空间坐标关于原点对称的点的坐标

点关于原点对称的点的求法点关于原点对称的点的求法在二维平面直角坐标系中，原点是一个特殊的点，它位于x轴和y轴的交点处，其坐标为(0,0)。

如果给定一个点P(x,y)，那么我们可以通过一定的方法求出它关于原点对称的点P'(-x,-y)。

本文将介绍两种方法来求解这个问题。

方法一：利用向量运算向量是一个有方向和大小的量，可以表示平面上的任意一条线段。

在二维平面直角坐标系中，我们可以用两个数x和y来表示一个向量V(x,y)。

向量加法、减法和数乘等运算可以方便地进行。

假设有一个点P(x,y)，我们要求它关于原点对称的点P'(-x,-y)。

首先，我们可以构造一个以原点为起点、以P为终点的向量V1(x,y)，如下图所示：然后，我们再构造一个以原点为起点、以P'为终点的向量V2(-x,-y)，如下图所示：根据向量的定义，两个相反方向的向量之和等于零向量，即V1+V2=0。

因此，我们可以得到以下公式：V2 = -V1即：(-x,-y) = -(x,y)这个公式告诉我们，要求一个点关于原点对称的点，只需要将它的坐标取相反数即可。

因此，P'(-x,-y)就是P(x,y)关于原点对称的点。

方法二：利用几何性质在二维平面直角坐标系中，如果一个点P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y)，那么它们的中心点一定位于原点。

因此，我们可以通过求出P和原点的中心点C(x/2,y/2)，然后将C的坐标乘以-2得到P'的坐标。

具体来说，我们可以按照以下步骤进行：1. 求出P和原点O(0,0)之间的距离d(P,O)，即：d(P,O) = √(x^2+y^2)2. 求出P和O之间的中心点C(x/2,y/2)，即：C = (x/2,y/2)3. 将C乘以-2得到P'的坐标，即：P' = (-2x/2,-2y/2) = (-x,-y)这个方法也可以用来求解其他关于任意一点对称的问题。

