初二数学二次根式竞赛题

人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值（含答案）【例1】 化简（1(ba b ab b -÷--（2（3（4解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例2】 比6大的最小整数是多少？解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y ==想一想：设x =求432326218237515x x x x x x x --++-++的值.的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例3】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例4】 （1的最小值.（2的最小值.解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例5】 设2)m a =≤≤，求1098747m m mm m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.若满足0＜x＜y=x，y）是_______2.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞03）A．1B C. D. 54、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个5、化简：（1（2（3（4（56、设x =(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值.77x =，求x 的值.B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则.2.已知42______1x x x ==++2x 那么.3.a =那么23331a a a++＝＿＿＿＿＿.4. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 85． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b6.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 7. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A .1B .2C .3D . 48． 把(1)a - ）A .B C. D .9、化简：（110099+（2（310、设01,x << 1≤<.12、已知a, b, c为有理数，证明：222a b ca b c++++为整数.参考答案例1 (1)⎤(2)+5．(3)3-；（4-++＝-．例2 x＋y＝，xy＝1，于是x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝，x6＋y6＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582 ．∵01，从而0＜6＜1，故10 581＜6＜10 582．例 3 x＝－y…①；同理，y＝x…②．由①＋②得2x＝－2y，x＋y＝0．例4 (1)构造如图所示图形，P A PB．作A关于l的对称点A'，连A'B交l于P，则A'B13为所求代数式的最小值．(2)设yA(x，0)，B(4，5)，C(2，3)．作C关于x轴对称点C1，连结BC1交x轴于A点．A即为所求，过B作BD⊥CC1于D点，∴AC＋AB＝C1B＝例 5 m＝＋＝．∵1≤a≤2，∴01，∴－11≤0，∴m＝2．设S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S＝211－2－94＋47＝1 999．A级1．(17，833)，(68，612)，( 153，420) 2．B 3．C4．A 5．(1)()2x yx y+-(2)22-(4) 6．48提示：由已知得x2＋5x＝2，原式＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)．7．由题设知x＞0，(＋)(－)＝14x．∴－＝2，∴2＝7x＋2，∴21x2－8x－48＝0．其正根为x＝127．B级1．642．9553．1提示：∵－1)a＝2－1，即1a－1．4．B提示：由条件得a＋3＋a＝3，b＝1，∴a＋b＝4．5．B提示：a－b－11＝0．同理c－a＞0 6．B 7．B 8．D提示：注意隐含条件a－1＜0．9．(1)910提示：考虑一般情形＝－(2)原式＝8153+＝2+(3)210．构造如图所示边长为1的正方形ANMD，BCMN．设MP＝x，则CPAP，AC，AM AC≤PC＋P A＜AM＋MC，，则≤＋＜1＋11．设y＝－＝，设A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求AB的解析式为y＝x＋1，易证当C在直线AB上时，y有最大值，即当y＝0，x＝－1，∴C(－1，0)，∴y＝12b c+-＝)22233ab bc b acb c-+--为有理数，则b2 －ac＝0．又a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝()2cba++－2b（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）（a－b＋c），∴原式＝a－b＋c为整数．。

人教版八年级数学下册第16章二次根式经典好题专题训练（附答案）1．下列二次根式中，能与合并的是（ ）A．B．C．D．2．下列等式正确的是（ ）A．＝3B．＝﹣3C．＝3D．＝﹣3 3．已知a＝+2，b＝﹣2，则a2+b2的值为（ ）A．4B．14C．D．14+44．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≤1B．x＜1C．x＞1D．x≥1 5．若，，则x与y关系是（ ）A．xy＝1B．x＞y C．x＜y D．x＝y6．+（）2的值为（ ）A．0B．2a﹣4C．4﹣2a D．2a﹣4或4﹣2a7．设，，则a、b的大小关系是（ ）A．a＝b B．a＞b C．a＜b D．a+b＝08．若x＝2﹣5，则x2+10x﹣2的值为（ ）A．10+1B．10C．﹣13D．19．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞且x≠3B．x≥C．x≥且x≠3D．x≤且x≠﹣310．若实数x、y满足：y＝++，则xy＝ ．11．若有意义，则x的取值范围为 ．12．若x＝+1，y＝﹣1，则的值为 ．13．计算的结果是 ．14．计算（﹣）×的结果为 ．15．已知a+b＝﹣8，ab＝6，则的值为 ．16．已知实数a满足+|2020﹣a|＝a，则a﹣20202＝ ．17．化简﹣（）2的结果是 ．18．已知y＝+﹣，则x2021•y2020＝ ．19．若x＝3+，y＝3﹣，则x2+2xy+y2＝ ．20．如果＝，则a的取值范围是 ．21．当b＜0时，化简＝ ．22．计算：（1）2•÷5；（2）．23．24．已知x＝．（1）求代数式x+；（2）求（7﹣4）x2+（2﹣）x+的值．25．先化简，再求值：（+）﹣（+），其中x＝，y＝27．26．解答下列各题．（1）已知：y＝﹣﹣2019，求x+y的平方根．（2）已知一个正数x的两个平方根分别是a+2和a+5，求这个数x．27．已知．（1）求代数式m2+4m+4的值；（2）求代数式m3+m2﹣3m+2020的值．28．已知关于x、y的二元一次方程组，它的解是正数．（1）求m的取值范围；（2）化简：．参考答案1．解：A、不能与合并，本选项不合题意；B、＝＝2，不能与合并，本选项不合题意；C、＝＝2，不能与合并，本选项不合题意；D、＝＝2，能与合并，本选项符合题意；故选：D．2．解：A、（）2＝3，本选项计算正确；B、＝3，故本选项计算错误；C、＝＝3，故本选项计算错误；D、（﹣）2＝3，故本选项计算错误；故选：A．3．解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝（+2+﹣2）＝2，ab＝（+2）（﹣2）＝﹣1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（2）2﹣2×（﹣1）＝14，故选：B．4．解：∵式子在实数范围内有意义，∴≥0，∴1﹣x＞0，∴x的取值范围是x＜1．故选：B．5．解：∵＝＝2+，，∴x＝y．故选：D．6．解：要使有意义，必须2﹣a≥0，解得，a≤2，则原式＝2﹣a+2﹣a＝4﹣2a，故选：C．7．解：a＝（﹣）2＝3，b＝＝3，则a＝b，故选：A．8．解：x2+10x﹣2＝x2+10x+25﹣27＝（x+5）2﹣27，当x＝2﹣5时，原式＝（2﹣5+5）2﹣27＝28﹣27＝1，故选：D．9．解：由题意得，3x﹣2≥0，x﹣3≠0，解得，x≥且x≠3，故选：C．10．解：由题意得，x﹣4≥0，4﹣x≥0，解得，x＝4，则y＝，∴xy＝4×＝2，故答案为：2．11．解：由题意得：1﹣2x≥0，且x+1≠0，解得：x≤且x≠﹣1，故答案为：x≤且x≠﹣1．12．解：∵x＝+1，y＝﹣1，∴x+y＝（+1）+（﹣1）＝2，则＝＝＝＝，故答案为：．13．解：﹣4＝3﹣2＝，故答案为：．14．解：（﹣）×＝×﹣×＝4﹣＝3．故答案为：3．15．解：∵a+b＝﹣8，ab＝6，∴a＜0，b＜0，∴+＝﹣﹣＝﹣×＝﹣×（）＝，故答案为：．16．解：要使有意义，则a﹣2021≥0，解得，a≥2021，∴+a﹣2020＝a，∴＝2020，∴a＝20202+2021，∴a﹣20202＝2021，故答案为：2021．17．解：要使有意义，则1﹣x≥0，解得，x≤1，则﹣（）2＝﹣（1﹣x）＝2﹣x﹣1+x＝1，故答案为：1．18．解：由题意得，x﹣2≥0，2﹣x≥0，解得，x＝2，则y＝﹣，∴x2021•y2020＝x•x2020•y2020＝2×（﹣×2）2020＝2，故答案为：2．19．解：x+y＝3++3﹣＝6，∴x2+2xy+y2＝（x+y）2＝62＝36，故答案为：36．20．解：∵＝，∴a﹣5≥0，且6﹣a≥0，∴5≤a≤6，则a的取值范围是5≤a≤6．故答案为：5≤a≤6．21．解：当b＜0时，＝＝﹣b．故答案为：﹣b ．22．解：（1）原式＝4••＝；（2）原式＝（6×﹣5×）（×2﹣）＝（3﹣）（﹣）＝3﹣6﹣+＝﹣．23．解：原式＝5+（24﹣3）﹣（27﹣6+2）＝5+21﹣29+6＝6﹣3．24．解：（1）x ＝＝＝2+，则＝2﹣，∴x +＝2++2﹣＝4；（2）（7﹣4）x 2+（2﹣）x +＝（7﹣4）（2+）2+（2﹣）（2+）+＝（7﹣4）（7+4）+（2﹣）（2+）+＝49﹣48+4﹣3+＝2+．25．解：原式＝6x ×+×y ﹣4y ×﹣6＝6+3﹣4﹣6＝﹣，当x ＝，y ＝27时，原式＝﹣＝﹣＝﹣3．26．解：（1）由题意得，x ﹣2020≥0，2020﹣x ≥0，解得，x ＝2020，则y ＝﹣2019，∴x +y ＝2020﹣2019＝1，∵1的平方根是±1，∴x +y 的平方根±1；（2）由题意得，a +2+a +5＝0，解得，a ＝﹣，则a +2＝﹣+2＝﹣，∴x＝（﹣）2＝．27．解：（1）m2+4m+4＝（m+2）2，当m＝﹣1时，原式＝（﹣1+2）2＝（+1）2＝3+2；（2）∵m＝﹣1，∴m+1＝，∴m3+m2﹣3m+2020＝m3+2m2+m﹣m2﹣4m+2020＝m（m+1）2﹣m2﹣4m+2020＝2m﹣m2﹣4m+2020＝﹣m2﹣2m﹣1+2021＝﹣（m+1）2+2021＝﹣2+2021＝2019．28．解：（1）解关于x、y的二元一次方程组，得，∵方程组的解是一对正数，∴，解得；（2），当时，m﹣2＜0，m+1＞0，m﹣1＜0，∴＝2﹣m﹣（m+1）﹣（1﹣m）＝2﹣m﹣m﹣1﹣1+m＝﹣m；当时，m﹣2＜0，m+1＞0，m﹣1≥0，∴＝2﹣m﹣（m+1）﹣（m﹣1）＝2﹣m﹣m﹣1﹣m+1＝2﹣3m．。

二次根式测试题及答案一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1、下列式子一定是二次根式的是（）A √xB √x²+1C √x² 1D √1 ／ x答案：B解析：二次根式的被开方数必须是非负数。

选项 A 中，当 x ＜ 0 时，√x 无意义；选项 C 中，当－1 ＜ x ＜ 1 时，x² 1 ＜ 0 ，√x² 1 无意义；选项 D 中，当 x ＜ 0 时，√1 ／ x 无意义。

而对于选项 B，因为x² ≥ 0 ，所以 x²＋1 ≥ 1 ，√x² ＋ 1 一定有意义。

2、若√（2 a)²＝ a 2 ，则 a 的取值范围是（）A a ＜ 2B a ＞2C a ≤ 2D a ≥ 2答案：D解析：因为√（2 a)²＝｜2 a| ，而√（2 a)²＝ a 2 ，所以｜2 a|＝ a 2 ，即2 a ≤ 0 ，解得a ≥ 2 。

