二次函数章节复习

人教版数学九年级上学期《二次函数》章节知识点归纳总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。

（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．3. 二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a在三种形式的互相转化中，有如下关系:h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点；(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k4.抛物线的性质（1）.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

章末复习(二) 二次函数01 分点突破知识点1 二次函数的图象与性质1．(阳泉市平定县月考)抛物线y＝－35(x ＋12)2－3的顶点坐标是(C)A ．(12，－3)B ．(12，3)C ．(－12，－3)D ．(－12，3)2．抛物线y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝－x 2的共同性质是：①都是开口向上；②都以(0，0)为顶点；③都以y 轴为对称轴；④都关于x 轴对称．其中正确的有(B)A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．函数y ＝ax 2＋c 与y ＝ax ＋c(a ≠0)在同一坐标系内的图象是图中的(B)4．(吕梁市文水县期中)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的y 与x 的部分对应值如下表：x … －1 0 1 3 … y…－5131…则下列判断中正确的是(D)A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程ax 2＋bx ＋c ＝0的正根在3与4之间5．(黔南中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，以下结论：①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a ＋b ＞0；④其顶点坐标为(12，－2)；⑤当x ＜12时，y 随x 的增大而减小；⑥a ＋b ＋c ＞0.正确的有(B)A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 6．已知点P 在抛物线y ＝(x －2)2上，设点P 的坐标为(x ，y)，当0≤x ≤3时，y 的取值范围是0≤y ≤4．7．如图，已知抛物线y ＝12x 2－4x ＋7与直线y ＝12x 交于A 、B 两点(点A 在点B 左侧)．(1)求A 、B 两点的坐标；(2)求抛物线顶点C 的坐标，并求△ABC 的面积． 知识点2 二次函数图象的平移规律8．将函数y ＝x 2＋x 的图象向右平移a(a ＞0)个单位长度，得到函数y ＝x 2－3x ＋2的图象，则a 的值为(B)A ．1B ．2C ．3D ．49．已知：如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴，交抛物线的对称轴于点D. (1)求该抛物线的解析式；(2)若将抛物线向下平移m 个单位长度，使其顶点落在D 点，求m 的值．知识点3求二次函数解析式10．一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的表达式为(B)A．y＝－2(x－1)2＋3B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－(2x＋1)2＋3D．y＝－(2x－1)2＋311．一个二次函数的图象的顶点坐标是(2，4)，且过另一点(0，－4)，则这个二次函数的解析式为(B)A．y＝－2(x＋2)2＋4B．y＝－2(x－2)2＋4C．y＝2(x＋2)2－4D．y＝2(x－2)2－412．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)，则该抛物线的解析式为y＝－x 2－2x＋3．知识点4二次函数与一元二次方程、不等式13．已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一次函数y2＝kx＋m(k≠0)的图象相交于点A(－2，6)和B(8，3)，如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞kx＋m的取值范围是x<－2或x＞8．14．(易错题)已知函数y＝(k－3)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为k≤4．15．(山西农大附中月考)已知二次函数y＝2x2－4x－6.(1)用配方法将y＝2x2－4x－6化成y＝a(x－h)2＋k的形式；并写出对称轴和顶点坐标；(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；(3)当x取何值时，y随x的增大而减少？(4)当x取何值时，y＝0，y＞0，y＜0?知识点5二次函数的实际应用16．设计师以y＝2x2－4x＋8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE＝(B)A．17 B．11 C．8 D．717．(沈阳中考)某商场购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可销售出400件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，当销售量单价是35元/件，才能在半月内获得最大利润．18．(平定县月考)为了更好地推进精准扶贫，确保如期实现脱贫攻坚目标，某地方政府出台了系列优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种商品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y＝－20x＋80.设这种产品每天的销售利润为w元．(1)求w与x之间的函数关系式；(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？02山西中考题型演练19．(徐州中考)若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(A)A．b<1且b≠0 B．b>1 C．0<b<1 D．b<120．(天津中考)已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为(A)A．y＝x2＋2x＋1 B．y＝x2＋2x－1C．y＝x2－2x＋1 D．y＝x2－2x－121．(广安中考)如图所示，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c>0；③2a －b＝0；④c－a＝3.其中正确的有(B)A．1个B．2个C．3个D．4个22．(宿迁中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2 cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C 向点B移动．若点P，Q均以1 cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是(C)A．20 cm B．18 cmC．2 5 cm D．3 2 cm23．(山西农业大学附中月考)公路上行驶的汽车急刹车时，刹车距离s(m)与时间t(s)的函数关系式为s＝20t－5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性的作用，汽车要滑行20米才能停下来．24．(武汉中考)已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a的图象与x轴的一个交点的坐标为(m，0)．若2＜m＜3，则a的取值范围是13＜a＜12或－3＜a＜－2．25．(青岛中考)青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨13.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：淡季旺季未入住房间数100日总收入(元)24 00040 000(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？26．如图，已知：二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，其中A 点坐标为(－3，0)，与y轴交于点C，点D(－2，－3)在抛物线上．(1)求抛物线的表达式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA＋PD的最小值；(3)若抛物线上有一动点P，使△ABP的面积为6，求P点坐标．03数学文化、核心素养专练27．(山西模拟)小李同学在求一元二次方程－2x2＋4x＋1＝0的近似根时，先在平面平面直角坐标系中使用软件绘制了二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象(如图)，接着观察图象与x轴的交点A和B的位置，然后得出该一元二次方程两个根的范围是－1＜x1＜0，2＜x2＜3，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是(C)A．公理化思想B．类比思想C．数形结合思想D．模型思想28．请阅读下面的材料，并完成相应的任务．阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga，约公元前262～190年)，古希腊数学家，与欧几里得，阿基米德齐名．他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果．材料《圆锥曲线论》里面对抛物线的定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比等于1.或者说：平面内一动点到一定点与一条直线的距离相等的轨迹就是抛物线．(1)已知点P(x，y)，A(0，1)直线l∶y＝－1，连接AP，若点P到直线l的距离与PA 的长相等，请求出y与x的关系式；(2)若将(1)中A点坐标改为(1，0)，直线l变为x＝－1，试求出y与x的关系式，并在平面直角坐标系中利用描点法画出其图象，你能发现什么？。

