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极坐标知识点总结一、极坐标的基本概念1.1 极坐标的引入极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，它由距离和角度两个参数来确定点的位置。
在直角坐标系中，一个点的位置可以用横坐标和纵坐标来表示，而在极坐标系中，则是用半径和角度来表示。
对于一个点P(x, y)，可以用极坐标(r, θ)表示，其中r是点P到原点O的距离，θ是OP与x轴正方向的夹角。
1.2 极坐标系的基本元素极坐标系包括极轴、极角、极径等基本要素。
极轴是平面上一条射线，通常取x轴的正半轴作为极轴，记作θ=0。
点P到极轴的距离r称为极径，点P与极轴的夹角θ称为极角。
1.3 极坐标系与直角坐标系的关系极坐标系与直角坐标系是可以相互转换的。
在直角坐标系中，点P(x, y)可以转换为极坐标(r, θ)的形式，其中r=√(x²+y²)，θ=tan^(-1)(y/x)。
反之，极坐标(r, θ)也可以转换为直角坐标(x, y)的形式，其中x=r*cosθ，y=r*sinθ。
二、极坐标的表示方法2.1 极坐标系的图示表示极坐标系通常用极轴和极角的方式进行图示表示，极轴通常取x轴的正半轴，极角从极轴正半轴开始逆时针旋转。
2.2 极坐标的参数表达对于一个点P(r, θ)，通常用参数方程的形式来表示，即x=r*cosθ，y=r*sinθ。
这种表示方法可以方便地描绘出曲线在极坐标系中的形状。
2.3 极坐标的极径范围在极坐标系中，极径r可以取任意实数，而极角θ通常取一个区间，通常是[0, 2π)，表示半平面θ的取值范围。
三、极坐标的转换方法3.1 极坐标到直角坐标的转换对于一个点P(r, θ)，可以通过r*cosθ和r*sinθ来转换为直角坐标系中的坐标(x, y)，即x=r*cosθ，y=r*sinθ。
这种转换方法可以帮助我们在直角坐标系中描绘出极坐标中的曲线。
3.2 直角坐标到极坐标的转换对于一个点P(x, y)，可以通过√(x²+y²)和tan^(-1)(y/x)来转换为极坐标系中的坐标(r, θ)，即r=√(x²+y²)，θ=tan^(-1)(y/x)。
1的极坐标形式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极坐标形式是一种表达复数的方式，它以一个数的长度（模）和角度（幅角）来描述复数的位置。
通过将复数表示为模和幅角的形式，极坐标形式可以提供更直观且容易理解的描述，尤其在处理一些与角度相关的问题时具有优势。
在极坐标形式中，复数可以表示为z = r(cosθ+ isinθ)，其中r表示模，θ表示幅角。
模r是复数离原点距离的度量，而幅角θ则是以原点为顶点的线段与正实轴的夹角。
通过使用这样的表达方式，我们可以直观地了解复数在平面上的位置以及其与其他复数之间的关系。
极坐标形式的优点之一是它能够简化复数的运算。
复数的加法、减法以及乘法等运算在极坐标形式下更加直观和易于计算。
通过将复数相加或相乘的模和幅角进行简单的运算，我们可以得到结果的极坐标形式，而无需对实部和虚部进行繁琐的计算。
这种简化的运算方式在处理一些复杂的数学问题时非常有用。
此外，极坐标形式还可以方便地描述周期性现象和振荡现象。
对于周期性变化的物理量或函数，通过使用极坐标形式，我们可以直接观察到其振幅和相位角的变化规律，而无需对其进行复杂的数学分析。
这使得极坐标形式在信号处理、电路分析等领域具有广泛的应用。
综上所述，极坐标形式作为一种描述复数位置和运算的方式，具有直观、简化计算和适用于周期性现象的优点。
通过深入理解极坐标形式的特点和应用，我们可以更好地应用它解决实际问题，同时也可以进一步探索并拓展其在数学和工程领域中的潜在应用。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文共分为三个部分进行解析，具体如下：第一部分为引言部分，主要概述了本文的内容和结构，以及文章的目的。
在这一部分中，我们将简要介绍极坐标形式及其优点，并对本文的主要内容进行概述。
第二部分为正文部分，主要讨论了什么是极坐标形式以及其优点。
在2.1部分，我们将详细介绍极坐标形式的定义和表达方式，并探讨其与直角坐标形式的关系。
在2.2部分，我们将重点讨论极坐标形式的优点，包括其简洁、直观、适用于描述圆形和对称性等方面。
极坐标的知识点总结极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，与直角坐标系相对应。
在极坐标中，点的位置由极径和极角表示，极径代表点到原点的距离，极角代表点与正半轴的夹角。
极坐标具有一些独特的性质和应用，下面将逐步介绍极坐标的基本概念、转换公式以及在数学和物理等领域的应用。
