第8章 贝塞尔函数本章我们来讨论贝塞尔方程的解法以及解的性质. 下面将要看到，在一般的情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入了一类特殊函数，称之为贝塞尔函数，贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交性，这个正交性恰好是前面所述的施特姆-刘维尔理论的一个特例.8．1 贝塞尔方程的求解在7.1中，我们从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，以x 表示自变量，y 表示未知函数，则n 阶贝塞尔方程为22222()0,d y dy x x x n y dx dx++-= (8.1) 其中n 为任意实数或复数. 由于方程的系数中出现2n 的项，所以在讨论时，不妨暂先假定0n >．设方程(8.1)有一个级数解，其形式为2012()c k k y x a a x a x a x =+++++c k k k a x ∞+==∑， 00,a ≠ (8.2)其中常数c 和(1,2,3)k a k =可以通过把y 和它的导数,y y '''代入(8.1)来确定.将(8.2)及其导数代入(8.1)后得{}220()(1)()()0.c kkk c k c k c k xn a x ∞+=⎡⎤++-+++-=⎣⎦∑ 化简后写成()}{22221220122()1()0,cc c kk k k c n a x c n a xc k n a a x ∞++-=⎡⎤⎡⎤-++-++-+=⎣⎦⎣⎦∑要使上式成为恒等式，必须各个x 幂的系数全为零，从而得下列各式：2202212221()0;2[(1)]0;3[()]0(2,3,).k k a c n a c n c k n a a k --=+-=+-+==由 1得c n =±，代入 2得10a =.现暂取c n =，代入3得24.(2)k k a a k n k --=+因为10a =，由4知13570,a a a a =====而246,,,a a a 都可以用0a 表示，即2,2(22)a a n -=+4,24(22)(24)a a n n =⋅++6,246(22)(24)(26)a a n n n -=⋅⋅+++………………………………………………2(1)2462(22)(24)(22)mm a a m n n n m =-⋅⋅+++2(1).2!(1)(2)()m ma m n n n m -=+++由此知(8.2)的一般项为202(1),2!(1)(2)()n mmma x m n n n m +-+++0a 是一个任意常数，取定后就得(8.1)式的一个特解.我们把0a 取作012(1)n a n =Γ+，这样选取0a 可使一般项系数中2的次数与x 的次数相同，并可以运用下列恒等式()(1)(1)(1)(1)(1)n m n m n n n n m ++-++Γ+=Γ++使分母简化，这样选0a 后，一般项的系数就整齐了221(1).2!(1)mm n ma m n m +=-Γ++ (8.3) 以(8.3)代入(8.2)得到(8.1)的一个特解2120(1)(0).2!(1)n mmn mm x y n m n m +∞+==-≥Γ++∑用级数的比值判别法（或称达朗倍尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛. 这个无穷级数所确定的函数，称为n 阶第一类贝塞尔函数，记作220()(1)(0).2!(1)n mmn n mm x J x n m n m +∞+==-≥Γ++∑ (8.4)至此，我们就求出了贝塞尔方程的一个特解().n J x当n 为正整数或零时，(1)()!n m n m Γ++=+，故有220()(1)(0,1,2,).2!()!n mmn n m m x J x n m n m +∞+==-=+∑ (8.5)取c n =-时，用同样方法可得(8.1)式另一特解220()(1)(1,2,).2!(1)!n mmn n m m x J x n m n m -+∞--+==-≠Γ-++∑ (8.6)比较(8.4)式与(8.6)式可见，只要在(8.4)的右端把n 换成n -，即可得到(8.6)式，因此不论n 是正数还是负数，总可以用(8.4)式统一地表达第一类贝塞尔函数.当n 不为整数时，这两个特解()n J x 与()n J x -是线性无关的，由齐次线性微分主程的通解的结构定理知道，(8.1)的通解为()()n n y AJ x BJ x -=+ (8.7)其中,A B 为两个任意常数.当然，在n 不为整数的情况，方程(8.1)的通解除了可以写成(8.7)式以外还可写成其他的形式，只要能够找到该方程另一个与()n J x 线性无关的特解，它与()n J x 就可构成(8.1)的通解，这样的特解是容易找到的. 