3、下列计算正确的是（）A √2 ＋√3 ＝√5B 2 ＋√2 ＝2√2C 3√2 √2 ＝3D √2 × √3 ＝√6答案：D解析：选项 A，√2 与√3 不是同类二次根式，不能合并；选项 B，2 与√2 不是同类二次根式，不能合并；选项 C，3√2 √2 ＝2√2 。

4、化简√（ 5)²的结果是（）A 5B 5C ± 5D 25答案：A解析：√（ 5)²＝｜ 5| ＝ 5 。

5、若√x 1 ＋√1 x ＝ 0 ，则 x 的值为（）A 0B 1C 1D 2答案：B解析：因为二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，所以 x 1 ≥ 0 且1 x ≥ 0 ，解得 x ＝ 1 。

6、下列二次根式中，最简二次根式是（）A √1 ／2B √02C √2D √20答案：C解析：选项 A，√1 ／ 2 ＝√2 ／ 2 ；选项 B，√02 ＝√1 ／ 5 ＝√5 ／ 5 ；选项 D，√20 ＝2√5 。

初二数学二次根式试题答案及解析1.要使代数式有意义,则x的取值范围是( )A．x≥2B．x≥-2C．x≤-2D．x≤2【答案】A．【解析】根据题意，得x-2≥0，解得，x≥2；故选A．【考点】二次根式有意义的条件.2.下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】A. 不能计算，故A选项错误；B. ，故B选项正确；C. ，故C选项错误；D. ，故D选项错误.故选B．【考点】二次根式的混合运算．3.下列各式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.因此，A、=3，不是最简二次根式，故A选项错误；B、是最简二次根式，符合题意，故B选项正确；C、，不是最简二次根式，故C选项错误；D、，不是最简二次根式，故D选项错误；故选B.【考点】最简二次根式.4.化简的结果是（）A．-3B．3C．±3D．【答案】B．【解析】.故选B．【考点】二次根式化简.5.下列说法正确的是（）A．带根号的数都是无理数B．无理数都是无限小数C．是无理数D．无限小数都是无理数【答案】B.【解析】A、如，是有理数不是无理数，故本选项错误；B、无理数都是无限小数，故本选项正确；C、是有理数，故本选项错误；D、无限不循环小数是无理数，故本选项错误.故选B.考点: 无理数.6.（1）计算： (2)解方程组：【答案】（1）；（2）方程组的解为：．【解析】（1）根据二次根式混合运算的运算顺序计算即可；（2）先用加减消元法求出x的值，再用代入消元法求出y的值即可．试题解析：（1）；（2）②－①×3得x=5，把x=5代入①得，10﹣y=5，解得y=5，故此方程组的解为：．【考点】1.二次根式的运算，2.解方程组．7.已知实数满足，则代数式的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，知所以8.有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的=64时，输出的y等于（）A．2B．8C．3D．2【答案】D【解析】由图表得，64的算术平方根是8，8的算术平方根是2.故选D．9.下列计算中，正确的有（）①=±2 ②=2 ③=±25 ④a=－A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C.【解析】A、任何数的立方根只有一个；B、负数的奇次幂是负数，负数的立方根也是负数；C、非负数的平方根有两个，且互为相反数；D、二次根式的意义可知a＜0，再根据二次根式的性质求解据此作答，进行判断．A、=2，此选项错误；B、=-2，此选项错误；C、=±25，此选项正确；D、a=－故选C．【考点】1.立方根；2.平方根；3.算术平方根．10.若，则的值为（）A．6B．2C．－2D．8【答案】B【解析】由题，得(x-2)2="0," =0,x=2,y=4,故==2,选B.非负数和等于零,要求每一项都要等于零,由题，得(x-2)2="0," =0,x=2,y=4,故==2,选B.【考点】非负数和等于零.11.计算：（1）；（2）sin30°+cos30°•tan60°．【答案】（1）；（2）2【解析】（1）根据二次根式的乘除法法则计算即可；（2）根据特殊角的锐角三角函数值计算即可.解：（1）原式；（2）原式.【考点】实数的运算点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分.12.若x、y为正实数，且x+y=12那么的最小值为 .【答案】13【解析】若x、y为正实数，且x+y=12，那么y=12-x；因此=；设S=，则==；所以S【考点】最值点评：本题考查最值，解答本题的关键是掌握求代数式最值的方法，本题难度较大，计算量比较13.计算：3÷的结果是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，选A【考点】实数运算点评：本题难度较低，主要考查学生对实数运算知识点的掌握。

