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北京101中2018届高三数学零模(理科)试题Word版含解析

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2018届北京101中高考数学零模试卷（理科）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设（1+i ）x=1+yi ，其中x ，y 是实数，则|x+yi|=（ ）A ．1B ．C ．D ．22．执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q＜0”是“对任意的正整数n ，a 2n ﹣1+a 2n ＜0”的（ ） A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，取DE 的中点F ，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知F 1，F 2是双曲线E ：﹣=1的左、右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1=，则E 的离心率为（ ）A．B．C．D．26．函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）A．B．C．D．7．若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）A．a c＜b c B．ab c＜ba cC．alogb c＜blogac D．logac＜logbc8．设△An BnCn的三边长分别是an，bn，cn，△AnBnCn的面积为Sn，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，bn+1=，则（）A．{Sn}为递减数列B．{Sn}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.9．已知等差数列{an }前9项的和为27，a10=8，则a100= ．10．在二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项为．11．直线（t为参数）与圆C：（x+6）2+y2=25交于A，B两点，且，则直线l的斜率为．12．在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ．14．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，对任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．16．在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD ⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18．设函数f（x）=alnx+x2﹣bx（a≠1），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为0，（1）求b ；（2）若存在x 0≥1，使得f （x 0）＜，求a 的取值范围．19．已知椭圆C ：9x 2+y 2=m 2（m ＞0），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点（，m ），延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．20．设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s （m ，n ）为所有这样的数表构成的集合．对于A ∈S （m ，n ），记r i （A ）为A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m ），C j （A ）为A 的第j 列各数之和（1≤j ≤n ）；记K （A ）为|r 1（A ）|，|R 2（A ）|，…，|Rm （A ）|，|C 1（A ）|，|C 2（A ）|，…，|Cn （A ）|中的最小值． （1）如表A ，求K （A ）的值；（2）设数表A ∈S （2，3）形如求K （A ）的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S （2，2t+1），求K （A ）的最大值．2018届北京101中高考数学零模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1 B．C．D．2【考点】复数求模．【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x=1+yi，∴x+xi=1+yi，即，解得，即|x+yi|=|1+i|=，故选：B．2．执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：输入的a值为1，则b=1，第一次执行循环体后，a=﹣，不满足退出循环的条件，k=1；第二次执行循环体后，a=﹣2，不满足退出循环的条件，k=2；第三次执行循环体后，a=1，满足退出循环的条件，故输出的k值为2，故选：B3．设{an }是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用必要、充分及充要条件的定义判断即可．【解答】解：{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，若“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”不一定成立，例如：当首项为2，q=﹣时，各项为2，﹣1，，﹣，…，此时2+（﹣1）=1＞0， +（﹣）=＞0；而“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”，前提是“q＜0”，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n﹣1+a2n＜0”的必要而不充分条件，故选：C．4．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，取DE的中点F，则的值为（）A． B． C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意画出图形，把、用、表示，再代入数量积公式计算即可．【解答】解：如图所示，∵D、E分别是边AB、BC的中点，F是DE的中点，∴==（﹣），∴=+=+=+（﹣）=﹣；∴•=（﹣）•=﹣•=×12﹣×1×1×cos=﹣．故选：B．5．已知F1，F2是双曲线E：﹣=1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，利用勾股定理，求出x=，利用sin∠MF2F1=，求得x=a，可得=a，求出a=b，即可得出结论．【解答】解：设|MF1|=x，则|MF2|=2a+x，∵MF1与x轴垂直，∴（2a+x ）2=x 2+4c 2，∴x=∵sin ∠MF 2F 1=， ∴3x=2a+x ， ∴x=a ，∴=a ，∴a=b ，∴c=a ，∴e==．故选：A ．6．函数y=2x 2﹣e |x|在[﹣2，2]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象．【分析】根据已知中函数的解析式，分析函数的奇偶性，最大值及单调性，利用排除法，可得答案．【解答】解：∵f （x ）=y=2x 2﹣e |x|， ∴f （﹣x ）=2（﹣x ）2﹣e |﹣x|=2x 2﹣e |x|， 故函数为偶函数，当x=±2时，y=8﹣e 2∈（0，1），故排除A ，B ； 当x ∈[0，2]时，f （x ）=y=2x 2﹣e x ， ∴f′（x ）=4x ﹣e x =0有解，故函数y=2x 2﹣e |x|在[0，2]不是单调的，故排除C ， 故选：D7．