例如，在(8.7)中取,csc ,A ctgn B n ππ==-则得到(8.1)的一个特解()()csc ()n n n Y x ctgn J x n J x ππ-=-()cos ()sin n n J x n J x n ππ--=(n ≠ 整数） (8.8)显然，()n Y x 与()n J x 是线性无关的，因此，(8.1)的通解可写成()().n n y AJ x BY x =+ (8.7)’由(8.8)式所确定的函数()n Y x 称为第二类贝塞尔函数，或称牛曼函数.8．2 当n 为整数时贝塞尔方程的通解上一节说明，当n 不为整数时，贝塞尔方程(8.1)的通解由(8.7)或(8.7)’式确定，当n 为整数时，(8.1)的通解应该是什么样子呢？首先，我们证明当n 为整数时，()n J x 与()n J x -是线性相关的，事实上，我们不妨设n 为正整数N （这不失一般性，因n 为负整数时，会得到同样的结果），则在(8.6)中，1(1)n m Γ-++当0,1,2,,(1)m N =-时均为零，这时级数从m N =起才开始出现非零项，于是(8.6)可以写成22()(1)2!(1)N mmN N mm Nx J x m N m -+∞--+==-Γ-++∑ 2424(1)2!2(1)!2(2)!2!N N N N N N N x x x N N N ++++⎧⎫⎪=--++⎨⎬++⎪⎭⎩ (1)().N N J x =-即()N J x 与()N J x -线性相关，这时()N J x 与()N J x -已不能构成贝塞尔方程的通解了.为了求出贝塞尔方程的通解，还要求出一个与()N J x 线性无关的特解.取哪一个特解？自然我们想到第二类贝塞尔函数.不过当n 为整数时(8.8)的右端没有意义，要想把整数阶贝塞尔方程的通解也写成(8.7)’的形式，必须先修改第二类贝塞尔函数的定义. 在n 为整数的情况，我们定义第二类贝塞尔函数为()cos ()()limsin n n J x a J x Y x αααπαπ-→-= （n =整数）. （8.9）由于当n 为整数时，()(1)()cos ()n n n n J x J x n J x π-=-=，所以上式右端的极限是"0"形式的不定型的极限，应用洛必塔法则并经过冗长的推导（可参阅A.Ⅱ.萨波洛夫斯基著《特殊函数》，魏执权等译，中国工业出版社出版），最后得到210020(1)2212()()ln ,2(!)1m mm m k x x Y x J x c m k ππ∞-==⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+- ⎪+⎝⎭∑∑ 21021(1)!()()ln 2!2n mn n m m x n m x Y x J x c m ππ-+-=--⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑211000(1)1112(1,2,3,),!()!11n mmn m m m k k x n m n m k k π+∞+--===⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-+= ⎪+++⎝⎭∑∑∑ (8.10) 其中111lim 1ln 0.5772,23n c n n →∞⎛⎫=++++-= ⎪⎝⎭称为欧拉常数.根据这个函数的定义，它确是贝塞尔方程的一个特解，而且与()n J x 是线性无关的（因为当0x =时，()n J x 为有限值，而()n Y x 为无穷大）.综合上面所述，不论n 是否为整数，贝塞尔方程(8.1)的通解都可表示为()()n n y AJ x BY x =+，其中,A B 为任意常数，n 为任意实数.8．3 贝塞尔函数的递推公式不同阶的贝塞尔函数之间不是彼此孤立的，而是有一定的联系，本节我们来建立反映这种联系的递推公式.首先考察零阶与一阶贝塞尔函数之间的关系. 在(8.5)中令0n =及1n =得：246024262()122(2!)2(3!)x x x J x =+-+222(1)2(!)kk x kk +-+3571357()222!22!3!23!4!x x x x J x =-+-+⋅⋅⋅2121(1)2!(1)!k kk x k k +++-++取出第一个级数的第2k +项求导数，得[][]22211222222(22)(1)(1)2(1)!2(1)!k k k k k k d x k x dx k k ++++++-=--++ 2121(1).2!(1)!k kk x k k ++=--+这个式子正好是1()J x 中含21k x +这一项的负值，且知0()J x 的第一项导数为零，故得关系式1()().dJ x J x dx =- (8.11) 将1()J x 乘以x 并求导数，又得24221321[()](1)222!2!(1)!k kk d d x x x xJ x dx dx k k ++⎡⎤=-++-+⎢⎥⋅+⎣⎦321222(1)22(!)k kk x x x k +=-++-+222221(1).22(!)kkk x x x k ⎡⎤=-++-+⎢⎥⎣⎦即10[()]().dxJ x xJ x dx= (8.12) 以上结果可以推广，现将()n J x 乘以nx 求导数，得2220[()](1)2!