2019高考数学二轮专题复习小题提速练六文

小题标准练(六)(40分钟80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若复数满足i(z-1)=1+i(i为虚数单位),则z= ( )A.2-iB.2+iC.1-2iD.1+2i【解析】选A.由已知得iz=1+2i,所以z==2-i.2.若复数z满足z(4-i)=5+3i(i为虚数单位),则为( )A.1-iB.-1+iC.1+iD.-1-i【解析】选A.z====1+i,=1-i.3.下列函数中,既是偶函数又在(-∞,0)上单调递增的是( )A.y=x2B.y=2|x|C.y=log2D.y=sin x【解析】选C.函数y=x2在(-∞,0)上是减函数;函数y=2|x|在(-∞,0)上是减函数;函数y=log2=-log2|x|是偶函数,且在(-∞,0)上是增函数;函数y=sin x不是偶函数.综上所述,选C.4.在△ABC中,“cos A=2sin Bsin C”是“△ABC为钝角三角形”的( )A.必要不充分条件B.充要条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.在△ABC中,A=π-(B+C),所以cos A=-cos(B+C).又因为cos A=2sin Bsin C,即-cos Bcos C+sin Bsin C=2sin Bsin C.所以cos(B-C)=0,所以B-C=,所以B为钝角.即△ABC为钝角三角形.若△ABC为钝角三角形,当A为钝角时,条件不成立.5.函数f(x)=x2-bx+c满足f(x+1)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b x)与f(c x)的大小关系是( )A.f(b x)≤f(c x)B.f(b x)≥f(c x)C.f(b x)>f(c x)D.与x有关,不确定【解析】选A.由f(x+1)=f(1-x)知:函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以b=2,由f(0)=3知c=3,所以f(b x)=f(2x),f(c x)=f(3x).当x>0时,3x>2x>1,又函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(3x)>f(2x),即f(b x)<f(c x);当x=0时,3x=2x=1,所以f(3x)=f(2x),即f(b x)=f(c x);当x<0时,0<3x<2x<1,又函数f(x)在(-∞,1)上单调递减,所以f(3x)>f(2x),即f(b x)<f(c x).综上知:f(b x)≤f(c x).6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点P是线段CD中点,则三棱锥P-A1B1A的侧视图为( )【解析】选 D.由长方体可知B1A1⊥AA1,所以侧视图的左上角应是直角,排除选项A,B;且侧视图中,A1B1,AB1,AA1,AP,B1P均为实线,只有A1P为虚线,排除选项C.7.一个空间几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 ( )A. B.+8C.4π+D.4π+8【解析】选A.由三视图可知该几何体是一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的,其体积为:V=Sh=×2=.8.设数列{a n}的前n项和为S n,若2,S n,3a n成等差数列,则S5的值是( )A.-243B.-242C.-162D.243【解析】选B.方法一:由题意得2S n=3a n+2,所以2=3a n+1+2两式相减a n+1=3a n,即=3,又2S1=3a1+2,所以a1=-2,所以{a n}是首项为-2,公比为3的等比数列.所以S5==-242.方法二:由题意得2S n=3a n+2,所以2S n+1=3a n+1+2=3S n+1-3S n+2,所以S n+1=3S n-2,即S n+1-1=3(S n-1),又2S1=3a1+2,所以a1=-2,所以{S n-1}是首项为-3公比为3的等比数列,所以S n-1=-3n,即S n=1-3n,所以S5=1-35=-242.9.如图所示,平行四边形ABCD中,AB=2AD=2,∠BAD=60°,E为DC的中点,那么与所成角的余弦值为( )A. B.- C. D.-【解析】选 C.=+,||2=|+|2=7;=-=-,||2=|-|2=1.故·=(+)·(-)=,cos<,>==.10.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.该表由若干行数字组成,从第二行起,每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和,表中最后一行仅有一个数,则这个数为( )A.2 017×22 015B.2 017×2 2 014C.2 016×22 015D.2 016×22 014【解析】选B.如图,当第一行3个数时,最后一行仅一个数,为8=23-2×(3+1);当第一行4个数时,最后一行仅一个数,为20=24-2×(4+1);当第一行5个数时,最后一行仅一个数,为48=25-2×(5+1);当第一行6个数时,最后一行仅一个数,为112=26-2×(6+1).归纳推理,得当第一行2 016个数时,最后一行仅一个数,为22 016-2×(2 016+1).11.设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线y2=2px(p>0) 上任意一点,M是线段PF上的点,且=2|MF|,则直线OM的斜率的最大值为( )A. B. C. D.1【解析】选C.设P(2pt2,2pt),M(x,y)(不妨设t>0),则=(2pt2-,2pt).由已知得=,所以所以所以k O M==≤=,所以(k O M)max=.12.若x,y满足且z=y-x的最小值为-4,则k的值为 ( )A.2B.-2C.D.-【解析】选D.作出线性约束条件的可行域.当k>0时,如图①所示,此时可行域为y 轴上方、直线x+y-2=0的右上方、直线kx-y+2=0的右下方的区域,显然此时z=y-x无最小值.当k<-1时,z=y-x取得最小值2;当k=-1时,z=y-x取得最小值-2,均不符合题意.当-1<k<0时,如图②所示,此时可行域为点A(2,0),B,C(0,2)所围成的三角形区域,当直线z=y-x 经过点B时有最小值,即-=-4⇒k=-.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.200名职工年龄分布如图所示,从中随机抽40名职工作样本,采用系统抽样方法,按1～200编号为40组,分别为1～5,6～10,…,196～200,第5组抽取号码为22,第8组抽取号码为____________.若采用分层抽样,40岁以下年龄段应抽取____________人.【解析】将1～200编号分为40组,则每组的间隔为5,其中第5组抽取号码为22,则第8组抽取的号码应为22+3×5=37;由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%=100,设在40岁以下年龄段中抽取x人,则=,解得x=20.答案:37 2014.若不等式2y2-x2≥c(x2-xy)对任意满足x>y>0的实数x,y恒成立,则实数c的最大值为____________. 【解析】因为不等式2y2-x2≥c(x2-xy)对任意满足x>y>0的实数x,y恒成立,所以c≤=,令=t>1,所以c≤,令f(t)=,则f′(t)==,当t>2+时,f′(t)>0,函数f(t)单调递增;当1<t<2+时,f′(t)<0,函数f(t)单调递减;所以当t=2+时,f(t)取得最小值,f(2+)=2-4.所以实数c的最大值为2-4.答案:2-415.在边长为1的正方形ABCD中,M为BC的中点,点E在线段AB上运动,则·的取值范围是____________.【解析】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中,设E(x,0),0≤x≤1.又M,C(1,1),所以=,=(1-x,1),所以·=·(1-x,1)=(1-x)2+.因为0≤x≤1,所以≤(1-x)2+≤,即·的取值范围是.答案:16.已知P(x,y)是抛物线y2=4x上的点,则-x的最大值是____________. 【解析】由题意得抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,所以|PF|=x+1,则x=|PF|-1.设点A(3,2),则-x=|PA|-(|PF|-1)=|PA|-|PF|+1,由图结合三角形的性质易得当P,F,A三点自下而上依次共线时,|PA|-|PF|取得最大值|AF|==2,所以-x的最大值为2+1.答案:2+1。

小题提速练(十)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．若复数z ＝(1＋i)(3－a i)(其中i 为虚数单位)为纯虚数，则实数a ＝( )A ．3 B ．－3C ．2D ．－2解析：选B.z ＝(1＋i)(3－a i)＝3＋3i －a i ＋a ＝3＋a ＋(3－a )i ，∵z 为纯虚数，∴∴a ＝－3.{a ＋3＝0，3－a ≠0，)2．已知集合M ＝{0，1，3，5，7}，N ＝{2，3，4，5}，P ＝M ∩N ，则集合P 的子集个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A.P ＝M ∩N ＝{3，5}，其子集个数为4.3．已知函数f (x )＝cos 图象的一条对称轴为直线x ＝，则实数ω的值不可(ωx ＋π3)π6能是( )A ．－2B ．4C ．12D ．16解析：选C.由题可得ω＋＝k π，k ∈Z ，得ω＝－2＋6k ，k ∈Z ，故令ω＝－2，π6π3得k ＝0；令ω＝4，得k ＝1；令ω＝16，得k ＝3；令ω＝12，得k ＝∉Z ，故ω≠12.故73选C.4．某啤酒厂搞促销活动，在100 000听啤酒(编号为1～100 000)中，采用系统抽样的方法抽出5%的啤酒，并在它们盖内侧写上中奖字样，若样本中的最大编号是99 996，则样本中的最小编号是( )A ．13B ．14C ．15D ．16解析：选D.由题意得，采用系统抽样的方法在100 000听啤酒中抽取5%的啤酒，间隔为20，而最大编号为99 996，比100 000少4，故样本中的最小编号为20－4＝16.5．已知函数f (x )＝x 4＋x 2，函数g (x )是定义在R 上且周期为2的奇函数，则( )A ．f (g (x ))是偶函数，不是周期函数B ．f (g (x ))是偶函数，且是周期函数C ．f (g (x ))是奇函数，不是周期函数D ．f (g (x ))是奇函数，且是周期函数通解：选B.∵函数f (x )＝x 4＋x 2是偶函数，∴f (－x )＝f (x )．令h (x )＝f (g (x ))，则h (－x )＝f (g (－x ))＝f (－g (x ))＝f (g (x ))＝h (x )，∴h (x )是偶函数，∵g (x ＋2)＝g (x )，∴f (g (x ＋2))＝f (g (x ))，∴f (g (x ))是周期函数，选B.优解：∵函数g (x )是定义在R 上且周期为2的奇函数，不妨设g (x )＝sinπx ，则f (g (x ))＝(sin πx )4＋(sin πx )2，∴f (g (x ))是偶函数，f (g (x ＋2))＝[sin π(x ＋2)]4＋[sin π(x ＋2)]2＝(sin πx )4＋(sin πx )2＝f (g (x ))，∴f (g (x ))是周期函数．6．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，a 1＋a 2＝，a 3＋a 4＝3，则a 5＋a 6＝( )13A ．9 B ．27C ．81D ．243解析：选B.由等比数列的性质可知(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)，∴a 5＋a 6＝27.7．如图为一多面体的三视图，则此多面体的表面积是( )A ．22＋B ．23＋22C ．22＋2D ．23＋222解析：选A.根据题中三视图知，该多面体是从一个棱长为2的正方体的左上角截去一个直三棱柱后剩余的部分，因此表面积为6×22－1×1×2＋×1＝22＋.228．已知F 1，F 2是双曲线E ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 是直线x ＝上一点，x 2a 2y 2b 2a2△F 1PF 2是顶角为θ的等腰三角形，若cos θ＝，则双曲线E 的离心率为( )58A. B ．232C. D ．352解析：选B.由题意知∠PF 1F 2＝θ或∠PF 2F 1＝θ，设直线x ＝与x 轴的交点为D ，则Da2，因为△F 1PF 2是顶角为θ的等腰三角形，c os θ＝，若∠PF 1F 2＝θ，则有|F 1F 2|＝|PF 1|＝2c ，(a2，0)58在Rt△PDF 1中，|DF 1|＝|PF 1|cos θ，即c ＋＝2c ×，所以离心率e ＝＝2；若∠PF 2F 1＝θ，a 258c a 则有|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c ，在Rt△PDF 2中，|DF 2|＝|PF 2|cos θ，即c －＝2c ×，不合题a 258意．综上，双曲线E 的离心率为2.9．若侧面积为8π的圆柱有一外接球O ，当球O 的体积取得最小值时，圆柱的表面积为( )A ．