2016-2017学年河北省唐山市高三年级第二次模拟考试理科数学试卷

唐山市2016—2017学年度高三年级第一次模拟考试理科数学注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

4、在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效。

不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答卷上做任何标记。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）若复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则复平面内表示z 的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2）已知集合A ＝{x |x 2－x ＞0}，B ＝{x |－3＜x ＜3}，则（A ）A ∩B ＝∅ （B ）A ∪B ＝R （C ）B ⊆ A（D ）A ⊆ B（3）若函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －1，x ≤1，5－x 2，x ＞1，则f (f (2))＝ （A ）1 （B ）4 （C ）0（D ）5－e 2 （4）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（A ）π＋4（B ）2π＋4 （C ）π＋2（D ）2π＋2（5）在△ABC 中，∠B ＝90°，AB →＝(1，－2)，AC →＝(3，λ)，则λ＝（A ）－1（B ）1 （C ） 32（D ）4（6）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝－4，S 6＝6，则S 5＝（A ）1 （B ）0 （C ）－2（D ）4（7）已知双曲线C ：x 2－y 23＝1的右顶点为A ，过右焦点F 的直线l 与C 的一条渐近线平行，交另一条渐近线于点B ，则S △ABF ＝（A ）32 （B ） 3（C ）334 （D ）338（8）二项式(x －a )7的展开式中，含x 4项的系数为－280，则∫2e a1xd x ＝ （A ）ln 2 （B ）ln 2＋1（C ）1（D ）e 2－14e2（9）一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法可以设计如图所示的程序框图，若输入的n 为6时，输出结果为2.45，则m 可以是 （A ）0.6 （B ）0.1 （C ）0.01 （D ）0.05 （10）已知ω＞0，将函数f (x )＝cos ωx 的图象向右平移π2个单位后得到函数g (x )＝sin (ωx － π4)的图象，则ω的最小值是（A ） 32 （B ）3（C ） 4 3 （D ）23（11）在一次比赛中某队共有甲，乙，丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙，丙都不．与甲相邻出场的概率为 （A ） 1 10 （B ） 15（C ） 2 5 （D ）310（12）已知a ＞b ＞0，a b ＝b a ，有如下四个结论：① b ＜e ， ② b ＞e ， ③ ∃a ，b 满足a ·b ＜e 2， ④ a ·b ＞e 2则正确结论的序号是 （A ）①③ （B ）②③（C ）①④（D ）②④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x －2y ≥1，x －4y ≤3．则z ＝x ＋y 的最小值是______．（14）设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝a 1(4n －1)3，若a 4＝32，则a 1＝______．（15）已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，A (0，3)，抛物线C 上的点B 满足AB⊥AF ，且|BF |＝4，则p ＝______． （16）在三棱锥P -ABC 中，P A ，PB ，PC 两两互相垂直，且AB ＝4，AC ＝5，则BC 的取值范围是______．三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2＋b 2＝λab ．（Ⅰ）若λ＝6，B ＝5π6，求sin A ；（Ⅱ）若λ＝4，AB 边上的高为3c6，求C ． （18）（本小题满分12分）（Ⅰ）若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（Ⅱ）用对数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程：yˆ＝12ln x ＋22，计算得线性回归模型和对数回归模型的R 2分别约为0.75和0.97，请用R 2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A 超市广告费支出为8万元时的销售额．参考数据及公式：x －＝8,y －＝42，7i ＝1∑x i y i＝2794，7i ＝1∑x 2i＝708，b ˆ＝ni ＝1∑x i y i －n ·x -y-n i ＝1∑x 2i －nx-2，a ˆ＝y -－b ˆx -，ln 2≈0.7．（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90︒，AC ＝CB ＝2， M ，N 分别为AB ，A 1C 的中点． （Ⅰ）求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；（Ⅱ）若平面CMN ⊥平面B 1MN ，求直线AB与平面B 1MN 所成角的正弦值．（20）（本小题满分12分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为22，点Q (b ， ab)在椭圆上，O 为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知点P ，M ，N 为椭圆C 上的三点，若四边形OPMN 为平行四边形，证明四边形OPMN 的面积S 为定值，并求该定值．（21）（本小题满分12分）已知函数f (x )＝sin x ＋tan x －2x ．（Ⅰ）证明：函数f (x )在(－ π 2， π2)上单调递增；（Ⅱ）若x ∈(0， π2)，f (x )＞mx 2，求m 的取值范围．请考生在第（22），（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ（t 为参数，0≤φ＜π），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝1，l 与C 交于不同的两点P 1，P 2．（Ⅰ）求φ的取值范围；（Ⅱ）以φ为参数，求线段P 1P 2中点轨迹的参数方程． （23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y ．（Ⅰ）求1x ＋1y的最小值；（Ⅱ）是否存在x ，y ，满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．唐山市2016—2017学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DBACA BACBA DCB 卷：DBCAA BABCA DC 二．填空题：A C 11CBMNA 1（13）－2 （14） 12（15）2或6 （16）(3，41)三．解答题： （17）解：（Ⅰ）由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab 结合正弦定理得：4sin 2A －26sin A ＋1＝0，于是sin A ＝6±24． …4分 因为0＜A ＜π6，所以sin A ＜12，取sin A ＝6－24…6分（Ⅱ）由题意可知S △ABC ＝ 1 2ab sin C ＝312c 2，得：1 2ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )． 从而有：3sin C ＋cos C ＝2，即sin (C ＋π6)＝1 又π 6＜C ＋ π 6＜7π6，所以，C ＝ π3． …12分（18）解：（Ⅰ）bˆ＝ni ＝1∑x i y i －n ·x -y -ni ＝1∑x 2i －nx-2＝2794－7×8×42708－7×82＝1.7…3分a ˆ＝y -－b ˆx -＝28.4所以，y 关于x 的线性回归方程是yˆ＝1.7x ＋28.4 …6分 （Ⅱ）∵0.75＜0.97，∴对数回归模型更合适. …9分 当x ＝8万元时，预测A 超市销售额为47.2万元．…12分（19）解：（Ⅰ）连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中 点，又∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1，又BC 1⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ， 故MN ∥平面BB 1C 1C ． …4分 （Ⅱ）由A 1A ⊥平面ABC ，得AC ⊥CC 1，BC ⊥CC 1． 以C 为原点，分别以CB ，CC 1，CA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设CC 1＝2λ（λ＞0）， 则M (1，0，1)，N (0，λ，1)，B 1(2，2λ，0)，CM →＝(1，0，1)，MN →＝(－1，λ，0)，NB 1→＝(2，λ，－1)．取平面CMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由CM →·m ＝0，MN →·m ＝0得：⎩⎨⎧x ＋z ＝0，－x ＋λy ＝0，令y ＝1，得m ＝(λ，1，－λ) 同理可得平面B 1MN 的一个法向量为n ＝(λ，1，3λ) …8分∵平面CMN ⊥平面B 1MN ，∴ m ·n ＝λ2＋1－3λ2＝0 解得λ＝22，得n ＝(22，1，322)，又AB →＝(2，0，－2)， 设直线AB 与平面B 1MN 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|n ·AB →||n ||AB →|＝66．所以，直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值是66． …12分（20）解：（Ⅰ）由e 2＝c 2a 2＝ 1 2，得b 2a 2＝ 12，将Q 代入椭圆C 的方程可得b 2＝4，所以a 2＝8，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1．…4分（Ⅱ）当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 方程为：x ＝2或x ＝－2， 从而有|PN |＝23，所以S ＝ 1 2|PN |·|OM |＝ 12×23×22＝26．…5分当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 方程为：y ＝kx ＋m （m ≠0），P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 将PN 的方程代入C 整理得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k 2，…6分y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k 2，由OM →＝OP →＋ON →得：M(－4km 1＋2k 2，2m1＋2k2)， 将M 点坐标代入椭圆C 方程得：m 2＝1＋2k 2．…8分点O 到直线PN 的距离d ＝|m |1＋k 2，|PN |＝1＋k 2|x 1－x 2|，S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝1＋2k 2·|x 1－x 2|＝16k 2－8m 2＋32＝26． 综上，平行四边形OPMN 的面积S 为定值26． …12分 （21）解：（Ⅰ）f '(x )＝cos x ＋1cos 2x－2…2分因为x ∈(－ π 2， π2)，所以cos x ∈(0，1]，于是f '(x )＝cos x ＋1cos 2x －2≥cos 2x ＋1cos 2x－2≥0（等号当且仅当x ＝0时成立）．故函数f (x )在(－ π2， π2)上单调递增． …4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x )在(0， π2)上单调递增，又f (0)＝0，所以f (x )＞0，（ⅰ）当m ≤0时，f (x )＞0≥mx 2成立． …5分 （ⅱ）当m ＞0时，令p (x )＝sin x －x ，则p '(x )＝cos x －1，当x ∈(0，π2)时，p '(x )＜0，p (x )单调递减，又p (0)＝0，所以p (x )＜0， 故x ∈(0，π2)时，sin x ＜x ．（*） …7分由（*）式可得f (x )－mx 2＝sin x ＋tan x －2x －mx 2＜tan x －x －mx 2， 令g (x )＝tan x －x －mx 2，则g '(x )＝tan 2x －2mx由（*）式可得g '(x )＜x 2cos 2x －2mx ＝xcos 2x(x －2m cos 2x )，…9分令h (x )＝x －2m cos 2x ，得h (x )在(0，π2)上单调递增， 又h (0)＜0，h(π2)＞0，所以存在t ∈(0，π2)使得h (t )＝0，即x ∈(0，t )时，h (x )＜0， 所以x ∈(0，t )时，g '(x )＜0，g (x )单调递减，又g (0)＝0，所以g (x )＜0，即x ∈(0，t )时，f (x )－mx 2＜0，与f (x )＞mx 2矛盾． 综上，满足条件的m 的取值范围是(－∞，0]． …12分 （22）解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ代入x 2＋y 2＝1得t 2－4t sin φ＋3＝0（*） 由16sin 2φ－12＞0，得|sin φ|＞32，又0≤φ＜π，所以，φ的取值范围是(π3，2π3)； …5分（Ⅱ）由（*）可知，t 1＋t 22＝2sin φ，代入⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ中，整理得P 1P 2的中点的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝sin 2φ，y ＝－1－cos 2φ(φ为参数， π 3＜φ＜2π3)…10分（23）解：（Ⅰ）1x ＋1y ＝x ＋yxy ＝x 2＋y2xy ≥2xyxy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以1x ＋1y的最小值为2．…5分（Ⅱ）不存在． 因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )， 又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2．从而有(x ＋1)(y ＋1)≤[(x ＋1)＋(y ＋1)2]2＝4，因此不存在x ，y ，满足(x ＋1)(y ＋1)＝5．…10分。

唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =-<，(){}log 1B x y x ==-，则A B = （ ） A.()0,+∞B.()1,2C.()2,+∞D.(),0-∞2.已知i 为虚数单位，()211z i i -=+，则复数z 的共轭复数为（ ）A.1355i --B.1355i +C.1355i -+D.1355i - 3.总体由编号为01，02，03，…，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的4个个体的编号为（ ） A.05B.09C.11D.204.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y +=，则C 的离心率为（ ）C.25.执行下图程序框图，若输出4y =，则输入的x 为（ ）A.3-或2-或1B.2-C.2-或1D.16.数列{}n a 是首项11a =，对于任意*,m n N ∈，有3n m n a a m +=+，则{}n a 前5项和5S =（ ） A.121 B.25 C.31D.357.某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为（ ）A.4B.8C.43D.838.函数()()11x xe f x x e +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）ABCD9.若()92901291x a a x a x a x -=++++…，则1239a a a a ++++=…（ ）A.1B.513C.512D.51110.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）在[]0,π内的值域为⎡-⎢⎣⎦，则ω的取值范围是（ ） A.35,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.5,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.抛物线2:4C y x =的焦点为F ，N 为准线上一点，M 为y 轴上一点，MNF ∠为直角，若线段MF 的中点E 在抛物线C 上，则MNF △的面积为（ ）D.12.已知函数()32f x x ax bx =++有两个极值点12,x x ，且12x x <，若10223x x x +=，函数()()()0g x f x f x =-，则()g x （ ） A.恰有一个零点 B.恰有两个零点 C.恰有三个零点D.至多两个零点第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知向量()3,1=-a ，()2,1=b ，则a 在b 方向上的投影为 ．14.直线ABC △的三个顶点都在球O 的球面上，2AB AC ==，若三棱锥O ABC -的体积为2，则该球的表面积为 ．15.已知变量,x y 满足约束条件102100x y x y x y a -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2z x y =+的最小值为5-，则实数a = .16.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()*2142n n n S a n N -+=-∈，则na= ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC-=.a b b C△中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，cos（1）求证：sin tan=；C B（2）若1a=，C为锐角，求c的取值范围.18.某学校用简单随机抽样方法抽取了100名同学，对其日均课外阅读时间（单位：分钟）进行调查，结果如下：若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”.（1）将频率视为概率，估计该校4000名学生中“读书迷”有多少人？（2）从已抽取的8名“读书迷”中随机抽取4位同学参加读书日宣传活动.（i）求抽取的4位同学中既有男同学又有女同学的概率；（ii）记抽取的“读书迷”中男生人数为X，求X的分布列和数学期望.19.如图，平行四边形ABCD中，24∠=︒，PA ADABC==，60BC AB⊥，E，F分别为BC，PE的中点，AF⊥平面PED.（1）求证：PA⊥平面ABCD；（2）求直线BF与平面AFD所成角的正弦值.20.已知椭圆()2222:10x y a b a b Γ+=>>经过点12E ⎫⎪⎭.（1）求椭圆Γ的方程；（2）直线l 与圆222:O x y b +=相切于点M ，且与椭圆Γ相交于不同的两点A ，B ，求AB 的最大值.21.已知函数()()2ln 1f x x ax =++，0a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 在区间()1,0-有唯一零点0x ，证明：2101e x e --<+<.22.点P 是曲线()221:24C x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90︒得到点Q ，设点Q 的轨迹方程为曲线2C .（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）射线()03πθρ=>与曲线1C ，2C 分别交于A ，B 两点，定点()2,0M ，求MAB △的面积.23.已知函数()21f x x a x =++-. （1）若1a =，解不等式()5f x ≤；（2）当0a ≠时，()1g a f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求满足()4g a ≤的a 的取值范围.唐山市2016—2017学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：BACCD DBDAC BA 二．填空题：（13 （14）44π （15）3- （16）12n n -三．解答题： （17）解：（Ⅰ）由cos a b b C -=根据正弦定理得sin sin sin cos A B B C -=， 即()sin sin sin cos B C B B C +=+，sin cos cos sin sin sin cos B C B C B B C +=+， sin cos sin C B B =，得sin tan C B =．（Ⅱ）由余弦定理得()222222cos 4428c a b ab C b b b =+-=+-=+-， 由cos a b b C -=知21cos 1cos a b C C==++， 由C 为锐角，得0cos 1C <<，所以12b <<. 从而有218c <<.所以c 的取值范围是(1,. （18）解：（Ⅰ）设该校4000名学生中“读书迷”有x 人，则81004000x=，解得320x =. 所以该校4000名学生中“读书迷”约有320人.（Ⅱ）（ⅰ）抽取的4名同学既有男同学，又有女同学的概率： 454813114C P C =-=.（ⅱ）X 可取0，1，2，3.()45481014C P X C ===，()133548317C C P X C ===， ()223548327C C P X C ===，()3155481314C C P X C ===， X 的分布列为：()1331301231477142E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. （19）解：（1）连接AE ，因为AF ⊥平面PED ，ED ⊂平面PED ，所以AF ED ⊥，PF EDCBA在平行四边形ABCD 中，24BC AB ==，60ABC ∠=︒， 所以2AE =，ED = 从而有222AE ED AD +=， 所以AE ED ⊥， 又因为AF AE A = ，所以ED ⊥平面PAE ，PA ⊂平面PAE ， 从而有ED PA ⊥，又因为PA AD ⊥，AD ED D = ， 所以PA ⊥平面ABCD .（2）以E 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,2,0A，()D，()B ， 因为AF ⊥平面PED ，所以AF PE ⊥， 又因为F 为PE 中点，所以2PA AE ==， 所以()0,2,2P ，()0,1,1F ，()0,1,1AF =-，()2,0AD =-，)BF =，设平面AFD 的法向量为(),,n x y z =， 由0AF n ⋅= ，0AD n ⋅=得，020y z y -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令1x =，得(n =.设直线BF 与平面AFD 所成的角为θ，则：sin cos ,BF n BF n BF n θ⋅=<>=== ， 即直线BF 与平面AFD. （20）解：（Ⅰ）由已知可得223114a b+=，=，解得2a =，1b =， 所以椭圆Γ的方程为2214x y +=．（Ⅱ）当直线l 垂直于x 轴时，由直线l 与圆O ：221x y +=相切，可知直线l 的方程为1x =±，易求AB =当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y kx m =+，由直线l 与圆22:1O x y +=1=，即221m k =+，将y kx m =+代入2214x y +=，整理得()222148440k x kmx m +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122814kmx x k -+=+，21224414m x x k -=+，12AB x =-== 又因为221m k =+，所以()222231214k k AB k ++=≤=+，k =时等号成立， 综上所述，AB 的最大值为2. （21）解：（Ⅰ）()21221'211ax ax f x ax x x ++=+=++，1x >-， 令()2221g x ax ax =++，()24842a a a a ∆=-=-， 若0∆<，即02a <<，则()0g x >，当()1,x ∈-+∞时，()'0f x >，()f x 单调递增，若0∆=，即2a =，则()0g x ≥，仅当12x =-时，等号成立，当()1,x ∈-+∞时，()'0f x ≥，()f x 单调递增.若0∆>，即2a >，则()g x 有两个零点1x =，2x =由()()1010g g -==>，102g ⎛⎫-< ⎪⎝⎭得121102x x -<<-<<，当()11,x x ∈-时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增； 当()12,x x x ∈时，()0g x <，()'0f x <，()f x 单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()0g x >，()'0f x >，()f x 单调递增. 综上所述，当02a <≤时，()f x 在()1,-+∞上单调递增；当2a >时，()f x在⎛ - ⎝⎭和⎫⎪+∞⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）由（1）及()00f =可知：仅当极大值等于零，即()10f x =时，符合要求. 此时，1x 就是函数()f x 在区间()1,0-的唯一零点0x .所以2002210ax ax ++=，从而有()00121a x x =-+，又因为()()2000ln 10f x x ax =++=，所以()()00ln 1021x x x +-=+，令01x t +=，则1ln 02t t t--=， 设()11ln 22h t t t =+-，则()221'2t h t t -=， 再由（1）知：102t <<，()'0h t <，()h t 单调递减， 又因为()22502e h e --=>，()1302e h e --=<， 所以21e t e --<<，即2101e x e --<+<. （22）解：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．设(),Q ρθ，则,2P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（Ⅱ）M 到射线3πθ=的距离为2sin 3d π=)4sin cos 2133B A AB ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则132S AB d =⨯= （23）解：（Ⅰ）()21f x x x =++-, 所以表示数轴上的点x 到2-和1的距离之和， 因为3x =-或2时()5f x =， 依据绝对值的几何意义可得()5f x ≤的解集为{}32x x -≤≤． （Ⅱ）()1121g a a a a=++-， 当0a <时，()2215g a a a=--+≥，等号当且仅当1a =-时成立，所以()4g a ≤无解； 当01a <≤时，()221g a a a=+-， 由()4g a ≤得22520a a -+≤，解得122a ≤≤，又因为01a <≤，所以112a ≤≤； 当1a >时，()214g a a =+≤，解得312a <≤， 综上，a 的取值范围是13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。