若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则（ ） A ．a c ＜b c B ．ab c ＜ba cC ．alog b c ＜blog a cD ．log a c ＜log b c【考点】不等式比较大小；对数值大小的比较．【分析】根据已知中a ＞b ＞1，0＜c ＜1，结合对数函数和幂函数的单调性，分析各个结论的真假，可得答案．【解答】解：∵a ＞b ＞1，0＜c ＜1，∴函数f （x ）=x c 在（0，+∞）上为增函数，故a c ＞b c ，故A 错误；函数f （x ）=x c ﹣1在（0，+∞）上为减函数，故a c ﹣1＜b c ﹣1，故ba c ＜ab c ，即ab c ＞ba c ；故B 错误；log a c ＜0，且log b c ＜0，log a b ＜1，即=＜1，即log a c ＞log b c ．故D 错误；0＜﹣log a c ＜﹣log b c ，故﹣blog a c ＜﹣alog b c ，即blog a c ＞alog b c ，即alog b c ＜blog a c ，故C 正确； 故选：C8．设△A n B n C n 的三边长分别是a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ∈N *，若b 1＞c 1，b 1+c 1=2a 1，b n+1=，则（ ）A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n ﹣1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n ﹣1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【考点】数列的函数特性．【分析】由a n+1=a n 可知△A n B n C n 的边B n C n 为定值a 1，由b n+1+c n+1﹣2a 1=（b n +c n ﹣2a n ），b 1+c 1=2a 1得b n +c n =2a 1，则在△A n B n C n 中边长B n C n =a 1为定值，另两边A n C n 、A n B n 的长度之和b n +c n =2a 1为定值，由此可知顶点A n 在以B n 、C n 为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=（c n ﹣b n ），得b n ﹣c n =，可知n→+∞时b n →c n ，据此可判断△A n B n C n 的边B n C n 的高h n 随着n 的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b 1=2a 1﹣c 1且b 1＞c 1，∴2a 1﹣c 1＞c 1，∴a 1＞c 1， ∴b 1﹣a 1=2a 1﹣c 1﹣a 1=a 1﹣c 1＞0，∴b 1＞a 1＞c 1，又b 1﹣c 1＜a 1，∴2a 1﹣c 1﹣c 1＜a 1，∴2c 1＞a 1，∴c 1，由题意，b n+1+c n+1=+a n ，∴b n+1+c n+1﹣2a n =（b n +c n ﹣2a n ），∴b n +c n ﹣2a n =0，∴b n +c n =2a n =2a 1，∴b n +c n =2a 1，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴b n+1﹣（2a 1﹣b n+1）==a 1﹣b n ，b n+1﹣a 1=（a 1﹣b n ）=（b 1﹣a 1）．∴b n =a 1+（b 1﹣a 1），c n =2a 1﹣b n =a 1﹣（b 1﹣a 1），=•=单调递增．可得{S n }单调递增． 故选：B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.9．已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10=8，则a 100= 98 ． 【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a 100．【解答】解：∵等差数列{a n }前9项的和为27，a 10=8，∴，解得a 1=﹣1，d=1， ∴a 100=a 1+99d=﹣1+99=98． 故答案为：98．10．在二项式的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项为 112 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n =256，解得n ，利用通项公式即可得出． 【解答】解：由题意可得：2n =256，解得n=8．的通项公式为：T r+1==（﹣2）r．令=0，解得r=2．∴常数项==112．故答案为：112．11．直线（t 为参数）与圆C ：（x+6）2+y 2=25交于A ，B 两点，且，则直线l 的斜率为 ±．【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】直线（t 为参数）与圆C ：（x+6）2+y 2=25联立，可得t 2+12tcos α+11=0，|AB|=|t 1﹣t 2|=⇒（t 1+t 2）2﹣4t 1t 2=10，即可得出结论．【解答】解：直线（t 为参数）与圆C ：（x+6）2+y 2=25联立，可得t 2+12tcos α+11=0．t 1+t2=﹣12cosα，t1t2=11．∴|AB|=|t1﹣t2|=⇒（t1+t2）2﹣4t1t2=10，⇒cos2α=，tanα=±，∴直线AB的斜率为±．故答案为±．12．在[﹣1，1]上随机地取一个数k，则事件“直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交”发生的概率为．【考点】几何概型．【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可得到直线与圆相交，可求出满足条件的k，最后根据几何概型的概率公式可求出所求．【解答】解：圆（x﹣5）2+y2=9的圆心为（5，0），半径为3．圆心到直线y=kx的距离为，要使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交，则＜3，解得﹣＜k＜．∴在区间[﹣1，1]上随机取一个数k，使直线y=kx与圆（x﹣5）2+y2=9相交相交的概率为=．故答案为：．13．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b= ．【考点】解三角形．【分析】运用同角的平方关系可得sinA，sinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得sinB，运用正弦定理可得b=，代入计算即可得到所求值．【解答】解：由cosA=，cosC=，可得sinA===，sinC===，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，由正弦定理可得b===．故答案为：．14．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 6 ．【考点】集合的相等．【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15．已知．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当时，对任意的t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）首先根据向量的坐标运算求出函数的解析式，进一步变函数为正弦型函数，最后求出单调区间．