《寒假专题突破练》高一(必修1、必修2)专题练习专题8 数与方程

第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.5函数与方程重难点：理解根据二次函数的图象与x 轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数及函数零点的概念，对“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”的理解；通过用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根之间的关系，初步形成用函数观点处理问题的意识．考纲要求：①结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；②根据具体函数的图像，能够用二分法求相应方程的近似解．经典例题：研究方程|x 2－2x －3|=a （a ≥0）的不同实根的个数．当堂练习：1．如果抛物线f(x)= x 2+bx+c 的图象与x 轴交于两点(-1,0)和(3,0),则f(x)>0的解集是（ ）A ． (-1,3)B ．[-1,3]C ．(,1)(3,)-∞-⋃+∞D ． (,1][3,)-∞-⋃+∞2．已知f(x)=1-(x-a)(x-b)，并且m ，n 是方程f(x)=0的两根，则实数a,b,m,n 的大小关系可能是（ ）A ． m<a<b<nB ．a<m<n<bC ．a<m<b<nD ．m<a<n<b3．对于任意k ∈［－1,1］,函数f (x )=x 2+(k －4)x －2k +4的值恒大于零，则x 的取值范围是A ．x <0B ．x >4C ．x <1或x >3D ．x <1 4． 设方程2x+2x =10的根为β,则β∈（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．如果把函数y =f (x )在x =a 及x =b 之间的一段图象近似的看作直线的一段，设a ≤c ≤b ，那么f (c )的近似值可表示为（ ）A ．1[()()]2f a f b + B C.f (a )+[()()]c a f b f a b a --- D.f (a )－[()()]c a f b f a b a --- 6．关于x 的一元二次方程x 2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一根大于3,一根小于1,则m 的取值范围是 ．7． 当a 时，关于x 的一元二次方程 x 2+4x+2a-12=0两个根在区间[-3,0]中．8．若关于x 的方程4x +a ·2x +4=0有实数解，则实数a 的取值范围是___________．9．设x 1,x 2 分别是log 2x=4-x 和2x +x=4的实根,则x 1+x 2= ．10．已知32()f x x bx cx d =+++,在下列说法中：(1)若f(m)f(n)<0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内有且只有一根；(2) 若f(m)f(n)<0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至少有一根；(3) 若f(m)f(n)>0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内一定没有根；(4) 若f(m)f(n)>0,且m<n,则方程f(x)=0在区间(m,n)内至多有一根；其中正确的命题题号是 ．11．关于x 的方程mx 2+2(m+3)x+2m+14=0有两个不同的实根,且一个大于4,另一个小于4,求m 的取值范围．12．已知二次函数f(x)=a(a+1)x 2-(2a+1)x+1,*a N ∈． （1）求函数f(x)的图象与x 轴相交所截得的弦长；（2） 若a 依次取1,2,3,4,---,n,时, 函数f(x)的图象与x 轴相交所截得n 条弦长分别为123,,,,n l l l l 求123n l l l l ++++的值．13． 已知二次函数2()(),,,f x ax bx c g x bx a b c R =++=-∈和一次函数其中且满足,a b c >> (1)0f =．（1）证明：函数()()f x g x 与的图象交于不同的两点A ，B ；（2）若函数()()()[2,3]F x f x g x =-在上的最小值为9，最大值为21，试求b a ,的值；（3）求线段AB 在x 轴上的射影A 1B 1的长的取值范围．14．讨论关于x 的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的实根个数．。

一、选择题1．函数2()f x x bx c =++对任意实数t 满足()(4)f t f t =-，则(1),(2),(4)f f f 的大小关系是（ ） A ．(1)(2)(4)f f f << B ．(2)(1)(4)f f f << C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(4)(1)(2)f f f <<2．已知(1,0),(1,0)A B -，点M 是曲线x =上异于B 的任意一点，令,MAB MBA αβ∠=∠=，则下列式子中最大的是（ ）A ．|tan tan |αβ⋅B ．|tan tan |αβ+C ．|tan tan |αβ-D ．tan tan αβ3．当104x <<时，不等式11014m x x+-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．104．若正数a ，b 满足1a >，1b >，且3a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．9D ．165．已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}41x x -<<，则不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为（ ）A ．{}14x x -<< B ．413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．413x x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 D ．{}21x x x -或6．已知函数()24x x af x x++=，若对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A ．[)5,+∞B ．()5,-+∞C ．()5,5-D ．[]5,5-7．下列命题中是真命题的是（ ）A ．y =的最小值为2；B ．当a ＞0，b ＞0时，114a b++； C ．若a 2+b 2=2，则a +b 的最大值为2；D ．若正数a ，b 满足2,a b +=则11+4+22a b +的最小值为12.8．若实数,x y 满足0xy >，则的最大值为（ ） A ．22-B ．22+C ．422+D ．422-9．已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则 ( ) A ．ab≤ B ．ab≥ C ．a 2+b 2≥2D ．a 2+b 2≤310．若关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解,则a 的取值范围是（ ） A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11．已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3B ．4C ．5D ．612．已知01a <<，1b >，则下列不等式中成立的是（ ） A ．4aba b a b+<+ B 2abab a b<+ C 22222a b ab +<D ．2222a b a b ++二、填空题13．若对(,1]x ∈-∞-时，不等式21()2()12xxm m --<恒成立，则实数m 的取值范围是____________..14．已知函数()243()46,,f x mx m tm x tm t m R =+-++∈，若[2,3]m ∃∈，使得对123,,,22t t x m t m x m m ⎡⎤⎡⎤∀∈++∀∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦均有()()12f x f x ≤，则正数t 的最小值为__________15．已知正实数m ，n 满足119222m n m n +++=，则2m n +的最小值是_______． 16．已知32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是________.17．已知向量()2,1a y =-，(),3b x =，且a b ⊥，若x ，y 均为正数，则32x y+的最小值是______．18．设x ，y 为正实数，若2241x y xy ++=，则266x yxy++的最大值是______.19．已知函数121()22x x f x +-+=+，如果对任意t ∈R ，f （3t 2+2t ）+f （k 2﹣2t 2）＜0恒成立，则满足条件的k 的取值范围是_____．20．若对于(0,)2x π∈，不等式2219sin cos mx x+≥恒成立，则正实数m 的取值范围为__________三、解答题21．已知二次函数()223f x x ax =-+.（1）若()f x 在(],1-∞上单调递减，求实数a 的最小值； （2）存在[]4,2x ∈--，使得()f x a ≥有解，求实数a 的取值范围.22．某工厂进行废气回收再利用，把二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为500吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为2150400004y x x =-+，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的月平均处理成本最低？（2）该工厂每月进行废气回收再利用能否获利？如果获利，求月最大利润；如果不获利，求月最大亏损额.23．在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos 2sin 2a c b Bac A +-=． (1)求角A ；(2)若2a =，求ABC ∆的面积的最大值．24．已知正实数a ，b 满足4a b +=，求1113a b +++的最小值.25．已知函数2()1()f x ax ax a R =--∈.(1)若对任意实数x ，()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式()23f x x <-.26．解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B 解析：B 【分析】由题意知()f x 关于2x =对称，结合函数解析式即可判断(1),(2),(4)f f f 的大小. 【详解】由对任意实数t 满足()(4)f t f t =-，知：()f x 关于2x =对称， 由函数2()f x x bx c =++知：图象开口向上，对称轴为22bx =-=， ∴()f x 在[2,)+∞上单调递增，而(1)(41)(3)f f f =-=， ∴(2)(1)(4)f f f <<. 故选：B 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据对称性，结合二次函数的性质比较函数值的大小，属于基础题.2．C解析：C 【分析】化简曲线为221(1)x y x -=≥，易知该曲线为双曲线，分别计算选项的取值范围，即可得答案； 【详解】设直线MA ，MB 的斜率分别为12,k k ，11(,)M x y ，则12tan ,tan k k αβ==-， 对A ，1111|tan tan |||111y yx x αβ⋅=⋅=+-； 对B ，C ，tan 0,tan 0αβ><，∴|tan tan |αβ->|tan tan |αβ+，1|tan tan ||tan |2tan αβαα-=+≥， 对D ，1k 小于双曲线渐近线的斜率，∴2tan tan 1tan ααβ=<， ∴|tan tan |αβ-最大，故选：C. 【点睛】通过将斜率转化为直线倾斜角的正切值，再结合基本不等式是求解的关键.3．C解析：C 【分析】分离参数化为41414m x x≤+-恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解. 【详解】不等式11014m x x+-≥-恒成立化为41414m x x ≤+-恒成立， 因为104x <<，所以140x ->，所以()4141414414414x x x x x x ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭44(14)5144x x x x -=++-5≥+549=+=，当且仅当44(14)144x x x x -=-，即16x =时，等号成立.所以9m ≤，所以m 的最大值为9. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方4．C解析：C 【分析】由等式3a b +=可以得到111a b -+-=，由1411a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可. 【详解】由3a b +=，可得111a b -+-=，10,10a b ->->， 所以()141414(1)511111111a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭-+-59≥+= 当且仅当12(1)b a -=-，即54,33b a ==时等号成立. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题注意观察待求式的分母，1,1a b --，结合已知条件，可变形为关于分母的式子111a b -+-=，这样就转化为“1”的常规技巧的应用.5．B解析：B 【分析】根据不等式的解集与对应的方程根的关系的关系求得3,4b a c a ==-且0a <，化简不等式为2340x x +-<，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式20ax bx c ++>的解集是{}41x x -<<， 可得4x =-和1x =是方程20ax bx c ++=的两根，且0a <，所以4141b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，可得3,4b a c a ==-，所以不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>可化为23(1)(3)40a x a x a -++->， 因为0a <，所以不等式等价于23(1)(3)40x x -++-<， 即234(1)(34)0x x x x +-=-+<，解得413x -<<， 即不等式2(1)(3)0b x a x c -+++>的解集为413x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 故选：B. 【点睛】解答中注意解一元二次不等式的步骤：（1）变：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式； （2）判：计算对应方程的判别式；（3）求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根； （4）利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.6．