2022届高考数学实战猜题卷 全国卷(理) 试卷(解析版)

绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集{1,2,3,4,5}U =，集合M 满足{1,3}U M =ð，则（ ）A. 2M Î B. 3MÎ C. 4MÏ D. 5MÏ【答案】A 【解析】【分析】先写出集合M ,然后逐项验证即可【详解】由题知{2,4,5}M =,对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A2. 已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（ ）A. 1,2a b ==- B. 1,2a b =-= C. 1,2a b == D. 1,2a b =-=-【答案】A 【解析】【分析】先算出z ,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】12iz =+12i (12i)(1)(22)i z az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,得10220a b a ++=ìí-=î,即12a b =ìí=-î故选:A3. 已知向量,a b r r 满足||1,||2|3a b a b ==-=r rr r ，则a b ×=r r（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：∵222|2|||44-=-×+r rr r r r a b a a b b ，又∵||1,||2|3,==-=r r r ra b a b ∴91443134=-×+´=-×r r r r a b a b ，∴1a b ×=rr 故选：C.4. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{}n b ：1111b a =+，212111b a a =++，31231111b a a a =+++，…，依此类推，其中(1,2,)k k a *Î=N L ．则（ ）A. 15b b <B. 38b b < C. 62b b < D. 47b b <【答案】D 【解析】【分析】根据()*1,2,k k a Î=N…，再利用数列{}n b 与k a 的关系判断{}n b 中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为()*1,2,k k a Î=NL ，所以1121a a a <+，112111a a a >+，得到12b b >，同理11223111a a a a a +>++，可得23b b <，13b b >又因为223411,11a a a a >++112233411111a a a a a a a ++<+++，故24b b <，34b b >；以此类推，可得1357b b b b >>>>…，78b b >，故A 错误；178b b b >>，故B 错误；26231111a a a a >++…，得26b b <，故C 错误；11237264111111a a a a a a a a >++++++…，得47b b <，故D 正确.故选：D.5. 设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若AF BF =，则AB =（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点A 的横坐标，进而求得点A 坐标，即可得到答案.【详解】由题意得，()1,0F ，则2AF BF ==，即点A 到准线1x =-的距离为2，所以点A 的横坐标为121-+=，不妨设点A 在x 轴上方，代入得，()1,2A ，所以AB ==故选：B6. 执行下边的程序框图，输出的n =（ ）.A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据框图循环计算即可.【详解】执行第一次循环，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =-=-==+=，222231220.0124b a -=-=>；执行第二次循环，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =-=-==+=，222271220.01525b a -=-=>；执行第三次循环，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =-=-==+=，2222171220.0112144b a -=-=<，此时输出4n =.故选：B7. 在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为,AB BC 的中点，则（ ）A. 平面1B EF ^平面1BDDB. 平面1B EF ^平面1A BDC. 平面1//B EF 平面1A ACD. 平面1//B EF 平面11AC D【答案】A 【解析】【分析】证明EF ^平面1BDD ，即可判断A ；如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，分别求出平面1B EF ，1A BD ，11AC D 的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD .【详解】解：在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD ^且1DD ^平面ABCD ，又EF Ì平面ABCD ，所以1EF DD ^，因为,E F 分别为,AB BC 的中点，所以EF AC P ，所以EF BD ^，又1BD DD D =I ，所以EF ^平面1BDD ，又EF Ì平面1B EF ，所以平面1B EF ^平面1BDD ，故A 正确；如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，设2AB =，则()()()()()()()112,2,2,2,1,0,1,2,0,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2,0B E F B A A C ，()10,2,2C ，则()()11,1,0,0,1,2EF EB =-=uuu r uuur ，()()12,2,0,2,0,2DB DA ==uuu r uuu u r，()()()1110,0,2,2,2,0,2,2,0,AA AC A C ==-=-uuur uuu r uuuu r设平面1B EF 的法向量为()111,,m x y z =u r，则有11111020m EF x y m EB y z ì×=-+=ïí×=+=ïîuuu v v uuuv v ，可取()2,2,1m =-u r ，同理可得平面1A BD 的法向量为()11,1,1n =--ur，平面1A AC 的法向量为()21,1,0n =uu r，平面11AC D 的法向量为()31,1,1n =-u u r，则122110m n ×=-+=¹u r ur，所以平面1B EF 与平面1A BD 不垂直，故B 错误；因为m u r 与2n uu r 不平行，所以平面1B EF 与平面1A AC 不平行，故C 错误；因为m u r 与3n u ur 不平行，所以平面1B EF 与平面11AC D 不平行，故D 错误，故选：A.8. 已知等比数列{}n a 的前3项和为168，2542a a -=，则6a =（ ）A. 14 B. 12C. 6D. 3【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为,0q q ¹，易得1q ¹，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为,0q q ¹，若1q =，则250a a -=，与题意矛盾，所以1q ¹，则()31123425111168142a q a a a qa a a q a q ì-ï++==í-ï-=-=î，解得19612a q =ìïí=ïî，所以5613a a q ==.故选：D .9. 已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）A.13B. 12【答案】C 【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为a ，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r a =×××£××£××=（当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r 又22r h 1+=则2123O ABCDV r h -=××=£=当且仅当222r h =即h 时等号成立，故选：C10. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为123,,p p p ，且3210p p p >>>．记该棋手连胜两盘的概率为p ，则（ ）A. p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大为【答案】D 【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p 甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p 乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p 丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p 甲则2132131231232(1)2(1)2()4p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-甲记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p 乙则1231232131232(1)2(1)2()4p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-乙记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p 丙则1321323121232(1)2(1)2()4p p p p p p p p p p p p p =-+-=+-丙则[]()1231232131231232()42()420p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<甲乙[]()2131233121232312()42()420p p p p p p p p p p p p p p p p p -=+--+-=-<乙丙即p p <甲乙，p p <乙丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大.选项D 判断正确；选项BC 判断错误；p 与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A 判断错误.故选：D11. 双曲线C 的两个焦点为12,F F ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过1F 作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且123cos 5F NF Ð=，则C 的离心率为（ ）A.B.32C.D.【答案】C 【解析】【分析】依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，可判断N 在双曲线的右支，设12F NF a Ð=，21F F N b Ð=，即可求出sin a ，sin b ，cos b ，在21F F N V 中由()12sin sin F F N a b Ð=+求出12sin F F N Ð，再由正弦定理求出1NF ，2NF ，最后根据双曲线的定义得到23b a =，即可得解；【详解】解：依题意不妨设双曲线焦点在x 轴，设过1F 作圆D 的切线切点为G ，所以1OG NF ^，因为123cos 05F NF Ð=>，所以N 在双曲线的右支，所以OG a =，1OF c =，1GF b =，设12F NF a Ð=，21F F N b Ð=，由123cos 5F NF Ð=，即3cos 5a =，则4sin 5a =，sin a cb =，cos bc b =，在21F F N V 中，()()12sin sin sin F F N p a b a b Ð=--=+4334sin cos cos sin 555b a a bc c ca b a b +=+=´+´=，由正弦定理得211225sin sin sin 2NF NF c cF F N a b ===Ð，所以112553434sin 2252c c a b a b NF F F N c ++=Ð=´=，2555sin 222c c a a NF c b ==´=又12345422222a b a b aNF NF a +--=-==，所以23b a =，即32b a =，所以双曲线的离心率c e a===故选：C12. 已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==å（）A. 21-B. 22- C. 23- D. 24-【答案】D 【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=-K ，()()()462210f f f +++=-K ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-´=-K ，()()()()46222510f f f +++=-´=-K .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以为()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-éùéùëûëû=åK K .故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．【答案】310##0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为35C 10=甲、乙都入选的方法数为13C 3=，所以甲、乙都入选的概率310P =故答案为：31014. 过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y æöæö-+-=ç÷ç÷èøèø或()2281691525x y æö-+-=ç÷èø；【解析】【分析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =ìï++=íï+-++=î，解得046F D E =ìï=-íï=-î，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =ìï++=íï++++=î，解得042F D E =ìï=-íï=-î，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =ìï+-++=íï++++=î，解得083143F D E ìï=ïï=-íïï=-ïî，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y æöæö-+-=ç÷ç÷èøèø；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=ìï++=íï++++=î，解得1651652F D E ì=-ïïï=-íï=-ïïî，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y æö-+-=ç÷èø；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y æöæö-+-=ç÷ç÷èøèø或()2281691525x y æö-+-=ç÷èø；15. 记函数()()cos (0,0π)f x x w j w j =+><<的最小正周期为T，若()f T =9x p=为()f x 的零点，则w 的最小值为____________．【答案】3【解析】【分析】首先表示出T ，根据()f T =求出j ，再根据π9x =为函数的零点，即可求出w 的取值，从而得解；【详解】解： 因为()()cos f x x w j =+，（0>w ，0πj <<）所以最小正周期2πT w=，因为()()2πcos cos 2πcos f T w j j j w æö=×+=+==ç÷èø，又0πj <<，所以π6j =，即()πcos 6f x x w æö=+ç÷èø，又π9x =为()f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k w +=+Î，解得39,Z k k w =+Î，因为0>w ，所以当0k =时min 3w =；故答案为：316. 已知1x x =和2x x =分别是函数2()2e x f x a x =-（0a >且1a ¹）的极小值点和极大值点．若12x x <，则a 的取值范围是____________．【答案】1,1e æöç÷èø【解析】【分析】由12,x x 分别是函数()22e xf x a x =-的极小值点和极大值点，可得()()12,,x x x Î-¥È+¥时，()0f x ¢<，()12,x x x Î时，()0f x ¢>，再分1a >和01a <<两种情况讨论，方程2ln 2e 0x a a x ×-=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =×与函数e y x =的图象有两个不同的交点，构造函数()ln x g x a a =×，根据导数的结合意义结合图象即可得出答案.【详解】解：()2ln 2e xf x a a x ¢=×-，因为12,x x 分别是函数()22e xf x a x =-的极小值点和极大值点，所以函数()f x 在()1,x -¥和()2,x +¥上递减，在()12,x x 上递增，所以当()()12,,x x x Î-¥È+¥时，()0f x ¢<，当()12,x x x Î时，()0f x ¢>，若1a >时，当0x <时，2ln 0,2e 0x a a x ×><，则此时()0f x ¢>，与前面矛盾，故1a >不符合题意，若01a <<时，则方程2ln 2e 0x a a x ×-=的两个根为12,x x ，即方程ln e x a a x ×=的两个根为12,x x ，即函数ln x y a a =×与函数e y x =的图象有两个不同的交点，令()ln xg x a a =×，则()2ln ,01xg x a a a ¢=×<<，设过原点且与函数()y g x =的图象相切的直线的切点为()00,ln x x a a ×，则切线的斜率为()020ln xg x a a ¢=×，故切线方程为()0020ln ln x x y a a a a x x -×=×-，则有0020ln ln x x a a x a a -×=-×，解得01ln x a=，则切线的斜率为122ln ln eln a a a a ×=，因为函数ln x y a a =×与函数e y x =的图象有两个不同的交点，所以2eln e a <，解得1e ea <<，又01a <<，所以11ea <<，综上所述，a 的范围为1,1e æöç÷èø.【点睛】本题考查了函数的极值点问题，考查了导数的几何意义，考查了转化思想及分类讨论思想，有一定的难度.三、解答题：共0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17. 记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin()sin sin()C A B B C A -=-．（1）证明：2222a b c =+；（2）若255,cos 31a A ==，求ABC V 的周长．【答案】（1）见解析 （2）14【解析】【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证；（2）根据（1）的结论结合余弦定理求出bc ，从而可求得b c +，即可得解.【小问1详解】证明：因为()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，所以sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos C A B C B A B C A B A C -=-，所以2222222222222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab +-+-+-×-×=-×，即()22222222222a cb a bc b c a +-+--+-=-，所以2222a b c =+；【小问2详解】解：因为255,cos 31a A ==，由（1）得2250b c +=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则50502531bc -=，所以312bc =，故()2222503181b c b c bc +=++=+=，所以9b c +=，所以ABC V 的周长为14a b c ++=.18. 如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ^=Ð=Ð，E 为AC 的中点．（1）证明：平面BED ^平面ACD ；（2）设2,60AB BD ACB ==Ð=°，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．【答案】（1）证明过程见解析（2）CF 与平面ABD 【解析】【分析】（1）根据已知关系证明ABD CBD ≌△△，得到AB CB =，结合等腰三角形三线合一得到垂直关系，结合面面垂直的判定定理即可证明；（2）根据勾股定理逆用得到BE DE ^，从而建立空间直角坐标系，结合线面角的运算法则进行计算即可.【小问1详解】因为AD CD =，E 为AC 的中点，所以AC DE ^；在ABD △和CBD V 中，因为,,B A C D CD ADB DB DB D Ð=Ð==，所以ABD CBD ≌△△，所以AB CB =，又因为E 为AC 的中点，所以AC BE ^；又因为,DE BE Ì平面BED ，DE BE E Ç=，所以AC ^平面BED ，因为AC Ì平面ACD ，所以平面BED ^平面ACD .【小问2详解】连接EF ，由（1）知，AC ^平面BED ，因为EF Ì平面BED ，所以AC EF ^，所以1=2AFC S AC EF ×△，当EF BD ^时，EF 最小，即AFC △的面积最小.因为ABD CBD ≌△△，所以2CB AB ==，又因为60ACB Ð=°，所以ABC V 是等边三角形，因为E 为AC 的中点，所以1AE EC ==，BE =，因为AD CD ^，所以112DE AC ==,在DEB V 中，222DE BE BD +=，所以BE DE ^.以E 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，则()()()1,0,0,,0,0,1A B D ，所以()()1,0,1,AD AB =-=-uuu r uuu r，设平面ABD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则0n AD x n AB x ì×=-ïí×=-+=ïîuuu v vuuu v v ，取y =，则()n =r ，又因为()31,0,0,4C F æö-ç÷ç÷èø，所以34CF æö=ç÷ç÷øuuu r ，所以cos ,n =r uuu，设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为02p q q æö££ç÷èø，所以sin cos ,n CFq ==r uuu r所以CF 与平面ABD 19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据：样本号ｉ12345678910总和根部横截面积ix 0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量iy 0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得10101022ii i i i=1i=1i=10.038, 1.6158,0.2474xy x y ===ååå．（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．附：相关系数 1.377r =»．【答案】（1）20.06m ；30.39m （2）0.97 （3）31209m 【解析】【分析】（1）计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；（3）依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．【小问1详解】样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值0.60.0610x ==样本中10棵这种树木的材积量的平均值 3.90.3910y ==据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为20.06m ，平均一棵的材积量为30.39m【小问2详解】r==0.01340.970.01377==»»则0.97r»【小问3详解】设该林区这种树木的总材积量的估计值为3mY，又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，可得0.06186=0.39Y，解之得3=1209mY．则该林区这种树木的总材积量估计为31209m20. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过()30,2,,12A Bæ--öç÷èø两点．（1）求E的方程；（2）设过点()1,2P-的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT TH=uuur uuu r．证明：直线HN过定点．【答案】（1）22143y x+=（2）(0,2)-【解析】【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解.【小问1详解】解：设椭圆E的方程为221mx ny+=，过()30,2,,12A Bæ--öç÷èø，则41914n m n =ìïí+=ïî，解得13m =，14n =，所以椭圆E 的方程为：22143y x +=.【小问2详解】3(0,2),(,1)2A B --，所以2:23+=AB y x ，①若过点(1,2)P -的直线斜率不存在，直线1x =.代入22134x y+=，可得M，(1,N ，代入AB 方程223y x =-，可得T ，由MT TH =uuur uuu r得到H +.求得HN方程：(22y x =--，过点(0,2)-.②若过点(1,2)P -的直线斜率存在，设1122(2)0,(,),(,)kx y k M x y N x y --+=.联立22(2)0,134kx y k x y --+=ìïí+=ïî得22(34)6(2)3(4)0k x k k x k k +-+++=，可得1221226(2)343(4)34k k x x k k k x x k +ì+=ïï+í+ï=ï+î，12222228(2)344(442)34k y y k k k y y k -+ì+=ïï+í+-ï=ï+î，且1221224(*)34kx y x y k -+=+联立1,223y y y x =ìïí=-ïî可得111113(3,),(36,).2y T y H y x y ++-可求得此时1222112:()36y y HN y y x x y x x --=-+--，将(0,2)-，代入整理得12121221122()6()3120x x y y x y x y y y +-+++--=，将(*)代入，得222241296482448482436480,k k k k k k k +++---+--=显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,2).-【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.21. 已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）若()f x 在区间()()1,0,0,-+¥各恰有一个零点，求a 的取值范围．【答案】（1）2y x =（2）(,1)-¥-【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+¥两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+¥当1a =时,()ln(1),(0)0e x x f x x f =++=,所以切点为(0,0)11(),(0)21e xx f x f x ¢¢-=+=+,所以切线斜率为2所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x=小问2详解】()ln(1)e xaxf x x =++()2e 11(1)()1e (1)e x x x a x a x f x x x ¢+--=+=++设()2()e 1x g x a x =+-1°若0a >,当()2(1,0),()e 10x x g x a x Î-=+->,即()0f x ¢>所以()f x 在(1,0)-上单调递增,()(0)0f x f <=故()f x 在(1,0)-上没有零点,不合题意【2°若10a -……,当,()0x Î+¥,则()e 20x g x ax ¢=->所以()g x 在(0,)+¥上单调递增所以()(0)10g x g a >=+…,即()0f x ¢>所以()f x 在(0,)+¥上单调递增,()(0)0f x f >=故()f x 在(0,)+¥上没有零点,不合题意3°若1a <-(1)当,()0x Î+¥,则()e 20x g x ax ¢=->,所以()g x 在(0,)+¥上单调递增(0)10,(1)e 0g a g =+<=>所以存在(0,1)m Î,使得()0g m =,即()0¢=f m 当(0,),()0,()x m f x f x ¢Î<单调递减当(,),()0,()x m f x f x ¢Î+¥>单调递增所以当(0,),()(0)0x m f x f Î<=当,()x f x ®+¥®+¥所以()f x 在(,)m +¥上有唯一零点又(0,)m 没有零点,即()f x 在(0,)+¥上有唯一零点(2)当()2(1,0),()e 1x x g x a xÎ-=+-设()()e 2x h x g x ax ¢==-()e 20x h x a ¢=->所以()g x ¢在(1,0)-单调递增1(1)20,(0)10eg a g ¢¢-=+<=>所以存在(1,0)n Î-,使得()0g n ¢=当(1,),()0,()x n g x g x ¢Î-<单调递减当(,0),()0,()x n g x g x ¢Î>单调递增,()(0)10g x g a <=+<又1(1)0eg -=>所以存在(1,)t n Î-,使得()0g t =,即()0f t ¢=当(1,),()x t f x Î-单调递增,当(,0),()x t f x Î单调递减有1,()x f x ®-®-¥而(0)0f =,所以当(,0),()0x t f x Î>所以()f x 在(1,)t -上有唯一零点,(,0)t 上无零点即()f x 在(1,0)-上有唯一零点所以1a <-,符合题意所以若()f x 在区间(1,0),(0,)-+¥各恰有一个零点,求a 的取值范围为(,1)-¥-【点睛】方法点睛：本题的关键是对a 的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22sin x t y tì=ïí=ïî，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为sin 03m p r q æöç÷è+ø+=．（1）写出l 的直角坐标方程；（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．【答案】（120++=y m（2）195122-££m 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可.【小问1详解】因l ：sin 03m p r q æöç÷è+ø+=，所以1sin cos 02r q r q ×+×+=m ，又因为sin ,cos y x r q r q ×=×=，所以化简为102++=y x m ，整理得l20++=y m 【小问2详解】联立l 与C的方程，即将2=x t ，2sin y t =代入20++=y m 中，可得3cos 22sin 20++=t t m ，所以23(12sin )2sin 20-++=t t m ，化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ，要使l 与C 有公共点，则226sin 2sin 3=--m t t 有解，令sin =t a ，则[]1,1a Î-，令2()623=--f a a a ，(11)a -≤≤，对称轴为16a =，开口向上，所以(1)623()5=-=+-=max f f a ，min 11219(()36666==--=-f f a ，所以19256-££m m 的取值范围为195122-££m .[选修4-5：不等式选讲]23. 已知a ，b ，c 都是正数，且3332221a b c ++=，证明：为（1）19abc £；（2）a b c b c a c a b ++£+++；【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．【小问1详解】证明：因为0a >，0b >，0c >，则320a >，320b >，320c >，所以3332223a b c ++³，即()1213abc £，所以19abc £，当且仅当333222a b c ==，即a b c ===时取等号．【小问2详解】证明：因为0a >，0b >，0c >，所以b c +³，a c +³，a b +³，所以a b c £=+b a c £=+c a b £=+a b c b c a c a b ++£==+++当且仅当a b c ==时取等号．。