一、极坐标的基本概念 1. 极坐标系：极坐标系是由极轴和极角组成的坐标系，其中极轴是由原点O出发的射线，极角是由极轴和射线OP所夹的角度。
2. 极点和极径：极点是极坐标系的原点O，极径是点P到极点O的距离，用r表示。
3.极角：极角是由极轴和射线OP所夹的角度，通常用θ表示，取值范围为0到360度或0到2π弧度。
二、极坐标与直角坐标的转换公式 1. 极坐标到直角坐标的转换： - x = r * cosθ - y = r * sinθ 2. 直角坐标到极坐标的转换： - r = √(x^2 + y^2) - θ = arctan(y / x)三、极坐标的应用 1. 数学中的应用： - 极坐标方程：用极径和极角表示的方程，常用于描述曲线、圆和椭圆等几何图形。
- 极坐标下的微积分：在极坐标下，可以使用极坐标系的雅克比行列式来进行积分运算。
- 极坐标下的曲线积分：极坐标下的曲线积分可以简化对于弧长的计算，常用于求解环形路径上的物理量。
2. 物理中的应用： - 极坐标下的速度和加速度：利用极坐标转换公式，可以将速度和加速度从直角坐标系转换到极坐标系，从而更方便地描述物体的运动状态。
- 极坐标下的力和力矩：在某些情况下，使用极坐标可以更直观地描述物体受力和力矩的情况，尤其是涉及到旋转运动的问题。
总结：极坐标是一种用极径和极角表示点的坐标系统，可以简化某些数学和物理问题的描述和计算。
通过极坐标与直角坐标的转换公式，可以在不同坐标系之间进行转换。
在数学和物理等领域，极坐标具有广泛的应用，如曲线方程、微积分、曲线积分、运动学和动力学等。
了解和掌握极坐标的知识点有助于我们更好地理解和应用相关的数学和物理概念。
类型1：极坐标的概念☯知识清单☯一、极坐标与极坐标系的概念1、极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系。
2、极坐标（1）极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的极径，记为ρ；（2）极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ；（3）极坐标：有序数对()θρ，ρ，叫做点M的极坐标，记为M()θ一般不作特殊说明时，我们认为θρ,0≥可取任意实数。
3、关于极坐标系（1）极坐标系的四要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，四者缺一不可；（2）由极径的意义知ρ>0，当极角θ的取值范围是[)2,0π时，平面上的点(除去极点)与极坐标()θρ，建立一一对应关系，约定极点的极坐标是极径ρ，极角可取任意角；（3）极坐标与直角坐标的重要区别：多值性。
二、求曲线的极坐标方程的步骤：（1）建立适当的极坐标系，设P()θρ，是曲线上任意一点；（2）由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；（3）将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程。
☯典型例题☯例题1：写出点的极坐标1. 如图所示，写出下列各点的极坐标。
.2. 在极坐标系中，作出下列各点。
(2,)6A π，2(6,)3B π-，(1,)3C π，3(4,)4D π-，(4,0)E ，(2.5,)F π.例题2：极坐标的不唯一性与对称性1. 下列各点中与(2,)6π不表示极坐标中同一个点的是（ ）A ．11(2,)6π-B ．13(2,)6πC ．11(2,)6πD ．7(2,)6π- 2. 设点(2,)3A π，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，点A 关于极轴的对称点的坐标是 ；关于直线l 的对称点的坐标是 ；关于极点的对称点的坐标是 。
极坐标知识点摘要：本文旨在详细介绍极坐标系统，包括其定义、基本公式、图形表示以及在数学和物理问题中的应用。
极坐标系统是一个二维坐标系统，其中每个点的位置由一个角度和一个距离来表示，与直角坐标系统中的x 和y坐标不同。
1. 极坐标系统的定义：极坐标系统由一个固定点（极点）和一个固定射线（极轴）定义。
在这个系统中，点的位置由两个数值确定：距离极点的径向距离（r）和从极轴到点的线段与极轴之间的角度（θ）。
2. 极坐标与直角坐标的转换：极坐标（r, θ）可以通过以下公式转换为直角坐标（x, y）：\[ x = r \cos(\theta) \]\[ y = r \sin(\theta) \]反之，直角坐标（x, y）也可以转换为极坐标（r, θ）：\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \]\[ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \]其中，θ的值根据x和y的符号在不同的象限内确定。
