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第四章、正态分布

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第四章、正态分布

一、选择题：

1．设X与Y 相互独立，且22

1122~(,),~(,)XNYN

，则Z = X +Y仍服从正态分

布，且有 （ ）

A．22

1212~(,)ZN

B．22

1212~(,)ZN



C．22

1212~(,)ZN

D．22

1212~(,)ZN

2．若X与Y均相互独立且服从标准正态分布，则Z = X + Y

（ ）

A．服从N（0，2） B．服从N（0，1）

C．服从N（0

，2

） D．不一定服从正态分布

3．若X与Y独立，且X ~ N（0，1），Y ~ N（1，1），则 （ ）

A．1

{0}

2PXY

B．1

{1}

2PXY

C．1

{0}

2PXY

D．1

{1}

2PXY

4．若随机变量X的数学期望与方差分别为EX =1，DX = 0.1，根据切比雪夫不等式，一

定有 （ ）

A．{11}0.9PX

B．{02}0.9Px

C．{11}0.9PX

D．{02}0.9Px

5．设

1,2,9XXX

相互独立， 1,1(1,2,9)

iiEXDXi

，根据切比雪夫不等式，

1



有 （ ）

A

．9

2

1{1}1

i

iPx



B

．9

2

11

{1}1

9i

iPx



C

．9

2

1{9}1

i

iPx



D

．9

2

1{9}19

i

iPx



6．若

121000XXX、、

为独立同分布的随机变量，且~(1,)121000

iXBpi、

即都

服从参数为p的0-1分布，则（ ）不正确 A．1000

11

1000i

iXP



B．1000

1~(1000)

i

iXBP



、

C．1000

1{}()()

i

iPaXbba



D．1000

110001000

{}[][]

1000(1)1000(1)i

ibpap

PaXb

pppp







7．设随机变量X的数学期望EX = 1，且满足1

{12}

16PX

，根据切比雪夫不等式，

X的方差必满足 （ ）

A．1

16DX

B．1

4DX

C．1

2DX

D．1DX

8．设随机变量X的数学期望EX = 1，方差DX = 1，且满足1

{1}

16PX



，根据切

比雪夫不等式，则

应满足 （ ）

A．4

B．4

C．1

4

D．1

4

9．已知X ~N（1，4），YaXb

,要使Y ~ N（0，1），则 （ ）

A．2,2ab

B．1,2ab

C．1

,1

2ab

D．11

,

22ab

10．若总体2

(1,2)XN

，且统计量100

11

(0,1)

100i

iYaXbaXbN



，则有

（ ）

A． a=-5, b=5 B．a=5, b=5

C． a=0.2, b=0.2 D．a=-0.2, b=0.2

11．设随机变量X服从正态分布X~N（0，1） Y=2X-1，则Y~ （ ）

A．N（0，1） B．N（-1，4）

C．N（-1，1） D．N（-1，3）

12．已知随机变量X服从正态分布N（2，22

）且Y=aX+b服从标准正态分布，则 （ ）

A．a = 2 , b = -2 B．a = -2 , b = -1

C．a = 1/2 , b = -1 D．a = 1/2 , b = 1

13．若X~N（1，1）密度函数与分布函数分别为()fx与()Fx ，则 （ ）

A．(0)(0)PXPX B．(1)(1)PXPX C．

()()fxfx D．

()1()FxFx

14．设2

~(,)XN

，则随

的增大，概率{}PX



（ ）

A．单调增加 B．单调减少

C．保持不变 D．增减不定

15．设随机变量2

~(,)XN

，且{}{}PXcPXc

，则c= （ ）

A．0 B．

C．

D．

/

16．设随机变量

~N（0，1），

=2

+1 ，则 

~ （ ）

A．N（1，4） B．N（0，1）

C．N（1，1） D．N（1，2）

17．若随机变量2

~(2,2)XN

，则1

()

2DX

= （ ）

A．1 B．2

C．1/2 D．3

二、填空题：

1. 若随机变量X与Y独立，且2222

~(0,),~(0,),XNYNZXY



，则EZ =

。

2. 若随机变量X的数学期望与方差分别为EX = 1，DX = 1，且 1

{1}

4PX



，根据

切比雪夫不等式，

应满足 。

3. 若随机变量X的数学期望与方差均存在，且EX = 1， 1

{11}

4PX

，根据切比雪

夫不等式，DX应满足 。

4. 设

1,,X

29,XX

相互独立，且1,1,129

iiEXDXi、、

，根据切比雪夫不等式，

则0



有

9

1{9}

i

iPX



。

5. 设

1,,X

29,XX

相互独立，且1,1,129

iiEXDXi、、

，根据切比雪夫不等式，

则0



有

9

11

{1}

9i

iPX



。

6. 若随机变量X 服从标准正态分布 X ~ N（0，1），则Y = 2X-3 ~ .

三、计算题：

1．计算机进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算。设所有的取整误差是

相互独立的随机变量，并且都在[-0.5,0.5]上服从均匀分布，求：300个数相加时误差

总和的绝对值小于10的概率。

（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968

）

2．设随机变量X服从标准正态分布N ( 0 ，1 )，即

2

21

(),

2x

fxex





求：随机变量函数Y = X2

的概率密度。

3．设随机变量X与Y独立，并且都服从标准正态分布N( 0 ，1 ) ， 即

22

2211

(),;(),

22xy

XYfxexfyey





求：它们的平方和Z = X2

+Y2

的概率密度。

4． 一颗螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是1两,标准差是0.1两.求一盒

(100个)同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.

