6年级-6-立体图形与旋转体综合-难版

2023-2024学年六年级数学下册典型例题系列第二单元：八种问题之圆柱与圆锥的旋转构成问题“综合版”一、填空题。

1．一张长方形的纸，长是8cm，宽是6cm，以长所在直线为轴旋转一周形成一个( )，这个立体图形的高是( )cm，长方形的宽等于这个立体图形的( )。

2．如图是一个长方形，如在这个长方形中剪下一个最大的正方形，并以正方形的一条边为轴快速旋转一周后会形成一个( )体，它的体积是( )立方厘米。

3．将一张长6cm、宽4cm的长方形纸以一条边为轴旋转一周，得到一个圆柱，这个圆柱的体积是( )cm3或( )cm3。

4．将一张长4cm，宽3cm的长方形纸以长边为轴旋转一周，得到一个圆柱体，这个圆柱的表面积是( )cm2，体积是( )cm3。

5．一个长方形的长是8cm，宽是5cm，如果以其中的一条边为轴旋转一周将得到的立体图形是( )，其中体积最大的是( )cm3。

6．如图长方形长3分米，宽2分米。

以宽边的中点连线（如图）为轴旋转一周所形成的立体图形的表面积是( )平方分米，以宽边为轴旋转一周所形成的立体图形的体积是( )立方分米（计算结果保留π）。

7．一个直角边分别为4cm和3cm的直角三角形，它的面积是( )2cm。

若以较短的直角边为轴旋转一周形成的图形的体积是( )3cm。

8．一个直角三角形的两条直角边分别是7cm和11cm，如果以其中一条直角边为轴旋转一周，可以得到一个( )，体积最大是( )cm3（保留两位小数）。

9．如图，以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，可以形成一个( )，以( )为轴旋转时体积最小，是( )立方分米。

10．一个直角三角形的两条直角边的长度分别是4厘米和6厘米，以直角边为轴旋转一周，得到的立体图形是( )，体积最大是( )立方厘米。

二、解答题。

11．一个长方形长10厘米，宽2厘米，以长为轴旋转一周得到什么样的立体图形，这个图形的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？12．画出如图图形绕BD边旋转后的图形，并求出的它的表面积和体积（单位：厘米）。

✧ 参考书目：导引六年级第6讲；课本六年级上学期第5，6，7讲。

✧ 本讲重点内容总结：一、旋转体的概念：轴，高，底面，侧面，母线。

二、长方体，正方体，圆柱体，圆锥体的体积公式，侧面积公式，表面积公式。

三、正方体的剪拼以及染色问题。

四、能够熟练、清晰、准确的画出常见立体图形，要求画出的图形能够看见图形背后被挡住的部分，并能够在图形上面任意添加辅助线。

✧ 例题以及练习1. 从一个底边半径为10的圆柱体原材料上斜着切了一刀，得到一个零件，它的左边最矮处的高度为40，右边最高处为50，那么这个零件的体积为多少？侧面积为多少？2. 一个长和宽分别为10和5的长方形可以将两个宽粘在一起，围成一个圆柱体；也可以将两个长粘在一起围成一个圆柱体。

这两个圆柱体的体积比为多少？3. 从一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到一个如下图的几何体。

求这个几何体的表面积和体积。

4. 在如图所示的圆锥中，AB 和BC 长均为10厘米，底面圆周长为 10厘米。

这个圆锥体的侧面积为多少？有一只小虫准备从A 点出发，沿着锥面爬到线段BC ，那么它爬行的最短距离是多少厘米？5. 一个盛有水的正方体容器的棱长为20，水深为15。

今将一个底面半径为5，高为20的铁圆柱垂直放入容器中，求这时容器的水深是多少？(取π为227)6. 一个盛水的容器是由两个圆柱体组成的，大圆柱体底面半径10cm ，并且它的底面半径和高都是小圆柱体的2倍。

现在容器里有一些水，水面距离容器还有11cm ，如果把容器倒过来，水面距离顶部有5cm ，那么这个容器的容积是多少？BAC7. 用棱长是1厘米的立方体拼成下图所示的立体图形。