3. 极坐标的图形表示：在极坐标图中，所有的点都通过极点，并以极轴为参考轴。
图形的方程通常以r为函数，形式为r = f(θ)。
4. 极坐标的基本公式：极坐标系统中的一些基本公式包括：- 圆的方程：r = a (其中a为常数，表示圆的半径)- 直线的方程：θ = α（其中α为常数，表示与极轴的夹角）5. 极坐标的应用：极坐标在解决某些类型的数学和物理问题时非常有用，例如：- 描述圆、螺旋和其他对称图形- 解决波动和振动问题- 在天文学中描述星体的位置6. 极坐标的图形示例：以下是几个极坐标图形的例子：- 单位圆：r = 1- 螺旋线：r = a + bθ (其中a和b为常数)- 玫瑰线：r = a cos(kθ) 或 r = a sin(kθ) (其中k为常数)结论：极坐标系统是一个强大的工具，特别是在处理涉及角度和距离的问题时。
通过理解其基本公式和性质，我们可以有效地解决各种数学和物理问题。
极坐标角度范围-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极坐标是一种表示平面点的坐标系，它与我们通常所使用的直角坐标系有所不同。
在直角坐标系中，一个点的位置可以由横坐标和纵坐标来确定，而在极坐标系中，点的位置则由它与原点的距离和与固定方向的夹角来确定。
在极坐标中，夹角是一个重要的概念。
它决定了点的位置相对于原点方向的角度。
然而，与直角坐标系不同，极坐标中的角度表示方式具有一定的特殊性，即角度范围的限制。
本文将重点讨论极坐标角度范围的意义和重要性。
了解极坐标角度范围的意义，有助于我们更好地理解极坐标系的特性和使用方法。
同时，对极坐标角度范围的进一步研究也有助于拓展其应用领域，并为相关领域的研究提供参考和支持。
接下来的章节将对极坐标的基本概念进行简要介绍，并详细阐述极坐标角度的定义以及其范围的意义。
通过深入探讨极坐标角度范围的重要性，我们将能够更好地理解其在数学、物理以及其他学科中的应用。
最后，本文将总结极坐标角度范围的重要性，并展望未来可能的研究方向。
在接下来的章节中，我们将探讨具体的内容。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织结构和内容安排。
通过明确的文章结构，读者可以清楚地了解文章的整体思路和论述框架，有助于读者更好地理解文章的内容和逻辑关系。
文章结构部分可以首先简要介绍文章的总体框架，包括引言部分、正文部分和结论部分。
其中，引言部分主要是为读者提供背景信息和总体概述，引导读者进入主题；正文部分是文章的核心内容，主要论述极坐标角度范围的基本概念、定义和意义等内容；结论部分则对文章进行总结，强调极坐标角度范围的重要性，并展望进一步研究的方向。
接下来，可以具体介绍每个部分的内容和主要论述点。
引言部分的内容可以包括概述极坐标的相关知识和应用背景，以及本文的研究目的和重要性等。
正文部分可以分为多个小节，每个小节详细介绍极坐标角度的基本概念、定义和范围的意义等内容，可以逐步展开论述，引用相关理论和实例加以说明。
极坐标的基本公式极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用极径和极角来表示点的位置。
极径表示点到原点的距离，而极角表示点与正半轴的夹角。
在极坐标系统中，点的坐标可以用一个有序对(r, θ)来表示，其中r是极径，θ是极角。
极坐标的基本公式是通过将直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标系中的坐标来得到的。
这个公式可以用来计算点在极坐标系中的坐标，也可以用来将极坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标。
要将直角坐标系中的点的坐标(x, y)转换为极坐标系中的坐标(r, θ)，可以使用以下公式：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，√表示平方根，arctan表示反正切函数。
这个公式可以通过计算点到原点的距离和点与正半轴的夹角来得到点在极坐标系中的坐标。
同样地，要将极坐标系中的坐标(r, θ)转换为直角坐标系中的坐标(x, y)，可以使用以下公式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，cos表示余弦函数，sin表示正弦函数。
这个公式可以通过计算极径和极角对应的直角坐标来得到点在直角坐标系中的坐标。
极坐标的基本公式是极坐标系和直角坐标系之间的桥梁，它使我们能够在不同的坐标系中描述点的位置。
通过这个公式，我们可以方便地进行坐标的转换和计算。