12πB ．13πC ．10πD ．14π解析：选A.由球的对称性可知，圆柱的高即球心到两底面圆心的距离之和，设圆柱的底面半径是r ，球心到底面的距离是d ，外接球O 的半径为R ，由球心到底面的距离、截面圆的半径、球半径之间构成直角三角形，可知r 2＋d 2＝R 2.由题设可得2πr ×2d ＝8π⇒rd ＝2⇒d ＝，则R 2＝r 2＋d 2＝r 2＋≥2 ＝4，当且仅当r ＝时取等号，此时d ＝.故圆2r 4r 2r 2·4r222柱的表面积S 表＝S 侧＋S 底＝8π＋2πr 2＝8π＋2π()2＝12π.210．已知实数x ，y 满足且z ＝x ＋y 的最大值为6，则z ′＝2x ＋y 的最{x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤m ，)小值为( )A ．－12B ．－9C ．D ．9解析：选B.画出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，{x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤m)由题意可知，目标函数z ＝x ＋y 在直线y ＝x 和y ＝m 的交点A (m ，m )处取得最大值，所以2m ＝6，m ＝3.在直线x ＋2y ＝0和y ＝3的交点B (－6，3)处，z ′＝2x ＋y 取得最小值－9，故答案选B.11．已知M ，N 是双曲线－y 2＝1上关于坐标原点O 对称的点，P 为双曲线上异于M ，Nx 24的点，若直线PM 的斜率的取值范围是，则直线PN 的斜率的取值范围是( )[12，2]A.[18，12]B.[－12，－18]C.(18，12)D.∪[－12，－18][18，12]解析：选A.设M (x 0，y 0)，N (－x 0，－y 0)，P (m ，n )(m ≠±x 0，n ≠±y 0)，则k PM ＝，k PN ＝n －y 0m －x 0.又P ，M ，N 均在双曲线－y 2＝1上，则－n 2＝1，－y ＝1，两式相减得n ＋y 0m ＋x 0x 24m 24x 420－(n －y 0)(n ＋y 0)＝0，·＝，即k PM ·k PN＝，又≤k PM ≤2，（m －x 0）（m ＋x 0）4n －y 0m －x 0n ＋y 0m ＋x 0141412即≤≤2，解得≤k PN ≤.故选A.1214k PN 181212．若函数f (x )＝m －x 2＋2ln x 在上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围[1e 2，e ]为( )A ．(1，e 2－2]B ．[4＋1e 4，e 2－2]C. D ．[1，＋∞)(1，4＋1e 4]解析：选C.令f (x )＝m －x 2＋2ln x ＝0，则m ＝x 2－2ln x .令g (x )＝x 2－2ln x ，则g ′(x )＝2x －＝，2x2（x －1）（x ＋1）x∴g (x )在上单调递减，在(1，e]上单调递增，[1e 2，1]∴g (x )min ＝g (1)＝1，又g＝4＋，g (e)＝e 2－2，4＋＜5，e 2－2＞2.72－2＞5，∴g(1e 2)1e 41e 4＜g (e)，数形结合知，若函数f (x )在上有两个不同的零点，则实数m 的取值范围(1e 2)[1e2，e ]为，故答案选C.(1，4＋1e 4]二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝3，|b |＝4，a·b ＝－12，则＝x 1＋y 1x 2＋y 2________．解析：因为|a |＝3，|b |＝4，a·b ＝－12，所以向量a ，b 的夹角为180°，即a ＝－b ，34又a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，∴x 1＝－x 2，y 1＝－y 2.所以＝－.3434x 1＋y 1x 2＋y 234答案：－3414．某互联网公司借助手机微信平台推广自己的产品，对今年前5个月的微信推广费用x 与利润额y (单位：百万元)进行了初步统计，得到下列表格中的数据：x 24568y304060p70经计算，月微信推广费用x 与月利润额y 满足线性回归方程＝6.5x ＋17.5，则p 的值y ^为________．解析：x ＝＝5，2＋4＋5＋6＋85y ＝＝40＋，30＋40＋60＋p ＋705p5代入回归直线方程40＋＝6.5×5＋17.5，p5解得p ＝50.答案：5015．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖π6落在小正方形内的概率是________．解析：易知小正方形的边长为－1，故小正方形的面积为S 1＝(－1)2＝4－2，大333正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝＝＝＝1－.S 1S 4－2342－3232答案：1－3216．在△ABC 中，A ＝，BC ＝3，D 是BC 的一个三等分点，则AD 的最大值是________．π3解析：如图所示，以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，不妨令D .设△ABC 的外接圆圆心为M ，(－12，0)半径为R ，则2R ＝，∴R ＝.3sinπ33(0，32)(y－32)2∵|MA|＝|MB|＝|MC|＝R，∴M，∴点A在圆x2＋＝3上，(12)2＋(32)2333∴|AD|max＝|MD|＋R＝＋＝1＋，故AD的最大值是＋1.3答案：＋1。

小题提速练(四)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x －4)}，B ＝{y |y ＝21－x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2] B ．(1，2] C ．[2，4)D ．(－4，0)解析：选B.∵A ＝{x |x 2＋3x －4＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－4}，B ＝{y |0＜y ≤2}，∴A ∩B ＝(1，2]，故选B.2．已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A.12 B ．22C. 2D ．1解析：选B.解法一：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i （1－i ）2＝1＋i －2i＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B. 解法二：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋i （1－i ）2＝|1＋i||1－i|2＝22，故选B.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝ln|x | C ．y ＝cos xD ．y ＝2－|x |解析：选D.显然函数y ＝2－|x |是偶函数，当x ＞0时，y ＝2－|x |＝⎝⎛⎭⎫12|x |＝⎝⎛⎭⎫12x，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x在区间(0，＋∞)上是减函数．故选D.4．命题“∀x ＞0，xx －1＞0”的否定是( )A ．∃x ＜0，xx －1≤0B ．∃x ＞0，0≤x ≤1C ．∀x ＞0，xx －1≤0D ．∀x ＜0，0≤x ≤1解析：选B.∵x x －1＞0，∴x ＜0或x ＞1，∴x x －1＞0的否定是0≤x ≤1，∴命题的否定是∃x ＞0，0≤x ≤1，故选B.5．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则分别应抽取老年人、中年人、青年人的人数是( )A ．7，11，18B ．6，12，18C ．6，13，17D ．7，14，21解析：选D.因为该单位共有27＋54＋81＝162(人)，样本容量为42，所以应当按42162＝727的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且分别应抽取的人数是7、14、21，选D.6．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成的三棱锥C ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A.12 B ．22C.24D ．14解析：选D.由三棱锥C ABD 的正视图、俯视图得三棱锥C ABD 的侧视图为直角边长是22的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥C ABD 的侧视图的面积为14，故选D.7．已知平面上的单位向量e 1与e 2的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12 B ．3 C.32D ．34解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1，0)，e 2＝⎝⎛⎭⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎨⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎨⎧λ＝x －3y 3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为S ＝12×1×32＝34，故选D.8．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0，⎭⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，若方程f (x )＝a 在⎣⎡⎦⎤－π4，π2上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫22，2 B ．⎣⎡⎭⎫－22，2C.⎣⎡⎭⎫－62，2D ．⎣⎡⎭⎫62，2 解析：选B.由函数f (x )的部分图象可得，T 4＝7π12－π3＝π4，∴函数f (x )的最小正周期为π，最小值为－ 2，所以A ＝ 2，ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫7π12，－2的坐标代入得，sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－1，因为|φ|≤π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.若f (x )＝a 在⎣⎡⎦⎤－π4，π2上有两个不等的实根，即在⎣⎡⎦⎤－π4，π2函数f (x )的图象与直线y ＝a 有两个不同的交点，结合图象(略)，得－22≤a ＜ 2，故选B. 9．设{a n }是公比q ＞1的等比数列，若a 2 016和a 2 017是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 018＋a 2 019＝( )A ．18B ．10C ．25D ．9解析：选A.∵a 2 016，a 2 017是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＋a 2 017＝2，a 2 016·a 2 017＝34，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016（1＋q ）＝2，a 22 016q ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝12，q ＝3或⎩⎨⎧a 2 016＝32，q ＝13，∵q ＞1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝12，q ＝3，∴a 2 018＋a 2 019＝a 2 016(q 2＋q 3)＝18，故选A.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24 B ．22 C.28D ．216解析：选C.设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为 y ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立，得⎩⎨⎧y ＝－ 2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C.11．在球O 内任取一点P ，则点P 在球O 的内接正四面体中的概率是( ) A.112π B ．312πC.2 39πD ．36π解析：选C.设球O 的半径为R ，球O 的内接正四面体的棱长为 2a ，所以正四面体的高为233a ，所以R 2＝⎝⎛⎭⎫63a 2＋⎝⎛⎭⎫23a 3－R 2，即3a ＝2R ，所以正四面体的棱长为26R 3，底面面积为12×26R 3×2R ＝233R 2，高为4R 3，所以正四面体的体积为8 327R 3，又球O 的体积为4π3R 3，所以P 点在球O 的内接正四面体中的概率为2 39π，故选C. 12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2，a n ＝f (n )(n ∈N *)，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎭⎫－∞，74 C.⎝⎛⎦⎤－∞，138 D ．