高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性学案 理 北师大版

第三节 函数的奇偶性、周期性与对称性

[考纲传真] (教师用书独具)1.了解函数奇偶性的含义.2.会运用基本初等函数的图像分析函数的奇偶性.3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．

(对应学生用书第13页)

[基础知识填充]

1．奇函数、偶函数

图像关于原点对称的函数叫作奇函数．在奇函数f(x)中，f(x)和f(－x)的绝对值相等，符号相反．即f(－x)＝－f(x)，反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数一定是奇函数．

图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．在偶函数f(x)中，f(x)＝f(－x)，反之，满足f(－x)＝f(x)的函数一定是偶函数．

2．奇(偶)函数的性质

(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关于原点的区间上的单调性相反(填“相同”“相反”)．

(2)在公共定义域内

①两个奇函数和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．

②两个偶函数的和函数、积函数是偶函数．

③一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数．

(3)若函数f(x)是奇函数且x＝0处有定义，则f(0)＝0.

3．函数的周期性

(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在非零常数T，对定义域内的任意一个x，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．

4．函数的对称性常见的结论

(1)函数y＝f(x)关于x＝a＋b2对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．

特殊：函数y＝f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；

函数y＝f(x)关于x＝0对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)．

(2)函数y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b.

特殊：函数y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；

函数y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)．

(3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；

y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数y＝f(x)关于点(a,0)对称．

[知识拓展]

1．函数奇偶性常用结论

(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(4)y＝f(x＋a)是奇函数，则f(－x＋a)＝－f(x＋a)；

y＝f(x＋a)是偶函数，则f(－x＋a)＝f(x＋a)．

2．函数周期性常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a＞0)．

(2)若f(x＋a)＝1fx，则T＝2a(a＞0)．

(3)若f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a(a＞0)．

[基本能力自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )

(2)偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原点．( )

(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )

(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．( )

(5)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．( )

[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√

2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )

A．－13 B.13

C.12 D．－12

B [依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，

∴b＝0且a＝13，则a＋b＝13.]

3．(教材改编)下列函数为偶函数的是( )

A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝x2＋x

C．f(x)＝2x－2－x D．f(x)＝2x＋2－x

D [D中，f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，

∴f(x)为偶函数．]

4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为( )

A．－1 B．0

C．1 D．2

B [∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，

又f(x＋4)＝f(x)，∴f(8)＝f(0)＝0.]

5．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________.

12 [法一：令x＞0，则－x＜0.

∴f(－x)＝－2x3＋x2.

∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(－x)＝－f(x)．

∴f(x)＝2x3－x2(x＞0)．

∴f(2)＝2×23－22＝12.

法二：f(2)＝－f(－2)

＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12.]

(对应学生用书第14页)

函数奇偶性的判断

判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝1－x2＋x2－1；

(2)f(x)＝ln(x2＋1＋x)；

(3)f(x)＝(x＋1)1－x1＋x；

(4)f(x)＝ x2＋x，x＞0，x2－x，x＜0.

[解] (1)由 x2－1≥0，1－x2≥0，得x＝±1，

∴f(x)的定义域为{－1,1}．

又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，

∴f(x)＝±f(－x)．

∴f(x)既是奇函数又是偶函数．

(2)f(x)的定义域为R，

f(－x)＝(lnx2＋1－x)＝ln1x2＋1＋x

＝－ln(x2＋1＋x)＝－f(x)，

∴f(x)为奇函数．

(3)由1－x1＋x≥0可得函数的定义域为(－1,1]．

∵函数定义域不关于原点对称，

∴函数为非奇非偶函数．

(4)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x＞0时，f(x)＝x2＋x，

则当x＜0时，－x＞0，

故f(－x)＝x2－x＝f(x)；

当x＜0时，f(x)＝x2－x，则当x＞0时，－x＜0，

故f(－x)＝x2＋x＝f(x)，故原函数是偶函数．

[规律方法]

判断函数奇偶性的三种常用方法

(1)定义法

(2)图像法

(3)性质法

在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

[跟踪训练] (1)(2018·深圳二调)下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是( )

A．y＝cos x B．y＝x

C．y＝2|x| D．y＝|lg x|

(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )

A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数

(1)C (2)C [(1)由于对应函数是偶函数，可以排除选项B，D；对应函数在(0,1)上单调递增，可以排除选项A；y＝2|x|是偶函数，又在(0,1)上单调递增，选项C正确，故选C.

(2)A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，

∴h(x)是奇函数，A错．

B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，

∴h(x)是偶函数，B错．

C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．

D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，

∴h(x)是偶函数，D错．]

函数的周期性

(1)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0

【导学号：79140031】

(2)已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－1fx，x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值为________．

(1)－2 (2)1 347 [(1)∵f(x)是周期为2的奇函数，

∴f－52＝f－12＝－f12＝－412＝－2，f(2)＝f(0)＝0，∴f－52＋f(2)＝－2＋0＝－2.

(2)∵f(x＋2)＝－1fx，

∴f(x＋4)＝－1fx＋＝f(x)，

∴函数y＝f(x)的周期T＝4.

又x∈(0,2]时，f(x)＝2x－1，

∴f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝－1f＝－1，

f(4)＝－1f＝－13.

∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)

＝504[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(504×4＋1)＋f(504×4＋2)＋f(504×4＋3)

＝5041＋3－1－13＋1＋3－1

＝1 347.]

[规律方法] 判断函数的周期只需证明fx＋T＝fxT便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kTk∈Z且k也是函数的周期.

[跟踪训练] 已知函数f(x)是周期为2的奇函数，当x∈(0,1]时，f(x)＝lg(x＋1)，则f2 0165＋lg 18＝________.

1 [由函数f(x)是周期为2的奇函数，

得f2 0165＝f65＝f－45＝－f45＝－lg95＝lg59，

故f2 0165＋lg 18＝lg59＋lg 18＝lg 10＝1.]

函数性质的综合应用

◎角度1 单调性与奇偶性结合

(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是( )

A．[－2,2] B．[－1,1]

C．[0,4] D．[1,3]

D [∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．

∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.

故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．