立体几何基本知识

立体几何的知识点总结立体几何的知识点总结立体几何的考察是高中的重要知识点，也是几何数学的重要考点，想要学好这部分内容，离不开对知识的总结和归纳，下面是小编为大家整理分享的立体几何的知识点总结，希望能帮助大家更好的进行这部分的学习，一起来看看吧！立体几何的知识点总结(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的.圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

立体几何知识点总结一、点、线、面的基本概念在立体几何中，点是最基本的元素，没有长度、宽度和高度；线是由无数个点连成的，具有长度但没有宽度和高度；面是由无数个线段连成的，具有长度和宽度但没有高度。

二、立体图形的分类1. 点、线、面组成的立体图形称为多面体，如正方体、长方体、正六面体等。

2. 圆柱体是由一个平面上的圆沿着一条与该平面不重合的直线滚动形成的，如圆柱、圆台等。

3. 圆锥体是由一个平面上的射线围绕一个与该平面不重合的点旋转形成的，如圆锥、圆台等。

4. 球体是由一个平面上的圆围绕其直径旋转形成的。

三、立体图形的性质1. 多面体的面数、边数和顶点数之间满足欧拉公式：面数+顶点数=边数+2。

2. 多面体的表面积可以通过计算各面的面积之和得到。

3. 多面体的体积可以通过计算底面积乘以高得到。

4. 圆柱体的侧面积可以通过计算侧面的长度乘以高得到。

5. 圆柱体的体积可以通过计算底面积乘以高得到。

6. 圆锥体的侧面积可以通过计算锥侧的长度乘以高得到。

7. 圆锥体的体积可以通过计算底面积乘以高再除以3得到。

8. 球体的表面积可以通过计算球的半径乘以4π得到。

9. 球体的体积可以通过计算球的半径的立方乘以4/3π得到。

四、立体图形的投影1. 平行投影是指物体与投影面平行，投影线平行于视线的投影方式。

2. 中心投影是指物体与投影面垂直，投影线经过视点的投影方式。

3. 斜投影是指物体与投影面不平行，投影线不垂直于视线的投影方式。

五、立体图形的相交关系1. 相交是指两个或多个立体图形的内部部分有重叠的部分。

2. 相切是指两个立体图形的边或面部分有公共点但没有内部有重叠的部分。

3. 相离是指两个立体图形的边和面之间没有公共点。

六、立体图形的旋转、平移和对称1. 旋转是指将一个立体图形绕着某个轴进行旋转，可以得到一个新的立体图形。

2. 平移是指将一个立体图形沿着某个方向进行平行移动，保持形状不变。

3. 对称是指将一个立体图形围绕某个中心进行对称，得到与原图形相似但位置对称的图形。

立体几何知识点一、 平面.1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面.注：两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内.2. 两个平面可将平面分成3或4部分.（①两个平面平行，②两个平面相交）3. 过三条互相平行的直线可以确定1或3个平面.（①三条直线在一个平面内平行，②三条直线不在一个平面内平行）[注]：三条直线可以确定三个平面，三条直线的公共点有0或1个.4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.（X 、Y 、Z 三个方向）二、 空间直线.1. 空间直线位置分三种：相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点；平行直线—共面没有公共点；异面直线—不同在任一平面内[注]：①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.（×）（可能两条直线平行，也可能是点和直线等）②直线在平面外，指的位置关系：平行或相交③若直线a 、b 异面，a 平行于平面α，b 与α的关系是相交、平行、在平面α内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点.⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.（×）（射影不一定只有直线，也可以是其他图形）⑥在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等.（×）（并非是从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段）⑦b a ,是夹在两平行平面间的线段，若b a =，则b a ,的位置关系为相交或平行或异面.2. 异面直线判定定理：过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线.（不在任何一个平面内的两条直线）3. 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.4. 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等（如下图）.（二面角的取值范围[) 180,0∈θ） （直线与直线所成角(] 90,0∈θ） （斜线与平面成角() 90,0∈θ） （直线与平面所成角[] 90,0∈θ）（向量与向量所成角])180,0[ ∈θ 推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成锐角（或直角）相等.5. 两异面直线的距离：公垂线的长度.12方向相同12方向不相同空间两条直线垂直的情况：相交（共面）垂直和异面垂直.21,l l 是异面直线，则过21,l l 外一点P ，过点P 且与21,l l 都平行平面有一个或没有，但与21,l l 距离相等的点在同一平面内. （1L 或2L 在这个做出的平面内不能叫1L 与2L 平行的平面）三、 直线与平面平行、直线与平面垂直.1. 空间直线与平面位置分三种：相交、平行、在平面内.2. 