（2）根据函数与的定义域求出函数的值域，进一步利用恒成立问题，利用分类讨论的思想求出m的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴f（x）=2sinxcosx+（cosx+sinx）（sinx﹣cosx）=sin2x﹣cos2x═2sin（2x﹣），令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z），解得：﹣+kπ≤x≤+kπ，所以：函数f（x）的单调递增区间为：[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）．单调递减区间为[+kπ， +kπ]（k∈Z）．（2）当时，≤2x﹣≤，，对任意t∈R，不等式mt2+mt+3≥f（x）恒成立．成立即可．只需满足：mt2+mt+3≥f（x）max即mt2+mt+1≥0即可．①当m=0时，恒成立②当m≠0时，只需满足解得：0＜m≤4综合所得：0≤m≤4．16．在平面四边形ABCD中，AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD ⊥平面BCD，如图．（1）求证：AB⊥CD；（2）若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）利用面面垂直的性质定理即可得出；（2）建立如图所示的空间直角坐标系．设直线AD与平面MBC所成角为θ，利用线面角的计算公式sinθ=|cos|=即可得出．【解答】（1）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD，又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB=BD=CD=1，AB⊥BD，CD⊥BD，∴B（0，0，0），C（1，1，0），A（0，0，1），D（0，1，0），M．∴=（0，1，﹣1），=（1，1，0），=．设平面BCM的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣1，则x=1，z=1．∴=（1，﹣1，1）．设直线AD与平面MBC所成角为θ．则sinθ=|cos|===．17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）设每盘游戏获得的分数为X ，求出对应的概率，即可求X 的分布列； （2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论． （3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可． 【解答】解：（1）X 可能取值有﹣200，10，20，100．则P （X=﹣200）=，P （X=10）==P （X=20）==，P （X=100）==，故分布列为：由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏获得的分数为X 的数学期望是E （X ）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．18．设函数f （x ）=alnx+x 2﹣bx （a ≠1），曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0， （1）求b ；（2）若存在x 0≥1，使得f （x 0）＜，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）利用导数的几何意义即可得出；（2）对a 分类讨论：当a 时，当a ＜1时，当a ＞1时，再利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：（1）f′（x ）=（x ＞0），∵曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为0， ∴f′（1）=a+（1﹣a ）×1﹣b=0，解得b=1．（2）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），由（1）可知：f （x ）=alnx+，∴=．①当a时，则，则当x ＞1时，f′（x ）＞0，∴函数f （x ）在（1，+∞）单调递增，∴存在x 0≥1，使得f （x 0）＜的充要条件是，即，解得；②当a ＜1时，则，则当x ∈时，f′（x ）＜0，函数f （x ）在上单调递减；当x ∈时，f′（x ）＞0，函数f （x ）在上单调递增．∴存在x 0≥1，使得f （x 0）＜的充要条件是，而=+，不符合题意，应舍去．③若a ＞1时，f （1）=，成立．综上可得：a 的取值范围是．19．已知椭圆C ：9x 2+y 2=m 2（m ＞0），直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（2）若l 过点（，m ），延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率．【分析】（1）联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论．（2）四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P =2x M ，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：（1）设直线l ：y=kx+b ，（k ≠0，b ≠0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x M ，y M ）， 将y=kx+b 代入9x 2+y 2=m 2（m ＞0），得（k 2+9）x 2+2kbx+b 2﹣m 2=0， 则判别式△=4k 2b 2﹣4（k 2+9）（b 2﹣m 2）＞0，则x 1+x 2=，则x M ==，y M =kx M +b=，于是直线OM 的斜率k OM ==，即k OM •k=﹣9，∴直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． （2）四边形OAPB 能为平行四边形．∵直线l 过点（，m ），∴由判别式△=4k 2b 2﹣4（k 2+9）（b 2﹣m 2）＞0， 即k 2m 2＞9b 2﹣9m 2，∵b=m ﹣m ，∴k 2m 2＞9（m ﹣m ）2﹣9m 2， 即k 2＞k 2﹣6k ， 即6k ＞0， 则k ＞0，∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3，由（1）知OM 的方程为y=x ，设P 的横坐标为x P ，由得，即x P =，将点（，m ）的坐标代入l 的方程得b=，即l 的方程为y=kx+，将y=x ，代入y=kx+，得kx+=x解得x M =，四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P =2x M ，于是=2×，解得k 1=4﹣或k 2=4+，∵k i ＞0，k i ≠3，i=1，2，∴当l 的斜率为4﹣或4+时，四边形OAPB 能为平行四边形．20．设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s （m ，n ）为所有这样的数表构成的集合．对于A ∈S （m ，n ），记r i （A ）为A 的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m ），C j （A ）为A 的第j 列各数之和（1≤j ≤n ）；记K （A ）为|r 1（A ）|，|R 2（A ）|，…，|Rm （A ）|，|C 1（A ）|，|C 2（A ）|，…，|Cn （A ）|中的最小值． （1）如表A ，求K （A ）的值；（2）设数表A ∈S （2，3）形如求K （A ）的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S （2，2t+1），求K （A ）的最大值． 