【中考真题汇编】：二次函数综合专题(含答案)
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二次函数综合专题
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线02342aaaxaxy与x轴
交于A，B两点（点A在点B左侧）．
（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；
（2）①求抛物线的对称轴；
②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；
（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．
26.解：(1) ∵点0,0O在抛物线上，∴320a，23a.--------------------2分
(2)①对称轴为直线2x；
②顶点的纵坐标为 2a.--------------------4分
(3) （i）当0a＞时，
依题意，-20320.aa＜，≥
解得2.3a≥
（ii）当0a＜时，
依题意，-20320.aa＞，≤
解得a＜-2.
综上，2a＜，或23a≥. --------------------7分
26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：221(0)ymxmxmm与y轴交于点C，抛物线G的顶点为D，直线：1(0)ymxmm． （1）当1m时，画出直线和抛物线G，并直接写出直线被抛物线G截得的线段长．
（2）随着m取值的变化，判断点C，D是否都在直线上并说明理由．
（3）若直线被抛物线G截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m的取值范围．
Oxy11
【解析】（1）当1m时，抛物线G的函数表达式为22yxx，直线的函数表达式为yx，直线被抛物线G截得的线段长为2，画出的两个函数的图象如图所示：
y=xy=x2+2xO(C)xyD
（2）∵抛物线G：221(0)ymxmxmm与y轴交于点C，
∴点C的坐标为(0,1)Cm，
∵2221(1)1ymxmxmmx，
∴抛物线G的顶点D的坐标为(1,1)，
对于直线：1(0)ymxmm，
当0x时，1ym，
当1x时，(1)11ymm，
∴无论m取何值，点C，D都在直线上． （3）m的取值范围是3m≤-或3m≥．
26．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线22yxaxb的顶点在 x轴上，1(,)Pxm，2(,)Qxm（12xx）是此抛物线上的两点．
（1）若1a，
①当mb时，求1x，2x的值；
②将抛物线沿y轴平移，使得它与x轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；
（2）若存在实数c，使得11xc，且27xc成立，则m的取值范围是 ．
26．解：抛物线22yxaxb的顶点在x轴上，
24(2)04ba.
2ba. ………………1分
（1）1a，1b.
抛物线的解析式为221yxx.
① 1mb，2211xx，解得10x，22x. ………………2分
②依题意，设平移后的抛物线为2(1)yxk.
抛物线的对称轴是1x，平移后与x轴的两个交点之间的距离是4，
(3,0)是平移后的抛物线与x轴的一个交点.
2(31)0k，即4k.
变化过程是：将原抛物线向下平移4个单位. ………………4分
（2）16m. ………………6分
26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线243yaxaxa的最高点的纵坐标是2．
（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；
（2）将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G1，将图象G1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G2，图象G1和G2组成图象G．过(0，b)作与y轴垂直的直线l，当直线l和图象G只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求b的取值范围和x1 + x2的值．
54411231213xOy6876543276543265
26．解：（1）∵抛物线22432yaxaxaaxa，
∴对称轴为x= 2．………………………………………1分
∵抛物线最高点的纵坐标是2，
∴a= -2． ………………………………………2分
∴抛物线的表达式为2286yxx. ……………3分
（2）由图象可知，2b 或-6≤b<0. ………………6分
由图象的对称性可得：x1+x2=2． ……………… 7分
x y
26．在平面直角坐标系xOy中，将抛物线2123Gymx：（0m）向右平移3个单位长度后得到抛物线2G，点A是抛物线2G的顶点．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）过点03（，）且平行于x轴的直线l与抛物线2G交于B，C两点．
①当=90BAC°时，求抛物线2G的表达式；
②若60120BAC°°，直接写出m的取值范围．
26．解:（1）323A,. ………………………………… 2分
（2）①设抛物线2G的表达式为2(3)23ymx，
如图所示，由题意可得2333AD.