2016年河北省唐山市高考数学三模试卷（理科）一、选择题。

本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一个符合题目要求。

1．（5分）集合A={1，2，3，4}，B={x∈N*|x2﹣3x﹣4＜0}，则A∪B=（）A．{1，2，3}B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4}D．（﹣1，4] 2．（5分）以下三个命题中，真命题有（）①若数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为4；②对分类变量x与y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“x与y有关系”的把握程度越大；③已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1．A．①②B．②③C．①③D．①②③3．（5分）若复数z满足2z﹣=（i为虚数单位），则|z|=（）A．B．5 C． D．134．（5分）圆x2+（y﹣m）2=5与双曲线x2﹣=1的渐近线相切，则正实数m=（）A．5 B．1 C．5 D．5．（5分）若向量，满足||=2||=2，|﹣4|=2，则在方向上的投影为（）A．B．C．1 D．﹣16．（5分）执行如图的程序框图，若输出的y值为5，则判断框中可填入的条件是（）A．i＜3 B．i＜4 C．i＜5 D．i＜67．（5分）等差数列{a n}的各项均为正值，若a3+2a6=6，则a4a6的最大值为（）A．1 B．2 C．4 D．68．（5分）若变量x，y满足则x2+y2的最小值为（）A．B．C．D．59．（5分）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则f （π）=（）A．B．﹣C．1 D．﹣110．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）设抛物线C：x2=4y的焦点为F，斜率为k的直线l经过点F，若抛物线C上存在四个点到直线l的距离为2，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．（﹣，）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）12．（5分）在数列{a n}中，a1=1，且a n a n+1+（a n﹣a n+1）+1=0，则a2016=（）A．1 B．﹣1 C．2+D．2﹣二、填空题.本大题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省唐山市2017届高三数学第二次模拟考试试题文（扫描版）唐山市2016—2017学年度高三年级第二次模拟考试文科数学参考答案一．选择题：A 卷：CCBBD CADBA DAB 卷：BCBCD CADCA DA 二．填空题： （13）(－1,1] （14）1（15）532（16） 1 2三．解答题：（17）解：（Ⅰ）设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q （q ＞0），则⎩⎨⎧(1＋2d )q ＝14，(1＋2d )－q ＝5，…2分解得：⎩⎨⎧d ＝3，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－ 32，q ＝－7（舍）． …4分 所以a n ＝3n －2，b n ＝2n －1．…6分（Ⅱ）S n ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )＝n (1＋3n －2)2＋1－2n1－2…10分 ＝3n 2－n 2＋2n －1．…12分（18）解：（Ⅰ）设抽取的100名学生中大一 学生有x 人，则x2400＝1008000， 解得，x ＝30，所以抽取的100名学生中大一学生有30人. …4分（Ⅱ）频率分布直方图如右上图所示．…8分（Ⅲ）t －＝1×0.050×2＋3×0.200×2＋5×0.125×2＋7×0.100×2＋9×0.025×2 ＝4.4．所以该校大学生每周使用共享单车的平均时间大约为4.4小时． …12分（19）解：（Ⅰ）当BM ＝3时，有EM ∥平面PCD ． 取PD 中点F ，连接EF ,CF ， ∵E ，F 分别为PA ，PD 的中点，∴EF ∥AD ，且EF ＝ 12AD ＝1.又∵梯形ABCD 中，CM ∥AD ，且CM ＝1， ∴EF ∥CM ，且EF ＝CM ，∴四边形EMCF 为平行四边形．∴EM ∥FC ．又∵EM ⊄平面PCD ，FC ⊂平面PCD ，∴EM ∥平面PCD ． 即当BM =3时， EM ∥平面PCD ． …6分 （Ⅱ）∵E 为PA 的中点，∴点P 到平面DEM 的距离等于点A 到平面DEM 的距离，设点P 到平面DEM 的距离为d ， …8分 由已知可得，AM ＝MD ＝ED ＝5，EM ＝6， ∴S △AMD ＝2，S △DEM ＝212，…10分由V A －DEM ＝V E －AMD 得， 1 3S △DEM ·d ＝ 13S △AMD ·EA ，∴d ＝S △AMD ·EA S △DEM ＝42121， 所以点P 到平面DEM 的距离为42121．…12分（20）解：（Ⅰ）设C (x ，y )（y ≠0），因为B 在x 轴上且BC 中点在y 轴上，所以B (－x ，0)，由|AB |＝|AC |得，(x ＋1)2＝(x －1)2＋y 2，化简得，y 2＝4x ．所以C 点的轨迹Γ的方程为y 2＝4x （y ≠0）． …4分 （Ⅱ）直线l 的斜率显然存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx －2，M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝kx －2，得ky 2－4y －8＝0， …6分 y 1＋y 2＝ 4 k ，y 1y 2＝－ 8k． …8分k MQ ＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2，同理k NQ ＝4y 2＋2．k MQ ·k NQ ＝4y 1＋2·4y 2＋2＝16y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋4＝4．所以Q (1，2)与M ，N 两点连线的斜率之积为定值4．…1 （21）解：（Ⅰ）f '(x )＝ 1 x － ax2，…1分设f (x )的图象与x 轴相切于点(x 0，0)， 则⎩⎨⎧f (x 0)＝0，f '(x 0)＝0，即⎩⎨⎧ln x 0＋ ax 0－1＝0，1 x 0－ a x 20＝0，解得，a ＝x 0＝1． 所以，f (x )＝l n x ＋1x－1． …3分f (x )≤(x －1)2x等价于ln x ≤x －1．设h (x )＝ln x －x ＋1，则h '(x )＝1x－1，当0＜x ＜1时，h '(x )＞0，h (x )单调递增； 当x ＞1时，h '(x )＜0，h (x )单调递减； 所以h (x )≤h (1)＝0． 即ln x ≤x －1，（*） 所以，f (x )≤(x －1)2x．…6分（Ⅱ）设g (x )＝(b －1)log b x －x 2－12，g '(x )＝b －1x ln b －x ＝(－ln b )x 2＋b －1x ln b．由g '(x )＝0得，x 0＝b －1ln b． …8分由（*）式可得，当x ＞1时，ln x ＜x －1，即x －1ln x ＞1；以 1 x 代换x 可得：ln 1 x ＜ 1x －1，有ln x ＞x －1x ，即x －1ln x＜x ． 所以当b ＞1时，有1＜x 0＜b ． …10分 当1＜x ＜x 0时，g '(x )＞0，g (x )单调递增； 当x 0＜x ＜b 时，g '(x )＜0，g (x )单调递减． 又因为g (1)＝g (b )＝0，所以g (x )＞0．即(b －1)log b x ＞x 2－12． …12分（22）解：（Ⅰ）曲线C 1的普通方程为：3x －y －3＝0；…2分 曲线C 2的直角坐标方程为：x23＋y 2＝1．…5分 （Ⅱ）将直线C 1的参数方程代入C 2的直角坐标方程整理得：5t 2＋2t －4＝0，…7分t 1＋t 2＝－ 25．由t 的几何意义可知，||MA |－|MB ||＝|t 1＋t 2|＝ 25．…10分（23）解：（Ⅰ）f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥1，2，－1＜x ＜1，－2x ，x ≤－1．…2分由f (x )的单调性及f (x )＝4得，x ＞2或x ＜－2．所以不等式f (x )＞4的解集为P ＝{x |x ＞2或x ＜－2}．…5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，|m |＞2，|n |＞2．所以m 2＞4，n 2＞4．(mn ＋4)2－4(m ＋n )2＝(m 2－4)(n 2－4)＞0，所以(mn ＋4)2＞4(m ＋n )2，从而有|mn ＋4|＞2|m ＋n |． …10分。

开滦二中2016～2017学年第一学期高二年级12月考试理科数学试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（2）页，第Ⅱ卷第（3）页至第（6）页。

本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 共12小题，每小题5分，共60分）1．若点1)a （，到直线1y x =+的距离是2，则实数a 为（ ） A ．﹣1 B ．5 C ．﹣1或5 D ．﹣3或32．直线1:2(1)20l x a y ++-=，直线2:10l ax y +-=，若1l 平行于2l ，则实数a 的 值是（ ）A ．1 B ．-2 C ．﹣2或1 D ．﹣3或33．与椭圆1422=+y x 有相同的两焦点且过点(2,1)Q 的双曲线方程是（ ） A. 1422=-y x B. 1222=-y x C. 13322=-y x D. 1222=-y x 4. 扇形的半径为3，中心角为 120，把这个扇形折成一个圆锥，则这个圆锥的体积为（ ）A.πB.32 C. 322 D.π322 22121125| 4.P =92x y =∠、若椭圆+=1的焦点为F ,F ，点P 在椭圆上，且|PF 则F F （ ） A 30 ： B 60 ： C 120 ： D 150 ：6．直线()13y k x -=-被圆()()22224x y -+-=所截得的最短弦长等于（ ） A．B ．C．D22122212127C 1(0)F F P C PF PF PF F =30C x y a b a b+=>>⊥∠ 、设椭圆：的左右焦点分别为，，是上的点，且，，则的离心率（ ）11-1D.28．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）10.3A 8B.3 7C.3D ．2 2212121,F ,M 4x y MF MF +=∙ 9.已知椭圆的左右焦点分别为F 点在该椭圆上，且=0,则点M 到y 轴的距离为（ ）A2210.369x y 已知椭圆+=1以及椭圆内一点P(4,2),则以P 为中点的弦所在直线的斜率为（）1.2A 1B.2- C ．﹣2 D ．2 11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥底面ABCD ，AD=1,点E 是棱PB 的中点．则二面角B ﹣EC ﹣D 的平面角的余弦值为（ ）A．3 B．3-C．3- D ．312．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点)0)(0,(>-c c F ，过点F 作圆：4222b y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若EP FE =，则双曲线的离心率为（ ）A.10 B. 5 C. 210 D. 25。

2016年河北省唐山市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．数z满足（1+z）（1+2i）=i，则复平面内表示复数z的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知a，b为实数，则“a3＜b3”是“2a＜2b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为，两个路口连续遇到红灯的概率为，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为（）A．B．C．D．4．执行如图的程序框图，若输入M的值为1，则输出的S=（）A．6 B．12 C．14 D．205．在?ABCD中，AB=2AD=4，∠BAD=60°，E为BC的中点，则?=（）A．6 B．12 C．﹣6 D．﹣126．设椭圆C：y2+=1（0＜m＜1）的两焦点分别为F1，F2，若在椭圆C上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是（）A．[，1）B．（0，] C．[，1）D．（0，]7．函数f（x）=cos（x+）+2sin sin（x+）的最大值是（）A．1 B．sin C．2sin D．8．曲线y=和x2+y2=2及x轴所围成的封闭图形的面积是（）A．B．C．D．9．5名大学生为唐山世界园艺博览会的3个场馆提供翻译服务，每个场馆分配一名或两名大学生，则不同的分配方法有（）A．90种B．180种 C．270种 D．360种10．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，该四棱锥被一平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=x在[0，1）上的最大值为m，在（1，2]上的最小值为n，则m+n=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．212．在等边△ABC中，M为△ABC内一动点，∠BMC=120°，则的最小值是（）A．1 B．C． D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．设双曲线的焦点在x轴上，两条渐近线方程为y=±x，则离心率e 为．14．若实数x，y满足，则z=3x+4y的最大值是．15．已知AB是球O的直径，C，D为球面上两动点，AB⊥CD，若四面体ABCD 体积的最大值为9，则球O的表面积为．16．当x∈[﹣1，+∞）时，不等式x3﹣ax2﹣4x+8≥0恒成立，则a的取值范围是．三、简答题：本大题共70分。

