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高等数学上复习提纲高数第七版教材第一章函数与极限知识要点：函数的定义域、函数的几种特性、极限的定义、左右极限、无穷小量的比较、极限的运算、两个重要极限、极限存在准则、函数的连续性与间断点P16 D1(5)(9),D6; P26 D1; P33 D2, D3; P44例8；P45 D1(5)(7)(14); D3(1)；P52 D1(5)(6), D2(2)(4), D4(1)；P55 D3,D5(1)(3)；P59 例4,例5；P61 D3( 1 ); P66 D3(7), D5；P70总习题D1(1)(4), D3(2), D9(2)(4);第二章导数与微分知识要点：导数，函数的求导法则，高阶导数，复合函数的求导，隐函数求导，微分（含复合函数的微分），基本初等函数的求导公式，可导与连续的关系等P81 例9; P97 例4；P99 例8；P101例1、2；P108 1(3)、（4）；P115 例4、5;第三章微分中值定理与导数的应用知识要点：罗尔定理，拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数的单调性、凸凹性，函数的极值与最值P132 D6、D8、D12；P134 例3；P136 例8、例10；P137 D1(13)；P146例4；P148例6；P148例8、例9；P181 D2；总复习三D2；第四章不定积分知识要点：不定积分的概念与性质；第一、二换元法，分部积分法，基本积分表P189 例7；P190 例8；P192 D2(15) (17) (25)；P207 D2(35)；P197 例11；P212例9；P214 例2；P222 D4(4）；第五章定积分知识要点：定积分的性质，变上限函数的定义，导数及其应用，牛-莱公式，定积分换元法和分部积分，反常积分P236 D7; P243 例8；P244 D8(8); P245 D11(1)；P249例5；P253例12；P255 D1（17，19，23)；P262 D1（3）；P273 D14；题型分布：选择10题，共20分；填空5题，共10分；计算10题，共50分；应用2题，共20分。
高等数学（上）（工科）第一篇：高等数学(上)(工科)《高等数学》（上）课程教学大纲一、课程简介（一）课程代码0840202（二）课程名称高等数学Higher Mathematics（上）（三）修读对象信工（三）总学时与学分90学时5个学分（四）考核方式采取平时考核与期末考试相结合的考核方式。
平时考核包括作业、提问、上课发言等方面的考核，平时成绩占20%，期末考试成绩占80%,考试要严格要求，实行考教分离，同一教学计划的班级，期末考试要统一命题，统一评分，统一流水阅卷。
（五）相关课程本课程是工科类专业的重要基础课，课程基础性、理论性强，与后继课程密切相关。
（六）内容提要(不超过200字)《高等数学》（上）主要内容是一元微积分，包含函数，函数极限与连续，导数与微分，微分中值定理与导数的应用，不定积分，定积分及其应用，向量代数和空间解析几何。
二、教学目的和教学方法教学目的高等数学是国家教委指定的工科类各专业核心课程之一，是最重要的一门基础理论课。
《高等数学》（指微积分）为研究事物的变化发展规律提供了基本的数学基础和框架，在各种实际问题中有着广泛的应用；它具有丰富的内容和深刻的思想，是进入科学领域的大门，是高校数学教学的核心课程，也是学习后继课程和科学技术知识的基础，尤其是工程技术和计算科学等专业，通过数学学习，使学生掌握该课程的基本思想和方法，使学生能用所学的知识分析、解决实际问题，能对这些问题进行定性和定量的分析研究。
训练学生的数学推理的严密性，使学生有一定的数学修养，能用数学的语言描写各种概念和现象，能理解其它学科中所用的数学理论与方法。
培养学生具有良好的数学基础和数学思维能力，掌握信息与计算科学的基础理论、方法与技巧和技能。
使学生具有使用当代的科技成果能力和习惯.培养学生学习数学的兴趣，帮助学生形成良好自学的习惯，给学生以后从事科学研究和工程技术工作打好基1础。
通过本课程的学习，要使学生掌握高等数学的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
一． 1 无穷小的定义，等价无穷小、两个重要极限、罗比他法则求极限二． 函数间断点的分类及求法、介值定理、零点定理的应用三． 导数的定义、复合函数求导、链式法则、隐函数的求导、参数方程表示的函数的求导四． 中值定理的应用、导数的符号判别函数单调性及凸凹性、求拐点五． 不定积分、定积分的换元及分部积分法、变上限积分的求导六． 定积分的应用：求平面图形的面积以及旋转体的体积七． 一阶线性微分方程、二阶常系数微分方程的通解选择题1. 当0x →时，下列结论正确的是( )A. 2ln(1)x +与x 是同阶无穷小。