直线与平面平行判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（“线线平行，线面平行”）[注]：①直线a 与平面α内一条直线平行，则a ∥α. （×）（平面外一条直线） ②直线a 与平面α内一条直线相交，则a 与平面α相交. （×）（平面外一条直线） ③若直线a 与平面α平行，则α内必存在无数条直线与a 平行. （√）（不是任意一条直线，可利用平行的传递性证之）④两条平行线中一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面. （×）（可能在此平面内）⑤平行于同一直线的两个平面平行.（×）（两个平面可能相交）⑥平行于同一个平面的两直线平行.（×）（两直线可能相交或者异面）⑦直线l 与平面α、β所成角相等，则α∥β.（×）（α、β可能相交）3. 直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.（“线面平行，线线平行”）4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直，过一点有且只有一条直线和一个平面垂直，过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.● 若PA ⊥α，a ⊥AO ，得a ⊥PO （三垂线定理）， 得不出α⊥PO . 因为a ⊥PO ，但PO 不垂直OA .● 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.（“线线垂直，线面垂直”）直线与平面垂直的判定定理二：如果平行线中一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.推论：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.[注]：①垂直于同一平面．．．．的两个平面平行.（×）（可能相交，垂直于同一条直线．．．．．的两个平面平行）②垂直于同一直线的两个平面平行.（√）（一条直线垂直于平行的一个平面，必垂直于另一个平面）③垂直于同一平面的两条直线平行.（√）5. ⑴垂线段和斜线段长定理：从平面外一点．．向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段射影较长；③垂线段比任何一条斜线段短.[注]：垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.（×）]⑵射影定理推论：如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上P OA a四、平面平行与平面垂直.1. 空间两个平面的位置关系：相交、平行.2. 平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，哪么这两个平面平行.（“线面平行，面面平行”）推论：垂直于同一条直线的两个平面互相平行；平行于同一平面的两个平面平行. [注]：一平面间的任一直线平行于另一平面.3. 两个平面平行的性质定理：如果两个平面平行同时和第三个平面相交，那么它们交线平行.（“面面平行，线线平行”）4. 两个平面垂直性质判定一：两个平面所成的二面角是直二面角，则两个平面垂直.两个平面垂直性质判定二：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.（“线面垂直，面面垂直”）注：如果两个二面角的平面对应平面互相垂直，则两个二面角没有什么关系.5. 两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于21,ll，因为ααββ⊥⊂⊥⊂OBPMOAPM,,,则OBPMOAPM⊥⊥,.6. 两异面直线任意两点间的距离公式：θcos2222mndnml+++=（θ为锐角取加，θ为钝取减，综上，都取加则必有⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ）7. ⑴最小角定理：21coscoscosθθθ=（1θ为最小角，如图）⑵最小角定理的应用（∠PBN为最小角）简记为：成角比交线夹角一半大，且又比交线夹角补角一半长，一定有4条.成角比交线夹角一半大，又比交线夹角补角小，一定有2条.成角比交线夹角一半大，又与交线夹角相等，一定有3条或者2条.成角比交线夹角一半小，又与交线夹角一半小，一定有1条或者没有.五、棱锥、棱柱.1. 棱柱.⑴①直棱柱侧面积：ChS=（C为底面周长，h是高）该公式是利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出的.②斜棱住侧面积：lCS1=（1C是斜棱柱直截面周长，l是斜棱柱的侧棱长）该公式是利用斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.⑵{四棱柱}⊃{平行六面体}⊃{直平行六面体}⊃{长方体}⊃{正四棱柱}⊃{正方体}. {直四棱柱}⋂{平行六面体}={直平行六面体}.⑶棱柱具有的性质：图1θθ1θ2图2PαβθM ABO①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的各个侧面都是矩形．．．．．．．．；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形．．．．．.②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形.注：①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. （×）（直棱柱不能保证底面是钜形可如图）②（直棱柱定义）棱柱有一条侧棱和底面垂直.⑷平行六面体：定理一：平行六面体的对角线交于一点．．．．．．．．．．．．．，并且在交点处互相平分. [注]：四棱柱的对角线不一定相交于一点.定理二：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和.推论一：长方体一条对角线与同一个顶点的三条棱所成的角为γβα,,，则1cos cos cos 222=++γβα.