⎣⎡⎭⎫138，2解析：选B.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＜2，∴a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）n ，n ≥2，－12，n ＝1，∵数列{a n }是单调递减数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，－12＞2a －4，解得a ＜74，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________________________________________________________________________．解析：记题中圆的圆心为O ，则O (1，0)，因为P (2，－1)是弦AB 的中点，所以直线AB 与直线OP 垂直，易知直线OP 的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.答案：x －y －3＝014．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：解析：设该货运员运送甲种货物x 件，乙种货物y 件，获得的利润为z 元，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤110，10x ＋20y ≤100，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤11，x ＋2y ≤10，x ∈N ，y ∈N ，z ＝8x ＋10y ，作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，结合图象可知，当直线z ＝8x ＋10y 经过点A (4，3)时，目标函数z ＝8x ＋10y 取得最小值，z min ＝62，所以获得的最大利润为62元．答案：6215．已知0＜x ＜32，则y ＝2x ＋93－2x的最小值为________．解析：解法一：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x （3－2x ），设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x （3－2x ）＝25t－2t 2＋39t －162＝25－2⎝⎛⎭⎫t ＋81t ＋39⎝⎛⎭⎫6＜t ＜283，记f (t )＝t ＋81t ⎝⎛⎭⎫6＜t ＜283，易知f (t )在(6，9)上是减函数，在⎣⎡⎭⎫9，283上是增函数，∴当t＝9时函数f (t )＝t ＋81t 取得最小值，最小值为18，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝⎛⎭⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法二：y ＝42x ＋93－2x ＝13[2x ＋(3－2x )]·⎝⎛⎭⎫42x ＋93－2x ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋18x 3－2x ＋4（3－2x ）2x ≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋2 18x 3－2x ·4（3－2x ）2x ＝253(当且仅当18x 3－2x ＝4（3－2x ）2x 即x ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，32时取等号)．答案：25316．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞2恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x 1≠x 2，所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2表示函数f (x )图象上任意两点的连线的斜率，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞2恒成立，则f ′(x )＝x ＋ax ≥2(a＞0)对任意正实数x 恒成立，又x ＋ax≥2 a ，所以2 a ≥2，所以a ≥1.答案：a ≥1。

小题提速练(五)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合U ＝{－1，0，1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝( ) A ．{0，1} B ．{－1，0，1} C ．∅D ．{－1}解析：选D.∵A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }＝{0，1}，∴∁U A ＝{－1}，故选D. 2．已知复数z ＝103＋i －2i(其中i 是虚数单位)，则|z |＝( )A ．2 3B ．2 2C ．3 2D ．3 3解析：选C.复数z ＝3－i －2i ＝3－3i ，则|z |＝32，故选C. 3．已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 是真命题”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.充分性：若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题．必要性：p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 是真命题”的必要而不充分条件，故选B.4．已知正方形ABCD 的中心为O 且其边长为1，则(OD →－OA →)·(BA →＋BC →)＝( ) A. 3 B ．12 C ．2D ．1解析：选D.(OD →－OA →)·(BA →＋BC →)＝AD →·BD →＝1×2×cos 45°＝1.5．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD ­A1B 1C 1D 1(底面ABCD 是正方形，侧棱AA 1⊥底面ABCD )中，点P 是正方形A 1B 1C 1D 1内一点，则三棱锥P ­BCD 的正视图与俯视图的面积之和的最小值为( )A.32 B ．1 C ．2D ．54解析：选A.由题易知，其正视图面积为12×1×2＝1.当顶点P 在底面ABCD 上的投影在△BCD 内部或其边上时，俯视图的面积最小，最小值为S △BCD ＝12×1×1＝12，所以三棱锥P ­BCD 的正视图与俯视图的面积之和的最小值为1＋12＝32，故选A. 6．点P (x ，y )为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域内的动点，则m ＝x －y 的最小值为( )A ．－1B ．1C ．4D ．0解析：选D.如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，3x ＋y －8≤0，x ＋2y －1≥0所表示的平面区域为图中阴影部分所示．由图可知，当直线y ＝x －m 经过点B 时，m 取得最小值．由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，3x ＋y －8＝0可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，故B (2，2)．将点B (2，2)代入目标函数m ＝x －y ，得m ＝0.故选D.7．执行如图所示的程序框图，若最终输出的结果为0，则开始输入的x的值为( )A.34 B ．78 C.1516D ．4解析：选B.i ＝1，x ＝2x －1，i ＝2；x ＝2(2x －1)－1＝4x －3，i ＝3；x ＝2(4x －3)－1＝8x －7，i ＝4，退出循环．此时8x －7＝0，解得x ＝78，故选B.8．我国古代数学家赵爽在《周髀算经》一书中给出了勾股定理的绝妙证明．如图是赵爽的弦图．弦图是一个以勾股形(即直角三角形)之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成朱(红)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2×勾×股＋(股－勾)2＝4×朱实＋黄实＝弦实＝弦2，化简得：勾2＋股2＝弦2.设勾股形中勾股比为1∶3，若向弦图内随机抛掷1 000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为( )A ．866B ．500C ．300D ．134解析：选D.设勾为a ，则股为3a ，所以弦为2a ，小正方形的边长为3a －a ，所以题图中大正方形的面积为4a 2，小正方形的面积为(3－1)2a 2，所以小正方形与大正方形的面积比为（3－1）24＝1－32，所以落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32×1000≈134.9．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的最小正周期为π，则函数f (x )的一个单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6解析：选 A.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，∵最小正周期T ＝2πω＝π，∴ω＝2，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得，－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π(k ∈Z )，故选A.10．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )＞2的解集为( )A ．(2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞)解析：选B.因为f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )＞2＝f (1)⇔f (|log 2x |)＞f (1)⇔|log 2x |＞1⇔log 2x ＞1或log 2x ＜－1⇔x ＞2或0＜x ＜12.故选B.11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，左、右顶点分别为A ，B ，点P 是双曲线上异于A ，B 的点，直线PA ，PB 的斜率分别为k PA ，k PB ，则k PA ·k PB ＝( )A ．1B ．22C.36D ．3解析：选A.由双曲线的离心率为2得b ＝a ，所以双曲线的方程可化为x 2－y 2＝a 2，左顶点A (－a ，0)，右顶点B (a ，0)，设点P (m ，n )(m ≠±a )，则直线PA 的斜率k PA ＝nm ＋a，直线PB 的斜率k PB ＝nm －a，所以k PA ·k PB ＝n 2m 2－a2①，又P (m ，n )是双曲线x 2－y 2＝a 2上的点，所以m 2－n 2＝a 2，得n 2＝m 2－a 2，代入①式得k PA ·k PB ＝1.12．锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，若a ＝3，则b 2＋c 2的取值范围是( )A ．(3，6]B ．(3，5)C ．(5，6]D ．[5，6]解析：选C.由(a －b )(sin A ＋sin B )＝(c －b )sin C ，及正弦定理可得，(a －b )(a ＋b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又0＜A ＜π2，∴A ＝π3.∵a＝3，∴b sin B ＝c sin C ＝a sin A ＝332＝2，∴b ＝2sin B ，c ＝2sin C ，∵C ＝π－B －π3＝2π3－B ，∴b2＋c2＝4(sin 2B ＋sin 2C )＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin 2B ＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝4⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－cos 2 B2＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－2B 2 ＝4＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π3－cos 2 B＝4－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6， ∵在锐角△ABC 中，0＜B ＜π2，0＜C ＜π2，∴π6＜B ＜π2，∴π6＜2B －π6＜5π6， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，∴b 2＋c 2∈(5，6]，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1，f （x －1），x ＞1，则f (f (3))＝________．解析：∵f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝f (1)＝21＝2. 答案：214．若tan θ＝－3，则cos 2θ＋sin 2θ＝________．解析：cos 2θ＋sin 2θ＝cos 2θ＋2sin θcos θsin θ＋cos θ＝1＋2tan θtan θ＋1＝1－69＋1＝－12. 答案：－1215．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝________． 解析：∵a 3·a 9＝a 26，∴a 26＝2a 25，设等比数列{a n }的公比为q ，因此q 2＝2，由于q ＞0，解得q ＝2，∴a 1＝a 2q＝12＝22. 答案：2216．已知三棱锥S ­ABC ，△ABC 是直角三角形，其斜边AB ＝8，SC ⊥平面ABC ，SC ＝6，则三棱锥S ­ABC 的外接球的表面积为________．解析：将三棱锥S ­ABC 放在长方体中(图略)，易知三棱锥S ­ABC 所在长方体的外接球，即为三棱锥S ­ABC 的外接球，所以三棱锥S ­ABC 的外接球的直径2R ＝AB 2＋SC 2＝10，即三棱锥S ­ABC 的外接球的半径R ＝5，所以三棱锥S ­ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝100π.答案：100π。