唐山市2016—2017学年度高三年级第一次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：DBACA BACBA DCB 卷：DBCAA BABCA DC 二．填空题： （13）－2 （14） 12（15）2或6 （16）(3，41)三．解答题： （17）解：（Ⅰ）由已知B ＝5π6，a 2＋b 2＝6ab 结合正弦定理得： 4sin 2A －26sin A ＋1＝0，于是sin A ＝6±24．…4分 因为0＜A ＜ π 6，所以sin A ＜ 12，取sin A ＝6－24…6分（Ⅱ）由题意可知S △ABC ＝ 1 2ab sin C ＝312c 2，得：1 2ab sin C ＝312(a 2＋b 2－2ab cos C )＝312(4ab －2ab cos C )．从而有：3sin C ＋cos C ＝2，即sin (C ＋ π6)＝1又 π 6＜C ＋ π 6＜7π6，所以，C ＝ π3． …12分（18）解：（Ⅰ）b ˆ＝ni＝1∑x i y i －n ·x -y-n i ＝1∑x 2i －nx-2＝2794－7×8×42708－7×82＝1.7 …3分a ˆ＝y -－b ˆx -＝28.4所以，y 关于x 的线性回归方程是yˆ＝1.7x ＋28.4 …6分 （Ⅱ）∵0.75＜0.97，∴对数回归模型更合适. …9分 当x ＝8万元时，预测A 超市销售额为47.2万元．…12分（19）解：（Ⅰ）连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中 点，又∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1，又BC 1⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ， 故MN ∥平面BB 1C 1C ． …4分 （Ⅱ）由A 1A ⊥平面ABC ，得AC ⊥CC 1，BC ⊥CC 1． 以C 为原点，分别以CB ，CC 1，CA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设CC 1＝2λ（λ＞0）， 则M (1，0，1)，N (0，λ，1)，B 1(2，2λ，0)，CM →＝(1，0，1)，MN →＝(－1，λ，0)，NB 1→＝(2，λ，－1)．取平面CMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由CM →·m ＝0，MN →·m ＝0得：⎩⎨⎧x ＋z ＝0，－x ＋λy ＝0，令y ＝1，得m ＝(λ，1，－λ) 同理可得平面B 1MN 的一个法向量为n ＝(λ，1，3λ) …8分∵平面CMN ⊥平面B 1MN ，∴ m ·n ＝λ2＋1－3λ2＝0解得λ＝22，得n ＝(22，1，322)，又AB →＝(2，0，－2)，设直线AB 与平面B 1MN 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|n ·AB →||n ||AB →|＝66．所以，直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值是66． …12分（20）解：（Ⅰ）由e 2＝c 2a 2＝ 1 2，得b 2a 2＝ 12，将Q 代入椭圆C 的方程可得b 2＝4，所以a 2＝8，故椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1．…4分（Ⅱ）当直线PN 的斜率k 不存在时，PN 方程为：x ＝2或x ＝－2， 从而有|PN |＝23，所以S ＝ 1 2|PN |·|OM |＝ 12×23×22＝26．…5分当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 方程为：y ＝kx ＋m （m ≠0），P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 将PN 的方程代入C 整理得：(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－8＝0， 所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2－81＋2k 2，…6分y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝2m1＋2k 2，由OM →＝OP →＋ON →得：M(－4km 1＋2k 2，2m1＋2k2)， 将M 点坐标代入椭圆C 方程得：m 2＝1＋2k 2．…8分点O 到直线PN 的距离d ＝|m |1＋k 2，|PN |＝1＋k 2|x 1－x 2|，S ＝d ·|PN |＝|m |·|x 1－x 2|＝1＋2k 2·|x 1－x 2|＝16k 2－8m 2＋32＝26． 综上，平行四边形OPMN 的面积S 为定值26． …12分 （21）解：（Ⅰ）f '(x )＝cos x ＋1cos 2x －2…2分因为x ∈(－ π 2， π2)，所以cos x ∈(0，1]，于是f '(x )＝cos x ＋1cos 2x －2≥cos 2x ＋1cos 2x －2≥0（等号当且仅当x ＝0时成立）． 故函数f (x )在(－ π2， π2)上单调递增．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得f (x )在(0， π2)上单调递增，又f (0)＝0，所以f (x )＞0，（ⅰ）当m ≤0时，f (x )＞0≥mx 2成立． …5分（ⅱ）当m ＞0时，令p (x )＝sin x －x ，则p '(x )＝cos x －1，当x ∈(0， π2)时，p '(x )＜0，p (x )单调递减，又p (0)＝0，所以p (x )＜0，故x ∈(0，π2)时，sin x ＜x ．（*）…7分由（*）式可得f (x )－mx 2＝sin x ＋tan x －2x －mx 2＜tan x －x －mx 2， 令g (x )＝tan x －x －mx 2，则g '(x )＝tan 2x －2mx由（*）式可得g '(x )＜x 2cos 2x －2mx ＝xcos 2x (x －2m cos 2x )，…9分令h (x )＝x －2m cos 2x ，得h (x )在(0， π2)上单调递增，又h (0)＜0，h (π 2)＞0，所以存在t ∈(0， π2)使得h (t )＝0，即x ∈(0，t )时，h (x )＜0，所以x ∈(0，t )时，g '(x )＜0，g (x )单调递减，又g (0)＝0，所以g (x )＜0， 即x ∈(0，t )时，f (x )－mx 2＜0，与f (x )＞mx 2矛盾． 综上，满足条件的m 的取值范围是(－∞，0]． …12分 （22）解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，将⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ代入x 2＋y 2＝1得t 2－4t sin φ＋3＝0（*） 由16sin 2φ－12＞0，得|sin φ|＞32，又0≤φ＜π，所以，φ的取值范围是(π3，2π3)； …5分（Ⅱ）由（*）可知，t 1＋t 22＝2sin φ，代入⎩⎨⎧x ＝t cos φ，y ＝－2＋t sin φ中，整理得P 1P 2的中点的轨迹方程为⎩⎨⎧x ＝sin 2φ，y ＝－1－cos 2φ(φ为参数， π 3＜φ＜2π3)…10分 （23）解：（Ⅰ）1x ＋1y ＝x ＋yxy ＝x 2＋y2xy ≥2xyxy ＝2， 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．所以1x ＋1y 的最小值为2． …5分（Ⅱ）不存在． 因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )， 又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2．从而有(x ＋1)(y ＋1)≤[(x ＋1)＋(y ＋1)2]2＝4， 因此不存在x ，y ，满足(x ＋1)(y ＋1)＝5．…10分。

唐山市2017—2018学年度高三年级第二次模拟考试理科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．）A2）A3.”为偶函数的（）A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4.（）A5.）A6. 如下图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则其表面积为（）A．2π B．5π C7. 设{}n a是任意等差数列，它的前列等式中恒成立的是（）AC8.（）A9.（）A10. 下图是某桌球游戏计分程序框图，下列选项中输出数据不符合该程序的为（）A ．15,120i S == BC ．11,88i S == D11. 已知函数()f x ）A ．()()12ef f > B12. 在ABC ∆中，C ∠（ ）A 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）展开式的常数项为 ．（用数字作答）14.所围成的封闭图形的面积为 ．15.的体积为．16.的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设（1的长度；（218.组通过试验得到如下6组数据：得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图：nn（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）残差绝对值大于1.（精确到0.1），. 19. 如图，（1）求证：11CC A B ⊥；（2）若12BC AC AA ==，求1A -20. 已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点.（1（2）的最小值.21.（1（2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程. （1（2值.23．选修4-5：不等式选讲（1（2能否成立，并说明理由.唐山市2017—2018学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A卷：BACDB CDBDC ABB卷：BACDC CDBDB AB二．填空题：（13）15 （14）12（15）1 （16）[2，＋∞)三．解答题： 17．解：（1）由题意可知，AD ＝1．在△ABD 中，∠DAB ＝150°，AB ＝23，AD ＝1，由余弦定理可知，BD 2＝(23)2＋12－2×23×1×(－32)＝19, BD ＝19．（2）由题意可知，AD ＝2cos θ，∠ABD ＝60°－θ， 在△ABD 中，由正弦定理可知，ADsin ∠ABD＝ABsin ∠ADB，即2cos θsin(60°－θ)＝43，整理得tan θ＝233．18．解：（1）应该选择模型①．（2）剔除异常数据，即组号为4的数据，剩下数据的平均数x －＝ 15(18×6－18)＝18；y －＝ 15(12.25×6－13.5)＝12．5i ＝1∑x i y i ＝1283.01－18×13.5＝1040.01；5i ＝1∑x 2i ＝1964.34－182＝1640.34．b ˆ＝ni ＝1∑x i y i －n ·x -y-n i ＝1∑x 2i －nx-2＝1040.01－5×18×121640.34－5×182≈－1.97，a ˆ＝y -－b ˆx -＝12＋1.97×18≈47.5，所以y 关于x 的线性回归方程为：y ˆ＝－2.0x ＋47.5．19．解：（1）因为平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，交线为AC ，又BC ⊥AC ， 所以BC ⊥平面AA 1C 1C ， 因为C 1C 平面AA 1C 1C ， 从而有BC ⊥C 1C ．因为∠A 1CC 1＝90°，所以A 1C ⊥C 1C ， 又因为BC ∩A 1C ＝C ， 所以C 1C ⊥平面A 1BC ，A 1B 平面A 1BC ，所以CC 1⊥A 1B ．（2）如图，以C 为坐标原点，分别以CB →，CA →的方向为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系C -xyz ．由∠A 1CC 1＝90°，AC ＝2AA 1得A 1C ＝AA 1．不妨设BC ＝AC ＝2AA 1＝2，则B (2，0，0)，C 1(0，－1，1)，A (0，2，0)，A 1(0，1，1)，所以A 1C 1→＝(0，－2，0)，BC 1→＝(－2，－1，1)，AB →＝(2，－2，0)，设平面A 1BC 1的一个法向量为m ，由A 1C 1→·m ＝0，BC 1→·m ＝0，可取m ＝(1，0，2)．设平面ABC 1的一个法向量为n ，由BC 1→·n ＝0，AB →·n ＝0，可取n ＝(1，1，3)．cos m ，n ＝m ·n |m ||n |＝75555，又因为二面角A 1-BC 1-A 为锐二面角， 所以二面角A 1-BC 1-A 的余弦值为75555．20．解：（1）设直线l 的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，得y 2－4my －4＝0， y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4．所以k OA ＋k OB ＝4y 1＋4y 2＝4(y 1＋y 2)y 1y 2＝－4m ＝4．所以m ＝－1，所以l 的方程为x ＋y －1＝0．（2）由（1）可知，m ≠0，C (0，－1m)，D (2m 2＋1，2m )．则直线MN 的方程为y －2m ＝－m (x －2m 2－1)，则M (2m 2＋3，0)，N (0，2m 3＋3m )，F (1，0)，S △NDC ＝ 12·|NC |·|x D |＝ 1 2·|2m 3＋3m ＋ 1m |·(2m 2＋1)＝(m 2＋1)(2m 2＋1)22|m |，S △FDM ＝ 12·|FM |·|y D |＝ 12·(2m 2＋2)·2|m |＝2|m | (m 2＋1)， 则S △NDC S △FDM ＝(2m 2＋1)24m 2＝m 2＋ 14m2＋1≥2，当且仅当m 2＝ 1 4m 2，即m 2＝ 1 2时取等号．所以，S △NDCS △FDM的最小值为2．其它解法参考答案给分． 21．解：（1）f (x )＝1－ 1x－ln x(x －1)2．令h (x )＝1－1x－ln x ，则h(x )＝1x 2－ 1 x ＝1－xx2，x ＞0，所以0＜x ＜1时，h (x )＞0，h (x )单调递增，又h (1)＝0，所以h (x )＜0， 即f (x )＜0，所以f (x )单调递减．（2）g(x )＝a x ln a ＋axa －1＝a (ax －1ln a ＋x a －1)，当0＜a ≤1 e时，ln a ≤－1，所以a x －1ln a ＋x a －1≤x a －1－a x －1． 由（Ⅰ）得ln x x －1＜ln a a －1，所以(a －1)ln x ＜(x －1)ln a ，即x a －1＜a x －1， 所以g(x )＜0，g (x )在(a ，1)上单调递减，即g (x )＞g (1)＝a ＋1＞1．当1e＜a ＜1时，－1＜ln a ＜0． 令t (x )＝a x－x ln a －1，0＜a ＜x ＜1，则t (x )＝a x ln a －ln a ＝(a x－1)ln a ＞0，所以t (x )在(0，1)上单调递增，即t (x )＞t (0)＝0， 所以a x＞x ln a ＋1．所以g (x )＝a x＋x a＞x a＋x ln a ＋1＝x (xa －1＋ln a )＋1＞x (1＋ln a )＋1＞1．综上，g (x )＞1．22．解：（1）曲线C 1的直角坐标方程为：x 2＋y 2－2y ＝0；曲线C 2的直角坐标方程为：x ＝3．（2）P 的直角坐标为(－1，0)，设直线l 的倾斜角为α，(0＜α＜ π 2)，则直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝－1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，0＜α＜ π2)代入C 1的直角坐标方程整理得，t 2－2(sin α＋cos α)t ＋1＝0， t 1＋t 2＝2(sin α＋cos α)直线l 的参数方程与x ＝3联立解得，t 3＝4cos α，由t 的几何意义可知，|PA |＋|PB |＝2(sin α＋cos α)＝λ|PQ |＝4λcos α，整理得，4λ＝2(sin α＋cos α)cos α＝sin 2α＋cos 2α＋1＝2sin (2α＋ π4)＋1，由0＜α＜ π 2， π 4＜2α＋ π 4＜5π4，所以，当2α＋ π 4＝ π 2，即α＝ π8时，λ有最大值 1 4(2＋1)．23．解：（1）由题意得(a ＋b )2＝3ab ＋1≤3(a ＋b 2)2＋1，当且仅当a ＝b 时，取等号．解得(a ＋b )2≤4，又a ，b ＞0， 所以，a ＋b ≤2．（2）不能成立．ac ＋bd ≤a ＋c 2＋b ＋d2，因为a ＋b ≤2，所以ac ＋bd ≤1＋c ＋d2，因为c ＞0，d ＞0，cd ＞1，所以c ＋d ＝c ＋d 2＋c ＋d 2≥c ＋d2＋cd ＞c ＋d2＋1，故ac ＋bd ＝c ＋d 不能成立．。

