中原大学九十四学年度第一学期应用数学系博士班资格考试试题卷.

中原名校2013－2014学年上学期期中联考高三数学（理）试题考试时间：120分钟试卷满分：150分本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，分别答在答题卷上。

第Ⅰ卷（选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．－≤0}，则A∪B＝1．若集A＝{x｜－1≤2x＋1≤3｝，B＝｛x｜2xxA．｛x｜－1≤x＜2｝B．{x｜－1≤x≤2} C．｛x｜0≤x≤2｝D．｛x｜0≤x≤1} 2．设f（x）＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2，3）内近似解的过程中得f（2．25）＜0，f（2．75）＞0，f（2．5）＜0,f（3）＞0,则方程的根落在区间A．（2，2．25) B．（2．25，2．5)C．（2．5，2．75）D．（2．75,3）3．已知α，β为不重合的两个平面，直线m⊂α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件π）的4．函数f（x）＝Asin（ωx＋ϕ）（其中A＞0，ω＞0，｜ϕ｜＜2图象如图所示,为了得到g （x ）＝sin2x 的图象，则只需将f(x ）的图象 度单位 A ．向右平移6π个长度单位B ．向右平移3π个长度单位 C ．向左平移6π个长度单位D ．向左平移3π个长5．已知｛na ｝为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，nS 为｛na ｝的前n 项和，n ∈N ﹡，则S 10的值为A ．－110B ．－90C ．90D ．1106．已知x ＞0，y ＞0，若222y x m m x y8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是A ．m ≥4或m ≤－2B ．m ≥2或m ≤－4C ．－2＜m ＜4D ．－4＜m ＜2 7．已知向量a ＝（cos θ,sin θ)，向量b ＝（3,－1),则｜2a －b ｜的最大值与最小A ．42B ．6C ．4D ．168．已知函数f （x ）＝nx ＋11n n ax --＋22n n a x --＋…＋1a x ＋0a （n ＞2且n ∈N﹡）设0x 是函数f(x ）的零点的最大值，则下述论断一定错误的是A ．0()0f x '≠ B ．0()f x '＝0 C ．0()f x '＞0 D ．0()f x '＜09．给出下列四个命题:①命题p:x∀∈R，sinx≤1,则p⌝：x∃∈R，sinx＜1．②当a≥1时，不等式｜x－4|＋｜x－3｜＜a的解集为非空．③当x＞0时，有lnx＋1ln x≥2．④设复数z满足（1－i）z＝2i，则z＝1－i．其中真命题的个数是A．0 B．1 C．2 D．310．已知F是双曲线2221xa b 2y－＝（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B 两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围为A．(1，＋∞）B．（1，2）C．(1,1＋2）D．(2，1＋2）11．已知na＝1()3n，把数列｛n a}的各项排列成如下的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A(10，12）＝A．931()3B．921()3C．941()3D．1121()312．在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0),对于某个正实数k,存在函数f(x）＝a2x(a＞0）．使得OP＝λ·（OAOA ＋OQOQ）(λ为常数），这里点P、Q的坐标分别为P （1，f （1））,Q （k,f （k ）），则k 的取值范围为A ．（2，＋∞)B ．（3，＋∞）C ．［4，＋∞）D ．［8,＋∞)第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．81()2x x＋的展开式中常数项为___________________．14．设z ＝2x ＋y,其中x,y 满足000x y x y ⎧⎪⎨⎪⎩＋≥－y ≤≤≤k ，若z 的最大值为6，则z 的最小值为_________．15．在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x －2x 与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx （k ＞0）所围成的平面区域为A ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域A 内的概率为827，则k 的值为__________．16．如图，在四边形ABCD 中，BC ＝λAD (λ∈R)，|AB |＝｜AD ｜＝2,｜CB －CD ｜＝23,且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形,则CB ·BA 的值为__________．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

---○---○------○---○---………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 …………中南大学考试试卷时间100分钟2013~2014学年 第二 学期 高等代数 课程期末考试试题 72学时， 4.5学分，闭卷，总分100分，占总评成绩70 %一、选择题（15分，每小题3分）、1. 设,αβ是n 维欧氏空间的两个正交的向量，则下列各式中错 误的是( )A . 222βαβα+=+ B . βαβα+=+ C ．222βαβα+=- D . βαβα-=+2．下面结论中, 错误的是( )A . 奇数次实系数多项式必有实根B . 在任意数域上的一次多项式都不可约C ．任一数域包含有理数域QD ．在[]P x 中, ()()()()()()f x g x f x h x g x h x =⇒= 3．（1）线性变换σ的特征向量之和仍为σ的特征向量（2）属于线性变换σ的同一特征值0λ的特征向量的任一线性组合仍是σ的特征向量（3）相似矩阵有相同的特征多项式（4）0)(0=-X A I λ的非零解向量都是A 的属于0λ的特征向量 在以上结论中，正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D . 4 4．已知A 为正交矩阵，则A 的伴随矩阵A *一定满足( )A . 1A *=B . 1A *=-C . A *为正交矩阵D .A *为正定矩阵5．设100110001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是( )A . A 的不变因子为21,1,(1)λλ--B . A 的初等因子为21,(1)λλ--C . A 的行列式因子为21,1,(1)λλ--D . A 的最小多项式为2(1)λ-二、填空题 (本题15分，每小题3分)1．设42()f x x x ax b =+++，2()2g x x x =+-. 若((),())()f x g x g x =，则=a ，=b .2. 在按通常的内积所成的欧氏空间2R 中，基12(1,2),(0,1)αα==-的度量矩阵是.3. 设, A B 分别为4m ⨯和4n ⨯矩阵, 且秩A =秩2B =，秩3A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭．以12, V V 分别表示齐次线性方程0AX =和0BX =的解空间，则12V V +的维数是 ． 4．若向量1(0,22β=,2(0,1,0)β=，3β为3R 的一组标准正交基，则3β= 或__ .5．设V 为数域P 上的n 维线性空间, (,)L V P 为V 的对偶空间，则(,)L V P 的维数是 ．三、计算题(本题40分，要求写出主要的计算过程）1．(13分) 求多项式432()3552f x x x x x =+++-的有理根.---○---○------○---○---………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 …………2．(14分)已知实二次型222123123121323(,,)44222f x x x x x ax x x x x x x =++--- 经正交线性替换X TY =化成标准形222123552f y y y =++． （1）求参数a 及二次型f 的矩阵A ； （2）求所用的正交线性替换X TY =．3.(13分) 已知22⨯P的线性变换()X AXB σ=，22⨯∈∀P X ，其中，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0110B ．求σ在22⨯P 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000111E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001012E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010021E ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100022E 下的矩阵．---○---○------○---○---………… 评卷密封线 ……………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理 ……………… 评卷密封线 …………四、综合证明题 (本题30分，每小题10分)1. 设σ为欧氏空间V 的线性变换. 若,V ξη∀∈都有((),)(,)σξηξη=， 证明: σ为恒等变换（单位变换）.2.设,n nA B P⨯∈是两个给定的n 级矩阵. 记{},n nW X AX XB X P ⨯==∈．证明:(1) W 是向量空间n nP ⨯的一个子空间；(2) 若12,A n ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭01,1B n ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭则{}0.W =3. 设σ是n 维线性空间V 的线性变换，σ的核记为ker σ，σ的象记为Im σ．证明:（1）{}20ker ker ker m σσσ⊆⊆⊆⊆⊆；（2）一定存在正整数k ，使得 1ker ker kk σσ+=；（3）对（2）中的正整数k 有，ker Im kkV σσ=⊕．。

中原名校2019—2020学年上期第四次质量考评高三数学（理）试题(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答題卡上对应的答题区域。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结東后，请将本试卷和答题卡一并上交。