小题提速练(二) “12选择＋4填空”80分练 (时间：45分钟 分值：80分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A ＝{x |x ≥4}，B ＝{x |－1≤2x －1≤0}，则(∁R A )∩B ＝( )A ．(4，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4 D ．(1,4]B [因为A ＝{x |x ≥4}，所以∁R A ＝{x |x ＜4}，又B ＝{x |－1≤2x －1≤0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤12，所以(∁R A )∩B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤12，故选B.] 2．复数5＋3i4－i对应的点在复平面的( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 A [因为5＋3i4－i ＝＋＋－＋＝17＋17i17＝1＋i ，所以该复数对应的点为(1,1)，故选A.]3．已知命题p ：x ＋y ≥2xy ，命题q ：在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B .则下列命题为真命题的是( ) A ．p B ．﹁q C ．p ∨qD ．p ∧qC [当x ，y 中至少有一个负数时，x ＋y ≥2xy 不成立，所以命题p 是假命题；由正弦定理和三角形中的边角关系知，命题q 是真命题．所以p ∨q 是真命题．] 4.已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，则下列向量与2a ＋b 平行的是( ) A ．(1，－2)B ．(1，－3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23 D ．(0,2)C [因为a ＝(2，－1)，b ＝(－1,3)，所以2a ＋b ＝(3,1)，而1×2－3×23＝0，故选C.]5．若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，x －2y ＋3≥0，则z ＝yx的最大值为( )【导学号：04024176】A ．3B ．2C ．1D.12B [作出不等式组表示的平面区域，如图所示，yx的几何意义是区域内(包括边界)的点P (x ，y )与原点连线的斜率，由图可知，当P 移动到点B (1,2)时，yx取得最大值2.]6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称 C ．将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数y ＝sin 2x 的图象D ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫π8，5π8上单调递增C [由题知，函数f (x )的最小正周期为π，故A 不正确；令x ＝π4，求得f (x )＝22，故函数f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称，故排除B ；将f (x )的图象向右平移π8个单位长度，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π8＋π4＝sin 2x 的图象，故选C ；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8时，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，函数f (x )单调递减，故排除D.]7．执行图1中的程序框图(其中[x ]表示不超过x 的最大整数)，则输出的S 值为( )图1A ．5B ．7C ．9D ．12C [程序运行如下：(1)S ＝0＋[]0＝0，n ＝0＜5；(2)S ＝0＋[]1＝1，n ＝1＜5；(3)S ＝1＋[2]＝2，n ＝2＜5；(4)S ＝2＋[3]＝3，n ＝3＜5；(5)S ＝3＋[4]＝5，n ＝4＜5；(6)S ＝5＋[5]＝7，n ＝5；(7)S ＝7＋[6]＝9，n ＝6＞5，循环结束，故输出S ＝9.] 8．某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积为( )【导学号：04024177】图2A.43B.52C.73D.53A [由三视图知，该几何体为一个由底面相同的三棱锥与三棱柱组成的组合体，其体积V ＝13×12×2×1×1＋12×2×1×1＝43.] 9．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙丁戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)．这个问题中，甲所得为( )A.54钱B.43钱C.32钱 D.53钱 B [设所成等差数列的首项为a 1，公差为d ，则依题意有 ⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝5，a 1＋a 1＋d ＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＋a 1＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16.]10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ，b ，c 成等比数列．若sin A sin C ＋sin 2C －sin 2A ＝12sinB sinC ，则sin A ＝( )A.14B.34C.114D.154D [由已知得b 2＝ac ，ac ＋c 2－a 2＝12bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝12bc ，所以cos A ＝14，所以sin A＝154.] 11．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 作一条渐近线的垂线，与C 的右支交于点A .若|OF |＝|OA |(O 为坐标原点)，则C 的离心率e 为( )【导学号：04024178】A. 2 B ．2 C. 5D ．5C [不妨设一条渐近线为l ：y ＝bxa，作FA ⊥l 于点B (图略)，因为|OF |＝|OA |，所以B 为线段FA 的中点．设双曲线的右焦点为F ′，连接F ′A ，因为O 为线段FF ′的中点，所以F ′A ⊥FA .易得直线FA ，F ′A 的方程分别为y ＝－a b (x ＋c )，y ＝b a(x －c )，解方程组可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 2c，－2ab c .因为该点在双曲线C 上，所以b 2－a 22a 2c 2－4a 2b 2b 2c2＝1，结合c 2＝a2＋b 2，整理得5a 2＝c 2，即5a ＝c ，所以e ＝c a＝ 5.]12．如图3所示，在等腰直角三角形ABC 中，∠A ＝π2，AC ＝1，BC 边在x 轴上，有一个半径为1的圆P 沿x 轴向△ABC 滚动，并沿△ABC 的表面滚过，则圆心P 的大致轨迹是(虚线为各段弧所在圆的半径)( )图3D [当圆在点B 的左侧滚动时，圆心P 的运动轨迹是一条线段；当圆在线段AB 上滚动时，圆心P 的运动轨迹也是一条线段；当圆与点A 接触并且绕过点A 时，圆心P 的轨迹是以点A 为圆心，1为半径的圆弧；当圆在线段AC 上和点C 右侧滚动时，与在线段AB 上和点B 的左侧滚动时的情况相同．结合各选项中的曲线知，选项D 正确．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图4所示是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a 1，a 2，则a 1，a 2的大小关系是________．图4[解析] 由题意可知a 1＝80＋1＋5＋5＋4＋55＝84，a 2＝80＋4＋4＋6＋4＋75＝85，所以a 2＞a 1.[答案] a 2＞a 114．若直线l ：x 4＋y3＝1与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的内切圆的方程为________．[解析] 由题意，设圆心为(a ，a )，则有|3a ＋4a －12|5＝a ，解得a ＝1或a ＝6(舍去)，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1. [答案] (x －1)2＋(y －1)2＝115．已知函数f (x )＝e x－mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 不存在与直线y ＝－1ex 平行的切线，则实数m 的取值范围为________.【导学号：04024179】[解析] 由已知得f ′(x )＝e x －m ，由曲线C 不存在与直线y ＝－1e x 平行的切线，知方程ex－m ＝－1e 无解，即方程m ＝e x ＋1e 无解．因为e x ＞0，所以e x＋1e ＞1e，所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1e .[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1e16．已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝4，AB ＝23，则该球的表面积为________．[解析] 依题意，把三棱锥D ­ABC 扩展为直三棱柱，则上、下底面中心的连线的中点O 与A 之间的距离为球的半径(图略)．设△ABC 的中心为E ，因为AD ＝4，AB ＝23，△ABC 是正三角形，所以AE ＝2，OE ＝2，所以AO ＝22，所以该球表面积S ＝4π×(22)2＝32π. [答案] 32π。

小题提速练(四)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设集合A ＝{x |y ＝lg(x 2＋3x －4)}，B ＝{y |y ＝21－x 2}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，2] B ．(1，2] C ．[2，4)D ．(－4，0)解析：选B.∵A ＝{x |x 2＋3x －4＞0}＝{x |x ＞1或x ＜－4}，B ＝{y |0＜y ≤2}，∴A ∩B ＝(1，2]，故选B.2．已知复数z 满足z (1－i)2＝1＋i(i 为虚数单位)，则|z |为( ) A.12 B ．22C. 2D ．1解析：选B.解法一：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以z ＝1＋i （1－i ）2＝1＋i －2i ＝－12＋12i ，所以|z |＝22，故选B. 解法二：因为复数z 满足z (1－i)2＝1＋i ，所以|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋i （1－i ）2＝|1＋i||1－i|2＝22，故选B.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝ln|x |C ．y ＝cos xD ．y ＝2－|x |解析：选D.显然函数y ＝2－|x |是偶函数，当x ＞0时，y ＝2－|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在区间(0，＋∞)上是减函数．故选D. 4．命题“∀x ＞0，xx －1＞0”的否定是( )A ．∃x ＜0，x x －1≤0B ．∃x ＞0，0≤x ≤1C ．∀x ＞0，xx －1≤0D ．∀x ＜0，0≤x ≤1解析：选B.∵x x －1＞0，∴x ＜0或x ＞1，∴xx －1＞0的否定是0≤x ≤1，∴命题的否定是∃x ＞0，0≤x ≤1，故选B.5．某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为42的样本，则分别应抽取老年人、中年人、青年人的人数是( )A ．