2021年全国初中数学联赛四川省(初二组)初赛试卷及其解析

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八年级数学竞赛题(本检测题满分：120分,时间：120分钟）班级： 姓名： 得分： 一、选择题（每小题3分,共30分）1.下列四个实数中，绝对值最小的数是（ ）A ．－5B ．－2C ．1D ．4 2。

下列各式中计算正确的是（ ）A 。

9)9(2-=- B.525±= C.3311()-=- D.2)2(2-=-3。

若901k k <<+ (k 是整数)，则k =（ ）A. 6B. 7C.8D. 9 4。

下列计算正确的是( ) A 。

ab ·ab =2abC.3—=3(a ≥0） D 。

·=(a ≥0，b ≥0）5。

满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3 C 。

三边长之比为3∶4∶5 D 。

三内角之比为3∶4∶56.已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（ ） A ．12 B ．7＋7 C ．12或7＋7 D ．以上都不对7。

将一根24 cm 的筷子置于底面直径为15 cm ，高为8 cm 的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm,则h 的取值范围是（ ） A ．h ≤17 B ．h ≥8 C ．15≤h ≤16D ．7≤h ≤168.在直角坐标系中,将点（－2，3)关于原点的对称点向左平移2个单位长度得到的点的坐标是（ ）A.（4， －3） B 。

四川省成都市2021年初中毕业生学业考试数学试题卷1.−7的倒数是()A. −17B. 17C. −7D. 72.如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是()A.B.C.D.3.2021年5月15日7时18分，天问一号探测器成功着陆距离地球逾3亿千米的神秘火星，在火星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展.将数据3亿用科学记数法表示为()A. 3×105B. 3×106C. 3×107D. 3×1084.在平面直角坐标系xOy中，点M(−4,2)关于x轴对称的点的坐标是()A. (−4,2)B. (4,2)C. (−4,−2)D. (4,−2)5.下列计算正确的是()A. 3mn−2mn=1B. (m2n3)2=m4n6C. (−m)3⋅m=m4D. (m+n)2=m2+n26.如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是()A. BE =DFB. ∠BAE =∠DAFC. AE =ADD. ∠AEB =∠AFD7. 菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄(单位：岁)分别为：30，40，34，36，则这组数据的中位数是( )A. 34B. 35C. 36D. 40 8. 分式方程2−x x−3+13−x =1的解为( )A. x =2B. x =−2C. x =1D. x =−19. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数.甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十.问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱50.问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x ，y ，则可列方程组为( )A. {x +12y =50y +23x =50B. {x −12y =50y −23x =50 C. {2x +y =50x +23y =50D. {2x −y =50x −23y =5010. 如图，正六边形ABCDEF 的边长为6，以顶点A 为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为( )A. 4πB. 6πC. 8πD. 12π11. 因式分解：x 2−4=______．12. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为______ ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y =x 2+2x +k 与x 轴只有一个交点，则k = ______ ．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC ，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ；②分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 内交于点O ；③作射线AO ，交BC 于点D.若点D 到AB 的距离为1，则BC 的长为______ ．15. (1)计算：√4+(1+π)0−2cos45°+|1−√2|.(2)解不等式组：{5x −2>3(x +1)①12x −1≤7−32x②． 16. 先化简，再求值：(1+2a+1)÷a 2+6a+9a+1，其中a =√3−3．17. 为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案(2021−2025年)》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼.我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程：篮球、足球、排球、乒乓球.为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你选择哪种球类课程”的调查(要求必须选择且只能选择其中一门课程)，并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．课程人数 篮球m 足球21 排球30 乒乓球 n根据图表信息，解答下列问题：(1)分别求出表中m ，n 的值；(2)求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数；(3)该校共有2000名学生，请你估计其中选择“乒乓球”课程的学生人数．18. