最新算法分析与设计作业(一)及参考答案讲课讲稿

算法设计与分析习题答案算法设计与分析是计算机科学中一个重要的领域，它涉及到算法的创建、优化以及评估。

以下是一些典型的算法设计与分析习题及其答案。

习题1：二分查找算法问题描述：给定一个已排序的整数数组，编写一个函数来查找一个目标值是否存在于数组中。

答案：二分查找算法的基本思想是将数组分成两半，比较中间元素与目标值的大小，如果目标值等于中间元素，则查找成功；如果目标值小于中间元素，则在左半部分继续查找；如果目标值大于中间元素，则在右半部分继续查找。

这个过程会不断重复，直到找到目标值或搜索范围为空。

```pythondef binary_search(arr, target):low, high = 0, len(arr) - 1while low <= high:mid = (low + high) // 2if arr[mid] == target:return Trueelif arr[mid] < target:low = mid + 1else:high = mid - 1return False```习题2：归并排序算法问题描述：给定一个无序数组，使用归并排序算法对其进行排序。

答案：归并排序是一种分治算法，它将数组分成两半，分别对这两半进行排序，然后将排序好的两半合并成一个有序数组。

```pythondef merge_sort(arr):if len(arr) > 1:mid = len(arr) // 2left_half = arr[:mid]right_half = arr[mid:]merge_sort(left_half)merge_sort(right_half)i = j = k = 0while i < len(left_half) and j < len(right_half): if left_half[i] < right_half[j]:arr[k] = left_half[i]i += 1else:arr[k] = right_half[j]j += 1k += 1while i < len(left_half):arr[k] = left_half[i]i += 1k += 1while j < len(right_half):arr[k] = right_half[j]j += 1k += 1arr = [38, 27, 43, 3, 9, 82, 10]merge_sort(arr)print("Sorted array is:", arr)```习题3：动态规划求解最长公共子序列问题问题描述：给定两个序列，找到它们的最长公共子序列。

算法分析与设计作业参考答案《算法分析与设计》作业参考答案作业⼀⼀、名词解释：1.递归算法：直接或间接地调⽤⾃⾝的算法称为递归算法。

2.程序：程序是算法⽤某种程序设计语⾔的具体实现。

⼆、简答题：1.算法需要满⾜哪些性质？简述之。

答：算法是若⼲指令的有穷序列，满⾜性质：（1）输⼊：有零个或多个外部量作为算法的输⼊。

（2）输出：算法产⽣⾄少⼀个量作为输出。

（3）确定性：组成算法的每条指令清晰、⽆歧义。

（4）有限性：算法中每条指令的执⾏次数有限，执⾏每条指令的时间也有限。

2.简要分析分治法能解决的问题具有的特征。

答：分析分治法能解决的问题主要具有如下特征：（1）该问题的规模缩⼩到⼀定的程度就可以容易地解决；（2）该问题可以分解为若⼲个规模较⼩的相同问题，即该问题具有最优⼦结构性质；（3）利⽤该问题分解出的⼦问题的解可以合并为该问题的解；（4）该问题所分解出的各个⼦问题是相互独⽴的，即⼦问题之间不包含公共的⼦问题。

3.简要分析在递归算法中消除递归调⽤，将递归算法转化为⾮递归算法的⽅法。

答：将递归算法转化为⾮递归算法的⽅法主要有：（1）采⽤⼀个⽤户定义的栈来模拟系统的递归调⽤⼯作栈。

该⽅法通⽤性强，但本质上还是递归，只不过⼈⼯做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。

（2）⽤递推来实现递归函数。

（3）通过Cooper 变换、反演变换能将⼀些递归转化为尾递归，从⽽迭代求出结果。

后两种⽅法在时空复杂度上均有较⼤改善，但其适⽤范围有限。

三、算法编写及算法应⽤分析题： 1.冒泡排序算法的基本运算如下： for i ←1 to n-1 dofor j ←1 to n-i do if a[j]交换a[j]、a[j+1]；分析该算法的时间复杂性。

答：排序算法的基本运算步为元素⽐较，冒泡排序算法的时间复杂性就是求⽐较次数与n 的关系。

（1）设⽐较⼀次花时间1；（2）内循环次数为：n-i 次,（i=1,…n ），花时间为：∑-=-=in j i n 1)(1（3）外循环次数为：n-1，花时间为：2.设计⼀个分治算法计算⼀棵⼆叉树的⾼度。