河北省唐山市高考数学二模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题 (共14题；共16分)1. （1分） (2017高二上·定州期末) 已知非空集合A、B满足以下四个条件：①A∪B={1，2，3，4，5，6，7}；②A∩B=∅；③A中的元素个数不是A中的元素；④B中的元素个数不是B中的元素．若集合A含有2个元素，则满足条件的A有________个．2. （1分） (2018高二下·赣榆期末) 复数（为虚数单位）的模为________.3. （2分） (2018高三上·杭州期中) 已知随机变量的的分布列为1230.40.20.4则的数学期望为________，的方差为________.4. （1分）(2017·南通模拟) 根据如图所示的伪代码，当输入x的值为e（e为自然对数的底数）时，则输出的y的值为________．5. （1分） (2017高二上·靖江期中) 已知抛物线的方程为y=﹣2x2 ，则它的焦点坐标为________．6. （1分）口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率________．7. （1分）若实数x，y满足，则z=﹣x+y的最小值为________8. （1分） (2018高一上·鹤岗月考) 函数，下列四个命题① 是以为周期的函数② 的图象关于直线对称③当且仅当，取得最小值-1④当且仅当时，正确的是________．（填正确序号）9. （1分）已知函数f(x)=ax3+x+1的图像在点(1, f(1))的处的切线过点(2,7)，则a= ________ .10. （1分）(2017·静安模拟) 直角三角形ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，点M是三角形ABC外接圆上任意一点，则的最大值为________11. （1分） (2019高一上·翁牛特旗月考) 已知是定义在上的奇函数且，当，且时，有，若对所有、恒成立，则实数的取值范围是________.12. （2分）(2016·绍兴模拟) 已知实数a，b，c满足a+b=2c，则直线l：ax﹣by+c=0恒过定点________，该直线被圆x2+y2=9所截得弦长的取值范围为________．13. （1分）在等比数列{an}中，公比q=﹣2，且a3a7=4a4 ，则a8与a11的等差中项为________．14. （1分）(2018·鞍山模拟) 已知函数，函数有三个零点，则实数的取值范围为________．二、解答题 (共8题；共60分)15. （10分） (2019高一下·宿迁期末) 已知，（1）求的值；（2）若，求的值.16. （5分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为等边三角形，AD⊥AB，AD∥BC，平面PAB⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥PA；（Ⅱ）若AD=2BC=2AB=4，求点D到平面PAC的距离．17. （5分）(2017·沈阳模拟) 已知F1 ， F2分别是长轴长为2 的椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左右焦点，A1 ， A2是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于A1 ， A2的一个动点，O为坐标原点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与OM的斜率之积恒为﹣．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N横坐标的取值范围是（﹣，0），求线段AB长的取值范围．18. （5分） (2018高一下·龙岩期中) 为了及时向群众宣传“十九大”党和国家“乡村振兴”战略，需要寻找一个宣讲站，让群众能在最短的时间内到宣讲站．设有三个乡镇，分别位于一个矩形的两个顶点及的中点处，，，现要在该矩形的区域内（含边界），且与等距离的一点处设一个宣讲站，记点到三个乡镇的距离之和为．（Ⅰ）设，将表示为的函数；（Ⅱ）试利用（Ⅰ）的函数关系式确定宣讲站的位置，使宣讲站到三个乡镇的距离之和最小．19. （5分） (2018高二下·海安月考) 如图，公路AM ， AN围成一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2，在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM ， AN的距离分别为3km， km，现要过点P修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园，为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．20. （15分）(2016·上海理) 若无穷数列{an}满足：只要ap=aq（p，q∈N*），必有ap+1=aq+1 ，则称{an}具有性质P．（1）若{an}具有性质P，且a1=1，a2=2，a4=3，a5=2，a6+a7+a8=21，求a3；（2）若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1；b5=c1=81，an=bn+cn，判断{an}是否具有性质P，并说明理由；（3）设{bn}是无穷数列，已知an+1=bn+sinan（n∈N*），求证：“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”．21. （10分） (2017高二下·景德镇期末) 已知实数x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5满足0＜x1＜x2＜x3＜x4＜x5（1）求证不等式x12+x22+x32+x42+x52＞x1x2+x2x3+x3x4+x4x5+x5x1（2）随机变量X取值的概率均为，随机变量Y取值的概率也均为，比较DX与DY大小关系．22. （5分）(2013·江苏理) 已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．参考答案一、填空题 (共14题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共8题；共60分)15-1、15-2、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、。

试卷类型：A唐山市2013—2014学年度高三年级第二次模拟考试理科数学说明：一、本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．第Ⅰ卷为选择题；第Ⅱ卷为非选择题，分为必考和选考两部分．二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案．四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．（1）已知a∈R，若1＋a i2－i为实数，则a＝（A）2 （B）－2 （C）－12（D）12（2）已知命题p：函数y＝e|x－1|的图象关于直线x＝1对称，q：函数y＝cos(2x＋π6)的图象关于点(π6，0)对称，则下列命题中的真命题为（A）p∧q（B）p∧⌝q（C）⌝p∧q（D）⌝p∨⌝q（3）设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则2x＋y的最大值和最小值分别为（A）1，－1 （B）2，－2（C）1，－2 （D）2，－1（4）执行右边的程序框图，若输出的S是2047，则判断框内应填写（A）n≤9？（B）n≤10？（C）n≥10？（D）n≥11?（5）已知sinα＋2cosα＝3，则tanα＝（A）22（B） 2 （C）－22（D）－ 2（6）已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(π2)＝（A）－32（B）－22（C）32（D）22（7）将6名男生，4名女生分成两组，每组5人，参加两项不同的活动，每组3名男生和2名女生，则不同的分配方法有 （A ）240种 （B ）120种 （C ）60种 （D ）180种（8）直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有顶点都在半径为2的球面上，AB ＝AC ＝3，AA 1＝2，则二面角B -AA 1-C 的余弦值为（A ）－ 1 3 （B ）－ 1 2 （C ） 1 3 （D ） 12（9）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 （A ）1136 （B ） 3（C ）533 （D ）433（10）若正数a ，b ，c 满足c 2＋4bc ＋2ac ＋8ab ＝8，则 a ＋2b ＋c 的最小值为 （A ） 3 （B ）2 3 （C ）2 （D ）2 2（11）已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1（a ＞b ＞0）与圆C 2：x 2＋y 2＝b 2，若在椭圆C 1上存在点P ，使得由点P 所作的圆C 2的两条切线互相垂直，则椭圆C 1的离心率的取值范围是（A ）[ 1 2，1) （B ）[22，32] （C ）[22，1) （D ）[32，1)（12）若不等式lg 1x ＋2x ＋…＋(n －1)x ＋(1－a )n xn≥(x －1)lg n 对任意不大于1的实数x 和大于1的正整数n都成立，则a 的取值范围是 （A ）[0，＋∞) （B ）(－∞，0]（C ）[ 1 2，＋∞) （D ）(－∞， 12]第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．（13）商场经营的某种袋装大米质量（单位：kg ）服从正态分布N (10，0.12)，任取一袋大米，质量不足9.8kg的概率为__________．（精确到0.0001）注：P (μ－σ＜x ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜x ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜x ≤μ＋3σ)＝0.9974．（14）已知向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，2)，若a ，b 在向量c 上的投影相等，且(c －a )·(c －b )＝－ 52，则向量c 的坐标为________．（15）已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 23＝1的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝_________．（16）在△ABC 中，角A，B ，C 的对边a ，b ，c 成等差数列，且A －C ＝90 ，则cos B ＝________．俯视图三、解答题：本大题共70分，其中（17）—（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{a n}中，a3＋a10＝15，且a2，a5，a11成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n＝1a n ＋1a n＋1＋…＋1a2n－1，证明：12≤b n＜1．（18）（本小题满分12分）甲向靶子A射击两次，乙向靶子B射击一次．甲每次射击命中靶子的概率为0.8，命中得5分；乙命中靶子的概率为0.5，命中得10分．（Ⅰ）求甲、乙二人共命中一次目标的概率；（Ⅱ）设X为二人得分之和，求X的分布列和期望．（19）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA⊥底面ABCD，BD⊥PC，E是PA的中点．（Ⅰ）求证：平面PAC⊥平面EBD；（Ⅱ）若PA＝AB＝2，直线PB与平面EBD所成角的正弦值为14，求四棱锥P-ABCD的体积．（20）（本小题满分12分）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线与x 轴交于点M ，过点M 作圆C ：(x －2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，|AB |＝423．（Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）过抛物线E 上的点N 作圆C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若P ，Q ，O （O 为原点）三点共线，求点N 的坐标．（21）（本小题满分12分）已知函数f (x )＝x 2－ln x －ax ，a ∈R ．（Ⅰ）若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )＜0，求a 的取值范围；（Ⅱ）若f (x )＝x 有两个不同的实数解u ，v （0＜u ＜v ），证明：f(u ＋v2)＞1． 请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，E 是圆O 内两弦AB 和CD 的交点，过AD 延长线上一点F 作圆O 的切线FG ，G 为切点，已知EF ＝FG ．求证：（Ⅰ）△DEF ∽△EAF ； （Ⅱ）EF ∥CB ．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程长为3的线段两端点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴的正半轴上滑动，BP →＝2PA →，点P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）以直线AB 的倾斜角α为参数，求曲线C 的参数方程； （Ⅱ）求点P 到点D (0，－2)距离的最大值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f (x )＝|x －a |－|x ＋3|，a ∈R ． （Ⅰ）当a ＝－1时，解不等式f (x )≤1；（Ⅱ）若当x ∈[0，3]时，f (x )≤4，求a 的取值范围．唐山市2013—2014学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：CABAA BBDCD CDB 卷：DBBAABADCD DC 二、填空题：（13）0.0228（14）(12，32)（15）1 4（16）3 4三、解答题： （17）解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ．由已知得 ⎩⎨⎧a 1＋2d ＋a 1＋9d ＝15，(a 1＋4d )2＝(a 1＋d )(a 1＋10d )． 注意到d ≠0，解得a 1＝2，d ＝1． 所以a n ＝n ＋1． …4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2，因为b n ＋1－b n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＞0，所以数列{b n }单调递增． …8分b n ≥b 1＝ 12． …9分又b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝nn ＋1＜1，因此 12≤b n ＜1． …12分（18）解：（Ⅰ）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A ，则P (A )＝C 120.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18． …4分 （Ⅱ）X 的可能取值为0，5，10，15，20． P (X ＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P (X ＝5)＝C 120.8×0.2×0.5＝0.16，P (X ＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P (X ＝15)＝C 120.8×0.2×0.5＝0.16，P (X ＝20)＝0.82×0.5＝0.32． X 的分布列为…10分X 的期望为E (X )＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13．…12分（19）解：（Ⅰ）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥BD ． 又BD ⊥PC ，所以BD ⊥平面P AC ，因为BD ⊂平面EBD ，所以平面P AC ⊥平面EBD ．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD ⊥AC ，所以ABCD 是菱形，BC ＝AB ＝2． …5分 设AC ∩BD ＝O ，建立如图所示的坐标系O -xyz ，设OB ＝b ，OC ＝c ， 则P (0，－c ，2)，B (b ，0，0)，E (0，－c ，1)，C (0，c ，0)．PB →＝(b ，c ，－2)，OB →＝(b ，0，0)，OE →＝(0，－c ，1)．设n ＝(x ，y ，z )是面EBD 的一个法向量，则n ·OB →＝n ·OE →＝0， 即⎩⎨⎧bx ＝0，－cy ＋z ＝0，取n ＝(0，1，c )． …8分 依题意，BC ＝b 2＋c 2＝2． ① 记直线PB 与平面EBD 所成的角为θ，由已知条件sin θ＝|n ·PB →|__________|n |·|PB →|＝c (1＋c 2)(b 2＋c 2＋22)＝ 14． ② 解得b ＝3，c ＝1．…10分所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝ 1 3×2OB ·OC ·PA ＝ 1 3×23×1×2＝433．…12分（20）解：（Ⅰ）由已知得M (－ p2，0)，C (2，0)．设AB 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|AR |＝223．于是|CR |＝|AC |2－|AR |2＝ 1 3，所以|CM |＝|AC |sin ∠AMC ＝|AC |sin ∠CAR ＝3，即2＋ p2＝3，p ＝2．故抛物线E 的方程为y 2＝4x ．…5分（Ⅱ）设N (s ，t )．P ，Q 是NC 为直径的圆D 与圆C 的两交点．圆D 方程为(x －s ＋22)2＋(y － t2)2＝(s －2)2＋t 24，即x 2＋y 2－(s ＋2)x －ty ＋2s ＝0． ①又圆C 方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0． ② ②－①得(s －2)x ＋ty ＋3－2s ＝0． ③ …9分 P ，Q 两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ 的方程．因为直线PQ 经过点O ，所以3－2s ＝0，s ＝ 32．故点N 坐标为( 3 2，6)或( 32，－6)． …12分（21）解：（Ⅰ）当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＜0等价于x －ln xx＜a ．令g (x )＝x －ln xx ，则g '(x )＝x 2－1＋ln x x 2．当x ∈(0，1)时，g '(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，g '(x )＞0． g (x )有最小值g (1)＝1． …4分 故a 的取值范围是(1，＋∞)． …5分（Ⅱ）因f (x )＝x ，即x 2－ln x ＝(a ＋1)x 有两个不同的实数解u ，v ． 故u 2－ln u ＝(a ＋1)u ，v 2－ln v ＝(a ＋1)v ．于是(u ＋v )(u －v )－(ln u －ln v )＝(a ＋1)(u －v )． …7分由u －v ＜0解得a ＝u ＋v －ln u －ln vu －v－1．又f '(x )＝2x － 1x－a ，所以f '(u ＋v 2)＝(u ＋v )－2u ＋v －(u ＋v )＋ln u －ln v u －v ＋1＝ln u －ln v u －v －2u ＋v＋1． …9分设h (u )＝ln u －ln v －2(u －v )u ＋v u ∈(0，v )时，h '(u )＝(u －v )2u (u ＋v )2＞0，h (u )在(0，v )单调递增，h (u )＜h (v )＝0， 从而ln u －ln v u －v －2u ＋v ＞0，因此f '(u ＋v 2)＞1． 12分（22）解：（Ⅰ）由切割线定理得FG 2＝F A ·FD ．又EF ＝FG ，所以EF 2＝FA ·FD ，即EF FA ＝FDEF．因为∠EFA ＝∠DFE ，所以△FED ∽△EAF ． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED ＝∠FAE ． 因为∠FAE ＝∠DAB ＝∠DCB ，所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB ．…10分（23）解：（Ⅰ）设P (x ，y )，由题设可知，则x ＝2 3|AB |cos(π－α)＝－2cos α，y ＝ 13|AB |sin(π－α)＝sin α， 所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2cos α，y ＝sin α（α为参数，90︒＜α＜180︒）． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4＝－3sin 2α＋4sin α＋8＝－3(sin α－ 2 3)2＋283．当sin α＝ 2 3时，|PD |取最大值2213． …10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝－1时，不等式为|x ＋1|－|x ＋3|≤1．当x ≤－3时，不等式化为－(x ＋1)＋(x ＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x ＜－1时，不等式化为－(x ＋1)－(x ＋3)≤1，解得－ 52≤x ＜－1；当x ≥－1时，不等式化为(x ＋1)－(x ＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为[－ 52，＋∞)． …5分（Ⅱ）当x ∈[0，3]时，f (x )≤4即|x －a |≤x ＋7， 由此得a ≥－7且a ≤2x ＋7．当x ∈[0，3]时，2x ＋7的最小值为7， 所以a 的取值范围是[－7，7]． …10分。