推论二：长方体一条对角线与同一个顶点的三各侧面所成的角为γβα,,，则2cos cos cos 222=++γβα.[注]：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.（×）（斜四面体的两个平行的平面可以为矩形）②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（×）（应是各侧面都是正方形的直．棱柱才行） ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.（×）（只能推出对角线相等，推不出底面为矩形）④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. （两条边可能相交，可能不相交，若两条边相交，则应是充要条件）2. 棱锥：棱锥是一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.[注]：①一个棱锥可以四各面都为直角三角形.②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥；所以棱柱棱柱3V S h V ==.⑴①正棱锥定义：底面是正多边形；顶点在底面的射影为底面的中心.[注]：i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.（不是等边三角形）ii. 正四面体是各棱相等，而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等iii. 正棱锥定义的推论：若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形（即侧棱相等）；底面为正多边形.②正棱锥的侧面积：'Ch 21S =（底面周长为C ，斜高为'h ） ③棱锥的侧面积与底面积的射影公式：αcos 底侧S S =（侧面与底面成的二面角为α） 附： 以知c ⊥l ，b a =⋅αcos ，α为二面角b l a --. c则l a S ⋅=211①，b l S ⋅=212②，b a =⋅αcos ③ ⇒①②③得αcos 底侧S S =. 注：S 为任意多边形的面积（可分别多个三角形的方法）.⑵棱锥具有的性质：①正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）.②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置：①棱锥的侧棱长均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直，则顶点在底面的射影为三角形垂心.⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影为三角形的垂心.⑦每个四面体都有外接球，球心0是各条棱的中垂面的交点，此点到各顶点的距离等于球半径；⑧每个四面体都有内切球，球心I 是四面体各个二面角的平分面的交点，到各面的距离等于半径.[注]：i. 各个侧面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.（×）（各个侧面的等腰三角形不知是否全等）ii. 若一个三角锥，两条对角线互相垂直，则第三对角线必然垂直简证：A B ⊥CD ，AC ⊥BD ⇒ BC ⊥AD. 令b AC c AD a AB ===,, 得c a c b AD BC c AD a b AB AC BC -=⋅⇒=-=-=,，已知()(),0=-⋅=-⋅c a b b c a 0=-⇒c b c a 则0=⋅AD BC .iii. 空间四边形OABC 且四边长相等，则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. iv. 若是四边长与对角线分别相等，则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证：取AC 中点'O ，则⊥⇒⊥'⊥'AC AC O B AC o o ,平面=∠⇒⊥⇒'FGH BO AC B O O 90°易知EFGH 为平行四边形⇒EFGH 为长方形.若对角线等，则EFGH FG EF ⇒=为正方形. 3. 球：⑴球的截面是一个圆面.①球的表面积公式：24R S π=.②球的体积公式：334R V π=. ⑵纬度、经度：F E HG B C DA O'O r①纬度：地球上一点P 的纬度是指经过P 点的球半径与赤道面所成的角的度数. ②经度：地球上B A ,两点的经度差，是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平面的二面角的度数，特别地，当经过点A 的经线是本初子午线时，这个二面角的度数就是B 点的经度.附：①圆柱体积：h r V 2π=（r 为半径，h 为高） ②圆锥体积：h r V 231π=（r 为半径，h 为高） ③锥形体积：Sh V 31=（S 为底面积，h 为高） 4. ①内切球：当四面体为正四面体时，设边长为a ，a h 36=，243a S =底，243a S =侧 得a a a R R a R a a a 46342334/424331433643222=⋅==⇒⋅⋅+⋅=⋅. 注：球内切于四面体：h S R S 313R S 31V 底底侧ACD B ⋅=⋅+⋅⋅⋅=- ②外接球：球外接于正四面体，可如图建立关系式.六. 空间向量.1. （1）共线向量：共线向量亦称平行向量，指空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合.注：①若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线.（×） [当0=b 时，不成立] ②向量c b a ,,共面即它们所在直线共面.（×） [可能异面]③若a ∥b ，则存在小任一实数λ，使b a λ=.（×）[与0=b 不成立]④若a 为非零向量，则00=⋅a .（√）[这里用到)0(≠b b λ之积仍为向量]（2）共线向量定理：对空间任意两个向量)0(,≠b b a ，a ∥b 的充要条件是存在实数λ（具有唯一性），使b a λ=.