B解析：B 【分析】根据条件将问题转化为“24a x x >--在[)1,+∞上恒成立”，再根据()2max4a x x>--求解出a 的范围. 【详解】因为对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以240x x a ++>对[)1,x ∈+∞恒成立， 所以()2max4a x x>--，[)1,x ∈+∞，又因为24y x x =--的对称轴为2x =-，所以24y x x =--在[)1,+∞上单调递减， 所以()()2max4145x x --=--=-，所以5a >-，故选：B. 【点睛】方法点睛：一元二次不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关系.7．B解析：BCD 【分析】利用基本不等式分别判断A 、B 、D 选项，C选项可设,a b αα==，利用三角函数的值域求范围. 【详解】 A 选项，222x +≥0>，∴2y =≥==，即221x +=±时成立，又222x ≥+，故A 错；B 选项，当a ＞0，b ＞0时，1124a b +++≥⨯=，当且仅当1a b =⎧=，即1a b ==时等号成立，B 正确；C选项，设,a b αα==，则2sin 24a b πααα⎛⎫+==+≤ ⎪⎝⎭，C 正确；D 选项，2a b +=，()212192a b ⎡⎤⎛⎫∴+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()121252229291111++4+22442+2242a b a b a b a b a b ⎛⎫+ ⎪⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝=+⎣+⎭⎦ ⎪⎝⎭1252122944222a b a b ⎛⎫+ ⎪+ ⎪≥⨯+⋅=++ ⎪⎪⎝⎭，当且仅当122422a b a b ++=++且2a b +=时等号成立，解得1a b ==，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查基本不等式的应用、利用三角函数的值域求范围，注意取等号的条件，属于中档题.8．D解析：D 【解析】试题分析：由实数,x y 满足0xy >，，设{2m x y n x y=+=+，解得2{x m ny n m=-=-，则2222224()424222x y m n n m n m n m x y x y m n m n m n--+=+=-+≤-⋅=-++，当且仅当2n mm n=，及2n m =时等号成立，所以的最大值为422-，故选D.考点：基本不等式的应用.9．C解析：C 【解析】 选C.由≥得ab≤=1,当且仅当a=b=1时,等号成立.又a 2+b 2≥2ab ⇒2(a 2+b 2)≥(a+b)2⇒a 2+b 2≥2,当且仅当a=b=1时,等号成立.10．A解析：A 【分析】利用分离常数法得出不等式2a x x >-在[]15x ∈，上成立，根据函数()2f x x x=-在[]15x ∈，上的单调性，求出a 的取值范围【详解】关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解22ax x ∴>-在[]15x ∈，上有解 即2a x x>-在[]15x ∈，上成立，设函数数()2f x x x=-，[]15x ∈，()2210f x x ∴'=--<恒成立 ()f x ∴在[]15x ∈，上是单调减函数且()f x 的值域为2315⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 要2a x x >-在[]15x ∈，上有解，则235a >- 即a 的取值范围是23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭故选A 【点睛】本题是一道关于一元二次不等式的题目，解题的关键是掌握一元二次不等式的解法，分离含参量，然后求出结果，属于基础题．11．C解析：C 【分析】由1x >，得10x ->，则441111x x x x +=-++--，利用基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为1x >，则10x ->，所以44111511x x x x +=-++≥=--， 当且仅当411x x -=-时，即3x =时取等号，所以41x x +-的最小值为5，故选C ． 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．D解析：D 【分析】本题先根据完全平方公式与基本不等式得到()22224a b a ab b ab +=++>，所以排除选项A2211aba b a b>=++，所以排除选项B ；接着根据基本>=，所以排除选项C ；最后根据基本不等式得到选项D 正确. 【详解】解：对于选项A ：因为01a <<，1b >，所以()22224a b a ab b ab +=++>，故选项A 错误；对于选项B 2211aba b a b>=++，故选项B 错误；对于选项C>=C 错误；对于选项D ：()22222222a b a ab b a b +>++=+， 所以a b +<，故选项D 正确. 故选：D . 【点评】本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题.二、填空题13．【分析】运用换元法参变分离法来求解不等式恒成立问题【详解】不等式转化为化简为令又则即恒成立令又当时取最小值所以恒成立化简得解不等式得故答案为：【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题在求解过程中 解析：()2,3-【分析】运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题. 【详解】不等式()21212xxm m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭转化为2214x xm m +-<,化简为2211()22x x m m -<+， 令12x t =,又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立，令2()f t t t =+，又[)2,t ∈+∞， 当2t =时，()f t 取最小值min ()(2)6f t f ==，所以，26m m -<恒成立,化简得260m m --<，解不等式得23m -<<. 故答案为：()2,3- 【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.14．【分析】根据二次函数的性质结合存在任意的性质构造法换元法对钩函数的性质进行求解即可【详解】函数的对称轴为：要想对均有只需成立化简得：设令显然当时函数是单调递增函数故因此有显然该函数在单调递减函数故因 解析：10321【分析】根据二次函数的性质，结合存在、任意的性质、构造法、换元法、对钩函数的性质进行求解即可.【详解】函数()243()46f x mx m tm x tm =+-++的对称轴为：4342m tm x m -+=-， 要想对123,,,22t t x m t m x m m ⎡⎤⎡⎤∀∈++∀∈+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦均有()()12f x f x ≤，[2,3]m ∈ 只需43433441()()()2222m tm m tm m t m t m m -+-++--≤--+成立， 化简得：423242m m t m m ++≥-，设42324()2m m g m m m++=-，[2,3]m ∈， 242234224()22m m m m g m m m m m++++==--，令2a m m =-，显然当[2,3]m ∈时，函数2a m m =-是单调递增函数，故7[1,]3a ∈， 因此有266()a h a a a a+==+，7[1,]3a ∈，显然该函数在7[1,]3t ∈单调递减函数， 故min 7103()()321h a h ==，因此要想423242m m t m m++≥-在[2,3]m ∈有解，只需10321t ≥. 故答案为：10321【点睛】 关键点睛：解决本题的关键是根据二次函数的性质得到43433441()()()2222m tm m tm m t m t m m -+-++--≤--+这个不等式，然后运用构造函数进行求解.15．【分析】利用基本不等式可求得再结合可得从而可求出的取值范围即可得到的最小值【详解】由题意当且仅当时等号成立又所以令则解得所以即的最小值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值解题关键是解析：32【分析】()1112222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式，可求得()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再结合()119222m n m n +=-+，可得()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的取值范围，即可得到2m n +的最小值.【详解】由题意，()11155922222222n m m n m n m n ⎛⎫++=+++≥+=+= ⎪⎝⎭，当且仅当n m m n=时，等号成立， 又()119222m n m n +=-+，所以()()()1199222222m n m n m n m n ⎛⎫⎡⎤++=+-+≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 令2m n t +=，则9922t t ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，解得332t ≤≤， 所以32,32m n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，即2m n +的最小值是32. 故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查求代数式的最值，解题关键是利用基本不等式求出()119222m n m n ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，再根据()119222m n m n ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，可得到只包含2m n +的关系式()()992222m n m n ⎡⎤+-+≥⎢⎥⎣⎦，从而可求出2m n +的范围.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.16．【分析】由题意可得利用基本不等式可求得的最小值由此可求得实数的取值范围【详解】由于不等式对任意实数恒成立则由基本不等式可得当且仅当时即当时等号成立所以因此实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查利解析：(),1-∞【分析】由题意可得3231x x k -<+⋅-，利用基本不等式可求得3231x x -+⋅-的最小值，由此可求得实数k 的取值范围.【详解】由于不等式32310x x k --+⋅->对任意实数x 恒成立，则3231x x k -<+⋅-，由基本不等式可得323111x x -+⋅-≥=，当且仅当323x x -=⋅时，即当31log 22x =时，等号成立，所以，1k <， 因此，实数k的取值范围是(),1-∞.故答案为：(),1-∞.【点睛】本题考查利用基本不等式求解不等式恒成立问题，考查参变量分离法的应用，考查计算能力，属于中等题. 17．8【分析】由题意利用两个向量垂直的性质基本不等式求得的最大值可得要求式子的最小值【详解】解：向量且若均为正数则当且仅当时取等号则故答案为：8【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质基本不等式的应用属于 解析：8【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，基本不等式，求得xy 的最大值，可得要求式子的最小值．【详解】 解：向量(2,1)a y =-，(,3)b x =，且a b ⊥，∴23(1)0a b x y =+-=．若x ，y 均为正数，则23326x y xy +=，38xy∴，当且仅当3232x y ==时，取等号． 则32233838y x x y xy ++==，故答案为：8．【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，基本不等式的应用，属于中档题．18．【分析】先得到当且仅当时接着得到当且仅当时从而化简得到再求取最小值最后求出的最大值【详解】解：∵即∵当且仅当即时取等号∴当且仅当时取等号∵即∴当且仅当时取等号令则∴∵当时取最小值此时最大为：故答案为 解析：18【分析】先得到当且仅当2x y =时15xy ≤，接着得到当且仅当2x y =时2x y+=≤266x yxy++得到142mm+，再求42mm+取最小值，最后求出266x yxy++的最大值.【详解】解：∵2241x y xy++=，即2241x y xy=-+∵22414xy x xy y≥=-=+，当且仅当224x y=即2x y=时，取等号，∴15xy≤，当且仅当2x y=时，取等号，∵2241x y xy++=，即2(2)31x y xy+-=∴2x y+=≤2x y=时，取等号，令2x y m+==≤231xy m=-，∴221466242x y mxy m mm+==+++，∵当m=42mm+266x yxy++故答案为：18.【点睛】本题考查基本不等式求最值，是基础题.19．k<-1或k>1【分析】利用定义先求出函数为单调减函数与奇函数然后化简得到然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数定义域为且所以为奇函数且对求导可得则在时为减函数可得利用为奇函数化简得利用解析：k<-1或k>1.【分析】利用定义，先求出函数()f x为单调减函数与奇函数，然后化简()()2223220f t t f k t++-<得到222t t k--<，然后利用不等式得恒成立条件求出答案【详解】对于函数()f x，定义域为R，且()12122xxf x---+-=+1122222xxxx+-+=+()12122xxf x+-==-+，所以，()f x 为奇函数，且对()f x 求导可得()'0f x <，则()f x 在x ∈R 时为减函数， ()()2223220f t t f k t ++-<，可得()()222322f t t f k t +<--，利用()f x 为奇函数 化简得()()222322f t t f t k +-<，利用()f x 在x ∈R 时为减函数，得222322t t t k +->，化简得222t t k --<恒成立，令()22g t t t =--，则有()2max g t k <，而()()max 11g t g =-=，所以21k <，得到1k >或1k <-答案：1k >或1k <-【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性以及不等式的恒成立问题，属于中档题20．【分析】由不等式恒成立转化为的最小值大于9构造利用基本不等式求的最小值【详解】当时等号成立若不等式恒成立则即即故答案为：【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围重点考查利用1的变形利用基本不等式 解析：[)4,+∞【分析】 由不等式恒成立，转化为221sin cos m x x+的最小值大于9，构造()22222211sin cos sin cos sin cos m m x x x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求 221sin cos m x x+的最小值. 【详解】22sin cos 1x x += ，0m >()222222221cos sin sin cos 1sin cos sin cos m x m x x x m x x x x ⎛⎫∴++=+++ ⎪⎝⎭11m m ≥++=++ 当2222cos sin sin cos x m x x x=时，等号成立，若不等式2219sin cos m x x +≥恒成立，则19m ++≥，即)219≥134m ≥⇒≥. 故答案为：[)4,+∞【点睛】本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，重点考查利用”1”的变形，利用基本不等式求最小值，属于中档题型，本题的关键是根据22sin cos 1x x +=，已知变形为()22222211sin cos sin cos sin cos m m x x x x x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭. 三、解答题21．无22．无23．无24．无25．无26．无。