绝密☆启用前 试卷类型：A2022年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{4},{31}M x N x x =<=³∣，则M N =I （ ）A. {}02x x £< B. 123xx ìü£<íýîþC. {}316x x £< D. 1163xx ìü£<íýîþ【答案】D 【解析】【分析】求出集合,M N 后可求M N Ç.详解】1{16},{}3M xx N x x =£<=³∣0∣，故1163M N x x ìü=£<íýîþI ，故选：D2. 若i(1)1z -=，则z z +=（ ）A. 2- B. 1- C. 1D. 2【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【详解】由题设有21i1i i i z -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，【故选：D3. 在ABC V 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==uuu r uuu r r r ，，则CB uuu r=（ ）A. 32m n -r rB. 23m n-+r rC. 32m n+r rD. 23m n+r r【答案】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =uuu r uuu r，即()2CD CB CA CD -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以CB uuu r =3232CD CA n m -=-uuu r uuu r r u r23m n =-+r r．故选：B ．4. 南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，增加的水量约2.65»）（ ）A. 931.010m ´ B. 931.210m ´ C. 931.410m ´ D. 931.610m ´【答案】C 【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==´km m ，下底面积262180.018010S ¢==´km m ，∴((66119140101801033V h S S =++=´´´+´¢(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=´+´»+´´=´»´．故选：C ．5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）A.16B.13C.12D.23【答案】D 【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所求概率2172213P -==.故选：D.6. 记函数()sin (0)4f x x b p w w æö=++>ç÷èø的最小正周期为T ．若23T pp <<，且()y f x =的图象关于点3,22p æöç÷èø中心对称，则2f p æö=ç÷èø（ ）A. 1 B.32C.52D. 3【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T 满足23T p p <<，得223p pp w <<，解得23w <<，又因为函数图象关于点3,22p æöç÷èø对称，所以3,24k k Z p p w p +=Î，且2b =，所以12,63k k Z w =-+Î，所以52w =，5()sin 224f x x p æö=++ç÷èø，所以5sin 21244f p p p æöæö=++=ç÷ç÷èøèø.故选：A7. 设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（ ）A. a b c << B. c b a<< C. c a b<< D. a c b<<【答案】C【解析】【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-， 导数判断其单调性，由此确定,,a b c 大小.【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x¢=-=-++，当(1,0)x Î-时，()0f x ¢>，当,()0x Î+¥时()0f x ¢<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+¥单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1((0)09f f <=，所以101ln099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1((0)010f f -<=，所以91ln+01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11xx x g x x x x -+¢=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x ¢=+-，当01x <<-时，()0h x ¢<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x ¢>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x ¢>，函数()e ln(1)xg x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.8. 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36p，且3l ££四棱锥体积的取值范围是（ ）A. 8118,4éùêúëûB. 2781,44éùêúëûC. 2764,43éùêúëû D. [18,27]【答案】C 【解析】【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.的【详解】∵ 球的体积为36p ，所以球的半径3R =,设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l æö==´´=´-´-ç÷èø，所以5233112449696l l V l l æöæö-¢=-=ç÷ç÷èøèø，当3l ££0V ¢>，当l <£时，0V ¢<，所以当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443éùêúëû，.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知正方体1111ABCD A B C D -，则（ ）A. 直线1BC 与1DA 所成的角为90° B. 直线1BC 与1CA 所成的角为90°C. 直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45° D. 直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45°【答案】ABD 【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角，因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ^1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90°，A 正确；连接1AC ，因为11A B ^平面11BB C C ，1BC Ì平面11BB C C ，则111A B BC ^，因为1B C ^1BC ，1111A B B C B =I ，所以1BC ^平面11A B C ，又1AC Ì平面11A B C ，所以11BC CA ^，故B 正确；连接11A C ，设1111A C B D O =I ，连接BO ，因为1BB ^平面1111D C B A ，1C O Ì平面1111D C B A ，则11C O B B ^，因为111C O B D ^，1111B D B B B Ç=，所以1C O ^平面11BB D D ，所以1C BO Ð为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，设正方体棱长为1，则1C O =，1BC =，1111sin 2C O C BO BC Ð==，所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30o ，故C 错误；因为1C C ^平面ABCD ，所以1C BC Ð为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC Ð=o，故D 正确.故选：ABD10. 已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x ¢=-，令()0f x ¢>得x >或x <令()0f x ¢<得x <<所以()f x在(上单调递减，在(,-¥，)+¥上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(10f =>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x在,æ-¥ççè上有一个零点，当x ³时，()0f x f ³>，即函数()f x在ö¥÷÷ø+上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x ¢=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：AC11. 已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（ ）A. C 的准线为1y =- B. 直线AB 与C 相切C. 2|OP OQ OA×> D. 2||||||BP BQ BA ×>.【答案】BCD 【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C 、D.【详解】将点A 的代入抛物线方程得12p =，所以抛物线方程为2x y =，故准线方程为14y =-，A 错误；1(1)210AB k --==-，所以直线AB 的方程为21y x =-，联立221y x x y=-ìí=î，可得2210x x -+=，解得1x =，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，所以，直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立21y kx x y=-ìí=î，得210x kx -+=，所以21212Δ401k x x k x x ì=->ï+=íï=î，所以2k >或2k <-，21212()1y y x x ==，又||OP ==，||OQ ==所以2||||||2||OP OQ k OA ×===>=，故C 正确；因为1||||BP x =，2||||BQ x =，所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ×=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD12. 已知函数()f x 及其导函数()¢f x 的定义域均为R ，记()()g x f x ¢=，若322f x æö-ç÷èø，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A. (0)0f = B. 102g æö-=ç÷èøC. (1)(4)f f -=D. (1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为322f x æö-ç÷èø，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x æöæö-=+ç÷ç÷èøèø即3322f x f x æöæö-=+ç÷ç÷èøèø，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x ¢=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x æö=-=-ç÷èø，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g æöæö-==ç÷ç÷èøèø，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 81()y x y x æö-+ç÷èø的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【解析】【分析】()81y x y x æö-+ç÷èø可化为()()88y x y x y x +-+，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为()()()8881=y y x y x y x y x xæö-++-+ç÷èø，所以()81y x y x æö-+ç÷èø的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x -=-，()81y x y x æö-+ç÷èø的展开式中26x y 的系数为-28故答案为：-2814. 写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，1ì=ïï，解得7242524k p ì=-ïïíï=ïî，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.15. 若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【答案】()(),40,¥¥--È+【解析】【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围.【详解】∵()e xy x a =+，∴(1)e x y x a ¢=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e x k x a =++,切线方程为：()()()00000e 1e x x y x a x a x x -+=++-,∵切线过原点，∴()()()00000e1e x x x a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a =+>n ,解得4a <-或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,¥¥--È+,故答案为：()(),40,¥¥--È+16. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE V 的周长是________________．【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，根据离心率得到直线2AF 的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，利用弦长公式求得138c =，得1324a c ==，根据对称性将ADE V 的周长转化为2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a =.【详解】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O pÐ=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE ， 直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c =+´´=´´n ，∴22264613c CD y =-==´´´=，∴ 138c =， 得1324a c ==， ∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE V 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ìü=íýîþ是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：121112na a a +++<L ．【答案】（1）()12n n n a +=（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23n n n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ³时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n æö+++=-ç÷+èøL ，进而证得.【小问1详解】∵11a =，∴111S a ==,∴111Sa =,又∵n n S a ìüíýîþ是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=,∴当2n ³时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+,即111n n a n a n -+=-,∴31211221n nn n n a a a a a a a a a a ---=´´´¼´´()1341123212n n n n n n ++=´´´¼´´=--，显然对于1n =也成立，∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=；【小问2详解】()12112,11n a n n n n æö==-ç÷++èø ∴12111n a a a +++L 1111112121222311n n n éùæöæöæöæö=-+-+-=-<ç÷ç÷ç÷ç÷êú++èøèøèøèøëûL 18. 记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B A B =++．（1）若23C p =，求B ；（2）求222a b c+的最小值．【答案】（1）π6； （2）5．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A B A B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出；（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c+化成2224cos 5cos B B+-，然后利用基本不等式即可解出．【小问1详解】因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A B C =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；【小问2详解】由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C æö=-=-ç÷èø，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B+++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB -+-==+-³-=-．当且仅当2cos B =222a b c +的最小值为5-．19. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC V 的面积为．（1）求A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ^平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【答案】（1（2【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ^平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则111111111143333A A BC A A ABC A ABC A B BC C C B V S h V S A A V ---=×===×==V V ，解得h =，所以点A 到平面1A BC 的距离为；【小问2详解】取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ^,又平面1A BC ^平面11ABB A ，平面1A BC I 平面111ABB A A B =，且AE Ì平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ^平面ABC ，由BC Ì平面1A BC ，BC Ì平面ABC 可得AE BC ^，1BB BC ^，又1,AE BB Ì平面11ABB A 且相交，所以BC ^平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B 为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得AE =12AA AB ==，1A B =2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1AC 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD =uuu r ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==uuu r uuu r ,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z =u r ，则020m BD x y z m BA y ì×=++=ïí×==ïîu r uuu r u r uuu r ，可取()1,0,1m =-u r ，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c =r ，则020m BD a b c m BC a ì×=++=ïí×==ïîu r uuu r u r uuu r ，可取()0,1,1n =-r ，则1cos ,2m =u r ，所以二面角A BD C --=20. 一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =×；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ³0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）答案见解析（2）（i ）证明见解析；(ii)6R =；【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出2K 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i ）结合已知数据求R .【小问1详解】由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -´-´==++++´´´，又2( 6.635)=0.01P K ³，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.【小问2详解】(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =××××，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =×××所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =×，(ii) 由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|100P A B =，所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =×21. 已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ Ð=，求PAQ △的面积．【答案】（1）1-；（2．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k +=，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ 的倾斜角互补，再根据tan PAQ Ð=即可求出直线,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．【小问1详解】因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+ìïí-=ïî可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()22222216422210120m k m k m k D =++->Þ-+>．所以由0AP BP k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +æö´+-----=ç÷--èø，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．【小问2详解】不妨设直线,PA PB 的倾斜角为(),a b a b <，因为0AP BP k k +=，所以πa b +=，因为tan PAQ Ð=，所以()tan b a -=tan 2a =-，2tan 0a a -=，解得tan a =，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ì=-+ïí-=ïî可得，(23211002x x +-+-=，因为方程有一个根为2，所以P x =，P y=，同理可得，Q x =Q y=所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离d ，故PAQ △的面积为11623´=．22. 已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同最小值．（1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）1a =（2）见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时， e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x =+-，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系，根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小问1详解】()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e ¢=-x f x a ，若0a £，则()0f x ¢>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,+¥，而11()ax g x a x x¢-=-=.当ln x a <时，()0f x ¢<，故()f x 在(),ln a -¥上为减函数，的当ln x a >时，()0f x ¢>，故()f x 在()ln ,a +¥上为增函数，故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时，()0g x ¢<，故()g x 在10,a æöç÷èø上为减函数，当1x a >时，()0g x ¢>，故()g x 在1,a æö+¥ç÷èø上为增函数，故min 11()1ln g x g a a æö==-ç÷èø.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，故11ln ln a a a a -=-，整理得到1ln 1a a a-=+，其中0a >，设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --¢=-=£++，故()g a 为()0,+¥上的减函数，而()10g =，故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1a a a -=+的解为1a =.综上，1a =.【小问2详解】由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e x S x x b =--，()e 1x S x ¢=-，当0x <时，()0S x ¢<，当0x >时，()0S x ¢>，故()S x 在(),0-¥上为减函数，在()0,+¥上为增函数，所以()()min 010S x S b ==-<，而()e0b S b --=>，()e 2b S b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20b u b ¢=->，故()u b 在()1,+¥上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-¢=，当01x <<时，()0T x ¢<，当1x >时，()0T x ¢>，故()T x 在()0,1上为减函数，在()1,+¥上为增函数，所以()()min 110T x T b ==-<，而()e e 0b b T --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点，当1b <时，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点，故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-，其中0x >，故1()e 2x h x x¢=+-，设()e 1x s x x =--，0x >，则()e 10x s x ¢=->，故()s x 在()0,+¥上为增函数，故()()00s x s >=即e 1x x >+，所以1()1210h x x x¢>+-³->，所以()h x 在()0,+¥上为增函数，而(1)e 20h =->，31e 333122()e 3e 30e e eh =--<--<，故()h x 在()0,+¥上有且只有一个零点0x ，0311e x <<且：当00x x <<时，()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <，当0x x >时，()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >，因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同交点，故()()001b f x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的零点1010,(0)x x x x <<，此时ln x x b -=有两个不同的零点0404,(01)x x x x <<<，的故11e x x b -=，00e x x b -=，44ln 0x x b --=，00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44e x b x -=即()44e 0x b x b b ----=，故4x b -为方程e x x b -=的解，同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理0x b +也为方程ln x x b -=的解，所以{}{}1004,,x x x b x b =--，而1b >，故0410x x b x x b =-ìí=-î即1402x x x +=.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.。

绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷(全国乙卷)数学(理科)试题(解析版)注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．考试结束后，请将本试卷和答题一并上交。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知11|1iz =-++，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】211i 1i 51|3i 1|2i 1i1(i)222z --=-+=+=-+-， ∴复平面内z 对应的点51(,)22-位于第四象限.故选：D2．已知全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,5}A =，集合{1,2}B =，则()UB A =（ ）A ．{4}B ．{0}C ．{0,4}D ．{1,2,3,5}【解析】{1,2,3,5}A B ⋃=，(){0,4}UA B ⋃=.故选：C.3．已知命题2000:,10p x x x ∃∈++<R ，命题4:0,,sin 42sin q x x xπ⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∧B ．p q ∨C ．¬qD ．p【解析】因为22001124334x x x ⎭+⎛⎫++=+≥ ⎪⎝，所以命题2000:,10p x x x ∃∈++<R 为假命题.因为0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，有()sin 0,1x ∈，而对勾函数4y t t=+在()0,1t ∈单调递减，所以()5,y ∈+∞，故命题4:0,,sin 42sin q x x x π⎛⎫∀∈+> ⎪⎝⎭为真命题. 对于A ：因为p 假q 真，所以p q ∧为假命题，故A 错误； 对于B ：因为p 假q 真，所以p q ∨为真命题，故B 正确；对于C ：因为q 真，所以¬q 为假命题，故C 错误； 对于D ：p 假，故D 错误. 故选：B4．若函数()312e 1x f x x m x ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭是定义在()(),00,∞-+∞上的偶函数,则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解析】因为()f x 是()(),00,∞-+∞上的偶函数,所以()()f x f x -=,即()331212e 1e 1x x x m x m x x -⎡⎤⎛⎫-+-=+- ⎪⎢⎥-++⎣⎦⎝⎭, 所以3322e 1e 1x x x m x m -⎛⎫-+-=-+- ⎪++⎝⎭, 整理得()2e 12222e 1e 1e 1x x x x m -+=+==+++,所以1m =．故选：C.5．已知各棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中,,,D E F 分别为11,,AC A C BC 的中点,则异面直线1C D 与EF 所成角的余弦值为（ ） A ．25B ．35C ．710D ．45【解析】取11B C 的中点G ,连接,,AE EG FG ,又1//AE DC , ∴(AEF ∠或补角)为异面直线1C D 与EF 所成的角,。

