第8章立体几何专题4 垂直的证明常考题型专题练习——【含答案】

立体几何线面垂直-题型全归纳题型一利用等腰三角形“三线合一”例题1、如图，在正三棱锥P-ABC中，E，F，G分别为线段PA，PB，BC的中点，证明：BC⊥平面PAG。

证明：在正三棱锥P-ABC中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＡＧ⊥ＢＣ，又 ＰＢ＝ＰＣ，Ｇ是ＢＣ的中点，∴ＰＧ⊥ＢＣ，ＰＧ⋂ＡＧ＝Ｇ，ＰＧ，ＡＧ⊂平面ＰＡＧ，∴ＢＣ⊥平面ＰＡＧ，解题步骤（1）根据线段的中点，找出相应的等腰三角形；（2）格式“因为D是BC的中点，且AB=AC，所以AD⊥BC”；（3）依据“三线合一”得到线线垂直。

变式训练1、已知四面体ABCD中，AB=AC，BD=CD，E为棱BC的中点，求证：AD⊥BC证明：连接ＤＥ，ＡＢ＝ＡＣ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＡＥ⊥ＢＣ，又 ＢＤ＝ＣＤ，Ｅ是ＢＣ的中点，∴ＤＥ⊥ＢＣ，ＡＥ⋂ＤＥ＝Ｅ，ＡＥ，ＤＥ⊂平面ＡＤＥ，∴ＢＣ⊥平面ＡＤＥ，ＡＤ⊂平面ＡＤＥ，∴ＡＤ⊥ＢＣ变式训练2、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．求证：PC AB ⊥证明：取ＡＢ的中点Ｏ，连接ＯＰ，ＯＣ， ＡＰ＝ＢＰ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＰＥ⊥ＡＢ，又 ＡＣ＝ＢＣ，Ｏ是ＡＢ的中点，∴ＯＣ⊥ＡＢ，ＰＯ⋂ＣＯ＝Ｏ，ＰＯ，ＣＯ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥平面ＰＯＣ，ＰＣ⊂平面ＰＯＣ，∴ＡＢ⊥ＰＣ。

变式训练3、如图，在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，底面ＡＢＣＤ是菱形，Ｅ为ＣＤ的中点，060=∠ABC ，求证：ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。

证明： 底面ＡＢＣＤ是菱形，060=∠ABC ，∴ＡＥ⊥ＣＤ，又 ＡＢ//ＣＤ，∴ＡＢ⊥ＡＥ，又ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，ＡＢ⊂平面ＡＢＣＤ，∴ＡＢ⊥ＰＡ，ＡＰ⋂ＡＥ＝Ａ，ＡＰ，ＡＥ⊂平面ＰＡＥ，∴ＡＢ⊥平面ＰＡＥ。

A CB P题型二利用勾股定理逆定理例题2、如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为棱1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：BDM1平面⊥O A 证明：连接ＯＭ，M A 1，11C A ，设正方体的棱长为2，则6222222121=+=+=AO A A O A 32122222=+=+=OC CM OM 91)22(222121121=+=+=M C C A M A 21221M A OM O A =+∴即：ＯＭ⊥OA 1又 在正方体1111D CB A ABCD -中，∴ＢＤ⊥OA 1 ＯＭ，ＢＤ⊂平面ＢＤＭ，∴BDM1平面⊥O A 解题步骤（1）根据题干给出的线段长度（没有长度的可以假设），标示在图形上，找出相应的三角形；（2）把线段的长度分别求平方，判断能否构成“222c b a =+”；（3）根据平方关系得到线线垂直。