（3）共面向量：若向量a 使之平行于平面α或a 在α内，则a 与α平行，记作a ∥α.（4）①共面向量定理：如果两个向量b a ,不共线，则向量P 与向量b a ,共面的充要条件是存在实数对x 、y 使b y a x P +=.②空间任一点．．．O ．和不共线三点．．．．．．A ．、．B ．、．C ．，则)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 是P ABC O R四点共面的充要条件.（简证：→+==++--=AC z AB y AP OC z OB y OA z y OP )1(P 、A 、B 、C 四点共面）注：①②是证明四点共面的常用方法.2. 空间向量基本定理：如果三个向量．．．．c b a ,,不共面．．．，那么对空间任一向量P ，存在一个唯一的有序实数组x 、y 、z ，使c z b y a x p ++=.推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P , 都存在唯一的有序实数组x 、y 、z 使 OC z OB y OA x OP ++=(这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD 的三条棱，,,,d AD c AC b AB ===其中Q 是△BCD 的重心，则向量)(31c b a AQ ++=用MQ AM AQ +=即证. 3. （1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令a =(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a b a ++=⋅ a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(a a =⇒⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α||n A D CB②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB一、四面体.：1、①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心； ②四面体的四个面组成六个二面角的角平分面交于一点，该点叫此四面体内接球的球心； ③四面体的四个面的重心与相对顶点的连接交于一点，这一点叫做此四面体的重心，且重心将每条连线分为3︰1；④12个面角之和为720°，每个三面角中任两个之和大于另一个面角，且三个面角和为180°.2. 直角四面体：有一个三面角的三个面角均为直角的四面体称为直角四面体，相当于平面几何的直角三角形. （在直角四面体中，记V 、l 、S 、R 、r 、h 分别表示其体积、六条棱长之和、表面积、外接球半径、内切球半径及侧面上的高），则有空间勾股定理： S 2△ABC +S 2△BCD +S 2△ABD =S 2△ACD.3. 等腰四面体：对棱都相等的四面体称为等腰四面体，好象平面几何中的等腰三角形.根据定义不难证明以长方体的一个顶点的三条面对角线的端点为顶点的四面体是等腰四面体，反之也可以将一个等腰四面体拼补成一个长方体.（在等腰四面体ABCD 中，记BC = AD =a ，AC = BD = b ，AB = CD = c ，体积为V ，外接球半径为R ，内接球半径为r ，高为h ），则有①等腰四面体的体积可表示为22231222222222c b a b a c a c b V -+⋅-+⋅-+=； ②等腰四面体的外接球半径可表示为22242c b a R ++=；③等腰四面体的四条顶点和对面重心的连线段的长相等，且可表示为22232c b a m ++=；④h = 4r.二、常用结论、方法和公式1.从一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC ，若∠AOB=∠AOC ，则点A 在平面∠BOC OABC D上的射影在∠BOC 的平分线上；2. 已知:直二面角M －AB －N 中，AE ⊂ M ，BF ⊂ N,∠EAB=1θ,∠ABF=2θ，异面直线AE 与BF 所成的角为θ，则;cos cos cos 21θθθ=3.立平斜公式：如图，AB 和平面所成的角是1θ，AC 在平面内，BC 和AB 的射影BA 1成2θ，设∠ABC=3θ,则cos 1θcos 2θ=cos 3θ； 4.异面直线所成角的求法：（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；7.空间距离的求法（1）两异面直线间的距离，高考要求是给出公垂线，所以一般先利用垂直作出公垂线，然后再进行计算；（2）求点到直线的距离，一般用三垂线定理作出垂线再求解；（3）求点到平面的距离，一是用垂面法，借助面面垂直的性质来作，因此，确定已知面的垂面是关键；二是不作出公垂线，转化为求三棱锥的高，利用等体积法列方程求解；8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等，记为θ，则S 侧cos θ=S 底；9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα因此有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2;10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长；11.欧拉公式：如果简单多面体的顶点数为V,面数为F,棱数为E.那么V+F －E=2；并且棱数E ＝各顶点连着的棱数和的一半＝各面边数和的一半；12.柱体的体积公式：柱体（棱柱、圆柱）的体积公式是V 柱体=Sh.其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.13.直棱柱的侧面积和全面积S 直棱柱侧= c (c 表示底面周长， 表示侧棱长) S 棱柱全=S 底+S 侧14．棱锥的体积:V 棱锥=Sh 31，其中S 是棱锥的底面积，h 是棱锥的高。