备战2022年高考数学（理）【名校地市好题必刷】全真模拟卷（全国卷专用）第六模拟（本卷共22小题，满分150分，考试用时120分钟）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（2022·河南·高三期末（理））已知集合{}0,N A x x a x =≤≤∈，{}1,2,3B =，若A B B =，则a 的取值范围是（ ） A ．{}3 B ．()3,+∞C ．[)3,4D ．[)3,+∞【答案】D 【解析】解：因为A B B =，所以B A ⊆， 又{}0,N A x x a x =≤≤∈，{}1,2,3B =， 所以3a ≥. 故选：D.2．（2022·安徽蚌埠·高三期末（理））设复数202212i 2i z +⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则z =（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -【答案】B 【解析】()()()()12i 2i 12i 5i i 2i 2i 2i 5+++===--+，因此()()1011101120222i i 11z ===-=-. 故选：B.3．（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））设0x >且1x ≠，0y >且1y ≠，则“log 0x y <”是“()()110x y --<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】01log 01x x y y <<⎧<⇒⎨>⎩或101x y >⎧⎨<<⎩，因此有(1)(1)0x y --<，充分性满足，当(1)(1)0x y --<时，10,10x y --或10,10x y ->-<，结合前提条件可得log 0x y <，必要性满足．因此是充分必要条件． 故选：C ．4．（2022·吉林白山·高三期末（理））某保险公司销售某种保险产品，根据2020年全年该产品的销售额（单位：万元）和该产品的销售额占总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图.根据双层饼图，下列说法正确的是（ ）A ．2020年第四季度的销售额为380万元B ．2020年上半年的总销售额为500万元C ．2020年2月份的销售额为60万元D ．2020年12个月的月销售额的众数为60万元 【答案】D 【解析】不妨设全年总销售额为x 万元，则第二季度的销售额可得，(6%9%11%)260x ++=，解得，1000x =，选项A ：第四季度销售额为100028%280⨯=(万元)，故A 错误； 选项B ：由图可知，上半年销售额为160260420+=(万元)，故B 错误； 选项C ：由图可知，1月份和3月份销售额之和为1000(5%6%)110⨯+=(万元)， 故2月份的销售额为16011050-=(万元)，故C 错误；选项D ：由图易知，2月份的销售额占比为5%，从而由图可知，月销售额占比为6%的月份最多，故月销售额的众数为10006%60⨯=(万元)，故D 正确. 故选：D.5．（2022·内蒙古通辽·高三期末（理））酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量在20~80mg 之间为酒后驾车，80mg 及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2mg/mL ，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）（参考数据：lg 20.3≈，lg30.48≈）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【解析】设该驾驶员至少需经过x 个小时才能驾驶汽车，则()120120%20x-<，所以81106x⎛⎫< ⎪⎝⎭，则8101lg 6lg 2lg3log 7.86lg 0.83lg 21x --->==≈-，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车. 故选：C6．（2021·江西宜春·高三期末（理））我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数图象的特征.函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 ()()ln ||cos ()sin x x f x f x x x-⋅--==---，为奇函数，排除A(1)0f =，()02f π=，()03f π>，()0f π<故选：D 【点睛】由解析式找图像的问题，可根据奇偶性，单调性，对称性，特殊值等排除选项，找出答案. 7．（2022·四川巴中·一模（理））已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则下列命题中错误的是（ ） A ．1n n n S S a q +=+⋅ B ．11n n S S qS +=+C ．2S ，42S S -，64S S -成等比数列D ．“12q =-”是“n S ，2n S +，1n S +成等差数列”的充要条件【答案】C 【解析】对于选项A ，因为11n n n S S a ++-=，又等比数列{}n a 的公比为q ，所以1n n a a q +=⋅ 所以1n n n S S a q +-=⋅，即1n n n S S a q +=+⋅，故A 正确；因为()111231123......n n n S qS a q a a a a a a q a q a q a q +=+++++=+++++ 12311...n n a a a a S ++=++++=，所以11n n S S qS +=+，故B 正确；当1q =-时，224640S S S S S =-=-=，显然此时2S ，42S S -，64S S -不能成等比数列，故C 错误；若n S ，2n S +，1n S +成等差数列，则212n n n n S S S S +++-=-，所以221n n n a a a ++++=-， 即122n n a a ++=-，所以1212n n a q a ++==，所以“12q =-”是“n S ，2n S +，1n S +成等差数列”的充要条件，故D 正确.8．（2022·吉林四平·高三期末（理））如图，1F 、2F 分别是双曲线C ：22221x ya b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于点A 、B ．若2ABF 为等边三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．4B 7C 23D 3【答案】B 【解析】解：根据双曲线的定义可得122BF BF a -=，因为2ABF 为等边三角形，所以2BF AB =，12120F AF ∠=︒ 所以112BF AB AF a -==，因为212AF AF a -=，所以2124AF AF a a =+=， 因为在12AF F △中，122,4AF a AF a ==，12120F AF ∠=︒， 所以2221212122cos120F F AF AF AF AF =+-⋅︒， 即222214416224282c a a a a a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以7c a ，所以双曲线的离心率为7ce a= 故选：B9．（2022·四川雅安·高三期末（理））我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面A 处垂直上升的无人机P ，对地面,B C 两受灾点的视角为BPC ∠，且1tan 3BPC ∠=．已知地面上三处受灾点,,B C D 共线，且90ADB ∠=，1km BC CD DA ===，则无人机P 到地面受灾点D 处的遥测距离PD 的长度是（ ）A 2kmB ．2kmC 3kmD ．4km【答案】B 【解析】提示：法一：由题意，得BD ⊥面,PAD BD PD ∴⊥．设,PD x =记,PBD PCD ∠α∠β==， ()212tan ,tan ,tan tan 22312xx x x x x x x αβθβα-∴==∴=-===++⋅，解得1x =或2x =，又在Rt PDA △中有1, 2.x x >∴=∴选B ．法二：由题，BD ⊥面,PAD BD PD ∴⊥．设PA x =，则22225,2PB x PC x =+=+．由1tan 3BPC ∠=33cos BPC ∠⇒=PBC 中，由余弦定理得2222310521252x x x x +++-=++23x =，进而21 2.PD x +=∴选B. 故选：B.10．（2022·广西·南宁市东盟中学高三期末（理））已知函数()()2sin (00)2f x x πωϕωϕ=+><<，的最小正周期为π，且它的图象关于直线23x π=对称，则下列说法正确的个数为（ ）①将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度后，得到函数2sin y x ω=的图象；②()f x 的图象经过点()01，； ③()f x 的图象的一个对称中心是5012⎛⎫⎪⎝⎭，π；④()f x 在123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由最小正周期为π，得2ω=；由23x π=为对称轴，得()4 32k k Z ππϕπ+=+∈，02πϕ<<， 故k 取1，6π=ϕ，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．①()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度后，得2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，错误；②()02sin 16f π==，正确；③52sin 012f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，正确； ④52636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，错误； 故选：C ．11．（2022·宁夏六盘山高级中学高三期末（理））已知圆C ：()()22232x y -+-=．若直线l ：0x y m ++=上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得60APB ∠=︒，则m 的取值范围是（ ） A ．(),9-∞- B ．(][),91,-∞⋃-+∞ C ．()1,-+∞ D ．[]9,1--【答案】D 【解析】解：根据题意，圆C ：()()22232x y -+-=的圆心为()2,3，半径2r =过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，连接PC ， 若60APB ∠=︒，则30APC ∠=︒，又由CA PA ⊥， 则||2||222PC CA r ===若直线l ：0x y m ++=上存在点P ，满足60APB ∠=︒， 则有C 到直线l 的距离2211d =≤+ 解可得：91m -≤≤-，即m 的取值范围为[]9,1--， 故选：D ．12．（2022·黑龙江·高三期末（理））已知函数()e sin xf x a x =+，则下列说法正确的是（ ）A ．当1a =-时，()f x 在(0,)+∞单调递减B ．当1a =-时，()f x 在()()0,0f 处的切线为x 轴C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】C 【解析】对于选项A ，当1a =-时，()sin x f x e x =-，(0,)x ∈+∞，()cos 0x f x e x -'=>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，故选项A 不正确；对于选项B ，当时，()sin x f x e x =-，(0)1f =，故切点为(0,1) ，()cos x f x e x '=-，所以切线斜率0)0k f ='(=，故直线方程为：10(0)y x -=-，即切线方程为：1y = ，故选项B 不正确；对于选项C ，当1a =时，()+sin x f x e x =，(,0)x π∈-，()+cos x f x e x '=，()sin 0x f x e x ''=->恒成立，所以()f x '单调递增，又3433()cos()044f e πππ-'-=+-<，2()02f e ππ-'-=> 故()f x '存在唯一极值点，不妨设3,42x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭ ，则0()=0f x '，即00+cos =0x e x ，且003,()0;,()042x x f x x x f x ππ''-<<<<<->， 所以极小值000000()=+sin sin cos =2)(1,0)4xf x e x x x x π=--∈-，故选项C 正确；对于选项D ，对于()+sin x f x e a x =，(,+)x π∈-∞，令()0f x =，即+sin 0x e a x =，当,1x k k π=>-，且Z k ∈， 显然没有零点，故,1x k k π≠>-，且Z k ∈，所以sin x e a x =-则令()sin x e F x x =-，2(cos sin )()sin x e x x F x x -'=，令()=0F x '，解得+,14x k k k Z ππ=≥-∈，，所以3(,)4x ππ∈-- 单调递减，3(,0)4x π∈- 单调递增，有极小值343()240F e ππ-->，于是知(,0)x π∈-时得34()2F x e π- ，所以当342)a e π-∈时，函数无零点，对于条件中任意的0a >均有零点矛盾，故选项D 不正确；故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2022·安徽宣城·高三期末（理））已知向量()2,1a =，()1,b λ=-，若()2a b a +⊥，则a 与b 的夹角的余弦值是______． 【答案】213【解析】()()()24,21,3,2a b λλ+=+-=+，由于()2a b a +⊥，所以()()3,22,16280,8λλλλ+⋅=++=+==-， 则()1,8b =--，所以a 与b 的夹角的余弦值是2213565513a b a b⋅--===⨯⨯⋅.故答案为：21314．（2022·山西·祁县中学高三阶段练习（理））曲线()31()e x f x x mx -=-在点(1(1))f ，处的切线与直线410x y --=垂直，则该切线的方程为__________. 【答案】410x y +-= 【解析】由题意得()321()3e x f x x x mx m ---'=+，则(1)42f m '=-， 所以切线的斜率142k m =-.直线410x y --=的斜率214k =. 因为两直线相互垂直，所以121(42)14k k m =-=-，解得4m =， 则1(1)4k f '==-.所以()31()4e x f x x x -=-，则(1)3f =-， 故该切线的方程为34(1)y x +=--，即410x y +-=. 故答案为：410x y +-=15．（2022·云南昆明·高三期末（理））在ABC 中，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，若2AD =，则ABC 的面积为__________.33【解析】∴由正弦定理，sin sin6BDAD B π=，sin sin 6DC ADC π=，即1sin sin 6sin AD BD B Bπ=⋅=，1sin sin 6sin AD DC C Cπ=⋅=，而3BC =， ∴113sin sin B C+=， ∵23sin sin sin AB AC BC C B BAC ===∠123sin C =123sin B =， ∴113AC AB +=3AB AC AB +=⋅， 又由余弦定理知：2222cos AC AB AC AB BAC BC +-⋅⋅∠=，∴229AC AB AC AB +-⋅=，即2()39AC AB AC AB +-⋅=，令x AC AB =⋅， ∴24120x x --=，即6x =（2x =-舍去）， ∴133sin 2ABCSAC AB BAC =⋅⋅∠=3316．（2022·四川南充·高三期末（理））已知O 为坐标原点，抛物线C ：()220y px p =>上一点A 到焦点F 的距离为4，设点M 为抛物线C 准线l 上的动点，给出以下命题： ①若△MAF 为正三角形时，则抛物线C 方程为24y x =； ②若AM l ⊥于M ，则抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠； ③若3MF FA =，则抛物线C 方程为26y x =；④若OM MA +的最小值为213，则抛物线C 方程为28y x =． 其中所有正确的命题序号是________． 【答案】①②③④ 【解析】①若△MAF 为正三角形时，122p AM ==，故①正确； ②若AM l ⊥于M ，设 ()00,A x y ，过A 的切线m 方程为:00x ty ty x =-+，代入22y px =得2002220y pty pty x -+-=，()()20024220pt pty x ∆=---=，又202y px =，()200tp y ∴-=， 0y t p=，所以过A 点的切线的斜率为0p k y =，因为00022MF y yk p p p -==---，所以过A 的切线m MF ⊥，又AM AF =, 故抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠，②正确③若3MF FA =，则A M F 、、三点共线，4,12AF MF ==， 由三角形的相似比得12,3164pp ==，故③正确；④设(),0B p -则214,82A p p p ⎛-±- ⎝，O B 、关于准线l 对称，OM BM =，2221482132O p M BM MA A M B p p A ⎛⎫⎛⎫=+≥==++±- ⎪⎪⎝⎭⎭+ ⎝1402p ->,解得4p =，故④正确. 故答案为: ①②③④三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（2022·安徽宣城·高三期末（理））记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．（1）求证：数列{}n S 是等比数列； （2）求数列{}n na 的前n 项和n A ． 【解析】（1）因为n T 为数列{}n S 的前n 项和， 当1n =时，1111122S T S S S +=+==，则11S = 当2n ≥时，1n n n T T S --=2n n S T +=① 112n n S T --+=②，①－②得()122n n S S n -=≥，得()1122n n S n S -=≥ 所以数列{}n S 是首项为1公比为12的等比数列．（2）由（1）可得，数列{}n S 是以11S =为首项，以12为公比的等比数列，所以112n n S -⎛⎫= ⎪⎝⎭．当1n =时，1111a S T ===，当2n ≥时，1211111222n n n n n n a S S ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，显然对于1n =不成立，所以11,11,22n n n a n -=⎧⎪=⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩ 当1n =时，111A a ==当2n ≥时，21111123222n n A n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦23111112322222nn A n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+⨯++⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦上下相减可得2311111111222222n nn A n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()211142111112122212n n nn n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-+-⋅=-++⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎣⎦则()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭又1n =时，13121A =⨯-=综上，()11222n n A n -⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭18．（2022·安徽蚌埠·高三期末（理））第24届冬奥会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，冬季两项是冬奥会的正式项目之一，冬季两项是把越野滑雪和射击两种特点不同的竞赛项目结合在一起进行的运动，要求运动员既要有由动转静的能力，又要有由静转动的能力.20km 男子个人赛是冬季两项中最古老的奥运项目，分成5个阶段：第1圈滑行后卧射，第2圈滑行后立射，第3圈滑行后卧射，第4圈滑行后立射，第5圈滑行直达终点．比赛时，运动员单个出发，随身携带枪支和20发子弹，每轮射击发射5发子弹，每脱靶一次加罚1分钟．成绩的计算是越野滑雪的全程时间加被罚的时间，比赛结束所耗总时间少者获胜．已知甲、乙两名参赛选手在射击时每发子弹命中目标的概率均为0.8． （1）试求甲选手在一轮射击中，被罚时间X 的分布列及期望；（2）若甲、乙两名选手在滑道上滑行所耗时间相同，在前三轮射击中甲选手比乙选手多罚了3分钟，试求在四轮射击结束后，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率（保留小数点后4位）．（参考数据：50.80.32768=，40.80.4096=．） 【解析】（1）因为一轮射击中，共发射5发子弹，脱靶一次罚时1分钟， 所以一轮射击中，被罚时间X 的值可能为0，1，2，3，4，5．()500.80.32768P X ===，()1451C 0.20.80.4096P X ==⨯=，()()22352C 0.20.80.2048P X ==⨯=，()()33253C 0.20.80.0512P X ==⨯=，()()4454C 0.20.80.0064P X ==⨯=，()()5555C 0.20.00032P X ===，所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P0.327680.40960.20480.05120.00640.00032（2）依题意，甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少，在第四轮射击中，共有两种可能，第一种情况，甲5发子弹都击中，乙击中0发或1发；第二种情况，甲击中4发子弹，乙击中0发，所以甲选手所罚总时间比乙选手所罚总时间少的概率为()5514145550.80.2C 0.20.8C 0.20.80.20.0023P =⨯+⨯+⨯⨯=．19．（2022·江西·新余市第一中学高三期末（理））如图1，已知ADE 为等边三角形，四边形ABCD 为平行四边形，1,2,5BC BD BA ===把ADE 沿AD 向上折起，使点E 到达点P 位置，如图2所示；且平面PAD ⊥平面PBD ．（1）证明：PA BD ⊥；（2）在（1）的条件下求二面角A PB C --的余弦值． 【解析】（1）证明：如图，设PD 的中点为F ，连接AF ．∵ADP △为等边三角形，∴AF PD ⊥．又平面PAD ⊥平面PBD ，平面PAD 平面PBD PD =，∴AF ⊥平面PBD ．∵BD ⊂平面PBD ，∴BD AF ⊥． ∵1,2,5AD BC BD BA ==== ∴222AD BD AB +=，∴BD AD ⊥． 又ADAF A =，∴BD ⊥平面PAD ．又∵PA ⊂平面PAD ，∴PA BD ⊥．（2）由（1）知BD ⊥平面PAD ，则平面PAD ⊥平面ABD ． 设AD 中点为O ，连接PO ，则PO AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABD ，平面PAD 平面ABD AD =，∴PO ⊥平面ABD ． 设AB 中点为O '，连接OO '． ∵//OO BD '，∴OO AD '⊥，故以点O 为坐标原点，OA ，OO '，OP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则1133,0,0,,2,0,,2,0,222A B C P ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴1313,0,,,2,222PA PB ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，33,2,2PC ⎛=- ⎝⎭．设平面PAB 的法向量为(,,)m x y z =，由130,213202m AP x m PB x y z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩得3,3,x z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩取 2z =，则(23,3,2)m =设平面PBC 的法向量为(,,)n a b c =，由1320,233202n PB a b n PC a b ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩得0,3a b =⎧⎪⎨=⎪⎩取4c =-，则(0,3,4)n =--，11cos ,19||||1919m n m n m n ⋅-〈〉===-⨯∴二面角A PB C --的余弦值为1119-20．（2022·四川·成都七中高三期末（理））已知两圆222212:(2)54,:(2)6C x y C x y -+=++=，动圆M 在圆1C 内部且和圆1C 内切，和圆2C 外切. （1）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；（2）过点()3,0A 的直线与曲线C 交于,P Q 两点.P 关于x 轴的对称点为R ，求ARQ 面积的最大值. 【解析】（1）依题意，圆1C 的圆心()12,0C ，半径136r =，圆2C 的圆心()22,0C -，半径26r 设圆M 的半径为r ，则有11MC r r =-，22MC r r =+，因此，121212464MC MC r r C C +=+=>=，于是得点M 的轨迹是以12,C C 为焦点，长轴长246a =24c =，短半轴长b 有：22220b a c =-=，所以动圆圆心M 的轨迹C 的方程为：2212420x y +=. （2）显然直线PQ 不垂直于坐标轴，设直线PQ 的方程为3(0)x my m =+≠，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由22356120x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得：22(56)30750m x my ++-=，则1223056my y m +-+=，1227565y y m =-+，点P 关于x 轴的对称点11(,)R x y -，1211|2|||2PQRSy x x =⋅⋅-，111232APRS y x =⋅⋅-，如图，显然1x 与2x 在3的两侧，即21x x -与13x -同号， 于是得()()()1211121133AQRPQRAPRSSSy x x x y x x x =-=---=⋅---121212275||656765||5|5||5302||3|||||||||||m y x y m m m my my y m m ++⋅=≤==⋅-=⋅==， 当且仅当|||65|m m =，即30m =“=”，因此，当30m =时，max(50)3AQR S =所以ARQ 530. 21．（2022·江西·新余市第一中学高三期末（理））已知函数1()ln f x x a x=++. （1）当12a =-时，求函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程；（2）当(0,2)a ln ∈，证明：函数()()x g x e f x =存在唯一极值点0x ，且0()0g x >. 【解析】解：（1）当12a =-时，11()ln 2f x x x =+-，22111()x f x x x x -'=-=，f ∴'（2）14=，f （2）ln 2=， ∴函数()f x 在(2，f （2）)处的切线方程为：1ln 2(2)4y x -=-，整理为44ln 220x y -+-=.（2）证明：函数1()()()x x g x e f x e lnx a x==++，(0,)x ∈+∞.221()(ln )x g x e x a x x '=+-+， 设221()ln h x x a x x =+-+， x R ∀∈，0x e >，因此()'g x 与()h x 的符号相同.2233122(1)1()x h x x x x x '-+=-+=，显然，当0x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增.又h （1）02110a a =+-+=+>，11()ln 44ln 2022h a a =+-+=-<.((0,2))a ln ∈，∴存在唯一01(2x ∈，1)，使得0()0h x =.对于()g x ，则有0(0,)x x ∈时，()0g x '<；0(x x ∈，)+∞时，()0g x '>.∴函数()()x g x e f x =存在唯一极值点0x ，01(2x ∈，1).由0()0h x =，可得：020021ln 0x a x x +-+=，解得020021ln a x x x =--+，0000000222000000111211()(ln ln )()x x x x g x e x x e e x x x x x x -∴=++--=-=， 01(2x ∈，1)，0()0g x ∴>.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（2022·西藏昌都市第三高级中学高三期末（理））在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩（t 为参数，0απ<<）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22cos sin θρθ=. （1）求曲线C 以及直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若||8AB =，求α值. 【解析】 解：（1）由22cos sin θρθ=，得2sin 2cos ρθθ=，22sin 2cos ρθρθ∴=，即22y x =， 由题知sin y t α=，代入1cos 2x t α=+整理得2sin 2cos sin 0x y ααα--=. （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程得：22sin 2cos 10t t αα--= ()222cos 4sin 40αα∆=-+=>设12,t t 是方程的根，则：1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=- ∴()221212124224cos 4248sin sin sin AB t t t t t t αααα=-+-+== 21sin 4α∴=，又0απ<< 1sin 2α∴=6πα∴=或56π23．（2022·陕西宝鸡·一模（理））关于x 的不等式3ax x -≤的解集为[]1,b ，其中1a >． （1）求实数a ，b 的值； （2）若正数m ，n 满足2m a n +=，求2n m+的最小值． 【解析】（1）依题意，不等式3ax x -≤化为：22(1)690a x ax --+≤，而1a >，则1,b 是方程22(1)690a x ax --+=的二根，且1b >，因此，2680a a -+=且291b a =-，解2680a a -+=得2a =或4a =， 当2a =时，3b =，符合题意，当4a =时，315b =<不符合题意， 所以2a =，3b =. （2）由(1)知，2a =，22m n+=，而0,0m n >>， 则有21221414()()(4)(42)4222n m n mn mn m n m mn mn+=++=++≥+⋅=，当且仅当4mn mn =时取“=”，由422mn mn m n ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：1,2m n ==，所以当1,2m n ==时，2n m+取最小值4.。