【考点】进行简单的演绎推理；进行简单的合情推理．【分析】（1）根据r i （A ），C j （A ），定义求出r 1（A ），r 2（A ），c 1（A ），c 2（A ），c 3（A ），再根据K （A ）为|r 1（A ）|，|R 2（A ）|，|R 3（A ）|，|C 1（A ）|，|C 2（A ）|，|C 3（A ）|中的最小值，即可求出所求．（2）先用反证法证明k （A ）≤1，然后证明k （A ）=1存在即可；（3）首先构造满足的A={a i ，j }（i=1，2，j=1，2，…，2t+1），然后证明是最大值即可．【解答】解：（1）由题意可知r 1（A ）=1.2，r 2（A ）=﹣1.2，c 1（A ）=1.1，c 2（A ）=0.7，c 3（A ）=﹣1.8 ∴K （A ）=0.7（2）先用反证法证明k （A ）≤1： 若k （A ）＞1则|c 1（A ）|=|a+1|=a+1＞1，∴a ＞0 同理可知b ＞0，∴a+b ＞0 由题目所有数和为0 即a+b+c=﹣1 ∴c=﹣1﹣a ﹣b ＜﹣1 与题目条件矛盾 ∴k （A ）≤1．易知当a=b=0时，k （A ）=1存在 ∴k （A ）的最大值为1（3）k （A ）的最大值为．首先构造满足的A={a i，j}（i=1，2，j=1，2，…，2t+1）：，．经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且，，．下面证明是最大值．若不然，则存在一个数表A ∈S （2，2t+1），使得． 由k （A ）的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x ，2]中．由于x ＞1，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x ﹣1．设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g ＜h ，则g ≤t ，h ≥t+1．另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x ﹣1（即每个负数均不超过1﹣x ）．因此|r 1（A ）|=r 1（A ）≤t•1+（t+1）（1﹣x ）=2t+1﹣（t+1）x=x+（2t+1﹣（t+2）x ）＜x ，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾．因此k （A ）的最大值为．。

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北京一零第一中学2018-2019学年高三数学理上学期期末试题含解析

北京一零第一中学2018-2019学年高三数学理上学期期末试题含解析

北京一零第一中学2018-2019学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若如图的程序框图输出的S是126，则①应为（）B略2. 若函数y=sinx+f（x）在[﹣，]内单调递增，则f（x）可以是（）A．1 B．cosx C．sinx D．﹣cosx参考答案：D【考点】正弦函数的单调性；余弦函数的单调性．【专题】计算题．【分析】A、C在[﹣，]内单调递增是不正确的；对于B，y=sinx+cosx，化简判断单调性即可判断正误；y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），求解即可．【解答】解：由题意可知A、C显然不满足题意，排除；对于B，y=sinx+cosx=sin （x+），在[﹣，]内不是单调递增，所以不正确；对于D：y=sinx﹣cosx=sin（x﹣），﹣≤x﹣≤，满足题意，所以f （x）可以是﹣cosx．故选D【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简，三角函数的单调性的应用，考查计算能力，常考题型．3. 设是两条直线，是两个平面，则的一个充分条件是( )A．B．C．D．参考答案：C4. 复数的虚部为（）A． i B．﹣i C． 1 D．﹣1参考答案：D5. 设等差数列的前项和为,点在直线上,则A. 4034B. 2017C. 1008D. 1010参考答案：B6. 如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（）A. 8B. 4C.D.参考答案：C7. 双曲线一条渐近线的倾斜角为，离心率为，当取最小值时，双曲线的实轴长为A. B. C. D.4参考答案：B8. 已知函数的零点分别为，则的大小关系是A． B． C． D．不能确定参考答案：A9. 若，则下列不等式一定成立的是A. B. C. D.参考答案：B略10. 某居民小区为如图所示矩形ABCD，A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF，若在该小区内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是(注：该小区内无其他信号来源, 基站工作正常).A．B．C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是___________.参考答案：略12. 行列式中元素7的代数余子式是．参考答案：13. 已知数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），若不等式++t?a n≥0恒成立，则实数t的取值范围是．参考答案：[﹣9，+∞）．【分析】由数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），两边取倒数可得：﹣=1．利用等差数列的通项公式即可得出a n．不等式++t?a n≥0化为：t≥﹣．再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：由数列{a n}满足a1=，a n+1=（n∈N*），两边取倒数可得：﹣=1．∴数列是等差数列，公差为1，首项为2．∴=2+（n﹣1）=n+1，∴a n=．不等式++t?a n≥0化为：t≥﹣．∵+5≥2=4，当且仅当n=2时取等号．∵﹣≤﹣9．∵实数t的取值范围若不等式++t?a n≥0恒成立，∴t≥﹣9．则实数t的取值范围[﹣9，+∞）．故答案为：[﹣9，+∞）．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14. 的展开式中常数项是_______。

北京市一零一中学2018-2019年11月高考数学模拟题

北京市一零一中学2018-2019年11月高考数学模拟题

北京市一零一中学2018-2019 年 11 月高考数学模拟试题班级 __________座号 _____姓名 __________分数 __________一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分 .每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .）1．知足以下条件的函数f (x) 中， f (x) 为偶函数的是（） A. f (e x ) | x |B. f (e x ) e 2 xC. f (ln x)ln x 2D. f (ln x)x1x【命题企图】此题考察函数的分析式与奇偶性等基础知识，意在考察剖析求解能力 .2． 若复数 z 1, z 2 在复平面内对应的点对于y 轴对称， 且 z 1 2 i ，则复数 z 1在复平面内对应的点在 （）z 2A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【命题企图】此题考察复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考察转变思想与计算能力．3． 