B. 2ln(1)x +是比x 高阶的无穷小。
C. 2x x -是比x 高阶的无穷小。
D. 2x x -与x 是等价无穷小。
2. 设()(1)(2)(100)f x x x x x =---，则'(0)f =( )A. 0B. 1C. 100!D. -100!3. 点0x =是函数1()sin f x x=的( ) A. 连续点。
B. 跳跃间断点。
C. 可去间断点 D. 第二类间断点4. 200(1)lim ln(1)x t x e dt x →-=+⎰( )A. 0B. 1C.∞D. 25. 设'(0)f 存在， 则0(0)(2)lim x f f x x→-=( ) A. '(0)f - B.'2(0)f C. '2(0)f - D.'(0)f6. 设()F x 为()f x 在某一区间I 内的一个原函数，则下列命题不正确的是( ) A.()()()d f x dx f x dx =⎰. B. ''()()F x dx F x C =+⎰. C. '()()F x dx F x C =+⎰. D. (())()d f x dx f x dx =⎰.7. 方程tan dy y y dx x x =+的满足(1)6y π=的特解为( ) A. 1sin 2y x x =. B. 1sin 3y x x =. C. sin y x x =. D. 1sin 4y x x =.8. 131(cos )x x x dx --=⎰( )A. 0.B.12 C. 25 D. 34. 9.函数 32()29123f x x x x =-+-的单调减少区间是( )A. (,1]-∞.B. [1,2]C. (1,2]D.[2,)+∞.10. 31lim()x x x x→∞+=( ) A. 3e B. e C.+∞ D. 0.11. 当0x →时，下列结论不正确的是( )A.sin x 与x 是等价无穷小。
高等数学上册第一到第三章复习资料写在前面：小伙伴们，高数是比较重的一门课，以下内容我可以保证是在问过罗老师后总结的第一章函数与极限总说：1.第一节至第三节是概念问题，小伙伴们只需要了解。
但是在这里有个函数极限的定义，下面我会列出2.第四、五、六、七节可以说是第一章重点了，牵扯到极限的运算。
3.第八、九、十节也是概念居多，而且与第二章函数导数牵扯较大。
在第十节，零点定理与介值定理也是重点二、极限运算的各种定理与推论（极限运算的基础）x 0是x 0+ x 0- 1.定理1：有限个无穷小的和也是无穷小2.定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小3.定理3：如果limf ﹙x ﹚=A ，limg ﹙x ﹚=B ，那么：﹙1﹚lim[f ﹙x ﹚±g ﹙x ﹚]=lim f ﹙x ﹚±limg ﹙x ﹚=A ＋B ﹙2﹚lim[f ﹙x ﹚·g ﹙x ﹚]= lim f ﹙x ﹚·limg ﹙x ﹚=A ·B﹙3﹚若有B ≠0，则 lim [f ﹙x ﹚/ g ﹙x ﹚]= limf ﹙x ﹚/ limg ﹙x ﹚=A/B 4.定理4：设有数列﹛x n ﹜和﹛y n ﹜，如果lim n →∞x n =A ， lim n →∞y n =B 那么：（1）lim n →∞（x n ±y n ﹚=A ±B（2） lim n →∞x n ·y n =A ·B（3）当n x 0(1,2,3...)B 0lim n n nAy n y B →∞≠=≠=且时， 5.定理5：[][][]00000,00()()lim (),lim (),(),g(x)u ,lim ()lim ()x xu u x x u u y f g x g x g x u f u A x f g x f u Aδ→→→→===∈≠== 设函数是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f 在点x 的某去心邻域内有定义，若且存在x 有则：4.推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小5.推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小6.推论3：如果limf(x)存在,而c 为常数，则：[]lim ()lim ()cf x c f x =7.