《一元二次方程》章末总结

章末复习 (二 )一元二次方程基础题知识点 1一元二次方程的观点及解1．以下方程是一元二次方程的是()A ． x2＋ 2x－ y＝3B.3－12＝2 x x3C． (3x 2－ 1)2－ 3＝ 0D. 5x2－8＝ 32．方程x2－4x－7＝0必有一个解知足()A ．－ 1＜ x＜ 0B．－ 2＜ x＜－ 1C． 0＜x＜ 3D． 3＜x＜ 43．依据下表得悉，方程x2＋ 2x－10＝ 0 的一个近似解为x≈________． (结果精准到 0.1) x－ 4.1－ 4.2－ 4.3－ 4.4－ 4.5－ 4.6 y＝x2－ 1.39－ 0.76－ 0.110.56 1.25 1.96＋2x －104.已知x＝－1是对于x的方程－2x2－ax＋a2＝0的一个根，求 a 的值．知识点 2解一元二次方程5．用配方法解方程x2＋ 10x ＋ 9＝0，配方后可得 ()A． (x＋ 5)2＝ 16B． (x＋ 5)2＝ 1C． (x＋ 10)2＝ 91D ． (x＋ 10)2＝1096．方程(x－5)(x＋2)＝1的解为()A ． 5B．－ 2C．5 和－ 2D．以上结论都不对7．用适合的方法解以下一元二次方程：(1)x 2－ 10x＋ 25＝ 7；(2)x 2－ 5x＋ 2＝ 0；(3)(x ＋ 2)(x － 1)＝ 2－ 2x；(4)(2x ＋ 3)2＝ x2－ 6x＋ 9.知识点 3一元二次方程的根的鉴别式及根与系数的关系8．(滨州中考)一元二次方程4x2＋ 1＝ 4x 的根的状况是()A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根9．(荆门中考)已知对于x 的一元二次方程x2＋ (m＋ 3)x＋ m＋ 1＝ 0 的两个实数根为x1， x2，若 x21＋ x22＝ 4，则 m 的值为 ________．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x － 2 019＝ 0 的两根，求 (m＋ 1)(n＋ 1)的值．知识点 4一元二次方程的应用11．要用一条长24 cm 的铁丝围成一个斜边长是10 cm 的直角三角形，则两直角边的长分别为 ()A ． 4 cm， 8 cmB ． 6 cm， 8 cmC． 4 cm， 10 cm D ． 7 cm， 7 cm12．为了美化环境，某市加大对绿化的投资，2013 年用于绿化的投资是20 万元， 2015 年用于绿化的投资是25 万元，求这两年绿化投资的均匀增加率，设这两年绿化投资的均匀增加率为 x，依据题意所列的方程为________________ ．13．在一幅长8 分米，宽 6 分米的矩形景色画(如图 1)的周围镶上宽度同样的金色纸边，制80 平方分米，设金色纸边宽为x 分米，可列成一幅矩形挂图(如图 2) ，使整个挂图的面积是方程为 ____________．14．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场竞赛，应邀请多少支球队参加竞赛？学习以下解答过程，并达成填空．解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打________ 场竞赛，竞赛总场数用代数式表示为________．依据题意，可列出方程________________ ．整理，得 ______________ ．解这个方程，得 ______________．符合实质意义的解为________．答：应邀请 ________支球队参赛．15．如图，小明将一根长为1.4米的竹条截为两段，并相互垂直固定，作为风筝的龙骨，制作成了一个面积为 0.24 米2的风筝，请你计算一下将竹条截成长度分别为多少的两段？中档题16．对于方程(x－1)(x－2)＝x－2，下边给出的说法不正确的选项是()A ．与方程x2＋ 4＝4x 的解同样B ．两边都除以x－ 2，得 x－ 1＝ 1，能够解得x＝ 2C．方程有两个相等的实数根D ．移项、分解因式，得(x－ 2)2＝0，能够解得x1＝ x2＝ 217．用一条长为60 cm的绳索围成一个面积为 a cm2的长方形， a 的值不行能为 ()A ．240B．225C．60D．3018．假如对于x的方程x2－ax＋a2－3＝0起码有一个正根，则实数 a 的取值范围是 () A ．－ 2＜ a＜ 2 B. 3＜ a≤2C．－ 3＜a≤ 2 D ．－ 3≤ a≤ 219．当m＝________时，对于x的方程(m－2)xm2－2＋2x－1＝0是一元二次方程．20．(台州中考)对于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0 时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③不论m 取何值，方程都有一个负数解，此中正确的选项是________(填序号 ) ．21．用适合的方法解以下一元二次方程：(1)3x 2－ 6x＋ 2＝ 0；(2)x 2－ 2(x＋4) ＝0；(3)x 2－ 1＝4(x ＋ 1)．22．定义：假如两个一元二次方程有且只有一个同样的实数根，我们称这两个方程为“友善方程”．假如对于 x 的一元二次方程 x2－ 4x ＋5m＝ mx ＋ 5 与 x2＋ 2x＋m－1＝ 0 互为“友善方程”，求 m 的值．23．某商场一种商品的进价为每件30 元，售价为每件40 元．每日能够销售48 件，为赶快减少库存，商场决定降价促销．(1) 若该商品连续两次下调同样的百分率后售价降至每件32.4 元，求两次降落的百分率；(2) 经检查，若该商品每降价0.5 元，每日可多销售 4 件，那么每日要想获取512 元的收益，每件应降价多少元？24．(梅州中考)已知对于x 的方程 x2＋2x ＋ a－ 2＝ 0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，务实数a 的取值范围；(2) 若该方程的一个根为1，求 a 的值及该方程的另一根．25．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1 cm/s 的速度向 B 点挪动，点 Q 从 B 点出发，以 2 cm/s 的速度向 C 点挪动．假如P、 Q 两点同时出发，经过几秒后△PBQ 的面积等于 4 cm2?综合题26．实验与操作：小明是一位着手能力很强的同学，他用橡皮泥做成一个棱长为 4 cm 的正方体．