(1)n m n mn n m m d d x x J x dx dx m n m +∞+==-Γ++∑ 2121(1)2!()n m n mn m m x x m n m +-∞+-==-Γ+∑ 1(),n n x J x -=即1[()]().nn n n d x J x x J x dx-= (8.13) 同理可得1[()]().nn n n d x J x x J x dx--+=- (8.14) 将(8.13)和(8.14)两式展开，并经过化简，则分别得'1()()(),n n n xJ x nJ x xJ x -+=及'1()()(),n n n xJ x nJ x xJ x --=-将这两式相减及相加，分别得到112()()(),n n nJ x J x nJ x x -++=(8.15) 11()()2().n n n J x J x J x -+'-= (8.16)以上几式便是贝塞尔函数的递推公式.它们在有关贝塞尔函数的分析运算中甚为有用.特别值得一提的是，应有(8.15)式可以用较低阶的贝塞尔函数把较高阶的贝塞尔函数表示出来.因此如果我们已有零阶与一阶贝塞尔函数表，则利用此表和(8.15)，即可计算任意正整数阶的贝塞尔函数的数值.第二类贝塞尔函数也满足与第一类贝塞尔函数相类似的递推公式.1111'11()(),[()](),2()()(),()()2().n nn n n n n n n n n n n n d x Y x x Y x dx d x Y x x Y x dxnY x Y x Y x x Y x Y x Y x ---+-+-+⎧⎡⎤=⎣⎦⎪⎪⎪=-⎪⎨⎪+=⎪⎪⎪-=⎩ (8.17) 作为递推公式的一个应用，我们来考虑半奇数阶的贝塞尔函数，先计算1122(),().J x Jx -由(8.4)可得122102(1)(),32!2m mm x J x m m +∞=-⎛⎫= ⎪⎛⎫⎝⎭Γ+ ⎪⎝⎭∑而 13135(21)1222m m m +⋅⋅+⎛⎫⎛⎫Γ+=Γ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=从而21102(1)().(21)!m m J x x x m ∞+=-=+ (8.18) 同理，可求得12().J x x -=(8.19) 利用递推公式(8.15)得到31122211()()()cos sin J x J x J x x x x x -⎫=-=-+⎪⎭321sin d x x dx x ⎛⎫=⋅⎪⎝⎭321sin d x x dx x ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 同理可得32321cos ().d x J x x dx x -⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭一般言之，有1212121()21sin()(1);1cos().nnnnnnd xJ xx dx xd xJ xx dx x+++-+⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(8.20) 从(8.20)可能看出，半奇数阶的贝塞尔函数都是初等函数.8．4 贝塞尔函数的零点与模值贝塞尔方程的固有值与固有函数都与贝塞尔函数的零点有密切关系.同时，为了将一个函数按贝塞尔函数展开，需要用到贝塞尔函数的模值.本节我们来叙述贝塞尔函数零点的有关结论并计算贝塞尔函数的模值.6.4.1 贝塞尔函数的零点第一类贝塞尔函数()nJ x的零点的几个重要结论：1()nJ x有无穷多个单重实零点，且这无穷多个零点在x轴上关于原点是对称分布着的.因而()nJ x必有无穷多个正的零点；2()nJ x的零点与1()nJ x+的零点是彼此相间分布的，即()nJ x的任意两个相邻零点之间必存在一个且仅有一个1()nJ x+的零点；图8-13以()nmμ表示()nJ x的正零点，则当()()1n nm mmμμ+-→∞时无限地接近于π，即()nJ x几乎是以π2为周期的周期函数.()J x与1()J x的图形见图8-1.为了便于工程技术上的应用，贝塞尔函数零点的数值已被详细计算出来，并列成表格.下表给出了()(0,1,2,,5)n J x n =的前9个正零点)9,,2,1()( =m n m μ的近似值.6.4.2 贝塞尔函数的模值所谓贝塞尔函数的模值就是指定积分()2n am nJ r rdr a μ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰的平方根，其中()n m μ是()n J x 的正零点，a 为一正常数.为了计算这个积分，以1()R r ，2()R r 分别表示下列函数()1()n m n R r J r a μ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2()n R r J r α= α(为任意参数）.