下了24小时，全部冻雨落到屋顶便都结成冰并留在屋顶上，测得冰层的厚度d=25 mm。

已知两次下雨的雨量相等，水的密度为1.0×10^3kg/m^3，冰的密度为9×10^2 kg/m^3.根据以上数据估算，第一次下雨过程中，雨对屋顶的撞击使整个屋顶受到的压力为多少？解析：第一次下雨的雨量与第二次下雨的雨量相等，因此第一次下雨的总质量为m=ρSVt=1.0×10^3 kg/m^3×40 m^2×24h×3600 s/h=3.46×10^9 kg。

高中物理动量定理的五种应用及例题详解动量定理是力对时间的积累效应，使物体的动量发生改变，适用的范围很广，它的研究对象可以是单个物体，也可以是物体系；它不仅适用于恒力情形，而且也适用于变力情形，尤其在解决作用时间短、作用力大小随时间变化的打击、碰撞等问题时，动量定理要比牛顿定律方便得多。

一、用动量定理解释生活中的现象【例1】竖立放置的粉笔压在纸条的一端.要想把纸条从粉笔下抽出，又要保证粉笔不倒，应该缓缓、小心地将纸条抽出，还是快速将纸条抽出？说明理由。

【解析】纸条从粉笔下抽出，粉笔受到纸条对它的滑动摩擦力μmg作用，方向沿着纸条抽出的方向。

不论纸条是快速抽出，还是缓缓抽出，粉笔在水平方向受到的摩擦力的大小不变。

在纸条抽出过程中，粉笔受到摩擦力的作用时间用t表示，粉笔受到摩擦力的冲量为μmgt，粉笔原来静止，初动量为零，粉笔的末动量用mv表示.根据动量定理有：μmgt=mv。

如果缓慢抽出纸条，纸条对粉笔的作用时间比较长，粉笔受到纸条对它摩擦力的冲量就比较大，粉笔动量的改变也比较大，粉笔的底端就获得了一定的速度.由于惯性，粉笔上端还没有来得及运动，粉笔就倒了。

如果在极短的时间内把纸条抽出，纸条对粉笔的摩擦力冲量极小，粉笔的动量几乎不变.粉笔的动量改变得极小，粉笔几乎不动，粉笔也不会倒下。

二、用动量定理解曲线运动问题【例2】以速度v0水平抛出一个质量为1kg的物体，若在抛出后5s未落地且未与其它物体相碰，求它在5s内的动量的变化.(g=10m/s2)。

【解析】此题若求出末动量，再求它与初动量的矢量差，则极为繁琐.由于平抛出去的物体只受重力且为恒力，故所求动量的变化等于重力的冲量.则Δp=Ft=mgt=1×10×5=50 kg·m/s。

注：①运用Δp=mv-mv0求Δp时，初、末速度必须在同一直线上，若不在同一直线，需考虑运用矢量法则或动量定理Δp=Ft求解Δp.②用I=F·t求冲量，F必须是恒力，若F是变力，需用动量定理I=Δp求解I。

2019届人教版用动量定理解决连续流体的作用问题单元测试1．如图所示，自动称米机已在许多大粮店广泛使用．买者认为：因为米流落到容器中时对容器有向下的冲力而不划算；卖者则认为：当预定米的质量达到要求时，自动装置即刻切断米流，此刻有一些米仍在空中，这些米是多给买者的，因而双方争执起来．下列说法正确的是()A．买者说的对B．卖者说的对C．公平交易D．具有随机性，无法判断【答案】C.【解析】设米流的流量为d，它是恒定的，米流在出口处速度很小可视为零，若切断米流后，设盛米的容器中静止的那部分米的质量为m1，空中还在下落的米的质量为m2，落到已静止的米堆上的一小部分米的质量为Δm.在极短时间Δt内，取Δm为研究对象，这部分米很少，Δm＝d·Δt，设其落到米堆上之前的速度为v，经Δt时间静止，如图所示，即自动称米机是准确的，不存在哪方划算不划算的问题，选项C正确．2．国产水刀——超高压数控万能水切割机以其神奇的切割性能在北京国际展览中心举行的第五届国际机床展览会上引起轰动，它能切割40 mm厚的钢板，50 mm厚的大理石等其他材料。

水刀就是将普通的水加压，使其从口径为0.2 mm的喷嘴中以800 1000 m/s速度射击出水射流。

我们知道，任何材料，承受的压强都有一定限度，下表列出了一些材料所能承受的压强限度。

A橡胶5×107 PaB花岗石 1.2×108 2.6×108 PaC铸铁8.8×108 PaD工具钢 6.7×108 Pa设想有一水刀的水射流横截面积为S，垂直入射的速度v＝800 m/s，水射流与材料接触后速度为零，且不附着在材料上，水的密度ρ＝1×103 kg/m3，则此水刀不能切割上述材料中的。

【答案】CD【解析】以射到材料上的水量Δm为研究对象，以其运动方向为正方向，由动量定理得pSΔt＝－ρSvΔt·v，p＝－ρv2＝－6.4×108 Pa，由表中数据可知，不能切割CD。