二次根式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)4+15+4-15=．2(2024·全国·九年级竞赛)已知x为实数，则x-2+4-x的最大值为．3(2024·全国·八年级竞赛)定义一种新的运算“@”：x@y=ax+by，其中a、b为常数，且使得等式a-2-8-4a+a b=12恒成立，那么2@3=．4(2024·全国·八年级竞赛)计算：2+520172-52017=．5(2024·全国·八年级竞赛)若不等式x+4+x-1≥a-x-2-2对任意实数x都成立，则a的最大值为．6(2024·全国·八年级竞赛)计算12×1327+75+313-48-24-3232=．7(2024·全国·八年级竞赛)计算：2009×2010×2011×2012+1-2009=．8(2024·全国·八年级竞赛)化简：-(x+1)2=．9(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x满足20122-4024x+x2+x-2013=x，则x-20122=．10(2024·全国·八年级竞赛)计算：1+20092+2009220102-12010=．11(2024·全国·八年级竞赛)5+26+5-26=．12(2024·全国·八年级竞赛)计算：(π+999)0-12+-3+8+(-1)3+(2+1)23-22=．13(2024·全国·九年级竞赛)已知正整数a、b满足等式a+b=369，则a-b=．14(2024·全国·七年级竞赛)计算：1-2+2-3+3-4+⋅⋅⋅+2016-2017=．15(2024·全国·九年级竞赛)计算：9+18-27=．16(2024·全国·八年级竞赛)若实数a满足a-8+a-2015=a，则a=．17(2024·全国·八年级竞赛)已知-2<x<3，则x2-6x+9-x2+4x+4化简为．二、单选题18(2021·全国·九年级竞赛)设n,k为正整数，A1=(n+3)(n-1)+4,A2=(n+5)A1+4,A3=(n+7)A2+4，A4=(n+9)A3+4,⋯,A k=(n+2k+1)A k-1+4,⋯，已知A100=2005，则n的值为( )．A.1806B.2005C.3612D.410019(2011·湖北黄冈·九年级竞赛)设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是4-23，则a2+b2 ab的值为()A.2B.0C.-2D.-120(2024·全国·八年级竞赛)若二次根式x-2在实数范围内没有意义，则x的取值范围是() A.x<2 B.x≤2 C.x>2 D.x≥221(2024·全国·八年级竞赛)已知13-7的整数部分是m，小数部分是n，则m m+7n+mn的值为()A.10B.7C.6D.422(2024·全国·九年级竞赛)若1±72是关于x 的一元二次方程a (x -b )2=7a ≠0 的两根，则ab的值为()A.18B.8C.2D.9223(2024·全国·八年级竞赛)已知75m 是整数，则满足条件的最小正整数m =( )．A.5B.0C.3D.7524(2021·全国·九年级竞赛)已知实数a ≠b ，且满足a +1 2=3-3a +1 ,b +1 2=3-3b +1 ，则bb a+aa b的值为()A.23B.-23C.-2D.-13三、解答题25(2024·全国·八年级竞赛)若m 满足关系式2x +3y +4x +5y -m =x -2012+y +2012-x -y ，求m 的值．26(2024·全国·八年级竞赛)设等腰三角形的腰为a ，底边为b ，底边上的高为h ．(1)如果a =6+3，b =6+43，求h ；(2)如果b =46+2，h =26-1，求a ．27(2024·全国·八年级竞赛)先化简，再求值：(2x -1)2-(3x +2)(3x -2)+(5x -4)(x +2)，其中x =2．28(2024·全国·八年级竞赛)已知：y =3x -15+15-3x +4，求2x +y 2-2x +y 2x -y ÷2y -12y 的值．29(2024·全国·八年级竞赛)已知a =4-15，求：(1)a -1a；(2)a 5-6a 4-16a 3+7a 2+23a -4 2008．30(2024·全国·八年级竞赛)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a-2+b2-10b+25=0．(1)求△ABC第三边c的取值范围；(2)求△ABC的周长l的取值范围；(3)若△ABC为等腰三角形，你能求出△ABC的周长吗？二次根式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)4+15+4-15=．【答案】10【分析】本题考查二次根式的运算，将式子进行平方，运用完全平方公式展开后化简，即可解答．【详解】∵4+15+4-152=4+152+24+15⋅4-15+4-152=4+15+216-15+4-15=8+2=10，又4+15>0，4-15>0∴4+15+4-15=10．故答案为：10．2(2024·全国·九年级竞赛)已知x为实数，则x-2+4-x的最大值为．【答案】2【分析】本题考查二次根式有意义的条件和配方法，掌握被开方数为非负数和配方法是解题关键．先确定x的取值范围，然后利用配方法分析其最值．【详解】解：由题意可得x-2≥04-x≥0，解得2≤x≤4，令y=x-2+4-x y≥0，则y2=x-2+4-x2=x-2+2x-24-x+4-x=2+2-x2+6x-8=2+2-x-32+1∵0≤-x-32+1≤1∴y2的最大值为4，∴y的最大值为2，即x-2+4-x的最大值为2．故答案为：2．3(2024·全国·八年级竞赛)定义一种新的运算“@”：x@y=ax+by，其中a、b为常数，且使得等式a-2-8-4a+a b=12恒成立，那么2@3=．【答案】1【分析】本题考查了二次根式的意义，幂的运算，求代数式的值，正确理解二次根式的意义是解答本题的关键．先根据二次根式的意义列出不等式组并求解，得到a=2，再代入方程求出b的值，从而得到x@y=2x -y，依此即可求得答案．【详解】根据题意得a-2≥08-4a≥0 ，∴a≥2 a≤2 ，∴a=2，将a=2代入a-2-8-4a+a b=12得0-0+2b=12，解得b=-1，∴x@y=2x-y，∴2@3=2×2-3=1．故答案为：1．4(2024·全国·八年级竞赛)计算：2+520172-52017=．【答案】-1【分析】本题主要考查了分式混合运算，平方差公式和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据相关的运算法则进行计算即可．【详解】解：2+520172-52017=2+52-52017=4-52017=-12017=-1．故答案为：-1．5(2024·全国·八年级竞赛)若不等式x+4+x-1≥a-x-2-2对任意实数x都成立，则a的最大值为．【答案】8【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，根据题设借助绝对值的几何意义得x+4+x-2有最小值为6，又由x-1≥0得出当x=1时，x+4+x-2+x-1的最小值为6，然后由不等式恒成立即可求解．【详解】解：x+4+x-1≥a-x-2-2，∴x+4+x-2+x-1≥a-2当-4≤x≤2时，x+4+x-2有最小值为6，∵x-1≥0，∴当x=1时，x+4+x-2+x-1的最小值为6，∴6≥a-2，∴解得a≤8，∴a的最大值为8，故答案为：8．6(2024·全国·八年级竞赛)计算12×1327+75+313-48-24-3232=．【答案】12【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，解题的关键是掌握运算法则．【详解】解：原式=23×13×33+53+3×33-43-26-3×632=23×33-6=12．7(2024·全国·八年级竞赛)计算：2009×2010×2011×2012+1-2009=．【答案】2010【分析】本题考查整式的混合运算、二次根式的性质，设参数计算是解答的关键．设a=2009，利用整式的混合运算法则和二次根式的性质是解答的关键．【详解】解：记a=2009，则原式=a a+1+1-aa+3a+2=a a+3+1-aa+2a+1=a2+3a+1-aa2+3a+2=a2+3a2+2a2+3a+1-a=a2+3a+12-a=a2+3a+1-a=a+12=a+1=2010，故答案为：2010．8(2024·全国·八年级竞赛)化简：-(x+1)2=．【答案】0【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由被开方数为非负数得到-x+12≤0，可确2≥0，即x+1定x+12=0，进而求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：由题意可得，-(x+1)2≥0，∴x+12≤0∴(x+1)2=0，∴-x+12=0=0，故答案为：0．9(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x满足20122-4024x+x2+x-2013=x，则x-20122=．【答案】2013【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得x-2013=2012，然后两边平方即可求解．【详解】解：∵x-2013≥0，∴x≥2013，∴x>2012．∵20122-4024x+x2+x-2013=x，∴2012-x2+x-2013=x，∴2012-x+x-2013=x，∴x-2012+x-2013=x，∴x-2013=2012，即x-2013=20122，故x-20122=2013．故答案为：2013．10(2024·全国·八年级竞赛)计算：1+20092+2009220102-12010=．【答案】2009【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式化简，熟练巧用完全平方公式是解本题的关键；首先化简为完全平方公式形式，然后根据二次根式开方即可解答．【详解】解：1+20092+20092 20102-12010=1+2010-12+20092 20102-12010=1+20102-2×2010+1+2009220102-1 2010=20102-2×2010+2+200920102-12010=20102-2×2010-1+200920102-12010=20102-2×2009+200920102-12010=2010-200920102-12010=2010-20092010-1 2010=2009．故答案为：2009．11(2024·全国·八年级竞赛)5+26+5-26=．【答案】23【分析】本题考查二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键．把原式化为3+22+3-22，再利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：5+26+5-26=3+22+3-22=3+2+3-2=23，故答案为：23．12(2024·全国·八年级竞赛)计算：(π+999)0-12+-3+8+(-1)3+(2+1)23-22=．【答案】22-3+1【分析】本题主要考查了二次根式的运算，先将二次根式化简，再根据二次根式的运算法则计算即可．【详解】原式=1-23+3+22-1+(3+22)(3-22)=22-3+(9-8)=22-3+1.故答案为：22-3+1．13(2024·全国·九年级竞赛)已知正整数a、b满足等式a+b=369，则a-b=．【答案】123或-123【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先把369化成最简二次根式，再把满足正整数a、b的所有值列举出来代入计算即可．【详解】解：∵369=341，正整数a、b满足等式a+b=369，∴a=41，b=241，即a=41,b=164，或a=241，b=41，即a=164,b=41，∴a-b=41-164=-123或a-b=164-41=123，故答案为：123或-123．14(2024·全国·七年级竞赛)计算：1-2=．+2-3+⋅⋅⋅+2016-2017+3-4【答案】2017-1/-1+2017【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可．【详解】解：1-2+⋯+2016-2017+3-4+2-3=2-1+3-2+4-3+⋯+2017-2016=2017-1．故答案为：2017-1．15(2024·全国·九年级竞赛)计算：9+18-27=．【答案】3+32-33【分析】本题考查二次根式的加减运算，理解二次根式的性质，准确化简各数是解题关键．直接根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：9+18-27=3+32-33故答案为：3+32-33．16(2024·全国·八年级竞赛)若实数a满足a-8+a-2015=a，则a=．【答案】2079【分析】本题考查二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根，熟知二次根式有意义的条件是解答的关键．先求得a≥2015，则a-8=a-8，进而得到a-2015=8，然后求解即可．【详解】解：依题意得a-2015≥0，则a≥2015，∴a-8=a-8，∴原式化为a-8+a-2015=a，即a-2015=8，得a-2015=64，∴a=2079．故答案为：2079．17(2024·全国·八年级竞赛)已知-2<x<3，则x2-6x+9-x2+4x+4化简为．【答案】1-2x【分析】先判断出x-3<0,x+2>0，再根据二次根式的性质化简原式即可．此题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：∵-2<x<3，∴x-3<0,x+2>0，∴x2-6x+9-x2+4x+4=x-32-x+22=x-3-x+2=3-x-x-2=1-2x故答案为：1-2x二、单选题18(2021·全国·九年级竞赛)设n,k为正整数，A1=(n+3)(n-1)+4,A2=(n+5)A1+4,A3= (n+7)A2+4，A4=(n+9)A3+4,⋯,A k=(n+2k+1)A k-1+4,⋯，已知A100=2005，则n的值为( )．A.1806B.2005C.3612D.4100【答案】A【详解】A1=[(n+1)+2][(n+1)-2]+4=(n+1)2-22+4=(n+1)2=n+1，A2=[(n+3)+2][(n+3)-2]+4=(n+3)2-22+4=(n+3)2=n+3，A3=[(n+5)+2][(n+5)-2]+4=(n+5)2-22+4=(n+5)2=n+5，同理A4=n+7,A5=n+9,⋯,A100=n+2×100-1=n+199=2005⇒n=2005-199=1806．故选：A．19(2011·湖北黄冈·九年级竞赛)设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是4-23，则a2+b2 ab的值为()A.2B.0C.-2D.-1【答案】C【分析】先化简4-23，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a 和b的值，再代入计算即可．【详解】解：4-23=32-23+1==3-12=3-1．∵方程x2+ax+b=0的一根是4-23，∴4-232+4-23a+b=0．∴3-12+3-1a+b=0．∴a-23+4-a+b=0．∵a、b是整数，∴a-2=0,4-a+b=0．解得a=2, b=-2．∴a2+b2ab =22+-222×-2=-2．故选：C．【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程组是解题关键．20(2024·全国·八年级竞赛)若二次根式x-2在实数范围内没有意义，则x的取值范围是() A.x<2 B.x≤2 C.x>2 D.x≥2【答案】A【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式没有意义的条件可得x-2<0，再解不等式即可，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.【详解】解：二次根式x -2在实数范围内没有意义，∴x -2<0，解得：x <2故选：AD ．21(2024·全国·八年级竞赛)已知13-7的整数部分是m ，小数部分是n ，则m m +7n +mn 的值为()A.10B.7C.6D.4【答案】A 【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，代数式求值，先根据无理数的估算求出m ，n 的值，再代入进行求解即可．【详解】解：13-7=3+73+7 3-7=3+72，∵4<7<9，∴2<7<3，∴2.5<3+72<3，∴m =2，n =3+72-2，∴m m +7n +mn =22+7×3+72-2 +2×3+72-2 =10，故选：A ．22(2024·全国·九年级竞赛)若1±72是关于x 的一元二次方程a (x -b )2=7a ≠0 的两根，则a b 的值为()A.18 B.8 C.2 D.92【答案】B【分析】本题考查了根与系数的关系．先整理成一般式，利用根与系数的关系分另求得b 和a 的值，再代入求解即可．【详解】解：方程a (x -b )2=7整理得ax 2-2abx +ab 2-7=0，∵1±72是关于x 的一元二次方程a (x -b )2=7a ≠0 的两根，∴1+72+1-72=1=--2ab a=2b ，∴b =12，1+72⋅1-72=-32=ab 2-7a ，∴-32=12 2-7a，∴a =4，∴a b =412=8．故选：B ．23(2024·全国·八年级竞赛)已知75m 是整数，则满足条件的最小正整数m =( )．A.5 B.0 C.3 D.75【答案】C【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解75m 什么情况下为正整数．【详解】解：∵75m =52×3m ，∴3m 是一个平方数，∴正整数m 最小是3，故选：C ．24(2021·全国·九年级竞赛)已知实数a ≠b ，且满足a +1 2=3-3a +1 ,b +1 2=3-3b +1 ，则b b a +a a b 的值为()A.23B.-23C.-2D.-13【答案】B【分析】由题意可得a +1,b +1是方程x 2=3-3x 即x 2+3x -3=0的两个根，根据根与系数的关系可得a +1+b +1=-3，a +1 b +1 =-3，整理可得a +b =-5，ab =1，即得a <0，b <0，a 2+b 2=a +b 2-2ab =25-2=23，然后把所求的式子变形后整体代入即可求解.【详解】解：∵a ≠b ，且满足a +1 2=3-3a +1 ，b +1 2=3-3b +1 ，∴a +1，b +1是方程x 2=3-3x 即x 2+3x -3=0的两个根，∴a +1+b +1=-3，a +1 b +1 =-3，整理，得a +b =-5，ab =1，∴a <0，b <0，a 2+b 2=a +b 2-2ab =25-2=23，∴b b a+a a b =-b a ab -a b ab =-b a -a b =-a 2+b 2ab =-23；故选：B .【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值，由题意得出a +b =-5，ab =1，是解题的关键．三、解答题25(2024·全国·八年级竞赛)若m 满足关系式2x +3y +4x +5y -m =x -2012+y +2012-x -y ，求m 的值．【答案】4024【分析】本题考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，得到x +y =2012是关键．根据二次根式的性质：被开方数是非负数求得2x +3y +4x +5y -m =0，然后根据非负数的性质得到关于x 和y 的方程组，然后结合x +y =2012即可求得m 的值．【详解】解：由x -2012+y ≥02012-x -y ≥0 可得x +y =2012，∴x +y =20122x +3y =04x +5y -m =0 ∴m =4x +5y =2x +y +2x +3y =402426(2024·全国·八年级竞赛)设等腰三角形的腰为a ，底边为b ，底边上的高为h ．(1)如果a =6+3，b =6+43，求h ；(2)如果b =46+2，h =26-1，求a ．【答案】(1)32；(2)52．【分析】此题考查了等腰三角形的基本性质，学会在等腰三角形中构造直角三角形从而应用勾股定理来求解．(1)知道等腰三角形、底边利用等腰三角形高的特殊性质可构成直角三角形，再应用勾股定理求解h 值；(2)知道等腰三角底边和高，同理在等腰三角形中构造直角三角形，利用勾股定理来求a 值．【详解】(1)解：在等腰△ABC 中，由勾股定理知，∵a 2=12b 2+h 2，∴6+3 2=146+43 2+h 2，∴36+123+3=1436+483+48 +h 2，∴39+123=9+123+12+h 2，∴h 2=18，∴h =18=32．(2)解：同理在等腰△ABC 中，由勾股定理知,∵a 2=12b 2+h 2，∴a 2=12×46+22+26-1 2∴a 2=26+1 2+26-1 2∴a 2=50，∴a =52．27(2024·全国·八年级竞赛)先化简，再求值：(2x -1)2-(3x +2)(3x -2)+(5x -4)(x +2)，其中x =2．【答案】2x -3,22-3【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式及多项式乘多项式、整式的加减，熟练掌握并灵活运用它们是本题的关键．分别利用完全平方和、平方差公式、多项式乘多项式的法则、整式加减的运算法则计算即可．【详解】解：原式=4x 2-4x +1-9x 2+4+5x 2+6x -8，=2x -3当x =2时，原式=2x -3=22-3．28(2024·全国·八年级竞赛)已知：y =3x -15+15-3x +4，求2x +y 2-2x +y 2x -y ÷2y -12y 的值．【答案】12【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x =5，进而得出y =4，再化简求值，代入即可得出答案．【详解】解：由3x -15≥0,15-3x ≥0，∴x =5，∴y =4，∴2x +y 2-2x +y 2x -y ÷2y -12y =2x +y 2x +y -2x +y ÷2y -12y=2x+y-12y=2x+12y=12．29(2024·全国·八年级竞赛)已知a=4-15，求：(1)a-1a；(2)a5-6a4-16a3+7a2+23a-42008．【答案】(1)-6(2)1【分析】本题考查完全平方公式，无理数的估算：(1)先根据完全平方公式变形得出a+1a =8，求出a-1a2=6，再估算出0<4-15<1，即0<a<1，最后求出答案即可；(2)将式子变形，再将a2-8a+1=0代入，进而可得出答案．【详解】(1)解：a=4-15，∴a-42=15，∴a2-8a+1=0．∴a+1a=8，∴a-1a2=a+1a-2=8-2=6，∵3<15<4，∴-4<-15<-3，∴0<4-15<1，即0<a<1，∴a-1a<0，∴a-1a=-6．(2)解：∵a5-6a4-16a3+7a2+23a-4=a3a2-8a+1+2a2a2-8a+1-a a2-8a+1 -3a2-8a+1-1=0+0-0-0-1=-1，∴a5-6a4-16a3+7a2+23a-42008=-12008=1．30(2024·全国·八年级竞赛)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a-2+b2-10b+25=0．(1)求△ABC第三边c的取值范围；(2)求△ABC的周长l的取值范围；(3)若△ABC为等腰三角形，你能求出△ABC的周长吗？【答案】(1)3<c<7(2)10<l<14(3)12【分析】本题考查二次根式的非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系：(1)先根据非负性得出∴a=2,b=5，再根据三角形第三边的取值范围即可得出答案；(2)根据周长三边之和，即可得出答案；(3)当c=2时，可知不能构成三角形，当c=5时，求出三边之和即可．【详解】(1)解：a-2+(b-5)2=0，∴a=2,b=5，∵b-a<c<a+b，∴3<c<7．(2)l=a+b+c=7+c，∴10<l<14．(3)c=2时，三边长(2,2,5)不能构成三角形，舍去．∴c=5，l=2+5+5=12．。