7，11，18B ．6，12，18C ．6，13，17D ．7，14，21解析：选D.因为该单位共有27＋54＋81＝162(人)，样本容量为42，所以应当按42162＝727的比例分别从老年人、中年人、青年人中抽取样本，且分别应抽取的人数是7、14、21，选D.6．把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，形成的三棱锥C ABD 的正视图与俯视图如图所示，则侧视图的面积为( )A.12 B ．22C.24D ．14解析：选D.由三棱锥C ABD 的正视图、俯视图得三棱锥C ABD 的侧视图为直角边长是22的等腰直角三角形，如图所示，所以三棱锥C ABD 的侧视图的面积为14，故选D.7．已知平面上的单位向量e 1与e 2的起点均为坐标原点O ，它们的夹角为π3.平面区域D由所有满足OP →＝λe 1＋μe 2的点P 组成，其中⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，0≤λ，0≤μ，那么平面区域D 的面积为( )A.12 B ．3 C.32D ．34解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令单位向量e 1＝(1，0)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，设向量OP →＝(x ，y )，因为OP →＝λe 1＋μe 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋μ2，y ＝3μ2，即⎩⎪⎨⎪⎧λ＝x －3y3，μ＝23y 3，因为⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ≤1，λ≥0，μ≥0，所以⎩⎨⎧3x ＋y ≤3，3x －y ≥0，y ≥0表示的平面区域D 如图中阴影部分所示，所以平面区域D 的面积为S ＝12×1×32＝34，故选D.8．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0，⎭⎪⎫|φ|≤π2的部分图象如图所示，若方程f (x )＝a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，2 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，2 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－62，2 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫62，2 解析：选B.由函数f (x )的部分图象可得，T 4＝7π12－π3＝π4，∴函数f (x )的最小正周期为π，最小值为－ 2，所以A ＝ 2，ω＝2ππ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2的坐标代入得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－1，因为|φ|≤π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.若f (x )＝a 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上有两个不等的实根，即在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2函数f (x )的图象与直线y ＝a 有两个不同的交点，结合图象(略)，得－22≤a ＜ 2，故选B. 9．设{a n }是公比q ＞1的等比数列，若a 2 016和a 2 017是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 018＋a 2 019＝( )A ．18B ．10C ．25D ．9解析：选A.∵a 2 016，a 2 017是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＋a 2 017＝2，a 2 016·a 2 017＝34，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016（1＋q ）＝2，a 22 016q ＝34， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝12，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝32，q ＝13，∵q ＞1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2 016＝12，q ＝3， ∴a 2 018＋a 2 019＝a 2 016(q 2＋q 3)＝18，故选A.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1，过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行直线，则该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积为( )A.24 B ．22 C.28D ．216解析：选C.设双曲线C 1的左顶点为A ，则A ⎝⎛⎭⎪⎫－22，0，双曲线的渐近线方程为y ＝± 2x ，不妨设题中过点A 的直线与渐近线y ＝2x 平行，则该直线的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.联立，得⎩⎨⎧y ＝－ 2x ，y ＝2x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以该直线与另一条渐近线及x 轴所围成的三角形的面积S ＝12|OA |·12＝12×22×12＝28，故选C.11．在球O 内任取一点P ，则点P 在球O 的内接正四面体中的概率是( ) A.112π B ．312π C.2 39πD ．36π解析：选C.设球O 的半径为R ，球O 的内接正四面体的棱长为 2a ，所以正四面体的高为233a ，所以R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫63a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a 3－R 2，即3a ＝2R ，所以正四面体的棱长为26R 3，底面面积为12×26R 3×2R ＝233R 2，高为4R 3，所以正四面体的体积为8 327R 3，又球O 的体积为4π3R 3，所以P 点在球O 的内接正四面体中的概率为2 39π，故选C. 12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜2，a n ＝f (n )(n ∈N *)，若数列{a n }是单调递减数列，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．⎝⎛⎭⎪⎫－∞，74C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，138D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫138，2解析：选B.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ＜2，∴a n ＝f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）n ，n ≥2，－12，n ＝1，∵数列{a n }是单调递减数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，－12＞2a －4，解得a ＜74，故选B.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．若P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是________________________________________________________________________．解析：记题中圆的圆心为O ，则O (1，0)，因为P (2，－1)是弦AB 的中点，所以直线AB 与直线OP 垂直，易知直线OP 的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，故直线AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0.答案：x －y －3＝014．某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如表：解析：设该货运员运送甲种货物x 件，乙种货物y 件，获得的利润为z 元，则由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧20x ＋10y ≤110，10x ＋20y ≤100，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤11，x ＋2y ≤10，x ∈N ，y ∈N ，z ＝8x ＋10y ，作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示，结合图象可知，当直线z ＝8x ＋10y 经过点A (4，3)时，目标函数z ＝8x ＋10y 取得最小值，z min ＝62，所以获得的最大利润为62元．答案：6215．已知0＜x ＜32，则y ＝2x ＋93－2x的最小值为________．解析：解法一：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x （3－2x ），设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x （3－2x ）＝25t －2t 2＋39t －162＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，记f (t )＝t ＋81t ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，易知f (t )在(6，9)上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫9，283上是增函数，∴当t ＝9时函数f (t )＝t ＋81t 取得最小值，最小值为18，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法二：y ＝42x ＋93－2x ＝13[2x ＋(3－2x )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋93－2x ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋18x 3－2x ＋4（3－2x ）2x≥13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋2 18x 3－2x ·4（3－2x ）2x ＝253(当且仅当18x 3－2x ＝4（3－2x ）2x 即x ＝35∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时取等号)．答案：25316．已知函数f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞2恒成立，则a 的取值范围是________．解析：因为x 1≠x 2，所以f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2表示函数f (x )图象上任意两点的连线的斜率，若对任意两个不相等的正实数x 1，x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞2恒成立，则f ′(x )＝x ＋ax≥2(a＞0)对任意正实数x 恒成立，又x ＋ax≥2 a ，所以2 a ≥2，所以a ≥1.答案：a ≥1。