算法分析与设计教程习题解答第1章 算法引论1. 解：算法是一组有穷的规则，它规定了解决某一特定类型问题的一系列计算方法。

频率计数是指计算机执行程序中的某一条语句的执行次数。

多项式时间算法是指可用多项式函数对某算法进行计算时间限界的算法。

指数时间算法是指某算法的计算时间只能使用指数函数限界的算法。

2. 解：算法分析的目的是使算法设计者知道为完成一项任务所设计的算法的优劣，进而促使人们想方设法地设计出一些效率更高效的算法，以便达到少花钱、多办事、办好事的经济效果。

3. 解：事前分析是指求出某个算法的一个时间限界函数（它是一些有关参数的函数）；事后测试指收集计算机对于某个算法的执行时间和占用空间的统计资料。

4. 解：评价一个算法应从事前分析和事后测试这两个阶段进行，事前分析主要应从时间复杂度和空间复杂度这两个维度进行分析；事后测试主要应对所评价的算法作时空性能分布图。

5. 解：①n=11； ②n=12； ③n=982； ④n=39。

第2章 递归算法与分治算法1． 解：递归算法是将归纳法的思想应用于算法设计之中，递归算法充分地利用了计算机系统内部机能，自动实现调用过程中对于相关且必要的信息的保存与恢复；分治算法是把一个问题划分为一个或多个子问题，每个子问题与原问题具有完全相同的解决思路，进而可以按照递归的思路进行求解。

2． 解：通过分治算法的一般设计步骤进行说明。

3． 解：int fibonacci(int n) {if(n<=1) return 1;return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }4. 解：void hanoi(int n,int a,int b,int c) {if(n>0) {hanoi(n-1,a,c,b); move(a,b);hanoi(n-1,c,b,a); } } 5. 解：①22*2)(--=n n f n② )log *()(n n n f O =6． 解：算法略。

《算法分析与设计》各章课后作业第一章 课后作业1. 设某算法在输入规模为n 时的计算时间为T(n)=10*2n。

若在甲台计算机上实现并完成该算法的时间为t 秒，现有一台运行速度是甲的64倍的另一台计算机乙，问在乙计算机上用同一算法在t 秒内能解决的问题的规模是多大？2.按照渐近阶从低到高的顺序排列以下表达式：4n 2，logn ，3n，20n ，2，n 2/3。

又n!应该排在哪一位？第二章 课后作业1. 用展开法求解下列递推关系：T(n)=⎩⎨⎧>+=1n )()2/(20n )1(n O n T O，写出T(n)的大O 记号表示。

2. 下面是实现在a[0]<=a[1]<=…<=a[n-1]中搜索x 的二分搜索算法，请根据二分 搜索技术在下划线处填充语句。

算法描述如下： template<class Type>public static int BinarySearch(int []a, int x, int n) { //在a[0]<=a[1]<=…<=a[n-1]中搜索 x // 找到x 时返回其在数组中的位置，否则返回-1 int left = 0; int right = n - 1; while ( ) {int middle = ;if(x == a[middle]) return ; if(x > a[middle]) left = middle + 1; else right= ; }return -1; // 未找到x}第三章课后作业1、选择题。

（1）下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（）。

A、备忘录法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法（2）备忘录方法是那种算法的变形。

（）A、分治法B、动态规划法C、贪心法D、回溯法（3）矩阵连乘问题的算法可由（）设计实现。

A、分支界限算法B、动态规划算法C、贪心算法D、回溯算法2．计算题。

算法设计与分析(第2版)-王红梅-胡明-习题答案习题11. 图论诞生于七桥问题。

出生于瑞士的伟大数学家欧拉（Leonhard Euler ，1707—1783）提出并解决了该问题。

七桥问题是这样描述的：一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡（现在叫加里宁格勒，在波罗的海南岸）城中全部的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，图 1.7是这条河以及河上的两个岛和七座桥的草图。

请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。

七桥问题属于一笔画问题。

输入：一个起点输出：相同的点1， 一次步行2， 经过七座桥，且每次只经历过一次3， 回到起点该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。