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措.某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A 处安置测倾器，测得点M 的仰角∠MBC =33°，在与点A 相距3.5米的测点D 处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC =45°(点A ，D 与N 在一条直线上)，求电池板离地面的高度MN 的长.(结果精确到1米；参考数据sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)19.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=34x+32的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象相交于点A(a,3)，与x轴相交于点B．(1)求反比例函数的表达式；(2)过点A的直线交反比例函数的图象于另一点C，交x轴正半轴于点D，当△ABD是以BD为底的等腰三角形时，求直线AD的函数表达式及点C的坐标．20.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD=∠A．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径为√5，△ABC的面积为2√5，求CD的长；(3)在(2)的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若EFCF =12，求BF的长．21.在正比例函数y=kx中，y的值随着x值的增大而增大，则点P(3,k)在第______ 象限．22.若m，n是一元二次方程x2+2x−1=0的两个实数根，则m2+4m+2n的值是______ ．23.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=√33x+2√33与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为______ ．24.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE=3，按以下步骤操作：第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为______ ；第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为______ ．25.我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和.如图1，ar+cq+bp是该三角形的顺序旋转和，ap+bq+cr是该三角形的逆序旋转和.已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数z，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是______ ．26.为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》(以下简称《条例》)于2021年3月1日起正式施行.某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理.已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．(1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；(2)由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨.若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？27.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，将ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，其中点A，C的对应点分别为点A′，C′．(1)如图1，当点A′落在AC的延长线上时，求AA′的长；(2)如图2，当点C′落在AB的延长线上时，连接CC′，交A′B于点M，求BM的长；(3)如图3，连接AA′，CC′，直线CC′交AA′于点D，点E为AC的中点，连接DE.在旋转过程中，DE是否存在最小值？若存在，求出DE的最小值；若不存在，请说明理由．28.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a(x−ℎ)2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为(2,−1).点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC=∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标；(3)若点B的横坐标为t，∠ABC=90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t<0时，点C的横坐标的取值范围．四川省成都市2021年初中毕业生学业考试数学试题卷参考答案1-5ACDCB 6-10CBAAD11. (x+2)(x−2)12. 10013. 114. 1+√215. 解：(1)原式=2+1−2×√22+√2−1=2+1−√2+√2−1=2；(2)由①得：x>2.5，由②得：x≤4，则不等式组的解集为2.5<x≤4．16. 解：原式=a+1+2a+1⋅a+1 (a+3)2=1a+3，当a=√3−3时，原式=√3−3+3=√33．17. 解：(1)30÷90360=120(人)，即参加这次调查的学生有120人，选择篮球的学生m=120×30%=36，选择乒乓球的学生n=120−36−21−30=33；(2)360°×21120=63°，即扇形统计图中“足球”项目所对应扇形的圆心角度数是63°；(3)2000×33120=550(人)，答：估计其中选择“乒乓球”课程的学生有550人．18. 解：延长BC交MN于点H，CD=BE=3.5，设MH=x，∵∠MEC=45°，故EH=x，在Rt△MHB中，tan∠MBH=MHHE+EB =xx+3.5≈0.65，解得x=6.5，则MN=1.6+6.5=8.1≈8(米)，∴电池板离地面的高度MN的长约为8米。

