第十六章轴对称和中心对称16.1 轴对称教学目标教学反思1.认识轴对称图形，能够识别简单的轴对称图形；2.理解两个图形成轴对称的概念，能够运用轴对称的性质作图；3.理解线段垂直平分线的意义和线段的轴对称性并用其作图.教学重难点重点：掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念的实质，轴对称的性质；难点：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.教学过程旧知回顾你以前学过哪些图形的变换？平移、旋转.导入新课美图欣赏引入“轴对称”建筑师、设计师在设计建筑或物品时，喜欢运用轴对称的元素，请欣赏：设置悬念：面对生活中这些美丽的图片，你是否强烈地感受到美就在我们身边！这是一种怎样的美呢?请谈谈你的感想？让学生通过观察，比较发现，这些图形都具有对称美.通过设问和学生发现的结果，揭示课题——本节课学习轴对称.教师板书课题.探究新知一、轴对称图形定义：一般地，如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.注意：有关对称轴的问题：1.对称轴指的是一条直线；2.轴对称图形的对称轴可能不止一条.练习：下列各图，你能找出它们的对称轴吗？结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有六条对称轴．二、轴对称展示挂图，大家想一想，你发现了什么？每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形重合.轴对称：一般地，如果两个图形沿某条直线对折后，这两个图形能够完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．三、轴对称图形与轴对称的区别与联系轴对称图形 两个图形成轴对称图形区别 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系联系 1. 都是沿着某条直线折叠后能重合.2. 可以互相转化.练习：下列说法正确的是（ ）A .能够完全重合的两个图形成轴对称B .全等的两个图形成轴对称C .形状一样的两个图形成轴对称D .沿着一条直线对折能够重合的两个图形成轴对称 答案：D2.如图，观察这几张图片，它们是不是轴对称图形？中垂线的定义：垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.线段是轴对称图形，线段的中垂线是它的对称轴.线段中垂线的用法：课堂练习1.下列说法中，正确的是（）A.两个全等的三角形一定关于某条直线对称B.两个图形关于某条直线对称，对应点一定在直线两旁C.两个图形的对应点连线的垂线，就是它们的对称轴D.两个关于某直线对称的三角形是全等三角形2.如图1，正方形ABCD 的边长为5 cm，则图中阴影部分的面积为__________.图1 图2 图33.如图2，在4×4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，则符合条件的小正方形共有____个.4.如图3，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C'处，折痕为EF，若AB＝1，BC＝2，则△ABE与△BC'F的周长之和为_______.参考答案1.D2.12.5 cm²3.34.6课堂小结1.轴对称图形：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．2.两个图形成轴对称：如果两个图形沿某条直线对折后，这两个图形能够完全重合，那么就说这两个图形成轴对称．3.中垂线：如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么，这两个图形是全等形，它们的对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分.垂直且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线.布置作业完成教材第110页习题A组、B组.板书设计16.1轴对称教学反思轴对称轴对称图形轴对称轴对称与轴对称图形一般地，如果两个图形沿某条直线对折后，这两个图形能完全重合，那么我们就说这两个图形成轴对称如果两个图形关于某一条直线成轴对称，那么，这两个图形是全等形，它们的对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分把成轴对称的两个图形看成一整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称一般地，如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形定义性质第十六章 轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分线第1课时 线段垂直平分线的性质定理教学目标1.会进行线段垂直平分线的性质定理的证明；2.理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题；3.会作最短路径问题.教学重难点 重点：理解并能灵活运用线段垂直平分线的性质解题； 难点：会作最短路径问题. 