立体几何的全部知识点立体几何是九年级数学中常见的概念，属于几何学知识，包括三维空间中各种形状和投影，以及它们之间的关系，有助于我们研究物体的结构和代数运算，为物体的准确表达提供帮助。

立体几何的知识点包括：一、定义和符号：（1）体积：体积V是在某一时刻，某一物体的容积所表示的实际大小。

（2）表面积：Surface Area S 是在某一时刻，某一物体的整个表面的面积总和。

（3）立体角：立体角也称为穹顶角，它由三条相交的边组成，表示物体上某一点到其他三面所角度的总和。

（4）体积和表面积的符号分别为V和S。

二、投影：（1）正投影：正投影是指沿着平面对物体进行投影，显示物体的各面的立体效果，物体被投影到平面上，形成新的三维形体。

（2）侧投影：侧投影是把物体投影到平面上，只显示物体上与投影面垂直的一部分，不会显示其上斜角或斜面。

三、变换：（1）平移：平移是把物体移动到新位置，沿着一个给定的方向进行移动。

（2）旋转：旋转是把物体局部或整体移动到新位置，沿着一定角度和指定的锥形旋转。

（1）水平投影：水平投影指通过把物体置于水平平面上来进行投影，表达投影物作为物体的一部分的立体视觉效果。

（3）正交投影：正交投影是将物体的正面以一个给定的垂线作为视轴，把物体投影到一个直角坐标系上，以呈现其真实模样。

(4) 仿射投影：仿射投影是把物体投射到平面上，同时保留物体形状和位置的相对关系，物体经过一个仿射变换，可以在平面上表示一种实体的完整的立体形状。

五、三角形几何：（1）三角形的周长：三角形的周长是指给定三角形的三条边之和。

（3）余弦定理：余弦定理是指在一个三角形中，要么是给定三条边，要么是两条边和夹角之间存在性质，充分表示相应之间关系。

（4）余切定理：余切定理是指在一个三角形中，无论如何，两条边的余切值都是一定的。

（5）三角函数：三角函数是以这三个角的正弦、余弦和正切为变量表示的函数，三角函数可以用来求解复杂的三角形。

立体几何知识点总结一、点、线、面的基本概念1. 点：在几何中，点是最基本的概念，它没有长度、宽度和高度，只有位置，可以用来确定物体的位置。

2. 线：由无数个点组成，是一维的几何图形，没有宽度和高度，只有长度，可以用来表示物体的轨迹或连接两个点。

3. 面：由无数条线组成，是二维的几何图形，有长度和宽度，没有高度，可以用来表示物体的表面。

二、立体几何的基本元素1. 点、线、面的组合：在立体几何中，可以通过将点、线、面进行组合和运算得到更复杂的几何体，如球体、立方体等。

2. 立体体积：立体体积是指一个物体所占据的空间大小。

常见的表示立体体积的单位有立方米、立方厘米等。

3. 立体表面积：立体表面积是指一个物体外表面的总面积。

通常用平方米、平方厘米等单位来表示。

4. 立体的投影：立体的投影是指立体在不同平面上的投影图形。

常见的投影有正投影和斜投影两种。

三、常见的立体几何图形1. 球体：球体是由所有到一个点的距离相等的点组成的几何图形。

它具有无限个面，其中每个面都是一个圆。

2. 圆柱体：圆柱体是由两个平行的圆面和一个连接这两个圆面的侧面组成的。

它的底面和顶面是圆，侧面是矩形。

3. 圆锥体：圆锥体是由一个圆面和一个连接这个圆面和一个点的侧面组成的。

它的底面是圆，侧面是三角形。

4. 立方体：立方体是由六个相等的正方形组成的几何图形。

它的六个面都是正方形，每个面都有相同的边长。

5. 正四面体：正四面体是由四个相等的三角形组成的几何图形。

它的四个面都是等边三角形，每个面都有相同的边长。

四、常见的立体几何性质1. 对称性：立体几何中的许多图形具有对称性，即通过某个中心轴或中心点将图形分为两个相互对称的部分。

2. 平行性：立体几何中的平面和直线可以平行，即它们在空间中不相交，且永远保持相同的距离。

3. 垂直性：立体几何中的直线和平面可以垂直，即它们相互垂直交于一个点，形成直角。

4. 相似性：在立体几何中，如果两个图形的形状相似，则它们的对应边长比相等，对应角度相等。

立体几何知识点立体几何是几何学中的一门重要学科，研究物体的形状、大小以及其相关性质。

在我们日常生活中，许多事物都是三维的，如建筑物、容器、雕塑等，立体几何知识的运用可以帮助我们更好地理解和描述这些物体。

本文将介绍一些常见的立体几何知识点。

1. 点、线、面、体在立体几何中，最基本的元素包括点、线、面和体。

点是没有长度、宽度和高度的，它只有位置；线是由无数个点连成的，有长度但没有宽度和高度；面是由无数个线连成的，有长度和宽度但没有高度；而体是由无数个面连成的，有长度、宽度和高度。