推论4：如果limf(x)存在，而n 是正整数，则：[][]lim ()lim ()nnf x f x = 二、无穷小的比较处公式：（可根据题干变换x ）11nx 等价于 arcsinx x 等价于 sinx x 等价于211-cos x 2x 等价于 1sec cos x x等价于 tan tx x等价于三、重要极限：0sin lim1x x x →= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭四、零点定理与介值定理：1.零点定理：设函数f(x)在闭区间[a ，b ]上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在开区间﹙a ，b ﹚内至少有一点ξ ，使：f(ξ)=02.介值定理：设函数f(x)在闭区间[a ，b ]上连续，且在这区间的端点取不同的值f （a ）=A f(b)=B,那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间（a,b ） 内至少有一点ξ ，使：f(ξ)=C （a<ξ<b ）第二章 导数与微分总说：这一章可以说是前半本书的重点，它不仅与极限联系，而且与后面的积分息息相关，这章必须融会贯通。
【最新整理，下载后即可编辑】高等数学教材完整一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数一 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N。
⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A 的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
第一章 微积分的基本思想——极限（复习）一、基础知识1. 数列的极限（当n →∞时数列的敛散性态）数列{}n x 收敛，则①极限唯一；②数列整体有界；③数列元素局部保号；④子列也收敛于同一极限。
若数列{},{},{}n n n x y z 从某一项开始满足n n n y x z ≤≤且lim lim n n n n y z a →∞→∞==，则l i m n n x a →∞=（数列的夹逼准则）。
若数列{}n x 单调增加且有上界，或者{}n x 单调减少且有下界，则此数列一定收敛有极限。
（单调有界数列必收敛）。
2．函数的极限（当0 x x x →→∞或时函数的敛散性态）函数0() f x x x x →→∞当（或）收敛于A ，即0lim ()x x f x A →=，则①极限唯一；②函数局部有界；③函数局部保号；④收敛于0x 的任一数列{}n x 构成的函数列{()}n f x 也收敛于同一极限A 。
注意：0lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A +-→→→=⇔==，所以对于分段函数而言有时需要注意讨论左右极限是否存在且相等。
3. 无穷小无穷小的概念（若0lim ()0x x f x →=，则称0()f x x x →是时的无穷小）lim ()(),lim 0.x x x x f x A f x A αα→→=⇔=+=且有限个无穷小的加、减、乘法是无穷小。
有界函数乘以无穷小是无穷小！ 若0, ()x x x αβ→→∞都是时的无穷小，则lim 0lim lim (0)lim 1lim (0)k C k C ββααββααββααββααββαα⎧⇔=⎪⎪⎪⇔=∞⎪⎪⎪⇔=≠⎨⎪⎪⇔=⎪⎪⎪⇔=≠⎪⎩是比高阶的无穷小是比低阶的无穷小是的同阶无穷小与等价是的阶无穷小 4. 极限的求法（1）极限的四则运算（注意必须在极限都存在的前提下，且做除法运算时分母极限不为零） （2）无穷小的概念（已知0()f x x x →是时的无穷小，则0lim ()0x x f x →=）（3）无穷小的运算（有界函数乘以无穷小是无穷小，有限个无穷小的加、减、乘法是无穷小）（4）两个重要极限0sin 1lim1, lim(1)e x x x x x x→→∞=+=可以推广到()()0()sin ()1lim 1, lim (1)e ()()x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ→→∞=+=或者10lim(1)e x x x →+= （5）等价无穷小替换乘除法因子： 0x →时的等价无穷小：12sin , arcsin , tan , arctan ,111cos , (1) 1 , ln(1), e 12xn x x x x x x x x xx x x x x xn-+-~+-一定要注意等价无穷小的使用条件（在无穷小的情况下用且只能对乘除法因子使用！） 要学会相应的推广！即当()0x ϕ→时有sin ()(), ln(1())()x x x x ϕϕϕϕ+等。