2022年高考数学（理）模拟卷（全国卷）二轮拔高卷03（本卷满分150分，考试时间120分钟。

）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足M N Q M N ⋃=⋂=∅，，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，这种有理数的分割()M N ，就是数学史上有名的戴德金分割.试判断，对于任一戴德金分割()M N ，，下列选项中不可能成立的是（ ） A ．M 有最大元素，N 有一个最小元素 B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素 C ．M 没有一个最大元素，N 有一个最小元素 D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素 【答案】A【解析】M 有一个最大元素，N 有一个最小元素， 设M 的最大元素为m ，N 的最小元素为n ，若有m ＜n ， 不能满足M ∪N=Q ，A 错误； 若{|2}M x Q x =∈<，{|2}N x Q x=∈；则M 没有最大元素，N 也没有最小元素，满足其它条件，故B 可能成立；若{|0}M x Q x =∈<，{|0}N x Q x =∈，则M 没有最大元素， N 有一个最小元素0，故C 可能成立；若{|0}M x Q x =∈，{}0N x Q x =∈；M 有一个最大元素， N 没有最小元素，故D 可能成立；故选：A ．2．已知复数202120221i 1i z -=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因为41i =，所以202150541i i i ⨯+==，202250542i i 1⨯+==-， 所以1i 11i 1(1)22z -==---，则11i 22z =+，故z 在复平面内对应的点位于第一象限.故选：A.3．已知tan 2α=，则3sin 2cos cos πααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-（ ）A ．52B ．52-C ．54D ．54-【答案】C【解析】原式()22222cos 1cos sin sin sin cos 1cos ααααααα+===- 221tan 5tan 4αα+== 故选：C 4．在成都市“高三第一次诊断性”考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回归校园学习文化课.假设某位回归校园的同学的“一诊”数学成绩刚好是班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是（ ） A ．平均分变大，方差不变 B ．平均分变小，方差不变 C ．平均分不变，方差变大 D ．平均分不变，方差变小【答案】D【解析】设该班原有n 位同学，数学成绩记为123,,,,n a a a a原平均分1230na a a a x n，原方差2222102030020δn a x a x a x a x n该同学回归校园后新平均分123001011n a a a a x n x x x x n n ，即平均分不变.该同学回归校园后新方差2222211213110121δ1n a x a x a x a x x x n22222102030002200δδ11n a x a x a x a x x x n n n ，即方差变小.故选：D5．已知向量,,||6,(3,4)a b a b ==-，若a 在b 的投影为14-，则|32|a b -=（ ） A ．169 B ．13 C ．196 D ．14【答案】B【解析】因为(3,4)b =-，所以()22345b =-+，因为a 在b 的投影为14-，所以14a b b ⋅=-，所以1544a b b ⋅=-=-，所以()222|32|329124a b a ba ab b -=-=-⋅+229124a a b b =-⋅+()225961245134⎛⎫=⨯-⨯-+⨯= ⎪⎝⎭故选：B6．已知m ,n 是空间两条不同的直线，,αβ是空间两个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ） A ．若//m α，//m β，则//αβ B ．若//αβ，m α⊂，n β⊥，则m n ⊥ C ．若m m n α⊥⊥，，则//n αD ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊥，则//m n【答案】B【解析】对A ，由//m α，//m β，得//αβ或α与β相交，故A 错误； 对B ，由//αβ，n β⊥，得n α⊥，由m α⊂，得m n ⊥，故B 正确； 对C ，若m m n α⊥⊥，，则//n α或n ⊂α，故C 错误；对D ，若αβ⊥，m α⊂，n β⊥，则//m n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误. 故选：B.7．设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为偶函数，()2f x +为奇函数，当[]1,2x ∈时，()2f x ax b =+，若()()036f f +=，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．72-D ．52【答案】C【解析】因为()1f x +是偶函数，所以()()11f x f x -+=+①， 因为()2f x +是奇函数，所以()()22f x f x -+=-+②． 令1x =，由①得：()()024f f a b ==+， 由②得：()()()31f f a b =-=-+，因为()()036f f +=，所以()462a b a b a +-+=⇒=， 令0x =，由②得：()()()22208f f f b =-⇒=⇒=-，所以当[]1,2x ∈时，()228f x x =-，111711222232f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=+==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C ．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，0n a ≠，则20211011S a =（ ） A ．2021 B ．1011C ．2022D ．1010【答案】A【解析】因为数列{}n a 是等差数列，所以()1202120211011202120212a a S a +==，因为10110a ≠，所以202110112021S a =.故选：A.9．为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生和护士均至少有一人）分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，则分配方案共有 A ．264种 B ．224种C ．250种D ．236种【答案】A【解析】当选取的是1名医生2名护士，共有126436C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有2224A =种，即一共364144⨯=种方案；当选取的是2名医生1名护士，共有216460C C =种选法，分配到A ，B ，C 三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A 地区，共有222A =种，即一共602120⨯=种方案.综上所述：分配方案共有264种.故选：A10．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若,,PA a PB b PC c ===，则BE =（ ）A ．111222a b c -+B ．111222a b c --C ．131222a b c -+D ．113222a b c -+【答案】C【解析】由底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，且,,PA a PB b PC c ===， 根据向量的运算法则，可得111()()222BE BP BD BP BA BC =+=++111111()()222222PB BA BC PB PA PB PC PB =-++=-+-+-311131222222PB PA PC a b c =-++=-+.故选：C.11．已知函数()()2e 2e x xf x a a x =+--有两个零点，则a 的取值范围为（ ）A ．()1,0-B ．()0,1C ．(eD ．()1,e【答案】B【解析】由()()2e 2e 0x xf x a a x =+--=得到：22e e e x x xxa +=+；令()22e e ex x x xg x +=+，由题意可以看做是y a =与()g x 有两个交点；则()()()()22e 2e 1e 1eex x x xxx g x +--++'=，其中e 0x >，2e 10x +>，e 1x x --+是单调递减的，并且0x =时，e 1x x --+=0；因此函数()()()()22e 2e 1e 1eex x x xxx g x +--++'=存在唯一零点，0x =；当0x >时，()'0g x <；0x <时，()'0g x >；()01g =；得如下函数图像：显然当01a <<时，y a =与()g x 有两个交点；故答案为：B.12．已知椭圆22:143x y C +=，直线:1l y x =-，点()1,0P ，直线l 交椭圆C 于AB 、两点，则22PA PB +的值为 A ．32149B ．32449C ．32749D ．33049【答案】B【解析】设点,A B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，由椭圆的定义可知，椭圆的右焦点(1,0)F ，此时直线1y x =-经过点F ， 可得11122PA a ex x =+=+，22122PB a ex x =+=+， 所以2222211121212111(2)(2)82()[()2]224PA PB x x x x x x x x +=+++=++++- 联立方程组221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得27880x x --=，所以121288,77x x x x +==-， 代入上式可得222121212132482()[()2]449PA PB x x x x x x +=++++-=，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

备战2022年高考数学（理）模拟卷（全国卷）二轮拔高卷04（本卷满分150分，考试时间120分钟。

）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合A ．{2，3}B ．C ．2D ．2，32．设1i z =-（i 为虚数单位），则2||z z +=（ ） A．BCD ．23．已知命题000:,3sin 4cos p x x x ∃∈+=R 命题1:,1e xq x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭R ，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∨⌝D ．()p q ⌝∨4．若实数x y ， 满足约束条件 42023x y x y y x +⎧⎪-⎨⎪-⎩，，， 则z x y =+的最小值是（ ）A ．4-B ．72-C ．3-D ．32-5．若函数()f x 满足()()22f x f x -+=-，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++6．将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有 （） A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种7．为了得到sin(2)6y x π=-的图象，可以将sin 2y x =的图象（ ）A ．向左平移1112π个单位 B ．向左平移12π个单位C ．向右平移6π个单位D ．向右平移3π个单位8．深秋时节，霜叶红满地．今要测量捡到的枫叶的面积，在边长为15cm 的正方形纸片中描出枫叶的轮廓，然后随机撒入100粒豆子，恰有60粒落入枫叶轮廓中，则枫叶的面积近似为（ ） A ．2120cmB ．2135cmC ．2150cmD ．2165cm9．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D ，G ，F 在水平线DH 上，CD 和EF 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG =1，表高CD =EF =2，后表却行FH =3，表距DF =61.则塔高AB =（ ）A ．60米B ．61米C ．62米D ．63米10．若圆()()2221:10C x y r r -+=>上存在点P ，且点P 关于直线y x =的对称点Q 在圆()()222:131C x y -+-=上，则r 的取值范围是( )A．1⎤⎦ B．C．⎡-⎣D ．(]1,1-11．棱长为a 的正方体内有一个棱长为x 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内 任意转动，则x 的最大值为（ ）A ．12aBCD12．若函数()22153,0,44153,0,44x x a a x f x a a x -⎧++<⎪⎪=⎨⎪--->⎪⎩则下列说法错误的是（ ）A ．()f x 是奇函数B ．若()f x 在定义域上单调递减，则4a ≤-或1a ≥-C ．当1a ≥-时，若()()23f x f x ->+，则()()1,00,x ∈-⋃+∞D ．若函数()()12g x f x =+有2个零点，则532a -<<-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