(1)如图 1 所示，在顶面中心地点处从上到下打一个边长为 1 cm 的正方形孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 ________cm2；(2)假如在第 (1) 题打孔后，再在正面中心地点(如图 2 所示 )以前到后打一个边长为 1 cm 的正方形通孔，那么打孔后的橡皮泥块的表面积为________cm2；(3)假如把 (1)、 (2) 中的边长为 1 cm 的通孔均改为边长为 a cm(a ≠ 1)的通孔，可否使橡皮泥块的表面积为 118 cm2？假如能，求出 a，假如不可以，请说明原因．参照答案基础题1． D 2.B 3.－ 4.34.把 x ＝－ 1 代入－ 2x 2－ ax ＋ a 2＝ 0，得－ 2×(－ 1)2－ (－ 1)a ＋ a 2＝ 0，整理，得 a 2＋a － 2＝ 0.解得 a 1＝－ 2， a 2＝1.∴ a 的值为－ 2 或 1.5.A6.D7.(1)(x － 5)2＝ 7，x － 5＝ ± 7，∴ x 1＝ 5＋7，x 2 ＝5－ 7.(2)a ＝ 1， b ＝－ 5， c ＝ 2，∵ ＝ 25－8＝ 17＞ 0， ∴ x ＝5± 175＋ 175－ 17.2 .∴ x 1＝， x 2 ＝22(3)(x ＋ 2)(x － 1)＋ 2(x － 1) ＝0， (x － 1)(x ＋ 4)＝ 0， ∴ x － 1＝ 0 或 x ＋ 4＝0.∴ x 1＝ 1， x 2＝－ 4.(4) ∵ (2x ＋3)2 ＝(x －3)2，∴ 2x ＋ 3＝x － 3 或 2x ＋ 3＝ 3－x.解得 x 1＝－ 6， x 2＝ 0. 8.C9.－ 1 或－ 310.依据题意得 m ＋ n ＝2， mn ＝－ 2 019，原式＝ mn ＋ m ＋ n ＋ 1＝－ 2 019＋2＋ 1＝－ 2 016.2＝ 25 13.(2x ＋ 6)(2x ＋ 8)＝ 80 14.(x － 1)1 1 x(x － 1)＝ 28 1 x 211.B 12.20(1＋ x)x(x － 1)222－ 1x ＝ 28 x 1＝ 8， x 2＝－ 7 x ＝ 8 82115.设将竹条截成长度分别为x 米和 (1.4－x)米的两段， 依据题意得 2x(1.4 － x)＝ 0.24，解得 x 1 ＝ 0.6， x 2＝ 0.8.当 x 1＝ 0.6 时， 1－ x ＝ 0.8；当 x 2＝ 0.8 时， 1－ x ＝ 0.6.答：将竹条截成长度分别为0.6 米和 0.8 米的两段．中档题16． B 17.A18.C19.－ 220.①③21. (1) ∵b 2－ 4ac ＝ (－ 6)2－ 4×3×2＝ 12，∴ x ＝ 6±12.∴ x 1＝3＋ 3， x 2＝3－ 3.2×333(2)x 2－ 2x － 8＝ 0， x 2－ 2x ＝ 8， x 2－2x ＋ 1＝ 9，∴ (x － 1)2＝ 9.∴ x － 1＝ ±3.∴ x 1＝－ 2， x 2＝ 4.(3) 移项，得 (x ＋ 1)(x － 1)－4(x ＋1) ＝0.分解因式，得 (x ＋ 1)(x － 1－4) ＝0.∴ x ＋1＝ 0 或 x － 1－ 4＝ 0.∴ x 1＝－ 1，x 2＝5. 22. x 2－ 4x ＋ 5m ＝mx ＋ 5，整理，得 x 2－ (4＋ m)x ＋ 5(m － 1)＝ 0.分解因式，得 (x － 5)[x － (m － 1)]＝ 0.解得 x 1 ＝5， x 2＝ m － 1.当 x ＝ 5 时， 25＋ 5 2＋m －1＝ 0，解得 m ＝－ 24－ 5 2.∴ m － 1＝－ 25－ 5 2，此时方程 x 2＋ 2x ＋ m － 1＝ 0 为 x 2＋ 2x － 25－ 5 2＝ 0.解得 x 1＝ 5，x 2 ＝－ 5－ 2.∵－ 5－ 2≠－ 25－ 5 2，∴ m ＝－ 24－ 5 2切合题意．当 x＝ m－ 1 时， (m－ 1)2＋ 2(m－ 1)＋ m－ 1＝0，解得 m＝ 1 或 m＝－ 2.当 m＝ 1 时， m－ 1＝ 0，此时方程 x2＋ 2x＋ m－ 1＝ 0 为 x2＋2x＝ 0.解得 x1＝－ 2，x2＝0.∵－ 2≠ 5，∴ m＝ 1切合题意．当 m＝－2时， m－1＝－2－ 1，此时方程 x2＋ 2x ＋ m － 1＝ 0 为 x2＋ 2x －2－ 1＝ 0.解得 x1＝ 1， x2＝ 2－ 1.∵ 1≠5，∴ m＝－2切合题意．因此m 的值为－ 24－ 5 2或 1 或－ 2.23.(1)设每次降价的百分率为x，由题意，得40×(1－ x)2＝ 32.4.解得 x1＝ 10%，x2＝ 190%( 不切合题意，舍去 )．答：该商品连续两次下调同样的百分率后售价降至每件32.4 元，两次下降的百分率为 10%.y(2) 设每件商品应降价y 元，由题意，得 (40－ 30－ y)(0.5× 4＋ 48)＝ 512.解得 y1＝ y2＝ 2.答：每日要想获取 512 元的收益，每件应降价 2 元．24.(1) ∵b2－ 4ac＝ 22－ 4×1×(a－ 2)＝ 12－ 4a＞ 0，解得 a＜ 3.∴ a 的取值范围是a＜ 3.(2) 设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得：1＋x1＝－ 2，1· x1＝ a－ 2.a＝－ 1，解得则 a 的值是－ 1，该方程的另一根为－ 3.x1＝－ 3.25.过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°.1 QB.1∵∠ ABC ＝ 30°，∴ QE＝∴ S△PQB＝ PB ·QE.22设经过 t 秒后△ PBQ 的面积等于 4 cm2，则 PB＝6－ t， QB＝ 2t， QE＝ t.依据题意，得1(6－ t) t·＝ 4，即 t2－ 6t＋ 8＝ 0.解得 t1＝ 2， t2＝ 4.当 t＝ 4时， 2t＝8， 8＞ 7，不2合题意，舍去，因此t＝2.答：经过 2 秒后△ PBQ 的面积等于 4 cm2 .综合题26．(1)110(2)118(3) 能使橡皮泥块的表面积为118 cm2，原因：∵ S1＝ 96－ 2a2＋ 4a×4，S2＝ S1－ 4a2＋ 4×4a－ 4a2，∴ 96－ 2a2＋ 16a－ 8a2＋ 16a＝ 118.解得 a1＝11，a2＝ 1.∵ a≠1，11＜ 4，55∴当边长改为112 5 cm 时，表面积为118 cm .。