第I 卷—、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个迭项中，只有一项是符合题目要求的）1.己知复数z 满足：i zi +=12，其中i 是虚数单位，则=z A. -1-i B. -1+i C. 1-i D. 1+i 2.已知集合 J = {8<2<21||22x x R x -∈},B={x y y =|}，则=B A A. (-1,1)∪(1,3)B. (-1,3)C. [0,3)D. [0，1)∪(1，3)3.设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，p: m ⊥n ,若p 是q 的必要条件， 则q 可能是A. q:m ⊥α，n//β,βα⊥B. q:m ⊥α,n ⊥β，βα//C. q:m α⊂、n ⊥β，βα//D. q:m α⊂，n//β,βα⊥4.设函数)(x f 在(-∞，+∞)内的导函数为)('x f ，若xx x f 1)(+=,则=)0(')0(f f A. 2 B.-2 C.1 D. 1+e5.己知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当x>0时，44)(2+=x xe e xf ，则当x<0时，)(x f 的最小值为A. -1B. -2C.2D.16.己知{n a }是等差数列，其前n 项和122-+-=b n n S n ，{n b }是等比数列，其前n 项和nn a T 32-=，则数列{n a bn +}的前n 项和为A.37B. -27C.77D.467.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤+-≥042010x y x y y ，则目标函数x y z +=的最大值为A. 4B.5C.6D.7 8.设函数ωπω(1)3cos()(-+=x x f >0);将)(x f 图象的所有点的横坐标向右平移3π个单位长 度，纵坐标不变，所得函数图象的一个对称中心为)1,4(--π，则ω的最小值为A. 72B. 710C. 712D.7229. 己知函数)(x f y =在R 上单调递增，函数)1(+=x f y 的图象关于点(-1,0）对称，2)1(=-f ，则满足2)1(lg 2≤-≤-x f 的x 的取值范围是A. ]10,101[B. ]100,1001[C. ]100,1[ D. ]1000,101[10.己知数列{n a }满足1221,2,1+++===n n n a a a a a ，若将12+++=n n n a a a 变形为n n n a a a =-++12 ,可得2)(...)()()(...2221245342321-=-=-++-+-+-=+++++++n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ，类似地,可得=+++22322201921..a a a aA.120192020-a aB. 120192020+a a C.120182019-a a D.120192020+a a 11.己知),0(|,ln |)(1-∈=e k x x f ，则函数kx x f y -=)(的零点个数为 A. 0B. 1C. 2D. 312.在三棱锥A-BCD 中，平面ABC 丄平面ADC, AD 丄AC,AD=AC,3π=∠ABC ，若此三棱锥的外接球表面积为π28，则三棱锥A-BCD 体积的最大值为 A. 7B. 12C. 6D.335第II 卷二、填空题 (本题共4小题，毎小题5分，共20分） 13.已知)1,2(),1,4(2-=-=t b a ，若5=⋅b a ，则=t .14.若)cos(2sin απα+=，则=-)2sin21(sin 2αα .15.如图，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，过点A 作平面A1BC1的垂线l ，则直线l 与直线CC1所成角的余弦值为 .16.己知函数)(x f 对R x ∈ 均有6)(2)(-=-+mx x f x f ，若x x f ln )(≥恒成立，则实数m 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小題，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分10分）已知ABC ∆的内角的对边分别为a ，b,c ，若7=b ，0722=-+-c ac a .(1)求B;(2)若ABC ∆的周长为75+,求ABC ∆的面积. 18.(本小题满分12分）如图，在四棱锥S-ABCD 中，四边形ABCD 菱形，0120=∠ADC ,平面SAD 丄平面 ABCD ，SA 丄SD ，SA = SD =23 .E ，F 分别是线段 SC ，AB 上的一点,21==FB AF EC SE . (1)求证：EF ∥平面SAD;(2)求平面DEF 与平面SBC 所成锐二面角的正弦值.19.(本小题满分12分）已知函数)(x f 的定义域),0()0,(+∞-∞= I ,在),0(+∞上为增函数，且I x x ∈∀21,， 恒有)()()(2121x f x f x x f +=. (1)求证：)(x f 是偶函数：(2)若14m 3m <)12()(2+++-m f m f ，求实数m 的取值范围. 20.(本小题满分12分）己知数列{n a }的前n 项和为n S ,)2(2,21≥-==n n S S a n n . （1）试判定{1-n a }是否是等比数列，并说明理由； （2）求数列{n na }的前n 项和n T ； 21.(本小题满分12分）已知函数a xe xf x +-=1)(. （1）判断)(x f 极值点的个数；（2）若x>0时，)(>e xx f 恒成立，求实数a 的取值范围 22.(本小题满分12分） 已知函数)(214ln )(2R a x x a x f ∈-=. （1）讨论)(x f 的单调性；（2）设4=a ，且)6,0(π∈x ，求证：41-2cos 21e <e<tan x x .。

j94~h J 31916:00~17:30 g k t Gy O 6 - 1 -W A p C I . Multiple Choice. Choose the best answer to each question. 60%1. Five score years ago, a great American, in _____ symbolic shadow we stand today, signed the Emancipation Proclamation.(A) so far as (B) whose (C) which (D) that2. The reader is someone with an attention span of about 30 seconds—a person assailed by many forces _____ for attention.(A) competing (B) competed (C) competition (D) compete3. Perhaps a sentence is so excessively cluttered that the reader, hacking through the verbiage, simply doesn’t know what _____.(A) they mean (B) it means (C) they meant (D) it meant4. _______ with such obstacles, readers are at first tenacious and then angry.(A) Facing (B) To face (C) Faced (D) They faced5. This ______ decree came as a great beacon light of hope to millions of Negro slaves, who had been seared in the flames of withering injustice.(A) monstrous (B) monument (C) moment (D) momentous6. The McDonald’s in Beijing always has crowds of people outside waiting to have their photo ____ with the popular character, Ronald McDonald.(A) take (B) taken (C) took (D) be taken7. Among these houses in that affluent community, Mrs. Smith preferred .(A) one most in isolation (B) the most isolated one(C) one more isolated (D) the one more isolation8. But that is something that I must say to my people who stand on the warmthreshold ____ leads into the palace of justice.(A) as (B) which (C) on which (D) where9. There was once a town in the heart of America where all life seemed to live________ its surroundings.(A) in harmonious with (B) with harmony in(C) with harmonious in (D) in harmony with10. In autumn, oak and maple and birch ______ a blaze of color that flamed and flickered across a backdrop of pines.(A) set up (B) sets from (C) sit up (D) built up11. Many people came to fish the streams, which flowed clear and cold out of the hillsand contained shady pools where trout ____.(A) lay (B) lie (C) laid (D) lainO w A R u A u v A I12.The few birds ______ anywhere were moribund; they trembled violently andcould not fly.(A) seeing (B) saw (C) seen (D) see13.The struggle to survive in marriage requires adaptability, flexibility, genuine loveand kindness and an imagination strong enough to feel ________.(A) what the other is feeling (B) that the other is feeling(C) the other is feeling what (D) the other is that feeling14.Everything that people in those commercials did _____ like fun: taking Polaroidsnapshots, swilling beer, buying insurance, mopping the floor, bowling, takingaspirin.(A) that look (B) look (C) looked (D) looking15.Now, on the screen, they were at least ______ the subtle distinction between menand women as buddies and friends.(A) beware of (B) aware of (C) aware that (D) beware that16. I will simply take the position that the spoken word, like the written word,_______ a nonsensical arrangement of sounds or letters without a consensus thatassigns “meaning”.(A) amounts to (B) equal to (C) like (D) similar to17. Words themselves are innocuous; it is the consensus that gives them true power.(A) harmless (B) ambiguous (C) spontaneous (D) extemporaneous18. Amid the clamor, which could reach deafening proportions, there was still a rigidset of rules about _________ and how.(A) which was said (B) what was said (C) that was said (D) who was said19. Those people were the condemned men, ________ within the next week or two.(A) owing to be hanged (B) who would be hung(C) because of being hanged (D) due to be hanged20. The prisoner stood quite unresisting, yielding his arms limply to the ropes, asthough he ________.(A) noticed hardly what was happening (B) hardly noticed which was happening(C) noticed hardly which was happened (D) hardly noticed what was happening21. I came upon a girl late one evening on a ______ street in Hyde Park, a relativelyaffluent neighborhood in an otherwise mean, impoverished section of Chicago.(A) dessert (B) deserting (C) deserted (D) desert22. It also made it clear that I was ___________ the muggers who occasionallyseeped into the area from the surrounding ghetto.(A) indistinguishable from (B) extinguishable from(C) distinguished among (D) outstanding from23. For us to be ignored by God was a harsher punishment than _______ of His anger.(A) being a victim (B) as a victim (C) to be a victim (D) like a victim24. We believe in equality for all and privileges for none. This is a belief that each American regardless of background ____ equal standing in the public forum -- allof us.(A) with (B) should (C) have (D) has25. Along the same lines, I think women should stop ________ every humaninteraction we engage in.(A) and take responsibility (B) taking responsibility with(C) to take responsibility for (D) taking responsibility for26. Hay _____ too much moisture will spoil.(A) contains (B) containing it(C) that contains (D) what it is containing27. Advertising is distinguished from other forms of communication _____ theadvertiser pays for the message to be delivered.