【学习目标】1 .通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2 .会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3 .会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；4 .会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【知识网络】y —or 2（aK0）,y-ar 2+c （a #C ）y=。

（工-A*+上（。

户o ）.y=ar 2+&r+r （a 声0）-F年二次方程与二次函数的关系 _利用三次函数的图豪求二元三次」方程的解刹车距离 最大面积是多少【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果y =2■3是常数，4H0）,那么V 叫做五的二次函数. 要点诠释：如果y=ax'+bx+c （a,b,c 是常数，aWO ）,那么y 叫做x 的二次函数.这里，当a=O 时就不是二次函 数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零.a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质L 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y 二"/；®y=ax 2,③y=工一人『；@y=a （x-hY_ p i~ .其中我二一二，k=————;⑤）7=&/+£次+二.（以上式子aWO ）《二次函数》全章复习与巩固知识讲解（基础）用函数观点看 一元二次方程实际问题与二次函数何时获得最大利润二次函数的概念二次函数的对称轴,顶点坐标二次函数实际问题2a4a几种特殊的二次函数的图象特征如下:2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.⑴［的符号决定抛物线的开口方向：当以>0时，开口向上；当以<0时，开口向下；4相等，抛物线的开口大小、形状相同.（2）平行于v轴（或重合）的直线记作x=h.特别地，丁轴记作直线x=o.3.抛物线y=ar2+bx+c（aWO）中，。