一元二次方程归纳总结1、一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

2、一元二次方程的解法（1）直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)xa a =≥解为：x = ②2()(0)x a b b +=≥解为：x a += ③2()(0)ax b c c +=≥解为：ax b += ④22()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为：()ax b cx d +=±+（2）因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法（3）公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：1,22b x a-=② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③ 当240bac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根。

注意：虽然所有的一元二次都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用。

备注：公式法解方程的步骤：①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)ax bx c a ++=≠，并确定出a 、b 、c②求出24bac ∆=-，并判断方程解的情况。

③代公式：1,2x =3、一元二次方程的根与系数的关系法1：一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠的两个根为：1222b b x x a a-+-==所以：12bx x a+=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+----⋅=⋅===定理：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ，那么：1212,b cx x x x a a+=-=法2：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么2120()()0ax bx c a x x x x ++=⇔--= 两边同时除于a ，展开后可得：2212120()0b c x x x x x x x x a a++=⇔-++= 12b x x a ⇒+=-；12cx x a •=法3：如果一元二次方程20 (0)axbx c a ++=≠定的两个根为12,x x ；那么21122200ax bx c ax bx c ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩①-②得：12bx x a+=-（余下略） 常用变形：222121212()2x x x x x x +=+-，12121211x x x x x x ++=，22121212()()4x x x x x x -=+-，12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，22111212121222212()4x x x x x x x x x x x x x x ++-+==等 练习：【练习1】若12,x x 是方程2220070xx +-=的两个根，试求下列各式的值：(1)2212x x +；(2)1211x x +；(3)12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．【练习2】已知关于x 的方程221(1)104xk x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．【练习3】已知12,x x 是一元二次方程24410kxkx k -++=的两个实数根．(1) 是否存在实数k ，使12123(2)(2)2x x x x --=-成立？若存在，求出k 的值；若不存在， 请您说明理由．(2) 求使12212x x x x +-的值为整数的实数k 的整数值． 4、应用题（1）平均增长率的问题：(1)n a x b += 其中：a 为基数，x 为增长率，n 表示连续增长的次数，①②b 表示增长后的数量。

一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式:a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、c ；其中 a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法:一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式:当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.ac x x ab x x )2(a2ac4bbx )1(212122,1，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式acx x a bx x 2121，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数ab = 0且Δ≥0 b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数a c =1且Δ≥0 a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根a c = 0且a b ≠0 c = 0且b ≠0；（4）有两个零根a c = 0且a b = 0c = 0且b=0；（5）至少有一个零根a c =0 c=0；（6）两根异号a c ＜0 a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值a c ＜0且a b ＞0a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值a c ＜0且a b ＜0a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根a c ＞0，ab ＞0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根ac ＞0，ab ＜0且Δ≥0 a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0.6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜ 0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x1)(x-x2) 或 ax 2+bx+c=a2ac4bb xa2ac4bb xa 22.7．求一元二次方程的公式：x 2-（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0.注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1)第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x1x(x1x2)x1x(x1xx x 4)x x ()x x (x x 2)x x (xx )1(2121221221212122122121222222212212212122122214x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或；.0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1Acos Asin ,90BAB sin x ,A sin x )4(2122212221注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。

一元二次方程知识点总结定义：两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.基本解法①直接开平方法:对于形如的方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解。

②配方法：(1)现将已知方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程无实根．③公式法:(1)把一元二次方程化为一般式。

(2)确定a,b,c的值。

(3)代入中计算其值，判断方程是否有实数根。

(4)若代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

【小试牛刀】方程ax2+bx+c=0的根为④因式分解法·因式分解法解一元二次方程的依据:如果两个因式的积等于0，那么这两个因式至少有一个0，即:若ab=0，则a=0或b=0。

·步骤：(1)将方程化为一元二次方程的一般形式。

(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积，右边等于0。

(3)令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程。

(4)解出这两个一元一次方程的解，即可得到原方程的两个根。

根的判别情况判别式：b2-4ac的值x1、x2的关系根的具体值一元二次方程两根与系数的关系：。

第二十一章小结与复习一、内容和内容解析1.内容对本章内容进行梳理总结,建立知识体系，综合应用本章知识解决问题.2.内容解析在学习全章有关知识的基础上，分两课时对本章内容进行梳理总结，建立知识体系，并综合应用本章知识解决问题。