关于原点对称的点的坐标教案教学内容：本教案主要向学生介绍原点对称的点的坐标性质。

通过本节课的学习，学生将能够理解原点对称的概念，掌握原点对称点的坐标特点，并能够运用这些性质解决实际问题。

教学目标：1. 了解原点对称的点的概念。

2. 掌握原点对称点的坐标特点。

3. 能够运用原点对称性质解决实际问题。

教学重点：1. 原点对称的点的概念。

2. 原点对称点的坐标特点。

教学难点：1. 原点对称点的坐标特点的运用。

教学准备：1. 教学PPT或黑板。

2. 坐标轴图。

3. 练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 向学生介绍原点对称的点的概念。

2. 通过示例向学生展示原点对称的点的坐标特点。

二、新课讲解（15分钟）1. 详细讲解原点对称的点的坐标性质。

2. 通过坐标轴图向学生展示原点对称点的坐标特点。

3. 举例说明原点对称性质在解决实际问题中的应用。

三、课堂练习（10分钟）1. 让学生独立完成练习题，巩固原点对称点的坐标特点。

2. 解答学生疑问，给予个别辅导。

四、课堂小结（5分钟）2. 强调原点对称性质在解决实际问题中的应用。

五、课后作业（课后自主完成）1. 完成练习题，巩固原点对称点的坐标特点。

2. 选择一道实际问题，运用原点对称性质解决。

教学反思：本节课通过导入、新课讲解、课堂练习、课堂小结和课后作业等环节，向学生介绍了原点对称的点的坐标性质。

在教学过程中，注意通过示例和练习题让学生充分理解和掌握原点对称点的坐标特点。

强调原点对称性质在解决实际问题中的应用，提高学生的解决问题的能力。

在课后作业中，要求学生运用原点对称性质解决实际问题，培养学生的应用能力。

总体来说，本节课的教学目标是达到了。

六、实例分析（15分钟）1. 通过具体的实例，让学生进一步理解和掌握原点对称的点的坐标性质。

2. 分析实例中原点对称点的坐标特点，并解释其原因。

七、练习与巩固（15分钟）1. 让学生进行一些有关原点对称点的坐标特点的练习题，以巩固所学知识。

判断原点对称的方法
在数学中，原点对称是指一个点关于原点对称。

这种对称性在
几何和代数中都有重要的应用。

判断一个点是否关于原点对称有很
简单的方法。

首先，我们需要知道原点对称的定义，如果一个点的坐标为 (x, y)，那么它关于原点的对称点的坐标为 (-x, -y)。

因此，要判断一个点是否关于原点对称，我们只需要比较这个
点的坐标和其对称点的坐标是否相等。

举个例子，如果一个点的坐标是 (3, 4)，那么它的对称点的坐
标就是 (-3, -4)。

如果这两个点的坐标相等，那么这个点就是关于
原点对称的。

另外，我们还可以利用图形来帮助判断原点对称。

如果一个点
关于原点对称，那么连接原点和这个点的线段与 x 轴和 y 轴的夹
角应该相等，且长度相等。

总的来说，判断一个点是否关于原点对称有两种简单的方法，
比较坐标和利用图形特征。

这种对称性的概念不仅在数学中有重要的应用，也在物理、工程等领域有着广泛的应用。

希望这篇文章能够帮助大家更好地理解原点对称的概念和判断方法。

第二十三章旋转23.2.3关于原点对称的点的坐标一、教学目标1.能够正确认识关于原点对称的两点的坐标间的关系.2.能够运用关于原点对称的两点的坐标间的关系，在平面直角坐标系中作图.3.经历了观察、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、观察能力、以及与他人合作交流的能力.4.通过学习平面直角坐标系内点的坐标对称的关系，培养学生善于归纳类比的学习精神.二、教学重难点重点：探究关于原点对称的点的坐标的规律．难点：关于原点对称的点的坐标的规律及其运用.三、教学用具多媒体等.四、教学过程设计以及点A的对称点A′.答案：是中心对称图形.问题2：在直角坐标系中分别标出点A (4，0)，B (0，–3)，C (2，1)，D (–1 ，2)，E (–3，–4)的位置.答案：是中心对称图形.问题3：在直角坐标系中分别标出点A，B ，C，D，E关于x 轴对称的点的位置.教师活动：带领学生复习，在直角坐标系中，关于x轴对称的两个点的坐标特征.（关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数.点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，–y).）答案：问题4：在直角坐标系中分别标出点A，B ，C，D，E关于y 轴对称的点的位置.教师活动：带领学生复习，在直角坐标系中，关于y轴对称的两个点的坐标特征.（关于y轴对称的两个点，横坐标互为相反数，纵坐标相等.点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(–x，y).）答案：【探究】探究问题：在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标.A (4，0)，B (0，–3)，C (2，1)，D (–1 ，2)，E (–3，–4).答案：问题1：在直角坐标系中，关于原点对称的两个点，它们的横坐标什么关系？结论：横坐标互为相反数.问题2：在直角坐标系中，关于原点对称的两个点，它们的纵坐标什么关系？【典型例题】例：如图所示，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出与△ABC 关于原点对称的图形.答案：解：点P(x，y) 关于原点的对称点为P′(–x，–y)，△ABC 的三个顶点A(–4，1)，B(–1，–1)，C(–3，2)，关于原点的对称点分别为A′(4，–1)，B′(1，1)，C′(3，–2)，依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就可得到与△ABC 关于原点对称的△A′B′C′.【归纳】在直角坐标系中，画一个图形关于原点对称的图形的一般步骤：1. 确定关键点(通常为图形顶点等特殊点)的坐标.2. 求出关键点关于原点的对称点的坐标，并在直角坐标系中标出.3. 顺次连接对称点，组成的图形为所求.【随堂练习】关于y轴对称的点的坐标是_________；关于原点对称的点的坐标是________.答案：(–1，3)，(1，–3)，(1，3).练习3填空：点A(m, – 2)，B(1, n)关于x轴对称，则m=____，n=____.点A(m, – 2)，B(1, n)关于y轴对称，则m=_____，n=_____.点A(m, – 2)，B(1, n)关于原点对称，则m=_____，n=_____.答案：1，2；–1，–2；–1，2.练习4在如图所示编号为①、②、③、④的四个三角形中，关于x轴对称的两个三角形的编号为_________；关于y轴对称的两个三角形的编号为_________；关于原点O对称的两个三角形的编号为__________.答案:①与③；①与②；②与③.以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.巩固例题练习。