一个几何体的三个视图以下，每个小格表示一个单位 , 则该几何体的侧面积为（）A. 4B. 2 5C. 5D. 22 5【命题企图】 此题考察空间几何体的三视图，几何体的侧面积等基础知识， 意在考察学生空间想象能力和计算能力．4． 将函数 f ( x)2sin(x) 的图象向左平移 个单位，再向上平移 3 个单位，获得函数 g( x) 的图象，364则 g(x) 的分析式为（ ）A ． g( x)2sin(x) 3B ．3 4C ． g( x)x) 3 D ． 2sin(3 12g (x)2 sin(x) 334 g( x) x ) 3 2sin(312【命题企图】 此题考察三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 5．设会合AxR |2x2 ， Bx | x10 ，则A(e R B)（） A.x |1x2B.x |2x1C.x |2x1D.x |2x 2【命题企图】此题主要考察会合的观点与运算，属简单题.6．某几何体的三视图以下（此中三视图中两条虚线相互垂直）则该几何体的体积为（）第1页，共15页8A. 3 B ． 416 20C. 3 D ．3x2 y21 (a 0, b 0) 左支上一点，F1，F2 是双曲线的左、7．已知点P是双曲线 C：b2a2右两个焦点，且 PF1 PF2，PF2与两条渐近线订交于M ，N两点（如图），点 N 恰巧均分线段 PF2，则双曲线的离心率是（）A. 5B.2C. 3D. 2【命题企图】此题考察双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考察运算求解能力.8．已知a, b, c为ABC 的三个角A, B, C所对的边，若3b cosCc(13cos B) ，则sin C:sinA（）A ．2︰ 3B．4︰3C．3︰1D．3︰2【命题企图】此题考察正弦定理、余弦定理，意在考察转变能力、运算求解能力．2＋2z9．复数知足＝iz，则z等于（）1－ iA ．1＋ iB ．－ 1＋ iC． 1－ i D ．－ 1－ i10．已知会合A{2, 1,0,1,2,3} ， B{ y | y| x | 3, xA} ，则AB（）A ．{2, 1,0}B．{1,0,1,2}C．{2, 1,0}D ．{1,,0,1}【命题企图】此题考察会合的交集运算，意在考察计算能力．二、填空题（本大题共5 小题，每题 5 分，共 25 分 .把答案填写在横线上）11．如图，已知m ， n 是异面直线，点A ，Bm ，且 AB6 ；点 C ， Dn ，且 CD4 .若M， N 分第2页，共15页别是 AC ，BD 的中点， MN22 ，则m 与n 所成角的余弦值是______________.【命题企图】 此题考察用空间向量知识求异面直线所成的角，考察空间想象能力，推理论证能力， 运算求解能 力 .12 ．已知函数f (x) 2 tan x ，则 f ( ) 的值是 _______， f ( x) 的最小正周期是 ______.1 tan2 x 3【命题企图】此题考察三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考察运算求解能力．13． F 1 ， F 2x 2 y 2 1（ a ， b0 ）的左、右焦点，点 P 在双曲线上，知足 PF 1 PF 2 0 ，分别为双曲线b 2a 23 1若 PF 1 F 2 的内切圆半径与外接圆半径之比为，则该双曲线的离心率为 ______________.2【命题企图】 此题考察双曲线的几何性质， 直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考察基本运算能力及推理能力．14．如图，在三棱锥 P ABC 中， PA PB PC ， PA PB ， PA PC ， △PBC 为等边三角形，则 PC与平面 ABC 所成角的正弦值为______________.【命题企图】此题考察空间直线与平面所成角的观点与计算方法，意在考察学生空间想象能力和计算能力．15．已知向量 a,b 知足 a 22 ， (a b) (3a b) 4 ，则 a 与 b 的夹角为4 ， | b | .【命题企图】 此题考察向量的数目积、 模及夹角知识， 突出对向量的基础运算及化归能力的考察， 属于简单题 .三、解答题（本大共 6 小题，共 75 分。

北京市2018届高三零模数学试卷(理科)_Word版含解析

北京市2018届高三零模数学试卷(理科)_Word版含解析

北京市2018届高三零模试卷（理科数学）一、选择题（A∪B）=（）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁UA．{3} B．{2} C．{1，2，4} D．{1，4}2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．圆的圆心坐标是（）A．（0，2）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（﹣2，0）4．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（）A．140种B．34种C．35种D．120种5．执行如图所示的程序框图，若输入的N是6，则输出P的值是（）A．120 B．720 C．1440 D．50406．若（x2﹣）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A．﹣84 B．84 C．﹣36 D．367．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．8．如图，已知平面α∩β=l，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且DA ⊥α，CB ⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P ，使得∠APD=∠BPC ，则P ﹣ABCD 体积的最大值是（ ）A ．B ．16C ．48D ．144二、填空题9．设向量=（cosθ，1），=（1，3cosθ），且∥，则cos2θ=______． 10．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4+a k =0，则k=______．11．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ，若DF=CF=2，AF ：FB ：BE=4：2：1，则线段CE 的长为______．12．设函数的最小值为﹣1，则实数a 的取值范围是______．13．如图，圆O ：x 2+y 2=π2内的正弦曲线y=sinx 与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是______．14．集合U={（x ，y ）|x ∈R ，y ∈R}，M={（x ，y ）||x|+|y|＜a}，P={（x ，y ）|y=f （x ）}，现给出下列函数：①y=a x ，②，③y=sin（x+a ），④y=cosax，若0＜a ＜1时，恒有P∩∁U M=P ，则所有满足条件的函数f （x ）的编号是______．三、解答题15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且（2a ﹣c ）cosB=bcosC ． （Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若，求△ABC 的面积．16．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ； （Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点． （Ⅰ）求证：AB 1∥面BDC 1；（Ⅱ）求二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论．18．已知函数f （x ）=x 2+2alnx ．