333U 绝密★启用前注意事项：2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）（适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏）理科数学1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若z = -1+zi ，则zz -1= （）A.-1+i B.-1-i C.- 1+3i D.- 1-3i 33332.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：1.则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3.设全集U ={-2,-1,0,1,2,3}，集合A ={-1,2},B ={x ∣x 2-4x +3=0}，则ð(A ⋃B )=（）A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（）2A.8B.12C.16D.205.函数y =(3x -3-x)cos x 在区间⎡-π,π⎤的图象大致为（）⎣⎢22⎥⎦A. B.C. D.6.当x= 1时，函数f (x )= a ln x + b取得最大值-2，则f '(2)= （）xA.-1B.-1 C.122D.17.在长方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，已知B 1D 与平面ABCD 和平面AA 1B 1B 所成的角均为30°，则（）A.AB = 2ADB.AB 与平面AB 1C 1D 所成的角为30°C.AC = CB 1D.B 1D 与平面BB 1C 1C 所成的角为45︒8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB 上，CD ⊥ AB ．“会圆术”给出AB 的弧长的近似CD 2值s 的计算公式：s = AB +．当OA = 2,∠AOB = 60︒ 时，s = （）OA1.A.11- 332 B.11- 432C.9- 332D.9- 4329.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和S 甲V甲V 乙．若=2，则=（）S 乙V乙A.22B.2C.D.510410.椭圆C :x+ ya 2b 2= 1(a > b > 0)的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线AP ,AQ 的斜1率之积为4，则C 的离心率为（）A.32B.22C.1 D.1235103ωr 3⎛11.设函数f (x )= sin ωx +⎝π⎫⎪ 在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（）⎭⎡513⎫⎡519⎫⎛ 138⎤⎛ 1319⎤A.⎢⎣ ,⎪ B.⎢⎣ ,⎪ C. ,⎥ D. ,⎥36⎭36⎭⎝ 63⎦⎝ 66⎦12.已知a =31,b = cos 1,c = 4sin 13244，则（）A.c > b > a B.b > a > c C.a > b > c D.a > c > b 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.113.设向量a ，b 的夹角的余弦值为3，且2，b = 3，则(2a + b )⋅b =．14.若双曲线y 2- x m 2= 1(m > 0)的渐近线与圆x 2+ y 2- 4y + 3= 0相切，则m =．15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为．16.已知△���中，点D 在边BC 上，∠ADB = 120︒,AD = 2,CD = 2BD ．当AC取得最小值时，BD =AB．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17.记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知（1）证明：{a n }是等差数列；2S nn+ n = 2a n +1．（2）若a 4,a 7,a 9成等比数列，求S n 的最小值．18.在四棱锥P - ABCD 中，PD ⊥ 底面ABCD ,CD ∥AB ,AD = DC = CB = 1,AB = 2,DP =．（1）证明：BD ⊥ PA ；（2）求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．a = 1x ⎪x ⎩⎩19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X 表示乙学校的总得分，求X 的分布列与期望．20.设抛物线C :y 2= 2px (p > 0)的焦点为F ，点D ( p ,0) ，过F 的直线交C 于M ，N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时，MF = 3．（1）求C 的方程；（2）设直线MD ,ND 与C 另一个交点分别为A ，B ，记直线MN ,AB 的倾斜角分别为α,β ．当α - β 取得最大值时，求直线AB 的方程．21.已知函数f ( x ) =e - ln x + x - a ．x（1）若f (x ) ≥ 0，求a 的取值范围；（2）证明：若f ( x ) 有两个零点x 1,x 2，则x 1x 2< 1．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]⎧x = 2+ t ⎧2+ s ⎪ =-22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎨6⎪ y =（t 为参数），曲线C 2的参数方程为⎨⎪ y =6（s 为参数）．（1）写出C 1的普通方程；t −s（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C3的极坐标方程为2cosθ -sinθ = 0，求C3与C1交点的直角坐标，及C3与C2交点的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23.已知a，b，c均为正数，且a2+ b2+ 4c2= 3，证明：（1）a+ b+ 2c≤ 3；（2）若b= 2c，则1+1≥ 3．a c3331.【答案】C 【解析】参考答案【详解】z = -1-i,zz = (-1+i)(-1-i)= 1+ 3= 4.z = -1+ 3i = - 1+3i zz -1333故选：C2.【答案】B 【解析】【详解】讲座前中位数为70%+ 75%2> 70%,所以A 错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C 错；讲座后问卷答题的正确率的极差为100%- 80%= 20%，讲座前问卷答题的正确率的极差为95%- 60%= 35%> 20%,所以D 错.故选:B.3.【答案】D 【解析】【详解】由题意，B ={x x 2- 4x + 3= 0} = {1,3}，所以A ⋃ B = {-1,1,2,3} ,所以ðU ( A ⋃ B ) = {-2,0} .故选：D.4.【答案】B 【解析】【详解】由三视图还原几何体，如图，2+ 4则该直四棱柱的体积V =⨯ 2⨯ 2= 12.2故选：B.5.【答案】A 【解析】【详解】令f (x )=(3x-3-x)cos x ,x ∈⎡-π,π⎤，⎢⎣22⎥⎦则f (-x )=(3-x -3x )cos (-x )=-(3x -3-x)cos x =-f (x )，所以f ( x ) 为奇函数，排除BD ；又当x ∈⎛ 0,π ⎫ 时，3x - 3- x> 0,cos x > 0，所以f (x ) > 0，排除C. 2⎪⎝⎭故选：A.6.【答案】B【解析】a 2+b 2+c 222a b322333432【详解】因为函数f ( x ) 定义域为(0,+∞ ) ，所以依题可知，f (1)=-2，f '(1) = 0，而f '( x ) = x - x 2，所22以b = -2,a - b = 0，即a = -2,b = -2，所以f '(x ) = -+x x，因此函数f ( x ) 在(0,1) 上递增，在(1,+∞)上递减，x = 1时取最大值，满足题意，即有f '(2) = -1+ 1= - 1．故选：B.227.【答案】D【解析】【详解】如图所示：不妨设AB = a ,AD = b ,AA 1= c ，依题以及长方体的结构特征可知，B 1D 与平面ABCD 所成角为∠B 1DB ，cbB 1D 与平面AA 1B 1B 所成角为∠DB 1A ，所以sin 30==，即b = c ，B D = 2c =，解B 1DB 1D1得a =c ．对于A ，AB =a ，AD =b ，AB =AD ，A 错误；对于B ，过B 作BE ⊥ AB 1于E ，易知BE ⊥ 平面AB 1C 1D ，所以AB 与平面AB 1C 1D 所成角为∠BAE ，因为tan ∠BAE = c =a 2，所以∠BAE ≠ 30，B 错误；2对于C ，AC ==c ，CB 1==c ，AC ≠ CB 1，C 错误；CD a对于D ，B 1D 与平面BB 1C 1C 所成角为∠DB 1C ，sin ∠DB 1C ===，而0< ∠DB 1C < 90，所以∠DB 1C = 45．D 正确．故选：D ．8.【答案】B 【解析】【详解】解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC ⊥ AB ，又CD ⊥ AB ，所以O ,C ,D 三点共线，即OD = OA = OB = 2，又∠AOB = 60︒ ，所以AB = OA = OB = 2，则OC =，故CD = 2-，B 1D 2c 2所以CD 2(2-)11-s = AB += 2+=.故选：B .OA229.【答案】C 【解析】【详解】解：设母线长为l ，甲圆锥底面半径为r 1，乙圆锥底面圆半径为r 2，a 2+b 2b 2+c 225所以===11=133Sπ rlr则甲= 1= 1= 2，S 乙π r 2l r 2所以r 1= 2r 2，2π r 2π r 又1+2= 2π ，l l r + r 则12= 1，l21所以r 1= 3l ,r 2= 3l ，所以甲圆锥的高h 1==5l ，3乙圆锥的高h 2==22l ，31π r 2h 4l 2⨯lV 甲31193乙21222V π r h 322故选：C.l ⨯l9310.【答案】A【详解】解：A (-a ,0) ，设P (x 1,y 1)，则Q (-x 1,y 1)，则k=y 1,k=y 1，APx + aAQ-x 1+ a故k ⋅ k y y y 21=1⋅1=1=，AP AQ x + a -x + a -x 2+ a 24111又x 1+y 1= 1，则2b (a - x 1)22222，a 2b 2y =a 12b 2(a 2-x 2)1所以a21，即b = 1，-x 2+ a 24a 4所以椭圆C 的离心率e = c=a = 3.2故选：A .11.【答案】C【分析】由x 的取值范围得到ω x +π的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可．3【详解】解：依题意可得ω > 0，因为x ∈(0,π )，所以ωx + π ∈⎛ π ,ωπ + π ⎫ ，⎪3⎝⎭要使函数在区间(0,π ) 恰有三个极值点、两个零点，又y = sin x ，x ∈⎛ π ,3π ⎫的图象如下所示： 3⎪⎝⎭l 2- 4l 29l 2- 1l 2910.2b 21-a 2则f ⎪a = 122m 1+ m2385ππ138⎛ 138⎤则< ωπ +≤ 3π ，解得< ω ≤，即ω ∈ ,⎥ ．23故选：C ．63⎝ 63⎦12.【答案】Ac【详解】因为b = 4tan 14⎛,因为当x ∈ 0,⎝π⎫⎪,sin x < x < tan x⎭所以tan 1> 1,即c 44b > 1,所以c > b ；设f (x )= cos x + 1x 2-1,x ∈(0,+∞)，2f '(x )= -sin x + x > 0，所以f (x )在(0,+∞)单调递增，⎛ 1⎫> f (0)=0,所以cos ⎝ 4⎭所以b > a ,所以c > b > a ，故选：A 1- 31> 0，43213.【答案】111【详解】解：设a 与b 的夹角为θ ，因为a 与b 的夹角的余弦值为31，即cos θ =，3r 又，b = 3，所以1⨯ 3⨯ 1= 1，3所以(2a + b )⋅ b = 2a ⋅ b + b 2= 2a ⋅ b + b 2= 2⨯1+ 32= 11．故答案为：11．14.【答案】33【详解】解：双曲线y 2-x= 1(m > 0) 的渐近线为y =± x，即x ± my = 0，m 2m 不妨取x +my =0，圆x 2+y 2-4y +3=0，即x 2+(y -2)2=1，所以圆心为(0,2)，半径r =1，依题意圆心(0,2) 到渐近线x + my = 0的距离d == 1，解得m =3或m =-（舍去）．33故答案为：3．3615.【答案】.35【解析】【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有n = C 4= 70个结果，这4个点在同一个平面的有m = 6+ 6= 12m1266个，故所求概率P ===．故答案为：．n 70353516.【答案】-1##-1+3【详解】设CD = 2BD = 2m > 0，则在△ABD 中，AB 2= BD 2+ AD 2- 2BD ⋅ AD cos ∠ADB = m 2+ 4+ 2m ，在△ACD 中，AC 2= CD 2+ AD 2- 2CD ⋅ AD cos ∠ADC = 4m 2+ 4- 4m ，2a ⋅ b = a ⋅ b cos θ =333S n -1AC 2所以AB 24m 2+ 4- 4m ==m 2+ 4+ 2m 4(m 2+ 4+ 2m ) -12(1+ m )m 2+ 4+ 2m= 4-12(m +1)+3m +1≥ 4-212(m +1) ⋅3m +13= 4- 2，当且仅当m +1=AC m +1即m =-1时，等号成立，所以当AB取最小值时，m =-1.故答案为：-1.17.【答案】（1）证明见解析；（2）-78．【解析】【分析】（1）依题意可得2S +n 2= 2na + n ，根据a ⎧S 1,n = 1=，作差即可得到a - a= 1，从而得证；nnn⎨⎩n - S n -1,n ≥ 2nn -1（2）由（1）及等比中项的性质求出a 1，即可得到{a n }的通项公式与前n 项和，再根据二次函数的性质计算可得．【小问1详解】2S 解：因为n + n = 2a +1，即2S +n 2= 2na + n ①，nnnn当n ≥ 2时，2S n -1+(n -1)2=2(n -1)a + (n -1) ②，①-②得，2S + n 2- 2S-(n -1)2=2na + n - 2(n -1) a-(n -1) ，nn -1即2a n + 2n -1= 2na n - 2(n -1)a n -1+1，nn -1即2(n -1) a n - 2(n -1) a n -1= 2(n -1) ，所以a n - a n -1= 1，n ≥ 2且n ∈ N*，所以{a n }是以1为公差的等差数列．【小问2详解】解：由（1）可得a 4= a 1+ 3，a 7= a 1+ 6，a 9= a 1+ 8，2又a 4，a 7，a 9成等比数列，所以a 7= a 4⋅ a 9，即(a +6)2=(a + 3) ⋅(a + 8) ，解得，111a 1= -12n (n -1)1251⎛25⎫625所以a n = n -13，所以S = -12n +=n 2-n =n --，n 2222 2⎪8所以，当n =12或n =13时(S n )min ⎝⎭= -78．18.【答案】（1）证明见解析；（2）5.5【解析】【分析】（1）作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，利用勾股定理证明AD ⊥BD ，根据线面垂直的性质可得PD ⊥ B D ，从而可得BD ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.3323【小问1详解】证明：在四边形ABCD 中，作DE ⊥ AB 于E ，CF ⊥ AB 于F ，因为CD //AB ,AD = CD = CB = 1,AB = 2，所以四边形ABCD 为等腰梯形，1所以AE = BF =，2故DE =3，BD =2=，所以AD 2+ BD 2= AB 2，所以AD ⊥ BD ，因为PD ⊥ 平面ABCD ，BD ⊂ 平面ABCD ，所以PD ⊥ BD ，又PD ⋂ AD = D ，所以BD ⊥ 平面PAD ，又因为PA ⊂ 平面PAD ，所以BD ⊥ PA ；【小问2详解】解：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，BD =3，则A (1,0,0),B (0,3,0),P (0,0,3)，则AP =(-1,0,3),BP =(0,-3,3),DP =(0,0,3)，设平面PAB 的法向量n = (x ,y ,z ) ，n ⋅ AP = -x +则有{z = 0，可取n = (3,1,1) ，n ⋅ BP = -则cos 3y +z = 0，所以PD 与平面PAB 所成角的正弦值为5.519.【答案】（1）0.6；（2）分布列见解析，E (X ) = 13.【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A ,B ,C ，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互DE 2+ BE 23n ,DP =n ⋅ DP5=n DP 5312斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，X 的可能取值为0,10,20,30，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．【小问1详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A ,B ,C ，所以甲学校获得冠军的概率为P = P ( A BC ) + P ( A BC ) + P ( A BC ) + P ( A BC )= 0.5⨯ 0.4⨯ 0.8+ 0.5⨯ 0.4⨯ 0.8+ 0.5⨯ 0.6⨯ 0.8+ 0.5⨯ 0.4⨯ 0.2= 0.16+ 0.16+ 0.24+ 0.04= 0.6．【小问2详解】依题可知，X 的可能取值为0,10,20,30，所以，P ( X = 0) = 0.5⨯ 0.4⨯ 0.8= 0.16,P ( X = 10) = 0.5⨯ 0.4⨯ 0.8+ 0.5⨯ 0.6⨯ 0.8+ 0.5⨯ 0.4⨯ 0.2= 0.44，P ( X = 20) = 0.5⨯ 0.6⨯ 0.8+ 0.5⨯ 0.4⨯ 0.2+ 0.5⨯0.6⨯0.2= 0.34，P ( X = 30) = 0.5⨯ 0.6⨯ 0.2= 0.06.即X 的分布列为X0102030P 0.160.440.340.06期望E (X ) = 0⨯ 0.16+10⨯ 0.44+ 20⨯ 0.34+ 30⨯ 0.06= 13.20.【答案】（1）y 2=4x ；（2）AB :x =【解析】y + 4.【分析】（1）由抛物线的定义可得MF =p +p，即可得解；2（2）设点的坐标及直线MN :x = my + 1，由韦达定理及斜率公式可得k MN = 2k AB ，再由差角的正切公式及基本不等式可得k AB =2，设直线AB :x =2y + n ，结合韦达定理可解.小问1详解】p 抛物线的准线为x =-，当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p ，2此时MF =p + p= 3，所以p = 2，2所以抛物线C 的方程为y 2= 4x ；【小问2详解】⎛ y 2⎫⎛ y 2⎫⎛ y 2⎫⎛ y 2⎫设1234M 4,y 1⎪,N 4,y 2⎪,A ,y 3⎪,B 4,y 4⎪ ，直线MN :x = my + 1，4⎝⎭⎝⎭⎧x = my +1⎝⎭⎝⎭由⎨⎩ y 2可得y 2- 4my - 4= 0，∆ > 0,y y = -4，k = y 1- y 2=4k = y 3- y 4=4由斜率公式可得MN y 2y 2y + y ，AB y 2y 2y + y ，1- 212443-43444直线MD :x = x 1- 2⋅ y + 2，代入抛物线方程可得y 2-4( x 1- 2) ⋅ y - 8= 0，y 1y 1∆ > 0,y 1y 3= -8，所以y 3= 2y 2，同理可得y 4= 2y 1，4所以k AB = y + y =42( y + y = k MN )23412又因为直线MN 、AB 的倾斜角分别为α ,β ，22= 4x221⋅ 2k k 2x x k tan α所以k AB = tan β = MN =，22若要使α - β 最大，则β ∈⎛ 0,π ⎫ ， 2⎪⎝⎭tan (α - β ) =设k MN = 2k AB = 2k > 0，则1tan α - tan β1+ tan α tan β=k 1+ 2k 2=1≤11+ 2k k =4，当且仅当k = 2k 即k =时，等号成立，2所以当α - β 最大时，k AB =，设直线AB :x =2y + n ，代入抛物线方程可得y 2- 42y - 4n = 0，∆ > 0,y 3y 4= -4n = 4y 1y 2= -16，所以n = 4，所以直线AB :x =y + 4.21.【答案】（1）(-∞,e +1]（2）证明见的解析【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；e x 1⎡1⎛1⎫⎤（2）利用分析法，转化要证明条件为【小问1详解】f (x )的定义域为(0,+∞)，-x e x - 2⎢ln x -x ⎣ x -⎝x ⎪⎥ > 0，再利用导数即可得证.⎭⎦f '(x )= ⎛ 1- 1⎫e x - 1+1= 1⎛1- 1⎫e x + ⎛1- 1⎫ = x -1⎛ e +1⎫ x x 2⎪x x x ⎪ x ⎪x x ⎪⎝⎭令f (x )= 0,得x = 1⎝⎭⎝⎭⎝⎭当x ∈(0,1),f '(x )< 0,f (x )单调递减当x ∈(1,+∞),f '(x )> 0,f (x )单调递增f (x )≥ f (1)= e +1- a ，若f (x )≥ 0,则e +1- a ≥ 0,即a ≤ e + 1所以a 的取值范围为(-∞,e +1]【小问2详解】由题知,f ( x ) 一个零点小于1,一个零点大于1不妨设x 1<1<x 21要证x 1x 2< 1,即证x 1<2x ,1∈(0,1)⎛ 1⎫因为12,即证f ( x 1) > f ⎪⎝ x 2⎭⎛ 1⎫因为f (x 1) = f ( x 2) ,即证f ( x 2) > f ⎪⎝ x 2⎭e x 11即证- ln x + x - x e x - ln x -> 0,x ∈ (1,+∞)x x e x 1⎡1⎛1⎫⎤即证- x e x - 2⎢ln x -x ⎣e x x -⎝1⎪⎥ > 0⎭⎦1⎛1⎫下面证明x > 1时，-x e x > 0,ln x -xx -⎝⎪ < 0⎭设g (x )= e 1- x e x ,x > 1，x 2222x 2x 2x xe t s 2⎪x ⎛ 11⎫⎛ 11⎛1⎫⎫1⎛1⎫1⎛1⎫x x x x x 则g '(x )= x - x 2⎪e - e +x e ⋅ - x 2⎪⎪ = x 1- x ⎪e - e 1- x ⎪⎝⎭⎝⎝⎭⎭⎝⎭⎝⎭= ⎛1-1⎫⎛ e x ⎪ 1⎫-e x ⎪ =x -1⎛ e x 1⎫-e x ⎪⎝x ⎭⎝ x ⎭x ⎝ x ⎭e x ⎛ 11⎫x -1设ϕ ( x ) =( x > 1),ϕ'( x ) = - 2⎪e => 0x 所以ϕ ( x ) > ϕ (1) = e ,而1x x ⎝ x x ⎭x e x 1e x < e所以- e x > 0,所以g '(x )> 0x所以g (x )在(1,+∞)单调递增e x 1即g (x )> g (1)= 0,所以-x e x > 0x 令h (x )= ln x -11⎛1⎛ x -⎝1⎫1⎫⎪,x > 1⎭2x - x 2-1-(x -1)2h '(x )=- 1+⎪ ==< 0x 2⎝x 2⎭2x 22x 2所以h (x )在(1,+∞)单调递减即h (x )< h (1)= 0,所以ln x - 1⎛ x - 1⎫ < 0；2 x ⎪e x 1⎡⎝⎭1⎛1⎫⎤综上,-x e x - 2⎢ln x -x ⎣ x -⎝⎪⎥ > 0,所以x 1x 2< 1.⎭⎦22.【答案】（1）y 2=6x -2(y ≥0)；⎛ 1,1⎫⎛1⎫（2）C 3,C 1的交点坐标为 2⎪ ，(1,2) ，C 3,C 2的交点坐标为 -,-1⎪ ，(-1,-2) ．⎝⎭【解析】【分析】(1)消去t ，即可得到C 1普通方程；⎝2⎭(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出．【小问1详解】2+ t 2+ y 22因为x =，y =，所以x =，即C 1的普通方程为y = 6x - 2( y ≥ 0) ．6【小问2详解】2+ s因为x = -66,y = -，所以6x = -2- y 2，即C 的普通方程为y 2= -6x - 2( y ≤ 0)，由2cos θ - sin θ = 0⇒ 2ρ cos θ - ρ sin θ = 0，即C 3的普通方程为2x - y = 0．⎧ y 2= 6x - 2( y ≥ 0)⎧x = 1⎧x = 1⎛ 1⎫联立⎨，解得：⎨2或⎨，即交点坐标为 2,1⎪ ，(1,2) ；⎩2x - y = 0⎪⎩y =1⎩y = 2⎝⎭⎧ y 2= -6x - 2( y ≤ 0)⎧1⎪ =-⎧x = -1⎛1⎫联立⎨，解得：⎨2或⎨，即交点坐标为 -,-1⎪ ，(-1,-2)．⎩2x - y = 0⎪⎩y =-1⎩y = -2⎝2⎭23.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）根据a 2+b 2+4c 2=a 2+b 2+(2c )2，利用柯西不等式即可得证；22x 2x⎣⎦（2）由（1）结合已知可得0< a + 4c ≤ 3，即可得到1a + 4c ≥ 1，再根据权方和不等式即可得证.3【小问1详解】证明：由柯西不等式有⎡a 2+b 2+(2c )2⎤(12+12+12)≥(a +b +2c )2，所以a + b + 2c ≤ 3，当且仅当a = b = 2c = 1时，取等号，所以a + b + 2c ≤ 3；【小问2详解】证明：因为b = 2c ，a > 0，b > 0，c > 0，由（1）得a + b + 2c = a + 4c ≤ 3，即0< a + 4c ≤ 3，所以1a + 4c ≥ 1，3111222(1+2)2由权方和不等式知+=+≥= 9≥ 3，a c a 124c a + 4c a + 4c 1当且仅当=，即a = 1，c =时取等号，a 4c 211所以+≥ 3.a c。