全国初中数学联合竞赛初二说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．若0x >，0y >=）A. 1B. 2C. 3D. 4【答】 B.已知等式可化为150x y -=，即0=，所以25x y =，于是58229yy===. 2．已知△ABC 中，2AB AC ==，点D 在BC 边的延长线上，4AD =，则BD CD ⋅＝（ ） A ．16 B ．15 C ．13 D ．12 【答】 D.作AH BC ⊥于点H ，则H 为BC 的中点，所以22()()()()BD CD BH DH DH CH DH CH DH CH DH CH ⋅=+-=+-=-22224212AD AC =-=-=.3．已知,x y 为整数，且满足22441111211()()()3x y x y x y++=--，则x y +的可能的值有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答】 C .由已知等式得2244224423x y x y x y xy x y x y++-⋅=⋅，显然,x y 均不为0，所以x y +＝0或32()xy x y =-. 若32()xy x y =-，则(32)(32)4x y +-=-.又,x y 为整数，可求得12,x y =-⎧⎨=⎩，或21.x y =-⎧⎨=⎩，所以1x y +=或1x y +=-.因此，x y +的可能的值有3个.4．用1g 、3g 、6g 、30g 的砝码各一个，在一架没有刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么，可以称出的不同克数的重物的种数为 （ ）A ．21B ．20C ．31D ．30 【答】 C.可以称出的重物的克数可以为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40，共31种.5．已知实数,,x y z1()2x y z =++，则xyz 的值为 （ ）A ．6B ．4C ．3D ．不确定 【答】 A .由1()2x y z =++可得2221)1)1)0++=，所以2,3,1x y z ===，6xyz =.6．已知△ABC 的三边长分别为2，3，4，M 为三角形内一点，过点M 作三边的平行线，交各边于D 、E 、F 、G 、P 、Q （如图），如果DE FG PQ x ===，则x ＝ （ ） A ．1813 B ．2013 C ．2213D ．2413 【答】 D.设,,BC a AC b AB c ===，,,ME m MF n MP k ===. 由平行线的性质可得DE BC AE AC =，PQ CQ AB AC =，即()x b x n a b--=，x b n c b -=，所以11)1n x a b b +=+（，1x nc b=-，两式相加，得111)2x a b c ++=（，所以222411*********x a b c ===++++.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．如果关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解，则实数a ＝ ． 【答】 1-.4,1,63,12,()|3||2||1|2,23,4,3,x x x x f x x x x x x x x -≤⎧⎪-<≤⎪=-+---=⎨-<≤⎪⎪-≥⎩结合函数的图象知：当且仅当1a =-时，关于x 的方程|3||2||1|x x x a -+---=恰好只有一个解. 2．使得不等式981715n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 ． 【答】144. 由条件得7889k n <<，由k 的唯一性，得178k n -≤且189k n +≥，所以2118719872k k n n n +-=-≥-=，所以144n ≤.当144n =时，由7889k n <<可得126128k <<，k 可取唯一整数值127. 故满足条件的正整数n 的最大值为144.3．已知P 为等腰△ABC 内一点，AB BC =，108BPC ∠=︒，D 为AC 的中点，BD 与PC 交于点E ，如果点P 为△ABE 的内心（三角形的三条内角平分线的交点），则PAC ∠= ．GP C B【答】48︒.由题意可得PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠， 而180PEA PEB AED ∠+∠+∠=︒，所以60PEA PEB CED AED ∠=∠=∠=∠=︒， 从而可得30PCA ∠=︒.又108BPC ∠=︒，所以12PBE ∠=︒，从而24ABD ∠=︒. 所以902466BAD ∠=︒-︒=︒， 11()(6630)1822PAE BAD CAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒， 所以183048PAC PAE CAE ∠=∠+∠=︒+︒=︒.4．已知n 为正整数，且432261225n n n n ++++为完全平方数，则n ＝ ． 【答】8.易知1n =，2n =均不符合题意，所以3n ≥，此时一定有22432432(2)2544261225n n n n n n n n n n ++=++++<++++， 22432432(4)29816261225n n n n n n n n n n ++=++++>++++，而432261225n n n n ++++为完全平方数，所以一定有43222261225(3)n n n n n n ++++=++，整理得26160n n --=，解得8n =（负根2n =-舍去）.第二试一、（本题满分20分）设b 为正整数，a 为实数，记221145224M a ab b a b =-++-+，在,a b 变动的情况下，求M 可能取得的最小整数值，并求出M 取得最小整数值时,a b 的值．解 222233(2)2(2)121(21)(1)44M a b a b b b a b b =-+-+++++=-++++，………………5分 注意到b 为正整数，所以2319(11)44M ≥++=，所以M 可能取得的最小整数值为5. ……………………10分当5M =时，223(21)(1)54a b b -++++=，故2217(21)(1)4a b b -+++=.…………………15分 因为b 为正整数，所以2(1)b +是整数且不小于4，所以一定有12b +=，且21(21)4a b -+=，所以1b =，12a =或32a =. ……………………20分二．（本题满分25分）在直角△ABC 中，D 为斜边AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，90EDF ∠=︒，已知4CE =，2AE =，32BF CF -=，求AB . 解 延长ED 到点M ，使DM ED =，连接MB 、MF .D又因为D 为AB 的中点，所以△BDM ≌△ADE . …………5分所以AE BM =，A ABM ∠=∠，所以AC //BM ，所以18090CBM C ∠=︒-∠=︒，故△BMF 是直角三角形，于是有222BM BF MF +=. ……………………10分又在直角△CEF 中，有222CE CF EF +=.又由90EDF ∠=︒和DM ED =可得EF MF =， ……………………15分 于是可得222222CE CF BM BF AE BF +=+=+，所以222212BF CF CE AE -=-=，即()()12BF CF BF CF +-=. ……………………20分 又32BF CF -=，所以8BF CF +=，即8BC =. 因此2222268100AB AC BC =+=+=，所以10AB =. ……………………25分 三．（本题满分25分）设不全相等的非零实数,,a b c 满足2221222bc ac aba bcb ac c ab++=+++，求a b c ++的值.解 由2221222bc ac aba bcb ac c ab++=+++得2221111222111a b c bc ac ab++=+++. 设22a x bc =，22b y ac=，22c z ab =，则8xyz =，且1111111x y z ++=+++，…………………10分 通分即得(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)y z x z x y x y z ++++++++=+++，展开后整理得2xyz x y z =+++，所以6x y z ++=. …………………15分即2222226a b c bc ac ab ++=，所以3333a b c abc ++=，分解因式得 222()[()()()]0a b c a b b c c a ++-+-+-=.又,,a b c 不全相等，所以222()()()0a b b c c a -+-+-≠，故0a b c ++=. ………………25分。