九数上期《二次函数》单元知识复习提纲 第 1页（共 6页） 第 2页 （共 6页）《二次函数》单元知识点复习注：请同学们先复习后填空、填表 赵化中学 郑宗平第一部分 二次函数的图象及其性质知识点：1.二次函数的定义：形如 （a b c 、、为常数，且a 0≠）的函数. 注意四个方面的特点（关键词：函数、整式、整理、二次）.各项名称. 2.二次函数的图象：二次函数的图象是一条 ；是 对称图形. 3.二次函数的性质： ⑴.特殊形式：①.抛物线()2y ax a 0=≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x 0=时，y 取最 值为 ；当a 0<，x 0=时，y 取最 值为 .②.抛物线()2y ax k a 0=+≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x 0=时，y 取最 值为 ；当a 0<，x 0=时，y 取最 值为 . ③.抛物线()()2y a x h a 0=-≠的对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上．．．．；当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x h =时，y 取最 值为 ；当a 0<，x h =时，y 取最 值为 .⑵.配方形式（也称顶点式）：()()2y a x h k a 0=-+≠抛物线()()2y a x h k a 0=-+≠对称轴．．．为 .顶点坐标．．．．为 （ ）.开口方向．．．．：当a 0，开口向上：当a 0，开口向下.增减性．．．：当a 0>时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ；当a 0<时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 .最值．．：当a 0>，x h =时，y 取最 值为 ；当a 0<，x h =时，y 取最 值为 .若把抛物线()2y ax a 0=≠进行平移： ①.向 平移k 个单位可以得到()2y ax k a 0=+≠；②.向 平移()h h 0>个单位可以得到()()2y a x h a 0=-≠；③.向 平移()h h 0>个单位，再 移()h h 0>个单位可以得到()()2y a x h k a 0=-+≠.⑶.一般形式：()2y ax bx c a 0=++≠第二部分 求二次函数的解析式问题知识点：1.待定系数法的一般步骤:设出解析式的形式 → 代入 → 解答并求出待定系数的值 → 返回写出解析式. 2.常见的求二次函数解析式的方法和途径：⑴.一般式（常用） ①.设出二次函数的一般式为：()2y ax bx c 0a 0=++=≠；②.代入三个条件（一般三个点的坐标居多）联立成方程组；③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑵.顶点式（常用）①.设出二次函数的顶点式为：()()2y a x m n a 0=++≠；九数上期《二次函数》单元知识复习提纲 第 3页（共 6页） 第 4页 （共 6页）②.代入顶点坐标和另一个条件的值；注意若我们设顶点坐标为(),a b ，则,m a n b =-=； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑶.交点式（一般掌握）①.设出二次函数的一般式为：()()()12y a x x x x a 0=--≠；这里的12x x 、是抛物线与x 轴交点的横坐标；②.代入12x x 、和另外一个条件的值； ③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑷. 特殊式（常用）①.设出二次函数的特殊式：若顶点为原点可设为()2y ax a 0=≠的形式；若顶点在y 轴上可设为()2y ax k a 0=+≠的形式；若顶点在x 轴上可设为()()2y a x h a 0=+≠的形式；②.