2. 平行和垂直在几何学中，平行和垂直是两个重要的概念。

平行是指两条或多条直线在同一平面内永远不会相交；垂直是指两条直线的交角为90度。

平行和垂直关系在立体几何中也同样适用，我们可以通过观察物体的边缘线来确定它们之间的平行和垂直关系。

3. 立体图形的表面积和体积表面积和体积是描述立体图形大小的常见指标。

表面积是指立体图形所有的外侧面积之和，体积是指立体图形所包含的空间大小。

不同的立体图形计算表面积和体积的方法也各不相同，比如长方体的表面积等于各个面的面积之和，体积等于底面积乘以高度。

4. 立体图形的分类在立体几何中，常见的立体图形包括球体、圆锥体、圆柱体、正方体和长方体等。

球体是一个由无数个点构成的曲面，在球体内部的任意两点之间的直线都位于球心之内；圆柱体是由一个圆和两个平行于圆的直线围成的体；圆锥体是由一个圆和一个顶点连成的带有尖端的体。

5. 立体图形的投影在立体几何中，投影是指将三维物体投射到二维平面上的过程。

常见的投影有平行投影和透视投影。

平行投影是指物体投影到平面上时保持与物体平行的投影线，透视投影是指物体投影到平面上时呈现出透视效果的投影线。

通过投影，我们可以更清晰地观察和理解立体物体的形状和结构。

在生活和学习中，了解立体几何知识是非常有用的。

它可以帮助我们理解物体的大小、形状和结构，进而应用到实际问题中。

在建筑设计、制造业、计算机图形学等领域，立体几何知识的运用被广泛应用。

立体几何初步知识点全总结一、空间几何体的结构。

1. 棱柱。

- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

- 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱。

正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

- 性质：- 侧棱都相等，侧面是平行四边形。

- 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。

- 过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形。

2. 棱锥。

- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。

- 分类：- 按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等。

- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥。

- 性质：- 正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高相等（它叫做正棱锥的斜高）。

- 棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。

3. 棱台。

- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。

- 分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台等。

- 性质：- 棱台的各侧棱延长后交于一点。

- 棱台的上下底面是相似多边形，侧面是梯形。

4. 圆柱。

- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。

- 性质：- 圆柱的轴截面是矩形。

- 平行于底面的截面是与底面全等的圆。

5. 圆锥。

- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

- 性质：- 圆锥的轴截面是等腰三角形。

- 平行于底面的截面是圆，截面半径与底面半径之比等于顶点到截面距离与圆锥高之比。

6. 圆台。

- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。

立体几何知识点立体几何知识点概述1. 立体图形的基本概念- 体积与表面积- 多面体、旋转体的定义和分类2. 多面体- 棱柱和棱锥- 正方体和长方体- 正棱锥和正棱台- 棱镜和棱镜体- 多面体的体积和表面积公式- 棱柱体积公式：V = Bh（B为底面积，h为高）- 棱锥体积公式：V = (1/3)Bh（B为底面积，h为高） - 正多面体的表面积公式：A = 面积单位 * 面数3. 旋转体- 圆柱、圆锥和圆台- 体积公式：V = πr²h（r为半径，h为高）- 球体- 体积公式：V = (4/3)πr³- 表面积公式：A = 4πr²- 旋转椭球体和旋转抛物面4. 空间几何图形的性质- 线面关系- 平行与垂直- 线面角和面面角- 面面关系- 平行与相交- 二面角- 体积与表面积的计算5. 立体图形的构造- 利用基本几何体构造复杂图形- 几何体的切割与组合6. 空间向量与立体几何- 空间向量的基本概念- 向量的加法、数乘、数量积和向量积 - 利用空间向量解决立体几何问题7. 立体几何的应用- 建筑设计- 工程测量- 计算机图形学8. 立体几何的解题技巧- 利用对称性- 转化与化归- 空间想象能力的培养9. 典型例题解析- 计算多面体和旋转体的体积与表面积 - 解决线面、面面关系问题- 空间向量在立体几何中的应用10. 立体几何的数学思想- 空间直观与抽象- 几何变换- 极限与微积分初步以上是立体几何的主要知识点概述，每个部分都包含了该领域的核心概念、公式、性质和应用。

在实际教学或学习中，应根据具体情况深入探讨每个部分的细节，并结合实际问题进行练习和应用。

一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。

旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。

其中，这条定直线称为旋转体的轴。

（2）柱，锥，球的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。

1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。

1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222coscos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。