21961 ⎨2x + 2 y = a ⎩ ， 2021 年全国初中数学联合竞赛（初二年级）试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设 7 分和 0 分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考Th 的解答方法和本解答不同， 只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试（C ）一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.已知a 为实数，关于 x , y 的方程组⎧ax + 2 y = 24有整数解，则a 的个数为（）⎩ A.2B.3C.4D.5【答案】C 。

由⎧ax + 2 y = 24 ⇒ (a - 2) x = 24 - a ，∴ x = 24 - a = -1+ 22 。

⎨2x + 2 y = a 由2x + 2 y = a ，可知a 必为偶数，a - 2 a - 2又-1+ 22 a - 2为整数，所以a = 0, 4, 24, -20。

故选 C 。

2．定义运算a * b =a (a -1)(a - 2) ⨯ ⨯ (a -b + 2)(a - b +1)则 10 * 7 =（ ）b (b -1)(b - 2) ⨯ ⨯ 2 ⨯1A.720B.120C.240D.80【答案】B 。

代入求值的结果。

3.如图，在四边形 ABCD 中， AC ⊥ BD ，若AB = 5 3, AD = 5 2, C D = 12 ，则 BC = （）A. B. 4 C.5D.13【答案】D 。

记 AC 与 BD 交点为O ， BC 2 = BO 2 + CO 2 , CD 2 = CO 2 + DO 2 ，= = 0 ，AD 2 = AO 2 + DO 2 , AB 2 = AO 2 + BO 2 ，∴ BC 2 + AD 2 = AB 2 + CD 2 ，∴ BC = 13 ，选 D 。

4．定义n ! = 1⨯ 2 ⨯ ⨯ (n -1)⨯ n ，则 20142 ⨯ 2015 - 2016 + 20162 ⨯ 2017 - 2018=（）2015! 2017!A. 1 + 1 - 1 - 1B. 1 + 1 - 1 - 12011! 2012! 2016! 2017! 2012! 2013! 2016! 2017! C. 1 + 1 - 1 - 1 D. 1 + 1 - 1 - 12013! 2014! 2016! 2017! 【答案】B 。

2016年全国初中数学联赛（四川初二初赛）试卷一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、数轴上各点表示的数如图所示，那么a -的可能取值是 （ ）A 、2-B 、2-C 、2D 、2 2、关于x 的方程21324x x -++=，其所有解的和是 （ ）A 、1-B 、25- C 、35 D 、1 3、若34()a b a b b b a =≠-，则2222232a ab b a ab b +--+的值是 （ ）A 、3-B 、13- C 、15 D 、5 4、如图所示，将一个长为a ，宽为b 的长方形（a b >），沿着虚线剪开，拼成缺一个小正方形角的大正方形（右图），则小正方形的边长为 （ ） A 、2b B 、2a C 、2a b - D 、a b -5、一个等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成15和9两个部分，则该三角形的底长所有可能值为 （ ）A 、4B 、6C 、12D 、412或6、已知正数m ，满足42710m m -+=，则1m m +的值为 （ ） A 、2 B 、5 C 、7 D 、3二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）7、古希腊数学家毕达哥拉斯把“数”当作“形”来研究，他称下面一些数为“三角形数”（如下图），第1个“三角形数”是1，第2个是3，第3个是6，第4个是10，按照这个规律，第50个“三角形数”是 .106318、若2310x x x +++=，则23201520161x x x x x ++++++的值为 .9、设12345m x x x x x =+++++++++，则m 的最小值为 。