高等数学上册复习资料高等数学是大学阶段的一门重要课程，对于理工科学生来说尤为关键。
在高等数学上册中，我们学习了微积分的基本概念和方法，包括极限、导数、积分等。
这些知识点是我们进一步学习和应用数学的基础，因此复习高等数学上册的内容非常重要。
一、极限与连续极限是微积分的核心概念之一。
在复习极限的时候，我们需要掌握极限的定义和性质，包括极限的存在性、唯一性和四则运算法则等。
此外，我们还需要熟悉常见函数的极限计算方法，比如多项式函数、指数函数、对数函数等。
连续是极限的重要应用之一。
在复习连续性的时候，我们需要了解函数连续的定义和判定方法，包括间断点的分类和判定条件。
同时，我们还需要熟悉连续函数的性质和运算法则，比如连续函数的四则运算、复合函数的连续性等。
二、导数与微分导数是微积分的另一个核心概念。
在复习导数的时候，我们需要掌握导数的定义和性质，包括导数的几何意义、导数的四则运算法则和导数的链式法则等。
此外，我们还需要熟悉常见函数的导数计算方法，比如多项式函数、指数函数、对数函数等。
微分是导数的应用之一。
在复习微分的时候，我们需要了解微分的定义和性质，包括微分的几何意义、微分的近似计算和微分的运算法则等。
同时，我们还需要熟悉微分中的常用公式和技巧，比如微分中值定理、泰勒展开等。
三、积分与不定积分积分是微积分的重要组成部分。
在复习积分的时候，我们需要掌握积分的定义和性质，包括定积分和不定积分的概念、积分的线性性质和积分的换元法则等。
此外，我们还需要熟悉常见函数的积分计算方法，比如多项式函数、指数函数、对数函数等。
不定积分是积分的一种特殊形式。
在复习不定积分的时候，我们需要了解不定积分的定义和性质，包括不定积分的线性性质、不定积分的基本公式和不定积分的换元法则等。
同时，我们还需要熟悉不定积分中的常用技巧，比如分部积分法、换元积分法等。
四、常微分方程常微分方程是微积分的一个重要应用领域。
在复习常微分方程的时候，我们需要了解常微分方程的基本概念和分类，包括一阶常微分方程和高阶常微分方程的定义和性质。
高等数学（上）辅导资料七
主 题：第二章 导数与微分1—2节 学习时间：2013年11月11日－11月17日 内 容：
这周我们将学习第二章导数与微分1—2节。
高等数学的主要内容是微积分，微分学则是微积分的重要组成部分。
在这一章里，将利用极限的概念来说明导数的基本概念，研究求函数的导数的方法，并由此解决求初等函数导数的问题。
本章的学习要求及需要掌握的重点内容如下：
1、深刻理解导数定义（含左导和右导）及表示方法，会用导数定义求导数。
2、了解导数的几何意义，会求曲线上一点的切线方程和法线方程
3、深刻理解可导与连续的关系，会判定初等函数的可导性。
4、牢记基本初等函数的导数公式及导数四则运算法则
5、掌握反函数的求导方法
6、掌握复合函数的求导方法 基本概念：导数概念、导数几何意义
知识点：导数的四则运行法则，基本初等函数的求导公式
知识结构图
第一节、导数的概念
一、引例
1、变速直线运动的速度
2、切线问题 二、导数的定义
定义1：设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若
x
y
x x x f x f x x x ∆∆=--→∆→000lim )()(lim
存在，则称函数)(x f 在点0x 处可导，并称此极限为)(x f y =在点0x 的导数。
记作：0
x x y ='；)(0x f '；
x x dx
dy
=；
)(x x dx
x df =
即h
x f h x f x x f x x f x y
x f y h x x x x )()(lim
)()(lim lim
)(000000000-+=∆-∆+=∆∆='='→→∆→∆= 定义2：左导数
00x x 000x /-x -x )
f(x f(x)lim
x )f(x )x f(x lim
(x)f 0-
-=∆-∆+=-→→∆
右导数
00x x 000x /x -x )
f(x f(x)lim
x )f(x )x f(x lim
(x)f 0-=∆-∆+=++
→→∆+
∴
A )(x f )(x f A )(x f 0/
0/-0/==↔=+ 三、导数的几何意义
1、函数)(x f y =在0x x =的导数)(0x f '就是该曲线在0x x =点处的切线斜率
k ，即)(0x f k '=，或αα,tan )(0='x f 为切线的倾角。