【高一】高一数学上册寒假练习题（带答案）高一数学寒假作业六一.（每小题3分,共计30分）1.圆心在轴上,半径为1,且过点（1,2）的圆的方程为（）A． B．C． D．2.已知全集 ,则等于（A）（B）（C）（D）3.三个数 ,则的大小关系是（）4.已知函数 ,则（）A.3B.2C. 1D. 05.下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是（）6.为了得到函数的图象,可以把函数的图象（）（A）向左平移1个单位长度（B）向右平移1个单位长度（C）向左平移3个单位长度（D）向右平移3个单位长度7.当a＞1时,同一直角坐标系中,函数y＝a－x,y＝logax的图象是y y y y1 1 1 1O 1 x O 1 x O 1 x O 1 xA. B. C. D.8．函数．若在上存在 ,使得 ,则实数的取值范围是（）A． B．C． D．9．如图8-25,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q,且满足A1P=BQ,过P.Q.C三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为（）A．3∶1B．2∶1C．4∶1D．∶110．如图8-26,下列四个平面形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形是（）二.题（每小题4分,共计24分）13. ,则；14.若a>0,且a≠1,函数的图象必过定点；15.函数的定义域是；16.已知函数① ；② ；③ ；④同时具有性质：（1）图象过点（0,1）（2）在区间上是减函数；（3）是偶函数的函数是（填正确序号）： .三.解答题：（共46分,其中17题10分,其他各题12分）解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17. 已知（1）求定义域；（2）求单调区间（3）求最大值,并求取最大值时x的值18.已知函数f (x )的定义域为 [－2,2],函数g (x ) = f (x －1)－f (3－2x )（1）求函数g (x )的定义域；（2）若函数f (x )在定义域上单调递减,求不等式g (x )<0的解集.19．已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0（1）当m为何值时,曲线C表示圆；（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M.N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值.20.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1,在满足条件①.②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.高一数学寒假作业六参考答案一、（每小题3分,共计30分）1-5 ACADA 6-10 BABBC二.题（每小题4分,共计24分）13. 14.（2,-1） 15.[-1,2) 16.(2)三.解答题：（共46分,其中17题10分,其他各题12分）解答题应写出文字说明．证明过程或演算步骤．17.(1)定义域（-1,3）（2）增区间（-1,1],减区间[1,3）(3)当x=1时,y取最大值为118解：（1）. 解得：所以,函数定义域为： .（2）.由g(x)<0,即：因为f（x）为减函数,所以得不等式的解集为： .19．已知曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0（1）当m为何值时,曲线C表示圆；（2）若曲线C与直线x+2y-4=0交于M.N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值..解（1）由D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0,得m<5.（2）设M(x1,y1),N(x2,y2),由OM⊥ON得x1x2+ y1y2=0.将直线方程x+2y-4=0与曲线C：x2+y2-2x-4y+m=0联立并消去y得5x2-8x+4m-16=0,由韦达定理得x1+x2= ①,x1x2= ②,又由x+2y-4=0得y= (4-x), ∴x1x2+y1y2=x1x2+ (4-x1)? (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0.将①.②代入得m= .20.设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1,在满足条件①.②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.感谢您的阅读，祝您生活愉快。

一、选择题1．已知不等式222ax y xy +≥，若对于任意[1,2],[2,3]x y ∈∈，该不等式恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．3a ≥-B ．1a ≥-C ．18a ≥D ．118a -≤≤2．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙3．下列命题中是真命题的是（ ）A ．y =的最小值为2；B ．当a ＞0，b ＞0时，114a b++； C ．若a 2+b 2=2，则a +b 的最大值为2；D ．若正数a ，b 满足2,a b +=则11+4+22a b +的最小值为12.4．已知1x >，0y >，且1211x y+=-，则2x y +的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．7+5．若不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．4-B ．14C ．10-D ．106．已知a ＜b ＜0，c ＞d ＞0，则下列结论正确的是（ ） A ．ac ＞bdB ．a +d ＞b +cC ．a d ＜bcD ．a 2＜b 27．不等式28610x x -+<的解集为（ ） A ．11(,)42B ．11(,)(,)42-∞+∞C ．11(,)34--D ．11(,)(,)34-∞--+∞ 8．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( )A ．若22ac bc >，则a b >B ．若0a b <<，则22a b <C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd < 9．若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ）. A ．11a b< B ．55a b > C ．22ac bc >D ．a b >10．若a ，b 为正实数，直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直，则ab 的最大值为（ ）A ．32B ．98C ．94 D ．411．已知,a b R +∈，2229ab b a b +++=，则+a b 的最小值（ ） A ．1B ．2C ．52D ．312．已知不等式1()⎛⎫++ ⎪⎝⎭a x y x y ≥4对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．6二、填空题13．若不等式210ax ax +-≤的解集为实数集R ，则实数a 的取值范围为__________. 14．已知正数,x y 满足10xy y -+=，则4y x+的最小值为___________． 15．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式中恒成立的是_______.①112ab >；②228a b +≥；2≥；④111a b+≥. 16．设x ，y 为正实数，若2241x y xy ++=，则266x yxy++的最大值是______.17．已知0x >，0y >，满足2126x y x y+++=，存在实数m ，对于任意x ，y ，使得2m x y ≤+恒成立，则m 的最大值为____________.18．函数()10y x x x=->的图象上一点到坐标原点的距离的平方的最小值为________．19．若正数a ，b 满足2ab =，则11112M a b=+++的最小值为________. 20．已知不等式250ax x c ++>的解集为(2,3)，则a c +=________.三、解答题21．已知命题1:(2,),242x p x m x ∀∈+∞+-，命题:q 方程221213x y m +=+表示焦点在x轴上的椭圆．（1）若p 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，求实数m 的取值范围．22．已知关于x 的不等式()24(4)0()kx k x k --->∈R 的解集为A . （1）写出集合A ；（2）若集合A 中恰有9个整数，求实数k 的取值范围.23．已知函数()()223f x x bx b R =-+∈.（1）若()f x 在区间[22]-，上单调递减，求实数b 的取值范围； （2）若()f x 在区间[22]-，上的最大值为9，求实数b 的值.24．已知不等式()()2330,ax a x b a b R +--<∈的解集为{}31A x x =-<<．（1）求实数a ，b 的值；（2）设()22()2ax bx f x x A x +-=∈-，当x 为何值时()f x 取得最大值，并求出其最大值．25．（Ⅰ）已知不等式220(2)x ax a a -+->>的解集为12(,)(,)x x -∞+∞，求12121x x x x ++的最小值． （Ⅱ）若正数a b c 、、满足2a b c ++=，求证：2222b c a a b c++≥．26．已知函数()24ax ax b f x =-+．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为()1,b ，求a ，b 的值； （2）当3b a =时，求关于x 的不等式()0f x <的解集．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 将a 分离出来得22()y ya x x ≥-，然后根据[1x ∈，2]，[2y ∈，3]求出y x的范围，令yt x=，则22a t t ≥-在[1，3]上恒成立，利用二次函数的性质求出22t t -的最大值，即可求出a 的范围． 【详解】 解：由题意可知：不等式222ax y xy +≥对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立， 即：22()y ya x x≥-，对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立， 即：x 2ma 2()yy a xx ⎡⎤⎢⎥⎣⎦≥-，对于[1,2],[2,3]x y ∈∈恒成立，令y t x =，结合图形可知yx的取值范围是(1,3)，则13t ≤≤， 22a t t ∴≥-在[1，3]上恒成立，221122()48y t t t =-+=--+，13t ≤≤，∴当1t =时，1max y =-，1a ∴≥-.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查的是不等式与恒成立的综合类问题，利用分离参数法、换元法和将恒成立问题转化为二次函数最值问题是解题的关键，还需要注意换元时新元的范围，属于中档题.2．B解析：B【分析】从四人的描述语句中可以看出，乙、丁的表述要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再进行判断【详解】若乙、丁的预测成立，则甲、丙的预测不成立，推出矛盾．故乙、丙预测不成立时，推出获奖的是乙和丁答案选B【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，才可进行有效论证3．B解析：BCD【分析】利用基本不等式分别判断A、B、D选项，C选项可设,a bαα==，利用三角函数的值域求范围.【详解】A选项，222x+≥0 >，∴2y=≥==，即221x+=±时成立，又222x≥+，故A错；B选项，当a＞0，b＞0时，1124a b+++≥⨯=，当且仅当1a b=⎧=，即1a b==时等号成立，B正确；C选项，设,a bαα==，则2sin24a bπααα⎛⎫+==+≤⎪⎝⎭，C正确；D选项，2a b+=，()212192a b⎡⎤⎛⎫∴+++=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则()121252229291111++4+22442+2242a b a baba ba b⎛⎫+⎪⎡⎤+⎛⎫⎛⎫+++=⨯++⎪⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝=+⎣+⎭⎦ ⎪⎝⎭251942⎛ ≥⨯+= ⎝⎭，当且仅当122422a b a b ++=++且2a b +=时等号成立，解得1a b ==，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】本题考查基本不等式的应用、利用三角函数的值域求范围，注意取等号的条件，属于中档题.4．B解析：B 【分析】利用“乘1法”将问题转化为求[]12(1)211x y x y ⎛⎫-+++ ⎪-⎝⎭的最小值，然后展开利用基本不等式求解． 【详解】1x >，10x ->，又0y >，且1211x y+=-， 2(1)21x y x y ∴+=-++[]12(1)211x y x y ⎛⎫=-+++ ⎪-⎝⎭22(1)61y x x y-=++- 262x +-10=， 当且仅当22(1)1y x x y-=-，解得4x =，3y =时等号成立， 故2x y +的最小值为10． 故选：B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最和的最值，考查“1”的巧妙运用，难度一般，灵活转化是关键.5．C解析：C 【分析】由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23-，结合根与系数的关系得出12,2a b =-=-，从而得出-a b 的值.由题意可知方程220ax bx ++=的根为11,23- 由根与系数的关系可知，11112,2323b a a-+=--⨯=解得12,2a b =-=-即12210a b -=-+=- 故选：C 【点睛】本题主要考查了根据一元二次不等式的解集求参数的值，属于中档题.6．