2016-2017学年##省##市高三年级第二次模拟考试数学〔理〕试题一、选择题1．已知集合{|3}A x N x =∈<,{|,,}B x x a b a A b A ==-∈∈,则A B ⋂=〔 〕 A. {}1,2 B. {}2,1,1,2-- C. {}1 D. {}0,1,2 [答案]D [解析]由{|3}A x N x =∈<,{|,,}B x x a b a A b A ==-∈∈,得{}0,1,2A =,{}2,1,0,1,2B =--则{}0,1,2A B ⋂=,故选D. 2．设复数z 满足1132z i z +=--,则z =〔 〕A. 5B.C. 2D. [答案]B[解析]由1132z i z +=--,得1236z z zi i +=--+,即2z i =+,则z =故选B. 3．如图是八位同学400米测试成绩的茎叶图〔单位：秒〕,则〔 〕 A. 平均数为64 B. 众数为7 C. 极差为17 D. 中位数为64.5[答案]D[解析]由茎叶图可知：该组数据为58,59,61,62,67,67,70,76,平均数为5859616267677076658+++++++=,众数为67,极差为765818-=,中位数为626764.52+=,故选D.4．"2560x x +->"是"2x >"的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 [答案]B[解析]由2560x x +->得{16}x x x <-或,{}2{16}x x x x x ⊆<-或,故"2560x x +->"是"2x >"的必要不充分条件,故选B.5．一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积为〔 〕 A. 24π- B. 243π- C. 24π+ D. 242π- [答案]A[解析]由三视图可知：该几何体是以2为边长正方体从右下前方挖去18个球,该球以顶点为球心,2为半径,则该几何体的表面积为221122632422448πππ⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=-,故选A.6．已知双曲线过点()2,3,渐进线方程为y =,则双曲线的标准方程是〔 〕A.22711612x y -= B. 22132y x -= C. 2213y x -= D. 22312323y x -= [答案]C[解析]∵双曲线渐进线方程为y =,故可设双曲线方程为223y x λ-=, ∵双曲线过点()2,3,则343λ-=,即1λ=,故双曲线的标准方程是2213y x -=, 故选C. 7．函数21xy x -=+,(],x m n ∈的最小值为0,则m 的取值范围是〔 〕 A. ()1,2 B. ()1,2- C. [)1,2 D. [)1,2- [答案]D[解析]因为()23111x f x y x x -===-+++在()1,-+∞上单调递减,且()20f =,所以2,12n m =-≤<；故选D.8．执行如图所示的程序框图,若输入的5n =,则输出的结果为〔 〕A. 4B. 5C. 6D. 7 [答案]B[解析]由程序框图,得1685,1;35116,2;8,3;4,4;22n i n i n i n i ===⨯+======== 42,5;1,2n i n ==== 结束循环,输出i 值,即5i =；故选B. 9．已知α,β均为锐角,且sin22sin2αβ=,则〔 〕 A. ()()tan 3tan αβαβ+=- B. ()()tan 2tan αβαβ+=- C. ()()3tan tan αβαβ+=- D. ()()3tan 2tan αβαβ+=- [答案]A[解析]∵sin22sin2αβ=,∴()()()()()()()()1sin2sin2tan sin cos 3sin2231tan cos sin sin2sin2sin22αβαβαβαββαβαβαββαβ+++-====-+--,即()()tan 3tan αβαβ+=-,故选A.10．已知函数()()()cos 22f x x x ϕϕ=--〔2πϕ<〕的图象向右平移12π个单位后关于y 轴对称,则()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为〔 〕A. 1-B.C. D. 2-[答案]C[解析]()()()cos 222sin 26f x x x x πϕϕϕ⎛⎫=--=-+- ⎪⎝⎭,将其图象向右平移12π个单位后得：()2sin 22sin 2126y x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由其关于y 轴对称, 则,2k k Z πϕπ=+∈,由2πϕ<得2πϕ=,即()2sin 23f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭,∵02x π-≤≤,∴42333x πππ-≤-≤-,∴()2f x ≤≤,则()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故选C. 11．正方体1111ABCD A B C D -棱长为6,O 点在棱BC 上,且2BO OC =,过O 点的直线l 与直线1AA ,11C D 分别交于M ,N 两点,则MN =〔 〕A.B. C. 14 D. 21 [答案]D[解析] 根据题意作图,由图可知：1111113C F NC AD ND ==,13NC =,∴13FN =2211111213A F A B B F =+=, 227EN EF FN += 故113EF EN MA MN ==,∴21MN =,故选D. 点睛：本题主要考查了空间中点、线、面的位置关系,空间想象能力以与线面平行的判定与性质定理,准确画出图形是解决本题的关键,难度一般；由三角形相似可得13NC =,由勾股定理可得1,NF A F ,再次利用三角形相似113EF EN MA MN ==,从而可得结果. 12．已知()f x 是定义在R 上的可导函数,且满足()()()2'0x f x xf x ++>,则〔 〕 A. ()0f x > B. ()0f x < C. ()f x 为减函数 D. ()f x 为增函数 [答案]A [解析]令()()2xg x x f x e =,()()()()()()()2222x x x x g x xf x e x f x e x f x e xe x f x xf x ⎡⎤=++='++'⎣'⎦,∵()()()2'0x f x xf x ++>,∴当0x >时,()0g x '>,函数()g x 单调递增,当0x <时,()0g x '<,函数()g x 单调递减；故()()()200xg x x f x e g =>=即()0f x >,故选A.点睛：本题考查了函数的单调性问题,考查导数的应用,构造函数()g x 是解题的关键,本题是一道中档题；构造函数()()2xg x x f x e =,结合题意可得函数()g x 在()0,+∞递增,在(),0-∞内单调递减,可得结果.二、填空题13．()()72x y x y +-展开式中,含35x y 项的系数是__________．[答案]49[解析]设()7x y -的通项公式为()717rr rr T C x y -+=-,令5r =,()552256721T C x y x y =-=-,令4r =,()443345735T C x y x y =-=,∴()()72x y x y +-展开式中,含35x y 项的系数是：2123549-+⨯=,故答案为49.14．平行四边形ABCD 中,M 为BC 的中点,若AB AM DB λμ=+,则λμ=__________．[答案]29[解析]由图形可得：12AM AB AD =+①,DB AB AD =-②, ①2⨯+②得：23AM DB AB +=,即2133AB AM DB =+,∴21,33λμ==,∴29λμ=,故答案为29.15．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()3,0F ,上、下顶点分别为A ,B ,直线AF 交Γ于另一点M ,若直线BM 交x 轴于点()12,0N ,则Γ的离心率是__________． [答案]12[解析]由题意,得()()0,,0,A b B b -,则直线AM BN 、的方程分别为1,1312x y x yb b+=-=,联立两直线方程,得243,55b M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则2224912525a +=,解得6a =,则该椭圆的离心率为3162e ==. 点睛：本题的关键点在于理解M 是两条直线和椭圆的公共点,若先联立直线与椭圆方程,计算量较大,而本题中采用先联立两直线方程得到点M 的坐标,再代入椭圆方程进行求解,有效地避免了繁琐的计算量. 16．在ABC ∆中,3A π=,3BC =,D 是BC 的一个三等分点,则AD 的最大值是__________． [答案]31+[解析]如图所示,以BC 所在直线为x 轴,线段BC 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,则3,02B ⎛⎫-⎪⎝⎭,3,02C ⎛⎫⎪⎝⎭,1,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 取点E ,使得120BEC ∠=,则E 点坐标为30,⎛ ⎝⎭∵3A π=,∴,,,A B E C 四点共圆,可得圆的方程为2233x y ⎛+= ⎝⎭,故可设点A 坐标为33cos 3sin θθ⎫⎪⎪⎭,()0,θπ∈, ∴222133cos 3sin 423sin 26AD πθθθ⎫⎛⎫=++=++⎪ ⎪⎭⎝⎭⎭,故()2max4AD =+故AD1,1.点睛：本题考查了解析法的应用、圆的参数方程与其应用、三角函数求值、辅助角公式,考查了推理能力与计算能力,解题的关键在于求出点A 所在的圆的方程,属于难题题；此题利用解析法,根据圆内接四边形所具有的特征,构造出点A 所在的圆的方程,根据参数法的思想可设出点A 的坐标,根据两点间距离公式将2AD 表示成关于θ的三角函数,将题意转化为常见的三角函数求最值问题. 三、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ,()21n n n S a =-,且11a =．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕若n n b na =,求数列{}n b 的前n 项和n T ．[答案]〔Ⅰ〕112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭;〔Ⅱ〕1242n n n T -+=-． [解析]试题分析：〔Ⅰ〕对已知等式()21n n n S a =-利用1n n n S S a --=化简整理得()1122n n a n a -=≥,进而可推断出数列{}n a 是一个以1为首项,12为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式求得答案；〔Ⅱ〕利用错位相减法求结果.试题解析：〔Ⅰ〕由()21n n n S a =-,可得()11121n n n S a ---=-〔2n ≥〕, 两式相减,得()()1112121n n n n n n S S a a ----=---,()()112221n n n n a a ---=-,即()1122n n a n a -=≥, 故{}n a 是一个以1为首项,12为公比的等比数列, 所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭．〔Ⅱ〕112n n n b na n -⎛⎫== ⎪⎝⎭．12111111232222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,①12n T =()12111111212222n nn n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⋯+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,②①-②,得12111111212222222n nn n n T n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以1242n n n T -+=-． 点睛：本题主要考查了等比数列的概念,以与数列的求和,属于高考中常考知识点,难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式,分组求和类似于n n n c a b =+,其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列,裂项相消法类似于()11n a n n =+,错位相减法类似于n n n c a b =⋅,其中{}n a 为等差数列,{}n b 为等比数列等.18．某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为34：若初检不合格,则需要进行调试,经调试后再次对其进行检验；若仍不合格,作为废品处理,再检合格率为45.每台〔Ⅱ〕求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率〔注：利润=出厂价-生产成本-检验费-调试费〕； 〔Ⅲ〕假设每台仪器是否合格相互独立,记X 为生产两台仪器所获得的利润,求X 的分布列和数学期望．[答案]〔Ⅰ〕1920;〔Ⅱ〕15;〔Ⅲ〕见解析.[解析]试题分析：〔Ⅰ〕每台仪器能出厂的对立事件为不能出厂,根据对立事件的概率可得结果；〔Ⅱ〕由表可知生产一台仪器所获得的利润为1600元即初检不合格再次检测合格,根据相互独立事件同时发生的概率可得结果；〔Ⅲ〕由题意可得X 可取3800,3500,3200,500,200,2800-,根据相互独立事件同时发生的概率计算出概率,可得分布列与期望.试题解析：〔Ⅰ〕记每台仪器不能出厂为事件A ,则()341114520P A ⎛⎫⎛⎫=--=⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 所以每台仪器能出厂的概率()11912020P A =-=． 〔Ⅱ〕生产一台仪器利润为1600的概率3411455P ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 〔Ⅲ〕X 可取3800,3500,3200,500,200,2800-．()33938004416P X ==⨯=,()1213335005410P X C ==⨯⨯=,()2113200525P X ⎛⎫===⎪⎝⎭,()12311350044540P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪⎝⎭,()12111120054550P X C ⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪⎝⎭,()2111280045400P X ⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭．()()380035003200500200280033501610254050400E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+-⨯=．19．在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为平行四边形,3AB =,AD =45ABC ∠=︒,P 点在底面ABCD 内的射影E 在线段AB 上,且2PE =,2BE EA =,F 为AD 的中点,M 在线段CD 上,且CM CD λ=． 〔Ⅰ〕当23λ=时,证明：平面PFM ⊥平面PAB ；〔Ⅱ〕当平面PAM 与平面ABCD 所成的二面角的正弦值为时,求四棱锥P ABCM -的体积．[答案]〔Ⅰ〕见解析;〔Ⅱ〕83. [解析]试题分析：〔Ⅰ〕接EC ,作//AN EC 交CD 于点N ,则四边形AECN 为平行四边形,在BCE ∆中由余弦定理得2EC =,由勾股定理可得BE EC ⊥,在AND ∆中,F ,M 分别是AD ,DN 的中点,结合中位线与平行的传递性可得FM AB ⊥,故可得FM ⊥平面PAB ,由线面平行判定定理可得结论；〔Ⅱ〕以E 为坐标原点,EB ,EC ,EP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,利用空间向量与二面角平面角之间关系可得：13λ=,由棱锥的体积公式可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕证明：连接EC ,作//AN EC 交CD 于点N ,则四边形AECN 为平行四边形,1CN AE ==,在BCE ∆中,2BE =,BC =45ABC ∠=︒,由余弦定理得2EC =．所以222BE EC BC +=,从而有BE EC ⊥.在AND ∆中,F ,M 分别是AD ,DN 的中点, 则//FM AN ,//FM EC ,因为AB EC ⊥,所以FM AB ⊥.由PE ⊥平面ABCD ,FM ⊂平面ABCD , 得PE FM ⊥,又FM AB ⊥,PE AB E ⋂=,得FM ⊥平面PAB ,又FM ⊂平面PFM , 所以平面PFM ⊥平面PAB .〔Ⅱ〕以E 为坐标原点,EB ,EC ,EP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则()1,0,0A -,()0,0,2P ,()0,2,0C ,()3,2,0D -,()1,0,2AP =,()13,2,0AM AC CD λλ=+=-.平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =. 设平面PAM 的法向量为(),,n x y z =, 由0AP n ⋅=,0AM n ⋅=,得()20,{1320,x z x y λ+=-+=令2x =,得()2,31,1n λ=--.由题意可得,cos ,m n m nm n⋅=⋅5==, 解得13λ=, 所以四棱锥P ABCM -的体积1833P ABCM ABCM V S PE -=⨯=梯形. 20．已知ABC ∆的顶点()1,0A ,点B 在x 轴上移动,AB AC =,且BC 的中点在y 轴上.〔Ⅰ〕求C 点的轨迹Γ的方程；〔Ⅱ〕已知轨迹Γ上的不同两点M ,N 与()1,2P 的连线的斜率之和为2,求证：直线MN 过定点．[答案]〔Ⅰ〕24y x =〔0y ≠〕;〔Ⅱ〕见解析.[解析]试题分析：〔Ⅰ〕设(),C x y 〔0y ≠〕,将题意与两点间距离公式相结合可得结论；〔Ⅱ〕设直线MN 的方程为x my n =+,()11,M x y ,()22,N x y ,联立直线与抛物线的方程结合韦达定理可得124y y n =-,由两点间斜率计算公式与斜率之和为2可得124y y =,故可得n 的值,即可得结果.试题解析：〔Ⅰ〕设(),C x y 〔0y ≠〕,因为B 在x 轴上且BC 中点在y 轴上,所以(),0B x -,由AB AC =,得()()22211x x y +=-+,化简得24y x =,所以C 点的轨迹Γ的方程为24y x =〔0y ≠〕．〔Ⅱ〕设直线MN 的方程为x my n =+,()11,M x y ,()22,N x y ,由24,{,y x x my n ==+得2440y my n --=,所以124y y n =-,1121112241214MP y y k y x y --===-+-,同理242NP k y =+,所以1244222y y +=++,化简得124y y =, 又因为124y y n =-,所以1n =-, 所以直线MN 过定点()1,0-.点睛：本题考查点的轨迹方程的求法,考查直线过定点的证明,解题时要认真审题,注意韦达定理的合理运用；在该题中利用直译法求的轨迹方程,直线与圆锥曲线的综合问题是高考的必考点,联立直线与抛物线的方程构成方程组,结合韦达定理与整体代换思想代入2MP NP k k +=,可得124y y n =-,即n 的值.21．已知函数()()1ln 1f x a x x =-+的图象与x 轴相切,()()211log 2b x g x b x -=--．〔Ⅰ〕求证：()()21x f x x-≤；〔Ⅱ〕若1x <<求证：()()2102b g x -<<[答案]〔Ⅰ〕见解析;〔Ⅱ〕见解析.[解析]试题分析：〔Ⅰ〕对函数求导,设()f x 的图象与x 轴相交于点()0,0x ,由题意可得在该点处导数值为0,函数值为0,构造方程组可得a 的值,将题意转化为ln 1x x ≤-,设()ln 1h x x x =-+,利用导数判断其单调性求出最大值即可；〔Ⅱ〕构造函数()1ln x h x x-=,对其求导结合〔Ⅰ〕可得()h x 的单调性,从而有()()2h x h b <,化简整理可得()0g x >,运用换底公式与〔Ⅰ〕中的不等式ln 1x x ≤-可得()g x 21112ln x b b --⎛⎫<⋅- ⎪⎝⎭,再次运用1ln 1b b>-可得结论.试题解析：〔Ⅰ〕()21'a f x x x=-, 设()f x 的图象与x 轴相交于点()0,0x , 则()()000,{'0,f x f x ==即()00200110,{10,a lnx x a x x -+=-=解得01a x ==． 所以()1ln 1f x x x=-+, ()()21x f x x-≤等价于ln 1x x ≤-．设()ln 1h x x x =-+,则()1'1h x x=-, 当01x <<时,()'0h x >,()h x 单调递增； 当1x >时,()'0h x <,()h x 单调递减, 所以()()10h x h ≤=, 即ln 1x x ≤-,〔〕,所以()()21x f x x-≤．〔Ⅱ〕设()1(1)ln x h x x x-=>,则()21ln 1'ln x x h x x+-=, 由〔Ⅰ〕可知,当1x >时,1ln 10x x+->,从而有()'0h x >,所以()h x 单调递增,又1x <<所以21x b <<,从而有()()2h xh b <,即2211ln ln x b x b--<, 所以()()21ln 11log 2ln b b xx b x b --<=-,即()0g x >, ()()211log 2b x g x b x -=--()21ln 1ln 2b x x b--=-()22ln 112ln 2x x b b -=-⋅-()221112ln 2x x b b --<-⋅-21112ln x b b --⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭, 又1ln 1b b >-,所以1ln b b b-<, 又21x b <<,所以()()()()2211122x b b g x ---<<．综上可知,()()2102b g x -<<．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线1C的参数方程为112{x ty =+=〔t 为参数〕,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为()2212sin 3ρθ+=． 〔Ⅰ〕写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；〔Ⅱ〕直线1C 与曲线2C 相交于A ,B 两点,点()1,0M ,求MA MB -．[答案]0y -=,2213x y +=;〔Ⅱ〕25. [解析]试题分析：〔Ⅰ〕通过消参和极坐标与普通方程的互化公式进行求解；〔Ⅱ〕将直线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程整理得到关于t 的一元二次方程,再利用参数t 的几何意义进行求解．试题解析：〔Ⅰ〕曲线1C0y --=,曲线2C 的直角坐标方程为2213x y +=． 〔Ⅱ〕将直线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程整理得：25240t t +-=,1225t t +=-,由t 的几何意义可知：1225MA MB t t -=+=. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x x x =-++,P 为不等式()4f x >的解集.〔Ⅰ〕求P ；〔Ⅱ〕证明：当m ,n P ∈时,42mn m n +>+.[答案]〔Ⅰ〕{22}x x x <-或;〔Ⅱ〕见解析;[解析]试题分析：〔Ⅰ〕利用绝对值的代数意义和零点分段讨论法去掉绝对值符号,得到分段函数,再利用函数的单调性得到不等式的解集；〔Ⅱ〕通过平方、作差、分解因式进行证明即可．试题解析：〔Ⅰ〕()2,1,11{2,11,2, 1.x x f x x x x x x ≥=-++=-<<-≤-由()f x 的单调性与()4f x =得,2x >或2x <-． 所以不等式()4f x >的解集为{22}P x x x =<-或. 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知2m >,2n >,所以24m >,24n >,()()()()222244440mn m n m n +-+=-->,所以()()2244mn m n +>+, 从而有42mn m n +>+．。