求这个立体图形的表面积。

8. 如图，同样大小的立方体木块堆放在房间的一角，一共垒了40层，那么在这40层中的木块共有多少个？如果每个木块的棱长为1，那么可以看见的表面积一共为多少？9. 将一个棱长为25的立方体的8个角分别切掉棱长为1，2，3，4，5，6，7，8的立方体后表面积为多少？10. 今有一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体．现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体．问剩下的体积是多少立方厘米？11. 图中是一个边长为5厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长1厘米的正方体，它的表面积是多少平方厘米？如果将它的表面刷上红漆，然后将它分割成119块棱长为1厘米的小正方体，那么有多少个小正方体的1个面被染了红漆？有多少个小正方体的2个面被染了红漆？有多少个小正方体的3个面被染了红漆？12. 思考题：图中是一个边长为5厘米的正方体，分别在前、右、上三个面的中心位置垂直将正方体挖穿，形成一个边长1厘米的正方形空洞。

第五讲 立体几何综合【专题知识点概述】本讲复习已经学过的立体图形的相关知识和解题技巧，主要有:长方体、立方体、圆柱、圆锥的体积及表面积求解，立体几何计数及多面体顶点与棱以及表面的关系。

主要知识点⑴规则立体图形的表面积和体积公式长方体：体积：长宽高 表面积：（长宽+宽高+长高）立方体：体积：棱长的立方 表面积：棱长的平方6圆柱： 体积：2r h π 侧面积：2rh π圆锥： 体积：213r h π ⑵不规则立体图形的表面积整体观照法⑶体积的等积变形①水中浸放物体：V 升水=V 物②测啤酒瓶容积：V=V 空气+V 水⑷三视图与展开图最短线路与展开图形状问题⑸染色问题几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。

【授课批注】可以结合以前所讲过的题进行更深入细致的讲解，加深学生的印象。

【重点难点解析】1．不规则立体图形的表面积或体积求解2．多面体的顶点与棱数计数3．体积的等量代换【竞赛考点挖掘】1．规则立体图形的表面积（侧面积）与体积计算2．不规则立体图形的表面积与体积计算3．染色问题4．立体图形的三视图与展开图【习题精讲】【例1】（难度等级 ※）一个长方体的表面积是33.66平方分米，其中一个面的长是2.3分米，宽是2.1分米，它的体积是_____立方分米.【分析与解】长方体的高是(33.66-2.1×2.3×2)÷2÷(2.1+2.3)= 1130(分米). 长方体的体积是2.1×2.3 × 1130=1101913(立方分米)．【例2】（难度等级 ※※）右图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上面的正中向下挖一个棱长为1厘米的正方形小洞；接着在小洞的底面正中再挖一个棱长为21厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，棱长为41厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是 平方厘米．【分析与解】 2×2×6+1×1×4+21×21×4+41×41×4=29．25(平方厘米)．【例3】（难度等级 ※※）把一个长25厘米，宽10厘米，高4厘米的长方体木块锯成若干个大小相等的正方体，然后拼成一个大的正方体．这个大正方体的表面积是_____平方厘米。

2023年学校六班级小升初数学专项复习（12）——立体图形的分类及识别★★学学问问归归纳纳总总结结一、立体图形的分类及识别1.立体几何图形：从实物中抽象出来的各种图形，统称为几何图形，几何图形是数学争辩的主要对象之一．有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形．由一个或多个面围成的可以存在于现实生活中的三维图形．点动成线，线动成面，面动成体．即由面围成体，看一个体最多看到立体图形实物三个面．2．常见立体几何图形及性质：（1）正方体：有8个顶点，6个面．每个面面积相等（或每个面都有正方形组成）．有12条棱，每条棱长的长度都相等．（正方体是特殊的长方体）（2）长方体：有8个顶点，6个面．每个面都由长方形或相对的一组正方形组成．有12条棱，相对的4条棱的棱长相等．（3）圆柱：上下两个面为大小相同的圆形．有一个曲面叫侧面．开放后为长方形或正方形或平行四边形．有很多条高，这些高的长度都相等．（4）圆锥：有1个顶点，1个曲面，一个底面．开放后为扇形．只有1条高．四周体有1个顶点，四周六条棱高．（5）直三棱柱：三条侧棱切平行，上表面和下表面是平行且全等的三角形．（6）球：球是生活中最常见的图形之一，例如篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体．例1：长方体有4个，正方体有4个，圆柱有5个，球有4个。