垂直证明习题——面面垂直⇒线面垂直1. 如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， 90BAF ∠=︒．求证：AF ⊥平面ABCD ．2. 在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA CC ⊥平面ABC ，1AC CA =，AB AC ⊥，D 是1AA 的中点．求证：CD ⊥平面1AB ．3. 如图，正方形ABCD 边长为a ，平面ABCD ⊥平面CED ，CE ⊥DE ，CE =12AB ．证明：AE ⊥EC ．4. 如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90BAD ∠=，4AB =，2AD =，3DC =，点E 在CD 上，且2DE =，将ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图）．G 为AE 中点．求证:DG ⊥平面ABCE5. 如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点．若AP AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，证明：AF ⊥平面PCD ．6. 如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点．求证：平面．7. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，且，若、分别为、的中点．求证：平面．8. 如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，PB ＝PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM ．求证：OM ⊥平面PCD ．P ABCD -//AB CD 90BCD ∠=︒224AB BC CD ===PAB ∆PAB ⊥ABCD Q PB AQ ⊥PBC P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD 2PA PD AD ==E F PC BD EF ⊥PDC9. 如图，在四棱锥中P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠=︒，PA PD =，M 为CD的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ．求证：BD PM ⊥．10. 已知四棱锥中，底面是菱形，侧面平面，且，．证明：平面．11. 如图，在四棱锥P ABCD-中，侧面PCD⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，底面ABCD 是直角梯形，,90,1,2AB CD ADC AB AD PD CD ∠=︒====．求证：BC ⊥平面PBD ．12. 如图，在梯形ABCD 中，//,1,60AB CD AD DC CB ABC ︒===∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，1CF =．求证：BC ⊥平面ACFE ．A P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD PA =1AD =2PD =DB ⊥PAC垂直证明习题——面面垂直⇒线面垂直（教师版）1. 如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， 90BAF ∠=︒．求证：AF ⊥平面ABCD ．【解析】证明：∵90BAF ∠=︒，∴AB AF ⊥，又平面ABEF ⊥平面ABCD ，平面ABEF平面ABCD AB =，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面ABCD ．2. 在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA CC ⊥平面ABC ，1AC CA =，AB AC ⊥，D 是1AA 的中点．求证：CD ⊥平面1AB ．【解析】证明：∵面11ACC A ⊥面ABC ，AB AC ⊥，∴AB ⊥面11ACC A ，即有AB CD ⊥． 又1AC A C =，D 为1AA 中点，则1CD AA ⊥．∴CD ⊥面11ABB A ．3. 如图，正方形ABCD 边长为a ，平面ABCD ⊥平面CED ，CE ⊥DE ，CE =12AB ．证明：AE ⊥EC ．【解析】证明：∵平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD ∩平面CDE =CD ，AD ⊥CD ， ∴AD ⊥平面CDE ，又EC ⊂平面CDE ，∴AD ⊥EC又∵CE ⊥DE ，AD ∩DE =D ，AD ，DE ⊂平面ADE ，∴CE ⊥平面ADE ， 又AE ⊂平面ADE ，∴CE ⊥AE ．4. 如图，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90BAD ∠=，4AB =，2AD =，3DC =，点E在CD 上，且2DE =，将ADE 沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图）．G 为AE 中点．求证:DG ⊥平面ABCE【解析】证明：因为G 为AE 中点，2AD DE ==，所以DG AE ⊥．因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE 平面ABCE AE =，DG ⊂平面ADE ， 所以DG ⊥平面ABCE ．5. 如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 、F 分别是棱PC 和PD 的中点．若AP AD =，且平面PAD ⊥平面ABCD ，证明：AF ⊥平面PCD ．【解析】证明：在矩形ABCD 中，AD CD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CD ⊂面ABCD ， 所以CD ⊥平面PAD ，又AF ⊂面PAD ，所以CD AF ⊥①因为PA AD =且F 是PD 的中点，所以AF PD ⊥，②由①②及PD ⊂面PCD ，CD ⊂面PCD ，PD CD D =，所以AF ⊥平面 PCD ． 6. 如图，四棱锥，，，，为等边三角形，平面平面，为中点．求证：平面．P ABCD -//AB CD 90BCD ∠=︒224AB BC CD ===PAB ∆PAB ⊥ABCD Q PB AQ ⊥PBC【解析】证明：因为，，所以，又平面平面，且平面平面，所以平面． 又平面，所以，因为为中点，且为等边三角形，所以．又，所以平面．7. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，且，若、分别为、的中点．求证：平面．【解析】因为平面平面，平面平面，平面，又由矩形得，所以CD ⊥平面．又平面，∴，因为，∴又，所以是等腰直角三角形，且，即 又，∴而，平面，平面，所以平面 8. 如图，四棱锥P —ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD ⊥平面ABCD ，PB ＝PD ，PA ⊥PC ，CD ⊥PC ，O ，M 分别是BD ，PC 的中点，连结OM ．求证：OM ⊥平面PCD ．【解析】连结PO ，因为且O 是BD 中点，所以又因为平面平面，平面平面，平面，//AB CD 90BCD ∠=︒AB BC ⊥PAB ⊥ABCD PAB ⋂ABCD AB =BC ⊥PAB AQ ⊂PAB BC AQ ⊥Q PB PAB ∆PB AQ ⊥PB BC B ⋂=AQ ⊥PBC P ABCD -ABCD PAD ⊥ABCD 2PA PD AD ==E F PC BD EF ⊥PDC PAD ⊥ABCD PAD ⋂ABCD AD =CD ⊂ABCD ABCD CD AD ⊥PAD PA ⊂PAD CD PA ⊥//EF PA CD EF⊥2PA PD AD ==PAD ∆π2APD ∠=PA PD ⊥//EF PA PD EF ⊥CD PD D ⋂=CD ⊂PDC PD ⊂PDC EF ⊥PDC PB PD =PO BD ⊥PBD ⋂ABCD BD =PBD ⊥ABCD PO ⊂PBD。