(A) in that (B) which(C) whereas (D) because of28. The thrust into outer space of the satellite, spheres, and missiles mark thebeginning of another epoch in the long story of mankind.(A) age (B) phase (C) history (D) attempt29._____ that Charlie could not come, Melody would never have given the party.(A) She had known (B) Had she known(C) When she knew (D) If She know30. Never again political office after his 1928 defeat for the presidency.(A)Alfred E. Smith seriously sought(B) seriously Alfred E. Smith sought(C) when did Alfred E. Smith seriously seek(D) did Alfred E. Smith seriously seekII. Reading Comprehension. Read the following passages and answer the given questions according to the contents of them. 20%Questions 31 and 32, refer to the following passage.A fad is a short-lived mannerism or trait which is trivial and often irrational. The reader may know of the popularity of hula hoops in the 1950s or the prevalence ofstuffing as many persons as possible into a telephone booth during the early 1960s.Fads occur in the world of the superficial; although they may be very pervasive for ashort while, they rapidly die out when their novelty wears thin or their utility as adevice to enhance status disappears.31.What is the primary purpose of this passage?(A)to argue for the elimination of fads(B)to criticize the popularity of hula hoops.(C)to define and evaluate fads in general.(D)to ridicule those who participate in fads32. According to the passage, which of the following characteristics does a fad lack?(A)popularity (B) appeal (C) permanence (D) superficialityQuestions 33 through 36 refer to the following passage.The President of the United States is the most powerful official of any democratic state in the world. The President has been characterized by some writers as the most powerful official in the history of the world. And yet, the powers and prerogatives demanded of American Presidents have undoubtedly caused many of them to wring their hands in frustration, stalemated in the courses of action they deemed best for the nation and its people.The authors of the United States Constitution were quite indefinite about what they considered to be the proper role of the President in the American government. Article II of the Constitution, which creates the presidency, is both brief and sketchy when compared with the lengthy and detail of Article I, which created and circumscribed the legislative branch of government.Because of the brevity of Article II, the great powers of the President of the United States grow less out of the Constitution than they do out of practice, precedent, and custom. Once a President exercises a power, that exercise has established a precedent which will serve as a source of power for future presidents.Those who wrote the United States Constitution created a presidency which is not duplicated by any governmental system in the world. The American presidency is unique in the assemblage of powers vested in a single leader, unique in the way the leader is chosen, and equally unique in the relationship between the leader and the legislative branch of government.33. Which of the following is most likely the audience for this passage?(A) members of the United States Senate(B)teachers of American government(C)students of American government(D)candidates for the presidency34. We may infer which of the following from the author’s comparison of Article IIwith Article I?(A)The authors of the Constitution had not thought carefully about thepresidency.(B)The authors of the Constitution did not think that the President had aproper role.(C)The legislative branch is more important than the executive branch.(D)The proper role of the legislative branch is explained more fully thanthat of the President.35. If the information in paragraph 3 is true, which of the following must also be true?(A)President Johnson’s decision to escalate the war in Vietnam may serveas a precedent for the current President if faced with a similar situation.(B)Anyone who makes an unprecedented decision has not sufficientlystudied the political decisions of past American Presidents.(C)The power to make war and peace has changed from President toPresident.(D)Any President who is not familiar with the precedents set by formerPresidents will almost never exercise any power at all.36. The word prerogatives in the third line means…(A) position(B)privilege(C)obligation(D) simplicityQuestions 37 through 40 refer to the following passage.Although satisfaction is a very common term, it is difficult to define. One can identify the cost of a sweater or a pair of shoes, but there are real problems in defining the magnitude of satisfaction derived from these goods. In response to this problem, economists have developed the concept of utility, which means about the same thing as satisfaction and is quantitatively measured in terms of utils. It is not assumed that consumers or the economist actually calculates the absolute number of utils derived from the purchase or use of goods, but it is assumed that consumers can specify the relative utility derived from goods. That is, economists assume that the consumer can rank order the utility that is obtained from all goods consumed. Furthermore, it is assumed that the individual seeks to use his or her limited income in such a way that the satisfaction or utility derived from the consumption of any particular set of goods is maximized.37. The author would agree with which of the following conclusion?(A)Certain products satisfy everyone equally.(B)A product worth one util to one person will be worth that much to most otherpeople.(C)The amount of satisfaction one derives is tied to the relative utility of aproduct.(D)Individuals with limited income are usually more satisfied with a pair ofshoes than with a sweater.38. The second sentence provides which of the following?(A)supporting detail for the first sentence.(B)evidence that contrasts with the argument of the first sentence.(C)a deliberately unreasonable example.(D)an evaluation of the argument in the first sentence.39. If the fourth sentence is true, which of the following must also be true?(A)In some countries, satisfaction is a mathematical constant.(B)I can specify the utility of my typewriter by comparing its value with that ofother goods I possess.(C)Economists are full of assumptions about utility that are unfounded.(D)The utility of a sweater will never be comparable to that of a pair of shoes.40. The word “consumption” means…(A)conservation(B)expenditure(C)utility(D)completionIII. Translate the following paragraphs from English into Chinese or vice versa. 20%(A) The non-profit consumer group says only 38 sites out of 100 surveyed disclosed the annual interest rates (APR) for loans prior to customers completing the application process. The most frequently posted APR was 652 percent, followed by 780 percent.The consumer group also warns that although loans are due on the borrower's next payday, many surveyed sites automatically renew the loan, withdrawing only the finance charge from the borrower's bank account and extending the loan for another pay cycle at the same high interest rate. Sixty-five of the surveyed sites permit loan renewals with no reduction in principal. At some lenders, consumers have to take additional steps to actually repay the loan, the group warned.(B) H A R F R A o A FA h RB n B AC o O g A g FC G Q A H j o A N O G o v C o v A Av A s o A n A g F C b B j qP w t A n D v b B A H g C b F A O_nt A H v g F O H O A P~Go A o g b o U C A P n A A v lA q U n t P C(10%)。