总结一下，极坐标的基本公式包括将直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标系中的坐标的公式，以及将极坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标的公式。
这些公式为我们在不同的坐标系中描述点的位置提供了便利，使我们能够更加灵活地进行计算和分析。
希望通过本文的介绍，读者能够对极坐标的基本公式有一个更加清晰的理解，并能够灵活运用这些公式进行问题的求解和分析。
极坐标的基本公式是数学中的重要工具，它在物理、工程、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
通过深入学习和理解这些公式，我们可以更好地掌握相关领域的知识和技能，为实际问题的解决提供有力的支持。
- 245 -附录1 极坐标一、极坐标系在平面内取定一点O ，叫做极点．从O 引一条射线O x ， 叫做极轴．并取定一个长度单位和计算角度的正方向(通常 取逆时针方向)． 这样建立的坐标系叫做极坐标系(见图1)． 事实上，极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置的一种坐标系．图1二、极坐标设M 是平面内任意一点，用r 表示线段OM 的长度，θ 表示从O x 到OM 的角度，r 叫做M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（r ，θ ）叫做点M 的极坐标．M 在极点时，极径r =0，极角θ可取任意值．r 的值可扩展到任意实数． 在极坐标系中，给定r ，θ，则有惟一的点以（r ，θ ）为极坐标；反之，对于平面上确定的点，与它对应的极坐标并不惟一． 一般地，如果（r ，θ ）是一个点的极坐标，则(r ，θ +2n π )， n ∈Z 也可作为它的极坐标．但如果限定r ＞0，0≤ θ ＜2π ， 那么，除极点外，平面上的点和极坐标就可一一对应． 本 书中，若无特别声明， 均指r ≥0．例1 在极坐标系中分别画出点(4)4A π，，B(1，π )，5(5.53C π，．解 见图2．图2三、极坐标与直角坐标的互换将平面直角坐标系的原点取作极点，x 轴的正半轴 取作极轴，并且取相同的单位长度建立极坐标系，则平 面内一个点M 的极坐标为（r ，θ），直角坐标为（x ，y ） (见图3)，它们之间通过如下关系可互换：cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，． 图 3- 246 -或tan r yx θ⎧=⎪⎨=⎪⎩．四、曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互换应用上面的关系式，可将平面曲线方程的两种坐标形式进行互换． 例2 (1) 将22220x y ax ay +−−=化为极坐标方程；(2) 指出方程 sin()1r αθ−=（α是常数）表示什么曲线?解 (1 ) 2222cos sin 2cos 2sin 0r r ra ra θθθθ+−−=，即2(cos sin )r a θθ=+． (2 ) 因 (sin cos cos sin )1,r αθαθ−=所以，sin cos 1,x y αα−=故方程 sin()1r αθ−=表示的曲线为直线．五、几种比较常见的极坐标和参数方程的图形（1）圆 r a = （2）圆 2cos r a θ= （3）圆 2sin r a θ=（4）直线θα= （5）直线cos r a θ= （6）直线sin r a θ=- 247 -（7）心脏线(1cos )r a θ=+ （8）双纽线22cos 2r a θ= （9）三叶玫瑰线cos3r a θ=（10）四叶玫瑰线cos 2r a θ= （11）阿基米德螺线r a θ= （12）对数螺线a r e θ=（13）旋轮线 (sin )(1cos )x a t t y a t =−⎧⎨=−⎩ （14）星形线33cos sin x a t y a t⎧=⎨=⎩附录2 复 数一、复数的概念定义1 对任意两实数a 、b ， 称 z=a +bi 为复数，其中i 满足21i =−称为虚数单位． a ， b 分别称为z 的实部和虚部，记作a =Re(z )，b = Im(z ) ． 虚数单位i 可以参加数的四- 248 -则运算，与实数满足相同的运算律．易见一个复数z=a +bi 与一对有序实数 (a ，b )一一对应， 这样复数z=a +bi 可用平面直角坐标系中坐标为(a ，b )的点P 来表示（见图4），O x 轴称为实轴，O y 轴称为虚轴，坐标平 面称为复平面， 点P (a ，b ) 是复数z a bi =+对应的点．由 此，复数全体与复平面上点的全体成一一对应．定义2 向量OP JJJ G的长度r 称为复数z=a +bi 的模（绝对值），记作z =OP JJJ G与正实轴所成的角θ称为复数 图 4z a bi =+的辐角，记作arg z ，规定其取值范围是)02π⎡⎣，，辐角满足tan(arg )bz a=．