小题提速练(七)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{－2，0，2}，B ＝{x |x 2＋x －2＝0}，则A ∪B ＝( ) A ．∅ B ．{－2}C ．{0，－1，－2}D ．{－2，0，1，2}解析：选D.由x 2＋x －2＝0，解得x ＝－2或1，所以B ＝{－2，1}，A ∪B ＝{－2，0，1，2}，故选D.2．设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若(1＋i)z ＝2，则|z |＝( ) A ．1 B ． 2 C ．2D ．2 2解析：选B.由(1＋i)z ＝2得z ＝21＋i ＝1－i ，∴z ＝1＋i ，|z |＝|z |＝2，故选B.3．设a ，b 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列命题正确的是( ) A ．若a ⊥α，且a ⊥b ，则b ∥αB ．若γ⊥α，且γ⊥β，则α∥βC ．若γ∥α，且γ∥β，则α∥βD ．若a ∥α，且a ∥β，则α∥β解析：选C.若a ⊥α，且a ⊥b ，则b ∥α或b ⊂α，故A 不对；若r ⊥α，且r ⊥β，则α∥β或α，β相交，故B 不对；若a ∥α，且a ∥β，则α∥β或α，β相交，故D 不对；根据平面平行的传递性可知，C 对．故选C.4．已知角α满足2cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α≠0，则sin 2α＝( )A.18 B ．－18C.78D ．－78解析：选D.解法一：由2cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α得，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝14，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝－1＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1＋18＝－78，故选D.解法二：由2cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α可得，2(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cosα－sin α)．因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α≠0，所以cos α－sin α≠0，所以cos α＋sin α＝24，将此式两边平方得1＋sin 2α＝18，所以sin 2α＝－78，故选D.5．已知函数f (x )＝x －1x ，若a ＝f (log 26)，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 229，c ＝f (30.5)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c解析：选A.因为f (x )＝x －1x，所以f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 229＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 229＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 292，且log 26＞log 292＞2＞30.5，结合函数f (x )的单调性可知a ＞b ＞c ，故选A.6．一个四面体的三视图为三个如图所示的全等的等腰直角三角形，且直角边长都等于1，则该四面体的表面积是( )A ．2B ．3＋32C ．3＋ 3D ．3＋232解析：选B.由三视图可知，该几何体是一个底面为直角边长为1的等腰直角三角形，直线顶点处的棱垂直于底面且长为1的三棱锥，即三条棱都等于1且两两垂直相交于一点的三棱锥，所以四个面中有三个为全等的等腰直角三角形，第四个面为边长等于2的正三角形，所以该四面体的表面积等于3×12×1×1＋34×(2)2＝3＋32，故选B.7．已知a m＝2，a n＝3(a ＞0，a ≠1)，则log a 12＝( ) A.2mnB ．2mnC ．2m ＋nD ．m ＋n解析：选C.解法一：由a m＝2，a n＝3，则log a 2＝m ，log a 3＝n ，所以log a 12＝log a (4×3)＝log a 22＋log a 3＝2log a 2＋log a 3＝2m ＋n .故选C.解法二：由a m ＝2，a n ＝3可知，a 2m a n ＝12，即a 2m ＋n＝12，log a 12＝log a a2m ＋n＝2m ＋n .故选C.8．已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx ＋1，且f (－1)＝8，则f (1)＝( ) A ．6 B ．－6 C ．8D ．－8解析：选B.令g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，易知g (x )是R 上的奇函数， ∴g (－1)＝－g (1)，又f (x )＝g (x )＋1，∴f (－1)＝g (－1)＋1， ∴g (－1)＝7，∴g (1)＝－7，f (1)＝g (1)＋1＝－7＋1＝－6.故选B.9．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧6x ＋5y ≤60，5x ＋3y ≤40，x ≥0，y ≥0，则目标函数z ＝y ＋4x －4的取值范围为( )A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)B ．[－1，1]C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．(－2，2)解析：选C.作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝y ＋4x －4表示可行域内的点与点(4，－4)连线的斜率，易求得临界位置的斜率为－1，1，由图易知z 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．10．某种最新智能手机市场价为每台6 000元，若一次采购数量x 达到某数值，还可享受折扣．如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法的程序框图，若输出的y ＝513 000元，则该采购商一次采购该智能手机的台数为( )A ．80B ．85C ．90D ．100解析：选C.依题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 000x ，x ≤80，6 000×0.95x ，80＜x ≤120，6 000×0.85x ，x ＞120.当6 000x ＝513 000时，解得x ＝85.5，不合题意，舍去；当6 000×0.95x ＝513 000时，解得x ＝90；当6 000×0.85x ＝513 000时，解得x ≈100.6，不合题意，舍去．故该采购商一次采购该智能手机90台．故选C.11．已知三棱锥P ­ABC 中，AB ＝BC ，AB ⊥BC ，点P 在底面△ABC 上的射影为AC 的中点，若该三棱锥的体积为92，那么当该三棱锥的外接球体积最小时，该三棱锥的高为( )A ．2B ．3 3C ．2 3D ．3解析：选D.设三棱锥P ­ABC 外接球的球心为O ，△ABC 的外接圆圆心为O 1，又AB ⊥BC ，所以O 1为AC 的中点．连接PO 1，∵点P 在底面△ABC 上的射影为AC 的中点，∴PO 1⊥平面ABC .∴P ，O ，O 1三点共线．连接OB ，O 1B ，如图．由已知三棱锥P ­ABC 的底面△ABC 为等腰直角三角形，设AB ＝a ，三棱锥高PO 1＝h ，∴三棱锥P ­ABC的体积V ＝13×12a 2h ＝92，即a 2＝27h ，设OB ＝R ，又OB 2＝BO 21＋OO 21，∴R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a 2＋(h －R )2，∴R ＝2h 2＋a 24h ＝h 2＋274h 2，由球O 的体积V 球＝43πR 3知，当R 最小时，其外接球体积最小，由R＝h 4＋h 4＋274h 2≥94，当且仅当h 4＝h 4＝274h2，即h ＝3时取等号，因而三棱锥P ­ABC 的高为3时，外接球体积最小，故选D.12．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝2π3，则椭圆和双曲线的离心率之积的范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(0，1)C ．(0，2)D ．(2，＋∞)解析：选A.解法一：不妨设椭圆：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)，离心率为e 1，半焦距为c ，满足c 2＝a 21－b 21；双曲线：x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，离心率为e 2，半焦距为c ，满足c 2＝a 22＋b 22.不妨设P 是它们在第一象限的公共点，点F 1，F 2分别为它们的左、右焦点，则由椭圆与双曲线的定义得：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，|PF 1|－|PF 2|＝2a 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝a 1＋a 2，|PF 2|＝a 1－a 2，在△F 1PF 2中，由余弦定理可得（a 1＋a 2）2＋（a 1－a 2）2－4c 22（a 1＋a 2）（a 1－a 2）＝－12，整理得4c 2＝3a 21＋a 22，即3a 21c 2＋a 22c 2＝4，即3⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 22＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 22＝4－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12，由⎩⎪⎨⎪⎧0＜e 1＜1，e 2＞1得，⎩⎪⎨⎪⎧1e 1＞1，0＜1e2＜1，令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12，则t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 22∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，43，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 12＝－3t 2＋4t ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43∈(0，1)，e 21e 22∈(1，＋∞)，即e 1e 2的取值范围为(1，＋∞)．解法二：不妨设椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1＞b 1＞0)，离心率为e 1，半焦距为c ，满足c 2＝a 21－b 21；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2＞0，b 2＞0)，离心率为e 2，半焦距为c ，满足c 2＝a 22＋b 22，不妨设P 是它们在第一象限的公共点，点F 1，F 2分别为它们的左、右焦点，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＞n ＞0，在△F 1PF 2中，由余弦定理可得m 2＋n 2＋mn ＝4c 2，则由椭圆与双曲线的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2a 1，m －n ＝2a 2，∴1e 1·1e 2＝a 1a 2c 2＝m 2－n 24c 2＝m 2－n 2m 2＋n 2＋mn ＝m 2＋n 2＋mn －（2n 2＋mn ）m 2＋n 2＋mn ＝1－2＋m n⎝ ⎛⎭⎪⎫m n 2＋m n ＋1，令t ＝m n＋2，则t ＞3，∴1e 1·1e 2＝1－t t 2－3t ＋3＝1－1t ＋3t－3，∵函数f (t )＝1－1t ＋3t－3在(3，＋∞)上单调递增， ∴1e 1·1e 2∈(0，1)，即e 1e 2的取值范围为(1，＋∞)．二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设向量a ＝(1，2m )，b ＝(m ＋1，1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________． 解析：由题意得，a ＋c ＝(3，3m )，由(a ＋c )⊥b 得3(m ＋1)＋3m ＝0，所以m ＝－12，a＝(1，－1)，所以|a |＝ 2.答案： 214．某老师在一个盒子里装有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，现让某孩子从盒子里任取2张卡片，则他取出的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为________．解析：从盒子里任取2张卡片的所有基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10个，其中2张卡片上的数字之积是偶数的基本事件有(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(4，5)，共7个，所以取出的2张卡片上的数字之积是偶数的概率P ＝710. 答案：71015．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的最小正周期为π，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后，所得图象关于直线x ＝－π3对称，则f (x )＝________________．解析：解法一：由函数f (x )的最小正周期为π可知ω＝2，将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象， 又g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象关于直线x ＝－π3对称，所以2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z .