【分析】依据常见立体图形的特征及分类即可解答。

【解答】解：长方体有4个，正方体有4个，圆柱有5个，球有4个。

故答案为：4；4；5；4。

【点评】本题主要考查常见立体图形的特征及分类。

例2：填一填，圈一圈。

（1）一共有8个图形。

（2）排第6；排第7的是。

（3）如图的图形中有1个正方体，3个长方体，2个球和2个圆柱。

（4）圈出如图图形中简洁滚动的图形。

【分析】正方体：有8个顶点，6个面，每个面面积相等（或每个面都有正方形组成）；长方体：有8个顶点，6个面，每个面都由长方形或相对的一组正方形组成；圆柱：上下两个面为大小相同的圆形，有一个曲面叫侧面；球：球是生活中最常见的图形之一，例如篮球、足球都是球，球是由一个面所围成的几何体。

第07讲几何综合——立体几何1：下图的切割点均为所在棱的中点，如果按照左图切割，那么表面积总和增加了4，那么按照右图切割，表面积总和增加_______。

2：一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积(如下图所示)和正方体体积的比是多少？假设正方体的边长为1，那么每个切去的角(三棱锥)的体积为，211111322248⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭所以八个角一共切去的体积，所以余下的体积是正方体体积的，118486⨯=15166-=即余下部分的体积与正方体体积的比为．5:63：如图，原正方体的棱长为12厘米，沿图中的线将正方体切掉正面的部分，求剩下不规则立体图形的体积．倾斜于上下底面的切面，把正方体一分为二．被切掉的部分的图形和剩下的部分图形关于正方形的中心是对称的．33122864(cm )÷=4：如图，正方体的棱长为，连接正方体其中六条棱的中点形成一个正六边形，而连接其中三个顶点6cm 形成一个正三角形．正方体夹在六边形与三角形之间的立体图形有 个面，它的体积是．3cm乙9乙从图中可以看出，夹在六边形与三角形之间的立体图形有2个底面和6个侧面（六边形的每一条边对应一个侧面），所以共有个面，8由于正方体是关于它的中心成中心对称的，而根据正六边形和正三角形的连法，如果从正方体中去掉以这个正三角形为底面的三棱锥以及与它相对的三棱锥后，剩下的部分正好被六边形分成2个同样的立体图形，这就是所要求的立体图形．所以所要求的立体图形的体积是：．3111666266672(cm )232⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦5：如图，有一个棱长为2厘米的正方体。

从正方体的上面正中间下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中间再向下挖一个棱长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前面两个相同，棱长为12厘米，最后得到的额例题图形的表面积是多少平方厘米？146：如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体，这三个长方体的表面积比是3：4：5时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：：：。

【小升初专题复习】北师大版六年级下册数学-第十讲立体图形综合（解析版）一、知识点1、长方体总棱长：（长十宽十高）×4C＝（a＋b＋h）×4侧面积：底面周长×高＝（长十宽）×2×高S＝Ch＝（a＋b）×2×h表面积：（长×宽十长×高十宽×高）×2S＝（ab＋ah＋bh）×2体积：长×宽×高V＝abh2、正方体总棱长：棱长×12C＝12a侧面积：底面周长×高＝棱长×4×棱长S＝Ch＝4a²表面积：棱长×棱长×6S＝6a²体积：棱长×棱长×棱长V＝a³3、圆柱侧面积：底面周长×高S＝2πrh侧表面积：侧面积＋2个底面积＝2πrh＋2πr²S表体积：底面积×高V＝πr²h4、圆锥体积：底面积×高÷3V＝πr²h÷35、染色问题公式三面：8个二面：（长－2）×4＋（宽－2）×4＋（高－2）×4一面：（长－2）（宽－2）×2＋（长－2）（高－2）×2＋（宽－2）（高－2）×2 零面：（长－2）（宽－2）（高－2）二、学习目标1.我能够运用公式解决立体图形的计算问题。

2.我能够灵活应用排水法求物体的体积。

三、课前练习1.判断题。

（1）用9个一样大小的小正方体能拼成一个大正方体。

（）（2）如果圆柱的底面半径扩大2倍，那么它的体积就扩大4倍。

（）（3）如果两个正方体的棱长之比是2:3,那么它们的体积之比就是4:9。

（）【答案】（1）×；（2）×；（3）×【解析】（2）圆柱的体积是由底面积和高两个条件决定的，本题没有说明高不变，因此这种说法是错误的。