代入条件构成方程或方程组；③.进行解答并求出求出待定系数的值； ④.最后返回写解出解析式. ⑸.平移式（常用）平移式主要是抓住抛物线左右平移和上下平移时的坐标变化规律，用“平移式”求解析式的一般步骤：①.首先把已知的二次函数的解析写成配方式，形如()()2y a x m n a 0=++≠；②.由教材可知在同一坐标系内抛物线平移规律是平移后的解析式其a 值不变化，其上下左右平移的规律是：若左右平移()k k 0>单位：向右平移则在m 数据上减去()k k 0>，向左平移则在m 数据上加上()k k 0>；若上下平移()h h 0>单位：向上平移则在n 数据上加上()h h 0>，向下平移则在n 数据上减去()h h 0>.对于配方书写式的口诀是：自变量“左加右减”，函数值“上加下减”； 顶点坐标的变化规律是：横坐标“右加左减”，纵坐标是“上加下减”. ⑹.对称式（了解）①.抛物线关于x 轴对称：解析式对应的各项系数及常数项均互为相反数.②.抛物线关于y 轴对称：解析式对应的二次项系数及常数项相同，而一次项系数互为相反数. ③.抛物线关于原点对称：解析式对应的二次项系数及常数项互为相反数，而一次项系数相同.第三部分 二次联姻（二次函数与一元二次方程以及与一元二次不等式的关系）知识点：1..二次函数与一元二次方程的关系：已知一元二次方程()2ax bx c 0a 0++=≠，设抛物线()2y ax bx c a 0=++≠.⑴.△2b 4ac 0->（） ⇔ 一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则抛物线与x 轴有两个不同的交点. ⑵.△2b 4ac 0-=（） ⇔ 一元二次方程方程有两个相等的实数根，则抛物线与x 轴有“唯一”的交点，这个交点就是抛物线的顶点. ⑶.△2b 4ac 0-<（） ⇔ 一元二次方程方程无实数根，则抛物线与x 轴无交点. ⑷.△2b 4ac 0-≥（） ⇔ 一元二次方程方程有两个实数根，则抛物线与x 轴有交点. 2.二次函数与一元二次不等式的关系（本部分是拓展，作为一般掌握.） 已知一元二次不等式()2ax bx c 0a 0++>≠或()2ax bx c 0a 0++<≠，设抛物线()2y ax bx c a 0=++≠，一元二次不等式的解集是图象对应部分的横坐标的集合.⑴.当a 0>时：①.若抛物线与x 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取两边，小于取中间； ②.若抛物线与x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于取全体，小于是“空集”. ⑵. 当a 0<时：①.若抛物线与x 轴有两个不同的交点，则一元二次不等式的解集：大于取中间，小于取两边； ②.若抛物线与x 轴无交点，则一元二次不等式的解集：大于是“空集”，小于取全体.第四部分 利用二次函数的解决实际问题利用二次函数解决实际问题，在本册各类题中从几何面积、商品利润、抛物线形等切入的居多；主要通过建立二次函数关系式，为解决实际中的最大面积、最高利润、抛物线形等问题牵线搭桥；实际上就是数学上一种建模思想的又一具体运用.主要有：1.利用二次函数解决面积问题；2.利用二次函数解决利润等代数问题；题目三：利用二次函数解决抛物线形问题.关于二次函数求“最值”的应用题基本环节：找出相关的数量关系 → 构建二次函数 → 利用二次函数的最值解决实际问题.主要题型：1.求最大面积⑴.相关几何图形的面积公式，几何图形之间面积的和差关系； ⑵.注意用同一个未知数（自变量）表示相关线段的长； ⑶.坐标系中特别注意用函数图象上的点的坐标表示长度. 2.求高度、长度的“最值”⑴.直接建立函数关系解决高度、长度的“最值”； ⑵.坐标系中特别注意用函数图象上的点的坐标表示长度 3.求最大利润⑴.总利润=单件利润× 实际件数；⑵.注意因“涨价”、“降价”等引起的单件利润和实际件数的变化2018.10.21整理九数上期《二次函数》单元知识复习提纲第 5页（共 6页）第 6页（共 6页）。

