信号系统的数学描述方法汇总

§11-1 引 言一、 系统的描述方法系统数学模型表示方法可以分为两类：1、 输入输出方程法（IO ）法：描述系统输入、输出之间的关系。

其结果往往是单变量（高阶）微分或差分方程。

例如：)()('')()('3)(''2)('''t e t e t r t r t r t r +=+++其中只有一个方程，但这是一个高阶的方程；其中只含有一个位置的函数)(t r 或者)(k r 离散系统的例子：)()2()()1(3)2(2)3(k e k e k r k r k r k r +-=+-+-+-➢ 系统按其输入和输出情况，可以分为以下两类：1） 单输入单输出系统（SISO ） 2） 多输入多输出系统（MIMO ）本课程前面各章的描述，多集中于SISO 系统。

但是如果是MIMO 系统，描述就比较复杂了。

例如，一个3阶2输入2输出的系统，就可能要用两个3阶微分（或者差分）方程描述： 例如：⎩⎨⎧+=++++=+++)()('2)()('2)(''3)(''')()()()('3)(''2)('''212222211111t e t e t r t r t r t r t e t e t r t r t r t r● 如何求解MIMO 系统响应？➢ 用IO 法描述系统，比较简单、直观，方程求解简单； ➢ 但是无法了解系统内部状态， ➢ 在求解MIMO 系统时不方便。

2、 状态变量描述法：将系统用状态方程（多个一阶微分或差分构成的方程组）和输出方程描述。

➢ 这种方法的优点是：1） 可以了解系统内部各个部分的情况； 2） 有利于MIMO 系统分析；3） 方程的构成和求解比较规则，有利于计算机辅助分析； 4） 可以得到系统的更多的特性，例如可观测性和可控制性等。

5） 可以推广到非线性系统。

6） 可以用于求解方程的数值解。

➢ 这种方法一般适合于大型复杂系统的分析，适合于用计算机求解。

————对于一般简单的SISO 系统分析，有时反而显得比较麻烦。

➢ 状态变量方法在自动控制、检测、滤波等多个场合都有很重要的作用。

本章中重点介绍系统的状态变量描述法。

这里侧重介绍连续时间系统的状态变量描述方法，对于离散时间系统的状态变量描述方法也可以以此类推。

§11-2 系统的状态变量描述法一、 状态变量与状态方程1、 状态变量状态变量：描述系统在某时刻的内部状态所必须的一组最少的物理量（或函数）称为系统的状态变量。

利用这些状态和激励信号在某指定时刻的值以及系统模型可以唯一地确定系统中其它的物理量或函数在该时刻的值。

➢ 何谓“描述系统在某时刻的内部状态所必须的一组最少的物理量”？ ——这里是指用状态变量描述法描述系统所必须的物理量，更加具体地说，就是能够建立状态方程和输出方程所需要的物理量。

➢ “…确定系统中其它的物理量或函数在该时刻的值。

”,这里的“其它物理量”指那些物理量？——一般只要包含我们关心的输出物理量就可以了。

➢ 状态变量不一定直接是我们关心的输出物理量 ➢ 状态变量的个数等于系统的阶数。

➢ 系统的状态一般和系统的储能有关。

例如，电系统中的状态一般是电容上的电压和电感上的电流。

2、 状态方程定义：由系统的状态变量、激励和系统参数构成的、决定系统状态随时间（或空间等其他变量）变化规律的一组一阶微分（或差分）方程组。

例：在外力作用下一维运动物体的状态方程描述问题。

假设物体的质量为m ，在t 时刻的位置为)(t x ，所受的外力为)(t f 。

1）其IO 形式的运动方程为：)()(''t f t x m =⋅———这是一个二阶微分方程。

2）状态变量描述状态变量：这里选定两个状态变量：)(1t x x =，)('2t x x =———这里为了表示状态变量方便，省略了)(t 。

由此可以得到系统的状态方程：⎪⎩⎪⎨⎧==f m x x x 1''221 ➢ 状态方程是一个一阶微分（或差分）方程组。

➢ 状态方程的基本要求：1） 每个方程左边是某个状态变量的一阶微分；必须针对每个状态变量的一阶微分列出方程——有几个状态变量就应该有几个方程；——或：状态方程的个数应该等于系统的阶数。