则1()R r ，2()R r 分别满足方程2()2110,n m dR d n r r R dr dr a r μ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥+-= ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦22220.dR d n r r R dr dr r α⎡⎤⎡⎤+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦以2()R r 乘第一个方程减去以1()R r 乘第二个方程，然后对r 从0到a 积分，得}{()2''12211200()()[()()()()]0.n a a m rR r R r dr r R r R r R r R r a μα⎡⎤⎛⎫-+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦⎰ 由此可得()();()()20()2()().n n n am n n m m n n n m J a J rJ r J r dr aa μαμμαμα⎛⎫=-⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭⎰当()n maμα→时，上式右端是"0"型，利用洛必塔法则计算这个极限，得 ()()()222'()2()10.22n an n m n n m n m a a rJ r dr J J a μμμ-⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭⎰这个公式在下节计算傅里叶-贝塞尔级数的系数时就要用到.8．5 贝塞尔方程的边值问题在7.1中，我们已将求解圆盘的温度分布问题通过分离变量法转化成求解贝塞尔方程的固有值问题.() 自然边界条件 222()()()0,0;(8.21)()0,(8.22)(0)()(8.23)r a r R r rR r r n R r r a R r R λ=⎧'''++-=<<⎪⎪=⎨⎪<∞⎪⎩方程(8.21)的通解为)()),n nR r AJ BY =+由条件(8.23)可得 0B =，即()),n R r AJ =利用条件(8.22)得)0,n J =应该是()n J x 的零点，以表示()()()12,,,,()n n n m n J x μμμ的正零点，则方程(8.21)的固有值为2()()n n m ma μλ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1,2,m =），与这些固有值相对应的边值问题（8.21）—（8.23）的固有函数是()().n m m n R r J r a μ⎛⎫= ⎪⎝⎭根据施特姆-刘维尔理论，()(1,2,3,)m R r m =关于权函数()r r ρ=是正交的，即()()00().(8.24)n n am k n n J r J r rdr m k a a μμ⎛⎫⎛⎫=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰同时，下述展开定理成立：任何一个下两次可微的函数()f r ，若在0r =处有界，而且在r a =处等于零，则它可以展开为绝对一致收敛的傅里叶-贝塞尔级数：()(),n m m n m a f r A J r a μ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ （8.25）其中系数m A 可用下述方法确定：在展开式(8.25)的两端同乘以(),n mn rJ r aμ⎛⎫⎪⎝⎭并对r 从0到a 积分，由正交关系式(8.24)得()()20().n n aa m mn m n f r J r rdr A rJ r dr a a μμ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰利用前面计算过的贝塞尔函数的模值公式得到()()2'()2().[]2n am n m n n m f r J r rdra A a J μμ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎰（8.26） 下面我们举两个例子，说明用贝塞尔函数求解定解问题的全过程.例1 设有半径为1的薄均匀圆盘，边界上温度为零，初始时刻圆盘内温度分布为21r -，其中r 是圆盘内任一点的极半径，求圆内温度分布规律.解 根据问题的要求，即可归结为求解下列定解问题：22222120;0;1.r t u uu a tx y u u r ==⎧⎛⎫∂∂∂=+⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩采用极坐标系，并考虑到定解条件与θ无关，所以温度u 只能是,r t 的函数，于是上述问题可写为2221201;(8.27)0;(8.28)1.