2018～2018学年第一学期期中考试试题高三数学(文科)试卷满分：150分 考试时间：120分钟 第I 卷 (选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题纸的相应位置. 1．在复平面内，复数201523Z i i=+-对应的点位于（ ）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．已知集合1|lg x M x y x -⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，{}2|23N y y x x ==++，则()M N =Rð（ ）A ．{x|10＜x ＜1}B ．{x|x ＞1}C ．{x|x ≥2}D ．{x|1＜x ＜2} 3．已知sin2α＝－2425，α∈（－4π，0），则sin α＋cos α＝（ ）A ．－15B ．15C ．－75D ．754．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，当0<x 时，f （x ）＝x －xe －（e 为自然对数的底数），则)6(ln f 的值为（ ）A ．ln6＋6B ． ln6－6C ． －ln6＋6D ．－ln6－65．已知向量()82-+=，a b ，()816-=-，a b ，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．6365B ．6365-C ．6365±D．5136．执行下图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是 ( ) A．870 B ．30C ．6D ．3 7．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向左平移6π 个单位后关于原点对称，则函数f(x)在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上的最小值为（）A ．．12-C ．12D 8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是（ ） A ．2B ．92C ．32D ．3侧视图俯视图x9. 已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：π=+10131003a a ，296=⋅b b ，则1201578tan1a a b b +=+（ ）A.1B.1-D.10．若点M （y x ,）为平面区域210100x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩上的一个动点，则yx 2+的最大值是( ) A ．1 B ．12-C ．0D ．111．已知函数()2014sin (01)(),log 1x x f x x x π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若cb a 、、互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是( )A ．（1，2018）B ．（1，2018）C ．（2，2018）D ．[2，2018]12. 已知定义的R 上的偶函数()f x 在),0[+∞上是增函数，不等式(1)(2)f ax f x +≤-对任意1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.[]3,1--B. []2,0-C. []5,1--D.[]2,1-第II 卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.13．已知tan()2θπ-=，则22sin sin cos 2cos 3θθθθ+-+的值为14. 设a 为324()2313g x x x x =+--的极值点，且函数,0,()log ,0,x a a x f x x x ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩，则211log 46f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值等于 ． 15．设正实数x 、y 、z 满足22340xxy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z +-的最大值为16．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且对于x ∀∈R 恒有()(2)f x f x =-，已知当[]0,1x ∈时，()112xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭则（1）()f x 的周期是2； （2）()f x 在（1，2）上递减，在（2，3）上递增； （3）()f x 的最大值是1，最小值是0；（4）当()3,4x ∈时，()312x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭其中正确的ss 的序号是 .三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12分） 设函数24()cos(2)2cos .3f x x x π=-+（1）求)(x f 的最大值，并写出使)(x f 取最大值时x 的集合； （2）已知ABC∆中，角CB A ,,的对边分别为.,,c b a 若DCBAFE3(),22f A b c π-=+=，求a 的最小值.18．（本小题满分12分） 已知数列{an}的前n 项和为Sn ，22nn S a =- .（1）求数列{an}的通项公式； （2）设2log nn ba =，11n n n c b b +=，记数列{cn}的前n 项和Tn.若对，()4nTk n ≤+恒成立，求实数k 的取值范围．19．（本小题满分12分）如图所示的多面体中，ABCD 是菱形，BDEF 是矩形，ED ABCD ，3BAD π∠=．(1)求证://BCF AED 平面平面； (2)若BF BD a A BDEF ==-，求四棱锥的体积．20. （本小题满分12分）设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A ，上顶点为B.已知|AB|＝32|F1F2|.(1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．21. （本小题满分12分） 已知函数)ln ()(2x x a x x f ++=，0>x ，R a ∈是常数．（1）求函数)(x f y =的图象在点()()1 , 1f 处的切线方程；（2）若函数)(x f y =图象上的点都在第一象限，试求常数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号． 22．（本小题满分10分） 选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的BD AC =，过C 点的圆的切 线与BA 的延长线交于E 点． （Ⅰ）求证：∠ACE ＝∠BCD ；（Ⅱ）若BE ＝9，CD ＝1，求BC 的长．23．（本小题满分10分） 选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l ：cos sin x t y t αα⎧⎨⎩＝＋m＝(t为参数)恒经过椭圆C ：5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(ϕ为参数)的右焦点F ． （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求|FA|·|FB|的最大值与最小值．24. （本小题满分10分） 已知函数()|21||23|.f x x x =++- （1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()|1|f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围.高三文科数学参考答案 1-12 ACBAB BADDD CB13．195 14 .8 15. 1 16. (1),(2),(4).17.解：（1）)2cos 1()34sin 2sin 34cos 2(cos cos 2)342cos()(2x x x x x x f +++=+-=πππ1)32cos(12sin 232cos 21++=+-=πx x x (3)分)(x f 的最大值为2 (4)分要使)(x f 取最大值，)(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ………6分（2）由题意；23)(=-A f π，即.21)322cos(=+-ππA化简得21)32cos(=-πA (8)分()0A π∈Q ，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有332ππ=-A ，.3π=A ………9分 在ABC ∆中，由余弦定理，bcc b bc c b a 3)(3cos22222-+=-+=π (10)分 由2=+c b 知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a ， (11)分当1==c b 时，a 取最小值.1…………………………………12分18.解： （1）当1=n 时，21=a ，当2≥n 时，)22(2211---=-=--n n n n n a a S S a 即：21=-n na a ，∴数列{}n a 为以2为公比的等比数列 nn a 2=∴（2）由bn ＝log2an 得bn ＝log22n ＝n ，则cn ＝11n n b b +＝()11n n +＝1n －11n +，Tn ＝1－12＋12－13＋…＋1n －11n +＝1－11n +＝1nn +.∵1n n +≤k(n＋4)，∴k≥21454n n n n n n ＝(＋)(＋)＋＋＝145n n ＋＋.∵n＋4n＋5＝9，当且仅当n ＝4n ，即n ＝2时等号成立，∴145n n ＋＋≤19，因此k≥19，故实数k的取值范围为1,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭19．证明：（1）由ABCD 是菱形//BC AD ∴,BC ADE AD ADE ⊄⊂面面//BC ADE∴面………………3分由BDEF 是矩形//BF DE∴,BF ADE DE ADE⊄⊂面面//BF ADE∴面,,BC BCF BF BCF BCBF B⊂⊂=面面……………6分（2）连接AC ，AC BD O=由ABCD 是菱形，AC BD∴⊥由ED ⊥面ABCD ,ACABCD⊂面 ED AC ∴⊥ ,,ED BD BDEF EDBD D⊂=面AO BDEF ∴⊥面，………………8分则AO 为四棱锥A BDEF -的高 由ABCD 是菱形，3BAD π∠=，则ABD ∆为等边三角形，由BF BD a ==；则,AD a AO ==，2BDEF S a =，2313A BDEF V a -=⋅= ………………………………………12分20. 解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c ，0)．由|AB|＝32|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2. 又b2＝a2－c2，则c2a2＝12， 所以椭圆的离心率e＝22. …………………………………4分 (2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故椭圆方程为x22c2＋y2c2＝1.设P(x0，y0)．由F1(－c ，0)，B(0，c)， 有F1P →＝(x0＋c ，y0)，F1B→＝(c ，c)． 由已知，有F1P→·F1B →＝0，即(x0＋c)c ＋y0c ＝0. 又c≠0，故有x0＋y0＋c ＝0.①又因为点P 在椭圆上，所以x202c2＋y20c2＝1.②由①和②可得3x20＋4cx0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x0＝－43c.代入①得y0＝c 3，即点P的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫－4c 3，c 3. 设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝－43c ＋02＝－23c ，y1＝c3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x1－0）2＋（y1－c ）2＝53c. ………………10分设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx.由l 与圆相切，可得|kx1－y1|k2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2c 3－2c 3k2＋1＝53c ，整理得k2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15，所以直线l 的斜率为4＋15或4－15.………………12分 21解：（1）函数的定义域为{}0|>x x ,)11(2)(/x a x x f ++= a f +=1)1(，a f 22)1(/+=函数)(x f y =的图象在点))1( , 1(f 处的切线为)1)(22()1(-+=+-x a a y ，即)12)(1(-+=x a y …………………………4分（2）①0=a 时，2)(x x f =，因为0>x ，所以点) , (2x x 在第一象限，依题意，0)ln ()(2>++=x x a x x f②0>a 时，由对数函数性质知，)1 , 0(∈x 时，)0 , (ln -∞∈x ，)0 , (ln -∞∈x a ，从而“0>∀x ，0)ln ()(2>++=x x a x x f ”不成立③<a 时，由)ln ()(2>++=x x a x x f 得)ln 11(12x xx a +-<，设)ln 11()(2x x x x g +-=，xx x x x g ln 21)(33/+-=1)1()(-=≥g x g ，从而1)ln 11(12-<+-<x x x a ，01<<-a综上所述，常数a的取值范围01≤<-a …………………………8分（3）计算知111)1()(-+++=--e aa e e f e f设函数1)1(21)1()()()(/--++-=---=e ax a e x e f e f x f x g1)1()2(11)1(2----=--+-=e e e a e a a e g ，)1()1(11)(2---=--+-=e e ae e e a e a e e g当2)1(->e e a 或2)1(2--<e e a 时，222)1(])1(][)1()2([)()1(-------=e e e e a e e a e g g 0<，因为)(x g y =的图象是一条连续不断的曲线，所以存在) , 1(e ∈ξ，使0)(=ξg ，即) , 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ；当22)1(2)1(-≤≤--e e a e e 时，)1(g 、0)(≥e g ，而且)1(g 、)(e g 之中至少一个为正，由均值不等式知，1122)(2--+-≥e e a a x g ，等号当且仅当) , 1(2e ax ∈=时成立，所以)(x g 有最小值1)1(2)1(2112222----+-=--+-=e e a e a e e a a m ，且1)3)(1()]1(2[1)1(2)1(222<---+---=----+-=e e e e a e e a e a m ，此时存在) , 1(e ∈ξ（)2, 1(a ∈ξ或) , 2(e a∈ξ），使0)(=ξg综上所述，Ra ∈∀，存在), 1(e ∈ξ，使1)1()()(/--=e f e f f ξ (12)分（22）解：（Ⅰ）,AC BD ABC BCD =∴∠=∠．………………（2分）又EC 为圆的切线，,ACE ABC ∴∠=∠∴ACE BCD ∠=∠．……………（5分） （Ⅱ）EC 为圆的切线，∴CDB BCE ∠=∠，由（Ⅰ）可得BCD ABC ∠=∠，……………………………………（7分）∴△BEC ∽△CBD ，∴CD BCBC EB =，∴BC =3．……………………（10分）解：（Ⅰ）椭圆的参数方程化为普通方程，得221259x y +=， 5,3,4,a b c ∴===则点F 的坐标为(4,0).直线经过点(,0),4m m ∴=.…………………………………（4分）（Ⅱ）将直线的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理得：222(9cos 25sin )72cos 810t t ααα++-=.设点,A B 在直线参数方程中对应的参数分别为12,t t ，则12||||||FA FB t t ⋅==2228181.9cos 25sin 916sin ααα=++………………（8分）当sin 0α=时，||||FA FB ⋅取最大值9；当sin 1α=±时，||||FA FB ⋅取最小值81.25………………………（10分）24. （Ⅰ）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩----3分解，得3131212222x x x <≤-≤≤-≤<-或或 即不等式的解集为}21|{≤≤-x x-------------------------------5分 （Ⅱ）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x------------------8分4|1|>-∴a 5,3>-<∴a a 或------10分。