a10、如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 点在BC 边上，满足：BD =4，DC =5，若AB +AD =28， 则AD 等于 .三、解答题（本题共3小题，第11题20分，第12、13题各25分，满分70分）11、若关于x 的方程322310()()x m x n x ++++-=有无数多个解， 求实数m n 、的值.12、已知实数a b c 、、，满足0abc ≠且240()()()a c b c a b ----=， 求a c b+的值.13、如图，在△ABC 中，∠B =2∠C , 且AC =AB +BD . 求证：AD 是∠BAC 的平分线.BC B2016年全国初中数学联赛（四川初二初赛）参考答案一、选择题：1、D 2、B 3、D 4、C 5、A 6、D二、填空题：7、1275 8、 1 9、 6 10、 13三、解答题：11题：解：由322310()()x m x n x ++++-=，整理为3212310()m n x m n ++++-=， ∵ 方程有无数多个解∴ 32102310m n m n ++=⎧⎨+-=⎩ 解之，11m n =-⎧⎨=⎩12题：解：240()()()ac b c a b ----= 222244440a c ac ab b ac bc +--++-=22242440a c b ac ab bc +++--= 220()a c b +-= ∴ 2a c b +=∵0abc ≠ ∴ 2a c b += 13题：（法一）延长AB 至E ，使AE=AC ，连结DE 、CE.∵ AE=AB+BE AC=AB+BD∴ BD=BE ∴ ∠BED=∠BDE又 ∠ABD=∠BED+∠BDE 即 ∠ABD=2∠BED∵ ∠ABD=2∠ACD ∴ ∠BED=∠ACD ①∵ AE=AC ∴ ∠AEC=∠ACE ②由 ①、②可得∠DEC=∠DCE∴ DE=DC ∵AE AC AD AD DE DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ △AED ≌△ACD (SSS)∴ ∠DAE=∠DAC ∴ AD 是∠BAC 的平分线.（法二）延长DB 至E ，使BE=BA ，连结AE∴ ∠E=∠EAB∵ ∠ABD=2∠E 又∵∠ABD=2∠C∴ ∠E=∠C=∠EAB ∴ AE=AC∵ AC=AB+BD BE=BA∴ AC=BE+BD=DE∴ AE=DE ∴ ∠EAD=∠EDA∵ ∠EAD=∠EAB+∠BAD ∠EDA=∠DAC+∠C∴ ∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠C∵ ∠C=∠EAB ∴ ∠BAD=∠DAC ∴ AD 是∠BAC 的平分线. E CE C。

2017年全国初中数学联合竞赛（四川初二初赛）试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.选择题和填空题只设7分和0分两档；解答题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其他中间档次.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.一、选择题(本题满分42分，每小题7分)1、B2、A3、D4、C5、D6、A二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7、28 8、13 9、-5 10、102°三、（本题共三小题，第11题20分，第12、13题各25分，满分70分）11.如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 上的一点，且AD=DC ，∠DEC ＝∠ABC ，求证：AB ＝CE .证明：延长AD 至F ，使CF ＝CE ，则∠CFE ＝∠CED ＝∠ABC ； (5)分又因为AD ＝DC ，所以∠DAC ＝∠FAC ＝∠ACD ＝∠ACB ；…10分又AC 是公共边，故△ABC ≌△CFA ；…………………………15分故AB ＝CF ＝CE.…………………………………………………20分12.若一次函数1)1(++=x k k y 和1)1(3-+=x k k y （k 为正整数）的图象与y 轴围成的三角形面积为k S ，求2017321S S S S ++++ 的值.解：将0=x 代入1)1(++=x k k y 得1=y ，将0=x 代入1)1(3-+=x k k y 得1-=y ，设两直线在y 轴上的交点坐标分别为)1,0(A ，)1,0(-B ，故2=AB ……………………………5分联立两条直线方程⎩⎨⎧-+=++=1)1(31)1(x k k y x k k y ，消去y 得)1(1+=k k x （k 为正整数），此即所围三角形的高。

……………………………………………………………………………………………10分 故)1(1)1(121+=+⋅⋅=k k k k AB S k （k 为正整数）……………………………………15分CF故1232017111112233420172018S S S S ++++=++++⨯⨯⨯⨯……………………20分 20182017)2018120171()4131()3121()211(=-++-+-+-= ……………………………25分 13.若k 是整数，关于x 的方程(2017)2016()k x k x -=-的解也是整数，求k 的所有可能的取值的和. 解:将方程变形为(1)2016k x k -=. ……………………………………………………5分 因为1k =时，原方程无解，故1k ≠，解得20162016(1)2016201620161111k k x k k k k -==+=+----.……………………………10分 于是1k -是2017的正负约数.因为5212016237=⨯⨯，所以2017共有(51)(21)(11)+⨯+⨯+=个正约数，不妨设为12336(1),...,(1)k k k k ---1),(-1),(;…………………………………………………………………………………………15分 同时2017也共有36个相对应的负约数，不妨设为37383972(1),...,(1)k k k k ---1),(-1),(，每一组相对应的正负约数的和为0，所以36组共72个正负约数的和为0.即12372(1)(1)(1)......(1)0k k k k -+-+-++-=，……………20分所以12372...72k k k k ++++=.综上，满足条件的k 的所有可能取值的和为72.…25分。