另一类是只有二个奇点的图形。

2．在欧几里德提出的欧几里德算法中（即最初的欧几里德算法）用的不是除法而是减法。

请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法1.r=m-n2.循环直到r=02.1 m=n图1.7 七桥问题2.2 n=r2.3 r=m-n3 输出m3．设计算法求数组中相差最小的两个元素（称为最接近数）的差。

要求分别给出伪代码和C++描述。

//采用分治法//对数组先进行快速排序//在依次比较相邻的差#include <iostream>using namespace std;int partions(int b[],int low,int high){int prvotkey=b[low];b[0]=b[low];while (low<high){while (low<high&&b[high]>=prvotkey)--high;b[low]=b[high];while (low<high&&b[low]<=prvotkey)++low;b[high]=b[low];}b[low]=b[0];return low;}void qsort(int l[],int low,int high){int prvotloc;if(low<high){prvotloc=partions(l,low,high); //将第一次排序的结果作为枢轴qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序由low 到prvotloc-1qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序由 prvotloc+1到 high}}void quicksort(int l[],int n){qsort(l,1,n); //第一个作为枢轴，从第一个排到第n个}int main(){int a[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};int value=0;//将最小差的值赋值给valuefor (int b=1;b<11;b++)cout<<a[b]<<' ';cout<<endl;quicksort(a,11);for(int i=0;i!=9;++i){if( (a[i+1]-a[i])<=(a[i+2]-a[i+1]) )value=a[i+1]-a[i];elsevalue=a[i+2]-a[i+1];}cout<<value<<endl;return 0;}4．设数组a[n]中的元素均不相等，设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。

算法设计与分析+习题参考答案5..证明等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对每⼀对正整数m,n都成⽴.Hint:根据除法的定义不难证明:●如果d整除u和v, 那么d⼀定能整除u±v;●如果d整除u,那么d也能够整除u的任何整数倍ku.对于任意⼀对正整数m,n,若d能整除m和n,那么d⼀定能整除n和r=m mod n=m-qn；显然，若d能整除n和r，也⼀定能整除m=r+qn和n。

数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限⾮空集，其中也包括了最⼤公约数。

故gcd(m,n)=gcd(n,r)6.对于第⼀个数⼩于第⼆个数的⼀对数字,欧⼏⾥得算法将会如何处理?该算法在处理这种输⼊的过程中,上述情况最多会发⽣⼏次?Hint:对于任何形如0<=m并且这种交换处理只发⽣⼀次.7.a.对于所有1≤m,n≤10的输⼊, Euclid算法最少要做⼏次除法?(1次)b. 对于所有1≤m,n≤10的输⼊, Euclid算法最多要做⼏次除法?(5次)gcd(5,8)习题1.21.(农夫过河)P—农夫W—狼G—⼭⽺C—⽩菜2.(过桥问题)1,2,5,10---分别代表4个⼈, f—⼿电筒4. 对于任意实系数a,b,c, 某个算法能求⽅程ax^2+bx+c=0的实根,写出上述算法的伪代码(可以假设sqrt(x)是求平⽅根的函数)算法Quadratic(a,b,c)//求⽅程ax^2+bx+c=0的实根的算法//输⼊:实系数a,b,c//输出:实根或者⽆解信息D←b*b-4*a*cIf D>0temp←2*ax1←(-b+sqrt(D))/tempx2←(-b-sqrt(D))/tempreturn x1,x2else if D=0 return –b/(2*a)else return “no real roots”else //a=0if b≠0 return –c/belse //a=b=0if c=0 return “no real numbers”else return “no real roots”5.描述将⼗进制整数表达为⼆进制整数的标准算法a.⽤⽂字描述b.⽤伪代码描述解答：a.将⼗进制整数转换为⼆进制整数的算法输⼊：⼀个正整数n输出：正整数n相应的⼆进制数第⼀步：⽤n除以2，余数赋给Ki(i=0,1,2...)，商赋给n第⼆步：如果n=0，则到第三步，否则重复第⼀步第三步：将Ki按照i从⾼到低的顺序输出b.伪代码算法DectoBin(n)//将⼗进制整数n转换为⼆进制整数的算法//输⼊：正整数n//输出：该正整数相应的⼆进制数，该数存放于数组Bin[1...n]中i=1while n!=0 do {Bin[i]=n%2;n=(int)n/2;i++;}while i!=0 do{print Bin[i];i--;}9.考虑下⾯这个算法,它求的是数组中⼤⼩相差最⼩的两个元素的差.(算法略) 对这个算法做尽可能多的改进.算法MinDistance(A[0..n-1])//输⼊:数组A[0..n-1]//输出:the smallest distance d between two of its elements习题1.31.考虑这样⼀个排序算法,该算法对于待排序的数组中的每⼀个元素,计算⽐它⼩的元素个数,然后利⽤这个信息,将各个元素放到有序数组的相应位置上去.a.应⽤该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序b.该算法稳定吗?c.该算法在位吗?解:a. 该算法对列表‖60,35,81,98,14,47‖排序的过程如下所⽰:b.该算法不稳定.⽐如对列表‖2,2*‖排序c.该算法不在位.额外空间for S and Count[]4.(古⽼的七桥问题)习题1.41.请分别描述⼀下应该如何实现下列对数组的操作,使得操作时间不依赖数组的长度. a.删除数组的第i 个元素(1<=i<=n)b.删除有序数组的第i 个元素(依然有序) hints:a. Replace the i th element with the last element and decrease the array size of 1b. Replace the ith element with a special symbol that cannot be a value of the array ’s element(e.g., 0 for an array of positive numbers ) to mark the i th position is empty. (―lazy deletion ‖)第2章习题2.17.对下列断⾔进⾏证明:(如果是错误的,请举例) a. 如果t(n )∈O(g(n),则g(n)∈Ω(t(n)) b.α>0时,Θ(αg(n))= Θ(g(n)) 解:a. 这个断⾔是正确的。

