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高考数学 三角函数及三角恒等变换第二节 三角函数的图象和性质及三角恒等变换第一部分 六年高考荟萃2010年高考题一、选择题1.（2010全国卷2理）（7）为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像（A ）向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位【答案】B【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移. 【解析】sin(2)6y x π=+=sin 2()12x π+，sin(2)3y x π=-=sin 2()6x π=-，所以将sin(2)6y x π=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3y x π=-的图像，故选B.2.（2010陕西文）3.函数f (x )=2sin x cos x 是(A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数【答案】C解析：本题考查三角函数的性质f (x )=2sin x cos x=sin2x ，周期为π的奇函数3.（2010辽宁文）（6）设0ω>,函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是 （A ）23 （B ） 43 （C ） 32（D ） 3 【答案】 C解析：选C.由已知，周期243,.32T ππωω==∴=4.（2010辽宁理）（5）设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（A ）23 (B)43 (C)32(D)3 【答案】C【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度。
【解析】将y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后为4sin[()]233y x ππω=-++4sin()233x πωπω=+-+，所以有43ωπ=2k π,即32k ω=，又因为0ω>，所以k ≥1,故32k ω=≥32，所以选C5.（2010重庆文）（6）下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是（A ）sin(2)2y x π=+ （B ）cos(2)2y x π=+ （C ）sin()2y x π=+ （D ）cos()2y x π=+ 【答案】 A解析：C 、D 中函数周期为2π，所以错误 当[,]42x ππ∈时，32,22x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，函数sin(2)2y x π=+为减函数而函数cos(2)2y x π=+为增函数，所以选A6.（2010重庆理）（6）已知函数()sin (0,)2y x πωϕωϕ=+><的部分图象如题（6）图所示，则 A. ω=1ϕ= 6π B. ω=1 ϕ=- 6π C. ω=2ϕ= 6π D.ω=2 ϕ= -6π解析：2=∴=ϖπT Θ 由五点作图法知232πϕπ=+⨯，ϕ= -6π 7.（2010山东文）（10）观察2'()2x x =，4'3()4x x =，'(cos )sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（A ）()f x (B)()f x - (C) ()g x (D)()g x - 【答案】D8.（2010四川理）（6）将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是 （A ）sin(2)10y x π=-（B ）sin(2)5y x π=- （C ）1sin()210y x π=- （D ）1sin()220y x π=-解析：将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，所得函数图象的解析式为y ＝sin (x －10π) 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210y x π=-.【答案】C9.（2010天津文）（8）5y Asin x x R 66ππωϕ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点(A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (B) 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 (D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。
§4.4三角恒等变换考纲解读分析解读 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.五年高考考点一两角和与差的三角函数公式1.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-B.C.-D.答案 D2.(2014课标Ⅰ,8,5分)设α∈,β∈,且tan α=,则( )A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=答案 C3.(2017某某,5,5分)若tan=,则tan α=.答案4.(2013课标全国Ⅰ,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=.答案-5.(2016某某,15,14分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.解析(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B===.由正弦定理知=,所以AB===5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin B·sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A==.因此,cos=cos Acos+sin Asin=-×+×=.教师用书专用(6—13)6.(2015某某,9,5分)若tan α=2tan ,则=()A.1B.2C.3D.4答案 C7.(2013某某,9,5分)4cos 50°-tan 40°=()A. B.C. D.2-1答案 C8.(2015某某,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为.答案 39.