二次函数章节复习课前测试【题目】课前测试已知二次函数y=ax2+bx+c经过一、三、四象限（不经过原点和第二象限），则直线y=ax+bc 不经过（）。

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】二次函数经过一、三、四象限，画出二次函数大致图像，易得函数开口方向向下，对称轴在原点右侧，同时与y轴交点在原点下方，即有2abac<⎧⎪⎪->⎨⎪⎪<⎩，解得abc<⎧⎪>⎨⎪<⎩，由此可得0a<，0bc<，根据一次函数经过象限的特征，可知直线y ax bc=+经过二、三、四象限，即函数不过第一象限，故选A。

总结：本题考查了一次函数以及二次函数图像与函数解析式之间的关联，属于比较基础但是又是比较重要的知识点，需要每位学生熟练掌握。

通过该题检测学生对一次函数、二次函数解析式与函数图像相关的基础知识点掌握情况。

根据相关特征判断二次函数图像大致形状，一般从以下几个角度出手：开口方向、对称轴、与x轴、y轴交点，顶点等，即可确定二次函数大致图像和相关参数范围，而根据一次函数一次项系数和常数项的正负确定一次函数经过的象限。

学生若是花费时间较长，老师应该采用鼓励的手段，利用数形结合给予适当提示；学生若是花费时间较短，说明该学生基础尚可，此时引导学生进入下面综合题的练习。

【难度】3【题目】课前测试如图，在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0,2），点C （-1,0），抛物线22y ax ax =+-经过点B 。

（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ACP ∆仍 然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，写出所以点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】（1）B （-3，1）； （2）211222y x x =+-； （3）P 1（1，-1），P 2（2，1）, 【解析】（1）过B 作BD ⊥x 轴于点D ，∵△ABC 是等腰直角三角形∴△OCA≌△DBC，∴OC=BD=1，OA=CD=2，∴B（-3,1）；（2）抛物线22y ax ax =+-过（-3,0），则9a-3a-2=1，a=12， 解得抛物线的解析式为211222y x x =+-； （3）①当∠ACP =90°，过C 点作y 轴和x 轴的平行线，如右图所示，xyABCOAB C DxyOPMN∵△ACP 是等腰直角三角形，∴△ACM≌△CPN，∴NP=CM=2，CN=AM=1， ∴P 1（1，-1）；代入211222y x x =+-，P 1点在抛物线上； ②当∠CAP =90°，同①得P 2（2,1），代入211222y x x =+-，P 2点在抛物线上总结：本题主要考察在二次函数背景下存在特殊三角形的问题，属于二次函数综合应用中常考题型，也是模拟考以及中考中第24题函数压轴题的常考题型，具有一定的综合性。

二次函数知识点总复习附解析
一、定义
二次函数是由一元二次多项式表示的函数，它的形式为：
f(x)=ax2+bx+c（a≠0）。

这个函数的曲线是一条开口向上的抛物线，其
图像上的点满足二次恒定关系。

二、二次函数的性质
1、图像的形状：当a>0，抛物线的顶点是变量x的最小值；当a<0，
抛物线的顶点是变量x的最大值。

2、顶点：顶点的坐标是（-b/2a，f(-b/2a）），即（x,y）=（-b/2a，c-b^2/4a）。

3、极值：若a>0，则抛物线的变量x的最小值是顶点，即最大值是
f(-b/2a）；若a<0，则抛物线的变量x的最大值是顶点，即最小值是f(-
b/2a）。

4、求根：二次函数的根是-b±√（b^2—4ac）/2a，可能有0个、1
个或2个，具体情况取决于b^2—4ac的值。

5、无穷极：抛物线的两条边都是x轴，因此抛物线的两条边都是x
轴的无穷极。

三、二次函数的应用
1、力学中的抛物线：物体受重力的作用，经过其中一点后抛出的轨
迹是抛物线，由于重力加速度的恒定性，即可用抛物线方程表示物体的轨迹。

2、统计学中的回归曲线：在一些情况下，其中一个自变量与其中一应变量之间存在着一种最佳拟合的抛物线，这种抛物线就是统计学中的回归曲线，抛物线方程数学表示就是二次函数。

