华师大九上教案第22章22.2.4 一元二次方程的应用
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第22章一元二次方程22.1 一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义,能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中,使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题,把实际问题转化为数学模型,引入一元二次方程的概念,让学生认识一元二次方程及其相关概念,提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后,还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入,初步认识问题1 绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?【分析】设长方形绿地的宽为x米,不难列出方程x(x+10)=900,整理可得x2+10x-900=0.(1)问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解:设这两年的年平均增长率为x,我们知道,去年年底的图书数是5万册,则今年年底的图书数是5(1+x)万册,同样,明年年底的图书数又是今年年底的(1+x)倍,即5(1+x)·(1+x)=5(1+x)2万册.可列得方程5(1+x)2=7.2,整理可得5x2+10x-2.2=0(2)【教学说明】教师引导学生列出方程,解决问题.二、思考探究,获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2).显然,这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里?它们有什么共同特点呢?共同特点:(1)都是整式方程(2)只含有一个未知数(3)未知数的最高次数是2【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式:ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数,a≠0).其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数,bx叫做一次项系数,c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程:解:①是;②不是;③是;④不是;⑤不是;⑥是.【教学说明】(1)一元二次方程为整式方程;(2)类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13x+11=0;2,-13,11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.三、运用新知,深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.(1)5x2-1=4x(2)4x2=81(3)4x(x+2)=25(4)(3x-2)(x+1)=8x-3解:(1)5x2-4x-1=0;5,-4,-1;(2)4x2-81=0;4,0,-81(3)4x 2+8x-25=0;4,8,-25(4)3x 2-7x+1=0;3,-7,1.2.根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x ;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x ;(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x.解:(1)4x 2=25;4x 2-25=0;(2)x (x-2)=100;x 2-2x-100=0;(3)x=(1-x )2;x2-3x+1=0.3.若x=2是方程ax 2+4x-5=0的一个根,求a 的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.∴4a+8-5=0解得:a=-43. 四、师生互动,课堂小结1.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0(a ≠0),一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中,体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b(a≠0,ab≥0)的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境,综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程,激发求知的欲望,体验求知的成功,增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入,初步认识问:怎样解方程(x+1)2=256?解:方法1:直接开平方,得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2:原方程可变形为:(x+1)2-256=0,方程左边分解因式,得(x+1+16)(x+1-16)=0 即(x+17)(x-15)=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法,教师板书.二、思考探究,获取新知例1 用直接开平方法解下列方程(1)(3x+1)2=7;(2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程时,最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程:(1)5x2-4x=0(2)3x(2x+1)=4x+2(3)(x+5)2=3x+15【教学说明】解这里的(2)(3)题时,注意整体划归的思想.三、运用新知,深化理解1.用直接开平方法解下列方程(1)3(x-1)2-6=0(2)x2-4x+4=5(3)(x+5)2=25(4)x2+2x+1=42.用因式分解法解下列方程:3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2=π(x+5)2.=5+52,x2=5-52(舍去).解得x1答:小圆形场地的半径为(5+52)m.【教学说明】可由学生自主完成例题,分小组展示结果,教师点评.四、师生互动,课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a(x-k)2=b(a≠0,b≥0)的方程,只要把(x-k)看作一个整体,就可转化为x2=n(n≥0)的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式(单项式或多项式)时,切不可约去相同因式,而应用因式分解法解.1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想,掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程,让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦,并体验数学的价值,增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入,初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽分别是多少?设场地的宽为xm,则长为(x+6)m,根据矩形面积为16m2,得到方程x(x+6)=16,整理得到x2+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境,让学生感受到生活中处处有数学,激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究,获取新知探究如何解方程x2+6x-16=0?问题1 通过上节课的学习,我们现在会解什么样的一元二次方程?举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆,明确我们现在会解的一元二次方程的特点:等号左边是一个完全平方式,右边是一个非负常数,即(x+m)2=n(n ≥0),运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗?(1)(x+3)2=25(2)x 2+6x+9=25(3)x 2+6x=16(4)x 2+6x-16=0【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式,将x 2+6x-16=0转化为(x+3)2=25的形式,从而求得方程的解.解:移项得:x2+6x=16,两边都加上9即(26)2,使左边配成x 2+bx+(b2)2的形式,得: x 2+6x+9=16+9,左边写成完全平方形式,得:(x+3)2=25,开平方,得:x+3=±5,(降次)即x+3=5或x+3=-5解一次方程得:x 1=2,x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,从而可以直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空:(1)x 2+8x+16=(x+4)2(2)x 2-x+41=(x-21)2 (3)4x 2+4x+1=(2x+1)2例2 列方程:(1)x 2+6x+5=0 (2)2x 2+6x+2=0 (3)(1+x )2+2(1+x )-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题,小组展示,教师点评归纳.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0;(2)把常数项移到方程的右边;(3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方形式,然后利用直接开平方法来解.三、运用新知,深化理解1.用配方法解下列方程:(1)2x 2-4x-8=0(2)x 2-4x+2=0(3)x 2-21x-1=0 2.如果x 2-4x+y2+6y+2 z +13=0,求(xy )z 的值.【教学说明】学生独立解答,小组内交流,上台展示并讲解思路.四、师生互动,课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.3.公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程,引导学生推导出求根公式,使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程,培养学生抽象思维能力,渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入,初步认识用配方法解方程:(1)x2+3x+2=0 (2)2x2-3x+5=0解:(1)x1=-1,x2=-2 (2)无解二、思考探究,获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成具体数字,根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子a acbbx24 2-±-=就得到方程的根,当b2-4ac<0时,方程没有实数根.(2)a acbbx24 2-±-=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式,体验获取知识的过程,体会成功的喜悦,可让学生小组展示.例1 用公式法解下列方程:①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2③(x-2)(3x-5)=0 ④4x2-3x+1=0解:①x1=1+26,x2=1-26②x1=2,x2=-31③x1=2,x2=35④无解【教学说明】(1)对②、③要先化成一般形式;(2)强调确定a,b,c的值,注意它们的符号;(3)先计算b2-4ac的值,再代入公式.三、运用新知,深化理解1.用公式法解下列方程:(1)x2+x-12=0(2)x 2-2x-41=0 (3)x 2+4x+8=2x+11(4)x (x-4)=2-8x(5)x 2+2x=0(6)x 2+25x+10=0解:(1)x 1=3,x 2=-4;(2)x 1=232+,x 2=232-; (3)x 1=1,x 2=-3;(4)x 1=-2+6,x 2=-2-6;(5)x 1=0,x 2=-2;(6)无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动,课堂小结1.求根公式的概念及其推导过程.2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.4.一元二次方程根的判别式【知识与技能】1.能运用根的判别式,判断方程根的情况和进行有关的推理论证;2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围. 【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程;2.向学生渗透分类讨论的数学思想;3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入,初步认识用公式法解下列一元二次方程(1)x2+5x+6=0(2)9x2-6x+1=0(3)x2-2x+3=0解:(1)x1=-2,x2=-3(2)x1=x2=31(3)无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况,回顾已有知识.