线面垂直练习题及答案线面垂直是立体几何中的一个重要概念，它指的是一条直线与一个平面垂直。

在解决线面垂直问题时，我们通常需要利用相关的定理和性质来进行证明和计算。

以下是一些线面垂直的练习题及答案。

练习题1：已知直线AB与平面α垂直，点C在平面α内，求证：直线AC垂直于平面α。

答案1：由于直线AB垂直于平面α，根据线面垂直的性质定理，直线AB与平面α内的所有直线都垂直。

因此，直线AC作为平面α内的一条直线，必然与直线AB垂直。

根据线面垂直的定义，直线AC也垂直于平面α。

练习题2：在长方体ABCD-EFGH中，求证：直线BF垂直于平面ABEF。

答案2：由于长方体的对角线BF是连接两个相对顶点的直线，根据长方体的性质，对角线BF垂直于底面ABCD和顶面EFGH。

因此，直线BF垂直于平面ABEF内的任意直线，满足线面垂直的定义。

练习题3：已知直线l与平面α相交于点P，且直线m垂直于平面α，求证：直线m与直线l垂直。

答案3：由于直线m垂直于平面α，根据线面垂直的性质，直线m与平面α内的所有直线都垂直。

由于直线l与平面α相交于点P，我们可以将直线l投影到平面α上，得到一个与l平行的直线。

由于直线m垂直于平面α，它也垂直于平面α内的任何直线，包括l的投影。

因此，直线m与直线l垂直。

练习题4：在三棱锥P-ABC中，若PA⊥平面ABC，且AB⊥AC，求证：平面PAB垂直于平面PAC。

答案4：由于PA垂直于平面ABC，根据线面垂直的性质，PA也垂直于平面ABC 内的所有直线，包括AB和AC。

由于AB垂直于AC，根据面面垂直的判定定理，如果一个平面内的两条相交直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。

因此，平面PAB垂直于平面PAC。

练习题5：已知直线a与平面α垂直，直线b在平面α内，且直线a与直线b 相交于点O，求证：点O是直线a上的垂足。

答案5：由于直线a垂直于平面α，根据线面垂直的性质，直线a与平面α内的所有直线都垂直。

初中数学证明垂直问题专题训练含答案姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、综合题（共3题）1、如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．2、如图，四边形是平行四边形，，，是的中点，是延长线上一点．（1）若，求证：；（2）在（1）的条件下，若的延长线与交于点，试判定四边形是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)；（3）若，与垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．3、如图16，已知△ABC为等边三角形，P为BC上一点，△APQ为等边三角形。