例析关于原点对称的点的坐标江苏 杨大为关于原点对称的点的坐标是在学习了旋转和中心对称基础上的拓展和延伸，充分体现了平面直角坐标系中数与形的有机结合.两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）•关于原点的对称点为P ′（-x ，-y ）.要注意和两个点关于x 轴、y 轴对称的坐标特征区别开来：关于x 轴的对称点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴的对称点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数.例1 点M （2，-3）关于原点对称的点的坐标是 （ ）A ．（-2，-3）B ．（2，3）C ．（-2，3）D ．（2，-3）解析：直接根据关于原点对称的对称点的坐标横、纵坐标均互为相反数，得点M （2，-3）关于原点对称的点的坐标是(-2，3，故选C.例2 在平面直角坐标系中，点A （3，-2）与点B(a+1，b-2)关于原点对称，则a+b= _____. 分析：根据关于原点对称的两点的横纵坐标互为相反数来确定a 和b 的值.解：因为点A （3，-2）与点B(a+1，b-2)关于原点对称，所以a+1=-3，b-2=2，所以a=-4，b=4，所以a+b=-4+4=0.例3 △ABC 各顶点的坐标分别为A(2，3)，B(-2，-1)，C(1，-3)，在图1中作出△ABC 关于原点O 对称的图形.图1 图2解析：由点P （x ，y ）•关于原点的对称点P ′（-x ，-y ），所以△ABC 的三个顶点A(2，3)，B(-2，-1)，C(1，-3) 关于原点的对称点分别为A ′(-2，-3)，B ′(2，1)，C ′(-1，3).依次连接A ′B ′，B ′C ′，A ′C ′即可得到△ABC 关于原点O 对称△A ′B ′C ′，如图2所示.评注：作出原三角形各个顶点的坐标关于原点的对称点，再顺次连接，即可到处三角形关于原点的对称图形.例4 如图3，已知双曲线(0)k y k x=>与直线y k x '=交于A 、B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问题:(1)若点A 的坐标为（4，2），则点B 的坐标为 ；若点A 的横坐标为m, 则点B 的坐标可表示为 ；(2)如图4，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线(0)k y k x=>于P ，Q 两点，点P 在第一象限.①证明：四边形APBQ 是平行四边形；②设点A 、P 的横坐标分别为m 、n ， 四边形APBQ 可能是矩形吗？可能是正方形吗？若可能，直接写出m 、n 应满足的条件；若不可能，请说明理由.图3 图4分析：(1)因为正比例函数的图象和双曲线都关于原点对称，所以它们的交点A 、B 也关于原点对称；(2)利用双曲线的对称性进行判断说明即可.解：(1)（-4，-2）；（-m, k m-）. (2)①由于点A 和点B 关于原点对称，所以OA=OB ；同理可得OP=OQ.所以四边形APBQ 一定是平行四边形.②四边形APBQ 可能是矩形， m 、n 应满足的条件是mn k =.四边形APBQ 不可能是正方形，理由是点A ，P 不可能达到坐标轴，即∠POA≠900.评注：反比例函数()0k y k x=≠的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形，它有两条对称轴，分别是第一、三象限和第二、四象限的角平分线所在的直线，（即直线y x =和y x =-）；坐标原点是它的对称中心.。

人教版九年级数学上册23.2.3《关于原点对称的点的坐标》说课稿一. 教材分析《关于原点对称的点的坐标》是人教版九年级数学上册第23章《坐标与图形的变换》的第三节内容。

这部分教材是在学生已经掌握了坐标系的建立、点的坐标、图形的平移等知识的基础上进行学习的。

通过这部分内容的学习，使学生能够掌握原点对称的点的坐标规律，进一步理解和运用坐标系和图形的变换。

教材通过引入对称轴、对称点的概念，引导学生探索原点对称的点的坐标特征，从而推导出对称点的坐标规律。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对坐标系和图形的变换有一定的了解。

但是，对于原点对称的点的坐标规律的理解和运用还需要进一步的引导和培养。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平进行教学设计和调整。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解原点对称的点的坐标概念，掌握原点对称的点的坐标规律，能够运用坐标规律解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、思考、表达等活动，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和数学表达的能力。