C解析：C 【分析】取特殊值判断ABD ，根据不等式的性质判断C. 【详解】对A 项，当2,1,2,1a b c d =-=-==时，41ac bd -=<=-，则A 错误； 对B 项，当2,1,2,1a b c d =-=-==时，1a d b c +=+=-，则B 错误； 对C 项，0c d >>，11d c ∴>，又0a b <<，0a b ∴->->，则11a b d c-⋅>-⋅，即a d ＜bc，则C 正确； 对D 项，当2,1a b =-=-时，2241a b =>=，则D 错误； 故选：C 【点睛】本题主要考查了由已知条件判断所给不等式是否正确，属于中档题.7．A解析：A 【分析】运用因式分解法，化为一元一次不等式组，解不等式，求并集即可得到所求解集． 【详解】解：28610x x -+<即为(21)(41)0x x --<， 即有210410x x ->⎧⎨-<⎩或210410x x -<⎧⎨->⎩，可得x ∈∅或1142x <<， 即解集为1(4，1)2，故选A ．本题考查一元二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．8．B解析：B 【分析】由题意利用不等式的性质逐一考查所给的四个选项中的结论是否正确即可.其中正确的命题可以用不等式的性质进行证明，错误的命题给出反例即可. 【详解】对于A ，若22ac bc >，则0c ≠，2222ac bc c c>，即a b >，故正确；对于B ，根据不等式的性质，若0a b <<，不妨取2,1a b =-=-，则22a b >，故题中结论错误；对于C ，若0a b >>，则a b ab ab>，即11a b <，故正确；对于D ，若0a b <<,0c d >>，则0a b ->->，故ac bd ->-，ac bd <，故正确.故选B. 【点睛】本题主要考查不等式的性质及其应用，属于中等题.9．B解析：B 【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论． 【详解】 a ＞b ，则1a 与1b的大小关系不确定；由函数y =x 5在R 上单调递增，∴a 5＞b 5； c =0时，ac 2=bc 2；取a =-1，b =-2，|a |＞|b |不成立．因此只有B 成立． 故选B ． 【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．B解析：B 【分析】由两直线垂直求出23a b +=，再利用基本不等式求出ab 的最大值． 【详解】解：由直线2(23)20x a y +-+=与直线210bx y +-=互相垂直 所以22(23)0b a +-= 即23a b +=又a 、b 为正实数，所以2a b +≥即229224a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当a 34=，b 32=时取“＝”；所以ab 的最大值为98． 故选：B 【点睛】本题主要考查了由直线垂直求参数，基本不等式求最值的应用，属于中档题.11．C解析：C 【分析】令z a b =+，得a z b =-，代入2229ab b a b +++=，化简后利用判别式列不等式，解不等式求得+a b 的最小值. 【详解】令z a b =+，得a z b =-，代入2229ab b a b +++=并化简得()212290b z b z +--+=，关于b 的一元二次方程有正解，所以首先()()2124290z z ∆=---+≥， 即()()27250z z +-≥，由于,a b 是正实数，所以250z -≥，即52z ≥，也即+a b 的最小值为52. 此时对称轴1221120222z z z ---==-≥>，所以关于b 的一元二次方程()212290b z b z +--+=有正解，符合题意.故选：C 【点睛】本小题主要考查判别式法求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.12．A解析：A 【分析】()()11a y axx y a x y x y ⎛⎫++=+++⎪⎝⎭,然后利用基本不等式求最小值，即可得到a 的取值范围.【详解】()()11a y axx y a x y x y ⎛⎫++=+++ ⎪⎝⎭,0,0,0a x y >>>())21111y ax a a a x y ∴+++≥++=++=根据题意可知)214≥ ，解得1a ≥，a ∴的最小值是1故选：A 【点睛】本题考查了基本不等式求最小值，属于中档题，意在考查转化与化归的能力，以及计算求解能力.二、填空题13．【分析】分三种情况讨论：（1）当等于0时原不等式变为显然成立；（2）当时根据二次函数的图象与性质可知解集为不可能；（3）当时二次函数开口向下需时由此可得结论【详解】解：（1）当时得到所以不等式的解集 解析：[]4,0-【分析】分三种情况讨论：（1）当a 等于0时，原不等式变为10-<，显然成立； （2）当0a >时，根据二次函数的图象与性质可知解集为R 不可能； （3）当0a <时，二次函数开口向下，需0∆≤时，由此可得结论． 【详解】解：（1）当0a =时，得到10-<，所以不等式的解集为R ；（2）当0a >时，二次函数21y ax ax =+-开口向上，函数值y 不是恒小于等于0，所以解集为R 不可能．（3）当0a <时，二次函数21y ax ax =+-开口向下，由不等式的解集为R ，得240a a ∆=+≤，即(4)0a a +≤，解得40a -≤≤，所以40a -≤<； 综上，a 的取值范围为[]4,0-． 故答案为：[]4,0-． 【点睛】易错点点睛：对于一元二次不等式型的不等式恒成立问题，注意需讨论二次项系数为零的情况，当系数不为零时，再从根的判别式的符号上考虑．14．9【分析】由已知条件得出将代数式与相乘展开后利用基本不等式可求得的最小值【详解】因为正数满足所以即所以当且仅当即时等号成立故答案为：9【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条解析：9 【分析】由已知条件得出11x y +=，将代数式1x y +与4y x+相乘，展开后利用基本不等式可求得4y x +的最小值. 【详解】因为正数,x y 满足10xy y -+=， 所以1xy y +=，即11x y+=，所以4144()()559y x y xy x y x xy +=++=++≥+=， 当且仅当2xy =，即3y =，23x =时，等号成立. 故答案为：9 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.15．②④【分析】利用基本不等式和题设得到答案即可【详解】解：且即当且仅当时取等号故选项①错误；当且仅当时取等号选项②正确；即选项③错误；当且仅当时取等号选项④正确故答案为：②④【点睛】利用基本不等式求最解析：②④ 【分析】利用基本不等式和题设得到答案即可． 【详解】 解：0a >，0b >，且4a b +=，42a b ab ∴+=，即4ab ，当且仅当2a b ==时取等号，∴114ab，故选项①错误； 222()82a b a b++=，当且仅当2a b ==时取等号，∴选项②正确；42a b ab +=，即2，∴选项③错误；1111111()()(2)(221444b a a b a b a b a b +=++=+++=，当且仅当2a b ==时取等号，∴选项④正确， 故答案为：②④．利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方16．【分析】先得到当且仅当时接着得到当且仅当时从而化简得到再求取最小值最后求出的最大值【详解】解：∵即∵当且仅当即时取等号∴当且仅当时取等号∵即∴当且仅当时取等号令则∴∵当时取最小值此时最大为：故答案为【分析】先得到当且仅当2x y =时15xy ≤，接着得到当且仅当2x y =时2x y +=≤266x y xy ++得到142m m+，再求42m m +取最小值，最后求出266x yxy++的最大值.【详解】解：∵2241x y xy ++=，即2241x y xy =-+∵22414xy x x y y ≥=-=+，当且仅当224x y =即2x y =时，取等号， ∴15xy ≤，当且仅当2x y =时，取等号， ∵2241x y xy ++=，即2(2)31x y xy +-=∴2x y +=≤2x y =时，取等号，令2x y m +==≤231xy m =-， ∴221466242x y m xy m m m+==+++，∵当m =42m m +266x y xy ++本题考查基本不等式求最值，是基础题.17．2【分析】首先根据题意得到从而得到即再根据恒成立即可得到的最大值【详解】因为所以所以即解得因为恒成立所以即所以的最大值为故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式同时考查了不等式的恒成立问题属于中档题解析：2 【分析】首先根据题意得到()228x y xy +≤，从而得到()8622x y y x≤+++，即224x y ≤+≤，再根据2m x y ≤+恒成立，即可得到m 的最大值.【详解】因为0x >，0y >，所以()()22221122248x y x y xy x y ++=⋅≤⨯=， 所以()()()22122862222228y x y x x y x y x y x y x y xy y x x y ++=+++=++≥++=++++. 即()8622x y y x≥+++， ()()226280x y x y +-++≤，解得224x y ≤+≤.因为2m x y ≤+恒成立，所以()min 2m x y ≤+，即2m ≤. 所以m 的最大值为2. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查基本不等式，同时考查了不等式的恒成立问题，属于中档题.18．【分析】设曲线上任一点坐标为求出它是原点距离的平方用基本不等式求得最小值【详解】设曲线上作一点的坐标为则当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】本题考查用基本不等式求最值属于基础题解析：2【分析】设曲线上任一点坐标为1,x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求出它是原点距离的平方，用基本不等式求得最小值． 【详解】设曲线上作一点P 的坐标为1,(0)x x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，则2222211222OP x x x x x ⎛⎫=+-=+-≥ ⎪⎝⎭，当且仅当2212x x =，即142x -=时等号成立，故答案为：2． 【点睛】本题考查用基本不等式求最值，属于基础题．19．【分析】求出设（当且仅当时成立）求出的最小值即可【详解】解：设（当且仅当时成立）的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式的性质考查转化思想属于中档题解析：23【分析】求出23154a M a a =-++，设254445259a a N a a a a a++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立），求出M 的最小值即可． 【详解】 解：2ab =，0a >，0b >，2b a∴=， 21111114311411211414541a a M a b a a a a a a a a∴=+=+=+=+-=-++++++++++，设254445259a a N a a a a a++==+++=（当且仅当2a =时“=”成立）， 1109N ∴<，1303N--<，23113N -<， 11112M a b ∴=+++的最小值为23， 故答案为：23． 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查转化思想，属于中档题．20．-7【分析】结合一元二次不等式和一元二次方程的性质列出方程组求得的值即可得到答案【详解】由不等式的解集为可得解得所以故答案为：【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法以及一元二次方程的性质其中解答解析：-7 【分析】结合一元二次不等式和一元二次方程的性质，列出方程组，求得,a c 的值，即可得到答案. 【详解】由不等式250ax x c ++>的解集为(2,3)，可得052323a a c a ⎧⎪<⎪⎪+=-⎨⎪⎪⨯=⎪⎩，解得1,6a c =-=-，所以167a c +=--=-. 故答案为：7-. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及一元二次方程的性质，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.三、解答题21．（1）(,2]-∞；（2）(,1](2,)-∞+∞．【分析】（1）求出1242xx +-在(2,)+∞上的最小值后可得m 的范围； （2）求出命题q 为真时m 的范围，由p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，知,p q 一真一假，由此可求得m 的范围． 【详解】 （1）若p 为真，则1242xm x +-， 而1121121224224224x x x x x -+=++=---， 当且仅当12242x x -=-，即3x =时等号成立； 故2m ，即实数m 的取值范围为(,2]-∞；（2）若q 为真，则213m +>，故1m ；若p 真q 假，则21m m ⎧⎨⎩，，则1m ，若p 假q 真，则21m m >⎧⎨>⎩，，则2m >，综上所述，实数m 的取值范围为(,1](2,)-∞+∞．【点睛】方法点睛：本题考查由命题的真假求参数，考查复合命题的真假判断．掌握复合命题的真值表是解题关键．复合命题的真值表：22．无23．无24．无25．无26．无。