（1）求证：AB∥CQ；（2）AQ与CQ能否互相垂直？若能互相垂直，指出点P在BC上的位置，并给予证明；若AQ 与CQ不能互相垂直，请说明理由。

二、计算题（共1题）1、如图，在中，，是边上的高，是边上的一个动点（不与重合），，，垂足分别为．（1）求证：；（2）与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；（3）当时，为等腰直角三角形吗？并说明理由．三、解答题（共4题）1、完成下面证明：（1）如图1，已知直线b∥c，a⊥c，求证：a⊥b证明：∵a⊥c（已知）∴∠1=（垂直定义）∵b∥c （已知）∴∠1=∠2（）∴∠2=∠1=90° （）∴a⊥b（）（2）如图2：AB∥CD，∠B+∠D=180°，求证：CB∥DE证明：∵AB∥CD （已知）∴∠B=（）∵∠B+∠D=180° （已知）∴∠C+∠D=180° （）∴CB∥DE（）2、如图所示，已知AE与CE分别是∠BAC，∠ACD的平分线，且∠1+∠2=∠AEC．（1）请问：直线AE与CE互相垂直吗？若互相垂直，给予证明；若不互相垂直，说明理由；（2）试确定直线AB，CD的位置关系并说明理由．3、直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线分别与直线PA，QB相交于点D，E．（1）如图（1），当直线l与PA垂直时，求证：．（2）如图（2），当直线l与PA不垂直且点D，E在AB同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．（3）当直线l与PA不垂直且点D，E在AB异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出AD，BE，AB之间的数量关系（不用证明）．4、已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点。

立体几何平行、垂直位置关系专练1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．7、在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．8、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .9、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠= ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．11、2.（2020·江苏省镇江高三二模）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .12、（2020·江苏省建湖高级中学高三月考）如图，在四面体ABCD 中，,90AD BD ABC =∠= ，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ．（1）求证：12EF BC =；（2）求证：平面EFD ⊥平面ABC ．点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD .14、（2020·江苏省高三二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.求证：（1）11AC ∥平面1B EF ；（2）1AC B E ⊥.15、（2020·江苏省连云港高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .16、（2020·江苏省苏州高三）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17、（2020·江苏省通州高三）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ；18、（2020·江苏省高三三模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC B C =，O 为四边形11ACC A 对角线交点，F 为棱1BB 的中点，且AF ⊥平面11BCC B .（1）证明：//OF 平面ABC ；（2）证明：四边形11ACC A 为矩形.参考答案1．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .【解析】（1）∵四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴AB PA ⊥，又AB AD ⊥，,PA AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=， ∴AB ⊥面PAD .PD ⊂面PAD ，∴AB PD ⊥. （2）连结BD AC O ⋂=，连结MO ， ∵//AD BC ，2AD BC =，2DO BO ∴=,∵在PBD ∆中，2DM MP =，2DO BO =∴//PB MO ， 又PB ⊄面MAC ，MO ⊂面MAC ，∴//PB 面MAC .2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ． 【详解】（1）因为在ΔPAC 中，E 为PA 的中点，O 为AC 的中点， 所以//EO PC又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ， 所以//EO 平面PCD同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O = ，EO ⊂平面EFO ,FO ⊂平面EFO 所以平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又,,PA AC A PA PAC AC PAC =⊂⊂ 平面平面所以BD ⊥平面PAC 。