（Ⅰ）若函数f （x ）的图象在（2，f （2））处的切线斜率为1，求实数a 的值； （Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间； （Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a 的取值范围．19．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F 的直线与椭圆分别交于A 、B 两点，若三角形OAB 的面积为，求直线AB 的方程．20．若数列{A n }满足A n+1=A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1=2，点（a n ，a n+1）在函数f （x ）=2x 2+2x 的图象上，其中n 为正整数．（1）证明数列{2a n +1}是“平方递推数列”，且数列{lg （2a n +1）}为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n =（2a 1+1）（2a 2+1）…（2a n +1），求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式； （3）记b n =log T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞2012的n 的最小值．北京市2018届高三零模试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（A∪B）=（）1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁UA．{3} B．{2} C．{1，2，4} D．{1，4}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据A与B求出两集合的并集，找出全集U中不属于并集的部分即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1，2}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4}，∵全集U={1，2，3，4}，（A∪B）={3}．∴∁U故选A2．在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D．3．圆的圆心坐标是（）A．（0，2）B．（2，0）C．（0，﹣2）D．（﹣2，0）【考点】圆的参数方程．【分析】把圆的参数方程利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为直角直角坐标方程为 x2+（y﹣2）2=4，从而求得圆心坐标．【解答】解：∵圆，利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为直角直角坐标方程为 x2+（y﹣2）2=4，故圆心坐标为（0，2），故选A．4．某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加志愿者活动，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的推选法共有（）A．140种B．34种C．35种D．120种【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，选用排除法，分3步，①计算从7人中，任取4人参加志愿者活动选法，②计算选出的全部为男生或女生的情况数目，③由事件间的关系，计算可得答案．【解答】解：分3步来计算，①从7人中，任取4人参加志愿者活动，分析可得，这是组合问题，共C74=35种情况；②选出的4人都为男生时，有1种情况，因女生只有3人，故不会都是女生，③根据排除法，可得符合题意的选法共35﹣1=34种；故选：B5．执行如图所示的程序框图，若输入的N是6，则输出P的值是（）A．120 B．720 C．1440 D．5040【考点】程序框图．【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【解答】解：P=1×1=1，1＜N成立，循环K=2，P=1×2=2，2＜N成立，循环K=3，P=2×3=6，3＜N成立，循环K=4，P=6×4=24，4＜N成立，循环K=5，P=24×5=120，5＜N成立，循环K=6，P=120×6=720，6＜N不成立，输出P=720，故选：B6．若（x2﹣）n展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为（）A．﹣84 B．84 C．﹣36 D．36【考点】二项式系数的性质．【分析】首先利用所有二项式系数和为512，求出n，再利用二项展开式的通项公式求二项展开式常数项．【解答】解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n=512，则n=9，T r+1=（﹣1）r C9r x18﹣3r令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故选：B．7．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，求出相应的体积，即可求得结论．【解答】解：由题意知，根据三视图可知，几何体是组合体，下面是正方体，棱长为2，体积为8；上面是侧棱长为2，底面边长为2的正四棱锥，所以底面积为4，高为=，故体积为∴几何体的体积为故选B．8．如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则P﹣ABCD体积的最大值是（）A．B．16 C．48 D．144【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】本题需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征，由题设条件知两个直角三角形△PAD与△PBC是相似的直角三角形，可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足为D，令AD=t，将四棱锥的体积用t表示出来，由二次函数求最值可得出正确选项．【解答】解：由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．作PM⊥AB，垂足为M，则PM⊥β，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，PM是公共边及PB=2PA，∴PA2﹣t2=4PA2﹣（6﹣t）2，解得PA2=12﹣4t．∴PM=，即四棱锥的高为，底面为直角梯形，S==36∴四棱锥P ﹣ABCD 的体积V==12=48，即四棱锥P ﹣ABCD 体积的最大值为48， 故选C ．二、填空题9．设向量=（cosθ，1），=（1，3cosθ），且∥，则cos2θ= ．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】由两个向量共线的性质可得cosθ•3cosθ﹣1=0，cos 2θ=，再由 cos2θ=2cos 2θ﹣1 求得结果． 【解答】解：∵向量，且，则有cosθ•3cosθ﹣1=0，∴cos 2θ=，故 cos2θ=2cos 2θ﹣1=﹣， 故答案为．10．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4+a k =0，则k= 10 ． 【考点】等差数列的性质．【分析】先设出等差数列{a n }的首项和公差为a 1、d ，由等差数列的前n 项和代入条件得到a 1和d 关系，再由通项公式代入a k +a 4=0，求出k 的值．【解答】解：∵等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和， ∴9a 1+36d=4a 1+6d ，其中a 1为首项，d 为等差数列的公差， ∴a 1=﹣6d ， 又∵a k +a 4=0∴a 1+（k ﹣1）d+a 1+3d=0，把a 1=﹣6d 代入上式得，k=10， 故答案为：1011．