(8.29)r t u u u a tr r r u u r ==⎧⎛⎫∂∂∂=+⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩此外，由物理意义，还有条件令 (,)()(),u r t R r T t = 代入方程(8.27)得21,RT a R R T r ⎛⎫''''=+ ⎪⎝⎭或 21,R R T r a T Rλ'''+'==由此得22''0,r R rR r R λ+-= (8.30)2'0.T a T λ-= (8.31)方程(8.31)的解为2()a t T t Ce λ=，因为t →+∞，时0,u →λ只能小于零，令2λβ=-则22().a t T t Ce β-=此时方程(8.30)的通解为1020()()().R r C J r C Y r ββ=+由(,)u r t 的有界性，可知20C =，再由(8.28)得0()0J β=，即β是0()J x 的零点，以n α表示0()J x 的正零点，则(1,2,3,),nn βα==综合以上结果可得0()(),n n R r J r α=22().n a t n n T t C e α-=从而 220(,)().n a tn n n u r t C eJ r αα-=利用叠加原理，可得原问题的解为2201(,)().n a t n n n n u r t C e J r αα∞-==∑由条件(8.29)2011().n n n r C J r α∞=-=∑从而120202(1)()[()]n n n C r rJ r dr J αα=-'⎰1130020012()(),[()]n n n rJ r dr r J r dr J ααα⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰因 10[()()]()[()()],n n n n n d r J r r J r d r ααααα=即 10()(),n n n rJ r d rJ r dr ααα⎡⎤=⎢⎥⎣⎦故得111100()()().n n n nnrJ r J rJ r dr ααααα==⎰另外11320000()()n n n rJ r r J r dr r d ααα⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 1312110()2()n n n r J r r J r dr αααα=-⎰121122220()()2()2(),n n n n nnnnJ J J r J r αααααααα=-=-从而 22214().()n n n n J C J ααα= 所以，所求定解问题的解为222022114()(,)(),()n a tn n n n nJ u r t J r e J ααααα∞-==∑(8.32) 其中n α是0()J r 的正零点. 例2 求下列定解问题22222022001,0;(8.33)0;(8.34)0,1.(8.35)r r R t t u u u a r R tr r r u u r u r u t R ====⎧⎛⎫∂∂∂=+<<⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪∂⎪=<+∞⎨∂⎪⎪∂⎪==-∂⎪⎩的解.解 用分离变量法来解，令(,)()(),u r t R r T t =采用例1中同样的运算，可以得到1020()()(),R r C J r C Y r ββ=+ (8.36) 34()cos sin .T t C t C t αβαβ=+ (8.37)由(,)u r t 在0r =处的有界性，可知20,C =即10()().R r C J r β= (8.38)再根据边界条件(8.34)中第一式，得'10'()()0,R R C J R ββ==因1C β不能为零，故有0()0.J R β'=利用贝塞尔函数的递推公式(8.11)可得1()0,J R β=即R β是1()J x 的正零点，以(1)(1)(1)(1)123,,,,n μμμμ表示1()J x 的所有正零点，则(1)(1,2,3,),nR n βμ==即 (1).nRμβ= (8.39)将(8.39)分别代入(8.38),(8.37)，得(1)0(),nn R r J r Rμ⎛⎫=⎪⎝⎭(1)(1)()cossin.nnn n n T t C t D t R Rαμαμ=+从而 (1)(1)(1)0(,)cos sin ,n nn n n n u r t C t D t J r R R R αμαμμ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭利用叠加原理可得原定解问题的解为(1)(1)(1)01(,)cos sin ,n nn n n n n u r t C t D t J r R R R αμαμμ∞=⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑将条件(8.35)代入上式得(1)010,nn