(2015某某,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是.答案10.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为.答案 111.(2013课标全国Ⅱ,15,5分)设θ为第二象限角,若tan=,则sin θ+cos θ=.答案-12.(2014某某,15,14分)已知α∈,sin α=.(1)求sin的值;(2)求cos的值.解析(1)因为α∈,sin α=,所以cos α=-=-.故sin=sincos α+cossin α=×+×=-.(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××=-,cos 2α=1-2sin2α=1-2×=,所以cos=coscos 2α+sinsin 2α=×+×=-.13.(2014某某,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f=0, f(π)=1,求a,θ的值.解析(1)f(x)=sin+cos=(sin x+cos x)-sin x=cos x-sin x=sin,因为x∈[0,π],从而-x∈.故f(x)在[0,π]上的最大值为,最小值为-1.(2)由得由θ∈知cos θ≠0,解得考点二二倍角公式1.(2016课标全国Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin 2α=()A. B. C.- D.-答案 D2.(2016某某,11,5分)cos2-sin2=.答案3.(2016某某,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案;1教师用书专用(4)4.(2013某某,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan 2α=()A. B. C.- D.-答案 C三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一两角和与差的三角函数公式1.(2018某某某某模拟,7)下列各式中,值为的是( )A.sin 15°cos 15°B.cos2-sin2C. D.答案 D2.(2017某某冀州第二次阶段考试,8)(1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是()C.2D.答案 C3.(2016某某某某重点中学期中,3)已知α∈,β∈,tan α=,则()A.α+β=B.α-β=C.α=2βD.β=2α答案 D考点二二倍角公式4.(2018某某实验中学模拟,6)已知sin 2a=,则cos2=( )A. B. C. D.答案 A5.(2017某某抚州七校高三上学期联考,6)若sin=,则tan=( )A. B.± C. D.±答案 D6.(2018某某某某武进期中,8)已知锐角α的终边上一点P(1+cos 80°,sin 80°),则锐角α=.答案40°7.(2017某某某某一模,15)化简:=.答案2sin αB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018某某某某重点高中联考,9)已知tan(α+β)=2,tan β=3,则sin 2α=()A. B. C.- D.-答案 C2.(2018某某永州祁阳二模)已知tan=,则cos2=( )A. B. C. D.答案 B3.(2018某某八校第一次联考,10)已知3π≤θ≤4π,且+=,则θ=()A.或B.或C.或D.或答案 D4.(2017某某某某二模,8)若cos=,则cos的值为( )C. D.-答案 A5.(2017某某某某二模,9)若tancos=sin-msin,则实数m的值为( )A.2B.C.2D.3答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)6.(2018某某五十校教改共同体联考,15)若α∈,且cos 2α=sin,则tan α=.答案7.(2017某某某某中学第三次调研,14)若tan α+=,α∈,则sin+2coscos2α=.答案0三、解答题(共10分)8.(2018某某某某重点高中联考,17)已知f(x)=sin 2x+cos 2x-1.(1)若f(x)=-3,求tan x;(2)若θ∈, f(θ)=,求sin 2θ的值.解析(1)f(x)=2sin-1,当f(x)=-3时,有sin=-1,所以2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z.故tan x=-.(2)因为f(θ)=2sin-1=,所以sin=.因为θ∈,所以2θ+∈,所以cos=-,故sin 2θ=sin=sincos-co s·sin=×-×=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 三角函数的化简与求值问题1.(2017某某新联考四模,6)=( )A. B. C. D.1答案 A2.(2017某某百校联盟4月联考,8)已知α为第二象限角,且tan α+tan=2tan αtan-2,则sin等于( )A.-B.C.-D.答案 C3.(2018某某某某四校协作体联考,14)化简:-=.答案 4方法2 利用辅助角公式解决问题的方式4.(2016东城期中,8)函数y=cos2+sin2-1是( )A.周期为的函数B.周期为的函数C.周期为π的函数D.周期为2π的函数答案 C5.(2018某某某某联合体学校调研测试,8)函数f(x)=sin·sin的最小正周期为.答案2π6.(2017某某冀州第二阶段考试,17)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x+sinsin.(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)若x=x0为f(x)的一个零点,求cos 2x0的值.解析(1)f(x)=sin2x+2sin xcos x+sin·sin=sin2x+sin 2x+(sin x+cos x)·(sin x-cos x)=+sin 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x+=2sin+,所以f(x)的最小正周期为π,因为2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,所以kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.(2)由题意知f(x0)=2sin+=0,∴sin=-.因为0≤x0≤,所以-≤2x0-≤,又sin<0,所以-≤2x0-<0,所以cos=,所以cos 2x0=cos=×+×=.。
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。