2022年新高考全国一卷数学试卷及答案解析（图片版）高考试题全国卷，简称全国卷，是由教育部考试中心组织命制的、适用于全国大部分省区的高考试卷，目的在于保证2022年新高考全国一卷数学试卷2022年新高考全国一卷数学试卷答案解析2022高考数学必考知识点第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

主要是考函数和导数，这是我们整个高中阶段里最核心的板块，在这个板块里，重点考察两个方面：第一个函数的性质，包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题，重点考察的是二次函数和高次函数，分函数和它的一些分布问题，但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题，这是第一个板块。

第二、平面向量和三角函数。

重点考察三个方面：一个是划减与求值，第一，重点掌握公式，重点掌握五组基本公式。

第二，是三角函数的图像和性质，这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质，第三，正弦定理和余弦定理来解三角形。

难度比较小。

第三、数列。

数列这个板块，重点考两个方面：一个通项;一个是求和。

第四、空间向量和立体几何，在里面重点考察两个方面：一个是证明;一个是计算。

第五、概率和统计。

这一板块主要是属于数学应用问题的范畴，当然应该掌握下面几个方面，第一……等可能的概率，第二………事件，第三是独立事件，还有独立重复事件发生的概率。

第六、解析几何。

这是我们比较头疼的问题，是整个试卷里难度比较大，计算量的题，当然这一类题，我总结下面五类常考的题型，包括：第一类所讲的直线和曲线的位置关系，这是考试最多的内容。

考生应该掌握它的通法;第二类我们所讲的动点问题;第三类是弦长问题;第四类是对称问题，这也是2008年高考已经考过的一点;第五类重点问题，这类题时往往觉得有思路，但是没有答案，当然这里我相等的是，这道题尽管计算量很大，但是造成计算量大的原因，往往有这个原因，我们所选方法不是很恰当，因此，在这一章里我们要掌握比较好的算法，来提高我们做题的准确度，这是我们所讲的第六大板块。