算法分析与设计作业及参考答案作业题目1、请分析冒泡排序算法的时间复杂度和空间复杂度，并举例说明其在实际中的应用场景。

2、设计一个算法，用于在一个未排序的整数数组中找到第二大的元素，并分析其时间复杂度。

3、比较贪心算法和动态规划算法的异同，并分别举例说明它们在解决问题中的应用。

参考答案1、冒泡排序算法时间复杂度：冒泡排序的基本思想是通过相邻元素的比较和交换，将最大的元素逐步“浮”到数组的末尾。

在最坏情况下，数组完全逆序，需要进行 n 1 轮比较和交换，每一轮比较 n i 次（i 表示当前轮数），所以总的比较次数为 n(n 1) ／ 2，时间复杂度为 O(n^2)。

在最好情况下，数组已经有序，只需要进行一轮比较，时间复杂度为 O(n)。

平均情况下，时间复杂度也为 O(n^2)。

空间复杂度：冒泡排序只在原数组上进行操作，不需要额外的存储空间，空间复杂度为 O(1)。

应用场景：冒泡排序算法简单易懂，对于规模较小的数组，或者对算法的简单性要求较高而对性能要求不是特别苛刻的场景，如对少量数据进行简单排序时，可以使用冒泡排序。

例如，在一个小型的学生成绩管理系统中，需要对一个班级的少量学生成绩进行排序展示，冒泡排序就可以满足需求。

2、找到第二大元素的算法以下是一种使用遍历的方法来找到未排序整数数组中第二大元素的算法：｀｀｀pythondef find_second_largest(arr)：largest ＝ arr0second_largest ＝ float(＇inf'）for num in arr:if num ＞ largest:second_largest ＝ largestlargest ＝ numelif num ＞ second_largest and num!＝ largest:second_largest ＝ numreturn second_largest｀｀｀时间复杂度分析：这个算法需要遍历数组一次，所以时间复杂度为O(n)。

《算法分析与设计》练习题一答案1.程序书写格式应该遵循哪四个原则？参考答案：（1）正确使用缩进：一定要有缩进，否则代码的层次不明显。

（2）在一行内只写一条语句。

（3）, '}'位置不可随意放置。

（4）变量和运算符之间最好加1个空格2.什么是算法？参考答案：用计算机解决问题的过程可以分成三个阶段：分析问题、设计算法和实现算法。

算法可以理解为冇基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，它是求解问题类的、机械的、统一的方法，它由有限多个步骤组成，对于问题类屮每个给定的具体问题，机械地执行这些步骤就可以得到问题的解答。