初中数学竞赛二次根式竞赛训练题二次根式竞赛训练题一、填空题：1、化简：$\frac{6-2}{6-3-2+1}$= $\frac{4}{2}$= 2.2、已知$\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+a$=$ 5-\frac{1}{a}$，则a= 2.3、若$x^3+8x^2=-x^2+x+8$，则x的取值范围是 $x \in \{-4,-2,1\}$。

4、$3633\times 3635\times 3639\times 3641+36-3636\times 3638$= $133\times 10^8$。

5、设$m,x,y$均为正整数，且$m-28=\frac{22}{x-y}$，则$x+y+m=50$。

6、设关于x的方程$4x-4(a+2)x+a+11=0$的两根为$x_1,x_2$，若$x_1-x_2=3$，则$a$的值为 $a=-\frac{7}{2}$。

7、若$u,v$满足$v=\frac{2u-v}{3v+4u^2}$，那么$u^2-uv+v^2= \frac{5}{9}$。

8、若$x,y,a$都是实数且$x=1-a$，$y=(1-a)(a-1-a^2)$，则$x+y+a=1$。

二、选择题：9、若实数$a,b,c$满足$a+a^2=b+b^2=c-c^2$，那么代数式$b^2-a+b-c^2-2bc+b^2$化简后结果等于（B）$2c-2a$。

10、下列各数中，最小的正数是（A）$10^{-3}-11$。

11、把$(a-1)^{-\frac{1}{2}}$的根号外面的因式移到根号内,则原式等于（C）$-a^{-\frac{1}{2}}$。

12、设$x=2+2^2+2^3+\cdots$，$y=2^2+2^4+2^6+\cdots$，则（D）不能确定。

13、已知$(x+5)^2+(x-4)^2=9$，则$x$的取值范围是(。

专题09 二次根式的概念与性质阅读与思考式子V^（t7>0）叫做二次根式，二次根式的性质是二次根式运算、化简求值的基础，主要有:1. V^>0.说明了需与d 、一样都是非负数.2. （丽）2 = 0 （。

20） •解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化.b>0）.给出了二次根式乘除法运算的法则•6. 若a>b>0,则 乔> 4b >0,反之亦然，这是比较二次根式大小的基础・运用二次根式性质解题应注意：（1） 每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；（2） 要学会性质的“止用”与“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式 的右边变形到等式的左边.例题与求解的值是 ____________ . （“希望杯”邀请赛试题）解题思路：将等式整理成冇理数、无理数两部分，运用冇理数和无理数的性质解题.【例 2】 当 1 <X <2» 经化简，y]x-^- 2>/X — 1 + y]X — 2A /X — 1 = _____解题思路：从化简被开方数入手，注意丽中a 30的隐含制约.（天津市竞赛试题）解题思路：对已知条件变形，求Q, b 的值或探求Q, 的关系.(\兀、L ___X + <1 _ 4- 、兀r ---3十 <3y 都是有理数，且满足方程y-4-7T = 0 ,那么 x-y 3.4. 【例1]设兀, 【例3】若a >0, b >0,且乔（需+丽）=3丽（需+ 5丽），求 2a + 3b + y[aba-b + y[ab的值.y[ab = y/aU>fb ( a 20, b ^0)揭示了与绝对值的内在一致性.【例4】若实数x, y, m满足关系式：yJix + 5y-2-m +』2x + 3y-m = Jx-199 + yR199-x-y ,试确定加的值.（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现（兀一199+y）与（199—x — y）互为相反数，由二次根式的定义、性质探索解题的突破口.【例5】已知a + /? —2』ci — \ b — 2 = 3>/ c — 3—c —5,求G +/?+ C的值.2（山东省竞赛试题）解题思路：题设条件是-•个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式才能确定未知星的值呢?考虑从配方的角度试一试.【例6】在△ABC中，AB, BC, AC三边的长分别为腭，A/T O ,屈,求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网格中画出格点厶ABC（即△A3C三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示.这样不需求AABC的高，而借用网格就能计算出它的面积.（1）_________________________________________ 请你将AABC的面积直接填写在横线上：.（2）我们把上述求AABC面积的方法叫作构图法.若AABC三边的长分别为厉2伍a ,yfna（6/>0），请利用图2中的正方形网格（每个小正方形的边长为d）画出相应的△ABC, 并求出它的面积. _________ ______________ ___________（3）若厶ABC三边的长分别为丁加2+16斤，，79m2+4n2 , 2 Vm2 + n2（m >0, n > 0, Rm/n）试运用构图法求出这个三角形的面积.（咸宁市中考试题）解题思路：本题主要考查三角形的面积、勾股定理等知识，不规则三角形的面积，可通过构造直角三角形、正方形等特殊图形求得.能力训练A 级J 兀 _3| — 21. 要使代数式 ——!—有意义.则兀的取值范围是x 2-4x + 3（“希望杯”邀请赛试题）2. 阅读下面一题的解答过程，请判断是否正确?若不正确，请写出正确的解答.原式=aj —a — Q Q- \/—CI — ( Q _ 1) J _ci a3. 己知正数G, b,冇下列命题： (1) 若 a = 1, b =1,则 \[ab < 1 ；1 5 __ 3(2) 若 a = — , b ——,则 J cib 5 —；2 2 2 (3) 若a =2, b =3,则 4cib < —；2(4) 若a = l, h =5,则 \[ab<3.解: 己知Q 为实数，化简J -R -a根据以上命题所提供的信息，请猜想：若a =6, h=7,则y[^b< _________________（黄冈市竞赛试题）5. 代数式yj~x + \Jx — l + \Jx~2的最小值是（）•A. 0B. 1 +迈C. iD.不存在6. 下列四组根式中是同类二次根式的一组是（ ）•A. 和 2\/0^5B. 3ay[a 和 3b丽C. \/a 2h 和 \Jah 2D. \Jah 7c 3 和（“希望杯”邀请赛试题）7. 化简 V9x 2-6x4-1-（A /3X -5）2 的结果是（ ）•（山东省中考试颗）10.已知6 + 卯与6 — jn 的小数部分分别是G, b,求Gb 的值.（浙江省竞赛试题）11•设d, b, c 为两两不等的有理数.求证：启尺牙三F为有理瓶（北京市竞赛试题）4.己知实数dh , c 满足-h\ + 42b兀+ —讨“，则汕c 的值为A. 6x —6B. —6x +6C. -4D. 48. 设。

二次根式竞赛习题1．31231131144++-++的值是（ ）（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－2 2、已知82121=+-xx，则xx 12+=3．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（ ）（A ）3（B)31（C ）2（D ）35 4．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（ ）（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ． 5．若01132=+-x x ,则44-+x x 的个位数字是( )(A)1(B)3(C)5(D)7.6．若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.7．13333)919294(3-+-可以化简成( ) (A))12(333+ (B))12(333- (C)123- (D)123+ 8．若0<a<1，则a a a a +⨯+÷-+11)11(2122可化简为( )（A ）a a +-11 （B ）11+-a a （C ）21a - （D ）12-a 9．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为( ) （A ）1； （B ）-1； （C ）22001（D ）-2200110．已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。

11．设正整数n m a ,,满足n m a -=-242，则这样的n m a ,,的取值（ ） （A ）有一组； （B ）有两组； （C ）多于二组； （D ）不存在 12。