唐山市2013—2014学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一、选择题：A 卷：CABAA BBDCD CDB 卷：DBBAABADCD DC 二、填空题： （13）0.0228（14）(12，32)（15） 14（16） 34三、解答题： （17）解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ．由已知得 ⎩⎨⎧a 1＋2d ＋a 1＋9d ＝15，(a 1＋4d )2＝(a 1＋d )(a 1＋10d )． 注意到d ≠0，解得a 1＝2，d ＝1． 所以a n ＝n ＋1． …4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2，因为b n ＋1－b n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＞0，所以数列{b n }单调递增． …8分b n ≥b 1＝ 12． …9分又b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝nn ＋1＜1，因此 12≤b n ＜1． …12分（18）解：（Ⅰ）记事件“甲、乙二人共命中一次”为A ，则P (A )＝C 120.8×0.2×0.5＋0.22×0.5＝0.18． …4分 （Ⅱ）X 的可能取值为0，5，10，15，20． P (X ＝0)＝0.22×0.5＝0.02，P (X ＝5)＝C 120.8×0.2×0.5＝0.16， P (X ＝10)＝0.82×0.5＋0.22×0.5＝0.34，P (X ＝15)＝C 120.8×0.2×0.5＝0.16，P (X ＝20)＝0.82×0.5＝0.32． X…10分X 的期望为E (X )＝0×0.02＋5×0.16＋10×0.34＋15×0.16＋20×0.32＝13． …12分（19）解：（Ⅰ）因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥BD ． 又BD ⊥PC ，所以BD ⊥平面P AC ，因为BD ⊂平面EBD ，所以平面P AC ⊥平面EBD ．…4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，BD ⊥AC ，所以ABCD 是菱形，BC ＝AB ＝2． …5分 设AC ∩BD ＝O ，建立如图所示的坐标系O -xyz ，设OB ＝b ，OC ＝c ， 则P (0，－c ，2)，B (b ，0，0)，E (0，－c ，1)，C (0，c ，0)．PB →＝(b ，c ，－2)，OB →＝(b ，0，0)，OE →＝(0，－c ，1)．设n ＝(x ，y ，z )是面EBD 的一个法向量，则n ·OB →＝n ·OE →＝0， 即⎩⎨⎧bx ＝0，－cy ＋z ＝0，取n ＝(0，1，c )． …8分 依题意，BC ＝b 2＋c 2＝2． ① 记直线PB 与平面EBD 所成的角为θ，由已知条件 sin θ＝|n ·PB →|__________|n |·|PB →|＝c (1＋c 2)(b 2＋c 2＋22)＝ 14． ② 解得b ＝3，c ＝1．…10分所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝ 1 3×2OB ·OC ·PA ＝ 1 3×23×1×2＝433．…12分（20）解：（Ⅰ）由已知得M (－ p2，0)，C (2，0)．设AB 与x 轴交于点R ，由圆的对称性可知，|AR |＝223．于是|CR |＝|AC |2－|AR |2＝ 13，所以|CM |＝|AC |sin ∠AMC ＝|AC |sin ∠CAR＝3，即2＋ p2＝3，p ＝2．故抛物线E 的方程为y 2＝4x ．…5分（Ⅱ）设N (s ，t )．P ，Q 是NC 为直径的圆D 与圆C 的两交点．圆D 方程为(x －s ＋22)2＋(y － t2)2＝(s －2)2＋t 24，即x 2＋y 2－(s ＋2)x －ty ＋2s ＝0． ①又圆C 方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0． ② ②－①得(s －2)x ＋ty ＋3－2s ＝0． ③ …9分 P ，Q 两点坐标是方程①和②的解，也是方程③的解，从而③为直线PQ 的方程．因为直线PQ 经过点O ，所以3－2s ＝0，s ＝ 32．故点N 坐标为( 3 2，6)或( 32，－6)． …12分（21）解：（Ⅰ）当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＜0等价于x －ln xx＜a ．令g (x )＝x －ln xx ，则g '(x )＝x 2－1＋ln x x 2．当x ∈(0，1)时，g '(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，g '(x )＞0． g (x )有最小值g (1)＝1． …4分 故a 的取值范围是(1，＋∞)． …5分（Ⅱ）因f (x )＝x ，即x 2－ln x ＝(a ＋1)x 有两个不同的实数解u ，v ． 故u 2－ln u ＝(a ＋1)u ，v 2－ln v ＝(a ＋1)v ．于是(u ＋v )(u －v )－(ln u －ln v )＝(a ＋1)(u －v )． …7分由u －v ＜0解得a ＝u ＋v －ln u －ln vu －v－1．又f '(x )＝2x － 1x－a ，所以f '(u ＋v 2)＝(u ＋v )－2u ＋v －(u ＋v )＋ln u －ln v u －v ＋1＝ln u －ln v u －v －2u ＋v＋1． …9分设h (u )＝ln u －ln v －2(u －v )u ＋v ，则当u ∈(0，v )时，h '(u )＝(u －v )2u (u ＋v )2＞0，h (u )在(0，v )单调递增，h (u )＜h (v )＝0， 从而ln u －ln v u －v －2u ＋v＞0，因此f '(u ＋v 2)＞1． 12分（22）解：（Ⅰ）由切割线定理得FG 2＝F A ·FD ．又EF ＝FG ，所以EF 2＝F A ·FD ，即EF F A ＝FDEF．因为∠EF A ＝∠DFE ，所以△FED ∽△EAF ． …6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠FED ＝∠F AE ． 因为∠F AE ＝∠DAB ＝∠DCB ，所以∠FED ＝∠BCD ，所以EF ∥CB ． …10分 （23）解：（Ⅰ）设P (x ，y )，由题设可知，则x ＝ 2 3|AB |cos(π－α)＝－2cos α，y ＝ 13|AB |sin(π－α)＝sin α，所以曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2cos α，y ＝sin α（α为参数，90︒＜α＜180︒）． …5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得|PD |2＝(－2cos α)2＋(sin α＋2)2＝4cos 2α＋sin 2α＋4sin α＋4＝－3sin 2α＋4sin α＋8＝－3(sin α－ 2 3)2＋283．当sin α＝ 2 3时，|PD |取最大值2213． …10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝－1时，不等式为|x ＋1|－|x ＋3|≤1．当x ≤－3时，不等式化为－(x ＋1)＋(x ＋3)≤1，不等式不成立；当－3＜x ＜－1时，不等式化为－(x ＋1)－(x ＋3)≤1，解得－ 52≤x ＜－1；当x ≥－1时，不等式化为(x ＋1)－(x ＋3)≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为[－ 52，＋∞)． …5分（Ⅱ）当x ∈[0，3]时，f (x )≤4即|x －a |≤x ＋7， 由此得a ≥－7且a ≤2x ＋7．当x ∈[0，3]时，2x ＋7的最小值为7， 所以a 的取值范围是[－7，7]． …10分。