或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤和序列可以解决一类问题。

3.什么是线性结构？什么是非线性结构？参考答案：线性结构：数据逻辑结构屮的一类。

它的特征是若结构为非空集，则该结构有且只有一个开始结点和一个终端结点，并且所冇结点都冇R只冇一个直接前趋和一个直接后继。

线性表就是一个典型的线性结构。

栈、队列、串等都是线性结构。

非线性结构：数据逻辑结构中的另一大类，它的逻辑特征是一个结点可能有多个直接而趋和直接后继。

数组、广义表、树和图等数据结构都是非线性结构。

4.已知二叉树后序遍丿力序列是DABEC,屮序遍丿力序列是DEBAC,则前序遍历序列是什么？参考答案：前序遍历序列是CEDBA5.什么是数制？参考答案：数制是人们利用符号进行计数的一种科学方法。

数制也称计数制，是用一组固定的符号和统一的规则來表示数值的方法。

6.如果将十进制数106转换为八进制数，结果是多少？参考答案：1527.请问查找算法的效率用什么进行度量？参考答案：平均查找长度ASL：在查找其关键字等于给定值的过程小，需要和给定值进行比较的关键字个数的期望值称为查找成功吋的平均查找长度。

AS厶=£皿/=1其屮，n是结点的个数；是杳找第i个结点的概率,是找到第i个结点所需要的比较次数。

算法分析与设计教程习题解答第1章 算法引论1. 解：算法是一组有穷的规则，它规定了解决某一特定类型问题的一系列计算方法。

频率计数是指计算机执行程序中的某一条语句的执行次数。

多项式时间算法是指可用多项式函数对某算法进行计算时间限界的算法。

指数时间算法是指某算法的计算时间只能使用指数函数限界的算法。

2. 解：算法分析的目的是使算法设计者知道为完成一项任务所设计的算法的优劣，进而促使人们想方设法地设计出一些效率更高效的算法，以便达到少花钱、多办事、办好事的经济效果。

3. 解：事前分析是指求出某个算法的一个时间限界函数（它是一些有关参数的函数）；事后测试指收集计算机对于某个算法的执行时间和占用空间的统计资料。

4. 解：评价一个算法应从事前分析和事后测试这两个阶段进行，事前分析主要应从时间复杂度和空间复杂度这两个维度进行分析；事后测试主要应对所评价的算法作时空性能分布图。

5. 解：①n=11； ②n=12； ③n=982； ④n=39。

第2章 递归算法与分治算法1． 解：递归算法是将归纳法的思想应用于算法设计之中，递归算法充分地利用了计算机系统内部机能，自动实现调用过程中对于相关且必要的信息的保存与恢复；分治算法是把一个问题划分为一个或多个子问题，每个子问题与原问题具有完全相同的解决思路，进而可以按照递归的思路进行求解。

2． 解：通过分治算法的一般设计步骤进行说明。

3． 解：int fibonacci(int n) {if(n<=1) return 1;return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }4. 解：void hanoi(int n,int a,int b,int c) {if(n>0) {hanoi(n-1,a,c,b); move(a,b);hanoi(n-1,c,b,a); } } 5. 解：①22*2)(−−=n n f n② )log *()(n n n f O =6． 解：算法略。

《算法分析与设计》作业1、考虑,10≤≤i x 而不是x i ∈{0，1}的连续背包问题。

一种可行的贪婪策略是：按价值密度非递减的顺序检查物品，若剩余容量能容下正在考察的物品，将其装入；否则，往背包内装如此物品的一部分。

(a) 对于n=3，w=[100,10,10]，p=[20,15,15]，以及c=105，上述装入法获得结果是什么？(b)证明这种贪婪算法总能获得最优解。

(c) 用伪代码描述此算法。

答：（a ）利用贪婪算法，按价值密度考察的背包为w2，w3，w1；背包w2和w3重20，还可以容纳85，由于10≤≤i x ，背包w1还可以装入x1=0.85，则背包内物品总价值为15+15+20*0.85＝47.（b ）假设已按价值密度排好序，考察w1,w2,……,wi ，……，对应的价值为p1,p2,……,pi,……如果装到pi-1再装pi 时，恰好要取xi 个wi 。