立体几何平行、垂直位置关系专练1、如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .2、如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ．3、如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为6，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点．求证：(1)B 1M ∥平面A 1BN ；(2)AD ⊥平面A 1BN.4、如图，等边三角形ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直，BD∥AE，BD＝2AE，AE⊥AB，M为AB的中点．(1)证明：CM⊥DE；(2)在边AC上找一点N，使CD∥平面BEN.5、如图，矩形ABCD所在平面与三角形ABE所在平面互相垂直，AE＝AB，M，N，H分别为DE，AB，BE 的中点．求证：(1)MN∥平面BEC；(2)AH⊥CE.6、如图，在三棱台ABCDEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在请确定点G的位置；若不存在，请说明理由．7、在三棱锥S ABC -中，平面SAB ⊥平面SBC ，AB BC ⊥，AS AB =，过A 作AF SB ⊥，垂足为F ，点E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．（1）求证：平面EFG ∥平面ABC ．（2）求证：BC SA ⊥．8、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，点D 为棱1C C 的中点，1AC 与1A D 交于点E ，1BC 与1B D 交于点F ，连结EF .求证：（1）//AB EF ；（2）平面11A B D ⊥平面11B BCC .9、【2019年高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A 1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．点，平面PAB ⊥底面ABCD ，90PAB ∠= ．求证：（1）//PB 平面AEC ；（2）平面PAC ⊥平面ABCD ．11、2.（2020·江苏省镇江高三二模）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．()1求证：//AC 平面PDE ；()2若2PD AC ==，PE =PBC ⊥平面ABC .12、（2020·江苏省建湖高级中学高三月考）如图，在四面体ABCD 中，,90AD BD ABC =∠= ，点,E F 分别为棱,AB AC 上的点，点G 为棱AD 的中点，且平面//EFG 平面BCD ．（1）求证：12EF BC =；（2）求证：平面EFD ⊥平面ABC ．点，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：//PB 平面AEC ；（2）若四边形ABCD 是矩形且PA AD =，求证：AE ⊥平面PCD .14、（2020·江苏省高三二模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.求证：（1）11AC ∥平面1B EF ；（2）1AC B E ⊥.15、（2020·江苏省连云港高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，E 、F 分别为AD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE BC ⊥；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：//EF 平面PCD .16、（2020·江苏省苏州高三）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别为BC ，AC 的中点，AB =BC ．求证：（1）A1B 1∥平面DEC 1；（2）BE ⊥C 1E ．17、（2020·江苏省通州高三）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面1,2,1,,AB BC AA AC BC E F ⊥===分别是11,AC BC 的中点．（1）求证: 平面ABE ⊥平面11B BCC ；（2）求证:1C F ∥平面ABE ；18、（2020·江苏省高三三模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1BC B C =，O 为四边形11ACC A 对角线交点，F 为棱1BB 的中点，且AF ⊥平面11BCC B .（1）证明：//OF 平面ABC ；（2）证明：四边形11ACC A 为矩形.参考答案1．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AB AD ⊥，2AD BC =，M 点在线段PD 上，且满足2MD PM =.（1）求证:AB PD ⊥；（2）求证://PB 平面MAC .【解析】（1）∵四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB 平面ABCD ， ∴AB PA ⊥，又AB AD ⊥，,PA AD ⊂平面PAD ，PA AD A ⋂=， ∴AB ⊥面PAD .PD ⊂面PAD ，∴AB PD ⊥. （2）连结BD AC O ⋂=，连结MO ， ∵//AD BC ，2AD BC =，2DO BO ∴=,∵在PBD ∆中，2DM MP =，2DO BO =∴//PB MO ， 又PB ⊄面MAC ，MO ⊂面MAC ，∴//PB 面MAC .2．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，E 为PA 的中点，F 为BC 的中点，底面ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 交于点O ．求证：（1）平面//EFO 平面PCD ；（2）平面PAC ⊥平面PBD ． 【详解】（1）因为在ΔPAC 中，E 为PA 的中点，O 为AC 的中点， 所以//EO PC又EO ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ， 所以//EO 平面PCD同理可证，//FO 平面PCD ，又EO FO O = ，EO ⊂平面EFO ,FO ⊂平面EFO 所以平面//EFO 平面PCD ．（2）因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥因为底面ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，又,,PA AC A PA PAC AC PAC =⊂⊂ 平面平面所以BD ⊥平面PAC 。

1高中立体几何证明垂直的专题训练立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法： （1） 通过“平移”。

（2） 利用等腰三角形底边上的中线的性质。

（3） 利用勾股定理。

（4） 利用三角形全等或三角行相似。

(5) 利用直径所对的圆周角是直角，等等。

(1) 通过“平移”,若αα平面则平面且⊥⊥a b b a ,,// 1．在四棱锥P-ABCD 中，△PBC 为正三角形，AB ⊥平面PBC ，AB ∥CD ，AB=21DC ，中点为PD E .求证：AE ⊥平面PDC.分析：取PC 的中点F ，易证AE//BF ，易证B F ⊥平面PDC2.如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,2,BA AD CD AD CD AB PA ⊥⊥=⊥底面ABCD ,E 为PC 的中点, P A ＝AD 。