《二次函数》全章复习与巩固—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1．将二次函数2y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )．A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)2y x =++ C ．2(1)2y x =-- D ．2(1)2y x =+- 2．二次函数y=ax 2与一次函数y=ax+a 在同一坐标系中的大致图象为（ ）3．（2016•永州）抛物线y=x 2+2x +m ﹣1与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜2 B ．m ＞2 C ．0＜m ≤2 D ．m ＜﹣24. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ）A ．22y x x =-- B ．211122y x x =-++ C ．211122y x x =--+ D ．22y x x =-++5．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②abc＞0；③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0．其中，正确结论的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第4题 第5题6．已知点(1x ，1y )，(2x ，2y )(两点不重合)均在抛物线21y x =-上，则下列说法正确的是( )． A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y >7．二次函数y=ax 2+bx+c 与一次函数y=ax+c ，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）8．（2015•黔东南州）如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c ＞0，③a ＞b ，④4ac ﹣b 2＜0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ． 2个C ． 3个D ．4个二、填空题9．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点1(1,)y -，2(2,)y ，试比较1y 和2y 的大小：1y ________2y （填“＞”，“＜”或“＝”）．10．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线x=1，且与x 轴的一个交点为（3，0），那么它对应的函数解析式是 ．11．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知y ＝-kx+3的图象经过点C ，则这个一次函数图象与两坐标轴所围成的三角形面积为________．12．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为___ _____．13．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是________．14．烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是252012h t t =-++，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________．15．已知抛物线2y ax bx c =++经过点A(-1，4)，B(5，4)，C(3，-6)，则该抛物线上纵坐标为-6的另一个点的坐标是________．16．若二次函数26y x x c =-+的图象过A(-1，y 1)、B(2，y 2)、C(32+，y 3)三点，则y 1、y 2、y 3大小关系是 .三、解答题17．（2016•河南）某班“数学兴趣小组”对函数y=x 2﹣2|x |的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x 的取值范围是全体实数，x 与y 的几组对应值列表如下： x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y…3m﹣1﹣13…其中，m= ．（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．（3）观察函数图象，写出两条函数的性质． （4）进一步探究函数图象发现：①函数图象与x 轴有 个交点，所以对应的方程x 2﹣2|x |=0有 个实数根；②方程x 2﹣2|x |=2有 个实数根；③关于x 的方程x 2﹣2|x |=a 有4个实数根时，a 的取值范围是 ．18. 如图所示，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上、下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上、下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，设甬道的宽为x 米．(1)用含x 的式子表示横向甬道的面积；(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；(3)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少?最少费用是多少万元?19．为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次购买100个以上，且购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3500元/个．乙店一律按原价的80%销售．现购买太阳能路灯x 个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y 1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y 2元． (1)分别求出y 1、y 2与x 之间的函数关系式；(2)若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯?20.（2015•温州模拟）已知：如图，抛物线y=﹣x 2+bx+c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．过点C 作CD ∥x 轴，交抛物线的对称轴于点D ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若将该抛物线向下平移m 个单位，使其顶点落在D 点，求m 的值．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A ；【解析】2y x =向右平移1个单位后，顶点为（1，0），再向上平移2个单位后，顶点为（1，2），开口方向及大小不变，所以1a =，即2(1)2y x =-=．2.【答案】C ；【解析】①当a ＞0时，二次函数y=ax 2的开口向上，一次函数y=ax+a 的图象经过第一、二、三象限，排除A 、B ；②当a ＜0时，二次函数y=ax 2的开口向下，一次函数y=ax+a 的图象经过第二、三、四象限，排除D ． 