第二章 函数与方程2．4.1 函数的零点1．函数f(x)＝2x ＋7的零点为( )A ．7 B.72 C ．－72 D ．－72．方程x －1x＝0的一个实数解的存在区间为……( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,2)D ．(－1,1)3．观察下面的四个函数图象，则在(－∞，0)内，函数y ＝f i (x)(i ＝1,2,3,4)有零点的是… ( )A ．①B ．①②C ．①②③D ．②④4．已知函数y ＝x 2＋ax ＋3有一个零点为2，则a 的值为________．5．若函数f(x)的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f(x)的零点所在的区间为__________．(只填序号)1．已知函数f(x)＝2ax ＋4，若在区间[－2,1]上存在x 0，使f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是…( )A ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)B ．[－1,2]C ．[－1,4]D ．[－2,1]2．函数f(x)＝x2－3x＋2在区间(1,2)内的函数值()A．大于等于0 B．小于等于0C．大于0 D．小于03．对于函数f(x)＝x2＋mx＋n，若f(a)>0，f(b)>0，则函数f(x)在区间(a，b)内() A．一定有零点B．一定没有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点4．设函数，又g(x)＝f(x)－1，则函数g(x)的零点是________．5．二次函数y＝ax2x －3 －2 －1 0 1 2 3 4y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6 则不等式ax2＋bx＋c>0的解集是________．6．求证：方程5x2－7x－1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上．7．若函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，求实数a的取值范围．1．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2，并且α，β是方程f(x)＝0的两根，则实数a，b，α，β的大小关系可能是()A．α<a<b<βB．a<α<β<bC．a<α<b<βD．α<a<β<b2．若函数f(x)＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx 2－ax 的零点是( )A ．0,2B ．0，12C ．0，－12D ．2，－123．二次函数f(x)＝x 2＋px ＋q 的零点为1和m ，且－1<m<0，那么p 、q 满足的条件为( ) A ．p>0且q<0 B ．p>0且q>0 C ．p<0且q>0 D ．p<0且q<0 4．若函数y ＝f(x)是偶函数，定义域为{x ∈R |x ≠0}，且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )A ．唯一一个B ．两个C ．至少两个D ．无法判断5．函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋m(a ≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________． 6．函数f(x)＝x 2＋2(a ＋3)x ＋2a －9的两个零点中，一个大于3，一个小于－3，则a 的取值范围为________．7．函数y ＝7x 2－(k ＋13)x ＋3k －2的图象与x 轴的两个交点分别在(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围为________．8．试找出一个长度为1的区间，在这个区间上函数y ＝x －13x ＋2至少有一个零点．9．求函数y ＝x 3－4x 的零点，并画出它的图象．10．函数y ＝－2x 2＋x ＋3的自变量x 在什么范围内取值时，函数值大于0，小于0，等于0?答案与解析课前预习1．C 令f(x)＝2x ＋7＝0，解得x ＝－72.2．B 由x －1x＝0，得x ＝±1，显然1∈(0,2)．3．B 在(－∞，0)内，函数f 1(x)、f 2(x)的图象与x 轴有交点．4．－72 由题意x ＝2为方程x 2＋ax ＋3＝0的根，即4＋2a ＋3＝0，∴a ＝－72.5．③④⑤ 由表可知：f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，且f(x)的图象是连续不间断的，∴f(x)在[2,3]，[3,4]，[4,5]上有零点．课堂巩固1．A 依题意f(－2)·f(1)≤0⇔(－4a ＋4)(2a ＋4)≤0，解得a ≤－2或a ≥1.2．D 令f(x)＝0，解得x 1＝1，x 2＝2，∴在(1,2)内函数值同号，又二次函数图象开口向上，∴f(x)在区间(1,2)内的函数值小于0. 3．C 如图所示．4．1，－5 当x ≥0时，g(x)＝f(x)－1＝2x －2，令g(x)＝0，得x ＝1；当x<0时g(x)＝x 2－4－1＝x 2－5，令g(x)＝0，得x ＝±5(正值舍去)，∴g(x)的零点为1和－ 5.5．{x|x<－2或x>3} 由表可知f(－2)＝f(3)＝0，且当x ∈(－2,3)时，y<0，∴当x ∈(－∞，－2)∪(3，＋∞)时ax 2＋bx ＋c>0.点评：只要利用表中数据，结合函数零点的性质，无须求出函数的解析式． 6．解：设f(x)＝5x 2－7x －1，则f(－1)·f(0)＝11×(－1)＝－11<0，f(1)·f(2)＝(－3)·5＝－15<0.且二次函数f(x)＝5x 2－7x －1是连续的．∴f(x)在(－1,0)和(1,2)上各有零点．即方程5x 2－7x －1＝0的根一个在(－1,0)上，另一个在(1,2)上．点评：判断f(x)是否在(x 1，x 2)上存在零点，除验算f(x 1)·f(x 2)<0是否成立外，还须考察函数在(x 1，x 2)上是否连续，若要判断根的个数，还须结合函数的单调性．7．解：(1)若a ＝0，则f(x)＝－x －1为一次函数，易知函数仅有一个零点；(2)若a ≠0，则函数f(x)为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0只有一个实根，故判别式Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14.综上，当a ＝0或－14时函数仅有一个零点．点评：判断函数零点的个数就是判断相应方程的实根的个数．课后检测1．A 由题意，f(a)＝f(b)＝－2，f(α)＝f(β)＝0，且f(x)的图象开口向上，故a ，b 必在α，β之间．2．C 函数f(x)＝ax ＋b 的零点是2，∴2a ＋b ＝0，得ba＝－2，而g(x)＝bx 2－ax ＝bx(x －a b )＝bx(x ＋12)，∴g(x)的零点为0和－12.3．D ∵f(1)＝0，∴p ＋q ＋1＝0. 又f(0)<0，得q<0；f(－1)>0， 得1－p ＋q>0. 又q ＝－p －1，∴－2p>0，即p<0.4．B 由f(x)为偶函数且f(2)＝0得f(－2)＝0，画出f(x)的大致图象，可知f(x)只有两个零点．5．－3 由题意f(1)＝a ＋2a ＋m ＝0，即m ＝－3a ， ∴f(x)＝ax 2＋2ax －3a ＝a(x 2＋2x －3)＝a(x ＋3)(x －1)． 令f(x)＝0，易得x ＝1或x ＝－3.6．(－92，－94) 由题意，函数f(x)的图象为开口向上的抛物线，与x 轴的交点有两个：一个在(3,0)右侧，一个在(－3,0)左侧．∴⎩⎪⎨⎪⎧f(－3)<0，f(3)<0，解得a ∈(－92，－94)．7．(23，4) 开口向上的抛物线与x 轴的交点在(0,1)，(1,2)内，则⎩⎪⎨⎪⎧f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，解得k ∈(23，4)．8．解：函数f(x)＝x －13x ＋2的定义域为(－∞，－23)∪(－23，＋∞)．取区间[12，32]，则易证：f(12)＝12－132＋2＝－17<0，f(32)＝113>0，∴f(12)·f(32)<0，∴在区间[12，32]内函数f(x)至少有一个零点．∴区间[12，32]符合条件．9．解：∵x 3－4x ＝x(x 2－4)＝x(x －2)(x ＋2)，∴函数y ＝x 3－4x 的零点为0，－2,2，这三个零点把x 轴分成4个区间：(－∞，－2]，(－2,0]，(0,2]，(2，＋∞)，在这四个区间内，取x 的一些值(包括零点)．在直角坐标系中描点作图，图象如图所示．10．解：由－2x 2＋x ＋3＝0，得x 1＝－1，x 2＝32，所以函数的零点是－1和32，亦即当自变量x 取－1和32时函数值等于0.函数的两个零点－1和32将x 轴分成3个区间：(－∞，－1)，(－1，32)，(32，＋∞)，在区间(－1，32)内取特殊值x ＝0，得其函数值f(0)＝3>0，依函数零点的性质，知当x ∈(－1，32)时有f(x)>0；当x ∈(－∞，－1)和x ∈(32，＋∞)都有f(x)<0. 因此，当自变量x ∈(－1，32)时函数值大于0；当x ∈(－∞，－1)∪(32，＋∞)时函数值小于0；当x ＝－1和32时，函数值等于0.。

专题15 圆的方程1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心(a ，b )，半径为r . 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心C (－D 2，－E2)，半径为D 2＋E 2－4F 2.例1 判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径长．变式训练1 将下列圆的方程化为标准方程，并求出圆心和半径． (1)x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0； (2)2x 2＋2y 2＋8x －12y ＋23＝0.例2求经过两点A(2，－3)、B(－2，－5)，且圆心在直线x－2y－3＝0上的圆的方程．变式训练2求圆心在x轴上，半径为5，且过点A(2，－3)的圆的标准方程．例3试判断A(1,2)，B(0,1)，C(7，－6)，D(4,3)四点是否在同一圆上．变式训练3 过三点A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)的圆的方程为________．A 级(第1题考查的是圆的一般方程的定义，求圆的半径和圆心有两种方法：一个是转化为圆的标准方程，一个是直接利用一般式方程的定义求解．) 1．方程x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋1＝0表示的圆的圆心为( ) A ．(2,4) B ．(－2，－4) C ．(－1，－2)D ．(1,2)2．点P (－2，－2)和圆x 2＋y 2＝4的位置关系是( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内D ．以上都不对(第3题考查的是圆一般方程的定义，解题方法是利用一般式方程定义求解．) 3．方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＋5m ＝0表示圆的条件是( ) A.14<m <1 B ．m >1 C ．m <14D ．m <14或m >1(第4题考查的是圆的方程，做法是先求出端点坐标，然后求出半径，可得圆的标准方程．) 4．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝525．圆心是点(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是________．(第6题考查学生掌握圆的基本性质，灵活运用两点间的距离公式化简求值，会根据圆心和半径写出圆的标准方程，做题时注意数形结合．)6．已知三角形的三个顶点是A (0,0)，B (4,0)，C (0,3)，则△ABC 的外接圆方程为________． 7．若圆C 的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y ＝x 对称，则圆C 的标准方程为________．B 级(第8题做法是因为圆心一定在圆直径上，所以只要求出圆心坐标，再逐一代入各个选项验证即可．)8．已知圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y －8＝0，那么该圆的一条直径所在直线的方程为( )A．2x－y－1＝0 B．2x－y＋1＝0C．2x＋y＋1＝0 D．2x＋y－1＝0(第9题考查圆的标准方程，圆的一般方程，两圆的位置关系，确定圆的圆心与半径，即可求得结论．)9．已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x－1)2＋(y＋2)2＝25C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x＋1)2＋(y－2)2＝2510．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝________.11．在已知圆x2＋y2－4x＋6y－12＝0中，长为8的弦中点的轨迹方程为________．12．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．(第13题考查了二元二次方程表示圆的条件和求半径的最大值，可用配方法将方程化为标准方程后，利用r2＞0求出参数的范围，求半径的最大值时需要验证对称轴的值是否取到．) 13．已知圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0(k为实数)．(1)若定点A(1,2)在圆的外面，求k的取值范围；(2)求其中面积最大的圆的方程．(第14题熟练掌握圆的一般方程表示圆的充要条件和二次函数的性质是解题的关键．) 14．已知x2＋y2－2(22t－3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0.(1)当t为何值时，方程表示圆？(2)方程表示的圆的圆心能否在直线y＝x上？答案精析专题15 圆的方程典型例题例1 解 方法一 由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点；当m ≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F＝5|m －2|.方法二 原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2， 因此，当m ＝2时，它表示一个点； 当m ≠2时，原方程表示圆的方程， 此时，圆的圆心为(2m ，－m )， 半径为r ＝5|m －2|.变式训练1 解 (1)配方化为：(x －1)2＋(y ＋2)2＝1，圆心(1，－2)，半径r ＝1. (2)配方化为：2(x ＋2)2＋2(y －3)2＝3，即(x ＋2)2＋(y －3)2＝32，圆心(－2,3)，半径r ＝62.例2 解 方法一 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. 由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2(－2－a )2＋(－5－b )2＝r2a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.∴所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 方法二 由A (2，－3)，B (－2，－5)得， AB 的中点为(0，－4)，k AB ＝12，∴AB 的垂直平分线的方程为y ＋4＝－2x ， 即2x ＋y ＋4＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋4＝0，x －2y －3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2.∴圆心为(－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 方法三 设点C 是圆心，∵点C 在直线l 上，∴设点C 为(2b ＋3，b )． 又∵|CA |＝|CB |， ∴(2b ＋3－2)2＋(b ＋3)2＝(2b ＋3＋2)2＋(b ＋5)2解得b ＝－2， ∴圆心为C (－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.变式训练2 解 设圆心在x 轴上，半径为5的圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝52. ∵点A 在圆上，∴(2－a )2＋(－3)2＝25. ∴a ＝－2或a ＝6.故所求圆的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝25或(x －6)2＋y 2＝25. 例3 解 方法一 线段AB 、BC 的斜率分别为k AB ＝1， k BC ＝－1.得k AB ≠k BC .∴A 、B 、C 三点不共线，设过A 、B 、C 三点的圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵A 、B 、C 三点在此圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＋2E ＋F ＋5＝0，E ＋F ＋1＝0，7D －6E ＋F ＋85＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝4，F ＝－5.