2020届河南省中原名校高三上学期期末联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--≤，{}|21xB y y ==+，则A B =I （） A ．∅ B ．(]1,3C ．(]0,3D ．()1,+∞【答案】B【解析】根据一元二次不等式的解集和指数函数的值域求得. 【详解】由已知解得[]()1,3,1,A B =-=+∞， 所以(]1,3A B =I ，故选B. 【点睛】本题考查一元二次不等式的解集、指数函数的值域和集合的交集运算，属于基础题. 2．已知20191i z =+，则2z i -=（ ） A．B．C ．2D【答案】A【解析】首先化简复数z ，再代入模的计算. 【详解】由201911z i i =+=-，所以|2||13|z i i -=-=故选：A 【点睛】本题考查复数的计算，属于基础计算题型. 3．若tan 13θ= ，则cos2θ=( ) A ．45-B ．15-C ．15D ．45【答案】D【解析】222222cos cos2cos cos sin sin sin θθθθθθθ-=-=+. 分子分母同时除以2cos θ，即得：2211149cos211519tan tan θθθ--===++.故选D.4．若直线1y x =+和曲线ln 2y a x =+相切，则实数a 的值为（ ）A ．12B ．1C ．2D ．32【答案】B【解析】设切点为()00,ln 2x a x +，求出函数在0x x =处的导数后可得切线的斜率，从而可用a 表示切点的横坐标，最后根据切点在切线上得到关于a 的方程，解该方程后可得实数a 的值. 【详解】设切点为()00,ln 2x a x +，因为a y x'=，故切线的斜率01a k x ==， 所以0x a =，所以ln 21a a a +=+，因为0a >，故1a =， 故选B. 【点睛】解决曲线的切线问题，核心是切点的横坐标，因为函数在横坐标处的导数就是切线的斜率，本题为基础题．5．已知数列{}n a 为各项均为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若174a a =，且47522a a +=，则5S =（ ） A ．32 B ．31C ．30D ．29【答案】B【解析】根据已知求出4712,4a a ==，再求出公比和首项，最后求5S . 【详解】 因为174a a =，所以2444,0,2n a a a =>∴=Q . 因为47522a a +=， 所以714a =. 所以3111,16.82q q a =∴==，，所以55116[1()]2=31112S-=-.故选B【点睛】本题主要考查等比数列的通项的基本量的计算，考查等比中项的应用，考查等比数列的前n项和的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．函数|2|()ln cosxf x xπ=-的部分图像大致为（）A．B．C．D ．【答案】B【解析】利用函数的奇偶性可排除两个答案，再根据2x =时，函数值的正负可得正确答案. 【详解】 因为|2()|()lncos()()x f x x f x π--=--=，所以()f x 为偶函数，排除A,D ； 当2x =时，(2)ln co 4s 20f π=->，故排除C ；故选B. 【点睛】本题考查根据函数的解析式选择对应函数图象，考查数形结合思想的应用，求解时要充分利用函数的性质和特殊点寻找解题的突破口.7．如图所示，半径为1的圆O 是正方形MNPQ 的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ 内，用A 表示事件“豆子落在圆O 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OEF （阴影部分）内”，则()|P B A =（ ）A ．4π B ．14C ．16π D ．18【答案】B【解析】利用几何概型先求出()22124P A ππ⨯==，()22114216P AB ππ⨯⨯==，再由条件概率公式求出(|)P B A ．【详解】如图所示，半径为1的圆O是正方形MNPQ的内切圆，将一颗豆子随机地扔到正方形MNPQ内，用A表示事件“豆子落在圆O内”，B表示事件“豆子落在扇形(OEF阴影部分)内”，则()22124P A ππ⨯==，()22114216P ABππ⨯⨯==，()()116(|)44P ABP B AP Aππ∴===．故选B．【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型、条件概率能等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．我国古代科学家祖冲之儿子祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”(“幂”是截面积，“势”是几何体的高)，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )A．12π-B．8π-C．122π-D．122π-【答案】A【解析】首项把三视图转换为几何体，得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱，进一步利用几何体的体积公式，即可求解，得到答案. 【详解】根据改定的几何体的三视图，可得该几何体表示左边是一个棱长为2的正方体，右边是一个长为1，宽和高为2的长方体截去一个底面半径为1，高为2的半圆柱， 所以几何体的体积为2122222112122V ππ=⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=-，故选A. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.9．设实数,x y 满足不等式组00152x y y x y x⎧⎪⎪⎨-⎪⎪-⎩………„，(2,1)是目标函数z ax y =-+取最大值的唯一最优解，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．(0,1) B ．(0,1] C ．(,2)-∞- D ．(,2]-∞-【答案】C【解析】作出不等式组所对应的平面区域，分类讨论确定目标函数的最优解，即可得到答案． 【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OABC ）. 则(1,0),(2,1),(0,5)A B C由z y ax =-得y ax z =+，平移直线y ax z =+，则直线的截距最大时，z 也最大， 当0a =时，y z =在C 处的截距最大，此时不满足条件.当0a >时，直线y ax z =+，在C 处的截距最大，此时不满足条件.当0a <时，直线y ax z =+，要使(2,1)是目标函数z y ax =-取最大值的唯一最优解， 则y ax z =+在B 处的截距最大，此时目标函数的斜率a 须小于直线BC 的斜率2-，即2a <-. 故选：C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题． 10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2(1)n n S a n n=+-()*n N ∈，则数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和是（ ） A ．922B ．611C ．12D ．511【答案】D【解析】根据公式2n ≥时，1n n n S S a --= ，化简为14n n a a --=，说明数列{}n a 是等差数列，代入等差数列求和，得到1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，利用裂项相消法求和. 【详解】 由2(1)n n S a n n=+-()*n N ∈得2(1)n n S na n n =--.则当2n ≥时， 11(1)4(1)n n n n n a S S na n a n --=-=----，整理得14n n a a --=，所以{}n a 是公差为4的等差数列，又11a =，所以43n a n =-*()n N ∈，从而()2133222(1)2n n n a a S n n n n n n ++=+=+=+， 所以1111132(1)21n S n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，设故数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和10T ,101111111151...12223101121111T ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故数列13n S n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项的和10511T =.故选：D 【点睛】本题考查数列n a 和n S 的关系求通项公式，以及裂项相消法求和，重点考查转化与变形，计算能力，属于中档题型. 11．函数()2log ,0,2,0,xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x fx f x =-+的零点个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．6【答案】A【解析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A.【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．12．已知圆()(221:31C x y -+-=和焦点为F 的抛物线221:8,C y x N C =是上一点，M 是2C 上，当点M 在1M 时，MF MN +取得最小值，当点M 在2M 时，MF MN -取得最大值，则12M M =A． B．C．D【答案】D【解析】根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边转化111MF MN C D +-…，当且仅当1,,M C D 三点共线，且点N 在线段1MC 上时等号成立，求得点1M 的坐标，再根据三角形中两边之差小于第三边转化11MF MN FC ≤+-，当且仅当M 为线段1FC 的延长线与抛物线的交点，且点N 在线段1MC 上时等号成立，求得2M 的坐标，从而求出12M M ，得解. 【详解】由已知得：(()13,,2,0C F ，记2C 的准线为l ,如图,过点M 作l 的垂线,垂足为D ,过点1C 作l 的垂线，垂中为1D ，则111||||||||||11MF MN MD MN MD MC C D +=++--厖,当且仅当1,,M C D 三点共线，且点N 在线段1MC 上时等号成立，此时MF MN +取得最小值，则点1M的坐标为(，()111||||||1||11MF MN MF MC MF MC FC ---=-+≤+„,当且仅当M 为线段1FC 的延长线与抛物线的交点，且点N 在线段1MC 上时等号成立，此时MF MN -取得最大值，又直线1FC的方程为2)y x =-，由22)8y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，解得1x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，或442x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以2M 的坐标为(4,42)， 所以2212(41)(4222)17M M =-+-=,故选：D .【点睛】本题关键在于根据抛物线的定义和三角形中两边之差小于第三边将所求的线段的和或差转化，进而得到取得最值的位置，属于中档题.二、填空题13．“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x 年（2013年是第一年）与捐赠的现金y （万元）的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程ˆ0.35y mx =+，则预测2019年捐赠的现金大约是______万元.x3 4 5 6 y2.5344.5【答案】5.25【解析】首先根据数据求样本中心点(),x y ，代入求m ，当7x =时，求2019年捐赠的现金. 【详解】由已知得样本点的中心点的坐标为(4.5,3.5)，代入ˆ0.35ymx =+，得3.5 4.50.35m =+，即0.7m =，所以ˆ0.70.35yx =+，取7x =， 得ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，预测2019年捐赠的现金大约是5.25万元. 故答案为：5.25 【点睛】本题考查回归直线方程的求解和应用，属于基础题型.14．某年级有1000名学生，一次数学测试成绩()2105,10X N :，()951050.34P X ≤≤=，则该年级学生数学成绩在115分以上的人数大约为______.【答案】160【解析】根据考试的成绩X 服从正态分布(105N ，210)．得到考试的成绩X 关于105X =对称，根据(95105)0.34P X =剟，得到1(115)(10.68)0.162P X =-=…，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数． 【详解】Q 考试的成绩X 服从正态分布(105N ，210)．∴考试的成绩X 关于105X =对称，(95105)0.34P X =Q 剟， 1(115)(10.68)0.162P X ∴=-=…，∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.161000160⨯=故答案为：160． 【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩X 关于105X =对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解． 15．已知()4121x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项的系数为5，则a =_________． 【答案】2【解析】首先原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，然后分别求每一项中含有3x 的系数，最后求a . 【详解】由题意知原式展开为()()()44412111x x x a x x⋅-+⋅-+-，所以412(1)x a x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的展开式中含3x 的项为224334412C ()()C ()x x x a x x ⋅-+-+-， 即3(134)a x -，由已知条件知1345a -=，解得2a = . 【点睛】本题考查了二项式定理的综合问题，意在考查二项式定理指定项的求法，属于基础题. 16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时cos PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______.【答案】【解析】先证明出PA ⊥平面PBC ，根据cos PAO ∠=计算出AD 、BD ，并证明出点D 为BC 的中点，可得出BC ，利用勾股定理可证明出PB PC ⊥，然后构造正方体模型可求出三棱锥P ABC -外接球的半径长，最后利用球体体积公式可计算出结果. 【详解】因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=,故PA ⊥平面PBC ，因为8PA PB PC ===，故AB AC ==cos3PA PAO AD ∠==Q ，AD ∴===BD ==PA ⊥Q 平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC PA ∴⊥.PO ⊥Q 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥.PA PO P =Q I ，BC ∴⊥平面PAO ，PD ⊂Q 平面PAO ，PD BC ∴⊥，8PB PC ==Q ，D ∴为BC 的中点，2BC BD ∴==222PB PC BC ∴+=.故PC PB ⊥，构造正方体模型可知，四面体P ABC -的外接球半径2R ==，因此，三棱锥P ABC -外接球的体积为(343V π=⨯=.故答案为：2563π.【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积的计算，解题的关键在于推导出线面垂直关系，并结合几何体的结构找出合适的模型计算出外接球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3m a sinA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，，()n cosC c =r ，，b m n =⋅r r．（1）求角A 的大小；（2）若a =3，求△ABC 的周长L 的取值范围． 【答案】（1）3A π=（2）L ∈（6，9]【解析】（1）由条件b m n =⋅r r可得3b acosC =，再结合正弦定理及三个角之间的关系可得3tanA =A ；（2）利用余弦定理再结合基本不等式，求得3＜b+c≤6，即可得到周长L 的范围． 【详解】（1）由题意33m a sinA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，，()n cosC c =r ，，b m n =⋅r r． 