教学过程 旧知回顾 回忆轴对称图形： 如果一个图形沿某条直线对折后,直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形就叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.回忆线段的垂直平分线的定义：垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.导入新课 师问：线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？生答：是轴对称图形，对称轴是线段的垂直平分线.那么线段的垂直平分线有什么样的性质呢？这节课我们来学习线段的垂直平分线的有关内容.教师板书课题.探究新知 一、线段垂直平分线的性质定理 如图所示,已知线段AB 和它的中垂线l ,O 为垂足.在直线l ,PB ,线段P A?提出你的猜想并说明理由. 事实上,因为线段AB 是轴对称图形,垂直平分线l 是它的对称轴,所以线段AB 沿对称轴l 对折后,点A和点B 重合,线段P A 和线段PB 重合,从而P A ＝PB .教师指导学生画线段AB ,通过对折的方法,找到它的垂直平分线,然后在对称轴上多确定几个点,让学生测量,有什么发现?如图所示,直线l 垂直平分线段AB ,P 1,P 2,P 3,…是l 上的点,分别量一量点P 1,P 2,P 3,…到点A 与点B 的距离,你有什么发现?由学生归纳命题,教师给予纠正,使之规范. 命题:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 这个命题,是我们通过观察、猜想得到的,你能进行证明吗？已知:如图所示,线段AB 和它的垂直平分线l ,垂足为O ,点P 为直线l 上任意一点,连接P A ,PB . 求证：P A ＝PB . 教学反思引导学生利用SAS 证明△P AO ≌△PBO ,从而得到P A ＝PB . 证明:在△P AO 和△PBO 中,∵ {AO =BO,∠POA ＝∠POB ＝90°，PO ＝PO ，∴ △P AO ≌△PBO (SAS ),∴ P A ＝PB (全等三角形的对应边相等).从而得到线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.几何语言：∵ l 垂直平分AB，P 为l 上一点， ∴ P A ＝PB .[知识拓展] (1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的共同特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离都相等.(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有这种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可.(3)这个定理向我们提供了一个证明线段相等的方法.说明:今后我们可以直接利用这个性质得到有关线段相等,同时这也可当作等腰三角形的一种判定方法. 二、最短路径问题已知:如图所示,点A ,B 是直线l 外的任意两点,在直线l 上,试确定一点P ,使AP +BP 最短.解:如图所示,作点A 关于直线l 的对称点A ',连接A 'B ,交直线l 于点P ,则AP +BP 最短.引导学生分析、证明. 【提出问题】(1)我们知道两点之间线段最短,那么怎样把P A 和PB 这两条线段转化到一条线段上?学生讨论、分析得到:要作其中某一点关于直线l 的对称点,对称点与另一点的连线与直线l 的交点,即为点P .(2)在直线l 上任取一个异于点P 的点P ′,怎样利用“两点之间线段最短”加以证明.学生小组内交流,教师指定一名学生板演. 解：∵ 点A 和点A ′关于直线l 对称, ∴ AP ＝A ′P .∴ AP +BP ＝A ′P +BP ＝A ′B (等量代换).如图所示,在直线l 上任取一个异于点P 的点P ′,连接AP ′,BP ′,A ′P ′,则A ′P ′+BP ′>A ′B (两点之间线段最短).即AP ′+BP ′＝A ′P ′+BP ′≥A ′B ＝AP +BP . ∴ AP +BP 最短.新知应用例1 已知:如图所示,D ,E 分别是AB ,AC 的中点,CD ⊥AB 于点D ,BE ⊥AC 于点E . 求证:AC ＝AB . 证明:连接BC ,教学反思因为点D ,E 分别是AB ,AC 的中点, 且CD ⊥AB ,BE ⊥AC ,所以CD ,BE 分别是AB ,AC 的垂直平分线, 所以AC ＝BC ,AB ＝CB , 所以AC ＝AB .例2 如图，A ，B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A ,B 两地，问该站建在河边的什么地方，可使所修的渠道最短？ 作法：1.作点A 关于直线a 的对称点A ′. 2.连接A ′B ,交a 于点P . 点P 即为抽水站的位置.课堂练习1.如图1，已知线段AB ,BC 的中垂线 21,l l 交于点M ,则线段AM ,CM 的大小关系是（ ）A .AM ＞CMB .AM ＝CMC .AM ＜CMD .无法确定2.如图2，四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ,下列结论不一定成立的是（ ）A .AB ＝AD B .CA 平分∠BCDC .AB ＝BD D .△BEC ≌△DEC图3.如图3，AD ⊥BC 于点D ,D 为BC 的中点，连接AB ,∠ABC的平分线交AD 于点O ,连接OC ,若∠AOC ＝120°，则∠ABC ＝ _____.4.