二、思考探究,获取新知观察解题过程,可以发现:在把系数代入求根公式之前,需先确定a,b,c的值,然后求出b2-4ac的值,它能决定方程是否有解,我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式,通常用符号“Δ”来表示,即Δ=b2-4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现:【归纳结论】(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根:a acbbx24 21-+-=,aacbbx2422---=;(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根,x 1=x 2=-ab 2; (3)当Δ<0时,方程没有实数根.例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况:解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时,方程(m+1)x 2-(2m-3)x+m+1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解:(1)m <41且m ≠-1; (2)m=41; (3)m >41. 【教学说明】注意(1)中的m+1≠0这一条件.三、运用新知,深化理解1.方程x2-4x+4=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.已知x2+2x=m-1没有实数根,求证:x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【答案】1.B2.证明:∵x2+2x-m+1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0,Δ=m2-8m+4,∵m<0,∴Δ>0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动,课堂小结1.用判别式判定一元二次方程根的情况(1)Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;(2)Δ=0时,一元二次方程有两个相等的实数根.(3)Δ<0时,一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时,要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论,回忆整理,再由小组代表陈述.1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.*5.一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】1.引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上,探索出一元二次方程根与系数的关系,及其关系的运用.2.通过观察、实践、讨论等活动,经历从观察判断到发现关系的过程.【过程与方法】通过探究一元二次方程的根与系数的关系,培养学生观察分析和综合判断的能力,激发学生发现规律的积极性,鼓励学生勇于探索的精神.【情感态度】在积极参与数学活动的同时,初步体验发现问题,总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.【教学重点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.【教学难点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.一、情境导入,初步认识1.完成下列表格问题你发现了什么规律?①用语言叙述你发现的规律:(两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项)②设方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,用式子表示你发现的规律.(x1+x2=-p,x1·x2=q)2.完成下列表格问题上面发现的结论在这里成立吗?(不成立)请完善规律:①用语言叙述发现的规律:(两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比)②设方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2,用式子表示你发现的规律.(x 1+x 2=-a b ,x 1·x 2=ac ) 二、思考探究,获取新知通过以上活动你发现了什么规律?对一般的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)这一规律是否成立?试通过求根公式加以说明.ax 2+bx+c=0的两根a ac b b x 2421-+-=,a ac b b x 2422---=,x1+x2=-a b , x 1·x 2=ac . 【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系,体会知识形成的过程,加深对知识的理解.例1 不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:(1)x 2-6x-15=0;(2)3x 2+7x-9=0;(3)5x-1=4x 2.解:(1)x1+x2=6,x1·x2=-15;(2)x1+x2=-37,x1·x2=-3; (3)x1+x2=45,x1·x2=41. 【教学说明】先将方程化为一般形式,找出对应的系数.例2 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值. 解:另一根为23,k=3.【教学说明】本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x=-3代入方程先求k,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.例3 已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.三、运用新知,深化理解1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:(1)x2-3x=15(2)5x2-1=4x2(3)x2-3x+2=10(4)4x2-144=0(5)3x(x-1)=2(x-1)(6)(2x-1)2=(3-x)22.两根均为负数的一元二次方程是()A.7x2-12x+5=0B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0D.x2+15x-8=0【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.【答案】1.(1)x1+x2=3,x1x2=-15(2)x1+x2=0,x1x2=-1(3)x1+x2=3,x1x2=-8(4)x1+x2=0,x1x2=-36(5)x1+x2=35,x1x2=32(6)x1+x2=-32,x1x2=-382.C【教学说明】可由学生自主完成抢答,教师点评.四、师生互动,课堂小结1.一元二次方程的根与系数的关系.2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.22.3 实践与探索【知识与技能】使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题,学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程.【过程与方法】让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程,领悟数学建模思想,体会如何寻找实际问题中的等量关系.【情感态度】通过合作交流进一步感知方程的应用价值,培养学生的创新意识和实践能力,通过交流互动,逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.【教学重点】列一元二次方程解决实际问题.【教学难点】寻找实际问题中的等量关系.一、情境导入,初步认识问题1 学校生物小组有一块长32m,宽20m的矩形试验田,为了管理方便,准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道,要使种植面积为540m2,小道的宽应是多少?问题2 某药品经过两次降价,每瓶零售价由56元降为31.5元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.二、思考探究,获取新知问题1 【分析】问题中的等量关系很明显,即抓住种植面积为540m2来列方程,设小道的宽为xm,如何来表示种植面积?方法一:如图,由题意得,32×20-32x-20x+x2=540方法二:如图,采用平移的方法更简便.由题意可得:(20-x)(32-x)=540解得x1=50,x2=2由题意可得x<20,∴x=2【教学说明】引导学生学会一题多解,同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义.问题2 【分析】这是增长率问题,问题中的数量关系很明了,即原价56元经过两次降价降为31.5元,设每次降价的百分率为x,由题意得56(1-x)2=31.5解得 x1=0.25,x2=1.75(舍去)三、运用新知,深化理解1.青山村种的水稻2011年平均每公顷产量为7200kg,2013年平均每公顷产量为8450kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.2.用一根长40cm的铁丝围成一个长方形,要求长方形的面积为75cm2.(1)求此长方形的宽.(2)能围成一个面积为101cm2的长方形吗?如能,说明围法.(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2),长方形的宽为x(cm),求S 与x的函数关系式,并求出当x为何值时,S的值最大,最大面积为多少.【答案】1.解:设年平均增长率为x,则有7200(1+x)2=8450,解得x1=121≈0.08,x 2=-1224≈-2.08(舍去).即年平均增长率为8%.答:水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.2.解:(1)设此长方形的宽为xcm,则长为(20-x)cm. 根据题意,得x(20-x)=75解得:x1=5,x2=15(舍去).答:此长方形的宽是5cm.(2)不能.由x(20-x)=101,即x2-20x+101=0,,知Δ=202-4×101=-4<0,方程无解,故不能围成一个面积为101cm2的长方形.(3)S=x(20-x)=-x2+20x.由S=-x2+20x=-(x-10)2+100可知,当x=10时,S的值最大,最大面积为100cm2.【教学说明】注意一元二次方程根的判别式和配方法在第2题第(2)、(3)问中的应用.四、师生互动,课堂小结1.列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2.用一元二次方程解决特殊图形问题时,通常要先画出图形,利用图形的面积找相等关系列方程.3.若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:a(1±x)n=b(常见n=2).1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本章复习【知识与技能】掌握一元二次方程的基本概念及其解法;灵活运用一元二次方程知识解决一些实际问题.【过程与方法】通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及到的化归思想、建模思想的过程,加深对本章知识的理解.【情感态度】在运用一元二次方程的有关知识解决具体问题的过程中,进一步体会数学来源于生活又应用于生活,增强数学的应用意识,感受数学的应用价值,激发学生的学习兴趣.【教学重点】一元二次方程的解法及应用.【教学难点】一元二次方程的应用.一、知识框图,整体把握二、释疑解惑,加深理解1.一元二次方程的解法【教学说明】一般考虑选择方法的顺序:直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法.2.一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当Δ<0时,方程无实数根.在应用时,要根据根的情况限定Δ的取值,同时应注意二次项系数不为0这一条件.3.一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)的根与系数的关系,在应用时要注意变形.同时要明确根与系数的关系成立的两个条件:(1)a≠0,(2)Δ≥04.应用一元二次方程解决实际问题,要注重分析实际问题中的等量关系,列出方程,求出方程的解,同时要注意检验其是否符合题意.三、典例精析,复习新知例1 用适当的方法解下列方程(1)x2-7x=0(2)x2+12x+27=0(3)x(x-2)+x-2=0(4)x2+x-2=4(5)4(x+2)2=9(2x-1)2解:(1)x1=0,x2=7;(2)x1=-3,x2=-9;(3)x1=2,x2=-1;(4)x1=2,x2=-3;(5)x1=47,x2=-81.【教学说明】依据各种不同方法所对应方程的特点来解.例2 关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0,有两个不相等的实数根x 1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是().A.1B.