（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968

）

5．设随机变量X~N（0，σ2

），即

2

2

21

(),

2x

fxex





随机变量函数yx

，求EY，DY。

6．设随机变量X，Y，Z相互独立，且都服从标准正态分布，即

222

222111

(),(),();,,

222xyz

XYZfxefyefzexyz





求：随机变量函数U = X2

+ Y2

+ Z2

的数学期望EU与方差DU。

7．设随机变量X服从标准正态分布，即

2

21

(),

2x

fxex





随机变量Y = X2

，求X与Y的相关系数。

8．设随机变量X与Y独立，且X ~ N ( 0 ，1 )，Y~ N ( 1 ，22

)，求随机变量函数Z = 2X-3Y+3

的概率密度。

9．已知一本1000页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P（0.1），求这本书的印刷错

误总数大于120的概率。

（附：(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.99865,(4)0.99968

）

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第四章、正态分布

第四章、正态分布

第四章、正态分布

一、选择题：

1．设X与Y 相互独立，且22

1122~(,),~(,)XNYN

，则Z = X +Y仍服从正态分

布，且有 （ ）

A．22

1212~(,)ZN

B．22

1212~(,)ZN



C．22

1212~(,)ZN

D．22

1212~(,)ZN

2．若X与Y均相互独立且服从标准正态分布，则Z = X + Y

（ ）

A．服从N（0，2） B．服从N（0，1）

C．服从N（0

，2

） D．不一定服从正态分布

3．若X与Y独立，且X ~ N（0，1），Y ~ N（1，1），则 （ ）

A．1

{0}

2PXY

B．1

{1}

2PXY

C．1

{0}

2PXY

D．1

{1}

2PXY

4．若随机变量X的数学期望与方差分别为EX =1，DX = 0.1，根据切比雪夫不等式，一

定有 （ ）

A．{11}0.9PX

B．{02}0.9Px

C．{11}0.9PX

D．{02}0.9Px

5．设

1,2,9XXX

相互独立， 1,1(1,2,9)

iiEXDXi

，根据切比雪夫不等式，

1



有 （ ）

A

．9

2

1{1}1

i

iPx



B

．9

2

11

{1}1

9i

iPx



C

．9

2

1{9}1

i

iPx



D

．9

2

1{9}19

i

iPx



6．若

121000XXX、、

为独立同分布的随机变量，且~(1,)121000

iXBpi、

即都

服从参数为p的0-1分布，则（ ）不正确 A．1000

11

1000i

iXP



B．1000

1~(1000)

i

iXBP



、

C．1000

1{}()()

i

iPaXbba



D．1000

110001000

{}[][]

1000(1)1000(1)i

ibpap

PaXb

pppp







7．设随机变量X的数学期望EX = 1，且满足1

正态分布

正态分布

正态分布

（normal distribution）

一、 定义 如果连续型随机变量取值分布呈现单峰、对称、两侧均匀变动的钟形分布，且能用下列函数描述其位置和形状特征的，则称之为正态分布。

概率密度函数

， -∞

二、 参数

1、可变参数（1）位置参数 μ

E（x）=μ

表达正态曲线在横轴的位置：μ3>μ2>μ1

μ1 μ2 μ3

(2) 形态参数 σ

表达正态曲线的偏尖峰形状和偏平阔形状:σ3>σ2>σ1

V(x)= σ2

固定参数 (1)偏度系数 理论三阶矩 SK=∑（x-μ）3/nσ3=0

(2) 峰度系数 理论四阶矩 KU=∑（x-μ）4/nσ4=3

* 样本偏度系数g1与样本峰度系数g2公式复杂，可参阅其他教材。

三、图形及曲线与横轴向面积（概率）分布规律

P{μ-σ

P{μ-1.96σ

P{μ-2.58σ

221()()exp()22XfX-6-5-4-3-2-10123456-3-2-10123

四、 应用

1、描述资料分布

2、依据面积分布规律求医学参考值范围

3、质量控制方法中随机误差分布符合正态，可用一定范围作为质量警戒线和控线

4、标准正态分布的U值，可视为重要统计量，是大样本参数估计和假设检验的基础。而且用于求资料某一定范围内分布的理论频数（n、x、s）已计算出

例：已知x=50，S=10,N=200,求45

解：令x1=45 x2=65

U1=(45-50)/10=-0.5， U2=(65-50)/10=1.5

概率论第四章、正态分布解答

概率论第四章、正态分布解答

第四章、正态分布

三、计算题：

1．解：设随机变量iX表示第i个加数的取整误差（i=1,2,…，300）,则iX在区间[-0.5，0.5]上服从均匀分布，并且12300,,,XXX相互独立，又设随机变量X表示300个数相加时误差总和，则有

10,,1,2,,300.12iiEXDXi

根据中心极限定理，3001iiXX近似地服从正态分布2N（，），其中

30013001300001300512iiiiEXEXDXDX，

于是，所求的概率为

10)(1010)100100(10)(10)()()55(2)(2)2(2)120.977210.9544PXPXFF（

2．解：由题设X的概率密度为

221(),2xXfxex

从而，随机变量函数2YX的分布函数为

2(){}{}YFyPYyPXy

当0y时，2{},()()0YXyFyP

当0y时，我们有

2(){}{}()()2()1YXXXFyPXyPyXyFyFyFy 故 2YX的概率密度为

当0y时， ()()0YYdfyFydy

当0y时，

2()22()()[2()1]1112()2212YYXyXyddfyFyFydydyfyeyyey

综上所述，2YX的概率密度为

21,0()20,0yYeyfyyy

正态分布 2

正态分布 2

正态分布

[编辑本段]

正态分布

normal distribution

一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。 服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。 正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。

正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。

正态分布

1.正态分布