3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与数学学习，体验数学学习的乐趣，增强自信心，培养合作意识和探究精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：原点对称的点的坐标规律。

2.教学难点：理解原点对称的点的坐标规律，并能够灵活运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究学习法、合作交流法等，引导学生主动探究、积极思考。

2.教学手段：利用多媒体课件、教学挂图、学具等辅助教学，帮助学生直观形象地理解原点对称的点的坐标规律。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些对称的图形，引导学生观察和思考，引出原点对称的点的坐标规律。

2.探究新知：学生分组讨论，每组提供一些关于原点对称的点的坐标数据，引导学生通过观察、操作、思考，总结出原点对称的点的坐标规律。

3.巩固新知：学生进行一些相关的练习题，加深对原点对称的点的坐标规律的理解和运用。

部编版九年级数学上册《关于原点对称的点的坐标》教案及教学反思一、教学目标1.了解原点对称的概念，掌握原点对称的坐标变化规律。

2.掌握原点对称的性质，能够应用原点对称的知识进行相关问题的解答。

3.培养学生的观察能力、逻辑推理能力和解决问题的能力。

二、教学重点与难点教学重点1.原点对称的概念与坐标变化规律。

2.原点对称的性质。

3.应用原点对称的知识解答问题。

教学难点1.如何理解原点对称的概念和性质？2.如何掌握原点对称的坐标变化规律？3.如何应用原点对称的知识解决问题？三、教学过程1. 导入小学六年级学习了基本的坐标方案，那么大家知道原点在坐标系中扮演着什么角色吗？为什么我们要学习原点对称呢？2. 讲解2.1 原点对称的概念原点对称，是指平面上的一个点P关于原点O对称的点P’，也称为P关于O的对称点。

如下图所示：X轴|Y轴 |----------|----------||(4,3) P'----------P(4,-3)|||在坐标系中，我们可以通过观察发现，如果把点P沿着原点O对称，那么点P’的横坐标为-P的横坐标，纵坐标为-P的纵坐标，存在以下变化规律：P(x,y)在O点对称得到P′(−x,−y)2.2 原点对称的性质原点对称具有以下性质：•若已知点P(x,y)的坐标和P’(-x’,-y’)的坐标，可以求出点O的坐标。