-1C.1或-1D.2例3 (2012·江苏徐州)为了倡导节能低碳生活,某公司对集体宿舍用电收费作如下规定:一间宿舍一个月用电量不超过a 千瓦时,则一个月的电费为20元;若超过a 千瓦时,则除交20元外,超过部分每千瓦时要交100a元,某宿舍3月份用电80千瓦时,交电费35元;4月份用电45千瓦时,交电费20元.(1)求a 的值;(2)若该宿舍5月份交电费45元,那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时? 解:(1)由题意得20+(80-a )×100a=35,解得a 1=30,a 2=50,∵a >45,∴a=50.(2)设5月份用电x 千瓦时,依题意得20+(x-50)×10050=45,解得x=100,则该宿舍当月用电量为100千瓦时.【教学说明】现实生活中存在大量的实际应用问题,需要用一元二次方程的知识来解决,解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上构建方程模型.四、复习训练,巩固提高. 1.方程x 2-3x=0的解为( ) A.x=0B.x=3C.x 1=0,x 2=-3D.x 1=0,x 2=32.(2012·河北)用配方法解方程x 2+4x+1=0,配方后的方程是( ) A.(x+2)2=3 B.(x-2)2=3 C.(x-2)2=5 D.(x+2)2=53.(2012·辽宁本溪)已知一元二次方程x 2-8x+15=0的两个根恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长,则△ABC 的周长为( )A.13B.11或13C.11D.124.(2012·山东日照)已知关于x 的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )A.k <34且k ≠2 B.k ≥34且k ≠2 C.k >43且k ≠2 D.k ≥43且k ≠2 5.设α,β是一元二次方程x 2+3x-7=0的两个根,则α2+4α+β= . 6.(2012·内蒙古包头)关于x 的两个方程x 2-x-2=0与ax x +=+211有一个解相同,则a= .7.(2012·湖北鄂州)设x 1,x 2是一元二次方程x 2+5x-3=0的两个根,且2x 1(x 22+6x 2-3)+a=4,则a= .8.(2012·山东济宁)一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买了一批树苗,园林公司规定:如果购买树苗不超过60棵,每棵售价120元;如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款8800元,请问该校共购买了多少棵树苗?【答案】1.D 2.A 3.B 4.C 5.4 6.4 7.108.解:∵60棵树苗的售价为120×60=7200(元),而7200<8800,∴该校购买的树苗超过60棵.设该校共购买了x棵树苗,由题意得x[120-0.5(x-60)]=8800,解得x1=220,x2=80,当x1=220时,120-0.5×(220-60)=40<100,∴x=220不合题意,舍去;当x=80时,120-0.5×(80-60)=110>100,∴x=80,即该校共购买了80棵树苗.五、师生互动,课堂小结本堂课你能完整地回顾本章所学的有关一元二次方程的知识吗?你还有哪些困惑与疑问?1.布置作业:从教材本章“复习题”中选取.2.完成练习册中“本章热点专题训练”.第23章图形的相似23.1 成比例线段1.成比例线段【知识与技能】1.了解成比例线段的意义,会判断四条线段是否成比例.2.会利用比例的性质,求出未知线段的长.【过程与方法】培养学生灵活解题及合作探究的能力.【情感态度】感受数学逻辑推理的魅力.【教学重点】成比例线段的定义;比例的基本性质及直接运用.【教学难点】比例的基本性质的灵活运用,探索比例的其他性质.一、情境导入,初步认识 挂上两张照片,问: 1.这两个图形有什么联系?它们都是平面图形,它们的形状相同,大小不相同,是相似图形. 2.这两个图形是相似图形,为什么有些图形是相似的,而有的图形看起来相像又不会相似呢?相似的两个图形有什么主要特征呢?为了探究相似图形的特征,本节课先学习线段的成比例.二、思考探究,获取新知 1.两条线段的比(1)回忆什么叫两个数的比,怎样度量线段的长度,怎样比较两线段的大小.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ,那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n ,或写成ABCD=nm,其中,线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ,则CDAB =k 或AB=k ·CD. 注意:在量线段时要选用同一个长度单位. (2)做一做。
22.2 一元二次方程的解法第二课时直接开平方法和因式分解法(2)教课目标:知识技术目标1.经过对形如 ( ax+b) 2=c(此中a、b、c是常数且c≥ 0)的一元二次方程解法的商讨,让学生进一步熟习直接开平方法;2.娴熟掌握运用因式分解法解一元二次方程;过程性目标1.领会运用直接开平方法与因式分解法解某些一元二次方程;2.进一步认识,解一元二次方程的方法固然有所不一样,但结果是相同的;3.经历各种种类的一元二次方程,灵巧采用合适的方法解一元二次方程.感情态度目标1.经过新方法的学习,培育学生解析问题解决问题的能力及研究精神;2.让学生在实质解题中进一步领会转变的思想.要点和难点:合理选择直接开平方法与因式分解法解某些一元二次方程,理解一元二次方程无实根的解题过程 .教课过程:一、创建情境问题如何解以下方程:(1) (x+1)2-4=0;(2)12(2-x)2-9=0.对于这两个方程,你想到了哪些求解方法?你能从上一课学习的内容中获得一些启示吗?二、研究归纳解析对于(1),假如退一步解x2-4=0,同学们都能想到运用直接开平方法求解;那么将这里的x 换成x+1,不是相同的思虑方法吗?实质上,这两个方程都可以化成()2=a的形式.解 (1) 原方程可以变形为 ( x+1) 2= 4,直接开平方,得x+1=±2,即 x+1=2或 x +1=-2.所以原方程的解是 x= 1,x= -3 .12(2) 原方程可以变形为2x 23,4直接开平方,得3,即 2 x 332 x或 2 x.222所以原方程的解是x123, x2 2 3 .22思虑你对上边两个方程还有其余解法吗?三、实践应用例 1 用因式分解法解方程:(1)( x+1) 2-4 = 0; (2)12(2-x)2-9=0.解析对(1)左侧简单分解为( x+1+ 2)( x+ 1- 2) ;而对 (2) 左侧应分解为3 4 2x 3 4 2x3 .(为何?)解 (1)原方程左侧分解因式,得 ( x+ 1+2)( x+ 1-2) = 0.所以 x+3=0,或 x-1=0.原方程的解是x1=1, x2=-3.(2) 方程左侧分解因式,得3(4 - 2x+ 3 )(4-2x- 3 )=0.所以 4- 2x+3= 0,4- 2x-3=0.原方程的解是 x1 2323, x2.22例 2 用合适的方法解方程(1)5(3x+1)2x-1)22=20; (2) 4(-( x+2)= 0.解析 (1) 变形为 (3 x+1)2= 4时,用直接开平方法来解简单;(2)把左侧分解因式成[2( x-1)+( x+2)] [2( x-1)-( x+2)],再进一步化成两个一元一次方程求解.解 (1) 原方程可以变形为 (3 x+1) 2= 4.直接开平方,得3x+ 1=± 2,即 3x+ 1= 2 或 3x+ 1=- 2.所以原方程的解是x11 , x21.3(2) 原方程左侧分解因式,得 [2( x-1)+( x+2)] [2(x-1)-( x+2)]=0.整理为 3x( x- 4) =0.所以 3x=0,或x-4= 0.原方程的解是x1=0, x2=4.例 3 小张和小林一起解方程x(3 x+2)-6(3 x+2)=0.小张将方程左侧分解因式,得(3 x+2)( x-6) = 0所以 3x+2= 0,或x- 6= 0,方程的两个解为 x2, x 6 .132小林的解法是这样的:移项得x(3 x+2)=6(3 x+2),方程两边都除以 3+ 2,得= 6.x x小林说:“我的方法多简易!”可另一个解x 2哪里去了?小林的解法对吗?为何?3解析小林的解法中有一步“方程两边都除以3x+2”是错误的,依据等式的性质,在方程两边只好乘以或除以同一个不等于零的数,等式才成立,此刻小林在方程两边都除以3x+ 2,就会扔掉一个解.所以,在解一元二次方程时,不可以在方程两边都除以一个含有未知数的代数式.四、交流反思21. 若方程是 ( )=a的形式,用直接开平方法求解简单;有时方程经过变形后可以获得形如 ()2=a的形式,也适适用直接开平方法;2. 所谓因式分解,是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式.假如一元二次方程的左侧是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式,而右侧为零.用因式分解法更为简单.比方:x2+5x+6=0,因式分解后( x+2)( x+3)=0,得 x+2=0或 x+3=0,这样就将本来的一元二次方程转变成一元一次方程,方程便易于求解.可以说二次三项式的因式分解是因式分解法解一元二次方程的要点.“假如两个因式的积等于零,那么两个因式最少有一个等于零”是因式分解法解方程的理论依照.方程的左侧易于分解,而方程的右侧等于零是因式分解法解方程的条件.满足这样条件的一元二次方程用因式分解法最简单;3.因式分解法解一元二次方程的步骤是:(1)化方程为一般形式;(2)将方程左侧因式分解;(3)最少有一个因式为零,获得两个一元二次方程;(4)两个一元一次方程的解就是原方程的解.4. 运用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程,突出了转变的思想方法,鲜亮地显示了“二次”转变成“一次”的过程.两种方法的选择,要详尽状况详尽解析.五、检测反响1.解以下方程:(1)(x+2)2-16=0; (2)(x-1)2-18=0;(3)(1- 3x) 2= 1;(4)(2x+3)2-25=0.2.用合适的方法解以下方程:(1)3(x-5)2=2(5- x);(2)x2- x-6=0;(3)(x-1)2=(2 x+3)2;(4)2(3x-1)2=16.3.当 x 为何值时,代数式3x2-2 x+1的值与2x+1的值相等.六、部署作业习题 22.2 的 2,3.。
22.2.3用公式法解一元二次方程教学设计
一、学习目标设计的依据
(一)、课程标准相关要求
能用公式法解数字系数的一元二次方程。
(二)、教材分析
用公式法解数字系数的一元二次方程是在配方法的基础上,进一步探讨公式法及解数字系数的一元二次方程的拓展和延伸。
(三)、中招考点
本节知识点是一元二次方程的重点,近几年中河南省很少单独考查,但其它的省市有考查的,考查题型一般为填空题或选择题,只有个别地市出现过解答题。
(四)、学情分析
学生已经学过一元二次方程的三种解法,在配方法解一元二次方程中,对24
的作用已经有所了解,在此基础上来进一步研究用公式法
b ac
解一元二次方程。
二、学习目标
1、体验并理解一元二次方程求根公式的推导过程.
2、熟记并会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程.
三、评价任务
1、学生能说出一元二次方程的求根公式。
2、学生能熟记求根公式a
ac
b b x 242-±-=并理解公式中的条件0
42≥-ac b 能熟练地运用求根公式解一元二次方程。
四、教学过程
要点归纳:一元二次
方程求根公
式:
)
04(242
2≥--±-=ac b a
ac b b x 成立的条件:
1.a ≠0
2.b ²-4ac ≥0
利用求根公式求一元二次
方程的根的步骤:。
第22章一元二次方程22.1 一元二次方程1.理解一元二次方程及其相关概念,能够熟练地把一元二次方程化为一般形式.2.会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题.3.在分析、揭示实际问题中的数量关系,并把实际问题转化为数学模型的过程中,感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具,增强对一元二次方程的感性认识.一、情境导入参加一次集会,如果有x个人,每两人之间都握一次手,共握了21次手,请你列出符合上述条件的方程,并判断方程是什么类型?二、合作探究探究点一:一元二次方程的概念【类型一】一元二次方程的识别下列选项中,是关于x的一元二次方程的是( )A.x2+1x2=1 B.3x2-2xy-5y2=0C.(x-1)(x-2)=3 D.ax2+bx+c=0解析:选项A中的方程分母含有未知数,所以它不是一元二次方程;选项B中的方程含有2个未知数,所以它不是一元二次方程;当a=0时,选项D中的方程不含二次项,所以它不是一元二次方程,排除A、B、D,故选C.方法总结:判断一个方程是不是一元二次方程,必须将方程化简后再进行判断.一元二次方程的三个条件:一是方程两边都是整式;二是只含有一个未知数;三是未知数的最高次数是2.上述三个条件必须同时满足,缺一不可.【类型二】利用一元二次方程的概念确定字母系数关于x的方程(k+1)x+kx+1=0是一元二次方程,则k的值为________.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|k-1|=2,k+1≠0,∴⎩⎪⎨⎪⎧k=3或k=-1,k≠-1.∴k=3.方法总结:由一元二次方程的概念满足的条件:未知数最高次数为2,构造方程,解出字母取值,并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值,从而确定字母取值.探究点二:一元二次方程的一般形式将下列方程化为一元二次方程的一般形式,并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项.