因为0＜φ＜π，所以φ＝5π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6. 解法二：由函数f (x )的最小正周期为π可知ω＝2，将f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得到g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，又g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象关于直线x ＝－π3对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，即sin φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－2π3.因为0＜φ＜π，所以φ＝5π6，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6. 答案：sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6 16．已知点M (－4，0)，椭圆x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)的左焦点为F ，过F 作直线l (l 的斜率存在)交椭圆于A ，B 两点．若直线MF 恰好平分∠AMB ，则椭圆的离心率为________．解析：如图，作点B 关于x 轴的对称点C ，则点C 在直线AM 上．设l ：y ＝k (x ＋c )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋c ），x 24＋y 2b2＝1，消去y 得(4k 2＋b 2)x 2＋8k 2cx ＋4k 2c 2－4b 2＝0，则x 1＋x 2＝－8k 2c 4k 2＋b 2，x 1x 2＝4k 2c 2－4b 24k 2＋b 2，由角平分线的性质定理知|MA ||MB |＝|AF ||BF |，所以x 1＋4x 2＋4＝x 1＋c－x 2－c(*)，可得2x 1x 2＋(4＋c )(x 1＋x 2)＋8c ＝0，故8b 2(c －1)＝0，所以c ＝1，故离心率e ＝c a ＝12.答案：12。

小题提速练(六)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x |log 2(x －1)＜0}，B ＝{x |x ≥0}，则A ∩B ＝( ) A ．(0，1) B ．(0，1] C ．(1，2)D ．(1，2]解析：选C.由log 2(x －1)＜0可得log 2(x －1)＜log 21，再由函数的定义域和单调性可得0＜x －1＜1，即1＜x ＜2，从而A ＝(1，2)，A ∩B ＝A ＝(1，2)，选C.2．若复数z 满足z －i1＋i＝3＋i(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由z －i1＋i＝3＋i ，可得z －i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，即z ＝2＋5i ，其在复平面内所对应的点(2，5)位于第一象限．3．已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当0＜θ≤π4时，0＜k ≤1；反之，当k ≤1时，0≤θ≤π4或π2＜θ＜π，故“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的充分而不必要条件，选A.4．在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“2x 2－3x ≤0”发生的概率为( ) A.23 B ．34 C.13D ．14解析：选B.由2x 2－3x ≤0，得0≤x ≤32，故所求概率P ＝32－02－0＝34，选B.5．cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选D.解法一：cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝cos 63° sin(90°＋87°)＋sin(180°＋63°)sin 87°＝cos 63°cos 87°－sin 63°sin 87°＝cos(63°＋87°)＝cos 150°＝－32. 解法二：cos 63°sin 177°＋sin 243°sin 87°＝cos 63°sin(180°－3°)＋sin(180°＋63°)sin(90°－3°)＝cos 63°sin 3°－sin 63°cos 3°＝sin(3°－63°)＝sin(－60°)＝－sin 60°＝－32. 6．已知双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的顶点到渐近线的距离为125，且其一个焦点坐标为(5，0)，则双曲线Γ的方程为( )A.x 216－y 29＝1B ．x 219－y 26＝1 C.x 213－y 212＝1 D ．x 221－y 24＝1 解析：选A.双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，一个顶点坐标为(a ，0)，由题有|ba －a ·0|a 2＋b 2＝125，而c 2＝a 2＋b2且c ＝5，于是ab ＝12，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝12，a 2＋b 2＝25，且注意到a ＞b ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.所以双曲线Γ的方程为x 216－y 29＝1.7．执行如图所示的程序框图，若输入的n ＝40，则输出的i 的值是( )A ．0B ．3C ．4D ．5解析：选D.运行该程序，i ＝0，n ＝40，n 不是奇数，则n ＝20，i ＝1，n ≠1；n 不是奇数，则n ＝10，i ＝2，n ≠1；n 不是奇数，则n ＝5，i ＝3，n ≠1；n 是奇数，则n ＝5－12＝2，i ＝4，n ≠1；n 不是奇数，则n ＝1，i ＝5，此时n ＝1，循环结束．故输出的i 的值是5.8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的中心为坐标原点O ，一个焦点为F ，若以O 为圆心，|OF |为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，1 D ．⎝⎛⎦⎥⎤0，22 解析：选A.由于以O 为圆心，以b 为半径的圆内切于椭圆，则根据题意可得c ≥b ，c 2≥b 2＝a 2－c 2，2c 2≥a 2，e ≥22，又0＜e ＜1，所以22≤e ＜1，故选A. 9．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )A ．10 cm 2B ．272cm 2C.3172cm 2D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋133＋612cm 2解析：选D.由三视图可知，该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，其中底面是底边长为4，高为3的等腰三角形，后侧面是底边长为4，高为2的三角形，左边一个侧面是等腰＋12×14×382＋12三角形，还有一个侧面是非特殊三角形，所以表面积S ＝12×4×3＋12×4×2×5×13×6165＝10＋133＋612(cm 2)．10．若函数f (x )＝ln x －ax 2－4x (a ≠0)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递增，则实数a 的最大值为( )A.32 B ．－32C ．－12D ．12解析：选B.解法一：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1x －2ax －4＝－2ax 2＋4x －1x(x ＞0)．①当a ＞0时，由f ′(x )＞0得，0＜x ＜4＋2a －22a ，即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4＋2a －22a 上单调递增，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递增，所以4＋2a －22a ≥13，无解，故a 不存在； ②当－2＜a ＜0时，由f ′(x )＞0得，0＜x ＜4＋2a －22a 或x ＞－4＋2a －22a， 即f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4＋2a －22a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋2a －22a ，＋∞上单调递增， 因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上单调递增，所以4＋2a －22a ≥13或－4＋2a －22a ≤14，所以－2＜a ≤－32；③当a ≤－2时，f ′(x )≥0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，符合题意． 综上所述，a ≤－32，即实数a 的最大值为－32.解法二：对函数f (x )求导得f ′(x )＝1x－2ax －4＝－2ax 2＋4x －1x (x ＞0)．依题意，得f ′(x )≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上恒成立，即2ax 2＋4x －1≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上恒成立，所以a ≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－4x ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －22－4在⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13上恒成立，因为1x ∈(3，4)，所以a ≤－32，即实数a 的最大值为－32. 11．某土木工程建筑公司有A ，B 两种型号的工程车，A ，B 两种型号的工程车的载重分别为32吨和48吨，该公司承建的工程项目需要将工地的土石从甲地运到乙地．已知A ，B 两种型号的工程车每次从甲地去乙地的营运成本分别为2 000元/辆和2 500元/辆，公司拟组建一个不超过25辆车的车队，并要求B 型车不多于A 型车10辆，若车队每次运送土石不少于880吨，且使公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本最小，那么应配备A 型车的辆数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.设应配备A ，B 型车分别为x ，y 辆，公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本为z 元，则z ＝2 000x ＋2 500y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤25，y ≤x ＋10，32x ＋48y ≥880，x ≥0，y ≥0，作出可行域如图中阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，15)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫152，352，R (20，5)．作出直线4x ＋5y ＝0，平移该直线，当直线经过点P (5，15)时，z 最小．又5，15恰为整数，故应配备A 型车5辆，B 型车15辆，可以满足公司从甲地到乙地的单次运输的营运成本最小．12．已知O 为坐标原点，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)上有A ，B 两点满足OA ⊥OB ，且点O 到直线AB 的距离为c ，则双曲线的离心率为( )A.5＋12 B ． 5C.1＋32D ． 3通解：选A.显然直线OA ，OB 的斜率均存在，且不为0，过点O 向AB 作垂线，垂足为H .设直线OA 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则直线OB 的方程为y ＝－1kx ，与双曲线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2a 2－y 2b 2＝1，得y 2＝k 21a 2－k 2b 2，则x 2＝11a 2－k 2b 2，因而|OA |2＝1＋k21a 2－k 2b2，同理|OB |2＝1＋1k 21a 2－1k 2b 2＝1＋k 2k 2a 2－1b2，由|OA |×|OB |＝|AB |×|OH |及|OA |2＋|OB |2＝|AB |2可得，|OH |＝|OA ||OB ||OA |2＋|OB |2，即1|OH |2＝1|OA |2＋1|OB |2， 因而1c 2＝1a 2－k 2b 21＋k 2＋k 2a 2－1b 21＋k 2，即1c 2＝1a 2－1b 2，又c 2＝a 2＋b 2，从而得b 2a 2＝1＋52，所以e ＝1＋b 2a 2＝5＋12，故选A. 