《二次函数》章节知识点复习建议

二次函数考点研究及复习建议尊敬的各位领导、老师们：大家好！我来自于内江市东兴区永东乡中心学校，上学期期末统考成绩平均分107.19分，排名全区第一。

非常感谢市教科所组织初三毕业班研讨会给我这样一个展示交流的平台，今天我讲解的题目为：《二次函数考点研究及复习建议》，敬请各位同仁批评指正：二次函数是初中数学函数中重要的基础概念之一，也是初中数学函数中最重要的基本概念之一。

学习函数所涉及到的数学思想和方法，对学习好数学起着重要的作用。

课本以二次函数这个重要的函数模型为载体，学习研究函数性质的一般方法，并通过这个二次函数有关知识的复习与提高，来沟通初中与高中数学函数内容的内在联系，实现由初中数学向高中数学函数的平稳过渡，这是完全必要的。

个人认为，二次函数在学习的不足之处主要有以下几个方面：（1）函数的抽象能力不强。

只知道二次函数的一般式，而不知道其他两种形式，尤其是顶点式，不习惯于借助对称轴的位置进行研究。

《课程标准》没有要求用配方法而是会根据公式确定图像的顶点，且顶点公式不要求记忆和推导。

不会通过配方法求二次函数的顶点坐标和最值。

（2）解方程的能力差。

二次函数在解题过程中往往可转化为一元二次方程、三元一次方程组（又是选学内容）、二元一次方程组，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系等内容在初中课程标准中不要求。

（3）配方法在初中学习中落实不够。

配方法只是在解一元二次方程推导求根公式和用配方法求二次函数的顶点坐标公式时出现过。

专门用配方法解决问题的练习不多。

（4）课本中将待定系数法安排在选学内容。

用待定系数法求二次函数的解析式的问题中，已知图象上的三点，其中一点必在y轴上。

下面就六个方面提出自己的个人意见，仅供参考：一、熟悉考纲要求1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式y＝ax2＋bx＋c，并体会二次函数的意义2．会用描点法（三点坐标）画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．3．会根据公式（配方法或公式法）将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，确定图象的顶点（h,k）,开口方向（a>0向上，a<0向下）和对称轴（x=h）(公式不要求记忆和推导,但要根据学生基础进行演示)，并能解决简单的实际问题．4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解（如：x2-1=x）．5．知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。

《二次函数》复习教学建议二次函数是初中数学的重要组成部分，是中考的必考内容，从近年初中毕业生数学学业试题来看，考题的难度，出现基础题、能力题、拓展题三种层次的题目都是有可能的，而且考题分值呈现上升态势。

从实际教学情况看，有许多学生难以学好二次函数，对二次函数学不得法，一见到二次函数的题目就直接放弃，影响了中考成绩。

下面就《二次函数》复习作以下教学建议：一、复习目标：1、理解二次函数的意义，会画二次函数的图象，会求二次函数的解析式。

2、会用配方法把二次函数的表达式化为顶点式，并能利用性质解决简单的实际问题。

3、会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

二、重点和难点：在复习时将二次函数部分分为四个模块，（一）二次函数的图象和性质；（二）二次函数的平移；（三）二次函数解析式的求法；（四）二次函数的应用。

对学生容易出错的知识点，可进行形式多样的变式练习，以提高学生解决实际问题的能力。

三、考点分析：考点1：二次函数的有关概念：（1）抛物线的开中方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值；（2）抛物线的平移（3）抛物线与坐标轴的交点考点2：二次函数与一元二次方程的联系考点3：求二次函数的解析式考点4：二次函数的图象、性质在生活中的应用四、教学过程（一）基础练习：1、将二次函数2x y =的图象向下平移2个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）。

（A ）、22-=x y （B ）、22+=x y （C ）、2)2(-=x y （D ）、2)2(+=x y2、抛物线y=x 2-2x+2的顶点坐标是（ ）2 A 、（1，1） B 、（-1，0） C 、（-2，1） D 、（2，-1）3、抛物线y ＝－(x ＋2)2－3的顶点坐标是 (A) （2，－3）； (B) （－2，3）； (C) （2，3）； (D) （－2，－3）4、下列二次函数中，图象以直线2x =为对称轴、且经过点(0，1)的是（ ）A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()223y x =--D ．()223y x =+- 5、抛物线y =x 2﹣6x +5的顶点坐标是 。

《二次函数》知识点知识点总结《二次函数》知识点总结一、二次函数的定义一般地，如果形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，那么就叫做二次函数。

其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。

需要注意的是，二次函数的二次项系数 a 不能为 0，如果 a ＝ 0，那么就变成了一次函数。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。

当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。

抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ 2a 。

抛物线的顶点坐标为（b ／ 2a，（4ac b²) ／ 4a）。

三、二次函数的表达式1、一般式：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）2、顶点式：y ＝ a(x h)²＋ k（a ≠ 0），其中顶点坐标为（h，k）3、交点式：y ＝ a(x x₁)（x x₂)（a ≠ 0），其中 x₁、x₂是抛物线与 x 轴交点的横坐标四、二次函数的性质1、当 a ＞ 0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大。