二、复数的三种表示1 代数形式 z a bi =+．2 三角形式 (cos sin )z r i θθ=+．3 指数形式 i z re θ=三角形式由关系cos sin a r b r θθ==，导出，指数形式由Euler 公式cos sin i e i θθθ=+导出．三、复数的代数运算定义3 两复数111z a ib =+，222z a ib =+的和、差、积和商分别为121212()()z z a a i b b ±=+±±． 1212121221)()(z z a a b b i a b a b =−++． 112122112222222222z a a b b a b a b i z a b a b +−=+++ (20z ≠)． 复数的运算满足交换律、结合律、分配律（与实数运算规律相同）．四、共轭复数定义4 实部相同而虚部绝对值相等正负号相反的两个复数称为共轭复数， z a bi =+的共轭复数记作z a bi =−．共轭复数有以下性质：（1）1212()z z z z ±=±， 1212()z z z z =， 1122()z zz z =．- 249 -(2) 2222Re()Im()zz z b z a =+=+． (3) 2Re(), 2Im()z z z z z i z +=−=． (4) z z =．附录3 二阶、三阶行列式一、 二阶、三阶行列式的定义定义1 已知四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的正方形数表 11122122a a a a ⎛⎞⎜⎟⎝⎠，称为一个22×的矩阵，则代数和11221221a a a a −称为对应这个数表的二阶行列式，记作11122122a a a a ． 定义 2 已知九个数排成三行三列的正方形数表111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠，称为一个33×的矩阵，则代数和112233122331132132a a a a a a a a a ++112332122133132231a a a a a a a a a −−−称为对应这个数表的三阶行列式，用记号111213212223313233a a a a a a a a a 表示 ． 二、二阶、三阶行列式的计算1 对角线法则1112112212212122.a a a a a a a a =− （1）=112233122331132132112332122133132231a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++−−−．（2）111213212223313233a a a a a a a a a- 250 -注意 数表中每个数称为行列式的元素；对角线法则中，实线上三元素的乘积冠以正号， 虚线上三元素的乘积冠以负号；行列式是一个数．2 按一行(或列)展开法1112132122212212223111213313221313233a a a aa aa a a a a a a a a a a a a a a a a a =+22３２３３33３33－ （按第一行展开） （3） 111211212223313221a a a a aa a a a a a a a a a =−+−1２1３1３３33３33（按第二行展开） 11111231323322212122a a aa aa a a a a a a a a a =−+1２1３1３2３2３（按第三行展开） 类似地可按列展开．三、用行列式解线性方程组二元一次方程组 111222,a xb y d a x b y d +=⎧⎨+=⎩的解为(0)y xD D x y D D D==≠，， （4） 其中 1122a b D a b =，1122x d b D d b =，1122y a d D a d =． 三元一次方程组 111122223333,,a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解为(0)y x z D D D x y z D D D D===≠，，， （5）其中 111213212223313233a a a D a a a a a a =，112132222333233x c a a D c a a c a a =，111132122331333y a c a D a c a a c a =，111212122231323z a a c D a a c a a c =． D 称为相应线性方程组的系数行列式． 当0D =时，方程组无解或有无穷多组解．例1 求解二元一次方程组11230,37520.x y x y −+=⎧⎨+−=⎩ 解 1128337D −==，3283527x D −−==，113581352x D −==，由（4）得- 251 -5811783y xD D x y D D =====，． 