证明: BE PDC ⊥平面;分析：取PD 的中点F ，易证AF//BE, 易证A F ⊥平面PDC（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质5、在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠=，AP BP AB ==，PC AC ⊥．（Ⅰ）求证：PC AB ⊥；（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小；ACBP2（3）利用勾股定理7、如图，四棱锥P ABCD -的底面是边长为1的正方形，,1,PA CD PA PD ⊥== 求证:PA ⊥平面ABCD ；8、如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ． 现以AD 为一边向形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2． （1）求证：AM ∥平面BEC ；（2）求证：⊥BC 平面BDE ；9、如图，四面体ABCD 中，O、E 分别是BD 、BC 的中点， 2,CA CB CD BD AB AD ====== （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小；_ D_ C_ B_ A_ PM AFBCDEMEC3（4）利用三角形全等或三角行相似12．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2， D 为CC 1中点. 求证：AB 1⊥平面A 1BD ；分析： 取BC 的中点E ，连AE,B 1E,易证△DC B ≌△EBB 1，从而B D ⊥EB113、.如图，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ，交B 1C 于点F ， 求证：A 1C ⊥平面BDE ；（5）利用直径所对的圆周角是直角16、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ．以BD 的中点O 为球心、BD 为直径的球面交PD 于点M ．求证：平面ABM ⊥平面PCD ；B。

专题8 立体几何平行垂直的证明一、解答题1．（2022·全国·高考真题（理））如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．2．（2022·全国·高考真题）如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．(1)证明：//OE 平面PAC ；(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．3．（2022·全国·高考真题（理））在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥(1)证明：BD PA ⊥；(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．4．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11222AC AA AB AC BC ====，160BAA ∠=︒．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2(1)证明：平面ABC ⊥平面11AA B B ．(2)设P 是棱1CC 的中点，求AC 与平面11PA B 所成角的正弦值．5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（文））如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，PCD 为等边三角形，22CD AB ==，AD 90BAD ADC ∠=∠=︒，M 是棱PC 上一点．(1)若2MC MP =，求证：//AP 平面MBD ．(2)若MC MP =，求点P 到平面BDM 的距离．6．（2021·上海市建平中学模拟预测）如图，三棱锥P ABC -，侧棱2PA =，底面三角形ABC 为正三角形，边长为2，顶点P 在平面ABC 上的射影为D ，有AD DB ⊥，且1DB =.(1)求证：//AC 平面PDB ；(2)求二面角P AB C 的余弦值.7．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校模拟预测（理））如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，PD AD =，N 为线段BC 上的动点．(1)证明：平面MND ⊥平面PBC(2)当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面P AB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．8．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在边上为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，点M ，N 分别是边BC ，CD 的中点，1AC BD O ⋂=，AC MN G ⋂=．沿MN 将CMN △翻折到PMN 的位置，连接PA ，PB ，PD ，得到如图2所示的五棱锥P ABMND -．(1)在翻折过程中是否总有平面PBD ⊥平面PAG ？证明你的结论；(2)当四棱锥P MNDB -体积最大时，求直线PB 和平面MNDB 所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在线段PA 上是否存在一点Q ，使得二面角Q MN P --存在，试确定点Q 的位置；若不存在，请说明理由．9．（2022·全国·模拟预测）在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1,,2AB AP AD E F ==分别是AP BC ，的中点．原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 4(1)求证：//EF 平面PCD ；(2)求二面角C EF D --的余弦值．10．（2022·内蒙古·乌兰浩特一中模拟预测（文））如图在梯形中，//BC AD ，22AB AD BC ===，23ABC π∠=，E 为AD 中点，以BE 为折痕将ABE △折起，使点A 到达点P 的位置，连接,PD PC ，(1)证明：平面PED ⊥平面BCDE ；(2)当2PC =时，求点D 到平面PEB 的距离.11．（2022·全国·南京外国语学校模拟预测）如图，在三棱台111ABC A B C -中，AB AC ⊥，4AB AC ==，1112A A A B ==，侧棱1A A ⊥平面ABC ，点D 是棱1CC 的中点．(1)证明：平面1BB C ⊥平面1AB C ；(2)求二面角C BD A --的正弦值．12．（2022·青海·模拟预测（理））如图，在四棱锥A -BCDE 中，底面BCDE 为矩形，M 为CD 中点，连接BM ，CE 交于点F ，G 为△ABE 的重心．(1)证明：//GF 平面ABC(2)已知平面ABC △BCDE ，平面ACD △平面BCDE ，BC =3，CD =6，当平面GCE 与平面ADE 所成锐二面角为60°时，求G 到平面ADE 的距离．13．（2022·北京市第九中学模拟预测）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，△P AB 为正三角形，且侧面P AB △底面ABCD ，M 为PD 的中点．(1)求证：PB //平面ACM ；(2)求直线BM 与平面P AD 所成角的正弦值；(3)求二面角C PA D --的余弦值．14．（2022·浙江·三模）如图，四面体ABCD 的棱AB 平面,CD α=，23,cos cos 3AB AC AD BAC BAD ===∠=∠=．(1)证明：平面ABC ⊥平面ABD ；(2)若平面ABC 与平面α所成锐二面角的正切值为12，线段CD 与平面α相交，求平面ACD 与平面α所成锐二面角的正切值．15．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为菱形，SAB SBA ∠=∠，.SD AB ⊥(1)求证：ABD △是等边三角形；(2)2SD AD ===，求SC 与平面SAD 所成角的正弦值.原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 16．（2022·宁夏中卫·三模（理））如图1，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，4AB =，DE AB ⊥于E ，将AED 沿DE 翻折到A ED '，使A E BE '⊥，如图2．(1)求三棱锥C A BD -'的体积；(2)在线段A D '上是否存在一点F ，使EF △平面A BC '？若存在，求DF FA '的值；若不存在，说明理由． 17．（2022·广东茂名·二模）如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是等腰梯形，AD △BC ，BC =2AD ，60ABC ∠=︒ ，E 是棱PB 的中点，F 是棱PC 上的点，且A 、D 、E 、F 四点共面．(1)求证：F 为PC 的中点；(2)若△P AD 为等边三角形，二面角P AD B -- 的大小为120︒ ，求直线BD 与平面ADFE 所成角的正弦值． 18．（2022·安徽省舒城中学三模（理））在四棱锥P ABCD -中，PAB △为正三角形，四边形ABCD 为等腰梯形，M 为棱AP 的中点，且2224AB AD BC CD ====，DM =14AO AB =.(1)求证：平面ODM ⊥平面ABCD ；(2)求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值.19．（2022·广东·大埔县虎山中学模拟预测）如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，2AB =，111A B =，四边形ABCD 为平行四边形，点E 为棱BC 的中点．(1)求证：1//D E 平面11ABB A ；(2)若四边形ABCD 为正方形，1AA ⊥平面ABCD ，12A A AB ==，求二面角1A DE C --的余弦值． 20．（2022·全国·模拟预测）如图所示，四棱台1111ABCD A B C D -的上下底面均为正方形，侧面11ADD A 与底面垂直，11113BB CC B C BC ===．(1)求证：平面11ADD A ⊥平面11ABB A ；(2)已知四棱台1111ABCD A B C D -的体积为 △求异面直线BC 和1AA 的距离△求1A 到平面11CDD C 的距离．请从以上两个问题中选取一道进行求解．注：若两个问题均求解，则按第一个问题计分．。