2016年河北省唐山一中高考数学二模试卷（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|log2x＜2}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（1，4）B．（2，4）C．（1，2）D．（1，+∞）2．已知a∈R，若复数为纯虚数，则|1+ai|=（）A．10B． C．5D．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a7+a12=60，则S13的值是（）A．130B．260C．20D．1504．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C．t的取值必定是3.15D．A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨5．若抛物线C：y2=2xcosA（其中角A为△ABC的一个内角）的准线过点，则cos2A+sin2A的值为（）A． B． C． D．6．已知函数，若f（x+θ）是周期为2π的偶函数，则θ的一个可能值是（）A． B． C．πD．7．已知数列{a n}中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）A ．n≤2014B．n≤2016C．n≤2015D．n≤20178．已知P 是△ABC 所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 9．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（ ）A ．B ．9πC ．D ．10π10．双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在棱AB 上，且PB ，点AM=，P 是平面ABCD 上的动点，且动点P 到直线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是（ ）A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆12．若关于x的方程4sin2x﹣msinx+1=0在（0，π）内有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为（）A．m＞4或m＜﹣4B．4＜m＜5C．4＜m＜8D．m＞5或m=4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置13．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是．14．已知点M（x，y）的坐标满足，N（﹣2，1），点O为坐标原点，则•的最大值为．15．四棱锥M﹣ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，若|MA|+|MB|=10，则三棱锥A﹣BCM 的体积的最大值是．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=x2+1}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}；其中是“垂直对点集”的序号是．三、解答题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2n，n∈N*．（1）求证：数列{a n+2}为等比数列；（2）设，且数列{b n}的前n项和为T n，求．18．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少难以满足乘客需求，为此，唐山市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，（1）估计这60名乘客中候车时间小于10分钟的人数；（2）若从表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自同一组的概率．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）设AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求三棱锥B﹣AEF的体积．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．21．已知函数f（x）=（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e2]上的最值；（Ⅱ）证明：对任意n∈N+，不等式ln（）e＜都成立（其中e为自然对数的底数）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC 的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（1）求证：．（2）求AD•AE的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|1﹣2x|﹣3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+=Mab．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）是否存在a，b，使得a6+b6=？并说明理由．2016年河北省唐山一中高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|log2x＜2}，B={y|y=3x+2，x∈R}，则A∩B=（）A．（1，4）B．（2，4）C．（1，2）D．（1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：log2x＜2=log24，即0＜x＜4，∴A=（0，4），由B中y=3x+2＞2，得到B=（2，+∞），则A∩B=（2，4），故选：B．2．已知a∈R，若复数为纯虚数，则|1+ai|=（）A．10B． C．5D．【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z，由题意求出a值，则答案可求．【解答】解：∵为纯虚数，∴，解得：a=2，∴|1+ai|=|1+2i|=．故选：D．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a7+a12=60，则S13的值是（）A．130B．260C．20D．150【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列的性质结合已知求得a7，再由S13=13a7得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a2+a7+a12=60，得3a7=60，a7=20．∴S13=13a7=13×20=260．故选：B．4．如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为A．线性回归直线一定过点（4.5，3.5）B．产品的生产能耗与产量呈正相关C ．t 的取值必定是3.15D ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨【考点】线性回归方程．【分析】根据回归直线的性质分别进行判断即可．【解答】解： =（3+4+5+6）==4.5，则=0.7×4.5+0.35=3.5，即线性回归直线一定过点（4.5，3.5），故A 正确，∵0.7＞0，∴产品的生产能耗与产量呈正相关，故B 正确，∵=（2.5+t+4+4.5）=3.5，得t=3，故C 错误，A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨，故D 正确故选：C5．若抛物线C ：y 2=2xcosA （其中角A 为△ABC 的一个内角）的准线过点，则cos 2A+sin2A 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的准线方程，由题意可得cosA=﹣，运用同角的平方关系和二倍角公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线C ：y 2=2xcosA 的准线方程为x=﹣，准线过点，可得﹣=，即cosA=﹣，sinA==， 则cos 2A+sin2A=cos 2A+2sinAcosA=（﹣）2+2••（﹣）=﹣． 故选：A ．6．已知函数，若f （x+θ）是周期为2π的偶函数，则θ的一个可能值是（ ）A ．B ．C ．πD ． 【考点】正弦函数的图象．【分析】由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值，再根据正弦函数、余弦函数的奇偶性可得3ωθ+=k π+，k ∈Z ，从而求得θ的值．【解答】解：函数，若f（x+θ）=2sin[3ω（x+θ）+]=2sin（3ωx+3ωθ+）是周期为2π的偶函数，∴=2π，且 3ωθ+=kπ+，k∈Z，求得ω=，θ=kπ+，结合所给的选项，则θ的一个可能值是，故选：B．7．已知数列{a n}中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（）A．n≤2014B．n≤2016C．n≤2015D．n≤2017【考点】程序框图．【分析】通过观察程序框图，分析为填判断框内判断条件，n的值在执行运算之后还需加1，故判断框内数字应减1，按照题意填入判断框即可．【解答】解：通过分析，本程序框图为“当型“循环结构，判断框内为满足循环的条件，第1次循环，A=，n=1+1=2，第2次循环，A==，n=2+1=3，…当执行第2016项时，n=2017，由题意，此时，应该不满足条件，退出循环，输出A的值．所以，判断框内的条件应为：n≤2016．故选：B．8．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（）A． B． C． D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义；几何概型．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC 上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．【解答】解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则∵，∴，得=﹣2由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==故选C9．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A． B．9πC． D．10π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为圆柱与球的组合体．表面共有5部分组成．【解答】解：由三视图可知几何体为圆柱与球的组合体．圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1．所以几何体的表面积为π×12+2π×1×3+++=9π．故选B．10．双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c 的关系，求出离心率的值．【解答】解：将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）在△MF1F2中tan30°=即=解得e==故选：D．11．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点M在棱AB上，且PB，点AM=，P是平面ABCD上的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．椭圆【考点】轨迹方程．【分析】建立空间右手系，得到M的坐标，设出P的坐标，由题意列式求得P的轨迹．【解答】解：建立如图所示的坐标系，M（1，，0），设P（x，y，0），由动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1，得，整理得：．∴动点P的轨迹是抛物线．故选：B．12．若关于x的方程4sin2x﹣msinx+1=0在（0，π）内有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为（）A．m＞4或m＜﹣4B．4＜m＜5C．4＜m＜8D．m＞5或m=4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用换元法，结合三角函数的性质以及一元二次方程与一元二次函数之间的关系进行求解即可．【解答】解：设t=sinx，则0＜t≤1，则方程等价为f（t）=4t2﹣mt+1=0在（0，1]内有唯一解，即或f（1）=5﹣m＜0，得m=4或m＞5．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置13．如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（﹣3，﹣1）∪（1，3）．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆上点到原点距离d=，从而|d﹣r|＜|a|或d+r＞|a|，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：圆心（a，a）到原点的距离为|a|，半径r=2，圆上点到原点距离为d，∵圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为根号，∴d=，∴|d﹣r|＜|a|或d+r＞|a|∴||＜|a|＜，即1＜|a|＜3，解得 1＜a＜3或﹣3＜a＜﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣3，﹣1）∪（1，3）．故答案为：（﹣3，﹣1）∪（1，3）．14．已知点M（x，y）的坐标满足，N（﹣2，1），点O为坐标原点，则•的最大值为 4 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，得到•的表达式，通过平移直线求出其最大值即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（1，6），设M（x，y），则•=﹣2x+y，令﹣2x+y=z，则y=2x+z，平移直线发现y=2x+z过A（1，6）时，z最大，z的最大值是：z=﹣2+6=4，故答案为：4．15．四棱锥M﹣ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，若|MA|+|MB|=10，则三棱锥A﹣BCM 的体积的最大值是24 ．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】三棱锥A﹣BCM体积等于三棱锥M﹣ABC的体积，已知正方形ABCD的边长为6，空间一动点M满足|MA|+|MB|=10，M点的轨迹是椭球，只要求出M点到AB的最大值即可．【解答】解：∵三棱锥A﹣BCM体积=三棱锥M﹣ABC的体积，又正方形ABCD的边长为6，S△ABC=×6×6=18，又空间一动点M满足|MA|+|MB|=10，M点的轨迹是椭球，当|MA|=|MB|时，M点到AB距离最大，h==4，∴三棱锥M﹣ABC的体积的最大值为V=S△ABC h=×18×4=24，∴三棱锥A﹣BCM体积的最大值为24，故答案为：24．16．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=x2+1}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}；其中是“垂直对点集”的序号是③④．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；【解答】解：对于①M={（x，y）|y=x2+1}，取点（0，1），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于③M={（x，y）|y=2x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．对于④M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．所以③④正确．故答案为：③④三、解答题共5小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n=2a n﹣2n，n∈N*．（1）求证：数列{a n+2}为等比数列；（2）设，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求．【考点】数列的求和．【分析】（1）由S n =2a n ﹣2n ，推出a n =2a n ﹣1+2，然后证明{a n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列．（2）求出数列{b n }的前n 项和为T n ，然后利用裂项消项法求解数列的和即可．【解答】（1）证明：由S n =2a n ﹣2n 有S n ﹣1=2a n ﹣1﹣2（n ﹣1），相减得a n =2a n ﹣2a n ﹣1﹣2 ∴a n =2a n ﹣1+2即a n +2=2（a n ﹣1+2）…又S 1=2a 1﹣2，解得a 1=2…故{a n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列…（2）由（1）得，，…，………18．城市公交车的数量太多容易造成资源的浪费，太少难以满足乘客需求，为此，唐山市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，（2）若从表第三、四组的6人中选2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自同一组的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布表．【分析】（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为，用60乘以此比例，即得所求．（2）从这6人中选2人作进一步的问卷调查，用列举法列出上述所有可能情况共有15种，求得抽到的两人恰好来自同一组的情况共计7种，由此求得抽到的两人恰好来自不同组的概率．【解答】解：（1）候车时间少于10分钟的人数所占的比例为=，故这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数为 60×=28． （2）设表中第三组的4个人分别为a 1、a 2、a 3、a 4、第四组的2个人分别为b 1、b 2， 从这6人中选2人作进一步的问卷调查，①用列举法列出上述所有可能情况：（a1，a2）、（ a1，a3）、（ a1，a4）、（a1，b1）、（ a1，b2）、（a2，a3）、（a2，a4）、（a2，b1）、（a2，b2）、（a3，a4）、（a3，b1）、（a3，b2）、（a4，b1）、（a4，b2）、（b1，b2），共计15种．②抽到的两人恰好来自同一组：（a1，a2）、（ a1，a3）、（ a1，a4）、（a2，a3）、（a2，a4）、（a3，a4）、（b1，b2），共计7种，故抽到的两人恰好来自同一组的概率为．19．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分别是BC、PC的中点．（1）证明：AE⊥PD；（2）设AB=2，若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求三棱锥B ﹣AEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）由PA⊥平面ABCD得出AE⊥PA，由△ABC是等边三角形得出AE⊥AD，故而AE⊥平面PAD，于是AE⊥PD；（2）由AE⊥平面PAD可知∠EHA为直线EH与平面PAD所成的角，故而当AH⊥PD时，∠EHA 最大，求出此时PA的长，代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE．∵底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC，△ACD是等边三角形，又E为BC的中点，∴∠EAC=30°，∠DAC=60°，∴∠EAD=90°，即AE⊥AD．又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD，∵PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．（2）由（1）得AE⊥平面PAD，∴∠EHA为直线EH与平面PAD所成的角．∴tan∠EHA==．∴当AH最短时，tan∠EHA取得最大值．即当AH⊥PD时，tan∠EHA==，∴AH=．又AD=2，∴∠ADH=45°，∴PA=AD=2，∴V B﹣AEF=V F﹣ABE====．20．已知椭圆的一个顶点为A（0，﹣1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x﹣y+2=0的距离为3．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M、N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．【考点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2=3，故所求椭圆的方程为．（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0，由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．【解答】解：（1）依题意可设椭圆方程为，则右焦点F（）由题设解得a2=3故所求椭圆的方程为；（2）设P为弦MN的中点，由得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2﹣1）=0由于直线与椭圆有两个交点，∴△＞0，即m2＜3k2+1①∴从而∴又|AM|=||AN|，∴AP⊥MN，则即2m=3k2+1②把②代入①得2m＞m2解得0＜m＜2由②得解得．故所求m的取范围是（）．21．已知函数f（x）=（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e2]上的最值；（Ⅱ）证明：对任意n∈N+，不等式ln（）e＜都成立（其中e为自然对数的底数）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数单调性的性质．【分析】（Ⅰ）求导f′（x）=；由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令F（x）=，则F（x）=在[1，e）上单调递增，在（e，e2]上单调递减且F（x）＜，（x＞1）；从而可得elnx＜x，从而证明．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=，∴f′（x）=；当x∈[1，e）时，f′（x）＞0，当x∈（e，e2]时，f′（x）＜0；故f（x）在[1，e）上单调递增，在（e，e2]上单调递减；且f（1）=0﹣1=﹣1；f（e）=﹣1＜0，f（e2）=﹣1＜﹣1；故函数f（x）在区间[1，e2]上的最小值为﹣1；最大值为﹣1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，令F（x）=；则F（x）=在[1，e）上单调递增，在（e，e2]上单调递减；且F（x）＜，（x＞1）；故＜，（x＞1）；故elnx＜x；令x=得，eln＜；故对任意n∈N+，不等式ln（）e＜都成立（其中e为自然对数的底数）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC 的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（1）求证：．（2）求AD•AE的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由弦切角定理推导出△PAB～△PCA，由此能证明．（2）由切割线定理得PA2=PB•PC，由AE是∠BAC的角平分线，得△AEC～△ABD，由此能求出AD•AE的值．【解答】证明：（1）∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，又∠P为公共角，∴△PAB～△PCA，∴解：（2）∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，∴PA2=PB•PC，∴PC=40，BC=30，又∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=900，又由（1）知，∴，，∵AE是∠BAC的角平分线，且∠AEC=∠ABD，∴△AEC～△ABD，∴，∴．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求弦长|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）对极坐标方程两边同乘ρ即可得到普通方程；（2）将直线参数方程代入曲线普通方程解出A，B两点对应的参数关系，利用参数得几何意义得出|AB|．【解答】解：（1）∵ρsin2θ=8cosθ，∴ρ2sin2θ=8ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程是：y2=8x．（2）直线的参数方程标准形式为，代入y2=8x得3t2=8（2+t），即3t2﹣16t﹣64=0．设AB对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=，t1t2=﹣．∴|AB|=|t1﹣t2|==．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|1﹣2x|﹣3|x+1|，f（x）的最大值为M，正数a，b满足+=Mab．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）是否存在a，b，使得a6+b6=？并说明理由．【考点】函数的最值及其几何意义；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）直接采用零点分段法确定函数的最值；（2）先假设存在，再两次运用基本不等式得出≤和≥相互矛盾，所以假设不成立．【解答】解：（1）分三类讨论如下：①当x＜﹣1时，f（x）=x+4，单调递增，f（x）＜3；②当﹣1≤x≤时，f（x）=﹣5x﹣2，单调递减，f（x）max=f（﹣1）=3，③当x＞时，f（x）=﹣x﹣4，单调递减，f（x）＜f（）=﹣，综合以上讨论得，f（x）的最大值M=3；（2）假设存在正数a，b，使得a6+b6=≥2=2a3b3，所以，≤，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①又因为+=Mab=3ab≥2•，所以，≥，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②显然①②相互矛盾，所以，假设不成立，即不存在a，b使得a6+b6=．百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

唐山一中高二年级2017年2月份调研考试数学试卷说明：1.考试时间120分钟，满分150分。

2.将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ用黑色碳素笔答在试卷上。

3.Ⅱ卷答题纸卷头和答题卡均填涂本次考试的准考证号，不要误填学号，答题卡占八位。

卷Ⅰ(选择题 共60分)一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1. 抛物线x=﹣2y 2的准线方程是（ ）A ． 21-=y B ．21=y C ． 81-=x D ． 81=x 2. 过双曲线12222=-by a x C ：的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ，若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点（O 为坐标原点），则双曲线C 的方程为 （ ） A.221412x y -= B.22179x y -= C.22188x y -= D.221124x y -=3. 下列有关命题的叙述，错误的个数为（ ） ①若p ∨q 为真命题，则p ∧q 为真命题②“x ＞5”是“x 2﹣4x ﹣5＞0”的充分不必要条件③命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x ﹣1＜0，则￢p ：∀x ∈R ，使得x 2+x ﹣1≥0 ④命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题 为“若x ≠1或x ≠2，则x 2﹣3x+2≠0” A ．1B ．2C ．3D ．44.连掷两次骰子分别得到点数m 、n ，则向量(m ，n )与向量(－1,1)的夹角θ>90°的概率是( ) A.512 B.712C.13D.125在棱长为2的正方体中，动点P 在ABCD 内，且P 到直线AA 1，BB 1的距离之和等于22，则ΔPAB 的面积最大值是（ ） A ．21B ．1C ．2D ．46. 一个体积为312的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（ ） A ．36 B ．8C ．38 D ．127. 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B两点，O 为坐标原点.若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( ) A.22B. 2C.322D.2 28. 设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( )A.若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB.若m ∥α，n ∥β，α⊥β，则m ⊥nC.若α⊥β，m ⊥α，则m ∥βD.若α∥β，m ⊄β，m ∥α，则m ∥β9. 椭圆221mx ny +=与直线10x y +-=相交于,A B 两点，过AB 中点M 与坐标原点的直线的斜率为2，则mn的值为（ ）A ．2 B C ．1 D ．2 10. 已知正三棱锥P ﹣ABC 的高PO 为h ，点D 为侧棱PC 的中点，PO 与BD 所成角的余弦值为32，则正三棱锥P ﹣ABC 的体积为（ ） A ．3833h B ．3832h C ．383h D ．3433h11. 已知向量)sin 2,cos 2(αα=a ,)sin 3,cos 3(ββ=b , a 与b的夹角为60°，则直线021sin cos =+-ααy x 与圆21)sin ()cos (22=++-ββy x 的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．随α，β的值而定12. 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上有一点P ，椭圆内一点Q 在2PF 的延长线上，满足1QF QP ⊥，若15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率取值范围是（ ）A．1(5 B． C．1(,52 D．2卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=4上有且仅有四个点到直线4x ﹣3y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ．14. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的 实数λ有________个.15. 在平行四边形ABCD 中，0AC CB ⋅=，22240BC AC +-=，若将其沿AC 折成直二面角D AC B --，则三棱锥D AC B --的外接球的表面积为 ．16.双曲线)1(122>=-n y nx 的两焦点为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|+|PF 2|=22+n ，则△PF 1F 2的面积为 ． 三．解答题（共6小题） 17. （本小题满分10分）已知命题p ：实数x 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+-->0861log 231x x x ，命题q ：实数x 满足不等式2x 2﹣9x+a ＜0（a ∈R ）． （I ）解命题p 中的不等式组；（Ⅱ）若p 是q 的充分条件，求a 的取值范围． 18. （本小题满分12分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°， （Ⅰ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P ﹣CD ﹣A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值． 19. （本小题满分12分）已知点A （4，0），直线l ：y=2x ﹣4，设圆C 的半径为1，且圆心C 在l 上． （1）若CO=CA ，O 为坐标原点，求圆C 的方程；（2）若圆心C 在直线y=x ﹣1上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程．20. （本小题满分12分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32).(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，满足PA →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由. 21. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°，FC ⊥平面ABCD ，AE ⊥BD ，CB ＝CD ＝CF . (1)求证：BD ⊥平面AED ； (2)求二面角F －BD －C 的余弦值. 22. （本小题满分12分）已知点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ．（Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若点M ，N 是直线l 1上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，直线PF的斜率为k ，求MNk 的取值范围．唐山一中高二年级2017年2月份调研考试1-5 DABAB 6-10 ACDAC 11-12 CD 13. （﹣5，5） 14.2 15. 4 16.1 17. （1）2＜x ＜3； （2）a≤918. 【解答】解：（I ）延长AB 交直线CD 于点M ，∵点E 为AD 的中点，∴AE=ED=AD ，∵BC=CD=AD ，∴ED=BC ，∵AD ∥BC ，即ED ∥BC ．∴四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥CD ． ∵AB∩CD=M，∴M ∈CD ，∴CM ∥BE ， ∵BE ⊂平面PBE ，∴CM ∥平面PBE ， ∵M ∈AB ，AB ⊂平面PAB ，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====19. 【解答】解：（1）∵CO=CA，∴点C在OA的中垂线x=2上，又C在y=2x﹣4，∴C（2，0），∵圆C的半径为1，∴圆的方程为C：（x﹣2）2+y2=1；（2）联立得：，解得：，即C（3，2），设切线为y=k（x﹣4），依题意有，解得：k=﹣，此时切线方程为3x+4y ﹣12=0， 当切线斜率不存在时：x=4也适合， 则所求切线的方程为3x+4y ﹣12=0或x=4．20. 解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎨⎧1a 2＋94b 2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得，(3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ， 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)·(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0， 所以k 1>－12.又x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21， 因为PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝PM →2＝54. 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以[16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4]·(1＋k 21)＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12. 因为k 1>－12，所以k 1＝12.于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .21. (1)证明 因为四边形ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，∠DAB ＝60°， 所以∠ADC ＝∠BCD ＝120°. 又CB ＝CD ，所以∠CDB ＝30°， 因此∠ADB ＝90°，即AD ⊥BD .又AE ⊥BD ，且AE ∩AD ＝A ，AE ，AD ⊂平面AED ， 所以BD ⊥平面AED .(2)解 方法一 由(1)知AD ⊥BD ，所以AC ⊥BC .又FC ⊥平面ABCD ，因此CA ，CB ，CF 两两垂直.以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CF 所在的直线为x 轴，y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设CB ＝1， 则C (0,0,0)，B (0,1,0)，D ⎝⎛⎭⎫32，－12，0，F (0,0,1).因此BD →＝⎝⎛⎭⎫32，－32，0，BF →＝(0，－1,1).设平面BDF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·BD →＝0，m ·BF →＝0，所以x ＝3y ＝3z ， 取z ＝1，则m ＝(3，1,1).由于CF →＝(0,0,1)是平面BDC 的一个法向量， 则cos 〈m ，CF →〉＝m ·CF →|m ||CF →|＝15＝55，所以二面角F －BD －C 的余弦值为55. 方法二 如图，取BD 的中点G ，连接CG ，FG ，由于CB ＝CD ，因此CG ⊥BD .又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以FC ⊥BD .由于FC∩CG＝C，FC，CG⊂平面FCG，所以BD⊥平面FCG，故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F－BD－C的平面角. 在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，因此CG＝12CB.又CB＝CF，所以GF＝CG2＋CF2＝5CG，故cos∠FGC＝5 5，因此二面角F－BD－C的余弦值为5 5.22.【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为：y﹣m=（x+1），化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即=1，∴=，由题意得x0＞1，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，有，∴m，n是关于t的方程（x0﹣1）t2+2y t﹣（x0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m﹣n|==，∵，|y0|=2，∴|MN|==2，直线PF的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．。