如图4，在△ABC 中，AB ＝AC ,D 是AB 的中点，且DE ⊥AB ,已知△BCE 的周长为12，且AC -BC ＝2，求AC,BC 的长. 参考答案1.B2.C3.60°4.解：∵ D 是AB 的中点，DE ⊥AB ， ∴ DE 为AB 的中垂线.∴ AE ＝BE .∵ △BCE 的周长为12，∴ BC +CE +BE ＝12. ∴ AC +BC ＝12.∵ AC -BC ＝2，∴ AC ＝7，BC ＝5.课堂小结线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.布置作业完成教材第114页习题.板书设计16.2 线段的垂直平分线第1课时 线段垂直平分线的性质定理一、线段垂直平分线的性质定理 二、最短路径问题 教学反思第十六章轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分线第2课时线段垂直平分线的性质定理的逆定理教学目标教学反思1.理解并掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理并学会运用；2.能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题；3.通过经历线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.教学重难点重点：理解并掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理并学会运用；难点：能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题.教学过程旧知回顾回忆线段垂直平分线的性质定理以及主要注意的问题：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.注意:(1)线段垂直平分线的性质是线段垂直平分线上所有点都具有的特征,即线段垂直平分线上的每一个点到线段两端的距离相等.(2)由性质定理的证明可知,要证明一个图形上每一个点都具有某种性质,只需要在图形上任取一点作代表即可,应注意理解和掌握这种由特殊到一般的思想方法.(3)这个定理向我们提供了一个证明两条线段相等的方法.导入新课试一试:在练习本上以线段AB为底边作等腰△PAB.△P AB的形状和大小是确定的吗？符合条件的△P AB能作几个？观察：你所画出的所有点P的位置，有什么特征？带着问题进入我们今天的学习.教师板书课题.探究新知一、线段垂直平分线性质定理的逆定理再来回顾：你所画出的所有点P的位置，有什么特征？（学生动手操作，小组讨论，展示成果）学生很快会发现：所有的点P都在同一条直线上.大胆推测一下这条直线与线段AB的关系：这条直线是线段AB的中垂线.思考：当P A＝PB时，点P一定在AB的中垂线上吗？探究：如果P A＝PB,那么点P在线段AB的垂直平分线上.请同学们画出图形,写出已知,求证.已知：P为线段AB外一点，且P A＝PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.师:为了证明P点在AB的垂直平分线上,可以过P作辅助线,先构造“垂直或平分”中的一个关系,去证明另一个.特别要注意防止“过P作线段AB的垂直平分线”这种错误.证法1：如图1所示,取AB的中点C,作直线PC.∵P A＝PB,PC＝PC,AC＝CB,∴△APC≌△BPC(SSS).∴∠PCA＝∠PCB.又∵ ∠PCA +∠PCB ＝180°,∴ ∠PCA ＝∠PCB ＝90°,即PC ⊥AB , ∴ P 点在AB 的垂直平分线上.证法2：如图2所示，作∠APB 的平分线PC ,则∠1＝∠2.又∵ AP ＝BP ,PC ＝PC ,∴ △APC ≌△BPC (SAS ). ∴ ∠PCA ＝∠PCB ，AC ＝BC .又∵ ∠PCA +∠PCB ＝180°,∴ ∠PCA ＝∠PCB ＝90°,即PC ⊥AB ,∴ P 点在AB 的垂直平分线上.线段垂直平分线性质定理的逆定理:到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上． 几何语言： ∵ P A ＝PB ，∴ P 在AB 的垂直平分线上．用途：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.二、判断线段中垂线的方法思考：(1)若P A ＝PB ,过点P 作直线l ,则直线l 是线段AB 的中垂线吗？答：不一定是.理由：经过一点的直线有无数条.(2)若P A ＝PB ,同时MA ＝MB ,则直线PM 是线段AB 的中垂线吗？ 答：是.理由：两点确定一条直线. 用线段中垂线性质定理的逆定理判定线段垂直平分线的步骤： ∵ AB ＝AC ，MB ＝MC ，∴ 点A ，M 均在线段BC 的中垂线上（两点确定一条直线），∴ AM 垂直平分BC .总结：判定线段中垂线的方法1.用线段中垂线的定义.2.用线段中垂线性质定理的逆定理，推出两个点都在线段的中垂线上，则过这两个点的直线就是这条线段的中垂线. 练习：1.已知，MN 是线段AB 的中垂线，下列说法正确的是（ ） A .与AB 距离相等的点在MN 上B .与点A 和点B 距离相等的点在MN 上C .与MN 距离相等的点在AB 上D .AB 垂直平分MN2.点D 在△ABC 的边BC 上，且BC ＝BD +DA ,则点D 在线段（ ）的垂直平分线上. A .AB B .AC C .BC D .