- 1 - §1.2 概率的定义及其确定方法
在本节中，我们要给出概率的定义，这是概率论中最基本的概念。我们还将介绍几种确定概率的方法。
随机事件的发生有偶然性，但我们常常会觉察到有些随机事件发生的可能性大些，而有随机事件发生的可能性小些。例如，购买彩票后可能中大奖，可能不中奖，但中大奖的可能性远比不中奖的可能性小。既然事件发生的可能性有大小之分，自然使人们想到用一个数字表示事件发生的可能性大小。这个数字就称为事件的概率。
然而，对于给定的事件A，该用哪个数字作为它的概率呢？这决定于所研究的随机现象或随机试验以及事件A的特殊性，不能一概而论。在概率论的发展历史上，人们针对特定的随机现象提出过不同的概率的定义和确定概率的方法：古典定义、几何定义和频率定义。这些概率的定义和确定方法有其合理性，但也只适合于特定的随机现象，有很大的局限性。那么如何给出适合于一切随机现象的概率的最一般的定义呢? 1900年数学家希尔伯特提出要建立概率的公理化定义以解决这个问题,即从最少的几条本质特性出发去刻画概率的概念.1933年数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义,这一公理化体系迅速得到举世公认,有了这个定义后,概率论才被正式承认为一个数学分支,并得到迅猛发展.
1. 概率的公理化定义
定义1.2.1 设试验E的样本空间为,对于试验E的任一事件A赋予一个实数,记为)(AP,如果集合函数)(P满足:
(1) 非负性公理: 对于任一事件A,有0)(AP;
(2) 规范性公理: 1)(P;
(3) 可列可加性公理: 若事件,,21AA„,,nA„两两互不相容,则
11)()(nnnnAPAPU
则称)(AP为事件A的概率.
这个定义只涉及样本空间、事件以及概率的最本质的数学性质：概率是实值集合（即事件）函数，只要这个函数满足上述三条公理就称为概率。而与具体的随机现象无关，与如何确定概率无关。对于具体的随机现象中给定的事件，其概率如何合理地确定那要依据具体情况而定。历史上出现的概率的频率定义、古典定义和几何定义都是特定的场合下有着各自确定概 - 2 - 率的方法。在有了概率的公理化定义之后，把它们看作确定概率的方法是恰当的。下面介绍这些确定概率的方法。
1/13一.随机事件和概率1、概率的定义和性质 （1）概率的公理化定义设Ω为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 3° 对于两两互不相容的事件1A，2A，…有∑∞=∞==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛11)(iiiiAPAPΥ常称为可列（完全）可加性。 则称P(A)为事件A的概率。（2）古典概型（等可能概型）1° {}nωωωΛ21,=Ω， 2° nPPPn1)()()(21===ωωωΛ。设任一事件A，它是由mωωωΛ21,组成的，则有 P(A)={})()()(21mωωωΥΛΥΥ=)()()(21mPPPωωω+++Λnm=基本事件总数所包含的基本事件数A=2、五大公式（加法、减法、乘法、全概、贝叶斯） (1)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)当 P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)(2)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)当B⊂ A 时，P(A-B)=P(A)-P(B)当A=Ω时，P(B)=1- P(B)（3）条件概率和乘法公式定义 设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称)()(APABP为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为=)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。 （4）全概公式设事件B1, B2,Λ , Bn 满足1°B1, B2,Λ , Bn 两两互不相容，P(Bi) > 0(i = 1,2,Λ , n) ，2°ΥniiBA1=⊂， 则有 )|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP+++=Λ。 此公式即为全概率公式。 （5）贝叶斯公式设事件1B，2B，…，nB及A满足1° 1B，2B，…，nB两两互不相容，)(BiP>0，=i1，2，…，n，2° ΥniiBA1=⊂，0)(>AP，则 ∑==njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1，2，…n。 此公式即为贝叶斯公式。 )(iBP，（1=i，2，…，n），通常叫先验概率。)/(ABPi，（i = 1，2 ，…，n ），通常称为后验概率。如果我们把A 当作观察的“结果”，而B1，B2 ，…，Bn 理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。 