函数有最小值，当 x ＝ b ／ 2a 时，y 最小值＝（4ac b²) ／ 4a 。

2、当 a ＜ 0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小。

函数有最大值，当 x ＝ b ／ 2a 时，y 最大值＝（4ac b²) ／ 4a 。

五、抛物线的平移抛物线的平移实质上是它的顶点（h，k）的移动（点的移动规律）。

向左平移 h 个单位长度，顶点坐标变为（h m，k）；向右平移 m个单位长度，顶点坐标变为（h ＋ m，k）。

向上平移 n 个单位长度，顶点坐标变为（h，k ＋ n）；向下平移 n个单位长度，顶点坐标变为（h，k n）。

六、二次函数与一元二次方程的关系二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），当 y ＝ 0 时，就变成了一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）。

二次函数知识点梳理一、二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式函数，其一般形式为 f(x) =ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。

二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。

根据 a 的正负，抛物线开口向上或向下。

a > 0 时，抛物线开口向上；a < 0 时，抛物线开口向下。

三、顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。

顶点的坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。

四、对称轴二次函数的对称轴是一条垂直线，其方程为 x = -b/2a。

对称轴将抛物线分为两部分，这两部分关于对称轴对称。

五、判别式二次函数的判别式是 b^2 - 4ac。

根据判别式的值，可以判断二次函数与 x 轴的交点情况：- 如果判别式 > 0，则有两个实数根。

- 如果判别式 = 0，则有一个实数根（重根）。

- 如果判别式 < 0，则没有实数根。

六、根的性质1. 根的和：如果α 和β 是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个根，则α + β = -b/a。

2. 根的积：如果α 和β 是二次方程的两个根，则αβ = c/a。

七、因式分解某些二次函数可以因式分解为 (x - α)(x - β) = 0 的形式，其中α 和β 是函数的根。

八、配方法配方法是求解二次方程的一种方法，通过将二次函数转化为完全平方的形式，从而更容易找到方程的解。

九、二次函数的应用二次函数广泛应用于物理、工程、经济等领域，如描述物体的抛体运动、优化生产成本等。

十、二次不等式二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式。

解这类不等式通常需要考虑二次函数的图像和判别式。

十一、复合二次函数复合二次函数是指外层函数是二次函数，内层函数可以是任何实值函数的情况。

这类函数的性质更为复杂，需要结合内外层函数的特点进行分析。

人教版数学九年级上学期《二次函数》章节知识点归纳总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：（1）一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。

（2）这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a ≠0，而b c ，可以为零．二次函数的定义域(x)是全体实数．2. 二次函数 2y ax bx c =++ 的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． （2）a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．3. 二次函数解析式的几种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0） （2）顶点式：y=a(x-h)2+k [抛物线的顶点P （ h ，k ）]（3）交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)[仅限于与x 轴有交点A （x 1，0）和 B （x 2，0）的抛物线]其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的两个根，a ≠0. x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-)/2a在三种形式的互相转化中，有如下关系:h= -b / 2a ； k=(4ac-b 2) / 4a ； x 1,x 2 = (-b ±ac 4b 2-) / 2a说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)；(2) 当h＝0时，抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在原点；(3) 如果图像经过原点，并且对称轴是y轴，则设y=ax2；如果对称轴是y轴，但不过原点，则设y=ax2+k4.抛物线的性质（1）.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线 x = -b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