n C J r R μ∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ (8.40)(1)2(1)0211.n n n n a r D J r R R R μμ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ (8.41)由(8.40)得 0(1,2,3,);n C n ==由(8.41)并利用下面的结果（见习题八第14题）：如果(1)n μ是1()J x 的正零点，则(1)222(1)'(1)2(1)00100()()(),22Rn n n n R R rJ r dr J J J R μμμμ⎛⎫==⎪⎝⎭⎰得到(1)20(1)2(1)2002(1)()R n n n n r D rJ r dr RJ R R μαμμ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ (1)2(1)32(1)(1)3(1)004()4,()()()()n n n n n RJ R J J μαμμαμμ==- 所以最后得到定解问题的解为(1)(1)0(1)3(1)1041(,)sin .()()n n n n n Ru r t tJ r J R Rαμμαμμ∞=⎛⎫=- ⎪⎝⎭∑ (8.42)习 题 八1、当n 为正整数时，讨论()n J x 的收敛范围.2、写出01(),(),()(n J x J x J x n 是正整数）的组数表示式的前5项.3、证明21(0)0,n J -=其中1,2,3,n =.4、0()?dJ ax dx=.5、1[()?.dxJ ax dx= 6、证明()n y J ax =为方程2222'''()0x y xy a x n y ++-=的解. 7、证明321()cos sin ;2J x x x x x ππ⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎦52233()1sin()cos().J x x x x x ππ⎤⎛⎫=--+- ⎪⎥⎝⎭⎦8、试证1232()y x J x =是方程22''(2)0.x y x y +-=的一个解.9、试证()n y xJ x =是方程222'''(1)0x y xy x n y -++-=的一个解.10、设(1,2,3,)i i λ=是方程1()0J x =的正根，将函数()0(01)f x x =<<展开成贝塞尔函数)((11x J λ=的级数. 11、设(1,2,3,)i a i =是0()0J x =的正根，将函数2()(01)f x x x =<<展开成贝塞尔函数0()i J a x 的级数. 12、设(1,2,3,)i a i =是方程0(2)0J x =的正根，将函数1,01,1(),120,12x f x x x <<⎧⎪⎪==⎨⎪<<⎪⎩展开成贝塞尔函数0()i J a x 的级数.13、把定义在[0,]a 上的函数展开成贝塞尔函数0i a J x a ⎛⎫⎪⎝⎭的级数，其中i a 是0()J x 正零点. 14、若1(1,2,3,)i λ=是1()J x 正零点，证明200200,,(),.2Ri i i j i xJ x J x dx R R R J i j λλλ≠⎧⎛⎫⎪⎛⎫=⎨ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭⎪⎩⎰[提示：可仿照8.4中推导贝塞尔函数模值的方法来证明.] 15、利用递推公式证明（1）'''2001()()();J x J x J x x =-（2）''''300()3()4()0.J x J x J x ++=16、试证1221()()(1)()(1)().nn n n o o ox Jx dx x J x n x J x n x J x dx --=+---⎰⎰17、试解下列圆柱区域的边值问题：在圆柱内0,u ∆=在圆柱侧面0a u ρ==，在下底00z u ==，在上底.z h u A ==18、解下列定解问题：22222220001;1,0;.,0.t t R u u u a tu u R t u u ρρρρρρ====⎧⎛⎫∂∂∂=+⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎪∂⎪=-=⎨∂⎪⎪<∞=⎪⎪⎩若上述方程换成非齐次的，即2222211u u uB a t ρρρ∂∂∂+-=-∂∂∂ （B 为常数）， 而所有定解条件均为零，试求其解.。
第五章 Bessel 函数5．2 基础训练5.2.1例题分析例1 试用平面极坐标系把二维波动方程分离变量：2()0tt xx yy u a u u -+=（1）解 先把时间变量t 分离出来，令)(),(),,(t T U t u ϕρϕρ=，代入方程（1）22(,)''()(,)()0U T t a U T t ρϕρϕ-∇=两边同乘以21a UT并移项得 22''T Ua T U∇=上式左边仅是t 的函数；右边是ρ,t 的函数。