不能确定 答案：1.B 2.B 新知应用 例1 已知:如图所示,在△ABC 中,AB ,AC 的垂直平分线DP与EP 相交于点P .求证：点P 在BC 的垂直平分线上.引导学生分析,要让点P 在BC 的垂直平分线上,就是要证明BP ＝CP .教学反思学生证明,写出证明过程,教师巡视指导后全班讲评. 证明：如图所示,连接P A ,PB ,PC .∵ DP ,EP 分别是AB ,AC 的垂直平分线,∴ P A ＝PB ＝PC , ∴ 点P 在BC 的垂直平分线上. 通过此题你发现了什么结论？ 【拓展延伸】 三角形三边的中垂线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.例2 已知:如图所示,在四边形ABCD 中,AB ＝BC ＝CD ＝AD ,AC ⊥BD ,垂足为O . 求证:AO ＝OC ,BO ＝OD . 让学生独立思考后完成.证明:因为AB ＝BC ,CD ＝AD ,所以点B ,D 均在线段AC 的垂直平分线上,直线BD 是线段AC 的垂直平分线,所以AO ＝OC ,同理,BO ＝DO .课堂练习1.已知：点C ,D 为线段AB 外两点，下列说法正确的是（ ）A .若AC ＝BC ，则经过点C 的直线垂直于ABB .若AC ＝BC ,AD ＝BD ，则直线CD 垂直于ABC .若AD ＝BD ,则经过点D 的直线垂直于ABD .若CD ⊥AB ,则AC ＝BC ,AD ＝BD2.如图1，A ,B ,C 表示三个居民小区，为丰富居民的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ） A .AC ，BC 两边高线的交点处 B .AC ，BC 两边中线的交点处C .AC ，BC 两边垂直平分线的交点处D .∠A ，∠B 两内角平分线的交点处3.如图2，AD 为△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E ,DF ⊥AC 于点F ,连接EF 交AD 于点O ,求证：AD 垂直平分EF .图1 图2 图34.如图3，四边形ABCD 是一个“风筝”骨架，其中AB ＝AD ,CB ＝CD . 设对角线AC ＝a ,BD ＝b ,请用含a ,b 的式子表示四边形ABCD 的面积. 参考答案 1.B 2.C3.证明：∵ AD 为△ABC 的角平分线，∴ ∠EAD ＝∠F AD.又∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴ ∠AED ＝∠AFD ＝90°.又AD ＝AD ，∴ △AED ≌△AFD （AAS )， ∴ AE ＝AF ,DE ＝DF ，∴ AD 垂直平分EF . 11114..2222CBD ABD ABCD S S S BD CE BD AE BD AC ab =+=+==△△四边形解：课堂小结教学反思教学反思布置作业完成教材117页习题A组、B组.板书设计16.2线段的垂直平分线第2课时线段垂直平分线的性质定理的逆定理一、线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点,在线段的垂直平分线上.二、判定线段中垂线的方法第十六章 轴对称和中心对称16.2 线段的垂直平分线 第3课时 尺规作线段的垂直平分线教学目标1.掌握如何用尺规作一条线段的垂直平分线.2.过一点作已知直线的垂线.教学重难点重点：会作已知线段的垂直平分线和已知直线的垂线；难点：运用以上两种尺规作图解决实际问题. 教学过程 旧知回顾回忆线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； 回忆线段垂直平分线性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.导入新课 如图所示,点A ,B ,C 表示三个村庄,现要建一座深井水泵站,三个村庄分别送水,为使三条输水管长度相同,处?请画示意图,并说明理由.分析：因为向三个村庄分别送水,三条输水管长度相同形三个顶点的距离相等）,所以水泵站应在AB ,BC 交点处.说明：那么如何用尺规作图的方法作出线段的中垂线呢?书课题. 探究新知 一、尺规作线段的垂直平分线 如图，已知线段AB . 求作：线段AB 的垂直平分线.交流：1.在小组内交流个人作法.2.小组归纳作已知线段的垂直平分线的步骤.3.教师规范作法，并写出规范的作图语言.两点，连接这两个点，即得所求作的直线. 作法：（1）分别以点A ，B 为圆心，以大于21AB 在线段AB 的两侧画弧，分别相交于点C ，D . （2）连接CD .直线 CD 即为所求.可以用这种方法确定线段的中点.练习：如图所示的尺规作图是作( )A.线段的垂直平分线B.一个半径为定值的圆C.角的平分线D.一个角等于已知角教学反思答案：A二、过直线外一点作直线的垂线如图所示,已知直线l及l外一点P.求作:经过点P，且垂直于l的直线.处理方式：1.学生先独立思考.2.随机找一名学生说思路，教师给予适当的提示：（1）已知条件提示用什么知识点？（2）怎样才能得到结论？在直线l上作出一条线段CD，使得点P在线段CD的垂直平分线上.再作出到点C，D距离相等的点Q，连接P Q，直线P Q即为所求.3.两生板演，教师巡视指导.作法：（1）以点P为圆心,适当长为半径画弧,交直线l于点C,D.（2）分别以点C,D为圆心,适当长为半径,在直线l的另一侧画弧,两弧相交于点Q.（3）连接P Q.直线P Q即为所求.思考：如果点P在线段AB上，应该怎么做？