•若已知点P(x,y)关于O对称点P’(-x,-y)的坐标，可以求出P的坐标。

2.3 应用原点对称解题我们可以通过原点对称的性质，来解决以下问题：•已知坐标系上一点P(x,y)，求其关于原点对称的点P’(-x,-y)的坐标。

•已知坐标系上一点P(x,y)及其关于原点对称的点P’，求坐标系原点的坐标。

•已知坐标系上一点P(x,y)及坐标系原点的坐标，求点P关于原点O的对称点P’的坐标。

3. 练习请同学们自己完成下列习题：•已知点A(-3,-4)，求其关于原点对称的点A’的坐标。

23.2.3关于原点对称的点的坐标知己知彼，百战不殆。

《孙子兵法·谋攻》原创不容易，【关注】，不迷路！【知识与技能】1.理解点P与P′关于原点对称时，它们的横、纵坐标的关系；2.能运用关于原点对称的点的坐标的关系解决具体问题.【过程与方法】通过观察、操作、交流、归纳等过程，培养学生探究问题的能力、动手能力、观察能力以及与他人合作交流的能力.【情感态度】结合坐标系内点的坐标对称关系的学习，培养学生合作交流的意识和归纳类比的能力，增强数学学习的信心和乐趣.【教学重点】关于原点对称的点的坐标关系及其应用.【教学难点】运用中心对称的知识导出关于原点对称的点的坐标性质.一、情境导入，初步认识问题1以前我们学习过关于x轴、y轴对称的点的坐标问题，你能说说关于x轴、y轴对称的点的坐标的关系吗？问题2在平面直角坐标系中，点A的坐标为（-3，2），则点A关于原点O的对称点A′的坐标是什么呢？你能说说吗？【教学说明】让学生通过对问题的思考，初步感受关于原点对称的点的坐标的确定方法，激发学习兴趣和求知欲望，导入新知.二、思考探究，获取新知探究如图，在直角坐标系中，作出下列已知点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标.A（4，0） B（0，-3） C（2，1）D（-1，2） E（-4，-3）思考通过你的作图，你能说出这些点和它们关于原点O的对称点的坐标之间有什么关系吗？【教学说明】通过让学生在平面直角坐标系中画出某点关于原点O的对称点的过程，可让学生初步感受到关于原点对称的点的坐标的特征，学生在自我探索的过程中，体会成功的喜悦和学习的乐趣.如图所示，可得到点A、B、C、D、E关于原点O的对称点分别为A′、B′、C′、D′、E′.以点C为例，作C点关于原点O的对称点C′的方法为：连接CO并延长至C′，使CO=C′O，则C′点即为点C关于原点O的对称点.过C作CM⊥x轴于M，作C′N⊥x轴于N.易知△OCM≌△OC′N.∴CM=C′N，OM=ON.又C(2，1)，即OM=2，CM=1，∴ON=2，C′N=1.∴C′点坐标为(-2，-1).同理可知点A、B、D、E关于原点O的对称点A′、B′、D′、E′的坐标分别为（-4，0），（0，），（1，-2），（4，3）【归纳结论】两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点P′的坐标为（-x，-y）.【教学说明】在上面的探索活动过程中，先让学生动手画出一些点关于原点的对称点，并写出它们的坐标，然后让学生观察坐标之间的变化，总结出规律，从而归纳出结论，即本节的重点.在这一活动中，既学到了新知识，又锻炼了学生的数学归纳能力.三、典例精析，掌握新知例1 图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与△ABC关于原点对称的图形.分析（1）由图可知，A、B、C三点坐标分别是什么？（2）它们关于原点的对称点的坐标又应分别是什么？（3）这样画出的△A′B′C′与前面利用中心对称来作图有什么区别？解：（1）A、B、C三点坐标分别是（-4，1）、（-1，-1）、（-3，2）（2）它们关于原点对称的点的坐标分别是（4，-1）、（1，1）、（3，-2）（3）略例2 如图，平行四边形的中心在坐标原点，AD∥BC，D(3，)，C(1，-2)，求A、B两点的坐标.分析：因为平行四边形是中心对称图形，所以相对的两个顶点关于中心对称，中该平行四边形的中心为原点，故A与C、B与D关于原点对称，从而可求出A、B坐标.解：平行四边形是中心对称图形，A与C，B与D关于原点对称.∴A（-1，2），B（-3，-2）.【教学说明】教师提出问题来帮助学生理清思路，既是对所学知识的回顾与反思，又为解决问寻求解题思路，增强学运用知识的能力.例1的作图过程可由学生自己完成.四、运用新知，深化理解1.点M（-2，3）关于原点的对称点M′的坐标为（）A.（-2，-3）B.（2，-3）C.（3，-2）D.（2，3）2.下列各点中哪两个点关于原点O对称？A（-5，0），B（0，2），C（2，-1），D（2，0），E（0，5），F（-2，1），G （-2，-1）【教学明】设计这两个小题的目的在于进一步使学生掌握知识，可由学生自主完成，教师予以点评.【答案】1.B2.C（2，-1）与F（-2，1）关于原点O对称五、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你有哪些收获和想法？说说看.【教学说明】教师还可让学生及时回顾本节课的知识，通过反思、提炼学习的收获，并通过交流，教师可了解学生的学习情况，并及时调整.1.布置作业：从教材“习题23.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.1.本节课通过P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）的运用，初步向学生渗透“数形结合”思想.也为以后的函数学习奠定一定的基础.整个教学和知识点的衔接都比较的流畅，但在很多细节的处理不是很到位，尤其是题目的设置，需要再斟酌.充分利用教材，适当的时候可以将教材内容有机的整合起来，选取适当的载体呈现，这样的教学才能达到更好的效果.2.这一节与图形的三种运动（平移、翻折、旋转）之一的“旋转”有着不可分割的联系，通过对这一节的学习，既可以让学生认识图形的三种基本运动中“旋转”在几何知识中的重要体现，同时也完善了初中部分对“对称图形”（轴对称图形、中心对称图形）的知识讲授.中心对称是以轴对称为基础，是三角形全等知识的运用，是平行四边形的进一步研究，是今后学习其它图形的必备知识.【素材积累】岳飞应募参军，因战功累累不断升职，宋高宗亲手写了“精忠岳飞”四个字，制成旗后赐给他。