∴过A 、B 、C 三点的圆的方程为x 2＋y 2－8x ＋4y －5＝0. 将D 点坐标(4,3)代入方程左端得：42＋32－8×4＋4×3－5＝0. 即点D 在此圆上，故A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上． 方法二 ∵k AB ·k BC ＝2－11－0×1＋60－7＝－1， ∴AB ⊥BC ，∴AC 是过A 、B 、C 三点的圆的直径， |AC |＝(1－7)2＋(2＋6)2＝10， AC 中点即为圆心M (4，－2)． ∵|DM |＝(4－4)2＋(3＋2)2＝5 ＝12|AC |， ∴点D 在圆M 上，∴A 、B 、C 、D 四点共圆． 变式训练3 x 2＋y 2＋6x －2y －15＝0解析 设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵三点A 、B 、C 在圆上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧5E ＋F ＋25＝0D －2E ＋F ＋5＝03D ＋4E －F －25＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝6E ＝－2F ＝－15，故所求圆的方程为x 2＋y 2＋6x －2y －15＝0. 强化提高1．C [方程可变为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝4， ∴圆的圆心为(－1，－2)．]2．B [将点P 的坐标代入圆的方程的等号左边，有(－2)2＋(－2)2＝8>4，故点P 在圆外．] 3．D [此方程表示圆的条件是D 2＋E 2－4F >0，即(4m )2＋(－2)2－4·5m >0，解得m <14或m >1，所以应选D.]4．A [由已知，得直径的两端点为(4,0)，(0，－6)， ∴半径r ＝12(4－0)2＋[0－(－6)]2＝13，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.] 5．(x －3)2＋(y －4)2＝25 解析 圆的半径r ＝32＋42＝5. 所以圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25. 6．x 2＋y 2－4x －3y ＝0解析 根据图形可知△ABC 为直角三角形，所以AC 的垂直平分线方程MP 为y ＝32；AB 边的垂直平分线方程MQ 为x ＝2. 所以圆心坐标为(2，32)，半径r ＝52；则圆的方程为(x －2)2＋(y －32)2＝254，化简得x 2＋y 2－4x －3y ＝0.7．x 2＋(y －1)2＝1解析 由题意知圆C 的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C 的标准方程为x 2＋(y －1)2＝1. 8．A [∵圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y －8＝0，∴圆心坐标为(1,1)，又∵直径一定过圆心，∴只需检验选项中那个过圆心即可，把(1,1)点逐一代入各选项，可得代入A 选项时成立．故选A.]9．B [由题意，得圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0的圆心坐标为(1，－2)， ∴与圆C 有相同的圆心，且经过点(－2,2)的圆的半径为5， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，故选B.]10．9解析 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m . 又圆C 1：x 2＋y 2＝1，∴|C 1C 2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m ，解得m ＝9. 11．(x －2)2＋(y ＋3)2＝9解析 设中点M (x ，y )，已知圆的圆心为C (2，－3)，半径r ＝5，则|MC |＝3，所以点M 的轨迹方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝9. 12．5＋ 2解析 点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离2加上半径长5，即为5＋ 2.13．解 (1)将圆的方程化为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝4－3k 24，所以圆心为(－k2，－1)，半径为4－3k 24.由于点(1,2)在圆外，因此有 (1＋k2)2＋(2＋1)2＞4－3k 24恒成立， 又∵4－3k 2＞0，解得－233<k <233.(2)由(1)知圆的半径r ＝124－3k 2，故当k ＝0时，半径取最大值1，这时面积最大，所以面积最大的圆的方程是x 2＋y 2＋2y ＝0.14．解 (1)方程x 2＋y 2－2(22t －3)x ＋2(1－4t 2)y ＋16t 4＋9＝0，可化为[x －(22t －3)]2＋[y ＋(1－4t 2)]2＝－16t 4－9＋(22t －3)2＋(1－4t 2)2＝－122t ＋1，若此方程表示圆，则－122t ＋1＞0， 解得t ∈(－∞，224)． (2)该圆的圆心为(22t －3，－(1－4t 2))．若圆心在直线y ＝x 上，则22t －3＝－(1－4t 2)，就是4t 2－22t ＋2＝0，其中Δ＝(－22)2－4×4×2＝－24<0，方程无解，从而该方程表示的圆的圆心不能在直线y ＝x 上．。

人教版高一数学必修一第2单元一元二次函数、方程与不等式（讲解和习题）基础知识讲解一．不等式定理【基础知识】①对任意的a，b，有a＞b①a﹣b＞0；a＝b①a﹣b＝0；a＜b①a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．①如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．①如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．①如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．二．不等式大小比较【技巧方法】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．三．基本不等式【基础知识】基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．四、基本不等式的应用【基础知识】1、求最值2、利用基本不等式证明不等式3、基本不等式与恒成立问题4、均值定理在比较大小中的应用【技巧方法】技巧一：凑项需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．技巧二：凑系数遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．技巧三：分离技巧四：换元一般，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f （x ）＝x +的单调性．技巧六：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错． 技巧七：取平方两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件．总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式． 五．二次函数的性质 【基础知识】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0） 【技巧方法】①开口、对称轴、最值与x 轴交点个数，当a ＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x ＝a b 2-；最值为：f （ab2-）；判别式①＝b 2﹣4ac ，当①＝0时，函数与x 轴只有一个交点；①＞0时，与x 轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x 1、x 2为方程y ＝ax 2+bx +c 的两根，则有x 1+x 2＝ab-， x 1•x 2＝ac ； ①二次函数其实也就是抛物线，所以x 2＝2py 的焦点为（0，2p ），准线方程为y ＝2p -，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；六．一元二次不等式【基础知识】含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式是ax2+bx+c＞0 或ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．【技巧方法】（1）当①＝b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）（2）当①＝b2﹣4ac＝0时，一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x1）2．（3）当①＝b2﹣4ac＜0时．一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．二.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．特例：①一元一次不等式ax＞b解的讨论；①一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．（4）指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式①应用分类讨论思想去绝对值； ①应用数形思想； ①应用化归思想等价转化． 七．一元二次方程根与系数的关系 【基础知识】一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）有解时，不妨设它的解为x 1，x 2，那么这个方程可以写成ax 2﹣a （x 1+x 2）x +ax 1•x 2＝0．即x 2﹣（x 1+x 2）x +x 1•x 2＝0．它表示根与系数有如下关系：x 1+x 2＝﹣a b ，x 1•x 2＝ac ．习题演练一．选择题（共12小题）1．若a ，b ，c 是是实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a bc c>，则a b > C ．若22a b >，则a b > D ．若a b >，则a b >2．下列不等式中，正确的是 A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+B ．若a b >，则a c b c +<+C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若,a b c d >>，则a b c d> 3．如果实数,a b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是 （ ）A ．0a b +>B ．11a b> C ．330a b -<D ．11a b a>- 4．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则11b a> B ．若22a b <，则a b <C ．若a b >，c d >则a d b c ->-D ．若a b >，则22ac bc >5．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．106．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4B ．6C ．8D ．107．已知0x >，0y >，93x y +=，则11x y+的最小值为（ ） A ．16 B ．4C ．163D ．2038．不等式01xx <-的解集是（ ） A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．()1,+∞9．已知不等式240x ax ++<的解集为空集，则实数a 的取值范围是（） A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4][4,)-∞-+∞D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞10．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-⋃+∞C ．(]2,2-D ．(],2-∞11．已知集合{}3M x x =≥，{}23100N x x x =--≤，则M N ⋃=（ ）A ．{}35M x x =≤≤ B ．{}3M x x =≥C ．{}2x x ≥-D ．{}5x x ≤12．已知集合{}{}2|230,|10A x Z x x B x x =∈--≤=->，则集合AB =（ ）A ．{2,3}B ．{1,1}-C ．{1,2,3}D ．∅二．填空题（共6小题）13．不等式2320x x -++>的解集为____________．14．已知0x >，0y >，且182x y+=，则2x y +的最小值为_____. 15．已知21,32a b -<<--<<-，则-a b 的取值范围是________．16．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为__________． 17．已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______.18．关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，则b c +=______． 三．解析题（共6小题）19．已知不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围；（2）若1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集． 20．已知函数2()()=-++f x x a b x a ．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{12}xx <<∣，求,a b 的值； （2）当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．21．已知关于x 的不等式：2230kx kx +-<（1）若不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求k 的值；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围． 22．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为()1,3-，求,a b 的值;（2）若()12f =，0a >，0b >，求14a b+的最小值． 23．已知()()233f x x a x a =-++．（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）解关于x 的不等式()0f x ≥．24．已知函数()()f x x x m =-，其中0m >．（1）若12m =，求不等式()0f x <的解集； （2）求2(2)f m-+的最小值．人教版高一数学必修一第2单元 一元二次函数、方程与不等式（讲解和习题）习题演练三．选择题（共12小题）1．若a ，b ，c 是是实数，则下列选项正确的是（ ） A ．若22ac bc >，则a b >B ．若a bc c>，则a b > C ．若22a b >，则a b > D ．