全国初中数学联赛概述全国初中数学联赛是一项旨在激发学生对数学学习的兴趣和能力的比赛。

通过参与联赛，学生们可以在有竞争性的环境中展现自己的数学才华和解决问题的能力。

该比赛设有多个级别和不同的题型，从基础知识的应用到数学推理和创新的挑战都有涉及。

历史全国初中数学联赛始于1998年，由中国数学会主办。

比赛起初只在一些特定的地区进行，但由于其受到广泛参与的热情和成就，逐渐扩大至全国范围。

随着时间的推移，该比赛已经成为中国中学生数学界的重要赛事之一。

参赛组别全国初中数学联赛分为多个参赛组别，各级别的题目难度和范围会有所不同。

以下是目前的组别设置：1.初一组：适合初中一年级学生参赛，主要考察基础数学知识的应用和理解。

2.初二组：适合初中二年级学生参赛，题目的难度相对较高，要求学生能够灵活运用数学知识解决问题。

3.初三组：适合初中三年级学生参赛，题目的难度进一步提高，主要考察学生的数学推理和解决实际问题的能力。

比赛形式全国初中数学联赛分为两个阶段：初赛和决赛。

初赛通常在各个参赛区进行，学生通过学校或团队的选拔参加。

初赛的题目形式多样，包括选择题、填空题、计算题和解答题等。

初赛成绩将根据学生的得分进行排名，取各个组别前若干名晋级决赛。

决赛是全国范围内的大型比赛，各组别的参赛学生将齐聚一地，进行一天或多天的比赛。

决赛的题目更加综合和复杂，涉及数学的各个领域，要求学生具备更高的数学思维和解决问题的能力。

比赛题型全国初中数学联赛的题目设置多样，考察学生对数学知识的掌握和运用。

以下是一些常见的题型：1.选择题：学生在给出的选项中选择正确答案。

2.填空题：学生需要填写正确的数值或表达式。

3.计算题：学生需要进行计算，通常是多步骤的运算。

4.解答题：学生需要详细解答问题，并给出相关推理和证明。

5.应用题：学生需要将数学知识应用到实际问题中解决。

奖励机制全国初中数学联赛设有丰厚的奖励机制，以鼓励学生们参与比赛并取得好成绩。

根据学生的成绩，包括初赛和决赛的成绩，将颁发一、二、三等奖及优秀奖、进步奖等。

一 ．选择题(每小题7分，共42分)1 ．若x ＜1，则化简|x －1|得( )．A ．x －1B ．x ＋1C ．－x －1D ．－x ＋12 ．已知(x ＋a)(x －b)＝x 2＋2x －1，则ab 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．23 ．若a ＜0，p ＞q ＞0，则( )．A ．|pa|＞|qa|B ．|pa|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝，则AB ＝( )．A ．4B ．C ．6D ．二 ．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD 的长等于＿＿＿＿．三 ．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．四．(本大题满分25分)12．在△ABC中，∠A＝2∠B，CD是∠ACB的平分线．求证：BC＝AC＋AD．五．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A和B两组．若把10从A组转移到B组．则A、B两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数．2012年四川初中数学联赛(初二组)初赛试卷(参考答案与评分标准) (3月16日下午4:00－6:00)一．选择题(每小题7分，共42分)1．若x＜1，则化简|x－1|得( D )．A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．－x＋12．已知(x＋a)(x－b)＝x2＋2x－1，则ab等于( C )．A．－2 B．－1 C．1 D．23．若a＜0，p＞q＞0，则( A )．A ．|pq|＞|qa|B ．|pq|＜|qa|C ．a a p q >D ．p q a a<4 ．已知凸四边形ABCD 对角线交于O ，满足AO ＝OC ，BO ＝3OD ，若△ADO 的面积为1，则凸四边形ABCD 的面积为( C )．A ．4B ．6C ．8D ．105 ．若|a －1|＋|a －2|＜3，则a 的取值范围是( B )．A ．a ＜0B ．0＜a ＜3C ．3＜aD ．1＜a ＜26 ．在凸四边形ABCD 中，∠A ＝∠C ＝90°，∠B ＝60°，AD ＝2CD ＝则AB ＝( A )．A ．4B ．C ．6D ．二 ．填空题(每小题7分，共28分)7 ．如果每人工作效率相同，a 个人b 天共做c 个零件，那么要做a 个零件，b 个人需要的天数是＿＿2a c＿．(用含a 、b 、c 的代数式表示)8 ．若a =，则221a a+的值为＿＿10＿＿＿．9 ．两个单位正方形，其中一个正方形的顶点在另一个正方形的中心，则两个正方形重叠部分的面积为＿＿＿14＿＿＿．10 ．P 为矩形ABCD 内的一点，且PA ＝2，PB ＝3，PC ＝4，则PD ＿＿．三 ．计算与应用(本题满分20分)11 ．已知直线y ＝kx ＋b 经过点A(1，1)和点B(－1，3)，且与x 轴、y 轴的交点分别为C 、D ．设O 为坐标原点，求△COD 的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四 ．(本大题满分25分)12 ．在△ABC 中，∠A ＝2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线．求证：BC ＝AC ＋AD ．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， ……5分则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠，故DB A B '∠=∠， ……15分所以B A D A AD ''==， ……20分 故AD AC B A C A BC +=+=''． ……25分五 ．