学生思考后会发现：和点P在直线外类似，只需把P挪到直线上即可.归纳：1.根据线段垂直平分线性质定理的逆定理,只要找到两个到线段两端距离相等的点,那么过这两点就可以作出线段的垂直平分线.2.过一点作已知直线的垂线,由于已知点与直线可以有两种不同的位置关系：①点在直线外；②点在直线上.因此同学们在作图时要掌握这两种方法的区别.课堂练习1.锐角三角形ABC内有一点P，满足P A＝PB＝PC，则点P是△ABC()A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三边垂直平分线的交点2.下列说法：①若点P，E是线段AB垂直平分线上的两点，则EA＝EB，P A＝PB；②若P A＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若P A＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB．其中正确的有__________. （填序号）3.如图1，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD.若△ADC的周长为10，AB＝7，则△ABC的周长为( )A.7B.14C.17D.204.如图，在某河道l的同侧有两个村庄A，B，想要在河道上建一个水泵站，这个水泵站建在什么位置，能使两个村庄到水泵站的距离相等？教学反思参考答案Array 1.D 2.①②③ 3.C教学反思4. 解：如图3所示，点P即为所求作.课堂小结布置作业完成教材第119页习题A组、B组.板书设计16.2线段的垂直平分线第3课时尺规作线段的垂直平分线1.作已知线段的垂直平分线；2.过直线外一点作已知直线的垂线.第十六章轴对称和中心对称16.3 角的平分线教学目标1.掌握角平分线的性质定理及其逆定理；2.能利用角平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论.3.能利用尺规作出一个已知角的平分线.教学重难点重点：角平分线的性质定理及逆定理，利用尺规作一个角的平分线.难点：角平分线性质定理的逆定理的得出.教学过程旧知回顾1.角平分线的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.2.线段垂直平分线的性质定理和逆定理线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.导入新课1.图中表示点P到直线l的距离的是线段PC的长.2.本章中，从哪些方面学习线段的垂直平分线？①线段的垂直平分线的定义；②线段的轴对称性；③线段的垂直平分线的性质定理；④线段的垂直平分线的性质定理的逆定理；⑤线段的垂直平分线的尺规作图.类似地，今天我们将从这些角度学习角的平分线的相关知识.教师板书课题探究新知探究点一角平分线的性质定理1.角平分线的轴对称性问题：角是轴对称图形吗？如图所示，将∠AOB对折，你发现了什么？学生自己动手操作.归纳：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.2.角平分线的性质定理动手操作：如图所示，OC是∠AOB的平分线，在角平分线OC上任意选一点P，在边OA上取点D，边OB上取点E，怎样才能使PD＝PE? 同学们拿出课前准备好的∠AOB，用折纸的方法确定D，E的位置.师生活动：学生的折纸方法有可能出现的情况很多，让小组同学展示，然后从班内选择以下两教学反思种对本节课有帮助的情况，展开后的图形如图所示.第一种情况：由折叠过程可得，PD＝PE.第二种情况：这样的折叠过程，实际上是给出了PD⊥OA, PE⊥OB,也能得到PD＝PE.下面来证明第二种情况结论的正确性.已知：OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点，PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为D,E.求证：PD＝PE.你能用什么方法说明你的结论是正确的？教师指点，学生自行讨论，完成证明过程.展示成果：方法一：用刻度尺测量PD,PE，得到两条线段的长度相等.方法二：利用角的对称性，当沿OC所在的直线对折时，PD与PE重合，因此PD＝PE. 方法三：证明：∵PD⊥OA,PE⊥OB,OC平分∠AOB,∴∠PDO＝∠PEO＝90°,∠AOC＝∠BOC.在△PDO和△PEO中,,,,PDO PEOAOC BOC OP OP⎧⎪⎨⎪⎩∠＝∠∠＝∠＝∴△PDO≌△PEO(AAS),∴PD＝PE.教师：请你用语言描述你所得到的结论.学生：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.它常用于证明两条垂线段相等.教师：利用角的平分线的性质可直接推导出与角的平分线有关的两条线段相等,但在推导过程中不要漏掉垂直关系的书写,同时涉及角平分线上的点与角的两边的垂直关系时,可直接得到垂线段相等,不必再证两个三角形全等而走弯路.练习：判断下列的写法是否正确？（1）∵如图所示，AD平分∠BAC，（已知）∴BD＝CD.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 )解：错误，理由：没有垂直，不能确定BD,CD是点D到角两边的距离.(2)∵如图所示，DB⊥AB，DC⊥AC，（已知）∴BD＝CD.(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) 教学反思。