若a b >，则a b >【答案】A 【解析】对于A ，若22ac bc >，则20c >，a b >，故A 正确；对于B ，若a bc c>，0c <，则a b <，故B 错误； 对于C ，若1a =-，0b =，则满足22a b >，但此时a b <，故C 错误； 对于D ，若1a =-，0b =，则满足a b >，但此时a b <，故D 错误. 故选：A.2．下列不等式中，正确的是 A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+B ．若a b >，则a c b c +<+C ．若,a b c d >>，则ac bd >D ．若,a b c d >>，则a b c d> 【答案】A 【解析】若a b >，则a c b c +>+,故B 错， 设a 3,b 1,c 1,d 2===-=-,则ac bd <，a bc d<所以C 、D 错，故选A 3．如果实数,a b 满足：0a b <<，则下列不等式中不成立的是 （ ）A ．0a b +>B ．11a b> C ．330a b -<D ．11a b a>- 【答案】D 【解析】0a b <<，则0a b ->->，0a b a b +=-+>，A 正确；由0a b <<两边同除以ab 得11a b>，B 正确；由a b <得33a b <，C 正确；0a b <<，则0a a b <-<，11a a b>-，D 错误． 故选：D ．4．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则11b a> B ．若22a b <，则a b <C ．若a b >，c d >则a d b c ->-D ．若a b >，则22ac bc >【答案】C 【解析】当1,2a b ==-时，满足a b >，但11b a>不成立，所以A 错； 当1,2a b ==-时，满足22a b <，但a b <不成立，所以B 错；当1,2,0a b c ==-=时，满足a b >，但22ac bc >不成立，所以D 错；因为c d >所以d c ->-，又a b >，因此同向不等式相加得a d b c ->-，即C 对； 故选：C 5．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】 因为22(2)2y x x x =+>-，所以()2222244822y x x x x =+=-++≥=--， 取等号时()2222x x -=-，即3x =， 所以min 8y =. 故选：C. 6．函数()2222y x x x =+>-的最小值是（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C 【解析】 解：因为()2222y x x x =+>-，所以()2222244822y x x x x =+=-++≥=--， 取等号时()2222x x -=-，即3x =， 所以min 8y =. 故选：C7．已知0x >，0y >，93x y +=，则11x y+的最小值为（ ）A ．16B ．4C ．163D ．203【答案】C 【解析】因为0x >，0y >，93x y +=，则()()11111191169101063333y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++⨯=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当9y x x y =且93x y +=即14y =，34x =时取等号． 故选：C ． 8．不等式01xx <-的解集是（ ） A ．(),0-∞ B ．()0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．()1,+∞【答案】B 【解析】解：不等式01xx <-，即(1)0x x -<， 求得01x <<，所以原不等式的解集为()0,1故选：B ．9．已知不等式240x ax ++<的解集为空集，则实数a 的取值范围是（） A ．[4,4]-B ．(4,4)-C ．(,4][4,)-∞-+∞D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞【答案】A 【解析】欲使不等式240x ax ++<的解集为空集，即函数24y x ax =++的图像与x 轴无交点或只有一个交点，则2160a ∆=-， 解得44a -， 故选A 项.10．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．()(),22,-∞-⋃+∞C ．(]2,2-D ．(],2-∞【答案】C 【解析】由题意，不等式222424ax ax x x +-<+，可化为2(2)2(2)40a x a x -+--<， 当20a -=，即2a =时，不等式恒成立，符合题意；当20a -≠时，要使不等式恒成立，需()2204244(2)0a a a -<⎧⎪⎨∆=-+⨯-<⎪⎩ ， 解得22a -<<，综上所述，所以a 的取值范围为(]2,2-， 故选：C .11．已知集合{}3M x x =≥，{}23100N x x x =--≤，则M N ⋃=（ ）A ．{}35M x x =≤≤ B ．{}3M x x =≥C ．{}2x x ≥-D ．{}5x x ≤【答案】C 【解析】集合{}3M x x =≥，{}()(){}{}2310052025N x x x x x x x x =--≤=-+≤=-≤≤则M N ⋃={}2x x ≥- 故选：C12．已知集合{}{}2|230,|10A x Z x x B x x =∈--≤=->，则集合AB =（ ）A ．{2,3}B ．{1,1}-C ．{1,2,3}D ．∅【答案】A 【解析】由()()223310x x x x --=-+≤，解得13x -≤≤，所以{}1,0,1,2,3A =-.{}|1B x x =>.，所以{2,3}A B =.故选：A四．填空题（共6小题）13．不等式2320x x -++>的解集为____________．【答案】2,13⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】由2320x x -++>得()()2321320x x x x --=-+<，所以不等式2320x x -++>的解集为2,13⎛⎫-⎪⎝⎭． 故答案为：2,13⎛⎫-⎪⎝⎭. 14．已知0x >，0y >，且182x y+=，则2x y +的最小值为_____. 【答案】9 【解析】1816162(2)(2)2810218x y x y x y x y y x ⎛⎫+=++=++++= ⎪⎝⎭，29x y ∴+≥，等号成立时32x =，6y =. 故答案为：9.15．已知21,32a b -<<--<<-，则-a b 的取值范围是________．【答案】(0,2)【解析】因为32b -<<-，则23b <-<，又由21a -<<-，根据不等式的基本性质，可得02a b <-<， 所以-a b 的取值范围是(0,2).16．已知正数a ，b 满足2a b +=，则2238a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为__________． 【答案】49 【解析】因为正数a ，b 满足2a b +=，所以229438493749b a b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 当且仅当64,55a b ==时，等号成立． 故答案为：4917．已知0a >，0b >，且24ab a b =++，则ab 的最小值为______. 【答案】4 【解析】0a >，0b >，，可得24ab ≥，当且仅当a b =时取等号．)120∴≥，∴2≥1≤-（舍去），4ab ∴≥．故ab 的最小值为4. 故答案为：4．18．关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，则b c +=______． 【答案】72【解析】因为关于x 的不等式20x bx c ++>的解集是()1,2,2⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭， 所以关于x 的方程20x bx c ++=的解是12,2x x =-=-， 由根与系数的关系得122122b c ⎧--=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⨯-= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得521b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以72b c +=. 三．解析题（共6小题）19．已知不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若2M ∈，求a 的取值范围；（2）若1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．【答案】（1）2a >-；（2）1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 【解析】试题分析：（1）由2是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得a 的取值范围；（2）结合三个二次关系可得到a 值，代入不等式22510ax x a -+->可求解其解集试题解析：（1）①2M ∈，①225220a ⨯+⨯->，①2a >-（2）①1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，①1,22是方程2520ax x +-=的两个根， ①由韦达定理得1522{1222aa+=-⋅=-解得2a =-①不等式22510ax x a -+->即为：22530x x --+>其解集为1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭． 20．已知函数2()()=-++f x x a b x a ．（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为{12}xx <<∣，求,a b 的值； （2）当1b =时，解关于x 的不等式()0f x >．【答案】（1）21a b =⎧⎨=⎩；（2）当1a <时，不等式的解集为(,)(1,)a -∞+∞；当1a ≥时，不等式的解集为(,1)(,)a -∞+∞．【解析】（1）由条件知，关于x 的方程2()0-++=x a b x a 的两个根为1和2，所以1212a b a +=+⎧⎨=⨯⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩．（2）当1b =时，2()(1)0=-++>f x x a x a ，即()(1)0x a x -->，当1a <时，解得x a <或1x >；当1a =时，解得1x ≠；当1a >时，解得1x <或x a >．综上可知，当1a <时，不等式的解集为(,)(1,)a -∞+∞；当1a ≥时，不等式的解集为(,1)(,)a -∞+∞．21．已知关于x 的不等式：2230kx kx +-<（1）若不等式的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，求k 的值；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围． 【答案】（1）1k =；（2）(]24,0-. 【解析】（1）因为关于x 的不等式：2230kx kx +-<的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以32-和1是方程2230kx kx +-=的两个实数根， 由韦达定理可得:33122k--⨯=，得1k =． （2）因为关于x 的不等式2230kx kx +-<的解集为R ． 当0k =时，-3<0恒成立.当0k ≠时，由220,240k k k <⎧⎨∆=+<⎩，解得：240k -<< 故k 的取值范围为(]24,0-．22．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集为()1,3-，求,a b 的值; （2）若()12f =，0a >，0b >，求14a b+的最小值． 【答案】（1）14a b =-=，（2）9．【解析】（1）因为不等式()0f x >的解集为()1,3-，所以1x =-和3x =是方程()0f x =的两实根， 从而有()()()()1230393230f a b f a b ⎧-=--+=⎪⎨=+-+=⎪⎩，即50310a b a b -+=⎧⎨+-=⎩， 解得14a b =-⎧⎨=⎩． （2）由()12f =，得1a b +=．因为0a >，0b >，所以()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当4b a a b =，即223b a ==时等号成立． 所以14a b+的最小值为9． 23．已知()()233f x x a x a =-++．（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）解关于x 的不等式()0f x ≥．【答案】（1）()1,3；（2）答案见解析.【解析】（1）1a =时，不等式()0f x <化为()()130x x --<， 解得13x <<，∴不等式的解集为()1,3（2）关于x 的不等式()0f x >，即()()30x a x --≥； 当3a =时，不等式化为()230x -≥，解得R ；当3a >时，解不等式()()30x a x --≥，得3x ≤或x a ≥； 当3a <时，解不等式()()30x a x --≥，得x a ≤或3x ≥； 综上所述，当3a =时，不等式解集为R ；当3a >时，不等式的解集为(][),3,a -∞⋃+∞； 当3a <时，不等式的解集为(][),3,a -∞⋃+∞． 24．已知函数()()f x x x m =-，其中0m >．（1）若12m =，求不等式()0f x <的解集； （2）求2(2)f m-+的最小值． 【答案】（1）1|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；（2）最小值为8. 【解析】（1）当12m =时， ()1()02f x x x =-<，解得102x <<， 不等式()0f x <的解集为1|02x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭（2）()()2222424822f m m m m m +=-⨯--+=++≥+=- (0)m > 当且仅当22m m =，即1m =时取等号. 故()22+f m -的最小值为8.。