(1)3x 2-2=5x ;(2)9x 2=16;(3)2x (3x +1)=17;(4)(3x -5)(x +1)=7x -2.解析:先分别将各方程化为一般形式,再指出它们的各部分的名称.解:(1)方程化为一般形式为3x 2-5x -2=0,二次项系数是3,一次项系数是-5,常数项是-2.(2)方程化为一般形式为9x 2-16=0,二次项系数是9,一次项系数是0,常数项是-16.(3)方程化为一般形式为6x 2+2x -17=0,二次项系数是6,一次项系数是2,常数项是-17.(4)方程化为一般形式为3x 2-9x -3=0,二次项系数是3,一次项系数是-9,常数项是-3.方法总结:求一元二次方程的各项系数和常数项,必须先把方程化为一般形式,特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号.探究点三:列一元二次方程(2015·深圳一模)在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边,剩下部分面积为1.6m 2.已知床单的长是2m ,宽是1.4m ,求花边的宽度.请根据题意列出方程.解析:设花边的宽度为x m ,则由图可知剩下部分的长为(2-2x )m ,剩下部分的宽为(1.4-2x )m.∵剩下部分面积为1.6m 2,∴可列方程(2-2x )(1.4-2x )=1.6.方法总结:列方程最重要的是审题,只有理解题意,才能恰当的设出未知数,准确地找出已知量和未知量之间的等量关系,正确的列出方程.探究点四:一元二次方程的解 【类型一】判断一元二次方程的解方程x -2x =0的解为( )A .x 1=1,x 2=2B .x 1=0,x 2=1C .x 1=0,x 2=2D .x 1=12,x 2=2解析:把各选项中未知数的值分别代入方程的左右两边,只有选项C 中的x 1=0,x 2=2都能使方程x 2-2x =0的左右两边相等,所以选C.方法总结:判断一个未知数的值是否是一元二次方程的解,可以把未知数的值代入方程左右两边,能使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的解.【类型二】利用一元二次方程的解的意义求字母或代数式的值已知1是关于x 的一元二次方程(m -1)x +x +1=0的一个根,则m 的值是( )A.1 B.-1C.0 D.无法确定解析:根据方程的根的概念,直接代入方程,左右两边相等,但考虑到是一元二次方程,所以二次项系数不能等于0.由此得,(m-1)+1+1=0,解得m=-1,此时m-1=-2≠0,∴m=-1.故选B.方法总结:方程的根是能使方程左右两边相等的未知数的值,在涉及方程根的题目中,我们一般是把这个根代入方程左右两边转化为求待定系数的方程来解决问题.三、板书设计教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,经历将实际问题转化为数学问题,体会数学建模的思想方法.22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法第1课时直接开平方法1.学会根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次”,转化为两个一元一次方程.2.运用开平方法解形如(x+m)2=n的方程.3.体验类比、转化、降次的数学思想方法,增强学习数学的兴趣.一、情境导入一个正方形花坛的面积为10,若设其边长为x,根据正方形的面积可列出怎样的方程?用怎样的方法可以求出所列方程的解呢?二、合作探究探究点:直接开平方法【类型一】用直接开平方法解一元二次方程运用开平方法解下列方程:(1)4x2=9;(2)(x+3)2-2=0.解析:(1)先把方程化为x2=a(a≥0)的形式;(2)原方程可变形为(x+3)2=2,则x+3是2的平方根,从而可以运用开平方法求解.解:(1)由4x2=9,得x2=94,两边直接开平方,得x=±32,∴原方程的解是x1=32,x2=-32.(2)移项,得(x+3)2=2.两边直接开平方,得x+3=± 2.∴x+3=2或x+3=- 2.∴原方程的解是x1=2-3,x2=-2-3.方法总结:由上面的解法可以看出,一元二次方程是通过降次,把一元二次方程转化为一元一次方程求解的,这是解一元二次方程的基本思想;一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得x1=a,x2=-a.【类型二】直接开平方法的应用若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+1与2m-4,则ba=________.解析:∵ax2=b,∴x=±ba,∴方程的两个根互为相反数,∴m+1+2m-4=0,解得m=1,∴一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是2与-2,∴ba=2,∴ba=4,故答案为4.【类型三】直接开平方法与方程的解的综合应用若一元二次方程(a+2)x-ax+a-4=0的一个根为0,则a=________.解析:∵一元二次方程(a+2)x2-ax+a2-4=0的一个根为0,∴a+2≠0且a2-4=0,∴a=2.故答案为2.【类型四】直接开平方法的实际应用有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形,要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形,边长应为多少厘米?分析:要求新正方形的边长,可先求出原正方形和矩形的面积之和,然后再用开平方计算.解:设新正方形的边长为x cm,根据题意得x2=112+13×8,即x2=225,解得x=±15.因为边长为正,所以x=-15不合题意,舍去,所以只取x=15.答:新正方形的边长应为15cm.方法总结:在解决与平方根有关的实际问题时,除了根据题意解题外,有时还要结合实际,把平方根中不符合实际情况的负值舍去.三、板书设计教学过程中,强调利用开平方法解一元二次方程的本质是求一个数的平方根的过程.同时体会到解一元二次方程过程就是一个“降次”的过程.第2课时因式分解法1.认识用因式分解法解方程的依据.2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.一、情境导入我们知道ab=0,那么a=0或b=0,类似的解方程(x+1)(x-1)=0时,可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解,你能求出(x+3)(x-5)=0的解吗?二、合作探究探究点一:用因式分解法解一元二次方程【类型一】利用提公因式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程:(1)x2+5x=0;(2)(x-5)(x-6)=x-5.解析:变形后方程右边是零,左边是能分解的二次三项式,可用因式分解法.解:(1)原方程转化为x(x+5)=0,∴x=0或x+5=0,∴原方程的解为x1=0,x2=-5;(2)原方程转化为(x-5)(x-6)-(x-5)=0,∴(x-5)[(x-6)-1]=0,∴(x-5)(x -7)=0,∴x-5=0或x-7=0,∴原方程的解为x1=5,x2=7.【类型二】利用公式法分解因式解一元二次方程用因式分解法解下列方程:(1)x2-6x=-9;(2)4(x-3)2-25(x-2)2=0.解:(1)原方程可变形为:x2-6x+9=0,则(x-3)2=0,∴x-3=0,因此原方程的解为:x1=x2=3.(2)[2(x-3)]2-[5(x-2)]2=0,[2(x-3)+5(x-2)][2(x-3)-5(x-2)]=0,(7x-16)(-3x+4)=0,∴7x-16=0或-3x+4=0,∴原方程的解为x1=167,x2=43.方法总结:因式分解法解一元二次方程的一般步骤是:①将方程的右边化为0;②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积;③令每一个因式分别为零,就得到两个一元一次方程;④解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.探究点二:用因式分解法解决问题若a、b、c为△ABC的三边,且a、b、c满足a2-ac-ab+bc=0,试判断△ABC 的形状.解析:先分解因式,确定a,b,c的关系,再判断三角形的形状.解:∵a2-ac-ab+bc=0,∴(a-b)(a-c)=0,∴a-b=0或a-c=0,∴a=c或a =b,∴△ABC为等腰三角形.三、板书设计利用因式分解法解一元二次方程,能否分解是关键,因此,要熟练掌握因式分解的知识,提高用分解因式法解方程的能力.在使用因式分解法时,先考虑有无公因式,如果没有再考虑公式法.2.配方法1.了解配方的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤.2.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系,能够熟练地运用配方法解决有关问题.一、情境导入李老师让学生解一元二次方程x2-6x-5=0,同学们都束手无策,学习委员蔡亮考虑了一下,在方程两边同时加上14,再把方程左边用完全平方公式分解因式……,你能按照他的想法求出这个方程的解吗?二、合作探究探究点:配方法【类型一】配方用配方法解一元二次方程x2-4x=5时,此方程可变形为( ) A.(x+2)2=1 B.(x-2)2=1C.(x+2)2=9 D.(x-2)2=9解析:由于方程左边关于x的代数式的二次项系数为1,故在方程两边都加上一次项系数一半的平方,然后将方程左边写成完全平方式的形式,右边化简即可.因为x2-4x=5,所以x2-4x+4=5+4,所以(x-2)2=9.故选D.方法总结:用配方法将一元二次方程变形的一般步骤:(1)把常数项移到等号的右边,使方程的左边只留下二次项和一次项;(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.【类型二】利用配方法解一元二次方程用配方法解方程:x-4x+1=0.解析:二次项系数是1时,只要先把常数项移到右边,然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方,把方程配成(x+m)2=n(n≥0)的形式再用直接开平方法求解.解:移项,得x2-4x=-1.配方,得x2-4x+(-2)2=-1+(-2)2.即(x-2)2=3.解这个方程,得x-2=± 3.∴x1=2+3,x2=2- 3.方法总结:用配方法解一元二次方程,实质上就是对一元二次方程变形,转化成开平方所需的形式.【类型三】用配方解决求值问题已知:x2+4x+y2-6y+13=0,求x-2yx2+y2的值.解:原方程可化为(x+2)2+(y-3)2=0,∴(x+2)2=0且(y-3)2=0,∴x=-2且y=3,∴原式=-2-613=-813.【类型四】用配方解决证明问题(1)用配方法证明2x-4x+7的值恒大于零;(2)由第(1)题的启发,请你再写出三个恒大于零的二次三项式.证明:(1)2x2-4x+7=2(x2-2x)+7=2(x2-2x+1-1)+7=2(x-1)2-2+7=2(x-1)2+5.∵2(x-1)2≥0,∴2(x-1)2+5≥5,即2x2-4x+7≥5,故2x2-4x+7的值恒大于零.(2)x2-2x+3;2x2-2x+5;3x2+6x+8等.【类型五】配方法与不等式知识的综合应用证明关于x的方程(m-8m+17)x+2mx+1=0不论m为何值时,都是一元二次方程.解析:要证明“不论m为何值时,方程都是一元二次方程”,只需证明二次项系数m2-8m+17的值不等于0.证明:∵二次项系数m2-8m+17=m2-8m+16+1=(m-4)2+1,又∵(m-4)2≥0,∴(m-4)2+1>0,即m 2-8m +17>0.∴不论m 为何值时,原方程都是一元二次方程.三、板书设计教学过程中,强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程.因此需熟练掌握完全平方式的形式.3.公式法1.理解一元二次方程求根公式的推导过程; 2.会用公式法解一元二次方程.(重点)一、情景导入如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用配方法的步骤求出它们的两根?请同学独立完成下面这个问题.问题:已知ax 2+bx +c =0(a ≠0),且b 2-4ac ≥0,试推导它的两个根x 1=-b +b 2-4ac2a,x 2=-b -b2-4ac 2a .二、合作探究探究点一:用公式法解一元二次方程方程3x 2-8=7x 化为一般形式是__________,其中a =________,b =________,c =________,方程的根为____________.解析:将方程移项可化为3x 2-7x -8=0.其中a =3,b =-7,c =-8,因为b 2-4ac =(-7)2-4×3×(-8)=145>0,代入求根公式可得x =7±1456.故答案分别为3x 2-7x -8=0,3,-7,-8,7±1456.方法总结:一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根是由方程的系数a ,b ,c 确定的,只要确定了系数a ,b ,c 的值,代入公式就可求得方程的根.用公式法解下列方程:(1)-3x 2-5x +2=0; (2)2x 2+3x +3=0; (3)x 2-2x +1=0.解析:先确定a ,b ,c 及b 2-4ac 的值,再代入公式求解即可. 解:(1)-3x 2-5x +2=0,3x 2+5x -2=0. ∵a =3,b =5,c =-2,∴b 2-4ac =52-4×3×(-2)=49>0,∴x =-5±492×3=-5±76,∴x 1=13,x 2=-2;(2)∵a =2,b =3,c =3,∴b 2-4ac =32-4×2×3=9-24= -15<0,∴原方程没有实数根;(3)∵a =1,b =-2,c =1,∴b 2-4ac =(-2)2-4×1×1=0, ∴x =2±02×1=2±02,∴x 1=x 2=1.