例2 求解三元一次方程组2432203421x y z x y z x y z +−=⎧⎪−++=⎨⎪−+−=⎩，，．解 12421212222112(4)423234342D −−−=−=⋅−⋅+−⋅−−−−−−1(8)27(4)(2)14=⋅−−⋅+−⋅−=−32421010202132(4)14421214142x D −==⋅−⋅+−⋅=−−−−，同理 134********y D −=−=−−−， 1232200341z D =−=−．由（5）得110y x z D D D x y z D D D======，，．附录4 常用积分公式4．1 常用不定积分公式4．1．1 基本积分公式1． 1d d x x x C ==+∫∫ 2． )1(11d 1−≠++=∫+μμμμC x x x3． C x x x+=∫||ln d 14． C a ax a xx +=∫ln 1d5． C x x x +=∫e d e- 252 -6． ∫+=C x x x sin d cos 7． ∫+−=C x x x cos d sin 8． ∫∫+==C x x x x x tan d sec d cos 1229． ∫∫+−==C x x x x xcot d csc d sin 12210． ∫+=C x x x x sec d tan sec11． csc cot cs d c x x x x C =−+∫ 12． )arccos (arcsin 1d 2C x C x xx +−+=−∫或13． )cot arc (arctan 1d 2C x C x x x+−+=+∫或4．1．2 简单有理函数的积分（其中0>a ）1． C b ax ax b ax ++=+∫||ln 1d 1 2． )1()()1(1)(1−≠+++=++∫μμμμC b ax a dx b ax3．C a x aa x dx +=+∫arctan122 4．∫∫−−+−−++−=+1222122222)()1(232)()1(2)(n n n a x dxa n n a x a n x a x dx 5．C a x ax a ax dx ++−=−∫ln 2122 6． C bx a x an x bx a x n n n ++=+∫ln 1d )(1 7． C x a ax aax x a ax x a x a dx +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−++=+∫2222223442arctan 222ln 241- 253 -8． C a x a x a x a x a dx +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−+=−∫arctan 2ln 413444．1．3 简单无理函数的积分（其中0>a ）1．C a x x a x dx +++=+∫)ln(22222．C a x x a x dx +−+=−∫2222ln3． C axx a dx +=−∫arcsin22 4． C a x x a a x x dx a x +++++=+∫)ln(2222222225． C a x x a a x x dx a x +−+−−=−∫||ln 2222222226．C a x a x a x dx x a ++−=−∫arcsin 22222227．C x a a x a a x dx x a x +−+++=+∫||ln 222222 8．C x aa a x dx x a x +−−=−∫||arccos 2222 9．C x x a a a x a dx x x a +−−+−=−∫||ln 222222 10． C x a a x a ax x dx+−+=+∫||ln 1222211．C x aaa x xdx +=−∫||arccos 12212． C x x a a a xa x dx+−−=−∫||ln 12222- 254 -13．C b x a x a b b x ax b x dx b x a x +−+−−+−−−=−−∫)||||ln()()( 14．C a b a x a b x b a x b x dx xb ax +−−−+−−−=−−∫arcsin)()( 15．)(arcsin2))((b a C ab ax x b a x dx <+−−=−−∫16．)(arcsin 4)())((42))((2b a C ab ax a b x b a x b a x dx x b a x <+−−−+−−−−=−−∫4．1．4 含有三角函数、反三角函数的积分（其中0>a ）1． ∫+−=C x xdx |cos |ln tan ． 