15+=m ，那么mm 1+的整数部分是________。

二次根式混合运算21、4、（1一血）2+4,1、•五-可2、龙XTJ53、〔迈我.刁）（.2-2.3）5、.2『5[6（伤+需）-（伍弋+7^）7、〔迈十.了一1）（.2-，空+1）-8、〔2,忑-，可）三&9、10、+（丙+④_彳（.;2-尬;「、（莎甘）十所12、昉+.折_g ；「3、伍_V^i ；、'V125'14、（7+7）2-（7-⑦215、器打4i x 匸鬲一31000；16、丨.了-刃-|1-迈丨-丨迈十飞-5|.17、.爲•左-.莎+,-|-18、（3厅一卫）（Is+2弓）20、可■（一而）三E ；苗-诉）x（価+術）辽丐-3迈）2⑸；訥帯2亠迟1 3莎-9g+3•壬i 乔（3,gx 卫）血让电+（虽一1）HI（33_一2b ）（且+b ）・（V3-2-（应-岛）（五+屈C-gVzS X V14律礙唸）¥（3^2-1）（L+3伍）-（3近-1）2;22、 23、 24、 25、 26、27、2&29、 30、31、32、33、34、35、 36、 37、 38、 39、 40、 41、 2；12+3-..;_45；Ve 葩圧+1）殛-血壬骨Cflx 而CV3-V2）(_■.帀)2-(-T )V27+2VsV2+1（血+V5）2-（血+価）（伍■近）:;（°飞一4g+g.§）十殳E(V5"V3+V2)(V5+V3~V2)（-2）=屆-4运（4-亦）-片-(2-2)2*顶-2巫+(-号-1)243、 44、45、46、47、 4&49、50、 51、 52、53、 54、55、 56、57、58、 59、 60、61、62、63、3.莎-一虧-g+Cs-2)Cs+2)10VE X 弋_V16X V18-9.45■=■3.15x_|「眉_2〔眈（V3+V2+V5）（V3~V2~V5）V1S+2^32CV2_2^3）（V2+2V3）V18-（V12+2V2）73（V27+SV3）_3±_X_JLV3~V2V&（屈+顶）-（V&V125）（V5+V6）（V5~V6）（二+1）2_2..玩（.1+1）（1_2）_C2_1）2+C2+1）2_\5+Q2005_^2004）65、66、67、68、 69、 70、 71、 72、 73、 74、 75、 76、 77、 7& 79、 80、 81、82、 83、 84、85、86、87、Ex 适+左+亏_89、血~^2怖-屈90、•可-汙1皿91、.五X（帀+垃1_药）.92、空193、93工一F十2&崇38K；94、（升43（「_引2+（2+弓（2-引；95、-几$+3弓〔3-衣弓）一!^冷；97、2a[98、丨.亏一角丨+.可一.伍；101、（刁+.可2008（一了-迈）2009. 102、3亍一218+5馬；103、-跖弓4-|「J；104、容105、（3•.左+書）1亏106、（巧-1）（，孕1）-（，住-24）三飞107、；108、—宀（〒-可（3+可；109、一晋+一五7_.弓？1_1 Vs （.电-一〒）（一E+一〒）+2 〔茁可0+1_3|_2_1⑷（飞_2「可）x .亏_6.1■1（2.卫帀）;CV5+V2）（亦_（73~V2）2 〔血一1）2+^-Q2010+2010）° VoTsWii~（書_雇） ■-y^2712■^/48） +6o ； 3 M 4Vs110、111、114、 115、 116、117、118、119、120、121、122、 123、124、125、 Word ⑵（7+4了）（7_4七） +（2+二） 飞3V 2参考合案1、原式=2二-3予-亏；2、原式=.^jx£j=丽=30;3、原式=2-12=-10.4、原式=1-2迈+2+2迈4〔迈-1)-迈=2.5、原式=2,5才(u+2,5“5n)=2,5勺-6u-2,5a=-6a.7、原式=（二）2-（.亏-1）2=2-（3-231）=2亏-28、原式U严W飞二_*二二一乎9、.原式=（布—2肩+"）x疼（羽+3^）x逅=1+^[^3310、原式=—+』2P44丁‘彳乙11、原式=（12、原式=2j+33-=；13、原式==-2;33祈514、原式=（7+〒+「了）（7+〒-升了）=14x2斤=23.了15、原式=号心冷X12-10=3+6-10=-1;16、原式=2-計1一戈+2+3一5=-2.17、原式=_恳•.花-2.書+=3書—2爲+.=55518、原式=（3.^-2亏）（3.亍2二）=18-12=6;19、原式=長（2迈-迈+二！）=亏（「◎+£）=E+1__3320、原式=-3g・52宁.&=-15一6宁一&=-15;21、原式=3.予；-2〔+T尾22、原式=3a+-2b23、原式=3-2运+1-（2-3）=5-2二.24、原式专律14一為屈X14=7厂”乙原式=（2号+号）X 1 V -2=3-2=1 原式=,+予X 63ir -m .3ir=2m 3ir +3m .3ir -m .3ir=°；原式=咼犬壬F¥+1Y -1+¥+1『原式=12•方-〉弓+6•込=（12-3-+6）.手15.亏;X2迁）=6.㊁+6=迈+3-2孑3很+3-2孑3+_2-原式=.6X.&+&x_&X 1=6+1+6=7+&•原式普X3工+6X !_^-2x ・J=2Q+3.Q -24; 原式=2飞- 言夂弓+3-2=2-&-23+1 =（63-+E-2可+2長-3=3-3+辽--3=-2+二- 3323323原式=,©+（迈+刀（迈-1）+1-迈=3+殳-迈-2+1-公4 原式=2.号+3飞-7号=-2疋；原式=2」牛21xg=Z 討沪14-原式=10-7+=3+!;22 原式=1X （22-刁+仝）=山咒2+lx =£+1;_33 原式=.1-1；__原式=2+3+2，.'3X2-（2-3）=5+2&+1=6+2&原式=2+1-（•厉-込）=3-1=2^ 原式=17-（19-）=-2+£迈; 原式=2.兰-3兰-2迁-3_K - 原式=4.3+12込=1@帀； 原式=¥+2..〒-10‘万=—罟〒； 原式=4:-+迄卫 244'三 原式=6-5=1; 原式=12+18-12乞=賀-1殳飞;25、26、27、2&29、30、31、 32、33、34、35、36、37、 38、 39、 40、41、42、43、44、45、 46、47、 4& 49、 50、原式=-4=（6—3—丄）疋+1=+1 55原式=［.*-（.亏-一劝］［上+（二-二）】=5—（.£-一可2=5-（5-2电）=2g. 原式=4x2§-16,+12-16-8了=-4-16兀;原式=2-（4-42+2）=2p-6+42=6至-6.V 23 原式=2x2号—2x3号+5—2号+1=上—6号—2号+6=6—7g. ■ila原式=0+2^-3=^-. 原式=一技斤; 原式=-+6=-■&+"6=0- V 57 *X 打和.疋一卫-互x 卫=2-了+方-2去左 （18-莎三2p=g 亟W-号莎巨=壬_斗1原式=9.乜-14.矛4了=-了；原式=:曲*-4只3.去.㊁-12二=-11_瓦原式=2.3x =12.6；原式=X3gx.=-些；V57V105原式=12乜-2亍6了=16‘方;原式=（4乞-2左+6•迈）x.=2亍2241原式=27*+（3x 亏X¥）x.—&迈=3亏x.-&W=-8㊁;93原式=Cl ）2-（'E+；E ）2=3-（2+2[75+5）=-4-2I 'T5 原式=3立+8立=11迈； 原式=2-12=-10； 原式=^23^23-61石=0； 51、52、 53、54、55、56、57、58、 59、 60、 61、62、63、64、65、66、 67、 68、 69、 70、 71、 72、 73、74、75、76、 原式=（4飞-2.空+6込）+2迁=2.审2原式=6.号-3飞-£<+577、原式=十=一=1.4从22278、原式之页":环-爭而£-寺戶+匸送戶+乎79、原式=3飞-锂了+2至）=3迈-殳，了-殳迈=迈-殳，了；80、原式=,3（3,3+2,3）=9+6=1581、原式=（一了+込）2-^=3+2+2乞-乙=5+E82、原式=4；5+315—2,2+4'.■2=F.「5+Z/2；83、原式=北电+孔迈-10.15；84、原式=5-6=-1;85、原式=4+2二_呂飞=4_&飞86、（1+_劝（1-3-（.㊁-1）2+（迈+1）2=1-C2）2-（2-2_卫+1）+2+2空+1=1-2—2+2•.龙-1+2+2・「戈+1=4・「2-1.87、原式=亏+4x.—亏+1=亏+门-，亏+1=1+2488、原式=（40了-诣了+8^）十飞=30上十主=15卫；89、原式=2迈-迈+2=2+p.90、原式=3飞-锂+.引+1=3弓+1=2了-1;91、原式=2弓况（5弓+3-4弓）=2.茅X2.亏=12.92、原式=2+2•迈+4+2：=姑93、原式=9I'3X-14:+24l3H=；94、原式=（7+4二）（7-4手）+4-3=49-48+1=2；95、原式=-4x殳匕+9.空-12-O-D=-8七+9匕-12-㊁+1=-11;96、原式=.-：+'•=2x工-工+=空j X可*4zz97、原式=2a（b爲-2x3b一:爲+）=2ob書-+ab£=512222v0398、原式=电—+3-5戈=2二-4上；99、原式=12-4二+1=13-4手；100、原式=22+—护2SS101、原式=（）=迓一乜102、原式=3x2迈-2x3-「^5x4力=6迈-6「020迈=20•力；103、原式=7-..&-3'：Q|+2=6|；e原式¥・（-舟）乂=-暑扣=春％忑原式=3飞+.电+右上=3込+孑普-亏； 原式=3-1-=2-3+ 原式仝2+1—；x2亏=2+1-2=1; V55_ 原式=3-2二+1-1=3-2j 原式=+4•二-3工=丄 22 五二亏—空二飞_1^3-1=0；V3V3V3' （.号一刁（■角+万）+2=（可'-行）2+2=5-7+2=0;（飞_2.可）x .亏-6g=玉-4玉-号三=-9.◎-号亍-普原式=4-5=-1; 原式Px 巴=1;ba原式=5-2-5+2乞=2飞一戈； 原式=- 原式=2,了（5〒+了-4引=2jj-2.1=12；原式=49-48+2+，「&=3+&.原式==弓一方-殳了+3卫=-飞 •L105、106、107、108、109、110、111、 112、 113、 114、115、116、117、118、119、120、 121、 122、 123、 124、125、-3|-2-1=1+3-2=32; 22 原式=4-2了+一了-1=3-込原式==3-2=1. V5 原式=_2.&+1+6J 3=4飞+1。