第一课时着重对本章内容进行梳理总结，建立知识体系；第二课时综合应用本章知识解决问题。

本节课设计的是第一节内容.从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。

选择适当的方法将“二次”降为“一次”是本章学习的另一条主线。

一元二次方程是本套初中数学教科书所学习的最后一种方程，对本章学习的小结也有对方程的学习进行总结的作用。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：从两条主线上对本章内容进行梳理总结，建立知识体系.二、目标和目标解析1.目标（1）掌握一元二次方程的解法，体会一般到特殊的思想方法。

提高数学的应用意识，培养以一元二次方程为模型解决实际问题的能力。

（2）复习本章的重点内容，整理本章知识，形成有关方程的知识体系，体会化归思想。

2.目标解析达成目标（1）的标志是：明确一元二次方程的降次思想，能根据一元二次方程的特点选择恰当方法解方程。

能说出方程化归过程中各步骤的依据。

能够在具体的问题情境中建立一元二次方程数学模型，运用一元二次方程解决问题。

达成目标（2）的标志是：知道方程的主要学习内容是方程的概念、解法和应用，形成有关方程的知识体系。

以一元二次方程为重点，回顾比较前面已经学习过的其他整式方程、分式方程的解题思想和化归过程，进一步体会解方程的过程是将高次化低次、分式化整式、多元化归为一元，最终使方程变形为x=a的形式，这是解方程的基本指导思想。

结合具体问题，能够通过列方程将实际问题转化为数学问题，通过解方程得到数学问题的解，通过检验得到实际问题的解，从而加深对本章知识结构图的理解。

三、教学问题诊断分析学生在本章之前学习过一元一次方程、二元一次方程组和可化为一元一次方程的分式方程，解一元二次方程提出了新的解题思想——降次。

初中数学⼀元⼆次⽅程知识点总结（含⽅法技巧归纳，易错辨析）
考情分析⾼频考点考查频率所占分值
1.元⼆次⽅程的概念★7～12分
2.⼀元⼆次⽅程的解法★★★
3.⼀元⼆次⽅程根的判别式★★
4.⼀元⼆次⽅程根与系数的关系★
5.利⽤⼀元⼆次⽅程解决实际问题★★★
1⼀元⼆次⽅程的定义及⼀般形式
定义：等号两边都是整式，只含有⼀个未知数(⼀元)，并且未知数的最⾼次数是2(⼆次)的⽅程，
叫作⼀元⼆次⽅程.
点拨
对定义的理解抓住三个条件：“⼀元”“⼆次”“整式⽅程”,缺⼀不可，同时强调⼆次项的系数不为0.
⽤公式法解⼀元⼆次⽅程的记忆⼝诀
要⽤公式解⽅程，⾸先化成⼀般式.
调整系数随其后，使其成为最简⽐.
确定参数
，计算⽅程判别式.
判别式值与零⽐，有⽆实根便得知.
若有实根套公式，若⽆实根要告之.
3因式分解法
通过因式分解，使⼀元⼆次⽅程化为两个⼀次式的乘积等于0的形式，再使这两个⼀次式分别等
于0,从⽽实现降次，这种解⼀元⼆次⽅程的⽅法叫作因式分懈法.
因式分解法体现了将⼀元⼆次⽅程“降次”转化为⼀元⼀次⽅程来解的思想，运⽤这种⽅法的步
骤：
（1）将所有项移到⽅程的左边，将⽅程的右边化为0；
（2）将⽅程左边分解为两个⼀次因式的乘积；
（3）令每个因式分别等于零，得到两个⼀元⼀次⽅程；
（4）解这两个⼀元⼀次⽅程，他们的解就是原⽅程的解.。

2 1 章一元二次方程知识点一、一元二次方程1、一元二次方程概念：等号两边是整式，含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程。

注意：（1）一元二次方程必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2 ；（4）二次项系数不能等于02、一元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0（a 0），它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次三项式，等式右边是零，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

注意：（1）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前—面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如ax2 bx c 0不一定是一元二次方程，当且仅当a 0时是一元二次方程。

二、一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当x 2时，2 2X 3x 2 0所以X 2是x 3x 2 0方程的解。

一兀二次方程的解也叫一元二次方程的根。

一元二次方程有两个根（相等或不等）三、一元二次方程的解法1、直接开平方法：直接开平方法理论依据：平方根的定义。

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。

根据平方根的定义可知，x a是b的平方根，当b 0时，x a . b，x a . b，当b<0时，方程没有实数根。

三种类型：（1）x2a a 0的解是x a ；（2）x m 2n n 0 的解是x 、n m ；22、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式 a 2 2ab b 2 (a b)2，把公式中的a 看 做未知数x ，并用x 代替，则有x 2 2bx b 2 (x b)2。

(一) 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤： (1) 把一元二次方程化成一般形式(2) 在方程的左边加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数； (3) 把原方程变为x m 2 n 的形式。