故选C ．3.【答案】A.【解析】∵抛物线y=x 2+2x +m ﹣1与x 轴有两个交点，∴△=b 2﹣4ac ＞0， 即4﹣4m +4＞0， 解得m ＜2， 故选A ．4.【答案】D ；【解析】由图象知，抛物线与x 轴两交点是（-1，0），（2，0），又开口方向向下，所以0a <，抛物线与y 轴交点纵坐标大于1．显然A 、B 、C 不合题意，故选D ． 5.【答案】D ；【解析】抛物线与x 轴交于两点，则0b <． 由图象可知a ＞0，c ＜0， 则b ＜0，故abc ＞0．当x ＝-2时，y ＝4a-2b+c ＞0． ∵ 12bx a=-=，∴ b ＝-2a ， ∴ 4a-(-2a)×2+c ＞0，即8a+c ＞0．当x ＝3时，y ＝9a+3b+c ＜0，故4个结论都正确． 6.【答案】D ；【解析】画出21y x =-的图象，对称轴为0x =，若12y y =，则12x x =-；若12x x =-，则12y y =；若120x x <<，则21y y >；若120x x <<，则12y y >．7．【答案】A ； 8．【答案】C ；【解析】∵二次函数y=ax 2+bx+c 图象经过原点，∴c=0，∴abc=0 ，∴①正确；∵x=1时，y ＜0，∴a+b+c＜0，∴②不正确； ∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴是x=﹣，∴﹣，b ＜0，∴b=3a，又∵a＜0，b ＜0，∴a＞b ，∴③正确；∵二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴有两个交点，∴△＞0，∴b 2﹣4ac ＞0，4ac ﹣b 2＜0，∴④正确； 综上，可得正确结论有3个：①③④．故选：C ．二、填空题 9．【答案】＞；【解析】根据题意画出抛物线大致图象，找出x ＝-1，x ＝2时的函数值，比较其大小，易如12y y >． 10．【答案】y=﹣x 2+2x+3；【解析】∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线x=1，∴=1，解得b=2，∵与x 轴的一个交点为（3，0）， ∴0=﹣9+6+c ， 解得c=3，故函数解析式为y=﹣x 2+2x+3．11．【答案】1； 【解析】92k =，932y x =-+，与坐标轴交点为(0，3)，2,03⎛⎫⎪⎝⎭． 12．【答案】 x 1＝3或x 2＝-1 ；【解析】由二次函数22y x x m =-++部分图象知，与x 轴的一个交点为(3，0)．代入方程得m ＝3，解方程得x 1＝3或x 2＝-1．13．【答案】-1；【解析】因为抛物线过原点，所以210a -=，即1a =±，又抛物线开口向下，所以a ＝-1． 14．【答案】4s ； 【解析】204(s)522t =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭．15．【答案】(1，-6)；【解析】常规解法是先求出关系式，然后再求点的坐标，但此方法繁琐耗时易出错，仔细分析就会注意到：A 、B 两点纵坐标相同，它们关于抛物线对称轴对称，由A(-1，4)，B(5，4)得，对称轴1522x -+==，而抛物线上纵坐标为-6的一点是(3，-6)，所以它关于x ＝2的对称点是(1，-6)．故抛物线上纵坐标为-6的另一点的坐标是(1，-6)．16．【答案】y 1＞y 3＞y 2． 【解析】因为抛物线的对称轴为6323x -==⨯．而A 、B 在对称轴左侧，且y 随x 的增大而减小，∵ -1＜2，∴ y 1＞y 2，又C 在对称轴右侧，且A 、B 、C 三点到对称轴的距离分别 为2，1，2，由对称性可知：y 1＞y 3＞y 2．三、解答题17.【答案与解析】解：（1）把x=﹣2代入y=x 2﹣2|x |得y=0， 即m=0，故答案为：0； （2）如图所示；（3）由函数图象知：①函数y=x 2﹣2|x |的图象关于y 轴对称；②当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；（4）①由函数图象知：函数图象与x 轴有3个交点，所以对应的方程x 2﹣2|x |=0有3个实数根；②如图，∵y=x 2﹣2|x |的图象与直线y=2有两个交点，∴x 2﹣2|x |=2有2个实数根；③由函数图象知：∵关于x 的方程x 2﹣2|x |=a 有4个实数根， ∴a 的取值范围是﹣1＜a ＜0， 故答案为：3，3，2，﹣1＜a ＜0．18.【答案与解析】 (1)横向甬道的面积为1201801502x +=(m 2)． (2)依题意：2112018028015028082x x x +⨯+-=⨯⨯，整理得21557500x x -+=，解得x 1＝5，x 2＝150(不合题意，舍去)．∴ 甬道的宽为5米．(3)设建花坛的总费用为y 万元，则21201800.0280(1601502) 5.72y x x x x +⎡⎤=⨯⨯-+-+⎢⎥⎣⎦． ∴ y ＝0.04x 2-0.5x+240． 当0.56.25220.04b x a =-==⨯时，y 的值最小． ∵ 根据设计的要求，甬道的宽不能超过6 m ．∴ 当x ＝6m 时，总费用最少，为0.04×62-0.5×6+240＝238.44(万元)．19.【答案与解析】(1)由题意可知，当x ≥100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元，但售价不得低于3500元/个，所以5000350010025010x -≤+=，即100≤x ≤250时，购买一个需5000-10(x-100)元．故y 1＝6000x-10x 2；当x ＞250时，购买一个需3500元． 故y 1＝3500x ．所以215000(0100),600010(100250),3500(250),x x y x xx x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩y 2＝5000×80%x ＝4000x ．(2)当0＜x ≤100时，y 1＝5000x ≤500000＜1400000；当100＜x ≤250时，y 1＝6000x-10x 2＝-10(x-300)2+900000＜1400000； 所以，由3500x ＝1400000，得x ＝400． 由4000x ＝1400000，得x ＝350．故选择甲商家，最多能购买400个路灯．20.【答案与解析】(1)设y ＝kx ，把(2，4)代入，得k ＝2，所以y ＝2x ，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤30．(2)当0≤x ＜5时，设y ＝a(x-5)2+25， 把(0，0)代入，得25a+25＝0，a ＝-1， 所以22(5)2510y x x x =--+=-+． 当5≤x ≤15时，y ＝25．即210(05),25(515).x x x y x ⎧-+≤<=⎨≤≤⎩(3)设王亮用于回顾反思的时间为x(0≤x ＜5)分钟，学习收益总量为Z ，则他用于解题的时间为(30-x)分钟．当0≤x ＜5时，222102(30)860(4)76Z x x x x x x =-++-=-++=--+． 所以当x ＝4时，76Z =最大．当5≤x ≤15时，Z ＝25+2(30-x)＝-2x+85． 因为Z 随x 的增大而减小， 所以当x ＝5时，75Z =最大．综合所述，当x ＝4时，76Z =最大，此时30-x ＝26．即王亮用于解题的时间为26分钟，用于回顾反思的时间为4分钟时．学习收益总量最大．。