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，CE 与圆相切交AB 延长线上于点E ，若DF=CF=2，AF ：FB ：BE=4：2：1，则线段CE 的长为 ．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】设出AF=4k ，BF=2k ，BE=k ，由DF•FC=AF•BF 求出k 的值，利用切割定理求出CE ． 【解答】解：由题意，设AF=4k ，BF=2k ，BE=k ，由DF•FC=AF•BF，得8=8k 2，∴k=1． ∴AF=4，BF=2，BE=1， ∴AE=7；由切割线定理得CE2=BE•EA=1×7=7．∴CE=．故答案为：12．设函数的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是a≥﹣．【考点】函数最值的应用．【分析】根据函数在（﹣∞，）上单调递减，求出函数的最值，根据题意建立不等式，解之即可．【解答】解：当x＜时，f（x）=﹣x+a，该函数在（﹣∞，）上单调递减则﹣x+a＞﹣+a而函数的最小值为﹣1∴﹣+a≥﹣1解之a≥﹣故答案为：a≥﹣13．如图，圆O：x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率是．【考点】几何概型．【分析】先求构成试验的全部区域为圆内的区域的面积，再利用积分知识可得正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M的面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosxπ=4，代入几何概率的计算公式可求【解答】解：构成试验的全部区域为圆内的区域，面积为π3正弦曲线y=sinx与x轴围成的区域记为M，面积为S=2∫0πsinxdx=﹣2cosx|π=4由几何概率的计算公式可得，随机往圆O内投一个点A，则点A落在区域M内的概率P=故答案为：14．集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，M={（x，y）||x|+|y|＜a}，P={（x，y）|y=f（x）}，现给出下列函M=P，则所有满足条件数：①y=a x，②，③y=sin（x+a），④y=cosax，若0＜a＜1时，恒有P∩∁U的函数f（x）的编号是①②④．【考点】绝对值不等式的解法；对数函数的值域与最值；余弦函数的定义域和值域．【分析】利用补集的定义求出∁uM，由P∩∁uM=P，得到P⊆∁uM，故P中的函数f（x）必须满足||x|+|y|≥a，检验各个选项是否满足此条件．【解答】解：∵∁uM={（x，y）||x|+|y|≥a}，0＜a＜1时，P∩∁uM=P，∴P={（x，y）y=f（x）}⊆∁uM，如图所示：结合图形可得满足条件的函数图象应位于曲线|x|+|y|=a（﹣a≤x≤a ）的上方．①中，x∈R，y＞0，满足|x|+|y|≥a，故①可取．x∈R，满足||x|+|y|≥a，故②可取．②中，x＞0，y=loga③中的函数不满足条件，如 x=0，a=时，y=，不满足|x|+|y|≥a．④中x∈R，﹣1≤y≤1，满足||x|+|y|≥a，故④可取．故答案为①②④．三、解答题15．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且（2a﹣c）cosB=bcosC．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．【考点】正弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理可得．又0＜B＜π，从而得到角B的大小．（Ⅱ）由正弦定理，求得b的值，再由求出sinC的值，根据△ABC的面积运算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）因为（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC．…∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA．…∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴．又∵0＜B＜π，∴．…（Ⅱ）由正弦定理，得，…由可得，由，可得，…∴． …16．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．（Ⅰ）记甲投中的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ； （Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 【分析】（Ⅰ）确定ξ的可能取值，求出相应的概率，即可得到ξ的分布列及数学期望Eξ； （Ⅱ）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率；（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，则A=B 1∪B 2，利用互斥事件的概率公式，即可求得结论． 【解答】解：（Ⅰ）ξ的可能取值为：0，1，2，3． … 则；； ；．ξ的分布列如下表： ξ 0 1 2 3 P… ∴． …（Ⅱ）利用对立事件，可得乙至多投中2次的概率为． …（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件A ，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件B 1，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件B 2，则A=B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件． … 所以P （A ）=P （B 1）+P （B 2）=．所以乙恰好比甲多投中2次的概率为． …17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点． （Ⅰ）求证：AB 1∥面BDC 1；（Ⅱ）求二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（I ）连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD ，我们由三角形的中位线定理，易得OD ∥AB 1，进而由线面平行的判定定理得到AB 1∥面BDC 1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C 1BD 和平面BDC 的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值；（Ⅲ）假设侧棱AA 1上存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1，我们可以设出P 点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P 点不存在．【解答】证明：（I ）连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点．又D 是AC 的中点，∴OD ∥AB 1．∵AB1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1∥面BDC 1．解：（II ）如图，建立空间直角坐标系，则C 1（0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0），D （1，3，0） 设=（x ，y ，z ）是面BDC 1的一个法向量，则即，令x=1 则=（1，，）． 