方法总结:用公式法解一元二次方程时,首先应将其变形为一般形式,然后确定公式中a ,b ,c 的值,再求出b 2-4ac 的值与“0”比较,最后利用求根公式求出方程的根(或说明其没有实数根).【类型二】一元二次方程解法的综合运用三角形的两边分别为2和6,第三边是方程x 2-10x +21=0的解,则第三边的长为( )A .7B .3C .7或3D .无法确定解析:解一元二次方程x 2-10x +21=0,得x 1=3,x 2=7.根据三角形三边的关系,第三边还应满足4<x <8.所以第三边的长x =7.故选A.方法总结:解题的关键是正确求解一元二次方程,并会运用三角形三边的关系进行取舍.三、板书设计经历从用配方法解数字系数的一元二次方程到解字母系数的一元二次方程,探索求根公式,通过对公式的推导,认识一元二次方程的求根公式适用于所有的一元二次方程.体会数式通性,感受数学的严谨性和数学结论的确定性.提高学生的运算能力,并养成良好的运算习惯4.一元二次方程根的判别式1.理解并掌握一元二次方程根的判别式,能运用判别式,在不解方程的前提下判断一元二次方程根的情况;(重点、难点)2.通过一元二次方程根的情况的探究过程,体会从特殊到一般、猜想及分类讨论的数学思想,提高观察、分析、归纳的能力.一、情境导入老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解,大家都才解第一个方程呢,小强突然站起来说出每个方程解的情况,你想知道他是如何判断的吗?二、合作探究探究点一:一元二次方程的根的情况【类型一】判断一元二次方程根的情况不解方程,判断下列方程的根的情况.(1)2x 2+3x -4=0; (2)x 2-x +14=0;(3)x 2-x +1=0.解析:根据根的判别式我们可以知道当b 2-4ac ≥0时,方程才有实数根,而b 2-4ac <0时,方程没有实数根.由此我们不解方程就能判断一元二次方程根的情况.解:(1)2x 2+3x -4=0,a =2,b =3,c =-4,∴b 2-4ac =32-4×2×(-4)=41>0.∴方程有两个不相等的实数根.(2)x 2-x +14=0,a =1,b =-1,c =14.∴b 2-4ac =(-1)2-4×1×14=0.∴方程有两个相等的实数根. (3)x 2-x +1=0,a =1,b =-1,c =1.∴b 2-4ac =(-1)2-4×1×1=-3<0.∴方程没有实数根.方法总结:给出一个一元二次方程,不解方程,可由b 2-4ac 的值的符号来判断方程根的情况.当b 2-4ac >0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;当b 2-4ac =0时,一元二次方程有两个相等的实数根;当b 2-4ac <0时,一元二次方程无实数根.【类型二】由一元二次方程根的情况确定字母系数的取值已知关于x 的一元二次方程(a -1)x -2x +1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( )A .a >2B .a <2C .a <2且a ≠1D .a <-2解析:由于一元二次方程有两个不相等的实数根,判别式大于0,得到一个不等式,再由二次项系数不为0知a -1不为0.即4-4(a -1)>0且a -1≠0,解得a <2且a ≠1.选C.方法总结:若方程有实数根,则b 2-4ac ≥0.由于本题强调说明方程是一元二次方程,所以,二次项系数不为0.因此本题还是一道易错题.【类型三】 一元二次方程根的判别式与三角形的综合已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三边长,求证:关于x 的方程b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x+c 2=0没有实数根.解析:欲证一元二次方程没有实数根,只需证明它的判别式Δ<0即可.由a ,b ,c 是三角形三条边的长可知a ,b ,c 都是正数.由三角形的三边关系可知a +b >c ,a +c >b ,b +c >a .证明:∵b 为三角形一边的长,∴b ≠0,∴b 2≠0,∴b 2x 2+(b 2+c 2-a 2)x +c 2=0是关于x 的一元二次方程.∴Δ=(b 2+c 2-a 2)2-4b 2c 2=(b 2+c 2-a 2+2bc )(b 2+c 2-a 2-2bc )=[(b +c )2-a 2][(b -c )2-a 2]=(b +c +a )(b +c -a )(b -c +a )(b -c -a )=(a +b +c )[(b +c )-a ][(a +b )-c ][b -(a +c )].∵a ,b ,c 是三角形三条边的长,∴a >0,b >0,c >0,且a +b +c >0,a +b >c ,b +c >a ,a +c >b .∴(b +c )-a >0,(a +b )-c >0,b -(a +c )<0,∴(a +b +c )[(b +c )-a ][(a +b )-c ][b -(a +c )]<0,即Δ<0.∴原方程没有实数根.方法总结:利用根的判别式与三角形的三边关系:常根据判别式得到关于三角形三边的式子,再结合三边关系确定Δ符号.【类型四】 利用根的判别式解决存在性问题是否存在这样的非负整数m,使关于x的一元二次方程m2x2-(2m-1)x+1=0有两个不相等的实数根?若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理由.解:不存在,理由如下:假设m2x2-(2m-1)x+1=0有两个不相等的实数根,则[-(2m-1)]2-4m2>0,解得m<14.∵m为非负整数,∴m=0.而当m=0时,原方程m2x2-(2m-1)x+1=0是一元一次方程,只有一个实数根,与假设矛盾.∴不存在这样的非负整数,使原方程有两个不相等的实数根.易错提醒:在求出m=0后,常常会草率地认为m=0就是满足条件的非负整数,而忽略了二次项系数不为0的这一隐含条件,因此解题过程中务必考虑全面.三、板书设计本节课是在一元二次方程的解法的基础上,学习根的判别式的应用.学生容易在计算取值范围的时候忘记二次项系数不能为零,这是本节课需要注意的地方,应予以特别强调.5.一元二次方程的根与系数的关系1.探索一元二次方程的根与系数的关系.2.会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题.一、情境导入一般地,对于关于x的方程x2+px+q=0(p,q为已知常数,p2-4q≥0),试用求根公式求出它的两个解x1、x2,算一算x1+x2、x1·x2的值,你能得出什么结果?二、合作探究探究点:一元二次方程根与系数的关系【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值已知m、n是方程2x2-x-2=0的两实数根,则1m+1n的值为( ) A.-1 B.12C.-12D.1解析:根据根与系数的关系,可以求出m+n和mn的值,再将原代数式变形后,整体代入计算即可.因为m、n是方程2x2-x-2=0的两实数根,所以m+n=12,mn=-1,1m+1n=n+mmn=12-1=-12.故选C.方法总结:解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式,注意前提:方程有两个实数根时,判别式大于或等于0.【类型二】根据方程的根确定一元二次方程已知一元二次方程的两根分别是4和-5,则这个一元二次方程是( ) A.x2-6x+8=0 B.x2+9x-1=0C.x2-x-6=0 D.x2+x-20=0解析:∵方程的两根分别是4和-5,设两根为x1,x2,则x1+x2=-1,x1·x2=-20.如果令方程ax2+bx+c=0中,a=1,则-b=-1,c=-20.∴方程为x2+x-20=0.故选D.方法总结:先把所构造的方程的二次项系数定为1,利用一元二次方程根与系数的关系确定一元二次方程一次项系数和常数项.【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解已知x=4是一元二次方程x-3x+c=0的一个根,则另一个根为________.解析:设另一根为x1,则由根与系数的关系得x1+4=3,∴x1=-1.故答案为x=-1.方法总结:解决这类问题时,利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决.【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数关于x的方程x-ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是( ) A.-1或5 B.1C.5 D.-1解析:将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式,从而利用一元二次方程根与系数的关系解决.设方程两根为x1,x2,由题意,得x21+x22=5.∴(x1+x2)2-2x1x2=5.∵x1+x2=a,x1x2=2a,∴a2-2×2a=5.解得a1=5,a2=-1.又∵Δ=a2-8a,当a=5时,Δ<0,此时方程无实数根,所以舍去a=5.当a=-1时,Δ>0,此时方程有两实数根.所以取a=-1.故选D.方法总结:解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式,从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题.注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0,导致解答不全面.【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用已知x1、x2是一元二次方程(a-6)x+2ax+a=0的两个实数根.(1)是否存在实数a,使-x1+x1x2=4+x2成立?若存在,求出a的值;若不存在,请你说明理由;(2)求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.解:(1)根据题意,得Δ=(2a)2-4×a(a-6)=24a≥0.解得a≥0.又∵a-6≠0,∴a ≠6.由根与系数关系得:x1+x2=-2aa-6,x1x2=aa-6.由-x1+x1x2=4+x2得x1+x2+4=x1x2,∴-2aa-6+4=aa-6,解得a=24.经检验a=24是方程-2aa-6+4=aa-6的解.即存在a=24,使-x1+x1x2=4+x2成立.(2)原式=x1+x2+x1x2+1=-2aa-6+aa-6+1=66-a为负整数,则6-a为-1或-2,-3,-6.解得a=7或8,9,12.三、板书设计教学过程中,强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的,在利用此关系确定字母的取值时,一定要记住Δ≥0这个前提条件.22.3 实践与探索第1课时利用一元二次方程解决几何问题1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题.2.继续探究实际问题中的数量关系,列出一元二次方程解应用题.3.通过探究体会列方程的实质,提高灵活处理问题的能力.一、情境导入如图,在长为10cm,宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形,使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%,你能求出所截去小正方形的边长吗?二、合作探究探究点:用一元二次方程解决图形面积问题【类型一】利用面积构造一元二次方程模型用10米长的铝材制成一个矩形窗框,使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米,则根据题意可列出关于x的方程为( )A.x(5+x)=6 B.x(5-x)=6C.x(10-x)=6 D.x(10-2x)=6解析:设一边长为x米,则另外一边长为(5-x)米,根据它的面积为6平方米,即可列出方程得:x(5-x)=6,故选择B.方法总结:理解题意,恰当的设未知数,把题中相关的量用未知数表示出来,用相等关系列出方程.现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片,将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形,做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子,求小正方形的边长.解析:设小正方形的边长为x cm,则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示,再根据面积,即可建立等量关系,列出方程.解:设小正方形的边长为x cm,则可得这个长方体盒子的底面的长是(80-2x)cm,宽是(60-2x)cm,根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积,方程可列为(80-2x)(60-2x)=1500,整理得x2-70x+825=0,解得x1=55,x2=15.又60-2x>0,∴x=55(舍).∴小正方形的边长为15cm.方法总结:要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息,通过图形求出面积,解题的关键是熟记各种图形的面积公式,列出符合题意的方程,整理即可.【类型二】整体法构造一元二次方程模型如图,在一块长为22米,宽为17米的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分种上草坪,使草坪面积为300平方米.设道路宽为x 米,根据题意可列出的方程为______________.解析:解法一:把两条道路平移到靠近矩形的一边上,用含x 的代数式表示草坪的长为(22-x )米,宽为(17-x )米,根据草坪的面积为300平方米可列出方程(22-x )(17-x )=300.