所以33b acosC =+， 由正弦定理，可得33sinB sinAcosC sinCsinA =+， 因为()B A C π=-+，所以sinB=sin （A +C ）=sinAcosC+cosAsinC ，又由(0,)C π∈，则sin 0C >， 整理得3tanA =，又因为(0,)A π∈，所以3A π=．（2）由（1）和余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即2222232cos3b c bc b c bc π=+-=+-，即229b c bc +-=，整理得2()39b c bc +-=，又由2()2b c bc +≤（当且仅当b=c=3时等号成立） 从而22219()3()()24b c b c b c +≥+-=+，可得b+c ≤6， 又b+c ＞a=3，∴3＜b+c ≤6，从而周长L ∈（6，9]. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和的应用，以及基本不等式求最值的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18．如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PB BC ⊥，PD CD ⊥，且PA AB =，E 为PD 中点．(1)求证：PA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角A BE C --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 10. 【解析】（1）推导出BC AB ⊥，BC PB ⊥，从而BC ⊥平面PAB ，进而BC PA ⊥．求出CD PA ⊥，由此能证明PA ⊥平面ABCD ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A BE C --的正弦值．【详解】（1）∵底面ABCD 为正方形， ∴BC AB ⊥，又BC PB ⊥，AB PB B ⋂=， ∴BC ⊥平面PAB ， ∴BC PA ⊥.同理CD PA ⊥，BC CD C ⋂=， ∴PA ⊥平面ABCD .（2）建立如图的空间直角坐标系A xyz -，不妨设正方形的边长为2.则 (0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(2,0,0)B设(;,)m x y z =r为平面ABE 的一个法向量，又(0,1,1)AE =u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r ，020m AE y z m AB x ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩u u u v v u u uv v ，令1y =-，1z =，得(0,1,1)m =-r 同理(1,0,2)n =r 是平面BCE 的一个法向量， 则10cos ,||||25m n m n m n ⋅<>===⨯r rr rr r . ∴二面角A BE C --的余弦值为10-.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．19．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心在坐标原点O ，其右焦点为()1,0F ，且点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆C 上．()1求椭圆C 的方程；()2设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，M 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线MF交椭圆C 于另一点N ，直线MB 交直线4x =于Q 点，求证：A ，N ，Q 三点在同一条直线上．【答案】（1）22143x y += （2）见解析【解析】（1）设椭圆的方程为22221x y a b +=，由题意可得2222211914c a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解方程组即可.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-=，根据韦达定理求出点Q 的坐标，根据向量即可求出//AN AQ u u u r u u u r ，且向量AN u u u r 和AQ uuur 有公共点A ，即可证明．【详解】（1）不妨设椭圆的方程为22221x y a b+=，(0)a b >>.由题意可得2222211914c a b a b c =⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得24a =，23b =，故椭圆的方程22143x y +=.（1）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线MN 的方程为1x my =+，由方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 整理得22(34)690m y my ++-=223636(34)0m m ∆=++>Q122634m y y m ∴+=-+，122934y y m =-+， Q 直线BM 的方程可表示为11(2)2y y x x =--， 将此方程与直线4x =成立，可求得点Q 的坐标为112(4,)2y x -， 22(2,)AN x y ∴=+u u u r ，112(6,)2y AQ x =-u u u r ， ()()()211212211622226222y x y x y y x x x --+-+=--Q ()()()2112161221212y my y my my ⎡⎤⎡⎤+--++⎣⎦⎣⎦=+-()22121211964()6()463434011mm my y y y m m my my ----+++===--，//AN AQ ∴u u u r u u u r ，Q 向量AN u u u r 和AQ uuur 有公共点A ，A ∴，N ，Q 三点在同一条直线上．【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，向量问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识，是中档题．20．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况.子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查.并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当0.8 1.0x ≤≤时，认定该户为“低收入户”；当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮助户".已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%.（1）完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关：甲村 乙村 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计（2）某干部决定在这两村贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取3户进行帮扶，用X 表示所选3户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0k2.0722.7063.8415.024【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关（2）详见解析【解析】（1）根据频率分布直方图，通过计算，完成列联表，同时根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算出2K 的值，对照表格得出结果. （2）求出X 分别为0，1，2，3时的概率，求出X 的分布列，进而可求出数学期望EX . 【详解】解：（1）由题意可知，甲村中“绝对贫困户”有500.2412⨯=（户），甲、乙两村的绝对贫困户有()0.250.500.750.210030++⨯⨯=（户），可得出如下列联表：()221001232183812 2.706307050507K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯.故没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关.（2）贫困指标在[)00.4,的贫困户共有()0.250.50.210015+⨯⨯=（户），“亟待帮助户”共有0. 250.21005⨯⨯=（户）， 依题意X 的可能值为0，1，2，3，()31031524091C P X C ====，()2110531545191C C P X C ====， ()1210531520291C C P X C ====，()353152391C P X C ====， 则X 的分布列为故24452020123191919191EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查列联表的完善，独立性检验，以及分布列及数学期望，是中档题.21．已知函数()2ln 2f x x x ax x =-+，a ∈R ．（Ⅰ）若()f x 在()0,∞+内单调递减，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ，证明：1212x x a+>． 【答案】（Ⅰ）e ,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）见证明【解析】（I ）先求得函数的导数，根据函数在()0,∞+上的单调性列不等式，分离常数a 后利用构造函数法求得a 的取值范围.（II ）将极值点12,x x 代入导函数列方程组，将所要证明的不等式转化为证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+，利用构造函数法证得上述不等式成立. 【详解】（I ）()ln 24f x x ax +'=-． ∴()f x 在()0,∞+内单调递减，∴()ln 240f x x ax =+-≤在()0,∞+内恒成立，即ln 24x a x x ≥+在()0,∞+内恒成立． 令()ln 2x g x x x =+，则()21ln xg x x--'=， ∴当10e x <<时，()0g x '>，即()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭内为增函数； 当1x e >时，()0g x '<，即()g x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内为减函数． ∴()g x 的最大值为1g e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴e,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点分别为1x ，2x ， 则()ln 240f x x ax =+-='在()0,∞+内有两根1x ，2x ， 由（I ），知e 04a <<．由1122ln 240ln 240x ax x ax +-=⎧⎨+-=⎩，两式相减，得()1212ln ln 4x x a x x -=-． 不妨设120x x <<，∴要证明1212x x a +>，只需证明()()121212142ln ln x x a x x a x x +<--． 即证明()1212122ln ln x x x x x x ->-+，亦即证明12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+． 令函数． ∴22(1)'()0(1)x h x x x --=≤+，即函数()h x 在(]0,1内单调递减． ∴()0,1x ∈时，有()()10h x h >=，∴2(1)ln 1x x x ->+． 即不等式12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+成立． 综上，得1212x x a +>． 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数，考查利用导数研究函数极值点问题，考查利用导数证明不等式，考查利用构造函数法证明不等式，难度较大，属于难题. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t x y t x=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数，0απ<<），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()12cos28cos ρθθ-=．（1）判断直线l 与曲线C 的公共点的个数，并说明理由；（2）设直线l 与曲线C 交于不同的两点A B ，，点()11P -，，若1143PA PB -=，求tan α的值．【答案】（1）两个，理由见解析；（2）43. 【解析】（1）先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，再将直线的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得到一元二次方程，根据判别式，即可判断出结果； （2）先由（1）设方程()22sin 2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12t t ，，得到1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12230sin α-⋅=<t t ，再由1143PA PB -=，得到121224sin 2cos 33αα+=+=⋅t t t t ，求解即可得出结果. 【详解】（1）由()1cos28cos ρθθ-=得2sin 4cos ρθθ=，所以22sin 4cos ρθρθ=，即24y x =，将直线l 的参数方程代入24y x =，得()()21sin 41cos t t αα-+=+， 即()22sin 2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=，由0απ<<知2sin 0α>，()222sin 4cos 12sin 0ααα∆=++>，故直线l 与曲线C 有两个公共点；（2）由（1）可设方程()22sin2sin 4cos 30t t ααα⋅-+⋅-=的两根为12t t ，， 则1222sin 4cos sin ααα++=t t ，12230sin α-⋅=<t t ， 故12121124sin 2cos 33PA PB t t PA PB PA t t αα-+-===+=⋅， ∴22sin 4sin cos 4cos 4αααα++=，即24sin cos 3sin ααα=， ∴4tan 3α=. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及由参数的方法判断直线与曲线位置关系，熟记极坐标与直角坐标的互化公式，以及参数方法研究曲线的弦长等即可，属于常考题型.23．已知函数()1f x x a x =++-.（1）当2a =时，求不等式()8f x x ≥+的解集；（2）若关于x 的不等式()5f x x ≤-的解集包含[]0,2，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(][),37,x ∈-∞-+∞U （2）40a -≤≤【解析】（1）按21,21,x x x ≤-≥-<<进行分类，得到等价不等式组，分别解出解集，再取并集，得到答案；（2）将问题转化为()15f x x a x x =++-≤-在[]0,2x ∈时恒成立，按[]0,1x ∈和(]1,2x ∈分类讨论，分别得到不等式恒成立时对应的a 的范围，再取交集，得到答案.【详解】解：（1）当2a =时，()218f x x x x =++-≥+等价于 1218x x x ≥⎧⎨+≥+⎩或2138x x -≤<⎧⎨≥+⎩或2218x x x <-⎧⎨--≥+⎩， 解得7x ≥或x ∈∅或3x ≤-，所以不等式的解集为：(][),37,x ∈-∞-+∞U .（2）依题意即()15f x x a x x =++-≤-在[]0,2x ∈时恒成立，当[]0,1x ∈时，15x a x x ++-≤-，即4x a +≤，所以44a x a --≤≤-对[]0,1x ∈恒成立 ∴4014a a --≤⎧⎨≤-⎩，得43a -≤≤； 当(]1,2x ∈时，15x a x x ++-≤-， 即62x a x +≤-，6226x a x x ≤+≤-- 所以636a x x a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩对任意(]1,2x ∈恒成立， ∴62326a a-⎧≤⎪⎨⎪≤+⎩，得04a a ≤⎧⎨≥-⎩∴40a -≤≤， 综上，40a -≤≤.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，分类讨论研究不等式恒成立问题，属于中档题.。