(本大题满分25分)把1到15的15个自然数分成A 和B 两组．若把10从A 组转移到B 组．则A 、B 两组数的平均数都分别比原来的减少了12．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：A'D C A B⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分2012年四川初中数学竞赛(初二组)初赛参考解答与评分标准一、选择题（每小题7分，共42分）1． D 2．C 3．A 4． C 5．B 6．A二、填空题（每小题7分，共28分）1． 2a c 2．10 3．144三、（本大题满分20分）已知直线y kx b =+经过点(1,1)A 和点(1,3)B -，且与x 轴、y 轴的交点分别为,C D ,设O 为坐标原点．求COD ∆的面积．解：由条件知13k b k b=+⎧⎨=-+⎩， ……5分解得1,2k b =-=， ……10分 于是直线为2y x =-+．令0,y =得2x =，即(2,0)C ,令0,x =得2y =，即(0,2)D . ……15分 所以，COD ∆的面积12222=⨯⨯=． ……20分四、（本大题满分25分）在ABC ∆中，B A ∠=∠2，CD 是ACB ∠的平分线，求证：AD AC BC +=．证明：如图，将A 沿CD 反射到BC 上得'A ， (5)则DB A B B A D CA '2'∠+∠=∠=∠=∠， 故DB A B '∠=∠， 所以B A D A AD ''==， 故AD AC B A C A BC +=+=''．五、（本大题满分25分）把1到15的15个自然数分成A 和B 两组，若把10从A 组转移到B 组，则A 、B 两组数的平均数都分别比原来减少了21．求两组数原来的平均数． 解：设A 、B 两组数原来平均数分别为a 、b ，A 组数原来有m 个数．则B 组数原来有15m -个数．根据题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=+-+--=--=++=-+)3(2111510)15()2(21110)1(1201521)15( b m m b a m am m b am ……5分 由（2）得：)4(212 m a -=由（3）得：)5(362 m b -= ……10分（4）、（5）分别代入（1）解得：10=m ……15分将10=m 分别代入（4）、（5）得：5.5=a ……20分13=b ……25分。

四川初中数学联赛（初二组）决赛试卷及其解析（考试时间：3月24日上午8:45—11:15）题号 一 二 三 四 五 合计 得分 评卷人 复核人一、选择题（本大题满分42分，每小题7分）1、设13x ≤≤，则13x x ---的最大值与最小值的和 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3解析：由条件13x ≤≤，可得1324x x x ---=-，当1x =，得最小值-2，当3x =，得最大值2，故选A2、设5x =y 是不超过x 的最大整数，求1x y-= （ ） （A 52 （B 52 （C 51 （D 51解析：易得2y =52，故选B.3、如图，已知在四边形ABCD 中，∠ACB =∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，则∠CAD=（ ）（A ）65° （B ）70° （C ）75° （D ）80°解析：此题由三角形内角和及角的构成容易得，答案为C.4、由1、2、4分别各用一次，组成一个三位数，这样的三位数中是4的倍数的三位数共有 （ ）（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ） 4个解析：是4的倍数必然个位数不能是1，再将124、142、214、412试除以4，便可得答案为B.5、已知：,,x y z 为三个非负实数，且满足325231x y z x y z ++=⎧⎨+-=⎩，设37s x y z =+-，则s 的最大值是（ ）（A ）111- （B ）111 （C ） 57- （D ）75-解析：由方程组解出73711x z y z =-⎧⎨=-⎩，由,x y 非负实数，可解得37711z ≤≤，∵373(73)711732sx y z z z z z =+-=-+--=-，取711z =代入即可求得，答案为A 6、如图，∠DAP =∠PBC=∠CDP=90°，AP=PB=4，AD=3，则BC 的长是（ ）（A ）323 （B ）16 （C ）413 （D ）412DCBA解析：延长DP 交CB 延长线于点E ，如图，由三角形全等可证PE=DP,AD=BE ，由勾股定理可求DP=5，故DE=10，再由△EB P ∽△EDC ，可得EB EPED EC=,求得EC=503，BC=EC-EB=503-3=413，答案C 二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）1、关于x 的不等式组3361x x ax -≥+⎧⎨≥⎩的解是13x ≤≤，则a 的值是解析：解不等式组得313a x --≤≤，故33,123aa --=∴=- 2、如果281p p +与都是质数，则p =解析：考虑到是初二竞赛，试值可求得P=33、设,x y 为两个不同的非负整数，且213xy x y ++=，则x y +的最小值是解析：∵,x y 为两个不同的非负整数，∴0213x ≤<，故x 取0~6的整数，代入再求符合条件的y ，符合条件的整数解只有024,,1331x x x y y y ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩三组，故x y +的最小值为5. 4、如图，已知ABCD 为正方形，△AEP 为等腰直角三角形，∠EAP=90°，且D 、P 、E 三点共线，若EA=AP=1，5DP=解析：连结BE ，易证△AE B ≌△APD ，故PD=EB ，∠APD =∠AEB 。