从而，得切线方程为))((000x x x f y y -'=-（请记住公式） 若∞=')(0x f 2
π
α=⇒或2
π-
⇒
切线方程为：0x x =
范例解析：
填空题：曲线x e x y +=在点（0,1）处的切线斜率k= 答案：2 解题思路：2)
1(0
=+='
==x x x e y
2、过切点),(00y x P ，且与P 点切线垂直的直线称为)(x f y =在0P 点的法线。
如果0)(0≠'x f ，法线的斜率为)
(1
0x f '-。
如果0)(0='x f ，法线方程为0x x = 范例解析：
计算题：已知曲线5323-+=x x y ，求过点（-1，-3）的切线方程和法线方程。
解：x x y 632+='，由导数的几何意义，曲线在（-1，-3）点的切线的斜率
3631
1-=-='
=-=x y k ，法线斜率3
1112=-
=k k 所以切线方程为)1(33+-=+x y ，即063=++y x
法线方程为)1(3
1
3+=+x y ，即083=--y x
四、函数的可导性与连续性的关系
可导⇔连续。
即可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件。
第二节、函数的求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
(1)若)()()(x v x u x f βα+=，则)(')(')('x v x u x f βα+=(βα,为常数) (2)若)()()(x v x u x f ⋅=，则)(')()()(')('x v x u x v x u x f += 推广：u c cu '=')(
''')'(uvw w uv vw u uvw ++=
(3)若)()
()(x v x u x f =
，0)(≠x v ，2
)]
([)()()()()(x v x v x u x v x u x f '-'=' 二、反函数的求导法则
设)(x f y =为)(y x ϕ=的反函数，若)(y ϕ在0y 的某邻域内连续，严格单调，
且0)(0≠'y ϕ，则)(x f 在0x （即)(0y f 即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。
范例解析：
计算题：求对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 的导数。
解：因为)0(log +∞<<=x x y a 是)(+∞<<-∞=y a x y 的反函数，而y a x =在
),(+∞-∞是单调递增的连续函数，且a a a y y ln )(⋅='，所以
a
x a a x y
y a ln 1
ln 1)a (1)(log =⋅='=
' 特别地，当e a =时，x
x 1
)(ln =' 三、复合函数求导法则
如果)(x u ϕ=在0x x =点可导，且)(u f y =在)(00x u u ϕ==点也可导，那么，
以)(u f y =为外函数，以)(x u ϕ=为内函数，所复合的复合函数))((x f y ϕ=在
0x x =点可导，且
)()(000
x u f dx
dy x x ϕ''==，或)()(]))(([000x u f x f x x ϕϕ''='=。
范例解析：
选择题：设x e y 3-=，则dy 等于（ ） A 、dx e x 3- B 、dx e x 3-- C 、dx e x 33-- D 、dx e x 33-
答案：C
解题思路：dx e x d e e d dy x x x 3333)3()(----=-==
四、初等函数的导数
现将我们已求出的基本初等函数的导数列表如下，作为基本求导公式。
（1）0)(='c
（2）αααα()(1-='x x 为任意实数） （3）a a a x x ln )(=' （4）x x e e =')( （5）a
x x a ln 1
)(log =' （6）x
x 1)(ln =
' （7）x x cos )(sin =' （8）x x sin )(cos -=' （9）x x 2sec )(tan =' （10）x x 2csc )(cot -=' （11）x x x tan sec )(sec =' （12）x x x cot csc )(csc -=' （13）2
11)(arcsin x
x -=
'
（14）2
11)(arccos x
x --='
（15）2
11
)(arctan x x +=
' （16）2
11
)cot (x
x arc +-='。