2022年普通高等学校招生全国统一考试一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{4},{31}M x N x x =<=≥∣，则M N = （）A.{}02x x ≤< B.123xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C.{}316x x ≤< D.1163xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【分析】求出集合,M N 后可求M N ⋂.【详解】1{16},{}3M xx N x x =≤<=≥∣0∣，故1163M N x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭，故选：D2.若i(1)1z -=，则z z +=（）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法可求z ，从而可求z z +.【详解】由题设有21i1i i i z -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D3.在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n == ，，则CB=（）A.32m n -B.23m n-+C.32m n+D.23m n+【答案】B 【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =，即()2CD CB CA CD -=- ，所以CB =3232CD CA n m -=-23m n =-+．故选：B ．4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔1485m ．时，相应水面的面积为21400km ．；水位为海拔1575m ．时，相应水面的面积为21800km ．，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔1485m ．上升到1575m ．时，增加的水量约为2.65≈）（）A.931.010m ⨯B.931.210m ⨯ C.931.410m ⨯ D.931.610m ⨯【答案】C 【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出．【详解】依题意可知棱台的高为157.5148.59MN =-=(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V ．棱台上底面积262140.014010S ==⨯km m ，下底面积262180.018010S '==⨯km m ，∴((66119140101801033V h S S =++=⨯⨯⨯+⨯'(()679933320109618 2.6510 1.43710 1.410(m )=⨯+⨯≈+⨯⨯=⨯≈⨯．故选：C ．5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.16B.13C.12D.23【答案】D 【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有27C 21=种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：()()()()()()()2,4,2,6,2,8,3,6,4,6,4,8,6,8，共7种，故所求概率2172213P -==.故选：D.6.记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.1B.32C.52D.3【答案】A 【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<，又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A7.设0.110.1e ,ln 0.99a b c ===-，则（）A.a b c <<B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<【答案】C 【解析】【分析】构造函数()ln(1)f x x x =+-，导数判断其单调性，由此确定,,a b c 的大小.【详解】设()ln(1)(1)f x x x x =+->-，因为1()111x f x x x'=-=-++，当(1,0)x ∈-时，()0f x '>，当,()0x ∈+∞时()0f x '<，所以函数()ln(1)f x x x =+-在(0,)+∞单调递减，在(1,0)-上单调递增，所以1((0)09f f <=，所以101ln099-<，故110ln ln 0.999>=-，即b c >，所以1((0)010f f -<=，所以91ln+01010<，故1109e 10-<，所以11011e 109<，故a b <，设()e ln(1)(01)xg x x x x =+-<<，则()()21e 11()+1e 11x x x g x x x x -+'=+=--,令2()e (1)+1x h x x =-，2()e (21)x h x x x '=+-，当01x <<-时，()0h x '<，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递减，11x <<时，()0h x '>，函数2()e (1)+1x h x x =-单调递增，又(0)0h =，所以当01x <<时，()0h x <，所以当01x <<时，()0g x '>，函数()e ln(1)xg x x x =+-单调递增，所以(0.1)(0)0g g >=，即0.10.1e ln 0.9>-，所以a c >故选：C.8.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π，且3l ≤≤，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.8118,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2781,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.2764,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[18,27]【答案】C 【解析】【分析】设正四棱锥的高为h ，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】∵球的体积为36π，所以球的半径3R =,设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则2222l a h =+，22232(3)a h =+-,所以26h l =，2222a l h =-所以正四棱锥的体积42622411214()=333366936l l l V Sh a h l l ⎛⎫==⨯⨯=⨯-⨯- ⎪⎝⎭，所以5233112449696l l V l l ⎛⎫⎛⎫-'=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当3l ≤≤0V '>，当l <≤时，0V '<，所以当l =时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又3l =时，274V =，l =814V =,所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是276443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知正方体1111ABCD A B C D -，则（）A.直线1BC 与1DA 所成的角为90︒B.直线1BC 与1CA 所成的角为90︒C.直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为45︒D.直线1BC 与平面ABCD 所成的角为45︒【答案】ABD 【解析】【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.【详解】如图，连接1B C 、1BC ，因为11//DA B C ，所以直线1BC 与1B C 所成的角即为直线1BC 与1DA 所成的角，因为四边形11BB C C 为正方形，则1B C ⊥1BC ，故直线1BC 与1DA 所成的角为90︒，A 正确；连接1AC ，因为11A B ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ，则111A B BC ⊥，因为1B C ⊥1BC ，1111A B B C B = ，所以1BC ⊥平面11A B C ，又1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC CA ⊥，故B 正确；连接11A C ，设1111A C B D O = ，连接BO ，因为1BB ⊥平面1111D C B A ，1C O ⊂平面1111D C B A ，则11C O B B ⊥，因为111C O B D ⊥，1111B D B B B ⋂=，所以1C O ⊥平面11BB D D ，所以1C BO ∠为直线1BC 与平面11BB D D 所成的角，设正方体棱长为1，则122C O =，1BC =，1111sin 2C O C BO BC ∠==，所以，直线1BC 与平面11BB D D 所成的角为30 ，故C 错误；因为1C C ⊥平面ABCD ，所以1C BC ∠为直线1BC 与平面ABCD 所成的角，易得145C BC ∠=，故D 正确.故选：ABD10.已知函数3()1f x x x =-+，则（）A.()f x 有两个极值点B.()f x 有三个零点C.点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D.直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得33x >或33x <-，令()0f x '<得3333x -<<，所以()f x在(,33-上单调递减，在(,3-∞-，,)3+∞上单调递增，所以33x =±是极值点，故A 正确；因323(1039f -=+>，3231039f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x 在3,3⎛-∞-⎝⎭上有一个零点，当3x ≥时，()303f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x 在33⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：AC.11.已知O 为坐标原点，点(1,1)A 在抛物线2:2(0)C x py p =>上，过点(0,1)B -的直线交C 于P ，Q 两点，则（）A.C 的准线为1y =-B.直线AB 与C 相切C.2|OP OQ OA ⋅> D.2||||||BP BQ BA ⋅>【答案】BCD 【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A ，联立AB 与抛物线的方程求交点可判断B ，利用距离公式及弦长公式可判断C 、D.【详解】将点A 的代入抛物线方程得12p =，所以抛物线方程为2x y =，故准线方程为14y =-，A 错误；1(1)210AB k --==-，所以直线AB 的方程为21y x =-，联立221y x x y=-⎧⎨=⎩，可得2210x x -+=，解得1x =，故B 正确；设过B 的直线为l ，若直线l 与y 轴重合，则直线l 与抛物线C 只有一个交点，所以，直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =-，1122(,),(,)P x y Q x y ，联立21y kx x y=-⎧⎨=⎩，得210x kx -+=，所以21212Δ401k x x k x x ⎧=->⎪+=⎨⎪=⎩，所以2k >或2k <-，21212()1y y x x ==，又||OP ==，||OQ ==，所以2||||||2||OP OQ k OA ⋅==>=，故C 正确；因为1||||BP x =，2||||BQ x =，所以2212||||(1)||15BP BQ k x x k ⋅=+=+>，而2||5BA =，故D 正确.故选：BCD12.已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（）A.(0)0f =B.102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.(1)(4)f f -=D.(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为322f x ⎛⎫-⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.81()y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为________________（用数字作答）．【答案】-28【解析】【分析】()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭可化为()()88y x y x y x +-+，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为()()()8881=y y x y x y x y x x⎛⎫-++-+ ⎪⎝⎭，所以()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中含26x y 的项为6265352688C 28y x y C x y x y x-=-，()81y x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中26x y 的系数为-28故答案为：-2814.写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程________________．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.15.若曲线()e x y x a =+有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是________________．【答案】()(),40,∞∞--⋃+【解析】【分析】设出切点横坐标0x ，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于0x 的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得a 的取值范围.【详解】∵()e x y x a =+，∴(1)e x y x a '=++，设切点为()00,x y ,则()000e x y x a =+,切线斜率()001e xk x a =++,切线方程为：()()()00000e 1e x x y x a x a x x -+=++-,∵切线过原点，∴()()()00000e1e x x x a x a x -+=++-,整理得：2000x ax a +-=,∵切线有两条，∴240a a =+> ,解得4a <-或0a >,∴a 的取值范围是()(),40,∞∞--⋃+,故答案为：()(),40,∞∞--⋃+16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，||6DE =，则ADE 的周长是________________．【答案】13【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，根据离心率得到直线2AF的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE 的斜率，写出直线DE 的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，利用弦长公式求得138c =，得1324a c ==，根据对称性将ADE 的周长转化为2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到周长为413a =.【详解】∵椭圆的离心率为12c e a ==，∴2a c =，∴22223b a c c =-=，∴椭圆的方程为222222213412043x y x y c c c+=+-=，即，不妨设左焦点为1F ，右焦点为2F ，如图所示，∵222AF a OF c a c ===，，，∴23AF O π∠=，∴12AF F △为正三角形，∵过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，DE 为线段2AF 的垂直平分线，∴直线DE 的斜率为33，直线DE的方程：x c =-，代入椭圆方程22234120x y c +-=，整理化简得到：221390y c --=，判别式()22224139616c c =+⨯⨯=⨯⨯ ，∴12226461313c CD y y =-=⨯=⨯⨯⨯= ，∴138c =，得1324a c ==，∵DE 为线段2AF 的垂直平分线，根据对称性，22AD DF AE EF ==，，∴ADE 的周长等于2F DE △的周长，利用椭圆的定义得到2F DE △周长为222211*********DF EF DE DF EF DF EF DF DF EF EF a a a ++=+++=+++=+==.故答案为：13.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知11,n n S a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：121112na a a +++< ．【答案】（1）()12n n n a +=（2）见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得()121133n n S n n a +=+-=，得到()23n n n a S +=，利用和与项的关系得到当2n ≥时，()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,进而得：111n n a n a n -+=-，利用累乘法求得()12n n n a +=，检验对于1n =也成立，得到{}n a 的通项公式()12n n n a +=；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到121111211n a a a n ⎛⎫+++=- ⎪+⎝⎭ ，进而证得.【小问1详解】∵11a =，∴111S a ==,∴111S a =,又∵n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为13的等差数列，∴()121133n n S n n a +=+-=,∴()23n n n a S +=,∴当2n ≥时，()1113n n n a S --+=，∴()()112133n n n n n n a n a a S S --++=-=-,整理得：()()111n n n a n a --=+,即111n n a n a n -+=-,∴31211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⨯⨯⨯⋯⨯⨯()1341123212n n n n n n ++=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=--，显然对于1n =也成立，∴{}n a 的通项公式()12n n n a +=；【小问2详解】()12112,11n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭∴12111n a a a +++ 1111112121222311n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A B A B=++．（1）若23C π=，求B ；（2）求222a b c+的最小值．【答案】（1）π6；（2）5．【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A B A B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出；（2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c+化成2224cos 5cos B B+-，然后利用基本不等式即可解出．【小问1详解】因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A B C =-=+=-=，而π02B <<，所以π6B =；【小问2详解】由（1）知，sin cos 0BC =->，所以πππ,022C B <<<<，而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-．所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B B c C B +++-==()2222222cos 11cos 24cos 555cos cos B BB BB -+-==+-≥-=-．当且仅当22cos 2B =时取等号，所以222a b c +的最小值为5-．19.如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为．（1）求A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．【答案】（1（2）32【解析】【分析】（1）由等体积法运算即可得解；（2）由面面垂直的性质及判定可得BC ⊥平面11ABB A ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解.【小问1详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，则1111111111433333A A BC A A ABC A ABC A B BC C C B V S h h V S A A V ---=⋅===⋅== ，解得h =，所以点A 到平面1A BC 的距离为；【小问2详解】取1A B 的中点E ,连接AE ,如图，因为1AA AB =，所以1AE A B ⊥,又平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC 平面111ABB A A B =，且AE ⊂平面11ABB A ，所以AE ⊥平面1A BC ，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，由BC ⊂平面1A BC ，BC ⊂平面ABC 可得AE BC ⊥，1BB BC ⊥，又1,AE BB ⊂平面11ABB A 且相交，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以1,,BC BA BB 两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由（1）得AE =12AA AB ==，1A B =2BC =，则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以1AC 的中点()1,1,1D ，则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC == ,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z = ，则020m BD x y z m BA y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，可取()1,0,1m =- ，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c = ，则020m BD a b c m BC a ⎧⋅=++=⎪⎨⋅==⎪⎩ ，可取()0,1,1n =-r，则1cos ,2m n m n m n ⋅===⋅ ，所以二面角A BD C --2=.20.一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.828【答案】（1）答案见解析（2）（i ）证明见解析；(ii)6R =；【解析】【分析】(1)由所给数据结合公式求出2K 的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未黄该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i)根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i ）结合已知数据求R .【小问1详解】由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯，又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.【小问2详解】(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，(ii)由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|100P A B =，所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅21.已知点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线,AP AQ 的斜率之和为0．（1）求l 的斜率；（2）若tan PAQ ∠=，求PAQ △的面积．【答案】（1）1-；（2）1629．【解析】【分析】（1）由点(2,1)A 在双曲线上可求出a ，易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，再根据0AP BP k k +=，即可解出l 的斜率；（2）根据直线,AP AQ 的斜率之和为0可知直线,AP AQ 的倾斜角互补，再根据tan PAQ ∠=即可求出直线,AP AQ 的斜率，再分别联立直线,AP AQ 与双曲线方程求出点,P Q 的坐标，即可得到直线PQ 的方程以及PQ 的长，由点到直线的距离公式求出点A 到直线PQ 的距离，即可得出PAQ △的面积．【小问1详解】因为点(2,1)A 在双曲线2222:1(1)1x y C a a a -=>-上，所以224111a a -=-，解得22a =，即双曲线22:12x C y -=易知直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x y ，联立2212y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩可得，()222124220k x mkx m ----=，所以，2121222422,2121mk m x x x x k k ++=-=--，()()22222216422210120m k m k m k ∆=++->⇒-+>．所以由0AP BP k k +=可得，212111022y y x x --+=--，即()()()()122121210x kx m x kx m -+-+-+-=，即()()()1212212410kx x m k x x m +--+--=，所以()()2222242124102121m mk k m k m k k +⎛⎫⨯+-----= ⎪--⎝⎭，化简得，()2844410k k m k +-++=，即()()1210k k m +-+=，所以1k =-或12m k =-，当12m k =-时，直线():21l y kx m k x =+=-+过点()2,1A ，与题意不符，舍去，故1k =-．【小问2详解】不妨设直线,PA PB 的倾斜角为(),αβαβ<，因为0AP BP k k +=，所以παβ+=，因为tan PAQ ∠=，所以()tan βα-=tan 2α=-，2tan 0αα-=，解得tan α=，于是，直线):21PA y x =-+，直线):21PB y x =-+，联立)222112y x x y ⎧=-+⎪⎨-=⎪⎩可得，(23211002x x +-+-=，因为方程有一个根为2，所以10423P x -=，P y =4253-，同理可得，10423Q x +=，Q y =4253--．所以5:03PQ x y +-=，163PQ =，点A 到直线PQ的距离3d ==，故PAQ △的面积为116221622339⨯⨯=．22.已知函数()x f x e ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值．（1）求a ；（2）证明：存在直线y b =，其与两条曲线()y f x =和()y g x =共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】（1）1a =（2）见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当1b >时，e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数均为2，构建新函数()e ln 2x h x x x =+-，利用导数可得该函数只有一个零点且可得()(),f x g x 的大小关系，根据存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点可得b 的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.【小问1详解】()e x f x ax =-的定义域为R ，而()e '=-x f x a ，若0a ≤，则()0f x '>，此时()f x 无最小值，故0a >.()ln g x ax x =-的定义域为()0,+∞，而11()ax g x a x x'-=-=.当ln x a <时，()0f x '<，故()f x 在(),ln a -∞上为减函数，当ln x a >时，()0f x '>，故()f x 在()ln ,a +∞上为增函数，故()min ()ln ln f x f a a a a ==-.当10x a <<时，()0g x '<，故()g x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，当1x a >时，()0g x '>，故()g x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，故min 11()1ln g x g a a ⎛⎫==-⎪⎝⎭.因为()e x f x ax =-和()ln g x ax x =-有相同的最小值，故11ln ln a a a a -=-，整理得到1ln 1a a a-=+，其中0a >，设()1ln ,01a g a a a a -=->+，则()()()222211011a g a a a a a --'=-=≤++，故()g a 为()0,+∞上的减函数，而()10=，故()0g a =的唯一解为1a =，故1ln 1a a a-=+的解为1a =.综上，1a =.【小问2详解】由（1）可得e ()x x f x =-和()ln g x x x =-的最小值为11ln11ln 11-=-=.当1b >时，考虑e x x b -=的解的个数、ln x x b -=的解的个数.设()e x S x x b =--，()e 1x S x '=-，当0x <时，()0S x '<，当0x >时，()0S x '>，故()S x 在(),0-∞上为减函数，在()0,+∞上为增函数，所以()()min 010S x S b ==-<，而()e0b S b --=>，()e 2b S b b =-，设()e 2b u b b =-，其中1b >，则()e 20b u b '=->，故()u b 在()1,+∞上为增函数，故()()1e 20u b u >=->，故()0S b >，故()e xS x x b =--有两个不同的零点，即e x x b -=的解的个数为2.设()ln T x x x b =--，()1x T x x-'=，当01x <<时，()0T x ¢<，当1x >时，()0T x '>，故()T x 在()0,1上为减函数，在()1,+∞上为增函数，所以()()min 110T x T b ==-<，而()e e 0b b T --=>，()e e 20b b T b =->，()ln T x x x b =--有两个不同的零点即ln x x b -=的解的个数为2.当1b =，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=仅有一个零点，当1b <时，由（1）讨论可得ln x x b -=、e x x b -=均无零点，故若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，则1b >.设()e ln 2x h x x x =+-，其中0x >，故1()e 2x h x x'=+-，设()e 1x s x x =--，0x >，则()e 10x s x '=->，故()s x 在()0,+∞上为增函数，故()()00s x s >=即e 1x x >+，所以1()1210h x x x'>+-≥->，所以()h x 在()0,+∞上为增函数，而(1)e 20h =->，31e 333122(e 3e 30e e eh =--<--<，故()h x 在()0,+∞上有且只有一个零点0x ，0311e x <<且：当00x x <<时，()0h x <即e ln x x x x -<-即()()f x g x <，当0x x >时，()0h x >即e ln x x x x ->-即()()f x g x >，因此若存在直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =有三个不同的交点，故()()001b f x g x ==>，此时e x x b -=有两个不同的零点1010,(0)x x x x <<，此时ln x x b -=有两个不同的零点0404,(01)x x x x <<<，故11e x x b -=，00e x x b -=，44ln 0x x b --=，00ln 0x x b --=所以44ln x b x -=即44e x b x -=即()44e 0x b x b b ----=，故4x b -为方程e x x b -=的解，同理0x b -也为方程e x x b -=的解又11e x x b -=可化为11e xx b =+即()11ln 0x x b -+=即()()11ln 0x b x b b +-+-=，故1x b +为方程ln x x b -=的解，同理0x b +也为方程ln x x b -=的解，所以{}{}1004,,x x x b x b =--，而1b >，故0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩即1402x x x +=.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.。

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（理科）副标题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设全集U ={1,2,3,4,5}，集合M 满足∁U M ={1,3}，则( ) A. 2∈MB. 3∈MC. 4∉MD. 5∉M2. 已知z =1−2i ，且z +az +b =0，其中a ，b 为实数，则( ) A. a =1，b =−2 B. a =−1，b =2 C. a =1，b =2D. a =−1，b =−23. 已知向量a ，b 满足|a ⃗ |=1，|b ⃗ |=√3，|a ⃗ −2b ⃗ |=3，则a ⃗ ·b ⃗ =( )A. −2B. −1C. 1D. 24. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星.为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{b n }:b 1=1+1a 1，b 2=1+1α1+1a 2，b 3+1a 1+1a 2+1a3，⋯，依此类推，其中a k ∈N ∗(k =1,2,⋯).则( )A. b 1<b 5B. b 3<b sC. b 6<b 2D. b 4<b 7……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. 设F 为抛物线C:y 2=4x 的焦点，点A 在C 上，点B(3,0)，若|AF|=|BF|，则|AB|=( )A. 2B. 2√2C. 3D. 3√26. 执行右边的程序框图，输出的n =( )A. 3B. 4C. 5D. 67. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则( ) A. 平面B 1EF ⊥平面BDD 1 B. 平面B 1EF ⊥平面A 1BD C. 平面B 1EF//平面A 1ACD. 平面B 1EF//平面A 1C 1D8. 已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2−a 5=42，则a 6=( ) A. 14B. 12C. 6D. 39. 已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )A. 13B. 12C. √33D. √2210. 某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p 1，p 2，p 3，且p 3>p 2>p 1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p ，则( )A. p 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p 最大C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p 最大D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p 最大……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………11. 双曲线C 的两个焦点为F 1 ，F 2 ，以C 的实轴为直径的圆记为D ，过F 1作D 的切线与C 交于M ，N 两点，且cos∠F 1NF 2=35，则C 的离心率为( )A. √52B. 32C. √132D. √17212. 已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R ，且f(x)+g(2−x)=5，g(x)−f(x −4)=7，若y =g(x)的图像关于直线x =2对称，g(2)=4，则∑f 22k=1(k)=( )A. −21B. −22C. −23D. −24第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．14. 过四点(0,0)，(4,0)，(−1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 ．15. 记函数f(x)=cos(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T ，若f(T)=√32，x =π9为f(x)的零点，则ω的最小值为 ．16. 已知x =x 1和x =x 2分别是函数f(x)=2a x −ex 2(a >0且a ≠1)的极小值点和极大值点，若x 1<x 2，则a 的取值范围是三、解答题（本大题共7小题，共80.0分。