（,10≤≤i x ） 因为比它价值密度大的都已装载完，所以此时获得的为最优解。

（c ）算法描述如下： template <class T>int ContainerLoading( int x[], T w[], T c, int n ) {int *t = new int[n+1]; IndirectSort(w, t, n); for( int i=1; i<=n; i++) x[i] = 0;for(i=1; i<=n && w[t[i]]<=c; i++){ x[t[i]] = 1; c += w[t[i]]; } delete []t; }2、证明当且仅当二分图没有覆盖时，下述算法找不到覆盖。

m＝0; //当前覆盖的大小对于A中的所有i，New[i]=Degree[i]对于B中的所有i，Cov[i]=falsewhile(对于A中的某些i，New[i]>0) {设v是具有最大的New[i]的顶点；C[m++]=v;for(所有邻接于v的顶点j) {If(!Cov[j]) {Cov[j] = true;对于所有邻接于j的顶点，使其New[k]减1}}}if (有些顶点未被覆盖) 失败else 找到一个覆盖2）给出一个具有覆盖的二分图，使得上述算法找不到最小覆盖。

《算法设计与分析实用教程》习题参考解答《算法设计与分析实用教程》参考解答1-1 加减得1的数学游戏西西很喜欢数字游戏，今天他看到两个数，就想能否通过简单的加减，使最终答案等于1。

而他又比较厌烦计算，所以他还想知道最少经过多少次才能得到1。

例如，给出16,9：16-9+16-9+16-9-9-9+16-9-9=1，需要做10次加减法计算。

设计算法，输入两个不同的正整数，输出得到1的最少计算次数。

（如果无法得到1，则输出-1）。

（1）若输入两个不同的正整数a,b均为偶数，显然不可能得到1。

设x*a与y*b之差为“1”或“-1”,则对于正整数a,b经n=x+y-1次加减可得到1。

为了求n的最小值，令n从1开始递增，x在1——n中取值，y=n+1-x：检测d=x*a+y*b，若d=1或-1，则n=x+y-1为所求的最少次数。

（2）算法描述// 两数若干次加减结果为1的数学游戏#includevoid main(){long a,b,d,n,x,y;printf(" 请输入整数a,b: ");scanf("%ld,%ld",&a,&b);if(a%2==0 && b%2==0){ printf(" -1\n");return;}n=0;while(1){ n++;for(x=1;x<=n;x++){ y=n+1-x;d=x*a-y*b;if(d==1 || d==-1) // 满足加减结果为1{ printf(" n=%ld\n",n);return;}}}}请输入整数a,b: 2012,19961请输入整数a,b: 101,20136061-2 埃及分数式算法描述分母为整数分子为“1”的分数称埃及分数，试把真分数a/b 分解为若干个分母不为b 的埃及分数之和。

（1）寻找并输出小于a/b 的最大埃及分数1/c ；（2）若c>900000000，则退出；（3）若c ≤900000000，把差a/b-1/c 整理为分数a/b ，若a/b 为埃及分数，则输出后结束。

算法分析与设计作业
一、冒泡排序
1.1冒泡排序算法
冒泡排序（Bubble Sort）也称为沉底排序，算法的特点是从数组头
部到尾部进行多次遍历，当遍历到一些数时，如果比它前面的数大就交换。

比较 n 个数大小，可以进行 n-1 次交换。

冒泡排序的时间复杂度为
O(n^2)，空间复杂度为O(1)。

算法步骤如下：
（1）比较相邻的元素，如果第一个比第二个大，就交换他们两个的
位置；
（2）对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后
一对，这样在最后循环结束时，最大的数会移动到最后；
（3）重复第一步，直到所有元素排序完成。

1.2冒泡排序算法的优化
冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，为提高算法的速度，可以对冒泡
排序算法进行优化。