解法二:根据面积的和差可列方程:22×17-22x -17x +x 2=300.方法总结:解答与道路有关的面积问题,可以根据图形面积的和差关系,寻找相等关系建立方程求解;也可以用平移的方法,把道路平移构建特殊的图形,并利用面积建立方程求解.【类型三】利用一元二次方程解决动点问题如图所示,在△ABC 中,∠C =90°,AC =6cm ,BC =8cm ,点P 从点A 出发沿边AC向点C 以1cm/s 的速度移动,点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动.(1)如果P 、Q 同时出发,几秒钟后,可使△PCQ 的面积为8平方厘米?(2)点P 、Q 在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半.若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.解析:这是一道动态问题,可设出未知数,表示出PC 与CQ 的长,根据面积公式建立方程求解.解:(1)设x s 后,可使△PCQ 的面积为8cm 2,所以AP =x cm ,PC =(6-x )cm ,CQ =2x cm.则根据题意,得12·(6-x )·2x =8.整理,得x 2-6x +8=0,解这个方程,得x 1=2,x 2=4.所以P 、Q 同时出发,2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm 2.(2) 设点P 出发x 秒后,△PCQ 的面积等于△ABC 面积的一半.则根据题意,得12(6-x )·2x =12×12×6×8.整理,得x 2-6x +12=0.由于此方程没有实数根,所以不存在使△PCQ的面积等于△ABC 面积一半的时刻.三、板书设计与图形有关的问题是一元二次方程应用的常见题型,解决这类问题的关键是将不规则图形分割或补全成规则图形,找出各部分面积之间的关系,运用面积等计算公式列出方程;对图形进行分割或补全的原则:转化成为规则图形时越简单越直观越好.第2课时利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题1.掌握用“倍数关系”建立数学模型,并利用它解决一些具体问题.2.会解有关“增长率”及“销售”方面的实际问题.一、情境导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系.每盆植3株时,平均每株盈利4元;若每盆增加1株,平均每株盈利减少0.5元.要使每盆的盈利达到15元,每盆应多植多少株?二、合作探究探究点:用一元二次方程解决增长率问题【类型一】增长率问题某工厂一种产品2013年的产量是100万件,计划2015年产量达到121万件.假设2013年到2015年这种产品产量的年增长率相同.(1)求2013年到2015年这种产品产量的年增长率;(2)2014年这种产品的产量应达到多少万件?解析:(1)通过增长率公式列出一元二次方程即可求出增长率;(2)依据求得的增长率,代入2014年产量的表达式即可解决.解:(1)设这种产品产量的年增长率为x,根据题意列方程得100(1+x)2=121,解得x1=0.1,x2=-2.1(舍去).答:这种产品产量的年增长率为10%.(2)100×(1+10%)=110(万件).答:2014年这种产品的产量应达到110万件.方法总结:增长率问题中可以设基数为a,平均增长率为x,增长的次数为n,则增长后的结果为a(1+x)n;而增长率为负数时,则降低后的结果为a(1-x)n.某工厂使用旧设备生产,每月生产收入是90万元,每月另需支付设备维护费5万元;从今年1月份起使用新设备,生产收入提高且无设备维护费,使用当月生产收入达100万元,1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长,累计达364万元,3月份后,每月生产收入稳定在3月份的水平.(1)求使用新设备后,2月、3月生产收入的月增长率;(2)购进新设备需一次性支付640万元,使用新设备几个月后,该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润?(累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费)解析:(1)设2月,3月生产收入的月增长率为x,根据题意建立等量关系,即3个月之和为364万元,解方程时要对结果进行合理取舍;(2)根据题意,建立不等关系:前三个月的生产收入+以后几个月的收入减去一次性支付640万元大于或等于旧设备几个月的生产收入-每个月的维护费,然后解不等式.解:(1)设2月,3月生产收入的月增长率为x,根据题意有100+100(1+x)+100(1+x)2=364,即25x2+75x-16=0,解得,x1=-3.2(舍),x2=0.2,所以2月,3月生产收入的月增长率为20%.(2)设m个月后,使用新设备所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润,根据题意有364+100(1+20%)2(m-3)-640≥90m-5m,解得,m≥12.所以,使用新设备12个月后所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润.方法总结:根据实际问题中的数量关系或是题目中给出的数量关系得到方程,通过解方程解决实际问题,当方程的解不只一个时,要根据题意及实际问题确定出符合题意的解.【类型二】利润问题一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买了一批树苗,园林公司规定:如果购买树苗不超过60棵,每棵售价为120元;如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款8800元.请问该校共购买了多少棵树苗?解析:根据条件设该校共购买了x棵树苗,根据“售价=数量×单价”就可求解.。
22.2一元二次方程的解法1. 直接开平方法和因式分解法知识与技能:1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b(a≠0,ab≥0)的方程.2. 灵活运用因式分解法解一元二次方程.3. 使学生了解转化的思想在解方程中的应用.过程与方法:创设学生熟悉的问题情境,综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.情感态度:鼓励学生积极主动地参与“教”与“学”的整个过程,激发求知的欲望,体验求知的成功,增强学习的兴趣和自信心.教学重难点:重点:利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.难点:合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入,初步认识问:怎样解方程(x+1)2=256?解:(方法1)直接开平方,得x+1=±16.所以原方程的解为x1=15,x2=-17.(方法2)原方程可变形为(x+1)2-256=0.方程左边分解因式,得(x+1+16)(x+1-16)=0,即(x+17)(x-15)=0.所以x+17=0或x-15=0.所以原方程的解为x1=15,x2=-17.【教学说明】让学生说出作业中的解法,教师板书.二、思考探究,获取新知例1 用直接开平方法解下列方程:(1)(3x+1)2=7;(2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11.解:(1)直接开平方,得3x+1=±7.所以原方程的解为x=317-±. (2)原方程可变形为(y+1)2=24. 直接开平方,得y+1=±62.所以原方程的解为x=-1±62.(3)原方程可变形为(n -34)2=911. 直接开平方,得n -34=±311.所以原方程的解为x =3114 . 【教学说明】运用开平方法解形如(x +m )2=n (n ≥0)的方程时,最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程:(1)5x 2-4x =0; (2)3x (2x +1)=4x +2; (3)(x +5)2=3x +15. 解:(1)方程左边分解因式,得x (5x -4)=0. 所以x =0或5x -4=0. 所以原方程的解为x 1=0,x 2=54. (2)原方程可变形为6x 2-x -2=0. 方程左边分解因式,得6(x -32)(x +21)=0.所以x -32=0或x +21=0.所以原方程的解为x 1=32,x 2=-21.(3)原方程可变形为x 2+7x +10=0. 方程左边分解因式,得(x +2)(x +5)=0. 所以x +2=0或x +5=0.所以原方程的解为x 1=-5,x 2=-2.【教学说明】解这里的(2)(3)题时,注意整体化归的思想. 三、运用新知,深化理解 1. 用直接开平方法解下列方程:(1)3(x -1)2-6=0; (2)x 2-4x +4=5; (3)(x +5)2=25; (4)x 2+2x +1=4. 解:(1)x 1=1+2,x 2=1-2. (2)x 1=2+5,x 2=2-5.(3)x 1=0,x 2=-10. (4)x 1=1,x 2=-3.2. 用因式分解法解下列方程:(1)x 2+x =0;(2)x 2-23x =0;(3)3x 2-6x =-3;(4)4x 2-121=0;(5)(x -4)2=(5-2x )2.解:(1)x 1=0,x 2=-1. (2)x 1=0,x 2=23.(3)x 1=x 2=1. (4)x 1=211,x 2=-211. (5)x 1=1,x 2=3.3. 把小圆形场地的半径增加5 m 得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为x m. 则可列方程为2πx 2=π(x +5)2. 解得x 1=5+52,x 2=5-52(舍去). 答:小圆形场地的半径为(5+52)m.【教学说明】可由学生自主完成例题,分小组展示结果,教师点评. 四、师生互动,课堂小结1. 引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2. 对于形如a (x -k )2=b (a ≠0,b ≥0)的方程,只要把(x -k )看作一个整体,就可将其转化为x 2=n (n ≥0)的形式用直接开平方法解.3. 当方程出现相同因式(单项式或多项式)时,切不可约去相同因式,而应用因式分解 法解. 五、教学反思本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程,让学生小组讨论,归纳总结探究,掌握基本方法和步骤,合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法,在整个教学过程中注意整体化归的思想.2. 配方法知识与技能:1. 使学生掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程.2. 在配方法的应用过程中体会“转化”的思想,掌握一些转化的技能. 过程与方法:通过探索配方法的过程,让学生体会转化的数学思想方法. 情感态度:学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦,并体验数学的价值,增加学生学习数学的 兴趣. 教学重难点:重点:使学生掌握用配方法解一元二次方程.难点:发现并理解配方的方法. 一、情境导入,初步认识问题:要使一块矩形场地的长比宽多6 m ,且面积为16 m 2,场地的长和宽分别是多少? 设场地的宽为x m ,则长为(x +6)m. 根据矩形的面积为16 m 2,得到方程为x (x + 6)=16. 整理,得x 2+6x -16=0.【教学说明】创设实际问题情境,让学生感受到生活中处处有数学,激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究,获取新知探究:如何解方程x 2+6x -16=0?问题1: 通过上节课的学习,我们现在会解什么样的一元二次方程?举例说明. 【教学说明】用问题唤起学生的回忆,明确我们现在会解的一元二次方程的特点:等号左边是一个完全平方式,右边是一个非负常数,即(x +m )2=n (n ≥0),运用直接开平方法可求解.问题2: 你会用直接开平方法解下列方程吗?(1)(x +3)2=25;(2)x 2+6x +9=25;(3)x 2+6x =16;(4)x 2+6x -16=0.【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式,将x 2+6x -16=0转化为(x +3)2=25的形式,从而求得方程的解. 解:(1)移项,得x 2+6x =16. 两边都加上9,即(26)2,使左边配成x 2+bx +b 2的形式,得x 2+6x +9=16+9, 左边写成完全平方形式,得(x +3)2=25. 开平方,得x +3=±5,(降次) 即x +3=5或x +3=-5.解一次方程,得x 1=2,x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,从而可以直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫作配方法. 例1 填空:(1)x 2+8x + 16 =(x + 4)2;(2)x 2-x +41=(x -21)2;(3)4x 2+4x +1=(2x +1)2.例2 解方程:(1)x 2+6x +5=0; (2)2x 2+6x +2=0; (3)(1+x )2+2(1+x )-4=0. 解:(1)x 1=-1,x 2=-5. (2)x 1=-2325-,x 2=2325-. (3)x 1=5-2,x 2=-5-2.【教学说明】教师可让学生自主完成例题,小组展示,教师点评归纳. 