第二十二章:二次函数第一节:二次函数的概念知识点:1、我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion)称a为二次项系数， b为一次项系数，c为常数项，2、二次函数系数a，b，c及Δ的几何意义①a的符号决定抛物线的开口方向、大小；形状；最大值或最小值。

a>⇔开口向上⇔有最小值(最低点的纵坐标)。

a<⇔开口向下⇔最大值(最高点的纵坐标)。

a越大，开口越小；a越小，开口越大。

（描点法可以证明）、决定抛物线对称轴②a b、同号⇔对称轴在y轴的左侧b=⇔对称轴是y轴；a b、异号⇔对称轴在y轴的右侧a b③c的符号决定抛物线与y轴交点的位置。

c>⇔抛物线与y轴交于正半轴c=⇔抛物线过原点；0c<⇔抛物线与轴y交于负半轴④Δ的符号决定抛物线与x轴的交点个数。

240-=⇔抛物线与x轴只有一个交b acb ac->⇔抛物线与x轴有两个交点；240点240-<⇔抛物线与x轴没有交点b ac⑤抛物线的特殊位置与系数的关系.顶点在x轴上⇔△＝0；顶点在y轴上⇔b＝0. ；顶点在原点⇔b＝c＝0. 抛物线经过原点⇔c＝0.例题：1、 下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y = (2) 21xy -= (3) 122--=x x y （4）)1(x x y -=（5）)1)(1()1(2-+--=x x x y2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -=3、若函数mmx m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 。

用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,矩形的面积为y,求： (1)写出y 关于x 的函数关系式. (2)当x=3时,矩形的面积为多少4⑴a+b+c ﹤0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个5、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则：a 0;b 0;c 0;ac b 42- 0。