6.2 正态分布
要点精讲
1．正态分布是一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。 服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大 ，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低 ，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。
2．生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质 ，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。
3．正态分布的特征
服从正态分布的变量的频数分布由μ、σ完全决定。
(1)μ是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以X=μ为对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于μ。
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第53讲 二项分布 超几何分布 正态分布
1 / 8 一、基础知识
考点1
二项分布
若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为1qp，那么在n次独立重复
试验中，事件A恰好发生k
次的概率是()C
kknk
nPXkpq
，其中0,1,2,,kn．于是
得到X的分布列
X 0
1 … k
… n
P 00
Cn
npq 111
Cn
npq
… Ckknk
npq
… 0
Cnn
npq
由于表中的第二行恰好是二项展开式
001110
()CCCCnnnkknknn
nnnnqppqpqpqpq
各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，
记作~(,)XBnp．
二项分布的均值与方差：
若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则
()EXnp，()Dxnpq
(1)qp．
考点2
超几何分布
设有总数为N
件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件()nN≤，这n
件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为
CC
()
Cmnm
MNM
n
NPXm
(0ml≤≤，l
为n和M中较小的一个)．
我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N
，
M，n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N
，M和n，就可以根据公式求出X取
不同值时的概率()PXm，从而列出X的分布列．
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第53讲 二项分布 超几何分布 正态分布
2 / 8 超几何分布的期望和方差：若离散型随机变量X服从参数为NMn，，的超几何分布， 则
()nM
EX
N，
2()()
()
(1)nNnNMM
DX
NN
．
考点3
正态分布
如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素在总体的
变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的随机现象的随机变量的概率分布近似
服从正态分布．
第36讲 二项分布及其应用、正态分布
一、选择题
1．(2015湖北)设211(,)XN，222(,)YN，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是(
)
A．21()()PYPY≥≥≥
B．21()()PXPX≤≤≤
C．对任意正数t，()()PXtPYt≤≥≤
D．对任意正数t，()()PXtPYt≥≥≥
2．(2015山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布2(0,3)N，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )
(附：若随机变量服从正态分布2(,)N，则()68.26%P，(22)95.44%P)
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
3．(2014新课标2)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )
A．0．8 B．0．75
C．0．6 D．0．45
4．(2011湖北)已知随机变量服从正态分布2,2N，且8.04P，则( )
20P
A．6.0 B．4.0 C．3.0 D．2.0
二、填空题
5．(2017新课标Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，错误！未找到引用源。表示抽到的二等品件数，则DX=____．
6．(2016四川)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是____．
7．(2015广东)已知随机变量服从二项分布,np，若30，20D，则p____．
8．(2012新课标)某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布)50,1000(2N，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为____．
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[玩前必备]
1．独立重复试验与二项分布
(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
(2)在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)
＝Ck
npk(1－p)n
－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称p为成功
概率．
2．两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
3．正态分布
(1)正态曲线：函数φ
μ
，σ(x)＝2
2()
21
e
2πxu
，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数
φ
μ
，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
(2)正态曲线的特点
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
③曲线在x＝μ处达到峰值1
σ2π；
④曲线与x轴之间的面积为1；
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮
胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．
(3)正态分布的定义及表示
一般地，如果对于任何实数a，b(a
aφ
μ
，σ(x)dx，则称随机变量X服从正态
分布，记作X～N(μ，σ2)．
正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P(μ－σ
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