第2章一元二次函数、方程和不等式章末重难点归纳总结考点一 基本不等式常见考法【例1-1】（2022·浙江·温州中学）若正数,a b 满足a b ab +=，则2+a b 的最小值为（ ） A ．6 B ．42C ．322+D ．222+【答案】C【解析】因为正数,a b 满足a b ab +=，所以111a b+=，所以112(2)a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭23a b b a =++232322a bb a ≥+⋅+ 当且仅当2a b b a =，即2221,a b +==C【例1-2】（2022·湖北十堰·高一期末）若0a >，0b >，且3327ab a b =++，则ab 的最小值为（ ） A ．9 B ．16 C ．49 D ．81【答案】D【解析】由题意得332727ab a b ab =++≥，得)()627930ab ab ab ab -=≥9ab ，即81ab ≥，当且仅当9a b ==时，等号成立．故选：D 【例1-3】（2021·四川德阳·高一期末）若关于x 的不等式101x ax ->+的解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则a 的取值范围为（ ）A ．() 1? ∞+，B ．(0，1)C ．()1?∞--， D ．(-1，0)【答案】C【解析】不等式101x ax ->+ 等价于()()110x ax -+>，设()()()11f x x ax =-+ ， 显然a =0不符合题意， 若0a > ，()()111f x x x a a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 是开口向上，零点分别为1和1a - 的抛物线， 对于()0f x > ，解集为1x a <- 或1x > ，不符合题意；若0a < ，则()f x 是开口向下，零点分别为1和1a- 的抛物线，对于()0f x > ，依题意解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11a ∴-< ，即(),1a ∞∈-- ，故选：C.【例1-4】（2021·江苏·高一专题练习） 若两个正实数,x y 满足141x y +=且存在这样的,x y 使不等式234yx m m +<+有解，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,4)- B ．(4,1)-C ．()(),41,-∞-+∞D ．(,3)(0,)∞∞--⋃+【答案】C【解析】正实数x ，y 满足141x y+=，144422244444y y x y x y x x x y y x y x⎛⎫⎛⎫∴+=++=+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当44x yy x =且141x y+=，即2x =，8y =时取等号， 存在x ，y 使不等式234yx m m +<+有解， 243m m ∴<+，解可得1m 或4m <-，即()(),41,m ∈-∞-+∞，故选：C ．【一隅三反】1．（2022·四川德阳）若关于x 的不等式101x ax ->+的解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则a 的取值范围为（ ） A ．() 1? ∞+，B ．(0，1)C ．()1?∞--， D ．(-1，0)【答案】C 【解析】不等式101x ax ->+ 等价于()()110x ax -+>，设()()()11f x x ax =-+ ，显然a =0不符合题意， 若0a > ，()()111f x x x a a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 是开口向上，零点分别为1和1a - 的抛物线， 对于()0f x > ，解集为1x a<- 或1x > ，不符合题意；若0a < ，则()f x 是开口向下，零点分别为1和1a- 的抛物线，对于()0f x > ，依题意解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11a ∴-< ，即(),1a ∞∈-- ，故选：C.2．（2022·天津红桥·）若a ，b 都是正数，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为（ ）A ．4B ．8C ．3D ．42【答案】A【解析】若a ，b 都是正数，且1ab = ∴11888824222222b a a b a b a b a b a b a b a b++++=++=+⋅++++≥， 当且仅当4a b +=时等号成立，故选：A.3．（2022·四川·成都外国语学校高一阶段练习（文））设0a >，0b >，且1a b +=，则4aba b+的最大值为（ ）．A ．110 B ．19C ．227 D ．15【答案】B【解析】∵1a b +=，1414ab a b a b =++，()4141445529a b a ba b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当23a =，13b =时取等号，∵149ab a b ≤+．故选：B ． 4．（2022·全国·专题练习）（1）已知01x <<，则(43)x x -取得最大值时x 的值为________． （2）已知54x <，则1()4245f x x x =-+-的最大值为________． （3）函数22(1)1x y x x +=>-的最小值为________．【答案】（1）23（2） 1 （3） 232 【解析】（1）2113(43)4(43)3(43)3323x x x x x x +-⎡⎤-=⨯-≤⨯=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当343x x =-，即23x =时，取等号．故答案为：23.（2）因为54x <，所以540x ->， 则()()()1114254325431455454f x x x x x x x⎡⎤=-+=--++≤--⨯=⎢⎥---⎣⎦, 当且仅当15454x x-=-，即1x =时，取等号．故1()4245f x x x =-+-的最大值为1. 故答案为：1.（3）2222(21)(22)3(1)2(1)3111x x x x x x y x x x +-++-+-+-+===--- 3122321x x =-++≥-.当且仅当311x x -=-，即31x =时，等号成立. 故答案为：232.5．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知正实数a 、b 满足131a b+=，则()()12a b ++的最小值是___________. 【答案】13230+3013【解析】因为正实数a 、b 满足131a b+=，则03ba b =>-，由0b >可得3b >，所以，()()()()()()32312122222333b b a b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫++=++=++=++ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()()()()33515152223132231313230333b b b b b b b -+=++=-++≥-⋅=+---当且仅当630b +=.因此，()()12a b ++的最小值是13230+故答案为：1330+ 考点二 三个一元二次的关系【例2-1】（2021·安徽省定远中学高一阶段练习）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()2,4-，则不等式20cx bx a -+<的解集是（ ） A ．12xx ⎧<-⎨⎩∣或14x ⎫>⎬⎭ B ．1142xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ C ．14xx ⎧<-⎨⎩∣或12x ⎫>⎬⎭ D ．1124xx ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】B【解析】由题意得24,24,0b ca a a-+=--⨯=<，即2,8b a c a =-=-，所以2820ax ax a -++<即28210x x --<，解得1142x -<<．故选：B【例2-2】（2022·甘肃定西·高一阶段练习）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-【答案】C【解析】不等式()2330x m x m -++<，即()()30x x m --<，当3m >时，不等式解集为()3,m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故67m <≤； 当3m =时，不等式解集为∅，此时不符合题意；当3m <时，不等式解集为(),3m ，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故10m -≤<； 故实数m 的取值范围为[)(]1,06,7-⋃．故选：C【例2-3】（2022·江西宜春）已知:4p m <-，q ：方程240x mx ++=有两个不相等的实数根，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程240x mx ++=有两个不相等的实数根，当且仅当2160m ∆=->，解得4m <-或4m >， 显然，p q ⇒，q p ，所以p 是q 的充分不必要条件.故选：A【一隅三反】1．