全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含答案解析

全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含答案解析

一、二次函数

1．（6分）（2015•牡丹江）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．

注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．

【答案】（1）y=-2x-3；（2）．

【解析】

试题分析：（1）把A,B两点坐标代入，求待定系数b,c，进而确定抛物线的解析式；（2）连接BE，点F是AE中点，H是AB中点，则FH为三角形ABE的中位线，求出BE的长，FH就知道了，先由抛物线解析式求出点E坐标，根据勾股定理可求BE，再根据三角形中位线定理求线段HF的长．

试题解析：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），∴把A,B两点坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式是：y=-2x-3；（2）∵点E（2，m）在抛物线上，∴把E点坐标代入抛物线解析式y=-2x-3得：m=4﹣4﹣3=﹣3，∴E（2，﹣3），∴BE==．∵点F是AE中点，点H是抛物线的对称轴与x轴交点，即H为AB的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH=BE=×=．∴线段FH的长．

考点：1．待定系数法求抛物线的解析式；2．勾股定理；3．三角形中位线定理．

2．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；

（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．

【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

【解析】

【分析】

（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；

（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；

（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

【详解】

解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，

103bcc

解得：b=﹣4，c=3，

∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；

（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，

解得：x=1或x=3，

∴B（3，0），

∴BC=32，

点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，

①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC﹣OC=32﹣3 ∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；

②当PB=PC时，OP=OB=3，

∴P3（0，-3）；

③当BP=BC时，

∵OC=OB=3

∴此时P与O重合，

∴P4（0，0）；

综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；

（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，

∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，

当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．

3．如图，直线AB和抛物线的交点是A（0，﹣3），B（5，9），已知抛物线的顶点D的横坐标是2．

（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；

（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由； （3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值．

【答案】（1）21248355yxx，顶点D（2，635）；（2）C（410，0）或（5222，0）或（9710，0）；（3）752

【解析】

【分析】

（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2ba2，抛物线过A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx﹣3，把B点坐标代入函数表达式，即可求解；

（2）分AB=AC、AB=BC、AC=BC，三种情况求解即可；

（3）由S△PAB12•PH•xB，即可求解．

【详解】

（1）抛物线的顶点D的横坐标是2，则x2ba2①，抛物线过A（0，﹣3），则：函数的表达式为：y=ax2+bx﹣3，把B点坐标代入上式得：9=25a+5b﹣3②，联立①、②解得：a125，b485，c=﹣3，∴抛物线的解析式为：y125x2485x﹣3．

当x=2时，y635，即顶点D的坐标为（2，635）；

（2）A（0，﹣3），B（5，9），则AB=13，设点C坐标（m，0），分三种情况讨论：

①当AB=AC时，则：（m）2+（﹣3）2=132，解得：m=±410，即点C坐标为：（410，0）或（﹣410，0）；

②当AB=BC时，则：（5﹣m）2+92=132，解得：m=5222，即：点C坐标为（5222，0）或（5﹣222，0）； ③当AC=BC时，则：5﹣m）2+92=（m）2+（﹣3）2，解得：m=9710，则点C坐标为（9710，0）．

综上所述：存在，点C的坐标为：（±410，0）或（5222，0）或（9710，0）；

（3）过点P作y轴的平行线交AB于点H．设直线AB的表达式为y=kx﹣3，把点B坐标代入上式，9=5k﹣3，则k125，故函数的表达式为：y125x﹣3，设点P坐标为（m，125m2485m﹣3），则点H坐标为（m，125m﹣3），S△PAB12•PH•xB52（125m2+12m）=－6m2+30m=25756()22m，当m=52时，S△PAB取得最大值为：752．

答：△PAB的面积最大值为752．

【点睛】

本题是二次函数综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

4．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，D为抛物线对称轴上一动点，求D运动到什么位置时△DAC的周长最小；

（3）如图2，点E在第一象限抛物线上，AE与BC交于点F，若AF：FE＝2：1，求E点坐标；

（4）点M、N同时从B点出发，分别沿BA、BC方向运动，它们的运动速度都是1个单位/秒，当点M运动到点A时，点N停止运动，则当点N停止运动后，在x轴上是否存在点P，使得△PBN是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）248433yxx（2）81,3D（3）点P的坐标P1（﹣1，0）或P2（7，0）或P3（﹣95，0）或P4（13，0）．

【解析】

【分析】

（1）直接待定系数法代入求解即可 （2）找到D点在对称轴时是△DAC周长最小的点，先求出直线BC，然后D点横坐标是1，直接代入直线BC求出纵坐标即可 （3）作EH∥AB交BC于H，则∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，易证△ABF∽△EHF，得ABAF2EHEF,得EH=2，设E（x，248xx433），则H（x﹣2，420x33），yE＝yH，解出方程x＝1或x＝2，得到E点坐标 （4）△PBN是等腰三角形，分成三种情况，①BP＝BC时，利用等腰三角性质直接得到P1（﹣1，0）或P2（7，0），②当NB＝NP时，作NH⊥x轴，易得△NHB∽△COB，利用比例式得到NH、 BH从而得到 PH＝BH，BP，进而得到OP，即得到P点坐标，③当PN＝PB时，取NB中点K，作KP⊥BN，交x轴于点P，易得△NOB∽△PKB，利用比例式求出PB，进而得到OP，即求出P点坐标

【详解】

解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+4，

得 40930ababc

解得a＝43，b＝83，

∴抛物线的解析式248433yxx；

（2）22484164(1)3333yxxx

∴抛物线对称轴为直线x＝1，

∴D的横坐标为1， 由（1）可得C（0，4），

∵B（3，0），

∴直线BC：4

y43x

∵DA＝DB，

△DAC的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD，

连接BC，与对称轴交于点D，

此时CD+BD最小，

∵AC为定值，

∴此时△DAC的周长，

当x＝1时，y＝﹣43×1+4＝83，

∴D（1，83）；

（3）作EH∥AB交BC于H，则∠FAB＝∠FEH，∠FBA＝∠FHE，

∴△ABF∽△EHF，

∵AF：FE＝2：1，

∴ABAF2EHEF，

∵AB＝4，

∴EH＝2， 设E（x，248xx433），则H（x﹣2，420x33）

∵EH∥AB，

∴yE＝yH，

∴248xx433=420x33

解得x＝1或x＝2，

y＝163或4，

∴E（1，163）或（2，4）；

（4）∵A（﹣1，0）、B（3，0），C（0，4）

∴AB＝4，OC＝4，

点M运动到点A时，BM＝AB＝4，

∴BN＝4，

∵△PBN是等腰三角形，

①BP＝BC时，

若P在点B左侧，OP＝PB﹣OB＝4﹣3＝1，

∴P1（﹣1，0），

若P在点B右侧，OP＝OB+BP＝4+3＝7，

∴P2（7，0）；

②当NB＝NP时，作NH⊥x轴，

△NHB∽△COB，

∴45NHBHBNOCOBBC

∴NH＝45OC＝445＝165，

BH＝45BC＝125，