【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤: (1)把方程化为一般形式ax 2+bx +c =0; (2)把常数项移到方程的右边; (3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方形式,利用直接开平方法来解. 三、运用新知,深化理解 1. 用配方法解下列方程:(1)2x 2-4x -8=0;(2)x 2-4x +2=0;(3)x 2-21x -1=0. 2. 如果x 2-4x +y 2+6y +2 z +13=0,求(xy )z的值. 【答案】1. 解:(1)x 1=1+5,x 2=1-5. (2)x 1=-2+2,x 2=2+2. (3)x 1=41+417,x 2=41-417. 2. 解:由题意知,x =2,y =-3,z =-2. 所以(xy )z=(-6)-2=361. 【教学说明】学生独立解答,小组内交流,上台展示并讲解思路. 四、师生互动,课堂小结1. 用配方法解一元二次方程的步骤.2. 用配方法解一元二次方程的注意事项. 五、教学反思本节课先创设情境导入一元二次方程的解法,引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解,从而探索出配方法的一般步骤,熟练运用配方法来解一元二次方程.3. 公式法知识与技能:1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2. 会熟练运用公式法解一元二次方程. 过程与方法:通过复习配方法解一元二次方程,引导学生推导出求根公式,使学生进一步认识特殊与一般的关系.情感态度:经历探索求根公式的过程,培养学生的抽象思维能力,渗透辩证唯物主义观点. 教学重难点:重点:求根公式的推导和公式法的运用. 难点:一元二次方程求根公式的推导. 一、情境导入,初步认识用配方法解方程:(1)x 2+3x +2=0;(2)2x 2-3x +5=0. 解:(1)x 1=-1,x 2=-2.(2)无解. 二、思考探究,获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx +c =0(a ≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题:已知ax 2+bx +c =0(a ≠0),试推导它的两个根:x 1=a ac b b 242-+-,x 2=aac b b 242---.【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多,现在不妨把a ,b ,c 也当成具体的数字,根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究: 一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根由方程的系数a ,b ,c 而定,因此, (1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c =0,当b 2-4ac ≥0时,将a ,b ,c 代入式子x =aac b b 242-±-就得到方程的根,当b 2-4ac <0时,方程没有实数根.(2)x =aac b b 242-±-叫作一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式,体验获取知识的过程,体会成功的喜悦,可让学生小组展示. 例1 用公式法解下列方程:①2x 2-4x -1=0; ②5x +2=3x 2; ③(x -2)(3x -5)=0; ④4x 2-3x +1=0. 解:①x 1=1+26,x 2=1-26.②x 1=2,x 2=-31.③x 1=2,x 2=35.④无解.【教学说明】(1)②,③要先化成一般形式;(2)强调确定a ,b ,c 的值,注意它们的符号;(3)先计算b 2-4ac 的值,再代入公式. 三、运用新知,深化理解 用公式法解下列方程:(1)x 2+x -12=0; (2)x 2-2x -41=0; (3)x 2+4x +8=2x +11; (4)x (x -4)=2-8x ; (5)x 2+2x =0; (6)x 2+25x +10=0. 解:(1)x 1=3,x 2=-4. (2)x 1=232+,x 2=232-. (3)x 1=1,x 2=-3.(4)x 1=-2+6,x 2=-2-6. (5)x 1=0,x 2=-2. (6)无解.【教学说明】用公式法解方程的关键是要先将方程化为一般形式再求解. 四、师生互动,课堂小结 1. 求根公式的概念及其推导过程. 2. 公式法的概念.3. 运用公式法解一元二次方程. 五、教学反思在学习活动中,要求学生主动参与,认真思考,比较观察,交流与表述,体验知识获取的过程,激发学生的学习兴趣,利用师生的双边活动,适时调试,从而提高学习效率.4. 一元二次方程根的判别式知识与技能:1. 能运用根的判别式,判断方程根的情况和进行有关的推理论证.2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围. 过程与方法:1. 经历一元二次方程根的判别式的产生过程.2. 向学生渗透分类讨论的数学思想.3. 培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力. 情感态度:1. 体验数学的简洁美.2. 培养学生的探索、创新精神和协作精神. 教学重难点:重点:根的判别式的正确理解与运用.难点:含字母系数的一元二次方程根的判别式的运用. 一、情境导入,初步认识用公式法解下列一元二次方程:(1)x 2+5x +6=0;(2)9x 2-6x +1=0;(3)x 2-2x +3=0. 解:(1)x 1=-2,x 2=-3. (2)x 1=x 2=31.(3)无解.【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况,回顾已有知识. 二、思考探究,获取新知观察解题过程,可以发现:在把系数代入求根公式之前,需先确定a ,b ,c 的值,再求出b 2-4ac 的值,它能决定方程是否有解,我们把b 2-4ac 叫作一元二次方程根的判别式,通常用符号“Δ”来表示,即Δ=b 2-4ac .我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现:(x +a b 2)2=a acb 2244-.【归纳结论】(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根:x 1=aacb b 242-+-,x 2=aacb b 242---;(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根:x 1=x 2=-ab2; (3)当Δ<0时,方程没有实数根.例1 利用根的判别式判定下列方程的根的情况: (1))2x 2-3x -23=0;(2)16x 2-24x +9=0;(3)x 2-42x +9=0;(4)3x 2+10x =2x 2+8x . 解:(1)有两个不相等的实数根. (2)有两个相等的实数根. (3)无实数根.(4)有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时,方程(m +1)x 2-(2m -3)x +m +1=0. (1)有两个不相等的实数根; (2)有两个相等的实数根; (3)没有实数根. 解:(1)m <41且m ≠-1.(2)m =41. (3)m >41. 【教学说明】注意(1)中的m +1≠0这一条件. 三、运用新知,深化理解1. 方程x 2-4x +4=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 有一个实数根D. 没有实数根2. 已知x 2+2x =m -1没有实数根,求证:x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根. 【答案】 1. B2. 证明:∵x 2+2x =m -1没有实数根, ∴4-4(1-m )<0,解得m <0.将方程x 2+mx =1-2m 化为x 2+mx +2m -1=0,∴Δ=m 2-8m +4. ∵m <0,∴Δ>0,∴x 2+mx =1-2m 必有两个不相等的实数根. 【教学说明】引导学生灵活运用知识. 四、师生互动,课堂小结1. 用判别式判定一元二次方程根的情况:(1)当Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根; (2)当Δ=0时,一元二次方程有两个相等的实数根. (3)当Δ<0时,一元二次方程无实数根.2. 运用根的判别式解决具体问题时,要注意二次项系数不为0这一隐含条件. 【教学说明】可让学生先分组讨论,回忆整理,再由小组代表陈述. 五、教学反思本节课创设情境,启发引导,让学生充分感受理解知识的产生和发展过程,在教师适时的点拨下,学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索,发现数学规律,培养了学生的创新意识、创新精神及思维能力.5. 一元二次方程的根与系数的关系知识与技能:1. 引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上,探索出一元二次方程根与系数的关系,及其关系的运用.2. 通过观察、实践、讨论等活动,经历从观察判断到发现关系的过程. 过程与方法:通过探究一元二次方程的根与系数的关系,培养学生观察分析和综合判断的能力,激发学生发现规律的积极性,鼓励学生勇于探索的精神. 情感态度:在积极参与数学活动的同时,初步体验发现问题,总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯. 教学重难点:重点:一元二次方程根与系数之间的关系的运用. 难点:一元二次方程根与系数之间的关系的运用. 一、情境导入,初步认识 1. 完成下列表格:问题:你发现了什么规律?①用语言叙述你发现的规律;(两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项) ②设方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1,x 2,用式子表示你发现的规律.(x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q ) 2. 完成下列表格:问题:上面发现的结论在这里成立吗?(不成立) 请完善规律:①用语言叙述你发现的规律;(两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比)②设方程ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1,x 2,用式子表示你发现的规律.(x 1+x 2=-a b ,x 1x 2=ac)二、思考探究,获取新知通过以上的活动你发现了什么规律?对一般的一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)这一规律是否成立?试通过求根公式加以说明.ax 2+bx +c =0的两根分别为x 1=a ac b b 242-+-,x 2=a ac b b 242---,则x 1+x 2=-a b ,x 1x 2=ac .【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系,体会知识形成的过程,加深对知识的理解.例1 不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:(1)x 2-6x -15=0; (2)3x 2+7x -9=0; (3)5x -1=4x 2.解:(1)x 1+x 2=6,x 1x 2=-15.(2)x 1+x 2=-37,x 1x 2=-3. (3)x 1+x 2=45,x 1x 2=41. 【教学说明】先将方程化为一般形式,再找出对应的系数.例2 已知方程2x 2+kx -9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值. 解:另一根为23,k =3. 【教学说明】此题有两种解法,一种是根据根的定义,将x =-3代入方程先求k ,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.例3 已知α,β是方程x 2-3x -5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.(1)βα11+; (2)βα22+; (3)βα-. 解:(1)βα11+=-53. (2)βα22+=19.(3)βα-=29或βα-=-29.三、运用新知,深化理解1. 不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:(1)x 2-3x =15; (2)5x 2-1=4x 2; (3)x 2-3x +2=10;(4)4x 2-144=0; (5)3x (x -1)=2(x -1); (6)(2x -1)2=(3-x )2.2. 两根均为负数的一元二次方程是( )A. 7x 2-12x +5=0B. 6x 2-13x -5=0C. 4x 2+21x +5=0D. x 2+15x -8=0【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.【答案】1. 解:(1)x 1+x 2=3,x 1x 2=-15.(2)x 1+x 2=0,x 1x 2=-1.(3)x 1+x 2=3,x 1x 2=-8.(4)x 1+x 2=0,x 1x 2=-36.(5)x 1+x 2=35,x 1x 2=32. (6)x 1+x 2=-32,x 1x 2=-38. 2. C 【教学说明】可由学生自主完成抢答,教师点评.四、师生互动,课堂小结1. 一元二次方程的根与系数的关系.2. 一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.五、教学反思本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系,再猜想一般一元二次方程的根与系数的关系,并从理论上加以推导证明,加深学生对知识的理解,培养学生严密的逻辑思维能力.。