（2022·江苏·高一）已知关于x 的不等式ax b >的解集是{|2}x x <，则关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是（ ）A ．()()12-∞⋃+∞，， B ．()12， C ．()()21-∞-⋃+∞，， D ．()21-，【答案】D【解析】关于x 的不等式ax b >的解集为{|2}x x <，0a ∴<，20a b -=，()()10ax b x ∴+->可化为()()210a x x +->，21x ∴-<<，∴关于x 的不等式()()10ax b x +->的解集是()21-，．故选：D ．2．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高一期中）（多选）已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,∞∞--⋃+则（ ）A ．0a <B ．不等式0bx c ->的解集为{}|6x x <C ．420a b c ++<D ．不等式20cx bx a -+≥的解集为11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】BC【解析】因为关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为()(),23,,∞∞--⋃+ 所以0a >，2,3-是方程20ax bx c ++=，所以A 错误，2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，则6b a c a =-⎧⎨=-⎩，对于B ，由0bx c ->，得60ax a -+>，因为0a >，所以6x <，所以不等式0bx c ->的解集为{}|6x x <，所以B 正确，对于C ，因为0a >，6b ac a=-⎧⎨=-⎩，所以4242()(6)40a b c a a a a ++=+-+-=-<，所以C 正确，对于D ，不等式20cx bx a -+≥可化为260ax ax a -++≥，因为0a >，所以2610x x --≤，解得1132x -≤≤，所以原不等式的解集为11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以D 错误，故选：BC30（2022广东）在∵A B A ⋃=，∵A B ⋂≠∅，∵B A ⊆R这三个条件中任选一个，补充在下面问题(3)中，若问题中的实数m 存在，求m 的取值范围；若不存在，说明理由．已知一元二次不等式2320ax x -+>的解集为{1A x x =<或}x b >，关于x 的不等式()2ax am b x bm -++<的解集为B (其中m ∈R ). (1)求a ，b 的值； (2)求集合B ；(3)是否存在实数m ，使得_______.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分). 【答案】(1)1、2；(2)当2m <时，(),2B m =；当2m =时，B =∅；当2m >时，()2,B m =； (3)若选∵：2m ≥；若选∵：1m <或2m >；若选∵：12m ≤≤.【解析】(1)由一元二次不等式2320ax x -+>的解集为{1A x x =<或}x b >，得0a >，且方程2320ax x -+=的两根为1、b ，∵0,31,21,a b a b a⎧⎪>⎪⎪=+⎨⎪⎪=⨯⎪⎩ 解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ (2)由(1)可知()20ax am b x bm -++<即为()2220x m x m -++<，即()()20x m x --<．m ＜2时，2m x <<； m ＝2时，不等式无解； m ＞2时，2x m <<．综上，当2m <时，(),2B m =；当2m =时，B =∅；当2m >时，()2,B m =． (3)由(1)知{1A x x =<或}2x >， 若选①：A B A ⋃=，则B A ⊆， 当2m <时，(),2B m =，不满足； 当2m =时，B =∅，满足； 当2m >时，()2,B m =，满足； ∵选①，则实数m 的取值范围是2m ≥； 若选②：A B ⋂≠∅，当2m <时，(),2B m =，则1m <； 当2m =时，B =∅，不满足； 当2m >时，()2,B m =，满足；∵选②，则实数m 的取值范围是1m <或2m >； 若选③：B A ⊆R，A R[]1,2=，当2m <时，(),2B m =，则m ≥1，∵12m ≤<； 当2m =时，B =∅，满足; 当2m >时，()2,B m =，不满足． ∵选③，则实数m 的取值范围是12m ≤≤.考点三 恒成立或存在问题【例3-1】（2022·全国·专题练习）若命题“0x ∃∈R ，20020x x m -+<”为真命题，则实数m 的取值范围为______．【答案】(),1-∞【解析】由题意可知，不等式220x x m -+<在R 上有解，∵440,1m m ∆=-><，∵实数m 的取值范围为(),1-∞，故答案为：(),1-∞【例3-2】（2022·全国·专题练习）已知[1a ∈-，1]，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，则x 的取值范围为( )A ．(-∞，2)(3⋃，)∞+B ．(-∞，1)(2⋃，)∞+C ．(-∞，1)(3⋃，)∞+D ．(1,3)【答案】C【解析】令()2(2)44f a x a x x =-+-+，则不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立转化为()0f a >在[1,1]a ∈-上恒成立．∴有(1)0(1)0f f ->⎧⎨>⎩，即22(2)4402440x x x x x x ⎧--+-+>⎨-+-+>⎩，整理得：22560320x x x x ⎧-+>⎨-+>⎩，解得：1x <或3x >． x 的取值范围为()(),13,-∞⋃+∞．故选：C ．【一隅三反】1．（2022·江西吉安）若关于x 的不等式2220ax ax --<恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]2,0- B ．(]2,0- C ．()2,0- D ．()(),20,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】当0a =时，不等式成立；当0a ≠时，不等式2220ax ax --<恒成立，等价于()()20,2420,a a a <⎧⎪⎨∆=--⨯-<⎪⎩20a ∴-<<．综上，实数a 的取值范围为(]2,0-．故选：B ． 2．（2022·全国·专题练习）已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ） A ．[]0,1B ．(]0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．(][),01,-∞+∞【答案】A【解析】当0k =时，该不等式为80≥，成立；当0k ≠时，要满足关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，只需()2036480k k k k >⎧⎨-+≤⎩，解得01k <≤，综上所述，k 的取值范围是[]0,1，故选：A.3．（2021·全国·高一课时练习）关于x 的不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(0)∞-，B ．30,(4)⎛⎫∞+∞⎪- ⎝⎭，C ．(]0-∞，D ．(]40,3∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭，【答案】C【解析】因为不等式22(11)m x mx m x +<+++对R x ∈恒成立， 所以210mx mx m ++-<对R x ∈恒成立， 所以，当0m =时，10-<对R x ∈恒成立．当0m ≠时，由题意，得20Δ410m m mm <⎧⎨=--<⎩，即20340m m m <⎧⎨->⎩，解得0m <， 综上，m 的取值范围为(]0-∞，．故选：C 4．（2022·山东·德州市第一中学高二阶段练习）命题“存在[]01,2x ∈-，20020x x a -->”为假命题，则实数a的取值范围是___________. 【答案】[)3,+∞【解析】由于“存在[]01,2x ∈-，20020x x a -->”为假命题，所以“[]21,2,20x x x a ∀∈---≤”，为真命题，所以22a x x ≥-在区间[]1,2-上恒成立，在区间[]1,2-上，当1x =-时，22x x -取得最大值为()()21213--⨯-=，所以3a ≥.故答案为：[)3,+∞5．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学）已知命题“[1,2]x ∃∈-，230x x a +>-”是假命题，则实数a 的取值范围是________. 【答案】(,4]-∞-【解析】由题意得，“[1,2]x ∀∈-，230x x a -+≤”是真命题，则23a x x ≤-+对[1,2]x ∀∈-恒成立，在区间[]1,2-上，23x x -+的最小值为()()21314--+⨯-=-，所以()2min 34a x x ≤-+=-，即a 的取值范围是(,4]-∞-.故答案为：(,4]-∞-6．（2021·全国·高一专题练习）若不等式210ax x ++>在[]1,2x ∈时有解，则实数a 的取值范围为______． 