第五章_刚体力学_习题解答
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第五章—刚体力学_习题解答_By XuJie
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5.1、一长为I的棒AB，靠在半径为r的半圆形柱面上，如图所示。今 A点以恒定速度V。沿
水平线运动。试求： （i） B点的速度vB ； （ii）画出棒的瞬时转动中心的
解：如图，建立动直角系 A - xyz，取A点为原点。vB二vA 、 rAB，关键是求:
法1（基点法）：取 A点为基点， vC = vA亠心■ rAC = vA • vCO = vA vA sin二
丄P
T 心i_v0^j
法2（瞬心法）：如图，因棒上C点靠在半圆上，所以 C点的速度沿切线方向，故延长 0C，
使其和垂直于
取A点为基点，那么 B点的速度为:
vnsin
VB =VA ，=voi - k [(-lcos^)i Isin“] r cos°
,,I sin‘日、-v-lsin2 9 -
二 v-(1 )i 0 j
r cos 廿
5.2、一轮的半径为r，竖直放置于水平面上作无滑动地滚动，轮心以恒定速度 轮缘上任在直角三角形 QPA 中，「AP =roACtgr r COST
sin2
二
-k (_rPA)j = rPAi 哼 i 二 v°i,即，」sinJ
sin 二 r cos- 在直角三角形 A点速度线交于P点，那么P点为瞬心。
OCA 中，r°A J
sin
v0前进。求 第五章—刚体力学_习题解答_By XuJie
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一点（该点处的轮辐与水平线成二角）的速度和加速度。
解：任取轮缘上一点 M，设其速度为vM，加速度为aM第五章—刚体力学_习题解答_By XuJie
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VM = W = wi = v^ - ■ 「NM
-v2i -，k 2rj = (2，r - v2)i如图，取轮心O为原点，建立动系O _xyz ,其中轮心的速度方向为 x轴正向，O_xy平面
位于轮上。那么轮子的角速度为 .--.k -vk
取O点为基点，那么vM二vO亠心■ rOM
因轮无滑动地滚动，所以 C点为瞬心。vO = . rCO = v0 iy
C 即:k rCO j = v0i，化简有• = ―— = —0，那么有: rco r
vM 二 vO ， rOM 二 v0i - k r (cossin rj)
=v0i - k r (cos 引 sin j) r
二 v0(1 sin r)i - v0 cosr j
_ d _ d
aM vM [v0(1 sin "i「v0cos)j]二 v0)cosv^ sin v j dt dt =v0v(cos vi sin)j)二-v^ (cos)i sin j)
2
--乂 (cos 新 sin j) r
5.3、半径为r的圆柱夹在两块相互平行的平板 向运动，如图示。若圆柱和两板间无相对滑动，求:
(i) 圆柱瞬心的位置
(ii) 位于圆柱上与板的接触点 M的加速度。
解：(i)如图，圆柱瞬心的位置为 C点，不妨设
在图示的直角坐标系中，•二-，
v!二叩，v^ pi，s 二 0 j， A和B之间，两板分别以速度 M和v2匀速反
「CN = -「CN j - (「CM _ 2r) j
因为 VM = w = ■ 「CM ， VN - v2 - 「CN
所以有 vi - ' rcM ， v2 =，rCN = ' (2 r _ rCM )，联立解得：rCM 2M
或者取N点为基点，那么: 第五章—刚体力学_习题解答_By XuJie
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2 rv
于是求得瞬心的位置位于距离 M点rCM =上吐的直径上。 V1 +V2
一 Vj -V2
(ii)瞬心到圆柱轴心 O的距离为rCO = rCM - r - - r W +v2
5.4、高为h、顶角为2的圆锥，在一平面上无滑动地滚动。 已知圆锥轴线以恒定角速度 'J
绕过顶点的铅直轴转动。求：
(i) 圆锥的角速度
(ii) 锥体底面上最高点的速度
(iii) 圆锥的角加速度
解：取圆锥的顶点为原点，建立动系 O-xyz
取圆锥和平面交线为 y轴，
圆锥的对称面OAB位于O - yz平面
因圆锥轴线以恒定角速度'J绕过顶点的铅直轴 转动，若设圆锥绕自身轴线的角速度为 ■'
那么圆锥绕顶点的角速度为，二1 又OB母线与平面接触，为圆锥的瞬时转动轴，故
(i) 在角速度合成的矢量三角形中，圆锥的角速率
(ii) 在动系O ~'Xyz中，锥体底面上最咼点 A的位矢可以表示为:
rOA 二 rOAcos2： j rOAsin2 k 求得—罟，因V1八rCM，故rCM 2M
W v2
由图中的几何关系可知： h roA 二 cos 口 圆柱轴心O的速度为vO = - rCO 2r w +v2 2
M点相对O点的速度为： - - - 1 w —v2 . v1 v2 .
