高考高考数学一轮复习第2章基本初等函数导数及其应用第4讲函数的奇偶性及周期性知能训练轻松闯关理北师大

第1页 共5页 第4讲函数的奇偶性及周期性

1．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()

A．f(x)g(x)是偶函数

B．|f(x)|g(x)是奇函数

C．f(x)|g(x)|是奇函数

D．|f(x)g(x)|是奇函数

解析：选C.A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，所以h(x)是奇函数，A错．B：令h(x)＝|f(x)|·g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，所以h(x)是偶函数，B错．C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，所以h(x)是奇函数，C正确．D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，所以h(x)是偶函数，D错．

2．已知偶函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sinx，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f－π3＋f(4)＝()

A．－3＋2 B．1

C．3 D.3＋2

解析：选D.因为f－π3＝fπ3＝2sinπ3＝3，f(4)＝log24＝2，所以f－π3＋f(4)＝3＋2，故选D.

3．设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则f(2016)＋f(2017)＝()

A．3 B．2

C．1 D．0

解析：选C.因为f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，所以f(2016)＋f(2017)＝f(672×3＋0)＋f(672×3＋1)＝f(0)＋f(1)，而由图像可知f(1)＝1，f(0)＝0，所以f(2016)＋f(2017)＝0＋1＝1.

4．已知函数f(x)＝x－2，g(x)＝x3＋tanx，那么()

A．f(x)·g(x)是奇函数 B．f(x)·g(x)是偶函数

C．f(x)＋g(x)是奇函数 D．f(x)＋g(x)是偶函数

解析：选A.由已知易得f(x)＝f(－x)，g(x)＝－g(－x)，故f(－x)·g(－x)＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)g(x)，故f(x)·g(x)是奇函数，A正确，B错误；f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数．

5．已知函数f(x)在区间[－5，5]上是奇函数，在区间[0，5]上是单调函数，且f(3)＜f(1)，则()

A．f(－1)＜f(－3) B．f(0)＞f(－1)

C．f(－1)＜f(1) D．f(－3)＞f(－5)

解析：选A.函数f(x)在区间[0，5]上是单调函数，又3＞1，且f(3)＜f(1)，故此函数在区间[0，5]上是减函数．由已知条件及奇函数性质知，函数f(x)在区间[－5，5]上是减函数．

选项A中，－3＜－1，故f(－3)＞f(－1)．

第2页 共5页 选项B中，0＞－1，故f(0)＜f(－1)．

同理，选项C中f(－1)＞f(1)，选项D中f(－3)＜f(－5)．

6．若函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为()

A．(1，3) B．(－1，1)

C．(－1，0)∪(1，3) D．(－1，0)∪(0，1)

解析：选C.f(x)的图像如图．

当x∈[－1，0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1，0)；

当x∈[0，1)时，由xf(x)>0，得x∈∅；

当x∈[1，3]时，由xf(x)>0，得x∈(1，3)．

故x∈(－1，0)∪(1，3)．

7．已知函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________．

解析：因为f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，

所以当x＜0时，－x＞0，

f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，

即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.

答案：－－x－1

8．若f(x)＝k·2x＋2－x为偶函数，则k＝________，若f(x)为奇函数，则k＝________．

解析：f(x)为偶函数时，f(－1)＝f(1)，即k2＋2＝2k＋12，解得k＝1.

f(x)为奇函数时，f(0)＝0，

即k＋1＝0，

所以k＝－1(或f(－1)＝－f(1)，

即k2＋2＝－2k－12，解得k＝－1)．

答案：1－1

9．若偶函数y＝f(x)为R上周期为6的周期函数，且满足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，则f(－6)等于________．

解析：因为y＝f(x)为偶函数，且f(x)＝(x＋1)·(x－a)(－3≤x≤3)，

所以f(x)＝x2＋(1－a)x－a，1－a＝0.

所以a＝1.f(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．

f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.