中国科学院自动化研究所2006年招收攻读博士学位研究生入学统一考试试题科目名称：数学考生须知：1．本试卷满分为100分，全部考试时间总计180分钟。

2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。

1. 设1214A ⎡⎤=⎢⎥−⎣⎦，计算A e 。

2. 设13(21i A i i −⎡⎤==⎢⎥+⎣⎦，计算范数12||||,||||,||||A A A ∞和谱半径()A ρ。

3. 设A 是n 阶可逆矩阵，证明：对任意n 维列向量x 和y ，下述等式成立：1det()1det()T T A A A −+=−yx x y . 4. 从单位圆周上独立地随机选取两点A ，B ，试用几何概率方法计算：“圆心到弦AB 的距离不小于1/2”这个事件的概率。

5. 设12,X X 独立，都服从标准正态分布(0,1)N 。

记112212max{,},min{,}Y X X Y X X ==，计算12(),()E Y E Y 。

科目名称：数学第1页 共2页6.先验证：312221(;,))()exp (),2x a x a x a x ρσσ−⎛⎞=−−−−∞<<∞⎜⎟⎝⎠，作为x 的函数是概率密度，其中,a σ为参数，,0a σ−∞<<∞>。

然后求解下述问题：设12,,...n X X X 为来自此总体的样本，1) 求2,a σ的矩估计；2） 写出2,a σ的极大似然估计所满足的方程，并给出一种迭代求解方法。

7. 利用奇异值分解理论，讨论下述约束最小二乘问题的解：22min ..1A s t ⎧⎪⎨=⎪⎩x x ，其中(),m n n A R m n R ×∈≥∈x 。

8. 设n 元函数()f x 在n R 上有二阶连续偏导数。

若0x 是()f x 的一个临界点并且()f x 在0x 的Hessian 矩阵是可逆的，证明：存在0x 的一个邻域使得()f x 在该邻域内除0x 外没有其它临界点。

2016级博士生数学复习题1. 设()||||f x x =是实Hilbert 空间H 上的泛函，证明，当0x ≠，()f x 在点x 处沿着h 方向的Gateaux 微分。

P81 证明：xhx x th x t thth th x x th x t x x th x th x x th x t x th x x th x t x th x x th x t x th x t x f th x f t t t t t t ,)(,,2lim )(,,lim )(lim )())((lim lim )()(lim00220000=++-=++-++=++-+++++-+=-+=-+→→→→→→于是，当0≠x 时，f 在x 处沿着h 方向的teaux a G )微分为：xhx h x Df ,),(=2. 设泛函342, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x yx y x y f x y x yx y ⎧++≠⎪=+⎨⎪=⎩，证明(,)f x y 在点(0,0)处不是Frechet 微分。

P84证明：由于R y x x y x y x ∈∀≤+,,21243所以f 在点（0,0）处连续，令),(ηξ=h ，则有ηξηξηξηξ+=+++=-+→→tt t t t t t t f th f t t 24300)()()(lim )0()0(lim 因此，f 在点（0,0）处沿方向h 的teaux a G )微分为ηξηξ+=)),(),0,0((Df ，但是，如果令2ηξ=，则有2/1422/122)()(ξξηξ+=+=h于是021)()(lim )()(lim ),0()0()(lim 2/1422242302/14224300≠=++=++-+++=--→→→ξξξξξξξξηξηξηξηξh h h h h Df f h f所以，f 在点（0,0）处不是chet e Fr )可微的。

中原大學98學年度大學甄選入學考試3月28日12:30～13:30 甄選系組：機械工程學系（學校推薦、個人申請）科目： 綜合能力測驗 （共2頁第1頁） □可使用計算機，惟僅限不具可程式及多重記憶者 ;不可使用計算機請於答案卷上作答，並標明題號A. 數理(每題10分，共50分，須將演算過程作答於答案卷，否則不予計分)1. 若a 和b 為⎩⎨⎧=+−=−+02012522y xy x y x 的解，求b a 33+ (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 2. 假設b 為實數且132)(2++=bx x x f ，如圖1所示，則f (2) =(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7圖1 圖2 3. 以兩個相同之彈簧，分別以並接與串接方式接於質量為A 之物體，如圖2(a)和2(b)所示，並施以一力使之來回運動，兩者來回運動周期比為(A) 1/2 (B) 1 (C) 21/2(D) 21 4. 在三角形ΔABC 中，22 ,4 ,232==−=BC AC AB ，求內角A ∠(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 90° 5. 一顆質量為m 之衛星，以半徑R 之圓形軌道繞行質量為M 的地球，請問繞行一周所需時間：(A) 與M 無關 (B) 正比於m 1/2 (C) 正比於R 2 (D) 正比於R 3/2B. 英文(每題5分，共50分，答錯每題倒扣2分)句中畫底線部分若有錯誤，則請選擇正確答案6. To no ones surprise, John didn't have his homework ready.(A) no ones surprise (B) no ones' surprise(C) no one's surprise (D) no-one surprise誠實是我們珍視的美德， 我們喜愛「拒絕作弊，堅守正直」的你！（共2頁第2頁）7.If he would have revised his first draft, he would have received a better grade.(A) would have revised (B) had revised(C) could of revised (D) would revise8.The bones and muscles are parts of the mechanism of the body.(A) mechanism (B) mechanics (C) machine (D) mechanical9.The automobile caused a revolting way of traveling.(A) a revolting way (B) a revised way(C) a revocable way (D) a revolution in ways10.Many scientists are still hoping to have found life on another planet.(A) to have found (B) to find(C) to have been found (D) too have found請選擇句中畫底線單字之同義字或於空格填入適當用詞11. A good joke evokes a laugh.(A) Sell (B) Calm (C) Call forth (D) Exaggerate12.When having a problem, it is best to dissect the situation then act.AnalyzeIgnore (D)(A) Cut apart (B) Talk about (C)13.Satellites have the power of communication to report events at the instant ofoccurrence.(A) extended (B) intended (C) contended (D) stretched14.Don’t let me your decision; you are old enough to decide by yourself.(A) affect (B) interfere (C) effect (D) influence15.Knowing something as a whole is far from knowing all its .(A) instance (B) character (C) details (D) items。

中央广播电视大学2024年度第一学期“开放本科”期末考试数学思想与方法试题一、判断题（回答对或错，每题4 分，共20 分）1．数学抽象摆脱了客观事物的物质性质，从中抽取其数与形，因而数学抽象具有无物质性。

()2．一个数学理论体系内的每一个命题都必须给出证明。

( )3．反例在否认一个命题时并不具有特殊的威力。

( )4．不可公度性的发现引发了第二次数学危机。

( )5．最早使用数学模型方法的当数中国古人。

( )二、填空题（每空格3 分，共30 分）6．数学的第一次危机是由于出现了而导致的。

7．传统数学教学只注重的数学知识传授，忽略了数学思想方法的挖掘、整理、提炼。

8．所谓数学模型方法是——9．菱形概念的抽象过程就是把一个新的特性：，加入到平行四边形概念中去，使平行四边形概念得到了强化。

10.在计算机时代，已成为与理论方法、实验方法并列的第三种科学方法。

11．辩驳反例是用否认的一种思维形式。

12．化归方法包含的三个要素是、、。

三、简答题（每题 10 分，共40 分）13．简述类比的含义，数学中常用的类比有哪些？ 14.常量数学应用的局限性是什么？15．简述代数解题方法的基本思想。

16．简述《九章算术》与《几何原本》两大著作的特点。

四、论述题（10 分）17．试用框图表达用特殊化方法解决问题的一般过程并加以说明。

试卷代号：1173中央广播电视大学2023-2023 学年度第一学期“开放本科”期末考试数学思想与方法试题答案及评分标准（供参考）2023 年1 月一、判断题（每题4 分，共20 分）1 ．是2 ．否3 ．否4 ．否5 ．是二、填空题（每空格3 分，共30 分）6．无理数（或√虿）7．形式化8．运用数学模型解决问题的一般数学方法9．组邻边相等10．计算方法11．特殊一般12.化归对象化归目的化归途径三、简答题（每题 10 分，共40 分）13.简述类比的含义，数学中常用的类比有哪些？答：①所谓类比，是指由一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法（5 分）。

中原大學九十三學年度碩專班入學招生考試
93年3月28日　15:00~16:30　教研所科學教育組 誠實是我們珍視的美德，
我們喜愛「拒絕作弊，堅守正直」的你！
科目：科學教育(二)
一、名詞解釋 (50分) (每題10分)
1. 心像(mental image)
2. 長期記憶(long-term memory)
3. 腦力激盪(brain storming)
4. problem-based learning
5. inductive reasoning
二、問答題 (50分)
1.試說明如何以問題解決(problem-solving)教學法設計一個實驗課程，設計其流程，並說明在實驗中相
關的科學過程技能(science process skills)。

(30分)
2.奧斯貝(D. Ausubel)的認知論之核心概念為「有意義的學習」（meaningful learning），請說明其所
謂「有意義的學習」的涵義為何？ 又奧斯貝指出欲達成有意義的學習所需具備的條件為何？試舉出這
些條件並說明之。