易知=（0，3，0）是面ABC 的一个法向量．∴cos ＜，＞=． ∴二面角C 1﹣BD ﹣C 的余弦值为．（III ）假设侧棱AA 1上存在一点P （2，y ，0）（0≤y ≤3），使得CP ⊥面BDC 1． 则，即∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1．18．已知函数f（x）=x2+2alnx．（Ⅰ）若函数f（x）的图象在（2，f（2））处的切线斜率为1，求实数a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后由由已知f'（2）=1，可求a（II）先求函数f（x）的定义域为（0，+∞），要判断函数的单调区间，需要判断导数的正负，分类讨论：分（1）当a≥0时，（2）当a＜0时两种情况分别求解（II）由g（x）可求得g′（x），由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，可知g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，要求a的范围，只要求解，在[1，2]上的最小值即可【解答】解：（Ⅰ）…由已知f'（2）=1，解得a=﹣3．…（II）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．（1）当a≥0时，f'（x）＞0，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；…（2）当a＜0时．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下：xf'（x）﹣0 +f（x）极小值由上表可知，函数f（x）的单调递减区间是；单调递增区间是．…（III）由得，…由已知函数g（x）为[1，2]上的单调减函数，则g'（x）≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立．即在[1，2]上恒成立．…令，在[1，2]上，所以h（x）在[1，2]为减函数.，所以．…19．已知椭圆+=1（a＞b＞0）右顶点与右焦点的距离为﹣1，短轴长为2．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过左焦点F的直线与椭圆分别交于A、B两点，若三角形OAB的面积为，求直线AB的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，可得，由此，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时不符合题意；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得，进而可求三角形的面积，利用，即可求出直线AB 的方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，解得．即椭圆方程为（Ⅱ）当直线AB与x轴垂直时，，此时S=不符合题意，故舍掉；当直线AB与x轴不垂直时，设直线 AB的方程为：y=k（x+1），代入消去y得：（2+3k2）x2+6k2x+（3k2﹣6）=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以．原点到直线的AB距离，所以三角形的面积． 由可得k 2=2，∴， 所以直线或．20．若数列{A n }满足A n+1=A n 2，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1=2，点（a n ，a n+1）在函数f （x ）=2x 2+2x 的图象上，其中n 为正整数．（1）证明数列{2a n +1}是“平方递推数列”，且数列{lg （2a n +1）}为等比数列；（2）设（1）中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n =（2a 1+1）（2a 2+1）…（2a n +1），求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；（3）记b n =log T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞2012的n 的最小值．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a n+1=2a n 2+2a n ，2a n+1+1=2（2a n 2+2a n ）+1=（2a n +1）2，能证明数列{2a n +1}是“平方递推数列”，由此能求出数列{lg （2a n +1）}为首项是lg5，公比为2的等比数列．（2）由已知得a n =（5﹣1），由此能求出T n =5．（3）由b n ===2﹣，得S n =2n ﹣2+．由此能求出使S n ＞2012的n 的最小值．【解答】（1）证明：∵a n+1=2a n 2+2a n ，2a n+1+1=2（2a n 2+2a n ）+1=（2a n +1）2，∴数列{2a n +1}是“平方递推数列”．由以上结论lg （2a n+1+1）=lg （2a n +1）2=2lg （2a n +1），∴数列{lg （2a n +1）}为首项是lg5，公比为2的等比数列．（2）解：lg （2a n +1）=[lg （2a 1+1）]×2n ﹣1=2n ﹣1lg 5=lg5，∴2a n +1=5，∴a n =（5﹣1）． ∵lg T n =lg （2a 1+1）+…+lg （2a n +1）=（2n ﹣1）lg 5，∴T n =5．（3）解：∵b n ===2﹣， ∴S n =2n ﹣2+．∵S n ＞2 012，∴2n ﹣2+＞2 012．∴n+＞1008．∴n=1008．min。

北京市101中学2018届高三数学第三次模拟考试试题

北京市101中学2018届高三数学第三次模拟考试试题

如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！北京101中学2018届下学期高三年级三模考试数学试卷一、选择题共8小题，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.设集合}01|{},,2|{2<-=∈==x x B R x y y A x ，则=⋃B A （）A.（-1，1）B.（0，1）C.（-1，∞+）D.（0，∞+）2.已知平面向量a，b 满足2||,3||==b a ，a 与b 的夹角为120°，若a mb a ⊥+)(，则实数m 的值为（）A.1B.23 C.2 D.33.在ABC ∆中，A=60°，AC=4，32=BC ，则ABC 的面积为（）A.34 B.4C.32 D.224.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法。

如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（）A.9B.18`C.20D.355．若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是()A.378cm B.323cm C.356cm D.312cm 6．设a，b∈R ，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件7．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是()A.15B.25C.35D.458．如图，已知线段AB 上有一动点D(D 异于A，B)，线段CD⊥AB，且满足CD 2=λAD·BD （λ是大于0且不等于1的常数），则点C 的运动轨迹为()A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分二、填空题共6小题。