答案：－1

10．设函数f(x)＝（x＋1）2＋sin xx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________．

解析：f(x)＝（x＋1）2＋sin xx2＋1＝1＋2x＋sin xx2＋1.设g(x)＝2x＋sin xx2＋1，则g(－x)＝－2x－sin xx2＋1＝－g(x)，

所以g(x)是R上的奇函数．所以若g(x)的最大值是W，则g(x)的最小值是－W.所以函数f(x)的最大值是1＋W，最小值是1－W，即M＝1＋W，m＝1－W，所以M＋m＝2.

答案：2

11．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x.

(1)求f(π)的值；

(2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图像与x轴所围成的图形的面积．

第3页 共5页 解：(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得

f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以f(x)是以4为周期的周期函数．

所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)

＝－(4－π)＝π－4.

(2)由f(x)是奇函数与f(x＋2)＝－f(x)，

得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，

即f(1＋x)＝f(1－x)．

从而可知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝1对称．

又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)的图像如图所示．

设当－4≤x≤4时，f(x)的图像与x轴围成的图形面积为S，

则S＝4S△OAB＝4×12×2×1＝4.

12．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x＞0，0，x＝0，x2＋mx，x＜0是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上递增，求实数a的取值范围．

解：(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)

＝－x2－2x.

又f(x)为奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)，

于是x＜0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，要使f(x)在[－1，a－2]上递增．

结合f(x)的图像知a－2＞－1，a－2≤1，

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1，3]．

1．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1，0)时，f(x)＝2x＋15，则f(log220)＝()

A．1 B．－1

C.45 D．－45

解析：选B.因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，又f(x－2)＝f(x＋2)，所以f(x)的周期为4，由4

＝－flog2 45＝－2log245＋15

＝－45＋15＝－1，故选B.

2．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝

第4页 共5页 ________．

解析：因为f(x)为奇函数并且f(x－4)＝－f(x)．

所以f(x－4)＝－f(4－x)＝－f(x)，即f(4－x)＝f(x)，且f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，

即y＝f(x)的图像关于x＝2对称，并且是周期为8的周期函数．

因为f(x)在[0，2]上是增函数，

所以f(x)在[－2，2]上是增函数，在[2，6]上为减函数，据此可画出y＝f(x)的图像．

其图像也关于x＝－6对称，

所以x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，

所以x1＋x2＋x3＋x4＝－8.

答案：－8

3．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(1)的值．

(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论．

(3)如果f(4)＝1，f(x－1)＜2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．

解：(1)因为对于任意x1，x2∈D，

有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，

所以令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，

所以f(1)＝0.

(2)f(x)为偶函数．证明如下：

令x1＝x2＝－1，

有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，

所以f(－1)＝12f(1)＝0.

令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，

所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．

(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，

由(2)知，f(x)是偶函数，

所以f(x－1)＜2，等价于f(|x－1|)＜f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

所以0＜|x－1|＜16，解得－15＜x＜17且x≠1.所以x的取值范围是{x|－15＜x＜17且x≠1}．

4．已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数．

(1)求证：对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0；

(2)若f(1－a)＋f(1－a2)＜0，求实数a的取值范围．

解：(1)证明：若x1＋x2＝0，显然不等式成立．

若x1＋x2＜0，则－1≤x1＜－x2≤1，

因为f(x)在[－1，1]上是减函数且为奇函数，

所以f(x1)＞f(－x2)＝－f(x2)，

所以f(x1)＋f(x2)＞0.

所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．

若x1＋x2＞0，则1≥x1＞－x2≥－1，

同理可证f(x1)＋f(x2)＜0.

所以[f(x1)＋f(x2)](x1＋x2)＜0成立．

综上得证，对任意x1，x2∈[－1，1]，有[f(x1)＋f(x2)]·(x1＋x2)≤0恒成立．

(2)因为f(1－a)＋f(1－a2)＜0⇔f(1－a2)＜－f(1－a)＝f(a－1)，所以由f(x)在定义域[－