2） 每个方程的右边，只能包含：（1）已知的激励信号（2）状态变量，3） 方程的右边只应该含有有基本函数计算（加减乘除平方开方三角函数等等），不允许有微积分运算（特别对于状态变量而言）。

状态方程的基本形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),...,;,...,,('),...,;,...,,('),...,;,...,,('212133212122212111m n m n m n e e e x x x f x e e e x x x f x e e e x x x f x M如果是线性系统，则状态变量的一般表达式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++++=+++++++=+++++++=mnm n n n nn n n n m m n n m m n n e b e b e b x a x a x a x e b e b e b x a x a x a x e b e b e b x a x a x a x ......'......' (22112211222212122221212121211112121111)其),...,2,1(n i x i =为状态变量;),...,2,1(m i e i =为激励信号;显然,这是一个m 输入n 阶的MIMO 系统。

3、 状态矢量状态方程可以通过矩阵表示成为一个简单的形式。

● 线性系统状态方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++++=+++++++=+++++++=m nm n n n nn n n n m m n n m m n n e b e b e b x a x a x a x e b e b e b x a x a x a x e b e b e b x a x a x a x ......'......'......'22112211222212122221212121211112121111M 可以用矩阵方程表示为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n nm n n m m n nn n n n n n e e e b b b b b b b b b x x x a a a a a aa a a x x x M ΛM O M M ΛΛM ΛM O M M ΛΛM 212122221112112121222211121121'''例如，上面的一维物体运动方程：⎪⎩⎪⎨⎧==f m x x x 1''221 可以表示为：fm x x x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100010''2121● 可以用状态变量)(),...,(),(21t x t x t x n 构成一个随时间变化的向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t x t x t x t n M x ，称为状态矢量。

定义符号：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)(')(')(')(21t x t x t x t n M &x ——状态矢量一阶微分定义激励矢量：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()(21t e t e t e t m M e 则可以将状态方程简单记为：e x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nm n n m m nn n n n n b b b b b b b b b a a a a a a a a a ΛM O M M ΛΛΛM O M M ΛΛ&212222111211212222111211 定义参数矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a ΛM O M M ΛΛ212222111211A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nm n n m m b b b b b b b b b ΛM O M M ΛΛ212222111211B则状态方程又可以记为：e B x A x⋅+⋅=& ● 状态矢量在某个时刻的取值可以用一个多维空间的点表示，这个构成的多维空间被称为状态空间或相空间。

● 随着时间的变换，状态矢量在状态空间中的位置也会随之移动变换，由此产生的轨迹称之为状态空间轨迹或者相空间轨迹。

二、 输出变量与输出方程1、输出变量系统输出的（或者我们具体关心的）物理量称为系统的输出变量。

2、 输出方程：描述系统的输出与状态变量、激励之间关系的一组方程。

通过它，可以由系统某时刻的状态变量和激励信号的值，计算出系统输出的物理量或函数的值。

例如：上面提到的一维运动物体轨迹问题，我们实际需要的（或者直接观测到的）是物体的轨迹，其输出变量即为物体的位置)()(1t x t x =，所以其输出方程为：)()(1t x t y =➢ 如果系统的输出有多个，则其输出方程也有多个。

➢ 输出方程的基本要求： 1） 每个方程左边是某个输出变量；每个输出变量都应该有一个输出方程。

2） 每个方程的右边，只能包含：（1）已知的激励信号（2）状态变量，3） 方程的右边只应该含有有基本函数计算（加减乘除平方开方三角函数等等），不允许有微积分运算（特别对于状态变量而言）。

输出方程的基本形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),...,;,...,,(),...,;,...,,(),...,;,...,,(2121212122212111m n r r m n m n e e e x x x f y e e e x x x f y e e e x x x f y M如果是线性系统，则状态变量的一般表达式为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++++++=+++++++=+++++++=m rm r r n rn r r r m m n n m m n n e d e d e d x c x c x c y e d e d e d x c x c x c y e d e d e d x c x c x c y ..................22112211222212122221212121211112121111M3、输出矢量输出方程也可以通过矩阵表示成为一个简单的形式。