【答案】(2,)-+∞【解析】由210ax x ++>，得21ax x >--，因为[]1,2x ∈，所以211a x x >--有解，令2211111()24f x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭，则()f x 在[1,2]上单调递增，所以min ()(1)2f x f ==-，所以2a >-，故答案为：(2,)-+∞7（2022·江苏）已知关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[]1,4-【解析】因为关于x 的不等式2243x x a a -+≥-在R 上有解，()22424y x x x =-+=--+的最大值为4 所以234a a -≤，解得14a -≤≤故答案为：[]1,4-考点四 含参一元二次不等式解法【例4-1】（2022·四川）若关于x 的不等式101x ax ->+的解集为11a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则a 的取值范围为（ ） A ．() 1? ∞+，B ．(0，1)C ．()1?∞--， D ．(-1，0)【答案】C 【解析】不等式101x ax ->+ 等价于()()110x ax -+>，设()()()11f x x ax =-+ ， 显然a =0不符合题意， 若0a > ，()()111f x x x a a ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()f x 是开口向上，零点分别为1和1a - 的抛物线，对于()0f x > ，解集为1x a<- 或1x > ，不符合题意；若0a < ，则()f x 是开口向下，零点分别为1和1a- 的抛物线，对于()0f x > ，依题意解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11a ∴-< ，即(),1a ∞∈-- ，故选：C.【例4-2】（2022·河北·石家庄市藁城区第一中学高一阶段练习）已知关于x 的不等式2325ax x ax -+>- (1)若不等式的解集为3{|1}2x x -<<-，则实数a 的值；(2)若R a ∈，求不等式的解集． 【答案】(1)2-；(2)答案见解析.【解析】(1)不等式22325(3)30ax x ax ax a x -+>-⇔+-->，依题意，3,12--是方程2(3)30ax a x +--=的二根，且0a <，因此，33(1)233(1)2a a a -⎧-+-=-⎪⎪⎨⎪-⨯-=-⎪⎩，解得2a =-，所以实数a 的值是2-.(2)由（1）知，2(3)30(3)(1)0ax a x ax x +-->⇔-+>， 当0a =时，解得1x <-，当0a >时，不等式化为3()(1)0x x a -+>，解得1x <-或3x a>，当0a <时，不等式化为3()(1)0x x a-+<， 当30a -<<时，有31a <-，解得31x a<<-， 当3a =-时，有31a=-，不等式无解， 当3a <-时，有31a >-，解得31x a-<<， 所以当0a =时，原不等式解集为(,1)-∞-，当0a >时，原不等式解集为3(,1)(,)a-∞-⋃+∞，当30a -<<时，原不等式解集为3(,1)a -，当3a =-时，原不等式解集为∅，当3a <-时，原不等式解集为3(1,)a-.【一隅三反】．（2022·全国·高三专题练习）解下列关于x 的不等式：（1）()22120ax a x +--<；（2）2(1)10ax a x -++>；（3）222ax x ax -≥-；（4）()210x x a a --->；（5）220ax x a -+<；（6）()()2220mx m x m R +-->∈；（7）ax 2-2（a +1）x +4>0. 【答案】答案见解析【解析】（1）2(21)20ax a x +--<当0a =时，不等式为20x --<，解集为(2,)-+∞；0a ≠时，不等式分解因式可得(1)(2)0ax x -+<当0a >时，故1()(2)0x x a -+<，此时解集为1(2,)a-；当12a =-时，1(1)(2)02x x --+<，故此时解集为{}||2x x x ≠-；当12a <-时，(1)(2)0ax x -+<可化为1()(2)0x x a -+>，又12a >-解集为1(,2)(,)a-∞-⋃+∞；当102a -<<时，(1)(2)0ax x -+<可化为1()(2)0x x a -+>，又12a <-解集为1(,)(2,)a-∞⋃-+∞.综上有，0a =时，解集为(2,)-+∞； 0a >时，解集为1(2,)a -；12a =-时，解集为{}||2x x x ≠-；12a <-时，解集为1(,2)(,)a -∞-⋃+∞；102a -<<时，解集为1(,)(2,)a-∞⋃-+∞ （2）把2(1)10ax a x -++>化简得(1)(1)0x ax -->， ∵当0a =时，不等式的解为{}|1x x < ∵当11a>，即10a a -<，得01a <<，此时，不等式的解为1{|x x a>或1}x < ∵当11a<，即10a a ->，得1a >或0a <，a当0a <时，不等式的解为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，∵当11a=，得1a =，此时，2(1)0x ->，解得{|x x R ∈且1}x ≠， 综上所述，当0a <时，不等式的解为1|1x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，当0a =时，不等式的解为{}|1x x <， 当01a <<时，不等式的解为1{|x x a>或1}x <， 当1a =时，不等式的解为{|x x R ∈且1}x ≠， 当1a >时，不等式的解为{1|x x a<或1}x >， （3）222ax x ax -≥-， 2(2)20ax a x +--≥，∵0a =时，220x --≥，可得{}|1x x ≤-； ∵0a ≠时，可得2()(1)0a x x a-+≥若0a >，解可得，{2|x x a≥或}1x ≤-； 若0a <，则可得2()(1)0x x a-+≤，()i 当21a >-即2a <-时，解集为[1-，2]a ； ()ii 当21a <-即20a -<<时，解集为[2a，]1-； ()iii 当21a=-即2a =-时，解集为{}1-. （4）不等式2(1)0x x a a --->可化为[]()(1)0x a x a --->. ∵当12a >时，1a a ，解集为{|x x a >，或1}x a <-； ∵当12a =时，1a a ，解集为1|2x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭； ∵当12a <时，1a a <-，解集为{|x x a <，或1}x a >-. 综上所述， 当12a >时，原不等式的解集为{|x x a >，或1}x a <-；22⎩⎭当12a <时，原不等式的解集为{|x x a <，或1}x a >-. （5）当0a =时，不等式即20x -<，解得0x >. 当0a ≠时，对于方程220ax a -+=，244a ∆=- 令∆<0，解得1a >或1a <-； 令0∆=，解得1a =或1-；令0∆>，解得01a <<或10a -<<，方程220ax x a -+=211a±-. 综上可得，当1a ≥时，不等式的解集为∅；当01a <<时，不等式的解集为221111|a a x x ⎧--+-⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭； 当0a =时，不等式的解集为{}|0x x >； 当10a -<<时，不等式的解集211{|a x x +-<211}a x -->； 当1a =-时，不等式的解集为{}|1x x ≠-； 当1a <-时，不等式的解集为R .（6）原不等式可变形为(2)(1)0mx x -+>.∵当0m =时，则有2(1)0x -+>，即10x +<，解得1x <-； ∵当0m >时，21m>-，解原不等式得1x <-或2x m >；∵当0m <时，20m<. （i ）当21m=-时，即当2m =-时，原不等式即为22(1)0x -+>，该不等式无解； （ii ）当21m<-时，即当20m -<<时，解原不等式得21x m <<-；（iii ）当21m>-时，即当2m <-时，解原不等式可得21x m -<<.综上所述：∵当2m <-时，原不等式的解集为2(1,)m-； ∵当2m =-时，原不等式的解集为∅； ∵当20m -<<时，原不等式的解集为2(,1)m-； ∵当0m =时，原不等式的解集为(,1)-∞-；∵当0m >时，原不等式的解集为2(,1)(,)m-∞-⋃+∞. （7）（1）当a =0时，原不等式可化为-2x +4>0，解得x <2，所以原不等式的解集为{x |x <2}. （2）当a >0时，原不等式可化为(2)(2)0ax x -->，对应方程的两个根为x 1=2a ，x 2=2.∵当0<a <1时，2a >2，所以原不等式的解集为{2|x x a >或2}x <；∵当a =1时，2a =2，所以原不等式的解集为{x |x ≠2}；∵当a >1时，2a<2，所以原不等式的解集为2{|x x a <或2}x >.（3）当a <0时，原不等式可化为(2)(2)0ax x -+-<，对应方程的两个根为x 1=2a，x 2=2，则2a <2，所以原不等式的解集为2|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 综上，a <0时，原不等式的解集为2|2x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；a =0时，原不等式的解集为{x |x <2}； 0<a ≤1时，原不等式的解集为{2|x x a>或2}x <； 当a >1时，原不等式的解集为2{|x x a<或2}x >.。