3、事件的独立性和伯努利试验 （1）两个事件的独立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP=，则称事件A、B是相互独立的（这个性质不是想当然成立的）。若事件A、B相互独立，且0)(>AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP===所以这与我们所理解的独立性是一致的。 若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。（证明）由定义，我们可知必然事件Ω和不可能事件Ø与任何事件都相互独立。（证明） 同时，Ø与任何事件都互斥。 （2）多个事件的独立性设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，蛮 苍 殇
概率的定义
概率是随机事件发生的可能性大小的数字表征，即概率是事件的“函数”。
提问：Mapping:映射：对一。函数。数集到数集之间的映射，nR到nR。
泛函：函数—>数，10)(dxxf。
一、 概率的古典定义：
（1）有限性：（2）等可能性
定义： nmSNANAP个数样本空间包含的样本点包含的样本点个数事件A)()()(为随机事件A的概率．
此提醒考虑2个问题：样本空间是什么，如何表达事件A？
Eg：算卦，阴（六）阳（九）问题。星座之类。
非古典概型：（破坏等可能性）一个袋子10个球，6红，4白。红色可能性大，一定就是红色？可能性不等于现实性。S={红，白}。摸2个球呢？3个球呢？
（破坏有限性）：0-1之间的随机发生数。
因此，古典概率应用范围太窄了。数数，不容易。
二、 概率的统计化定义：
定义： 在相同的条件下，进行了n 次试验， （A独立重复试验n次）在这n 次试验中，事件 A 发生的次数An 称为事件 A 发生的频数，比值nnA/称为事件A 发生的频率，记作 nnAfAn)( 。
频率具有下述性质：
（1）对任一事件A ，有 1)(0Afn；
（2）对必然事件，有 1)(nf ； （3）若nAAAA.......321两两互斥，则
频率的稳定性：随机事件A在相同条件下重复多次时，事件A 发生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随试验次数的增加更加明显。事件A的频率稳定在数值p，说明了数值p可以用来刻划事件Ａ发生可能性大小，可以规定为事件A的概率。
即当n趋于无穷时，)(Afn在某值附近，则称该值为事件A发生的概率，
英文中，空格使用频率最多0.2。然后如书上面描述的„„.《福尔摩斯—跳舞的人》。又一个例子：英国人算圆周率到707位，死后刻于墓碑之上，后有法国人发现7出现的频率低了，于是重算，发现527位之后全部是错的，重新计算后发现0-9每个数都是差不多1/10的概率。派是个无理数。
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概率的公理化定义及其确定方法
随着中学教材改革的深入，许多原来只在大学教材中才出现的一些概念现在已经出现在中学教材中.但是，由于中学教材的难度的限制，很多概念和方法并没有象大学教材中叙述的那么系统、严格.本文主要针对概率的定义及其确定方法进行归纳总结.
1 概率的公理化定义
在概率论的发展史上，曾经有过概率的古典定义、概率的几何定义、概率的频率定义和概率的主观定义，这些定义各适合一类随机现象.为了给出适合一切随机现象的概率的最一般的定义，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫在1933年提出了概率的公理化定义，该定义既概括了上述几种概率定义的共同特性，又避免了各自的局限性和含混之处.
概率的公理化定义刻画了概率的本质，概率是集合（事件）的函数，对给定的样本空间及事件域F，若定义在F上的函数满足上述三个条件，就被称为概率.
概率的公理化定义没有告诉人们如何去确定概率，它只是规定了概率应该满足的性质.历史上在公理化定义出现之前的概率的古典定义、几何定义、频率定义和主观定义都在一定的场合下给出了各自的确定概率的方法，因此在有了概率的公理化定义之 2 / 7
后，把它们看作确定概率的方法是恰当的.
2 确定概率的古典方法
确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形，它简单、直观，不需要做大量重复试验，只是在经验事实的基础上，对被考察事件的可能性进行逻辑分析后得出事件的概率.它的基本如下：
（1）所涉及的随机现象只有有限个结果，即样本空间中只有有限个样本点，设为n；
（2）每个样本点发生的可能性相等（称为等可能性）；
（3）若事件A含有k个样本点，则事件A的概率为
P(A)=事件A所含样本点的个数中所有样本点的个数=kn.
容易验证，由上述方法确定的概率满足概率的公理化定义，这种概率模型通常称为古典概型.用古典方法求概率的关键是计算样本空间所包含的点的个数和事件A所含的样本点的个数.在我们日常生活中经常遇到可以用古典方法解决的问题，如下例：