1.(2011·陕西）函数-cos x 在［0，+∞）内 （ ） A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点2. (2009·辽宁)若x 1满足2x ＋2x ＝5，x 2满足2x ＋2log 2(x －1)＝5，则x 1＋x 2等于( ) A.52 B ．3 C.72 D ．43. (2009·天津)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x ) ( )A ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均有零点B ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1，(1，e)内均无零点C ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间⎝⎛⎭⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点4. (2007·山东)设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0所在区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5.（2011·山东）已知函数f （x ）=log a x+x-b （a ＞0,且a ≠1）.当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f （x ）的零点x 0∈（n,n+1）,n ∈N*，则n= .6. (2009·山东)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .7. (2009·上海春招)已知对于任意实数x ，函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，若方程f (x )＝0有2 009个实数解，则这2 009个实数解之和为____.8. (2008·上海)方程x 2＋2x －1＝0的解可视为函数y ＝x ＋2的图象与函数y ＝1x 的图象交点的横坐标．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i(i＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是 .1.（2012·潍坊模拟）函数f(x)=()lg x11,x111,x12x⎧+->-⎪⎨⎛⎫-≤-⎪ ⎪⎝⎭⎩，的零点个数是 ( )A.0B.1C.2D.32.（2012·济宁模拟）已知a 是函数f(x)=2x-12log x 的零点，若0<x 0<a ，则f(x 0)的值满足 ( )A.f(x 0)=0B.f(x 0)<0C.f(x 0)>0D.f(x 0)的符号不确定3. 已知函数f (x )为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为( )A ．0B ．2C ．1D ．44. 若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a 没有零点，则实数a 的取值范围是 ( )A ．a ＜1B ．a ＞1C ．a ≤1D ．a ≥15.（(2010·沈阳质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－2， x >0；－x 2＋bx ＋c ， x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x 的零点的个数为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．46. (2010·安徽示范性名校联考)函数f (x )＝ln x －x 2＋2x ＋5的零点个数为__ __.。

四川省部分中学2023高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式专项训练单选题1、关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，且α2+β2=12，那么m的值为（）A．−1B．−4C．−4或1D．−1或4答案：A分析：α2+β2=(α+β)2−2α⋅β，利用韦达定理可得答案.∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根，∴Δ=[2(m−1)]2−4×1×(m2−m)=−4m+4⩾0，解得：m⩽1，∵关于x的方程x2+2(m−1)x+m2−m=0有两个实数根α，β，∴α+β=−2(m−1)，α⋅β=m2−m，∴α2+β2=(α+β)2−2α⋅β=[−2(m−1)]2−2(m2−m)=12，即m2−3m−4=0，解得：m=−1或m=4(舍去).故选：A.2、下列说法正确的为（）A．x+1x≥2B．函数y=2√x2+3的最小值为4C．若x>0,则x(2−x)最大值为1D．已知a>3时，a+4a−3≥2√a⋅4a−3，当且仅当a=4a−3即a=4时，a+4a−3取得最小值8答案：C分析：利用基本不等式及其对勾函数的性质分别判断即可.对于选项A,只有当x>0时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；对于选项B,y=2√x2+32√x2+3=2√x2+3√x2+3，令√x2+3=t(t≥√3)，即y =2t +2t (t ≥√3)在[√3,+∞)上单调递增，则最小值为y min =2√3√3=8√33,则B 不正确；对于选项C ,x(2−x)=−(x 2−2x +1)+1=−(x −1)2+1≤1，则C 正确；对于选项D ,当a >3时，a +4a−3=a −3+4a−3+3≥2√(a −3)⋅4a−3+3=7，当且仅当a −3=4a−3时，即a =5，等号成立，则D 不正确.故选：C .3、若不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，则不等式a (x 2+1)+b(x −1)+c >2ax 的解集是（）A ．{x |0<x <3}B ．{x |x <0 或x >3}C ．{x |1<x <3}D ．{x |−1<x <3}答案：A分析：由题知{b a =−1c a =−2 ，a <0，进而将不等式转化为x 2−3x <0，再解不等式即可.解：由a (x 2+1)+b (x −1)+c >2ax ，整理得ax 2+(b −2a )x +(a +c −b )>0 ①．又不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x |−1<x <2}，所以a <0，且{(−1)+2=−b a (−1)×2=c a ，即{b a =−1c a =−2②．将①两边同除以a 得：x 2+(b a −2)x +(1+c a −ba )<0③．将②代入③得：x 2−3x <0，解得0<x <3．故选：A4、a,b,c 是不同时为0的实数，则ab+bca 2+2b 2+c 2的最大值为（ ）A ．12B ．14C ．√22D ．√32答案：A分析：对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.若要使ab+bca 2+2b 2+c 2最大，则ab,bc 均为正数，即a,b,c 符号相同，不妨设a,b,c 均为正实数，则ab+bca 2+2b 2+c 2=a+c a 2+c 2b +2b ≤2√22b ×2b =2√2(a 2+c 2)=12√a 2+2ac+c 22(a 2+c 2)=12√12+ac a 2+c 2≤12√122√a 2×c 2=12， 当且仅当a 2+c 2b =2b ，且a =c 取等，即a =b =c 取等号， 即则ab+bc a 2+2b 2+c 2的最大值为12，故选：A ．小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.5、不等式x (2x +7)≥−3的解集为（ ）A ．(−∞,−3]∪[−12,+∞)B ．[−3,−12]C ．(−∞,−2]∪[−13,+∞)D ．[−2,−13] 答案：A分析：解一元二次不等式即可.x (2x +7)≥−3可变形为2x 2+7x +3≥0，令2x 2+7x +3=0，得x 1=−3，x 2=−12， 所以x ≤−3或x ≥−12，即不等式的解集为(−∞,−3]∪[−12,+∞). 故选：A.6、设a<b<0，则下列不等式中不一定正确的是（ ）A ．2a >2b B ．ac <bc C ．|a|>－b D ．√−a >√−b答案：B分析：利用不等式的性质对四个选项一一验证：对于A，利用不等式的可乘性进行证明；对于B，利用不等式的可乘性进行判断；对于C，直接证明；对于D，由开方性质进行证明.对于A，因为a<b<0，所以2ab >0，对a<b同乘以2ab，则有2a>2b，故A成立；对于B，当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不成立；对于C，|a|＝－a>－b，则选项C成立；对于D，由－a>－b>0，可得√−a>√−b，则选项D成立.故选：B7、若“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是（）A．m≥1B．m≥2C．m≥3D．m≥4答案：C分析：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.根据“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，可得﹣2m≤﹣2，3≤m，m>0.解出即可得出.解：x2+mx﹣2m2<0（m>0），解得﹣2m<x<m.∵“﹣2<x<3”是“x2+mx﹣2m2<0（m>0）”的充分不必要条件，∴﹣2m≤﹣2，3≤m，(两个等号不同时取)m>0.解得m≥3.则实数m的取值范围是[3，+∞）.故选：C.8、已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，则下列说法正确的是（）A．a>0B．不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2−√7<x<2+√7}C．a+b+c<0D．不等式ax+b>0的解集为{x|x>3}答案：B分析：根据解集形式确定选项A错误；化不等式为x2−4x−3<0,即可判断选项B正确；设f(x)=ax2+bx+ c，则f(1)>0，判断选项C错误；解不等式可判断选项D错误.解：因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<−1或x>4}，所以a<0，所以选项A错误；由题得{a<0−1+4=−ba−1×4=ca,∴b=−3a,c=−4a，所以ax2+cx+b>0为x2−4x−3<0,∴2−√7<x<2+√7.所以选项B正确；设f(x)=ax2+bx+c，则f(1)=a+b+c>0，所以选项C错误；不等式ax+b>0为ax−3a>0,∴x<3，所以选项D错误.故选：B9、下列不等式中成立的是（）A．若a>b>0，则ac2>bc2B．若a>b>0，则a2>b2C．若a<b<0，则a2<ab<b2D．若a<b<0，则1a <1b答案：B分析：A，如c=0时，ac2=bc2，所以该选项错误；BCD，利用作差法比较大小分析得解.A. 若a>b>0，则ac2>bc2错误，如c=0时，ac2=bc2，所以该选项错误；B. 若a>b>0，则a2−b2=(a+b)(a−b)>0,∴a2>b2，所以该选项正确；C. 若a<b<0，则a2−ab=a(a−b)>0,∴a2>ab，所以该选项错误；D. 若a<b<0，则1a −1b=b−aab>0,∴1a>1b，所以该选项错误.故选：B10、若不等式(ax−2)(|x|−b)≥0对任意的x∈(0,+∞)恒成立，则（）A．a>0，ab=12B．a>0，ab=2C．a>0，a=2b D．a>0，b=2a答案：B分析：由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b≤0时，不满足题意，故b>0，再由二次函数的性质即可求解由选项可知a>0，故原不等式等价于(x−2a)(|x|−b)≥0，当b ≤0时，显然不满足题意，故b >0，由二次函数的性质可知，此时必有2a =b ，即ab =2， 故选：B填空题11、若正数a 、b 满足a +b =1，则13a+2+13b+2的最小值为________. 答案：47分析：由a +b =1可得(3a +2)+(3b +2)=7，将代数式(3a+2)+(3b+2)7与13a+2+13b+2相乘，展开后利用基本不等式可求得13a+2+13b+2的最小值.已知正数a 、b 满足a +b =1，则(3a +2)+(3b +2)=7，所以，13a+2+13b+2=(3a+2)+(3b+2)7⋅(13a+2+13b+2) =17(3b+23a+2+3a+23b+2+2)≥17(2√3b+23a+2⋅3a+23b+2+2)=47， 当且仅当a =b =12时，等号成立.因此，13a+2+13b+2的最小值为47.所以答案是：47.小提示：本题考查利用基本不等式求代数式的最值，考查了1的妙用，考查计算能力，属于基础题.12、函数y =√kx 2−2kx +4的定义域为R ，则实数k 的取值范围为______．答案：[0,4]分析：函数y =√kx 2−2kx +4的定义域为R ，等价于kx 2−2kx +4≥0恒成立，然后分k =0和k ≠0两种情况讨论求解即可得答案函数y =√kx 2−2kx +4的定义域为R ，等价于kx 2−2kx +4≥0恒成立，当k =0时，显然成立；当k ≠0时，由Δ=(−2k)2−4k ×4≤0，得0<k ≤4．综上，实数k 的取值范围为[0,4]．所以答案是：[0,4]13、已知正实数x ，y 满足：x 2+xy +2x y =2，则3x +2y +2y 的最小值为_________．答案：4√2分析：根据x 2+xy +2x y =2，可得(x +y)(x +2y )=4，再令{x +y =m x +2y =4m ，再利用基本不等式即可得出答案. 解：因为x 2+xy +2x y =2， 所以x 2+xy +2x y+2=4， 所以x(x +y)+2y (x +y)=4，所以(x +y)(x +2y )=4，令{x +y =m x +2y =4m，则3x +2y +2y =2(x +y)+(x +2y )=2m +4m ≥2√2m ⋅4m =2√8=4√2，当且仅当2m =4m 即m =√2时取等号，所以3x +2y +2y 的最小值为4√2.所以答案是：4√2.解答题14、（1）设0<x <2，求y =√x (4−2x )的最大值；（2）已知a >0，b >0，若a +b =2，求11+a +41+b 的最小值．答案：（1）√2；（2）94． 分析：（1）将y =√x(4−2x)转化为y =√22⋅√2x(4−2x)，用基本不等式求最大值即可； （2）将11+a +41+b 变形为11+a +41+b =14(11+a +11+b )[(a +1)+(b +1)]，整理后用基本不等式求最值.（1）因为0<x <2，所以4−2x >0，所以y =√x(4−2x)=√22⋅√2x(4−2x)≤√22⋅2x+4−2x 2=√2，当且仅当2x =4−2x ，即x =1时等号成立， 所以y =√x(4−2x)的最大值为√2；（2）因为a >0，b >0，所以a +1>0，b +1>0．又a +b =2，所以a +1+b +1=4，∴11+a +41+b =14(11+a +41+b)[(a +1)+(b +1)] =14[5+b +1a +1+4(a +1)b +1] ≥14[5+2√b +1a +1⋅4(a +1)b +1]=94当且仅当{b+1a+1=4(a+1)b+1a +b =2，即{a =13b =53时取等号，所以11+a +41+b 的最小值为94． 15、已知二次函数f (x )=x 2+mx −6(m >0)的两个零点为x 1和x 2，且x 1−x 2=5．（1）求函数f (x )的解析式；（2）解关于x 的不等式f (x )<4−2x ．答案：（1）f (x )=x 2+x −6；（2）{x |−5<x <2}． 分析：（1）利用根与系数的关系，由x 1−x 2=5求出m =1，即可得到函数f (x )的解析式；（2）把原不等式转化为x 2+3x −10<0，即可解得.（1）由题意得：关于x 的方程x 2+mx −6=0(m >0)的两个根为x 1和x 2，由根与系数的关系得{x 1+x 2=−m,x 1x 2=−6,故(x 2−x 1)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=m 2+24=25， 故m 2=1．∵m >0，∴m =1，故f (x )=x 2+x −6．（2）由f (x )<4−2x 得x 2+x −6<4−2x ， 即x 2+3x −10<0，即(x +5)(x −2)<0，解得−5<x <2，故原不等式的解集是{x |−5<x <2}．。