专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1. 二次根式的性质（1；（2.2. 二次根式运算法则（1；（2【典例】如果式子√(x −1)2+|x ﹣2|化简的结果为2x ﹣3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0【解答】解：∵√(x −1)2+|x ﹣2|＝|x ﹣1|+|x ﹣2|，又∵化简的结果为2x ﹣3，∴{x −1≥0x −2≥0， 解得x ≥2．故选：B ．【巩固】实数a 、b 满足√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，则a 2+b 2的最大值为 ．二、二次根式分母有理化【典例】已知x =√3+√2√3−√2，y =√3−√2√3+√2，则x y +y x = ．【解答】解：把x 、y 进行分母有理化可得：x =√3+√2√3−√2=√3+√2)(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=5+2√6， y =√3−√2√3+√2=√3−√2)(√3−√2)(√3−√2)(√3+√2)=5﹣2√6， ∴x y +y x =x 2+y 2xy =√6)2√6)2(5+2√6)(5−2√6)=98．故答案为：98．【巩固】已知x=√2020−√2019，则x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020的值为（）A．0B．1C．√2019D．√2020三、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知√5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2−4b2a2+4ab+4b2的值．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∴a＝4，b=√5−2；∴a2−4b2a2+4ab+4b2 =(a−2b)(a+2b)(a+2b)2=a−2ba+2b=4−2√5+44+2√5−4=45√5−1．【巩固】设a为√3+√5√3−√5的小数部分，b为√6+3√3√6−3√32 b −1a=．巩固练习1．若实数a，b，c满足等式2√a+3|b|=6，4√a−9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A．0B．1C．2D．32√3+2√2−√3−2√2）A．√2B．−√2C．2D．﹣23．如果实数x，y满足（√x2+1+x）（√y2+1+y）＝1，那么x+y值为（）A．0B．﹣1C．1D．24．小明在解方程√24−x−√8−x=2时采用了下面的方法：由(√24−x−√8−x)(√24−x+√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16，又有√24−x−√8−x=2，可得√24−x+√8−x=8，将这两式相加可得{√24−x=5√8−x=3，将√24−x=5两边平方可解得x＝﹣1，经检验x＝﹣1是原方程的解．请你学习小明的方法，解决下列问题：（1）已知√22−a2−√10−a2=3√2，则√22−a2+√10−a2的值为．（2）解方程√4x2+6x−5+√4x2−2x−5=4x，得方程的解为．5．已知整数x、y满足：1＜x＜y＜100，且x√y+y√x−√2009x−√2009y+√2009xy=2009则：√x+y+10=．6．已知x=b−√b2−4122（b＞21），则x2﹣bx+103＝．7．已知x＝3+2√2，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．8．计算：（1）2√5（4√20−3√45+2√5）；（2）√3−1+√27−（√3−π）0+3﹣2（3）若a=√5+1，b=√5−1，求a2b+ab2的值．（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|9．已知x﹣y＝6，√x2−xy+√xy−y2=9，求√x2−xy−√xy−y2的值．10．若m满足关系√3x+5y−2−m+√2x+3y−m=√x−199+y⋅√199−x−y，试求m的值．11．已知x =√n+1−√n√n+1+√n y =√n+1+√n√n+1−√n （n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy +19y 2的值为1998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由．专题42 二次根式一、二次根式的性质与化简【学霸笔记】1. 二次根式的性质（1；（2.2. 二次根式运算法则（1；（2【典例】如果式子√(x −1)2+|x ﹣2|化简的结果为2x ﹣3，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞0【解答】解：∵√(x −1)2+|x ﹣2|＝|x ﹣1|+|x ﹣2|，又∵化简的结果为2x ﹣3，∴{x −1≥0x −2≥0， 解得x ≥2．故选：B ．【巩固】实数a 、b 满足√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，则a 2+b 2的最大值为 ．【解答】解：∵√a 2−2a +1+√25−10a +a 2=10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|＝10﹣|b +4|﹣|b ﹣2|，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|+|b +4|+|b ﹣2|＝10，∵|a ﹣1|+|a ﹣5|≥4，|b +4|+|b ﹣2|≥6，∴|a ﹣1|+|a ﹣5|＝4，|b +4|+|b ﹣2|＝6，∴1≤a≤5，﹣4≤b≤2，∴a2+b2的最大值为：52+（﹣4）2＝41．故答案为：41．二、二次根式分母有理化【典例】已知x=√3+√2√3−√2，y=√3−√2√3+√2，则xy+yx=．【解答】解：把x、y进行分母有理化可得：x=√3+√2√3−√2=(√3+√2)(√3+√2)(√3−√2)(√3+√2)=5+2√6，y=√3−√2√3+√2=√3−√2)(√3−√2)(√3−√2)(√3+√2)=5﹣2√6，∴xy +yx=x2+y2xy=√6)2√6)2(5+2√6)(5−2√6)=98．故答案为：98．【巩固】已知x=√2020−√2019，则x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020的值为（）A．0B．1C．√2019D．√2020【解答】解：∵x=√2020−√2019=√2020+√2019，∴x6﹣2√2019x5﹣x4+x3﹣2√2020x2+2x−√2020＝x5（x﹣2√2019）﹣x4+x2（x﹣2√2020）+2x−√2020＝x5（√2020+√2019−2√2019）﹣x4+x2（√2020+√2019−2√2020）+2x−√2020＝x5（√2020−√2019）﹣x4+x2（√2019−√2020）+2x−√2020＝x4[x（√2020−√2019）﹣1]+x2（√2019−√2020）+2x−√2020＝0+x（√2020+√2019）（√2019−√2020）+2x−√2020＝﹣x+2x−√2020＝x−√2020=√2019．故选：C．三、二次根式中的整数和小数部分应用【典例】已知√5+2的整数部分为a，小数部分为b，求a2−4b2a2+4ab+4b2的值．【解答】解：∵4＜5＜9，∴2＜√5＜3，∴4＜√5+2＜5，∴a＝4，b=√5−2；∴a2−4b2a2+4ab+4b2 =(a−2b)(a+2b)(a+2b)2=a−2ba+2b=4−2√5+44+2√5−4=45√5−1．【巩固】设a为√3+√5√3−√5的小数部分，b为√6+3√3√6−3√32 b −1a=．【解答】解：∵√3+√5−√3−√5=√6+2√52−√6−2√52=√5+1√2√5−1√2=√2，∴a的小数部分=√2−1；∵√6+3√3−√6−3√3=√12+6√32−√12−6√32=√3+3√23−√3√2=√6，∴b的小数部分=√6−2，∴2b −1a=√6−2−√2−1=√6+2−√2−1=√6−√2+1．故答案为：√6−√2+1．巩固练习1．若实数a，b，c满足等式2√a+3|b|=6，4√a−9|b|=6c，则c可能取的最大值为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：由两个已知等式可得，√a=35(c+3)，|b|=25(2−c)，而|b|≥0，所以c≤2．当c ＝2时，可得a ＝9，b ＝0，满足已知等式．所以c 可能取的最大值为2．故选：C ．2．化简√3+2√2√17+12√2−√3−2√2√17−12√2的结果是（ ） A ．√2 B ．−√2C ．2D ．﹣2 【解答】解：3+2√2=(√2+1)2，3−2√2=(√2−1)2；17+12√2=(3+2√2)2，17−12√2=(3−2√2)2，因此，原式=√3+2√2√3−2√2=√2+1√2−1=−2． 故选：D ．3．如果实数x ，y 满足（√x 2+1+x ）（√y 2+1+y ）＝1，那么x +y 值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．2 【解答】解：∵（√x 2+1+x ）（√x 2+1−x ）＝x 2+1﹣x 2＝1，（√y 2+1+y ）（√y 2+1−y ）＝y 2+1﹣y 2＝1又∵（√x 2+1+x ）（√y 2+1+y ）＝1，∴{√x 2+1−x =√y 2+1+y①√y 2+1−y =√x 2+1+x②， ①+②得：﹣x ﹣y ＝x +y ，∴2（x +y ）＝0，∴x +y ＝0．故选：A ．4．小明在解方程√24−x −√8−x =2时采用了下面的方法：由(√24−x −√8−x)(√24−x +√8−x)=(√24−x)2−(√8−x)2=（24﹣x ）﹣（8﹣x ）＝16，又有√24−x −√8−x =2，可得√24−x +√8−x =8，将这两式相加可得{√24−x =5√8−x =3，将√24−x =5两边平方可解得x ＝﹣1，经检验x ＝﹣1是原方程的解． 请你学习小明的方法，解决下列问题： （1）已知√22−a 2−√10−a 2=3√2，则√22−a 2+√10−a 2的值为 ．（2）解方程√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5=4x ，得方程的解为 ．【解答】解：（1）（√22−a 2+√10−a 2）（√22−a 2−√10−a 2）＝22﹣a 2﹣（10﹣a 2）＝12，∵√22−a 2−√10−a 2=3√2，∴√22−a 2+√10−a 2=2√2，故答案为：2√2；（2）（√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5）（√4x 2+6x −5−√4x 2−2x −5）＝（4x 2+6x ﹣5）﹣（4x 2﹣2x ﹣5）＝8x ，∵√4x 2+6x −5+√4x 2−2x −5=4x ，∴√4x 2+6x −5−√4x 2−2x −5=2，将这两式相加可得√4x 2+6x −5=2x +1，解得x ＝3，经检验，x ＝3是原方程的解．∴原方程的解为：x ＝3，故答案为：x ＝3．5．已知整数x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100，且x √y +y √x −√2009x −√2009y +√2009xy =2009 则：√x +y +10= ．【解答】解：∵x √y +y √x −√2009x −√2009y +√2009xy =2009 ∴√xy （√x +√y ）−√2009（√x +√y ）+√2009xy −√20092=0 （√x +√y +√2009）（√xy −√2009）＝0∵1＜x ＜y ＜100∴√xy −√2009=0∴xy ＝2009＝7×7×41＝49×41∵整数x 、y 满足：1＜x ＜y ＜100∴x ＝41，y ＝49∴√x +y +10=√41+49+10=√100=10． 故本题答案为：10．6．已知x =b−√b 2−4122（b ＞21），则x 2﹣bx +103＝ ． 【解答】解：将x =b−√b 2−4122代入x 2﹣bx +103， x 2﹣bx +103＝（b−√b 2−4122）2﹣b •b−√b 2−4122+103 =b 2−2b √b 2−412+b 2−4124−b 2−2b √b 2−412+b 2−4124＝0，故答案为0．7．已知x＝3+2√2，求：x2+1x2+6x+6x+7的值．【解答】解：原式＝x2+2+1x2+6（x+1x）+5＝（x+1x）2+6（x+1x）+5＝（x+1x+1）（x+1x+5），∵x＝3+2√2，∴1x =3+2√2=3﹣2√2，∴x+1x=3+2√2+3﹣2√2=6．∴原式＝（6+1）×（6+5）＝77．8．计算：（1）2√5（4√20−3√45+2√5）；（2）√3−1+√27−（√3−π）0+3﹣2（3）若a=√5+1，b=√5−1，求a2b+ab2的值．（4）已知a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|【解答】解：（1）原式＝2√5（8√5−9√5+2√5）＝2√5×√5＝10；（2）原式=√3+1+3√3−1+1 9＝4√3+1 9；（3）∵a=√5+1，b=√5−1，∴a+b＝2√5，ab＝4，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝4×2√5＝8√5；（4）由图可知：a＜0，a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＜0．∴√a2−|a+b|+√(c−a)2+|b+c|＝﹣a+a+b+c﹣a﹣b﹣c＝﹣a．9．已知x﹣y＝6，√x2−xy+√xy−y2=9，求√x2−xy−√xy−y2的值．【解答】解：∵x ﹣y ＝6，∴(√x +√y)(√x −√y)=6，∴√x +√y =√x−√y ， ∵√x 2−xy +√xy −y 2=√x •√x −y +√y •√x −y=√x −y （√x +√y ）＝9， ∴√6√x−√y =9， 即√x −√y =6√69， ∴√x 2−xy −√xy −y 2=√x −y （√x −√y ）=√6×6√69 ＝4．10．若m 满足关系√3x +5y −2−m +√2x +3y −m =√x −199+y ⋅√199−x −y ，试求m 的值．【解答】解：根据题意得：{x −199+y ≥0199−x −y ≥0， 则x +y ﹣199＝0，即√3x +5y −2−m +√2x +3y −m =0，则{x +y −199=03x +5y −2−m =02x +3y −m =0，解得{x =396y =−197m =201．故m ＝201．11．已知x =√n+1−√n √n+1+√n y =√n+1+√n√n+1−√n （n 为自然数），问：是否存在自然数n ，使代数式19x 2+36xy +19y 2的值为1 998？若存在，求出n ；若不存在，请说明理由． 【解答】解：不存在．∵x +y =√n+1−√n√n+1+√n √n+1+√n√n+1−√n =(√n +1−√n)2+(√n +1+√n)2＝n +1﹣2√n(n +1)+n +n +1+n +2√n(n +1)=4n +2．xy =√n+1−√n√n+1+√n •√n+1+√n=1．假设存在n使代数式19x2+36xy+19y2的值为1998．即19x2+36xy+19y2＝1998．19x2+19y2＝1962，（x2+y2）=1962 19．（x+y）2=196219+3819=200019.x+y=√200019=20√9519．由已知条件，得x+y＝2（2n+1）．∵n为自然数，∴2（2n+1）为偶数，∴x+y=20√9519不为整数．∴不存在这样的自然数n．。

二次根式练习题一、选择题1． 下列式子一定是二次根式的是（ ）A ．2--xB ．xC ．22+xD ．22-x2．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ）A ．m=0B ．m=1C ．m=2D ．m=33．若x<0，则x x x 2-的结果是（ ）A ．0B ．—2C ．0或—2D ．24．下列说法错误的是 ( ）A ．962+-a a 是最简二次根式 B.4是二次根式C ．22b a +是一个非负数 D.162+x 的最小值是45n 的最小值是（ ）A.4B.5C.6D.26．化简6151+的结果为（ ）A ．3011B ．33030C ．30330D ．1130 7．．把a a 1-根号外的因式移入根号内的结果是（ ）A 、 a -B 、a --C 、aD 、a -8. 对于所有实数,a b ，下列等式总能成立的是（ ）A. 2a b =+B. a b =+C. 22a b =+D. a b =+9. ）A. 它是一个非负数B. 它是一个无理数C. 它是最简二次根式D. 它的最小值为3 10. 下列式子中正确的是（ ）A. =B. a b =-C. (a b =-D. 22==二、填空题11.①=-2)3.0( ；②=-2)52( 。