精品字里行间精品文档立体几何证明 ------ 垂直一. 复习引入1.空间两条直线的位置关系有： _________,_________,_________三种。

2.（公理 4）平行于同一条直线的两条直线互相 _________.3.直线与平面的位置关系有 _____________,_____________,_____________三种。

4.直线与平面平行判定定理 : 如果 _________的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行5.直线与平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么 _________________________.6.两个平面的位置关系 :_________,_________.7.判定定理 1：如果一个平面内有 _____________直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .8.线面垂直性质定理：垂直于同一条直线的两个平面 ________.9.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行 .10.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的所有直线都 _____于另一个平面 . 二．知识点梳理知识点一、直线和平面垂直的定义与判定定义语言描述如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 l 与平面互相垂直，记作 l ⊥α图形判定一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直 .条件 b 为平面α内的任一直线，而 l 对这l ⊥m， l ⊥n，m∩n＝B，m ，一直线总有 l ⊥αn结论l ⊥l ⊥要点诠释：定义中“平面内的任意一条直线”就是指“平面内的所有直线”，这与“无数条直线”不同（线线垂直线面垂直）知识点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面，那么这条垂直于同一个平面的两条直线平行.直线垂直于这个平面内的所有直线图形条件结论知识点三、二面角Ⅰ .二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角－AB－. （简记P－AB－Q）二面角的平面角的三个特征:ⅰ.点在棱上ⅱ.线在面内ⅲ .与棱垂直Ⅱ .二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB ，则射线 OA 和 OB 构成的AOB叫做二面角的平面角.作用：衡量二面角的大小；范围：001800.知识点四、平面和平面垂直的定义和判定定义判定文字描述两个平面相交，如果它们所成的二面一个平面过另一个平面的垂线，则这角是直二面角，就说这两个平面垂两个平面垂直直.图形结果α∩β =lα-l-β=90oα⊥β（垂直问题中要注意题目中的文字表述，特别是“任何”“ 随意”“无数”等字眼）三．常用证明垂直的方法立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直，而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（ 1）通过“平移”。