算法在每一轮排序后会判断是否有可以交换的数据，如果没有就表明
已经全部排序完成，此时可以终止排序。

相比传统的算法，优化后的算法可以大大减少不必要的循环，提高排
序的速度。

二、快速排序
2.1快速排序算法
快速排序（Quick Sort）是一种分治策略，将大问题分解为小问题，同时在排序过程中不断的拆分问题，最终完成排序。

快速排序的时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(nlogn)。

算法步骤如下：。

2-34、Gray码是一个长度为2n的序列。

序列中无相同元素。

每个元素都是长度为n位的串。

相邻元素恰好只有一位不同。

用分治策略设计一个算法对任意的n构造相应的Gray码。

答：设序列中元素由0、1组成。

当n=1 时Gray码的序列有2个元素（21=2），分别为：0，| 1当n=2 时Gray码的序列有4个元素（22=4），分别为：00，10，| 11，01当n=3 时Gray码的序列有8个元素（23=8），分别为：000，100，110，010，| 011，111，101，001当n=4 时Gray码的序列有16个元素（24=16），分别为：0000，1000、1100、0100，0110，1110，1010，0010，| 0011，1011，1111，0111，0101，1101，1001，0001从上面的列举可得如下规律：n=k时，Gray码的序列有2k个元素，分别为：n=k-1时的Gray码元素正向后加0，得前2k-1个元素，反向后加1的后2k-1个元素。

如n=2时Gray码序列的4个元素分别为：00，10，11，01当n=3 时Gray码序列的前4个元素（23=8），分别为：000，100，110，010是n=2时Gray码四个元素正向后加0，即：000，100，110，010Gray码序列的后4个元素（23=8），分别为：011，111，101，001 是n=2时Gray码四个元素反向后加1，n=2时Gray即：011，111，101，001可以看出，Gray码可以用分治策略，递归实现，2n的Gray码可以用2n-1的Gray码构成。

算法描述：void Gray( type a[],int n){ char a[];if (n==1) { a[0]=’0’;a[1]=’1’;}if (n>1){ Gray(a[],n-1);int k=2n-1-1; //Gray码的个数，因为数组下标从0开始int i=k;for (int x=k;x>=0;x--){char y=a[x];a[x]=y+’0’;a[i+1]=y+’1’; i++;}}}3-7 给定由n个英文单词组成的一段文章，……答：设由n 个单词组成的一段文章可以表示为A[1:n]，它的“漂亮打印”方案记为B[1:n]，构成该最优解的最小空格数（最优值）记为m[1][n]（1）分析最优解的结构：A[1:n]的最优解B[1:n]，必然在第k个单词处断开，那么A[1:k]是“漂亮打印”，并且A[k+1:n]也是“漂亮打印”。

算法设计与分析习题答案1算法设计与分析习题答案1习题1 1. 图论诞生于七桥问题。

出生于瑞士的伟大数学家欧拉提出并解决了该问题。

七桥问题是这样描述的：北区一个人是否能在一次步行中穿越哥尼斯堡城中全部岛区的七座桥后回到起点，且每座桥只经过一次，南区图是这条河以及河上的两个岛和七座桥的图七桥问题草图。

请将该问题的数据模型抽象出来，并判断此问题是否有解。

七桥问题属于一笔画问题。

输入：一个起点输出：相同的点1，一次步行2，经过七座桥，且每次只经历过一次3，回到起点该问题无解：能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。

另一类是只有二个奇点的图形。

2．在欧几里德提出的欧几里德算法中用的不是除法而是减法。

请用伪代码描述这个版本的欧几里德算法=m-n 2.循环直到r=0 m=n n=r r=m-n 3 输出m 3．设计算法求数组中相差最小的两个元素的差。

要求分别给出伪代码和C++描述。

//采用分治法//对数组先进行快速排序//在依次比较相邻的差#include using namespace std; int partions(int b,int low,int high) { int prvotkey=b[low]; b[0]=b[low]; while (low while (low=prvotkey)--high; b[low]=b[high]; while (low b[high]=b[low]; } b[low]=b[0]; return low; } void qsort(int l,int low,int high) { int prvotloc; if(low prvotloc=partions(l,low,high);//将第一次排序的结果作为枢轴qsort(l,low,prvotloc-1); //递归调用排序low 到prvotloc-1 qsort(l,prvotloc+1,high); //递归调用排序prvotloc+1到high } } void quicksort(int l,int n) { qsort(l,1,n); // 第一个作为枢轴，从第一个排到第n个} int main() { int a[11]={0,2,32,43,23,45,36,57,14,27,39};int value=0;//将最小差的值赋值给value for (int b=1;b quicksort(a,11); for(int i=0;i!=9;++i) { if( (a[i+1]-a[i]) value=a[i+2]-a[i+1]; } cout return 0; } 4．设数组a[n]中的元素均不相等，设计算法找出a[n]中一个既不是最大也不是最小的元素，并说明最坏情况下的比较次数。