若要使等式成立，两边应为同一个常数，记为2k -，则有22''0T a k T +=(2)220U k U ∇+=(3)（3）式为二维亥姆霍兹方程，它在平面极坐标系下的表达式为：22110U U U k U ρρρϕϕρρ+++=进一步分离变量，令(,)()()U R ρϕρϕ=Φ，代入上式得2211'''''0R R R k R ρρΦ+Φ+Φ+Φ=两边同乘以2R ρΦ，并整理得222'''''R R k RRρρρΦ=+=-Φ同上讨论，等式两边应为同一常数，记为2m ，则有2''0m Φ+Φ=(4)2222'''()0R R k m R ρρρ++-=(5)对（5）式作代数变换x k ρ=后变为贝塞尔方程222'''()0x R xR x m R ++-=(6)其通解是()()()m m R AJ k BY k ρρρ=+ 其中,,m m A B J Y 为任意常数和为第一类和第二类Bessel 函数。
由周期条件，方程（4）的解为()c o s s i n 0,1,2m m m A mB m mϕϕΦ=+= 由波动问题及解在0ρ→有限的条件，方程（2）的解为cos sin n n n n n T C k at D k at =+例2 用()J x ν的级数表达式证明：（1） x x x J cos 2)(21π=-； （2） x x d x J sin cos )cos (200=⎰πθθθ证明：（1） 因为20(1)()()!(1)2k k v v k xJ x k k v ∞+=-=Γ++∑， 所以12221002220(1)()())122!(1)2k k kk k k kk k x x J x k k ∞∞--==∞∞==-==Γ-+==∑2k k k x ∞∞=====（2）2212202000(1)(cos )cos ()cos (!)2k kk k x J x d d k ππθθθθθ∞+=-=∑⎰⎰222200(1)(2)!!(1)2!sin ()()(!)2(21)!!(!)2(21)!!k k k k k k k x k x k xk k k k x ∞∞==--===++∑∑ 例3 利用Bessel 函数的递推公式： (1) 将)(3x J 用)(0x J 及)(1x J 表出；(2) 证明 )]()(2)([41)(''2''''2''x J x J x J x J n n n n +-+-=.(3) 证明 )]()([2)]([21212x J x J v xx J dx d v v v +--=.(4) 证明 )]()([)]()([212010x J x J x x J x xJ dxd -=.(5) 证明 ⎰+-=C x x xJ x x xJ xdx x J cos )(sin )(sin )(100. (1) 解 由 )()(2)(11x J xx mJ x J m m m -+-=得 )()(2)(012x J xx J x J -=021********()4()4()84()()8()(1)()()J x J x J x J x J x J x J x J x x x x x x=-=--=-- (2) 证明：由'111()[()()]2m m m J x J x J x -+=-得''''1122221()[()()]21111{[()()][()()]}[()2()()]2224m m m m m m m m m m J x J x J x J x J x J x J x J x J x J x -+-+-+=-=---=-+ (3) 证明： 由11()[()()2v v v x J x J x J x v +-=+,'111()[()()]2m m m J x J x J x -+=-得 '22112()()[()()]2v v v v xJ x J x J x J x v-+=-即22211[()][()()]2v v v d xJ x J x J x d v-+=- (4) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得：01011011002201()()[()()]()()()()()()[()()]dJ x dJ x dxJ x J x xJ x xJ x d dx dxJ x xJ x J x xJ x x J x J x =+=-+=-(5) 证明：用贝塞尔函数的递推公式，得：001001001001()sin ()sin [()cos ()sin ]()sin ()cos ()cos ()sin ()cos [()cos ()cos ]()sin ()cos Jx xdx xJ x x x J x x J x x dxxJ x x xJ x xdx xJ x d xxJ x x xJ x xdx xJ x x xJ x xdx xJ x x xJ x x C=--=--=---=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰例4 计算⎰dx ax J x )(03。
