导数的第一次系统辅导教案
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导 数
一、知识架构
二、原理探索
1.导数概念及其意义
（1）了解导数概念的实际背景
（2）理解导数的几何意义．
（3）理解导数的物理意义。
2、导数的运算
3、导数的相关应用
三、练习巩固
专题一、基本运算
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专题二、利用导数研究曲线的切线
例1．若曲线331x y =上一点⎪⎭
⎫ ⎝⎛38,2P ,求： （1）点P 处的切线方程；
（2）过点P 的切线方程。
例2．已知函数
()x x x f -=3. （1）求曲线()x f y =在点()()t f t M ,处的切线方程；
（2）设0>a ,如果过点()b a ,可作曲线()x f y =的三条切线,证明：()a f b a <<-.
例3. 已知函数
32()f x x ax bx c =-+++在(),0-∞上是减函数，在()0,1上是增函数，函数()f x 在R 上有三个零点．
（Ⅰ）求b 的值；
（Ⅱ）若1是其中一个零点，求
()2f 的取值范围； （Ⅲ）若
21,()()3ln a g x f x x x '==++，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线()y g x =相切？请说明理由．
例题4设函数
()(),23,2223+-=+++=x x x g a bx ax x x f 其中a R x ,∈、b 为常数,已知曲线=y ()x f 与()x g y =在点()0,2处有相同的切线l . （1）求a 、b 的值,并写出切线l 的方程；
（2）若方程()()mx x g x f =+有三个互不相同的实根0、1x 、2x ,其中21x x <,且对任意的[]()()()1,,21-<+∈x m x g x f x x x 恒成立,求实数m 的取值范围.
例题5 已知函数
ax x x f +=2)(，()ln g x x =，)()()(x g x f x +=ϕ． （Ⅰ）若)(x ϕ在1x =处取得极小值，求)(x ϕ的极大值；
（Ⅱ）若1=a ，是否存在与曲线()y f x =和()y g x =都相切的直线？若存在，判断有几条，并加以证明；若不存在，说明理由．
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专题三、利用导数研究函数的单调性
例1．已知函数()ln(1)(1),f x x x a x =+-+ 其中a 为常数.
（1）若函数()f x 在[1,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围；
（2）求
()()1ax g x f x x '=-+的单调区间.
例2. 已知函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+
≥．
(Ⅰ)当2k =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
(Ⅱ)求()f x 的单调区间．
例3. 已知函数3211()(0)32f x x ax x b a =+++≥，()f x '为函数()f x 的导函数．
（Ⅰ）设函数()f x 的图象与x 轴交点为A ，曲线()y f x =在A 点处的切线方程是33y x =-，求,a b 的值；
（Ⅱ）若函数
()'()ax g x e f x -=⋅，求函数()g x 的单调区间．
例4. 已知0≥a ，函数x e ax x x f )2()(2-=。
（1）当x 为何值时，)(x f 取得最小值？证明你的结论；
（2）设)(x f 在[]1,1-上是单调函数，求a 的取值范围.
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例5.已知函数32()(1)(2)f x x a x a a x b =+--++（,a b R ∈）．若函数()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a
的取值范围．
例6、已知函数f(x)=log 3(x+8-a/x)在[1，正无穷]上单调递增，求a
专题四、利用导数研究函数的极值与最值
例1．设函数()ln ln(2)(0).f x x x ax a =+-+>
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若()f x 在(0,1]上的最大值为12
，求a 的值.
例2．已知函数
2()ln 1x f x a x x a a =+->， （Ⅰ）求证函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；
（Ⅱ）对
12,[1,1]x x ∀∈-，12()()1f x f x e -≤-恒成立，求a 的取值范围．
专题五、利用导数研究函数的图象
例14．已知函数2()ln 20)f x a x a x =+-> (.
（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线与直线2y x =+垂直，求函数()y f x =的单调区间；
（Ⅱ）若对于(0,)x ∀∈+∞都有()2(1)f x a >-成立，试求a 的取值范围；
（Ⅲ）记()()()g x f x x b b =+-∈R .当1a =时，函数()g x 在区间
1[, ]e e -上有两个零点，求实数b 的取值范围.
专题六、利用导数求参数的取值范围
例1. 设函数323()(1)1,32a f x x x a x =-+++其中a 为实数，不等式
2()1f x x x a '>--+对任意(0,)a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围．
例2．已知函数
()x f x e ex -=+. （Ⅰ）求函数f (x)的单调区间；
（Ⅱ）若对所有0≤x 都有
1)(+≥ax x f ，求a 的取值范围.
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例18. 已知函数()2472x f x x -=-，[]01x ∈，
（Ⅰ）求()f x 的单调区间和值域；
（Ⅱ）设1a ≥，函数()[]323201g x x a x a x =--∈，，，若对于任意[]101x ∈，，总存在[]001x ∈，，使得()()
01g x f x =成立，求a 的取值范围
专题七、利用导数证明不等式
例1已知0a >，函数
2()ln ,0.f x x ax x =->（()f x 的图像连续不断） （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当
18a =
时，证明：存在0(2,)x ∈+∞，使03()()2f x f =； （Ⅲ）若存在均属于区间[]1,3的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明
ln 3ln 2ln 253a -≤≤．
例2设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1(),()()().f x g x f x f x x ''==+
（Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论()g x 与1()
g x 的大小关系；。