二次函数复习知识点总结二次函数是高中数学中常见且重要的一个内容。

它的一般形式可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a≠0。

在二次函数中，x的次数最高为2，因此该函数的图像是一个抛物线。

以下是二次函数的复习知识点总结。

一、基本概念：1. 定义：二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c为实数，且a≠0。

2.首项系数：a是二次函数中x^2的系数，决定了抛物线的开口方向。

-当a>0时，抛物线开口向上；-当a<0时，抛物线开口向下。

3.y-截距：c是二次函数的常数项，表示抛物线与y轴的交点的纵坐标。

4. 零点：二次函数的零点是使得函数值为0的x值。

可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来找到零点。

二、性质和图像的特征：1.对称轴：二次函数的对称轴是抛物线的对称轴，可以通过求解x=-b/2a来找到对称轴的方程。

2.最值：当抛物线开口向上时，抛物线的最小值为对称轴的纵坐标；当抛物线开口向下时，抛物线的最大值为对称轴的纵坐标。

3. 判别式：判别式Δ=b^2-4ac可以用来判断二次方程ax^2+bx+c=0的根的情况。

-当Δ>0时，方程有两个不相等实数根；-当Δ=0时，方程有两个相等实数根；-当Δ<0时，方程没有实数根。

4.开口方向：抛物线开口的方向由首项系数a决定。

5.图像：二次函数的图像是一个抛物线，可以通过首项系数a的正负和抛物线的其他特征来确定图像的形状、方向和位置。

三、函数的变换：对于二次函数y=ax^2+bx+c，可以进行水平平移、垂直平移、水平缩放等操作来得到其他的二次函数。

1. 水平平移：将函数y=ax^2+bx+c的图像沿x轴平移h个单位得到函数y=a(x-h)^2+b(x-h)+c。

平移后的抛物线的顶点坐标为(h, k)，其中k是原抛物线的纵坐标。

2. 垂直平移：将函数y=ax^2+bx+c的图像沿y轴平移k个单位得到函数y=a(x^2+bx+c)+k。

二次函数知识点归纳（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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二次函数知识点归纳二次函数是高中数学中的重要章节，它在数学和实际生活中有着广泛的应用。

所以，对于二次函数的知识点的掌握对于学习数学和解决实际问题都是非常重要的。

下面将从定义、图像、性质、解析式和实际应用等方面详细归纳二次函数的知识点。

一、定义和基本形态二次函数是指一个一元二次方程确定的函数，它的一般形式可以表示为：f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

它的定义域是全体实数集R。

二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向和抛物线的开口相同。

当a > 0时，抛物线向上开口；当a < 0时，抛物线向下开口。

这个基本形态是理解二次函数的关键。

二、图像的性质1. 零点：二次函数的零点是使得f(x) = 0的x值。

二次函数的零点可以通过解一元二次方程来求得，也就是求解 ax² + bx + c = 0 的解。

当零点存在时，它的个数最多为2个。

2. 对称轴：二次函数的图像总是关于一个直线对称的。

这条直线称为二次函数的对称轴。

对称轴方程的求法是x = -b / 2a。

3. 顶点和最值：二次函数总是有一个最值点，也就是函数的最大值或最小值。

当a > 0时，函数的最小值出现在顶点上；当a < 0时，函数的最大值出现在顶点上。

顶点的坐标可以通过对称轴的x坐标带入函数中求得。

4. 开口：二次函数的开口决定了其函数值的增减。

当 a > 0时，函数是向上开口的，函数值随着x的增大而增大；当a < 0时，函数是向下开口的，函数值随着x的增大而减小。

三、解析式及其对称性根据二次函数的定义，我们可以得到它的一般解析式 f(x) = ax² + bx + c。

在解析式中，a是二次项的系数，b是一次项的系数，c是常数项。

二次函数的解析式可以通过给定的系数a、b、c进一步确定函数的性质。

1. 对称性：二次函数具有对称性，也就是函数图像在对称轴两侧关于对称轴对称。

二次函数知识点、易错点、解题技巧第一部分知识点总结第二部分学习口诀二次函数图像与性质口诀二次函数抛物线，图象对称是关键; 开口、顶点和交点，它们确定图象限;开口、大小由a断，c与Y轴来相见，b的符号较特别，符号与a 相关联;顶点位置先找见，Y轴作为参考线，左同右异中为0，牢记心中莫混乱;顶点坐标最重要，一般式配方它就现，横标即为对称轴，纵标函数最值见。

若求对称轴位置，符号反，一般、顶点、交点式，不同表达能互换。

第三部分易错分析函数是初中数学知识的主线，而二次函数是这条主线上的高潮.我们通过探索二次函数与方程的关系，让我们领悟到事物之间相互联系的辨证关系.我们能够利用二次函数解决实际问题，培养数学建模的能力.【知识结构】【知识梳理】3、性质注意：二次函数的性质要结合图象，认真理解，灵活应用，不要死记硬背．4、二次函数与一元二次方程的关系【易错点剖析】一、忽略二次项系数不等于0二、忽略隐含条件三、忽略数形结合思想方法的应用四、求顶点坐标时混淆符号五、忽视根的判别式的作用第四部分巧选解析式二次函数解析式的确定是中考的高频考点，在压轴题的第一问就难倒了不少小伙伴。

那么如何巧选表达式来确定二次函数的解析式呢？【小试牛刀】【几种特殊情况】第五步法动态最值专题第六部分解题技巧学好函数还是有诀窍的，要结合图像说性质，结合性质画图像，正所谓数形结合，函数无敌!第七部分变式13解在初中三年数学学习中，二次函数一直是重难点，正是因为很多学生都没学会，因此让出题老师们钻了空子，在中考中最喜欢出二次函数的题，不管是选择，填空还是大题压轴题。

老师最喜欢给学生出难题，可是学生们就该叫苦不迭了，趁着中考前这段时间，多复习这一类知识，再做一个巩固加深印象。

以二次函数进行考查的题目，命题形式都是比较固定的，一般都是给一个含有字母系数的二次函数，通过给出条件确定解析式，然后讨论交点问题，往往看着简单的题目，最不容易做出来，出题稍微有点变化，学生就看不出来。