VMO 一 VM - VO — Wl i i 2 2
M点相对O点做圆周运动，故 aM vMO (v- v2)2 •
4r •
■平行于OB
■ - _〔Stg：,即■一 j
(cos2: j sin2: k) 2 第五章—刚体力学_习题解答_By XuJie
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所以rOA二 第五章—刚体力学_习题解答_By XuJie
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那么最高点A的速度为：
h
vA 二 rOA --；」ctg> j (cos2： j sin2： k) = _2i】hcos： i
cosot
(iii) 因圆锥的角速度为 •- -“ctg> j，所以圆锥的角加速度为:
■d^d ■ dj ~ — 2 ■
(“ctg ： j) _」】ctg ctg〕门 j - 1 ctg ： i dt dt dt
5.5、在一半径为R的球体上置一半径为r的较小的球，它们的连心线 :角，如图示。若 OO'绕竖直轴以恒定的角速度 别求出小球最高点 A和最低点B的速度。
rOO' = -(r R)sin ： j (r R)cos： k
在大球和小球的角速度矢量直角三角形中，有 -■
'二 sin ： cos： j 亠心 sin2 ： k
二 rOO — k [-(r R)sin 一： j (r R)cos-：：k]
■ N
k [ -(r R)sin : j ]
= (r R)sin ： i
2
vA = vO, ■' rO,A = (r R)sin : i ( ■ sin ： cos： j sin : k) rk
=sin : [r(1 cos： ) R]i
2
vB 二 vO, ■' rO,B = (r R)sin - i ( ■ sin ： cos ： j ■ sin : k) (_rk )
二 sin : [r (1「cos ： ) R] 解：建立如图所示的动直角坐标系 O-xyz
使rOO'位于。-yz平面内。则有:
::k，'二 'cos ： j 'sin ： k
r°，A =rk，— 一 -rk
所以
VO ' OO'与竖直轴间保持
-.转动，小球在大球上无滑动地滚动。分 第五章—刚体力学_习题解答_By XuJie
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5.6、一边长为d、质量为m的匀质立方体，分别求出该立方体对过顶点的棱边、面对角线
和体对角线的转动惯量 JP、Jf和Jb
解：如图，要求图示棱边的转动惯量 JP，先求立文体过质心
且平行于棱的z轴的转动惯量Jz
在图示的直角坐标系 O -xyz中，x, y, z轴皆为惯量主轴 第五章—刚体力学_习题解答_By XuJie
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心C的惯量矩阵JC,并由此导出对顶点 O的惯量矩阵J。。图中坐标系C-xyz和坐标系
O 的坐标轴分别相互平行， 和xy都在薄板平面内。
解：由图中坐标系 C-xyz的取法可知，y, z轴是三角板的对称轴, 5 2
2\
「d
md d/2 2(x y )： dxdydz 二
』/2 6 6
由平行轴疋理： jp=jz mf 2d)^md2 md\2md2
2 6 2 3
要求图示面对角线的转动惯量 Jf，先求立文体过质心 O点，且平行于面对角线的轴的转动
由平行轴定理有:
转动惯量为:
[ f
-_d/2 ■ _d/2 i 故 Jz 二(x2 y2)dm 二
惯量Jz，此轴与坐标轴的方向余弦分别为
md2
JO Jx
0 Jy
0 Jz md2
6 ,0),坐标轴为惯量主轴，所以有:
,0) 'md2 0 (1、
6 0
0 md2 0 1
6
0 0 md2 0
6丿 1丿 g)2「磴应
2 6 4 5md2
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体对角线与坐标轴的方向余弦分别为 那么体对角线的
'md2 0 (1 )
6 0
0 md2 0 1
6
0 0 md2 丄
6丿
6
5.7、一匀质等边三角形的薄板，边长为 I、质量为m。试在图示坐标系下, 求出薄板对质 d/2 d/2
，坐标轴为惯量主J