智才艺州攀枝花市创界学校2021年初中数学竞赛八年级决赛试卷〔时间是120分钟总分值是140分〕一、选择题：〔每一小题6分，一共42分〕 1．使分式63||2---x x x 没有意义的x 的取值是〔〕 〔A 〕―3〔B 〕―2〔C 〕3或者―2〔D 〕±32．设m=|1|-+x x ，那么m 的最小值是〔〕〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕―1〔D 〕23．如图，直线MN 和EF 相交于点O ，∠EON=60°，AO=2m ，∠AOE=20°．设点A 关于EF 的对称点是B ，点B 关于MN 的对称点是C ，那么AC 的间隔为〔〕〔A 〕2m 〔B 〕3m〔C 〕23m〔D 〕22m4．03132=+++x x ，那么2004321x x x x +++++ 的值是〔〕〔A 〕0〔B 〕1〔C 〕―1〔D 〕20215．估计1711+大小的范围，正确的选项是〔〕 〔A 〕<1711+< 〔B 〕<1711+ 〔C 〕<1711+<〔D 〕<1711+6．如图A 、B 、C 是固定在桌面上的三根立柱，其中A 柱上穿有三个大小不同的圆片，下面的直径总比上面的大．现想将这三个圆片挪动到B 柱上，要求是每次只能挪动一片(叫挪动一次)，被挪动的圆片只能放入A 、B 、C 三个柱之一且较大的圆片不能叠在小片的上面，那么完成这件事情至少要挪动圆片的次数是〔〕〔A 〕6〔B 〕7〔C 〕8〔D 〕9ABC7．如图是一个正方体纸盒，在其中的三个面上各画一条线段构成△ABC ，且A 、B 、C 分别是各棱上的中点．现将纸盒剪开展成平面，那么不可能的展开图是〔B 〕 二、填空题：〔每一小题6分，一共42分〕1．分解因式：xy y y x x-+--42222=______________________．2．如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 为中位线，S △ABD ∶S △BCD =3∶7，那么S 梯形AEFD∶S梯形EBCF=______________．3．0132=+-x x ，那么1242++x x x 的值是_______________．4．如图，数一数，图中一共有多少个(包含大小不同的)正方形？答案________．5．如图A 是一个面积为a 的正三角形，现将它作如下变换：取三角形各边的三等分点向形外作没有底边的等边三角形，这样得到一个六角星〔如图B 〕；继续对六角星各边施行一样的变换，得到“雪花形〞〔如图C 〕．那么雪花形的面积为_____________．6．21=x ，nn x x 111-=+〔n=1，2，3，……〕，那么2004x =________________． 7．右图是由数字组成的三角形，除最顶端的1以外，以下出现的数字都有一定的规律．根据它的规律，那么最下排数字x 的值是_____________． 三、解答题：〔一共56分〕1．〔16分〕某商场对顾客购物实行优惠，规定：〔1〕一次购物不超过100元不优惠；〔2〕一次购物超过100元但不超过300元，按标价的九折优惠；〔3〕一次超过300元的，300元内的局部按〔2〕优惠，超过300元的局部按八折优惠．老王第一次去购物享受了九折优惠，第二次去购物享受了八折优惠。