三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos 2θ+sin 2θ=tanx ·cotx=tan45°等。
（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：sin 2x+2cos 2x=(sin 2x+cos 2x)+cos 2x=1+cos 2x ；配凑角：α=（α+β）－β，β=2βα+－2βα-等。
（3）降次与升次。
（4）化弦（切）法。
（4）引入辅助角。
asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+ϕ)，这里辅助角ϕ所在象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan ϕ=ab确定。
1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 解：因为2cos sin tan ==xxx ，又sin 2x ＋cos 2x =1， 联立得⎩⎨⎧=+=，1cos sin cos 2sin 22x x xx 解这个方程组得.55cos 552sin ,55cos 552sin ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==x x x x 2．求)330cos()150sin()690tan()480sin()210cos()120tan(----的值．解：原式)30360cos()150sin()30720tan()120360sin()30180cos()180120tan(o--+---++-= .3330cos )150sin (30tan )120sin )(30cos (60tan -=---=3．若,2cos sin cos sin =+-xx xx ，求sin x cos x 的值．解：法一：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，得到sin x =－3cos x ，又sin 2x ＋cos 2x =1，联立方程组，解得 ，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==1010cos 10103sin 1010cos 10103sin x x x x 所以⋅-=103cos sin x x 法二：因为,2cos sin cos sin =+-xx xx 所以sin x －cos x =2(sin x ＋cos x )，所以(sin x －cos x )2=4(sin x ＋cos x )2， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有⋅-=103cos sin x x 4．求证：tan 2x ·sin 2x =tan 2x －sin 2x ．证明：法一：右边＝tan 2x －sin 2x =tan 2x －(tan 2x ·cos 2x )=tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x ·sin 2x ，问题得证． 法二：左边=tan 2x ·sin 2x =tan 2x (1－cos 2x )=tan 2x －tan 2x ·cos 2x =tan 2x －sin 2x ，问题得证． 5．求函数)6π2sin(2+=x y 在区间[0，2π ]上的值域． 解：因为0≤x ≤2π，所以,6π76π26π,π20≤+≤≤≤x x 由正弦函数的图象， 得到],1,21[)6π2sin(-∈+x所以y ∈[－1，2]． 6．求下列函数的值域．(1)y ＝sin 2x －cos x +2； (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )． 解：(1)y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos 2x ＋cos x )＋3，令t =cos x ，则,413)21(413)21(3)(],1,1[222++-=++-=++-=-∈t t t t y t利用二次函数的图象得到].413,1[∈y (2)y ＝2sin x cos x －(sin x ＋cos x )=(sin x ＋cos x )2－1－(sin x ＋cos x )，令t =sin x ＋cos x 2=，)4πsin(+x ，则]2,2[-∈t 则，,12--=t t y 利用二次函数的图象得到].21,45[+-∈y7．若函数y =A sin(ωx +φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为)2,2(，它到其相邻的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为)2,2(，得到2=A ，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是41个周期，这样求得44=T ，T =16，所以⋅=8πω又由)28πsin(22ϕ+⨯=，得到可以取).4π8πsin(2.4π+=∴=x y ϕ8．已知函数f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin 4x ．(Ⅰ)求f (x )的最小正周期； (Ⅱ)若],2π,0[∈x 求f (x )的最大值、最小值． 数xxy cos 3sin 1--=的值域．解：(Ⅰ)因为f (x )=cos 4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin2x )4π2sin(2)24πsin(22sin 2cos 2sin )sin (cos 22--=-=-=--=x x x x x x x所以最小正周期为π．(Ⅱ)若]2π,0[∈x ，则]4π3,4π[)4π2(-∈-x ，所以当x =0时，f (x )取最大值为;1)4πsin(2=--当8π3=x 时，f (x )取最小值为.2-1． 已知2tan =θ，求（1）θθθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ22cos 2cos .sin sin +-的值.解：（1）2232121tan 1tan 1cos sin 1cos sin 1sin cos sin cos --=-+=-+=-+=++θθθθθθθθθ； (2) θ+θθ+θθ-θ=θ+θθ-θ222222cos sin cos 2cos sin sin cos 2cos sin sin 324122221cos sin 2cos sin cos sin 222-=++-=+θθ+θθ-θθ=. 说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过程简化。