12．化简：计算=--y x yx _______________;13．计算3393aa a a -+= 。

14)1x p 的结果是 。

15． 当1≤x ＜55_____________x -=。

16．))2000200122______________=g 。

17.若0≤ a ≤1，则22)1(-+a a ＝ ;18．先阅读理解，再回答问题：2,<1；3,=<的整数部分为2；4,=<<3；n 为正整数）的整数部分为n 。

x ，小数部分是y ，则x －y =______________。

三、计算(1)225241⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- （2）)459(43332-⨯（3）2332326--(4)2(5)(()2771+--(6). ((((22221111+-（7）计算：1031 (231)321211++++++++四、 解答题1．已知：的值。

二次根式竞赛培优题（含解析）一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．39940002．计算：=（）A．B．C．D．3．的结果是（）A．B．C．D．4．的值是（）A．B．C．1D．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6二．填空题（共24小题）6.已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为．7．化简=．8．化简．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为．10．方程的解是x=11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=．12．计算：=（其中a＞0）13．的值为．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=．15．若n为整数，且是自然数，则n=．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：．20．计算﹣20062的结果是．21．设=．22．若，，则x6+y6的值是．23．当时，的值为．24．已知，，则k=．25．当1≤x≤2时，经化简等于．26．计算=．27．已知x=，那么+1的值是．28．化简：，得到．29．=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．二次根式竞赛培优题（含解析）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．计算：=（）A．3994001B．3994002C．3994003D．3994000【分析】设1998=a，把被开方数变形后，利用多项式的乘法法则计算后，加上a2再减去a2，前三项结合提取a2，剩下的三项利用完全平方公式化简，接着三项合并后提取2a，整体再利用完全平方公式化简，从而得到被开方数为一个数的完全平方，利用化简公式=|a|及a大于0即可得到最后结果．【解答】解：设1998=a，则1997×1998×1999×2000+1=（a﹣1）a（a+1）（a+2）+1=a4+2a3+a2﹣a2﹣a2﹣2a+1=a2（a+1）2﹣2a（a+1）+1=[a（a+1）﹣1]2，所以==1998×1999﹣1=3994001．故选：A．【点评】此题考查了二次根式的化简求值，考查了换元的思想，本题的技巧性比较强，要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点，同时注意利用凑项的方法构造满足公式的特征，以及注意二次根式的化简公式=|a|的运用．2．计算：=（）A．B．C．D．【分析】根据每个加数的特点，推出一般规律为，将所得式子化简，分别取n=1，2，3，…，40，寻找抵消规律，得出结论．【解答】解：∵=（）=（）=（）=（﹣）∴分别取n=1，2，3， (40)原式=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=（1﹣）=．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，观察式子的特点，得出一般规律，将一般规律化简代值，再观察抵消规律是解题的关键．3．的结果是（）A．B．C．D．【分析】把每个加数分母有理化，然后通分计算即可．【解答】解：=（）=．故选：D．【点评】主要考查二次根式的分母有理化．主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．4．的值是（）A．B．C．1D．【分析】认真观察式子的特点，总结规律，可发现，，，据此作答．【解答】解：由题意可知第k项是∴原式=（++=1﹣=1﹣=．故选：B．【点评】此题考查二次根式的化简求值，关键是审清题意，找准规律答题．5．在这1000个二次根式中，与是同类二次根式的个数共有（）A．3B．4C．5D．6【分析】找到1000＜5×x2＜2000中符合x的整数值即可得出答案．【解答】解：由题意得：与=20，是同类二次根的被开方数一定为5，由此及题意可：1000＜5×x2＜2000，x可取15、16、17、18、19，共5个．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的知识，有一定难度，关键是根据同类二次根式的形式得出的同类二次根式应该满足．二．填空题（共24小题）6．已知实数x1，x2，x3，…，x1999满足．则x1+2x2+3x3+…+1999x1999的值为3998000．【分析】由等式可知=x1，=x2，…解得x1=x2=x3=…=x1999=2，由此代入求得数值即可．【解答】解：∵，∴=x1，=x2，…∴x1=x2=x3=…=x1999=2，∴x1+2x2+3x3+…+1999x1999=2×（1+2+3+ (1999)=2×（1999+1）×1999÷2=3998000．故答案为：3998000．【点评】此题考查二次根式的化简求值，解答此题的关键是找出对应关系，求出x1、x2、x3、…、x1999的值．7．化简=2011．【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质得到=，然后根据同样的方法由内到外依次化简即可得到答案．【解答】解：∵=，∴原式=======2011．故答案为2011．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：=|a|．也考查了平方差公式．8．化简后2．【分析】由于===﹣1，其他根式也可以进行同样的化简，然后合并同类二次根式即可求解．【解答】解：=﹣1+﹣++++++=3﹣1=2．故答案为：2．【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是利用完全平方公式化简二次根式从而达到化简题目的目的．9．观察图形，用S i表示第i个三角形的面积，有；；，…，若S1+S2+S3+…+S n＞10，则n的最小值为10．【分析】利用不等式≤，结合S1+S2+S3+…+S n ＞10，解不等式即可．【解答】解：∵S i表示第i个三角形的面积，由不等式≤n，得≤n=n，而S1+S2+S3+…+S n=，S1+S2+S3+…+S n＞10，∴n＞10，即n2（n+1）＞800，n为正整数，n的最小值为9．但n=9时，代入S1+S2+S3+…+S n＜10，不符合题意，故n=10．【点评】本题考查了二次根式的运用．利用均值不等式和不等式的传递性解题．10．方程的解是x=2011【分析】将各分式中的分母有理化，再通分，注意观察抵消规律．【解答】解：原方程化为：+++…+=，通分得=，解得x=2011．故答案为：2011．【点评】本题考查了二次根式的化简在解方程中的运用．关键是将各分式的分母有理化，寻找抵消规律．11．设M=+++┉+，N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994，则=﹣．【分析】首先将M式中各个分式进行分母有理化，再求出N式的值，代入代数式求值即可解答．【解答】解：将M分母有理化可得M=（﹣1）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣1．N=1﹣2+3﹣4+5﹣6+┉+1993﹣1994=（1﹣2）+（3﹣4）+（5﹣6）+┉+（1993﹣1994）=﹣1×997=﹣997，∴==﹣．故答案为﹣．【点评】本题主要考查分母有理化的方法，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．12．计算：=4（其中a＞0）【分析】仔细观察会发现有以下规律：第1项加上第8项等于1，第2项加上第7项等于1，依此类推最后求得的结果4．【解答】解：第一项与最后一项相加得：+，=+，=，=1，同理可得：第二项与倒数第二项的和也是1；第三项与倒数第三项的和也是1；所以原式=1+1+1+1=4．故应填：4．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，同时也考查了学生的逻辑思维能力，是一道不错的规律型问题．13．的值为1998999.5．【分析】本题涉及数字大且数字之间有联系，可用换元法解题，设k=2000，将所求算式转化为关于k的算式，将被开方数配成完全平方式，开平方，再将k的值代入即可．【解答】解：设k=2000，原式=====，当k=2000时，原式=1998999.5．故本题答案为：1998999.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，当算式数字较大，并且数字之间有联系时，用换元法解题，可使运算简便．14．已知：对于正整数n，有，若某个正整数k满足，则k=8．【分析】读懂规律，按所得规律把左边所有的加数写成的形式，把互为相反数的项结合，可使运算简便．【解答】解：∵，∴+，即1﹣，∴，解得k=8．故答案为：8．【点评】解答此题的关键是读懂题意，总结规律答题．15．若n为整数，且是自然数，则n=﹣14或﹣7或﹣2或5．【分析】设=p，再把等式两边同时乘以4，利用平方差公式把等式左边化为两个因式积的形式，列出关于p、n的方程组，求出n 的值即可．【解答】解：∵设=p（P为非负整数），则n2+9n+30=p2，∴4n2+36n+120=4p2，∴（2n+9）2+39=4p2，∴（2p+2n+9）（2p﹣2n﹣9）=39，∴或或或，解得或或或，∴n=﹣14或﹣7或﹣2或5．故答案为：﹣14或﹣7或﹣2或5．【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意把原式化为两个因式积的形式是解答此题的关键．16．如果，并且表示为时的值，即，表示当时的值，即，那么的值为2012.5．【分析】根据新定理得f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1；f（）=，f（）=，则f（）+f（）=1，由此得到f（）+f（）=1（n≥2的整数），所以原式=+．【解答】解：f（）=，∵f（）==，f（）=，则f（）+f（）=1，f（）==，f（）==，则f（）+f（）=1，∴f（）+f（）=1，∴=+=2012.5．故答案为2012.5．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了阅读理解能力．17．若u、v满足v=，则u2﹣uv+v2=．【分析】根号里面的式子大于等于0，从而可得≥0，﹣≥0，从而能得出u和v的值，继而可得出答案．【解答】解：由题意得：≥0，﹣≥0，从而=0，2u﹣v=0，u=v，又v=，∴u=，∴u2﹣uv+v2=．故答案为．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，注意掌握根号里面的式子大于等于0这个知识点比较关键．18．已知a为实数，且与都是整数，则a的值是或．【分析】由是正整数可得，a是含﹣2的代数式；再由是整数，可得化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，据此确定a的值．【解答】解：∵是正整数，∴a是含﹣2的代数式；∵是整数，∴化简后为﹣2的代数式分母有理化后，是1或﹣1，∴a=或．故答案为：或．【点评】此题主要考查二次根式的混合运算，要熟练掌握合并同类二次根式和分母有理化．19．使得++=1的一组正整数（a，b，c）为：答案不唯一；如（288，8，8），（48，24，8）．【分析】由于三个复合二次根式的和为1，则它们的被开方数为完全平方数，设任意一个复合二次根式的被开方数为（）2（x，y为正整数，x＞y），然后通过正整数的含义，得到x，y为两个相邻正整数，即每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后是﹣1，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，第三个复合二次根式化简后必为，最后求的a，b，c的值．【解答】解：因为几个复合二次根式的和为1，则每个复合二次根式的被开方数一定为完全平方数．设==x+y﹣2，（x，y为正整数，x＞y），所以有=x+y，﹣=﹣2．∴a+1=（x+y）2，a=4xy，∴（x﹣y）2=1，即x﹣y=1．则每个复合二次根式化简后为两个相邻正整数的算术平方根．若第一个化简后为﹣1，而要消掉，则第二个复合二次根式化简后必为﹣，要消掉，则第三个复合二次根式化简后必为．最后正好为﹣=1．所以=（﹣1）2=3﹣=3﹣，则a=8，同理得b=24，c=48．故得到一组正整数（a，b，c）为：8，24，48．故答案为8，24，48．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式的化简：．20．计算﹣20062的结果是2005．【分析】先把“2005×2006×2007×2008+1=（20052+3×2005+1）2”化为完全平方的形式，再开平方，然后再来求值．【解答】解：∵2005×2006×2007×2008+1=2005×（2005+3）×（2005+1）（2005+2）+1=（20052+3×2005）×（20052+3×2005+2）+1=（20052+3×2005）2+2（20052+3×2005）+1=（20052+3×2005+1）2∴=20052+3×2005+1；∴﹣20062=20052+3×2005+1﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）+3×2005+1=2005；故答案为：2005．【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值．解答此题的难点是化“2005×2006×2007×2008+1”为完全平方的形式，并开平方，然后再利用平方差公式求出20052﹣20062=（2005+2006）（2005﹣2006）的值．21．设=．【分析】把已知条件的左边相乘得，这样出现了所求代数式，设=z，代入变形所得的等式，逐步变形，消去x、y，即可求得z．【解答】解：据条件式令=z，则（1）式化为：z+xy+=9，即有9﹣z=xy+，平方得，81﹣18z+z2=x2y2+（x2+1）（y2+4）+2xy（2），又由z2==x2（y2+4）+y2（x2+1）+2xy，代入（2）得，81﹣18z=4，所以．即=，故答案为：．【点评】此题考查二次根式的化简求值，难度较大，多次利用已知条件求解．22．若，，则x6+y6的值是40．【分析】根据题意可求出x2+y2，x2﹣y2，利用平方差公式可求得x4﹣y4，（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6﹣x2y4﹣y2x4，由此可得答案．【解答】解：由题意得：x2+y2=2++2﹣=4，x2﹣y2=2+﹣（2﹣）=2，x4﹣y4=（x2+y2）（x2﹣y2）=8，又（x2﹣y2）（x4﹣y4）=x6+y6+x2y4+y2x4，∴可得：x6+y6=32﹣x2y2（x2+y2）=32+2×4=40．故答案为：40．【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，有一定难度，关键是熟练运用平方差及完全平方公式．23．当时，的值为．【分析】利用完全平方公式对代数式化简再把代入化简的结果计算即可．【解答】解：原式=﹣，∵，∴=2005，∴x＜，∴原式=﹣+x，=x，当时，原式=．故答案为．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值和二次根式的性质=a（a≥0）的应用．24．已知，，则k=﹣1．【分析】先从等式右边进行分母有理化，即原式=﹣2，然后依次循环即可求k的值．【解答】解：由原式可知=+2﹣4=﹣2，∴4+=+2，依此类推得：=+2，∴k=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题考查了分母有理化的知识，解题时可从等式右边进行分母有理化，那样会简便些．25．当1≤x≤2时，经化简等于2．【分析】先配成完全平方式，再根据二次根式的性质化简计算即可．【解答】解：∵1≤x≤2，∴=+=+1+1﹣=2．故答案为：2．【点评】考查了二次根式的性质，解题的关键是将根号内的式子配成完全平方式．26．计算=2010．【分析】因为=，=，=，…，可发现=1+=1+1﹣，=1+=1+﹣…，依此类推再把1+1﹣，1+﹣…相加可得问题答案．【解答】解：原式=++++…+，=1+1﹣+1+﹣+1+﹣+1+﹣…+1+﹣，=2010+（1﹣+﹣+﹣…+﹣），=2010+（1﹣），=2010．【点评】本题考查了二次根式的化简，在化简中注意有关数列的规律．27．已知x=，那么+1的值是2．【分析】先根据分母有理化得到x=﹣1，所以x+1=，然后将代数式化为含有（x+1）2的形式，把x+1的值代入求出代数式的值．【解答】解：∵x==﹣1，∴x+1=．原式=（3x3+10x2+5x+4）=[（3x3+6x2+3x）+3x2+（x2+2x+1）+3]=[3x（x+1）2+3x2+（x+1）2+3]=[3x•2+3x2+2+3]=[（3x2+6x+3）+2]=[3（x+1）2+2]=（3×2+2）=2．故答案是：2．【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，先根据分母有理化把x的值化简，得到x+1=，再把代数式化成含有x+1的形式，然后代入代数式可以求出代数式的值．28．化简：，得到1．【分析】将被开方数的分子、分母提公因式，约分，再开平方，约分即可．【解答】解：原式=（）1004=（）1004（）1004=1．【点评】本题考查了二次根式的化简求值，关键是将被开方数的分子、分母提公因式，约分．29．=﹣3．【分析】因为=，代入并通分计算即可．【解答】解：原式===﹣1﹣1﹣1=﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题考查二次根式的混合运算，关键是求=．三．解答题（共1小题）30．计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）设n=1999，从而可将根号里面的数化为完全平方的形式，继而可得出答案．（2）分别将各二次根式配方可得出答案．（3）将分子及分母分别化简，然后运用提公因式的知识将分子及分母简化，继而得出答案．（4）设=a，=b，=c，从而可将原式化简，继而可得出答案．【解答】解：（1）设n=1999，则原式===n2+3n+1，故原式=20002+1999；（2）原式=+++++++=﹣1+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣，=﹣1，=3﹣1，=2；（3）原式=，=，=+，=﹣；（4）设=a，=b，=c，则原式=++，=，=0．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，难度较大，注意换元法及完全平方知识的运用．。