∵=90BAC°，ABAC，
∴=45ABD.
∴3BDAD.
∴点B的坐标为(0,3).
∵点B在抛物线2G上，
可得33m.
∴抛物线2G的表达式为23(3)233yx，
即23233yxx. ………………… 5分
②339m. ………………… 7分
26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线2440yaxaxa与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B. yxDx=3ACBOl（1）求点A，B的坐标；
（2）若方程244=00axaxa有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间
（包括1，3），结合函数的图象，求a的取值范围.
26.解：（1）44)2(4422axaaxaxy．
∴A（0，－4），B（2，0）．……………………………………2分
（2）当抛物线经过点（1，0）时，34a．…………………… 4分
当抛物线经过点（2，0）时，1a． …………………………6分
结合函数图象可知，a的取值范围为134a．……………… 7分
24．如图，在平面直角坐标系中，直线l : y=kx+k(k≠0)与x轴,y轴分别交于A,B两点，且点B(0,2)，点P在y 轴正半轴上运动，过点P作平行于x轴的直线y=t ． （1）求 k 的值和点A的坐标；
（2）当t=4时，直线y=t 与直线l 交于点M ，反比例函数
xny （n≠0）的图象经过点M ，求反比例函数的解析式；
(3)当t<4时，若直线y=t与直线l和（2）反比例函数的图象分别交于点C，D，当CD间距离大于等于2时，求t 的取值范围.
24.解：（1）∵直线l :y=kx+k 经过点B(0,2)，
∴k=2
∴ y=2x+2
∴A(-1,0) ……………………….2′
（2）当t=4时，将y=4代入y=2x+2得，x=1
∴M(1,4)代入xny得，n=4
∴xy4 ……………………….2′
（3）当t=2时，B(0,2) 即C(0,2)，而D(2,2)
如图，CD=2，当y=t向下运动但是不超过x轴时，符合要求
∴ t 的取值范围是 0
26.有一个二次函数满足以下条件：
①函数图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)A，22(,)Bxy (点B在点A的右侧)； lOxyABPy=t1②对称轴是3x；
③该函数有最小值是-2.
（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；
（2）将该函数图象2xx＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，
平行于x轴的直线与图象“G”相交于点33(,)Cxy、44(,)Dxy、55(,)Exy（345xxx），结合画出的函数图象求345xxx的取值范围.
26. （本小题满分7分）
（1）解：有上述信息可知该函数图象的顶点坐标为: (3,2)
设二次函数表达式为：2(3)2yax ……………1分
∵该图象过(1,0)A
∴20(13)2a，解得12a ……………2分
∴表达式为21(3)22yx
（2）图象正确………………………………………………………3分
由已知条件可知直线与图形“G”要有三个交点 xyOxyBO① 当直线与x轴重合时，有2个交点,由二次函数的轴对称性可求
346xx ……………………………………4分
∴34511xxx＞ ……………………………………5分
②当直线过21(3)22yx的图象顶点时，有2个交点，
由翻折可以得到翻折后的函数图象为21(3)22yx
∴令21(3)222x时，解得322x，322x舍去…………6分
∴345922xxx＜
综上所述3452xxx11＜＜9+2…………7分
26. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线22(31)2(0)yxmxmmm，与y轴交于点C，与x轴交于点A1(,0)x,B2(,0)x，且12xx.
（1）求1223xx的值；
（2）当m=1223xx时，将此抛物线沿对称轴向上平移n个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边），求n的取值范围（直接写出答案即可）．
26.（1） 解关于x的一元二次方程，223120xmxmm
得x=2m+1, x=m ………………………………………………………2分
∵m＞0, x1＜x2
∴x1=m, x2=2m+1. …………………………………………………… 3分
2x1-x2+3=2m-2m-1+3=2 …………………………………………… 4分
（2）符合题意的n的取值范围是错误！未找到引用源。. …………………………………7分