立体几何知识点归纳总结立体几何是数学中研究三维空间中几何形状和它们之间关系的学科。

它不仅在数学理论中占有重要地位，而且在工程、建筑、物理学等多个领域都有广泛的应用。

以下是立体几何的一些关键知识点的归纳总结：1. 空间直线与平面：立体几何的基础是理解空间中的直线和平面。

直线是一维对象，而平面是二维对象。

在空间中，直线与平面可以相交、平行或位于同一平面内。

2. 空间角：立体几何中的空间角包括直线与直线之间的角度、直线与平面之间的角度以及平面与平面之间的角度。

这些角度的测量是立体几何中的重要内容。

3. 多面体与多边形：多面体是空间中由多条边和多个面组成的封闭形状，如立方体、四面体等。

多边形是平面上的封闭形状，如三角形、矩形等。

立体几何中研究多面体的面、边、顶点以及它们之间的关系。

4. 体积与表面积：计算立体图形的体积和表面积是立体几何中的核心问题。

对于规则的几何体，如立方体、球体、圆柱体等，有固定的公式来计算它们的体积和表面积。

5. 向量：向量是具有大小和方向的量，它在立体几何中用于描述空间中的位置、运动和力。

向量运算，如向量加法、标量乘法和点积，是解决立体几何问题的重要工具。

6. 坐标系：在立体几何中，通常使用笛卡尔坐标系来确定空间中点的位置。

通过三个坐标轴（通常是x、y和z轴），可以精确地描述空间中的任何一点。

7. 对称性：立体几何中的对称性包括反射对称、旋转对称和滑移对称。

对称性是理解几何形状和它们的性质的关键。

8. 投影：在立体几何中，投影是将三维对象映射到二维平面上的过程。

这在工程图纸和建筑设计中非常重要。

9. 锥体与柱体：锥体和柱体是常见的立体几何形状。

它们由一个底面和连接底面各点到一个共同顶点的线段组成。

锥体和柱体的体积和表面积的计算是立体几何中的重要内容。

10. 曲面：曲面是立体几何中的二维表面，它们可以是平面的，也可以是弯曲的。

曲面的研究包括曲面的方程、曲面的几何性质以及曲面上的路径等。

第二讲 空间图形的基本关系与公理一、知识梳理1．平面概述（1）平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） （2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC 。

2．三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：A l ∈,B l ∈,A α∈,B α∈⇒α⊂l公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。

公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。

推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。

推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。

推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。

3、直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线平行直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点（2）异面直线所成的角①定义：设a,b 是两条异面直线，经过空间中任一点O 作直线a ’∥a,b ’∥b,把a ’与b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）②范围：02π⎛⎤ ⎥⎝⎦，6、平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行。

（但垂直于同一条直线的两直线的位置关系可能平行，可能相交，也可能异面）7、定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

二、直线、平面平行的判定及其性质1、直线与平面平行的判定与性质（1）判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；（2）性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行；2、平面与平面平行的判定与性质（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行；（2）性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

立体几何知识点总结(全)垂直直线：相交成直角的直线。

三．点与平面的位置关系点在平面上：点在平面内部；点在平面外：点在平面的一侧；点在平面上方或下方：只有在三维空间中才有，点在平面上方或下方的判断需要借助向量的概念。

四．直线与平面的位置关系直线在平面上：直线的每一个点都在平面上；直线与平面相交：有且只有一个交点；直线与平面平行：没有交点，且方向与平面的法向量垂直；直线与平面垂直：直线方向与平面的法向量相同或相反。

五．平面与平面的位置关系两个平面相交：有且只有一条公共直线；两个平面平行：没有公共直线；两个平面重合：所有点都相同。

改写：一。

空间几何体的三视图在空间几何体中，正视图是指光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和长度。

侧视图是指光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图，反映了物体的高度和宽度。

俯视图是指光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图，反映了物体的长度和宽度。

三视图中反应的长、宽、高的特点有“长对正”，“高平齐”，“宽相等”。

二。

空间几何体的直观图斜二测画法的基本步骤包括建立适当的直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上）、建立斜坐标系x'O'y'，使x'O'y'=45（或135）以及画对应图形。

在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X‘轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y‘轴，且长度变为原来的一半。