二次根式1．31231131144++-++的值是（ ）（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－2 2、已知82121=+-xx，则xx 12+=3．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数围成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（ ）（A ）3（B)31（C ）2（D ）35 4．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（ ）（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．5．若01132=+-x x ,则44-+xx 的个位数字是( )(A)1(B)3(C)5(D)7.6．若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.7．13333)919294(3-+-可以化简成( ) (A))12(333+ (B))12(333- (C)123- (D)123+ 8．若0<a<1，则a a a a +⨯+÷-+11)11(2122可化简为( )（A ）a a +-11 （B ）11+-a a （C ）21a - （D ）12-a 9．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为( ) （A ）1； （B ）-1； （C ）22001（D ）-2200110．已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。

11．设正整数n m a ,,满足n m a -=-242，则这样的n m a ,,的取值（ ） （A ）有一组； （B ）有两组； （C ）多于二组； （D ）不存在 12。

15+=m ，那么mm 1+的整数部分是________。

13．计算的值是( ) . (A) 1 (B) 5 (C) (D) 514．a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a+999b+1001c 的值是（ ）（A ）1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定15．已知a=2-1，b=22-6，c=6-2，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ） (A) a<b<c (B) b<a<c (C) c<b<a(D)c<a<b16.等于（ ）A.5-1 C.5 D.117．满足等式2003的正整数对()x y ，的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 计算2003++19．已知x 为非零实数，且1212x xa -+=，则 21x x +=______________。

二次根式1．31231131144++-++的值是（ ）（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－2 2、已知82121=+-xx，则xx 12+=3．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（ ）（A ）3（B)31（C ）2（D ）35 4．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（ ）（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．5．若01132=+-x x ,则44-+xx 的个位数字是( )(A)1(B)3(C)5(D)7.6．若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.7．13333)919294(3-+-可以化简成( ) (A))12(333+ (B))12(333- (C)123- (D)123+ 8．若0<a<1，则a a a a +⨯+÷-+11)11(2122可化简为( )（A ）a a +-11 （B ）11+-a a （C ）21a - （D ）12-a 9．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为( ) （A ）1； （B ）-1； （C ）22001（D ）-2200110．已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。

11．设正整数n m a ,,满足n m a -=-242，则这样的n m a ,,的取值（ ） （A ）有一组； （B ）有两组； （C ）多于二组； （D ）不存在 12。

15+=m ，那么mm 1+的整数部分是________。

13．计算的值是( ) . (A) 1 (B) 5 (C)(D) 514．a ，b ，c 为有理数，且等式62532+=++c b a 成立，则2a+999b+1001c 的值是（ ）（A ）1999（B ）2000（C ）2001（D ）不能确定15．已知a=2-1，b=22-6，c=6-2，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ） (A) a<b<c(B) b<a<c(C) c<b<a(D)c<a<b16.232217122--等于（ ）A.542- B.421 C.5 D.1 17．满足等式2003200320032003x y xy x y xy 的正整数对()x y ，的个数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 计算12233420032004+++++L .19．已知x 为非零实数，且1212x xa -+=，则 21x x +=______________。

一、选择题（每题5分，共25分）1. 下列哪个数是二次根式？A. √4B. √-9C. √25D. √-162. 下列哪个式子是同类二次根式？A. √3 + √2B. √6 - √3C. √9 + √4D. √12 - √183. 若√x = 2，则x的值为：A. 4B. 8C. 16D. 324. 下列哪个数不是二次根式的被开方数？A. 4B. -4C. 9D. 165. 若√a = b，则a的值为：A. b²B. b³C. b⁴D. b⁵二、填空题（每题5分，共25分）6. 若√x = 3，则x = _______。

7. 若√a = 5，则a = _______。

8. 若√x = √2，则x = _______。

9. 若√a = √8，则a = _______。

10. 若√x = √5，则x = _______。

三、解答题（每题10分，共40分）11. （10分）化简下列二次根式：√(27x²y³) + √(8xy²)12. （10分）求下列根式的值：√(36 - 5√3)13. （10分）已知√a = 4，求√(a + 4)的值。

14. （10分）已知√(x + 2) = √(x - 1)，求x的值。

四、应用题（每题10分，共20分）15. （10分）一个长方体的长、宽、高分别为√12、√18和√27，求长方体的体积。

16. （10分）某商品原价为√50元，现降价20%，求降价后的价格。

五、简答题（每题5分，共25分）17. 简述二次根式的性质。

18. 简述同类二次根式的概念。

19. 简述二次根式的乘法法则。

20. 简述二次根式的除法法则。

注意事项：1. 本试卷共100分，考试时间为90分钟。

2. 答题时请将答案填写在答题卡上，切勿在试卷上直接填写。

3. 答题时注意审题，确保理解题意。

4. 考试过程中遇到问题，请举手示意。

祝您考试顺利！。

八年级数学竞赛讲座二次根式的运算附答案第七讲：二次根式的运算二次根式是指形如a(a≥0)的式子，其运算基于以下几个法则：1) ac±bc=(a±b)c(c≥0)；2) ab=a×b(a≥0，b≥0)；3) a/b=a÷b(a≥0，b>0)；4) (a)²=a²(a≥0)。

同类二次根式的合并是二次根式加减的实质，而二次根式除法和混合运算则常常用到有理化概念。

因此，有理化是二次根式中重要的概念。

二次根式的运算是在有理式（整式、分式）运算的基础上发展起来的，因此，解决二次根式问题时，常常需要用到有理式运算的方法和技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等。

例题求解：例1】已知y=(x²-2)/(x²-2-5x+4+5x/(4-5x))，求x²+y²=4-5x。

解析：由于等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，因此，我们从二次根式的定义入手。

通过二次根式的性质，我们可以通过平方去掉根号有理化，揭示与绝对值的内在一致性。

这样，我们就可以充分运用概念解题。

例2】化简1+1/n²+1/(n+1)²，所得的结果为（）A.1+1/n+1/(n+1)B.1-1/n+1/(n+1)C.1+1/n-1/(n+1)D.1-1/n-1/(n+1)解析：待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式。

特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律。

例3】计算：1）(6+4)/(3+2)；2）10+14-15-21/10+14/15+21；3）75+57+…+5+23+1/(315-10-26+33-2+18)。

解析：若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化。

因此，我们需要观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口。

八年级数学下册第１２章《二次根式》竞赛(新版)苏科版编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(八年级数学下册第1２章《二次根式》竞赛(新版）苏科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈,这将是我们进步的源泉,前进的动力。

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第12章《二次根式》【例１】设a 、b 、c 是ABC ∆的三边的长,化简的结果是 。

【解析】根据三角形三边关系,可知,,a b c b c a c a b -<-<-<，则题中的算式可化简为 ()()()a b c b c a c a b c a b a b c b c a a b c --+--+--=--+--+--=++.【答案】a b c ++ ．【例2】已知实数x 、y 满足(2008x y =,则2232332007x y x y -+--的值为( ）.A.－2008B.２008 C 。

-1 D 。

1【解析】2(2008x x y -=，x y ∴==y x ==+由以上两式可得x y =。

所以2(2008x =，解得22008x =,所以2223233200720071x y x y x -+--=-=．故选Ｄ。

【答案】D ．1.若112x -≤≤,( ).Ａ。

43x -+ B 。

５ C 。

23x + D.43x +2。

已知非零实数a 、b 满足24242a b a -+++=,则a b +等于( )。

Ａ。

-１ B.０ C 。

1 D ．23.设0,5a a >是整数,则a 的值为 .4.若3,2a b ==，且0ab <,则a b -= 。