2024-2025学年人教新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练第21章《一元二次方程》章节总复习（知识精讲+易错点拨+十三大考点讲练+难度分层真题练）导图指引 (2)新知精讲梳理 (2)高频易错知识点拨 (4)考点讲练1：一元二次方程的定义 (5)考点讲练2：一元二次方程的一般形式 (6)考点讲练3：一元二次方程的解 (7)考点讲练4：解一元二次方程-直接开平方法 (7)考点讲练5：解一元二次方程-配方法 (8)考点讲练6：解一元二次方程-公式法 (9)考点讲练7：解一元二次方程-因式分解法 (9)考点讲练8：换元法解一元二次方程 (10)考点讲练9：根的判别式 (11)考点讲练10：根与系数的关系考点讲练11：由实际问题抽象出一元二次方程 (13)考点讲练12：一元二次方程的应用 (14)考点讲练13：配方法的应用 (15)中等题真题汇编练 (17)培优题真题汇编练 (19)导图指引新知精讲梳理知识点1：一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只，并且未知数的的，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使叫做一元二次方程的解，也叫做细节剖析：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是，否则一定一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的，看是否具备另两个条件：①一个；②未知数的最高次数为对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点2：一元二次方程的解法1．基本思想降次一元二次方程−−−→2．基本解法细节剖析：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即acb 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.细节剖析：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2.一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点4：列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是审题；二是把握问题中的三是的合理性.2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清等)；设(设，有时会用)；列(根据题目中的，)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答(写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.细节剖析：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为，然后由数学问题的解决而获得对的解决.高频易错知识点拨易错知识点01：一元二次方程的定义与识别定义理解不清：学生可能无法准确理解一元二次方程必须同时满足的三个条件：整式方程、只含有一个未知数、未知数的最高次数是2。