高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题【根底学问点】一、平行问题1．直线及平面平行的断定及性质定义断定定理性质性质定理图形条件a∥α结论a∥αb∥αa∩α＝a∥b2. 面面平行的断定及性质断定性质定义定理图形条件α∥β，a⊂β结论α∥βα∥βa∥b a∥α平行问题的转化关系：二、垂直问题一、直线及平面垂直1．直线与平面垂直的定义：直线l及平面α内的都垂直，就说直线l及平面α相互垂直．2．直线及平面垂直的断定定理及推论文字语言图形语言符号语言断定定理一条直线及一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线及此平面垂直推论假如在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直这个平面3．直线及平面垂直的性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行4.直线与平面垂直的常用性质①直线垂直于平面，那么垂直于平面内随意直线．②垂直于同一个平面的两条直线平行． ③垂直于同一条直线的两平面平行． 二、平面及平面垂直1．平面及平面垂直的断定定理【典例探究】 类型一、平行及垂直例1、如图，三棱锥A BPC -中，,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点，D为PB 中点，且△PMB 为正三角形。

〔Ⅰ〕求证：DM ∥平面APC ；〔Ⅱ〕求证：平面ABC ⊥平面APC ；〔Ⅲ〕假设BC 4=，20AB =，求三棱锥D BCM -的体积。

F D C1B1A1C例2. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，2AC BC ==，14AA =，22AB =M ，N 分别是棱1CC ，AB 中点.〔Ⅰ〕求证：CN ⊥平面11ABB A ； 〔Ⅱ〕求证：//CN 平面1AMB ；〔Ⅲ〕求三棱锥1B AMN -的体积．【变式1】. 如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为等腰直角三角形， 90=∠BAC ，且1AA AB =，F E D ,,分别是BC CC A B ,,11的中点。

§8。

4 直线、平面垂直的判定与性质基础篇固本夯基【基础集训】考点一直线与平面垂直的判定与性质1。

已知m和n是两条不同的直线,α和β是两个不重合的平面,下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A。

α⊥β且m⊂α B.α⊥β且m∥αC。

m∥n且n⊥β D.m⊥n且n∥β答案C2.下列命题中错误的是（）A.如果平面α外的直线a不平行于平面α，则平面α内不存在与a平行的直线B.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么直线l⊥平面γC。

如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面βD.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交答案C3.如图，PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径，C是圆O上一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：①AF⊥PB；②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是.答案①②③4.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑。

如图，在阳马P-ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE,DF,BD，BE。

证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是不是鳖臑，若是,写出其每个面的直角（只需写出结论）;若不是，说明理由.解析因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，由底面ABCD为长方形,得BC⊥CD,因为PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD,因为DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE。

又因为PD=CD，点E是PC的中点,所以DE⊥PC.因为PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC。

因为PB⊂平面PBC,所以PB⊥DE.又PB⊥EF,DE∩EF=E，所以PB⊥平面DEF.由DE⊥平面PBC,PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形,即四面体DBEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为∠DEB,∠DEF，∠EFB,∠DFB.考点二平面与平面垂直的判定与性质5.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形，给出下列结论:①AD∥平面PBC;②平面PAC⊥平面PBD；③平面PAB⊥平面PAC；④平面PAD⊥平面PDC.其中正确结论的序号是.答案①②④6.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AB,PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点，E为线段PC上一点.（1)求证：PA⊥BD；（2）求证:平面BDE⊥平面PAC;（3）当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积。