2． ∫+=C x xdx |sin |ln cot 3． ∫++=C x x xdx |tan sec |ln sec 4． ∫+−=C x x xdx |cot csc |ln csc5． ∫+−=C x x xdx 2sin 412sin 2 6． ∫++=C x x xdx 2sin 412cos 27． ∫∫−−−+−=dx x n n x x nxdx n n n 21sin 1cos sin 1sin8． ∫∫−−−+=dx x n n x x nxdx n n n 21cos 1sin cos 1cos9． ∫+−−−++−=C x b a b a x b a b a bxdx ax )cos()(21)cos()(21cos sin10． ∫+−−+++−=C x b a b a x b a b a bxdx ax )sin()(21)sin()(21sin sin11． ∫+−−+++=C x b a b a x b a b a bxdx ax )sin()(21)sin()(21cos cos- 255 -12． ∫+−=C ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2 13． ∫++=C ax x a ax a axdx x sin 1cos 1cos 2 14． C x a a xx dx a x+−+=∫22arcsin arcsin 15． C x a x a x a x dx a x x +−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∫22224arcsin 42arcsin 16． C x a a x x dx a x +−−=∫22arcsin arccos 17． Cx a xa xa x dx a x x +−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∫22224arccos 42arccos 18． C x a aa xx dx a x++−=∫)ln(2arctan arctan 22 19． C x aa xx a dx a xx +−+=∫2arctan )(21arctan 22 20． C xx dx +⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=+∫24πtan sin 1 21． C x x dx+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−∫24πcot sin 1 22． C xx dx+=+∫2tan cos 1 23． C xx dx+−=−∫2cot cos 14．1．5 含有指数函数、对数函数的积分 1． C e a dx e ax ax +=∫12． C e ax a dx xe axax +−=∫)1(12 3． dx e x a n e x a dx e x axn ax n ax n ∫∫−−=11 4． C bx b bx a e b a bxdx e axax +−+=∫)cos sin (1sin 22 5． C bx a bx b e b a bxdx e axax +++=∫)cos sin (1cos 22- 256 - 6． C x x x xdx +−=∫ln ln 7． C x dx xx +=∫|ln |ln ln 1 8． C n x x n xdx x n n +⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−+=∫+11ln 11ln 1 9． ∫∫−−=dx x n x x dx x n n n 1)(ln )(ln )(ln 10． ∫∫−++−+=dx x x m n x x m dx x x n m n m n m 11)(ln 1)(ln 11)(ln4．2 常用定积分公式1． ∫∫−⎪⎩⎪⎨⎧=a a a x f dx x f x f dx x f .)(,)(2)(,0)(0为偶函数为奇函数， 2． 2200(sin ,cos )(cos ,sin )ππf x x dx f x x dx =∫∫ 3． π200(sin )2(sin )πf x dx f x dx =∫∫4． π2000π(sin )(sin )π(sin )2πxf x dx f x dx f x dx π==∫∫∫ 5． 2002sin cos ππn n n I xdx xdx ==∫∫ 1201342(1)I 112531331ππ()I 24222n n n n n n n n I I n n n n n n −−−⎧⋅⋅⋅⋅=⎪−⎪−==⎨−−⎪⋅⋅⋅⋅⋅=⎪−⎩""为大于的正奇数，为正偶数， 6． ))(()()(0的周期函数是周期为T x f dx x f dx x f T T a a ∫∫+=。