直观图与原图形的面积关系为S直观图= S原图/4.三。

空间几何体的表面积与体积圆柱侧面积为S侧面=2πr×l，圆锥侧面积为S侧面=πr×l，圆台侧面积为S侧面=πr×l+πR×l。

柱体的体积为V柱体=S×h，锥体的体积为V锥体=S×h/3，台体的体积为V台体=S上+S下+√S上×S下×h/3.球的表面积和体积分别为S=4πR2和V球=4πR3/3.正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥，正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。

立体几何知识点总结立体几何知识点总结立体几何是研究空间形体的一个分支学科，它主要关注物体的形状、大小、位置以及各个部分之间的关系。

在数学中，立体几何经常与代数、几何学以及物理学等学科相结合。

本文将对立体几何的一些基本概念、性质和定理进行总结和概述。

1. 点、线、面和体在立体几何中，基本要素有点、线、面和体。

点是最基本的单位，没有长度、面积或体积，只有位置；线是由无数个点组成的，有长度但没有宽度；面是由无数个线组成的，有面积但没有厚度；体是由无数个面组成的，有体积。

2. 立体几何中的基本名词在立体几何中，有一些基本名词需要了解，如顶点、边、面和多面体等。

顶点是两条边或两个面的交点，边是连接两个顶点的线段，面是由三条或以上的线连成的封闭空间，而多面体是由若干个面组成的立体。

3. 多面体的特点多面体有一些特点，如：多面体的各个面都是平面；多面体的两个面之间的交线是边；多面体的每一个顶点周围都有若干个面相交；多面体的两个面之间的交角是面对面所对的角的两倍。

4. 立体的投影当一个立体在某个平面上投影时，我们可以观察到不同的形状。

立体的投影可以是正交投影或透视投影。

正交投影是指物体与平面之间的投影是垂直的，而透视投影是指物体与平面之间的投影不垂直。

5. 立体的表面积和体积表面积是指立体的所有面的表面积之和，而体积是指立体所占据的空间大小。

计算表面积和体积的方法因不同的立体而异。

例如，计算正方体的表面积是将六个面的面积相加，而计算正方体的体积是将边长的立方相乘。

6. 立体的相似与全等当两个立体的所有对应的边长比相等，并且对应的角度也相等时，我们称这两个立体相似。

而当两个立体的所有对应的边长和角度都相等时，我们称这两个立体全等。

7. 空间角的性质和计算空间角是指两个面所对的角，它有一些特性需要了解。

例如，空间角叠加定理指的是如果两个空间角的两个边分别相等并且在同一平面内，那么这两个空间角之和等于它们在同一平面内的共面角的对角。

立体几何知识点总结一、立体几何的概念立体几何也叫三位几何，是一门关于无限的空间内的形体的概念的数学研究。

其中形体是关于空间和大小、形状等特征的实体对象，它们是由若干抽象线段、平面、曲面等等的部分的集合构成的。

立体几何不仅考虑各个物体的大小，位置和形状，还考虑它们之间的相互关系。

二、立体几何中的基本概念1. 在立体几何中，线是由两点组成的，表示在空间中点之间的相互联系。

2. 平面是立体几何中最基本的对象，它能够容纳多种元素，如点、线、多边形等。

3. 立体几何中的空间是容纳多种形状的体积，它由多个面和边构成，其中面指的是空间中的平面，而边则指的是空间中连接不同面的线段。

4. 网格是立体几何中表示空间中面之间关系的一种结构，它由若干平行的网格线构成，网格线交点构成多边形，多边形就可以定义一个体积。

5. 角是立体几何中形状体由边和面所组成的几何形体中的微小体积，它由三条线段所构成，三条线段之间的角的最小单位为度，一个角的弧度R可用度D表示：D=180°/π，即1弧度=180°/π。

三、立体几何的基本概念1. 向量是一阶矢量，其定义为从点A到点B的有向线段。

2. 点是立体几何中的基本概念，它代表空间中的微小单位，它可以用在空间中的任何位置，其坐标只有x,y,z三个维度，用符号(x, y, z)来表示。

3. 距离是立体几何中表示空间两点之间距离的概念，它用以描述两点之间的距离（线段长度），距离由充分条件表示出来，平面上的距离可以用勾股定理表示出来，三维空间的距离可以用直线长度公式表示出来，即d=√(x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2。

4. 法向量是代表空间运动物体移动方向的一个单位变化量，一般用法向量积来表示空间变换，用叉乘来表示空间变向。

5. 随机变换是立体几何中表示体经旋转、平移、缩放等运动而发生的空间变换手法，一般用3×3的阵列来表示，一般用其表示的变换指数和变换矩阵来表征随机变换。