优解：设|OA |＝m ＞0，|OB |＝n ＞0，直线OA 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎪⎫0＜α＜π2，则直线OB 的倾斜角为π2＋α，不妨取A (m cos α，m sin α)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，n sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， 因为A ，B 均在双曲线上，所以m 2cos 2αa 2－m 2sin 2αb 2＝1，n 2sin 2αa 2－n 2cos 2αb 2＝1，所以1m 2＋1n 2＝1a 2－1b2，又m 2＋n 2×c ＝mn ，所以1c 2＝1m 2＋1n 2＝1a 2－1b2，又c 2＝a 2＋b 2，从而得b 2a 2＝1＋52，所以e ＝1＋b 2a 2＝5＋12，故选A. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，n ＝(1，0)，若m ⊥(m －λn )，则实数λ＝________．解析：解法一：由m ⊥(m －λn )可得m ·(m －λn )＝0，即m 2＝λm ·n ，而m 2＝1，m ·n ＝12，所以λ＝2.如图所示，设OM →＝解法二：易知m ，n 都是单位向量，故可将其放在单位圆中，m ，ON →＝λn ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，m ，n 的夹角为60°，则要使m ⊥(m －λn )，只需∠OMN＝90°，此时λ＝2.答案：214．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3ax ，x ＞1，3x ＋1，x ≤1，若f (f (1))＞4a 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题知f (1)＝3＋1＝4，f (f (1))＝f (4)＝16＋12a ，若f (f (1))＞4a 2，则16＋12a ＞4a 2，即a 2－3a －4＜0，解得－1＜a ＜4，故实数a 的取值范围为(－1，4)．答案：(－1，4)15．过抛物线C ：y 2＝8x 的焦点的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆过点Q (－2，2)，则直线l 的方程为________．解析：易得抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l ：my ＝x －2，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧my ＝x －2，y 2＝8x ，消去x ，得y 2－8my －16＝0，其中Δ＝64m 2＋64＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－16，依题意得QA →＝(x 1＋2，y 1－2)，QB →＝(x 2＋2，y 2－2)，则QA →·QB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝(my 1＋4)(my 2＋4)＋(y 1－2)(y 2－2)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(4m －2)(y 1＋y 2)＋20＝－16(m 2＋1)＋(4m －2)×8m ＋20＝4(2m －1)2，易知QA →⊥QB →，则QA →·QB →＝0，即4(2m －1)2＝0，解得m ＝12，所以直线l 的方程为2x －y －4＝0.答案：2x －y －4＝016．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，b ＝5，△ABC 的面积S ＝53，则sin B sin C ＝________．解析：由题意可得2cos 2A ＋3cos A －2＝0，即(cos A ＋2)(2cos A －1)＝0，所以cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.由S ＝12bc sin A ＝534c ＝53，得c ＝4，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝52＋42－2×5×4cosπ3＝21⇒a ＝21，由正弦定理可得sin B ＝sin A a b ，sin C ＝sin A a c ，所以sin B sin C ＝sin 2A a 2bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×5×4＝57. 答案：57。

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客观题提速练六(时间:45分钟满分:80分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分,共60分）1.(2017·南开区二模)设集合A={-1，0,2}，集合B=｛-x｜x∈A，且2—x∉A｝,则B等于（）(A)｛1｝（B）｛—2}（C）{-1,-2｝（D)｛-1，0｝2.甲、乙两人下棋，和棋概率为,乙获胜概率为,甲获胜概率是( )(A）(B）(C）（D）3.(2017·衢州期末）设i是虚数单位,复数1-3i的虚部是( )（A)1 (B）—3i (C）-3 (D)3i4.（2018·宝鸡三模)角α的终边与单位圆交于点(-,)，则cos 2α等于( )(A)（B）-（C)(D）-5.（2018·榆林三模）已知a，b为直线,α,β为平面，在下列四个命题中,①若a⊥α,b⊥α,则a∥b；②若a∥α,b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β,则α∥β；④若α∥b,β∥b,则α∥β.正确命题的个数是（）(A）1 （B)3 （C）2 （D)06.（2018·乐山一模）一算法的程序框图如图所示,若输出的y=，则输入的x可能为（）(A）—1 （B)1(C）1或5 （D）—1或17。

(2018·四川宜宾一诊)若将函数y=3sin 2x的图象向右平移个单位，则平移后的函数的对称中心为（）(A）（—，0）(k∈Z) （B）（+，0)（k∈Z)（C)（-,0）（k∈Z）(D）(+,0)（k∈Z）8。

特点专项考前增分集训小题加速练( 一 )一、选择题( 本大题共“12 选择＋ 4 填空” 80 分练( 时间： 45 分钟分值：80分)12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的)1．若 (1 ＋ i) ＋ (2 － 3i) ＝ a＋ b i( a， b∈R，i 是虚数单位) ，则a， b 的值分别等于( ) A．3，－ 2 B．3,2C．3，－ 3 D．－ 1,4[答案] A2．设会合A＝{ y| y＝2x， x∈R}， B＝{ x| x2－1＜0}，则A∪B 等于( )A．( － 1,1) B．(0,1)C．( － 1，＋∞ ) D．(0 ，＋∞)[答案] C53．在△ABC中，a＝ 4，b＝2， 5cos( B＋C) ＋ 3＝ 0，则角B的大小为 ()【导学号： 04024172】ππA. 6B. 4π 5C. 3D. 6π[答案] A14．设函数f ( x) ＝ln(1 ＋ | x|) －1＋x2，则使得f ( x) ＞f (2 x－ 1) 建立的x的取值范围是 () 1A.， 131B. －∞，3∪ (1 ，＋∞)1 1C.－，D. －∞，－1∪1，＋∞3 3[答案] A5．点 O 为坐标原点，点F 为抛物线 ： y 2＝ 4 2 的焦点，点 P 为 C 上一点．若 | | ＝ 4 2，则△CxPF的面积为 ()POFA ．2B ．2 2C ．2 3D ．4[答案]C→ → →6．已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 OB ＝a 1OA ＋ a 200OC ，且 A ， B ，C 三点共线 ( 该直线可是点O ) ，则 S 200 等于 ()A ．100B ．101C ．200D ．201[答案] A7．某空间几何体的三视图如图 1 所示，则该几何体的表面积为 ()图 1A ．12＋ 4 2B ．18＋ 8 2C ．28D ．20＋ 8 2[答案]D8．将函数f ( x ) ＝cos( π ＋ )(cos x － 2sin) ＋ sin2的图象向左平移 π个单位长度后获得函数xx x8g ( x ) 的图象，则 g ( x ) 拥有性质 ()【导学号： 04024173】πA ．最大值为 2，图象对于直线 x ＝ 2 对称B ．周期为 π，图象对于 π ， 0 对称4C ．在 －π， 0 上单一递加，为偶函数 2πD ．在 0， 4 上单一递加，为奇函数 [答案]D9．秦九韶是我国南宋期间的数学家，普州 ( 现四川省安岳县 ) 人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，到现在还是比较先进的算法．如图2 所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入 n，x 的值分别为3,2 ，则输出v的值为 ()图 2A．9 B．18C．20 D．35[答案] B10．(2016 ·全国卷Ⅲ ) 小敏翻开计算机时，忘掉了开机密码的前两位，只记得第一位是，，M IN 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码可以成功开机的概率是()8 1A. B.15 81 1C. 15D. 30[答案] C11．命题“ ? x∈R， ? n∈N*，使得n≥x2”的否认形式是()A．? x∈ R，? n∈ N*，使得n<x2B．? x∈ R，? n∈ N*，使得n<x2C．? x∈ R，? n∈ N*，使得n<x2D．? x∈ R，? n∈ N*，使得n<x2[答案] D12．函数 f ( x)＝x cos x2在区间[0,4] 上的零点个数为( )【导学号： 04024174】A．4B．5C ．6D ．7[答案] C二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上 )13．若圆 x 2 ＋y 2＝ r 2( r ＞ 0) 上有且只有两个点到直线x －y － 2＝ 0 的距离为 1，则实数 r 的取值范围是 ________．[分析]注意到与直线 x － y － 2＝ 0 平行且距离为 1 的直线方程分别是 x － y － 2＋ 2＝0 和x －y － 2－ 2＝ 0，要使圆上有且只有两个点到直线x － y － 2＝0 的距离为 1，需知足在两条直线 x － y －2＋ 2＝0 和 x －y － 2－ 2＝ 0 中，一条与该圆订交且另一条与该圆相离，因此| 2－2|| －2－ 2|2 ＜r ＜ ，即 2－ 1＜ r ＜ 2＋ 1.2[答案]( 2－ 1， 2＋1)14．如图 3，在矩形 ABCD 中， AB ＝ 1， BC ＝ a ( a ＞ 0) ， PA ⊥平面 AC ，BC 边上存在点 Q ，使得PQ ⊥ QD ，则实数 a 的取值范围是 ________.【导学号： 04024175】图 3[ 分析 ] 如图，连结 AQ .∵PA ⊥平面 AC ，∴ PA ⊥ QD ，又 PQ ⊥ QD ， PQ ∩ PA ＝ P ，∴ QD ⊥平面 PQA ，于是 QD ⊥ AQ ，∴在线段 BC 上存在一点 Q ，使得 QD ⊥ AQ ，等价于以 AD 为直径的圆与线段 BC 有交点，∴ a2≥1，a ≥2.[答案][2 ，＋∞)15．已知函数 f ( x ) ＝ x 2＋ mx ＋ ln x 是单一递加函数，则m 的取值范围是 ________．[分析]依题意知， x ＞ 0， f ′(x ) ＝ 2x 2＋ mx ＋ 1，x令 g ( x ) ＝ 2x 2＋mx ＋ 1， x ∈ (0 ，＋∞ ) ．m当－4≤0时， g(0)＝1＞0恒建立，∴m≥0时， g( x)＞0恒建立，m当－＞0时，则42＝ m－8≤0，∴－ 2 2 ≤m＜ 0，综上， m的取值范围是m≥－2 2.[ 答案 ]－22，＋∞)16．(2016 ·全国卷Ⅰ) 某高科技公司生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新式资料．生产一件产品 A需要甲资料 1.5 kg ，乙资料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲资料0.5 kg ，乙资料 0.3 kg，用 3 个工时，生产一件产品 A 的收益为 2 100 元，生产一件产品 B 的收益为900 元．该公司现有甲资料150 kg，乙资料 90 kg，则在不超出600 个工时的条件下，生产产品A、产品 B 的收益之和的最大值为________元．[ 分析 ]设生产产品 A x件，产品 B y件，则1.5 x＋ 0.5 y≤150，x＋ y≤90，5x＋ 3y≤600，x≥0， x∈N*，y≥0， y∈N*.目标函数 z＝2 100 x＋900y.作出可行域为图中的暗影部分( 包含界限 ) 内的整数点，图中暗影四边形的极点坐标分别为(60,100) ，(0,200)，(0,0)，(90,0)．当直线 z＝2 100 x＋900y 经过点216 000( 元) ．(60,100) 时， z 获得最大值，z max＝2 100×60＋900×100＝[答案] 216 000。