(20分)
--- END---。

1. Transmission through a potential barrier.(a) (10%) Derive expression for the reflection and transmission coefficients for a particle beam of energy E incident on a potential barrier V(x)),()(x A x V δ=where A is a constant.(b) (10 %) If the potential barrier is)}()({)(a x x A x V −+=δδwhere .0>a Derive the transmission coefficient. (c) (5%) If the potential barrier is)}()({)(a x x A x V −−=δδwhere .0>a Derive the transmission coefficient.2. Two angular momenta L r and S rsatisfy the following commutative relations:p mnp n m p mnp n m S i S S L i L L εε==],[,],[0],[=m n S LThe total angular momentum J v is defined as S L J vv v +=.(a) (5%) Show that the momentum J vsatisfies the following commutativerelations:,],[p mnp n m J i J J ε=(b) (10 %) Show that the total angular momentum 2ˆJ commutes with 3J , 2ˆL and 2ˆS. (c) (5 %) Define the ladder operators 21iJ J J ±=±. Show that±±=J J J m ],[3(d) (5%) What are the possible total spins of the system of two spin 1/2 particles? Write down the so-called the spin singlet and the spin triplet states.¸Û¹ê¬O§Ú-̬õøªº¬ü¼w ¡A§Ú-̳߷R ¡u©Úµ´§@¹ú¡A °í¦u¥¿ª½¡v ªº§A¡I¤¤-ì¤j¾Ç94¾Ç¦~«×³Õ¤h¯Z¤J¾Ç¦Ò¸Õ6¤ë8¤é8:30~10:00À³¥Îª«²z¬ã¨s©Ò¬ì¥Ø¡G ¶q¤lª«²z¡]¦@ 2 -¶²Ä 2-¶¡^¡¼¥i¨Ï¥Î-pºâ¾÷¡A ±©¶È--¤£¨ã¥iµ{¦¡¤Î¦h-«°O¾ÐªÌ¡¼¤£¥i¨Ï¥Î-pºâ¾÷3. (a) (5%) Calculate 123)( where ),(]ˆx ,ˆ[x 2x 2++=x x x f x f p px . (b) (5%) Calculate θθπφcos sin 815Y where ,eigenvalue the find and Y L ˆ2121Z i e −=, (c) (15%) Calculate 212ˆY L and find the eigenvalue , where )sin 1sin sin 1((ˆ22222ϕθθθθθ∂∂+∂∂∂∂=i L h . 4. An electron moves in the presence of a uniform magnetic field in the z-direction (zB B ˆ=v). (a) (10%) Evaluate ],[y x ΠΠ, where c eA p xx x −≡Π, c eA p y y y −≡Π.(b) (15%) By comparing the Hamiltonian and the commutation relation obtainedin (a) with those of the one-dimensional oscillator problem, show how we canimmediately write the energy eigenvalues as 21)((222,++=n mc eB m k E n k h h , where k h is the continuous eigenvalue of the z p operators and n is a non-negative integer including zero.¸Û¹ê¬O§Ú-̬õøªº¬ü¼w ¡A§Ú-̳߷R ¡u©Úµ´§@¹ú¡A °í¦u¥¿ª½¡v ªº§A¡I。

94年9月16日 第78C 節 15:10~18:10 科目名稱：分析通論 請同學依題號順序作答，並須註明題號。

（共 1 頁，第 1 頁）1. Let ()μ,,ΩX be a measure space.(a) Prove Fatou ’s Lemma, that is, if ],0[:∞→X f n is measurable, for each positive integer n , then ().inf lim inf lim μμd f d f n X n n n X ⎰⎰∞→∞→≤ (10%) (b) Let 0)(>E μ and 0)(>c E μ where c E is the complement of E in X . Construct a sequence }{n f of nonnegative measurable functions such that ().inf lim inf lim μμd f d f n X n n n X ⎰⎰∞→∞→< (10%)2. (a) Let }{n f be a sequence of continuous functions on [0,1] such that 10≤≤n f and suchthat 0)(→x f n as ∞→n , for every ]1,0[∈x . Prove that ⎰=∞→0)(lim 10dx x f n n . (10%) (b) Construct a sequence }{n f of continuous functions on [0,1] such that 10≤≤n f , such that ⎰=∞→0)(lim 10dx x f n n , but such that the sequence )}({x f n converges for no ]1,0[∈x . (10%)3. Let ()μ,,ΩX be a measure space with 1)(=X μ.(a) Prove that if ∞<<≤q p 1 then )()(μμp q L L ⊂. (10%)(b) Prove that if )(μ∞∈L f then ∞∞→=f f p p lim . (10%)4. State, without proof, the following theorems. (20%)(a) Hahn-Banach Extension Theorem.(b) Baire ’s Category Theorem.(c) Banach-Steinhaus Theorem (Uniform Boundedness Principle).(d) Open Mapping Theorem.5. Let ),(ΩX be a measurable space. Recall that if μ is a complex measure on Ω with ||μμh = where 1||=h then ⎰⎰=||:μμfhd fd X X ()|)(|1μL f ∈. (a) Prove that if μ is a complex measure on Ω then ⎰=μχμd E E X )( )(Ω∈E . (10%) (b) Prove that if f is a bounded measurable function on X , if α is a complex number and if λμ, are complex measures on Ω, then⎰⎰⎰+=+λμαλαμfd fd fd X X X )(. (10%)。

中原大學95學年度轉學考招生入學考試7月12日14:00~15:30 理工群組二年級、資工二 科目： 普通物理 （共 6 頁第 1 頁） ;可使用計算機，惟僅限不具可程式及多重記憶者 □不可使用計算機ㄧ.單選題（每題2分；共30分）1. 一個女孩以等速率沿著一水平圓圈慢跑，在5.0 s 中，她跑了四分之ㄧ圈，沿著圓周的距離剛好是25 m ，則她的加速度的大小為（A ）0.31 m/s 2 （B ）1.3 m/s 2 （C ）1.6 m/s 2 （D ）3.9 m/s 22. 質量為1000 kg 的汽車上的駕駛員，想要以10 m/s 的速率，在半徑為100 m ，未傾斜的圓形路面上轉彎，若車胎與路面之間真正的摩擦力的大小為900 N ，則此部車子( A )滑進彎曲路面裡頭（B ）成功地轉了彎（C ）由於摩擦力的緣故減慢了速率（D ）滑出彎曲路面外頭3. 金星的質量大約是地球質量的0.0558倍，金星的直徑大約是地球直徑的0.381倍，則在金星表面附近的自由落體加速度大約為（A ）0.21 m/s 2（B ）1.4 m/s 2（C ）2.8 m/s 2（D ）3.8 m/s 24. 忽略空氣阻力，質量為1.0 kg 的拋射體在地表附近的脫離速度大約為11 km/s ，則質量為2.0 kg 的拋射體所對應的脫離速度為（A ）11 km/s （B ）5.5 km/s （C ）7.1 km/s （D ）3.5 km/s誠實是我們珍視的美德， 我們喜愛「拒絕作弊，堅守正直」的你！5.一顆小鋼球浮在一個裝半滿水銀的容器中，當水被加入容器時，（A）球將浮在水中（B）球將稍微上升（C）水銀將浮在水上（D）球將沉入容器底部6. 一個粒子做簡諧運動的週期為T，在時間t=0時，它位於平衡點，則下列哪一個時刻，此粒子距離平衡點最遠？（A）0.5 T （B）0.7 T（C）T （D）1.4 T7. 一個彈簧掛著木塊的系統，以振幅A進行水平的簡諧振盪，當位移是下列那一個時，動能等於位能？( A ) 0 ( B ) ±A/4 ( C ) ±A/2 ( D ) ±A/28. 當一塊錢銅幣的溫度上升100 °C時，它的直徑增加了0.17 %，則它的一個面的面積增加了( A ) 0.17 % ( B ) 0.34 % ( C ) 0.51 % ( D ) 0.13 %9. 相同的熱能Q進入四種不同的物質，導致( A ) 3 g的物質(A)的溫度上升了10 K( B ) 4 g的物質(B)的溫度上升了4 K( C ) 6 g的物質(C)的溫度上升了15 K( D ) 8 g的物質(D)的溫度上升了6 K則那個物質具有最大的比熱？10. 一個卡諾熱機在400 K及500 K的兩個熱庫之間操作，其熱效率為( A )20 % ( B ) 25 % ( C ) 44 % ( D ) 79 %11. 在一摩耳的氦原子中，所有電子所帶的負電量的大小為( A ) 4.8×104 C ( B ) 9.6×104 C ( C ) 1.9×105 C ( D ) 3.8×105 C12. 一個具有電量5×10-6 C，質量20 g的粒子，環繞著一個具電量-5×10-6 C的靜止粒子做等速率圓周運動，若速率為7 m/s，則軌道半徑為( A ) 0 ( B ) 0.23 m ( C ) 0.62 m ( D ) 1.6 m13. 一個導體球殼帶有10 C的電量，若將具有-3 C電量的粒子放在殼心上，則球殼外表面上的電量為（A）-7 C （B）-3 C（C）+7 C（D）+3 C14. 一個正在xy平面運動的電子，在某瞬間的速度分量為：v x= 5x105m/s，v y=3x105 m/s，若在正x方向的磁場大小為0.8 T，則在此瞬間，作用在電子的磁力的大小為（A）0（B）2.6×10-14 N（C）3.8×10-14 N（D）6.4×0-14 N15. 在楊氏雙狹縫實驗中，若將狹縫間距加倍，而欲使銀幕上的條紋間隔保持相同，則狹縫到銀幕的距離D必須改變成（A）D/2（B）D/2（C）2 D（D）2 D7月12日14:00~15:30 理工群組二年級、資工二科目： 普通物理 （共 6 頁第 4 頁）二. 填空題 (每格3分,共45分)1. 位於xy平面的某向量，x分量為4 m，y分量為10 m。