2016-2017学年河北省唐山市高三（上）摸底数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A⊆{1，2，3，4，5}，且A∩{1，2，3}＝{1，2}，则满足条件的集合A 的个数是（）A．2B．4C．8D．162．（5分）已知复数满足（1+i）z＝i，则z＝（）A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i 3．（5分）某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，若成绩大于等于90分的人数为36，则成绩在[110，130）的人数为（）A．12B．9C．15D．184．（5分）设函数y＝f（x），x∈R，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为（）A．B．2C．D．16．（5分）要得到函数f（x）＝2sin x cos x，x∈R的图象，只需将函数g（x）＝2cos2x﹣1，x∈R的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a＝1，b＝2，则输出的x＝（）A．1.25B．1.375C．1.40625D．1.4375 8．（5分）设x0是方程（）x＝的解，则x0所在的范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）A．B．C．3D．10．（5分）把长为80cm的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于20cm的概率是（）A．B．C．D．11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）＝x3﹣3x2+（8﹣a）x﹣5﹣a，若存在唯一的正整数x0，使得f （x0）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．（5分）已知复数z满足（1﹣i）z＝4i，则|z|＝．14．（5分）若tanθ＝，则cos2θ＝．15．（5分）已知抛物线x2＝4y与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）有公共点P，若抛物线在P点处的切线与圆C也相切，则r＝．16．（5分）如图，在平面四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，CD＝3，∠A＝60°，∠D ＝150°，则BC＝．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中（17）--（21）题必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，S10＝110，S15＝240．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝+﹣2，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，BC⊥PB，PC与平面ABCD 所成角的正切值为，△BCD为等边三角形，P A＝2，AB＝AD，E为PC的中点．（1）求AB；（2）求点E到平面PBD的距离．19．（12分）某班一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，已知成绩大于等于90分的人数为36人，现采用分层抽样的方式抽取一个容量为10的样本．（1）求每个分组所抽取的学生人数；（2）从数学成绩在[110，150]的样本中任取2人，求恰有1人成绩在[110，130）的概率．20．（12分）如图，过椭圆E：+＝1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为左焦点F，A，B分别为E的右顶点，上顶点，且AB∥OP，|AF|＝+1．（1）求椭圆E的方程；（2）C，D为E上的两点，若四边形ACBD（A，C，B，D逆时针排列）的对角线CD 所在直线的斜率为k，求四边形ACBD面积S的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+﹣2．（1）求f（x）的单调性；（2）若方程y＝f（x）有两个根x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞2a．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，O为线段AB上一点，BD平分∠ABC，且OD∥BC．（1）证明：A，B，C，D四点共圆，且O为圆心；（2）AC与BD相交于点F，若BC＝2CF＝6，AF＝5，求C，D之间的距离．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，矩形ABCD内接于曲线C1，A，B两点的极坐标分别为（2，）和（2，），将曲线C1上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线C2．（1）写出C，D的直角坐标及曲线C2的参数方程；（2）设M为C2上任意一点，求|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x+1|+|mx﹣1|．（1）若m＝1，求f（x）的最小值，并指出此时x的取值范围；（2）若f（x）≥2x，求m的取值范围．2016-2017学年河北省唐山市高三（上）摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：∵A⊆{1，2，3，4，5}，且A∩{1，2，3}＝{1，2}，∴A＝{1，2}，{1，2，4}，{1，2，5}，}，{1，2，4，5}，即满足题意A的个数是4．故选：B．2．【解答】解：由（1+i）z＝i，则＝＝，故选：C．3．【解答】解：根据频率分布直方图知，成绩大于等于90分的频率为1﹣0.005×20＝0.9，对应人数为36，所以班级人数为＝40；成绩在[110，130）的频率为0.9﹣（0.02+0.01）×20＝0.3，所求的人数为40×0.3＝12．故选：A．4．【解答】解：“y＝f（x）的图象关于原点对称”，x∈R，可得y＝|f（x）|是偶函数．反之不成立，例如f（x）＝x2，满足y＝|f（x）|是偶函数，x∈R．因此，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件．故选：B．5．【解答】解：∵双曲线中，a＝2，b＝1∴c＝＝，可得F1（﹣，0）、F2（，0）∵点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝20根据双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝4∴两式联解，得|PF1|•|PF2|＝2因此△F1PF2的面积S＝|PF1|•|PF2|＝1故选：D．6．【解答】解：将函数g（x）＝2cos2x﹣1＝cos2x，x∈R的图象向右平移个单位，可得函数y＝cos2（x﹣）＝sin2x＝2sin x cos x，x∈R的图象，故选：D．7．【解答】解：模拟程序的运行，可得a＝1，b＝2，x＝1.5不满足条件x2﹣2＜0，b＝1.5，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.25，满足条件x2﹣2＜0，a＝1.25，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.375，满足条件x2﹣2＜0，a＝1.375，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.4375，不满足条件x2﹣2＜0，b＝1.4375，满足条件|a﹣b|＜0.1，退出循环，输出x的值为1.4375．故选：D．8．【解答】解：构建函数f（x）＝（）x﹣，则f（）＝＝＞0，f（）＝＜0∴函数的零点所在的区间是（，）∴解x0所在的区间是（，）故选：B．9．【解答】解：由题意，直观图为组合体，上方为三棱锥，下方为直三棱柱，由图中数据，可得几何体的体积为＝，故选：D．10．【解答】解：设把长为80cm的铁丝随机截成三段的长度分别为x，y，80﹣x﹣y，则由题意知，所以包含事件每段铁丝长度都不小于20cm所表示的面积为区域的面积为＝而基本事件所表示的平面80×80＝3200，所以由几何概型的计算公式即可得出每段铁丝长度都不小于20cm的概率为．故选：A．11．【解答】解：取CD的中点G，P A的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，如图所示：∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝4，∴EF＝HG＝PC＝2且EF∥HG∥PC，EH＝FG＝BD＝2且EH∥FG∥BD，故四边形EFGH为矩形，面积是4，△EIH中，EI＝HI＝，故EH上的高IJ＝，故△EIH的面积为，即平面EFGHI的面积为5，故选：C．12．【解答】解：设g（x）＝x3﹣3x2+8x﹣5，h（x）＝a（x+1），g'（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4），所以x＞4或者x＜2时函数递增，2＜x＜4时递减，并且g（1）＝，g（2）＝，g（3）＝1，g（4）＝，图象如图，函数h（x）经过（﹣1，0），要使存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，即g（x）＜h（x）有唯一正整数解，只要a＞0并且即解得；故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13．【解答】解：由（1﹣i）z＝4i，得＝，则|z|＝．故答案为：．14．【解答】解：∵tanθ＝，∴cos2θ＝＝＝＝．故答案为：．15．【解答】解：设点P（x0，），则由x2＝4y，求导y′＝x，∴抛物线在P点处的切线的斜率为k＝x0，∵圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）的圆心的坐标为C（1，2），∴k PC＝，∴k PC•k＝•x0＝﹣1，解得：x0＝2∴P（2，1），∴r＝丨PC丨＝＝，故答案为：．16．【解答】解：如图，连接BD，由AB＝8，AD＝5，∠A＝60°，则由余弦定理BD＝＝＝7，可得：cos∠1＝＝＝，可得：sin∠1＝＝，∵CD＝3，∠D＝150°，∴cos∠2＝cos（150°﹣∠2）＝（﹣）×+＝，∴BC＝＝＝7．故答案为：7．三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中（17）--（21）题必考题，（22），（23），（24）题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（1）设等差数列{a n}公差为d，由等差数列的前n项和公式可知：，整理得：解得，．由等差数列的通项公式a n＝2（n﹣1）+2＝2n，数列{a n}的通项公式a n＝2n；…（6分）（2）由（1）可知：b n＝+＝+＝﹣+2，T n＝1﹣+﹣+﹣+…+﹣+2n，＝+2n，＝，数列{b n}的前n项和T n＝．…（12分）18．【解答】解：（1）∵P A⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴P A⊥BC，又∵PB⊥BC，P A∩PB＝P，∴BC⊥平面P AB，∵AB⊂平面P AB，∴AB⊥BC∵△BCD为等边三角形，又AB＝AD，连接AC，则∠ACB＝30°，设AB＝x，则AC＝2x，又PC与平面ABCD所成角的正切值为，P A＝2，∴，得x＝2，即AB＝2；（2）由（1）求得BC＝BD＝2，PB＝PD＝，∵E为PC的中点，∴DE⊥PC，BE⊥PC，即PC⊥平面BED，∵，∴，∵AC＝4，P A＝2，∴，则PE＝，∴，则．设点E到平面PBD的距离为h，由V P﹣BDE＝V E﹣PBD，得，解得h＝．∴点E到平面PBD的距离为．19．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图得，数学成绩在[70，90），[90，110），[110，130），[130，150）内的频率分别为0.1，0.4，0.3，0.2，∴成绩在[70，90），[90，110），[110，130），[130，150）内的人数之比为1：4：3：2，∴采用分层抽样的方式抽取一个容量为10的样本，成绩在[70，90），[90，110），[110，130），[130，150）内所抽取的学生数分别为1，4，3，2．（2）由（1）知，从[110，130），[130，150）两组抽取人数分别为3人和2人，从这5人中任取2人，基本事件总数n＝＝10，恰有1人成绩在[110，130）包含的基本事件个数m＝＝6，∴恰有1人成绩在[110，130）的概率p＝．20．【解答】解：（1）设焦距为2c，则P（﹣c，）．由AB∥OP，得＝，则b＝c，a＝c，∴|AF|＝a+c＝（+1）c，又|AF|＝+1，则c＝1，b＝1，a＝，∴椭圆E的方程为+y2＝1；（2）由题意可设CD：y＝kx，设C（x1，y1），D（x2，y2），到AB的距离分别为d1，d2，将y＝kx代入+y2＝1，得x2＝，则x1＝，x2＝﹣．由A（，0），B（0，1）得|AB|＝，且AB：x+y﹣＝0，d1＝，d2＝﹣，S＝|AB|（d1+d2）＝[（x1﹣x2）+（y1﹣y2）]＝（1+k）（x1﹣x2）＝，S2＝2（1+），因为1+2k2≥2k，当且仅当2k2＝1时取等号，∴当k＝时，四边形ACBD的面积S取得最大值2．21．【解答】解：（1）f′（x）＝﹣＝，（x＞0）所以当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．…（5分）（2）证明：若函数y＝f（x）的两个零点为x1，x2（x1＜x2），由（1）可得0＜x1＜a＜x2．令g（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），（0＜x＜a）则g′（x）＝f′（x）+f′（2a﹣x）＝（x﹣a）[﹣]＜0，所以g（x）在（0，a）上单调递减，g（x）＞g（a）＝0，即f（x）＞f（2a﹣x）．令x＝x1＜a，则f（x1）＞f（2a﹣x1），所以f（x2）＝f（x1）＞f（2a﹣x1），由（1）可得f（x）在（a，+∞）上单调递增，所以x2＞2a﹣x1，故x1+x2＞2a．…（12分）请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】（1）证明：因为△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，所以A，B，C，D四点都在以AB为直径的圆上．因为BD平分∠ABC，且OD∥BC，所以∠OBD＝∠CBD＝∠ODB，OB＝OD．又∠OAD+∠OBD＝90°，∠ODA+∠ODB＝90°，所以∠OAD＝∠ODA，OA＝OD．所以OA＝OB，O是AB的中点，O为圆心．…（5分）（2）解：由BC＝2CF＝6，得BF＝3，由Rt△ADF∽Rt△BCF得＝＝2．设AD＝2DF＝2x，则AF＝x，由BD平分∠ABC得＝＝2，所以＝2，解得x＝，即AD＝2．连CD，由（1），CD＝AD＝2．…（10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，矩形ABCD内接于曲线C1，A，B两点的极坐标分别为（2，）和（2，），利用对称性可得：C，D，分别化为直角坐标：C，D．曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，化为直角坐标方程：x2+y2＝4．设曲线C2．上的任意一点坐标P（x，y），曲线C1的任意一点P′（x′，y′），则，可得．代入（x′）2+（y′）2＝4，得x2+4y2＝4，其参数方程为：．（2）A，B．设M（2cosθ，sinθ）．|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2＝++（sinθ﹣1）2++（sinθ+1）2++（sinθ+1）2＝12cos2θ+20∈[20，32]．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|＝2，当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时取等号．故f（x）的最小值为2，此时x的取值范围是[﹣1，1]．…（5分）（2）x≤0时，f（x）≥2x显然成立，所以此时m∈R；x＞0时，由f（x）＝x+1+|mx﹣1|≥2x得|mx﹣1|≥x﹣1，由y＝|mx﹣1|及y＝x﹣1的性质可得|m|≥1且≤1，解得m≥1，或m≤﹣1．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．…（10分）。