用因式分解法解一元二次方程教学设计一、教材分析本节内容是人教版九年级数学上册第22章第2单元第3课时。
因式分解法是通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程,从而求出其解的,对于某些特殊方程,运用此方法简单。
二、学情分析我班现有学生47名,大部分同学对学习数学有兴趣,但是接受能力较差,原因是有一些学习成绩较好的学生都到城里的学校就读,剩下的绝大部分都是成绩特差,还有一些学生厌学。
为此,对于三分之一的学生能掌握本节内容。
但也有个别同学基础差,对掌握和理解新知有困难。
三、教学目标(一)1、了解因式分解法的概念。
2、会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程。
3、明确因式分解法解一元二次方程的依据和“降次”转化的数学思想方法。
(二)过程与方法1、通过课前预习及时复习因式分解,在课堂探究中让学生进一步体会因式分解法解一元二次方程的过程及特点。
2、通过课前预习培养学生自学的习惯。
3、体验解决问题的方法的多样性,灵活选择解方程的方法。
(三)情感、态度与价值观1、学会和他人合作,并能与他人交流思维的过程和结果。
2、积极探索不同的解法,并和同伴交流,勇于发表自己的观点,从交流中发现最优方法在学习活动中获得成功的体验,建立学好数学的自信心。
四、教学重点和难点重点:应用因式分解法解一元二次方程。
难点:将方程化为一般形式后,对方程左侧进行因式分解。
五、教学过程(一)复习导入:1、已学过的一元二次方程解法有哪些?2、请用已学过的方法解方程x2 -9=0(师:今天我们就一起来探讨用因式分解法解一元二次方程。
板书课题:因式分解法)3、将下列各式进行因式分解:(1)22x-8 (2)92x-25(3)2x-6x+9 (4) 2x-5x+6设计意图:通过此练习让学生加深对所学知识的理解并体会分解因式法与旧知识之间的联系。
(二) 设问,引导解答:1、令22x-8的值等于0,那么2(x+2)(x-2)的值也等于0。
2、师问:什么时候几个因式的乘积等于0呢?学生回答:其中一个因式等于0,或者两个都等于0时,它们的乘积为0.师总结:至少有一个因式为0时,它们的乘积等于0。
第22章一元二次方程22.1 一元二次方程【知识与技能】1.知道一元二次方程的意义,能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).2.在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中,使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具,增加对一元二次方程的感性认识.【过程与方法】通过解决实际问题,把实际问题转化为数学模型,引入一元二次方程的概念,让学生认识一元二次方程及其相关概念,提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.【情感态度】通过生活学习数学,并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情.【教学重点】判定一个数是否是方程的根.【教学难点】由实际问题列出的一元二次方程解出根后,还要考虑这些根是否确定是实际问题的根.一、情境导入,初步认识问题1 绿苑小区住宅设计,准备在每两幢楼房之间,开辟面积为900平方米的一块长方形绿地,并且长比宽多10米,那么绿地的长和宽各为多少?【分析】设长方形绿地的宽为x米,不难列出方程x(x+10)=900,整理可得x2+10x-900=0.(1)问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册,预计到明年年底增加到7.2万册.求这两年的年平均增长率.解:设这两年的年平均增长率为x,我们知道,去年年底的图书数是5万册,则今年年底的图书数是5(1+x)万册,同样,明年年底的图书数又是今年年底的(1+x)倍,即5(1+x)·(1+x)=5(1+x)2万册.可列得方程5(1+x)2=7.2,整理可得5x2+10x-2.2=0(2)【教学说明】教师引导学生列出方程,解决问题.二、思考探究,获取新知思考、讨论问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2).显然,这两个方程都不是一元二次方程.那么这两个方程与一元二次方程的区别在哪里?它们有什么共同特点呢?共同特点:(1)都是整式方程(2)只含有一个未知数(3)未知数的最高次数是2【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2,这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式:ax2+bx+c=0(a、b、c是已知数,a≠0).其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数,bx叫做一次项系数,c叫做常数项.例1判断下列方程是否为一元二次方程:解:①是;②不是;③是;④不是;⑤不是;⑥是.【教学说明】(1)一元二次方程为整式方程;(2)类似⑤这样的方程要化简后才能判断.例2 将方程(8-2x)(5-2x)=18化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数.一次项系数及常数项.解:2x2-13x+11=0;2,-13,11.【教学说明】将一元二次方程化成一般形式时,通常要将首项化负为正,化分为整.三、运用新知,深化理解1.将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项.(1)5x2-1=4x(2)4x2=81(3)4x(x+2)=25(4)(3x-2)(x+1)=8x-3解:(1)5x2-4x-1=0;5,-4,-1;(2)4x2-81=0;4,0,-81(3)4x 2+8x-25=0;4,8,-25(4)3x 2-7x+1=0;3,-7,1.2.根据下列问题,列出关于x 的方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长x ;(2)一个长方形的长比宽多2,面积是100,求长方形的长x ;(3)把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段的长的平方,求较短一段的长x.解:(1)4x 2=25;4x 2-25=0;(2)x (x-2)=100;x 2-2x-100=0;(3)x=(1-x )2;x2-3x+1=0.3.若x=2是方程ax 2+4x-5=0的一个根,求a 的值.解:∵x=2是方程ax2+4x-5=0的一个根.∴4a+8-5=0解得:a=-43. 四、师生互动,课堂小结1.只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式为ax 2+bx+c=0(a ≠0),一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的,这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的.3.在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中,体会学习一元二次方程的必要性和重要性.1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.1”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.22.2 一元二次方程的解法1.直接开平方法和因式分解法【知识与技能】1.会用直接开平方法解形如a(x-k)2=b(a≠0,ab≥0)的方程.2.灵活应用因式分解法解一元二次方程.3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用.【过程与方法】创设学生熟悉的问题情境,综合运用探究式、启发式、活动式等几种方法进行教学.【情感态度】鼓励学生积极主动的参与“教”与“学”的整个过程,激发求知的欲望,体验求知的成功,增强学习的兴趣和自信心.【教学重点】利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程.【教学难点】合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程.一、情境导入,初步认识问:怎样解方程(x+1)2=256?解:方法1:直接开平方,得x+1=±16所以原方程的解是x1=15,x2=-17方法2:原方程可变形为:(x+1)2-256=0,方程左边分解因式,得(x+1+16)(x+1-16)=0 即(x+17)(x-15)=0所以x+17=0或x-15=0原方程的解x1=15,x2=-17【教学说明】让学生说出作业中的解法,教师板书.二、思考探究,获取新知例1 用直接开平方法解下列方程(1)(3x+1)2=7;(2)y2+2y+1=24;(3)9n2-24n+16=11.【教学说明】运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程时,最容易出现的错误是漏掉负根.例2 用因式分解法解下列方程:(1)5x2-4x=0(2)3x(2x+1)=4x+2(3)(x+5)2=3x+15【教学说明】解这里的(2)(3)题时,注意整体划归的思想.三、运用新知,深化理解1.用直接开平方法解下列方程(1)3(x-1)2-6=0(2)x2-4x+4=5(3)(x+5)2=25(4)x2+2x+1=42.用因式分解法解下列方程:3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.解:设小圆形场地的半径为xm.则可列方程2πx2=π(x+5)2.=5+52,x2=5-52(舍去).解得x1答:小圆形场地的半径为(5+52)m.【教学说明】可由学生自主完成例题,分小组展示结果,教师点评.四、师生互动,课堂小结1.引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤.2.对于形如a(x-k)2=b(a≠0,b≥0)的方程,只要把(x-k)看作一个整体,就可转化为x2=n(n≥0)的形式用直接开平方法解.3.当方程出现相同因式(单项式或多项式)时,切不可约去相同因式,而应用因式分解法解.1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.2.配方法【知识与技能】1.使学生掌握配方法的推导过程,熟练地用配方法解一元二次方程.2.在配方法的应用过程中体会“转化”的思想,掌握一些转化的技能.【过程与方法】通过探索配方法的过程,让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦,并体验数学的价值,增加学生学习数学的兴趣.【教学重点】使学生掌握用配方法解一元二次方程.【教学难点】发现并理解配方的方法.一、情境导入,初步认识问题要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,场地的长和宽分别是多少?设场地的宽为xm,则长为(x+6)m,根据矩形面积为16m2,得到方程x(x+6)=16,整理得到x2+6x-16=0.【教学说明】创设实际问题情境,让学生感受到生活中处处有数学,激发学生的主动性和求知欲.二、思考探究,获取新知探究如何解方程x2+6x-16=0?问题1 通过上节课的学习,我们现在会解什么样的一元二次方程?举例说明.【教学说明】用问题唤起学生的回忆,明确我们现在会解的一元二次方程的特点:等号左边是一个完全平方式,右边是一个非负常数,即(x+m)2=n(n ≥0),运用直接开平方法可求解.问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗?(1)(x+3)2=25(2)x 2+6x+9=25(3)x 2+6x=16(4)x 2+6x-16=0【教学说明】教师启发学生逆向思考问题的思维方式,将x 2+6x-16=0转化为(x+3)2=25的形式,从而求得方程的解.解:移项得:x2+6x=16,两边都加上9即(26)2,使左边配成x 2+bx+(b2)2的形式,得: x 2+6x+9=16+9,左边写成完全平方形式,得:(x+3)2=25,开平方,得:x+3=±5,(降次)即x+3=5或x+3=-5解一次方程得:x 1=2,x 2=-8.【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,从而可以直接开平方求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.例1填空:(1)x 2+8x+16=(x+4)2(2)x 2-x+41=(x-21)2 (3)4x 2+4x+1=(2x+1)2例2 列方程:(1)x 2+6x+5=0 (2)2x 2+6x+2=0 (3)(1+x )2+2(1+x )-4=0【教学说明】教师可让学生自主完成例题,小组展示,教师点评归纳.【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤:(1)把方程化为一般形式ax 2+bx+c=0;(2)把常数项移到方程的右边;(3)方程两边同时除以二次项系数a ;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方形式,然后利用直接开平方法来解.三、运用新知,深化理解1.用配方法解下列方程:(1)2x 2-4x-8=0(2)x 2-4x+2=0(3)x 2-21x-1=0 2.如果x 2-4x+y2+6y+2 z +13=0,求(xy )z 的值.【教学说明】学生独立解答,小组内交流,上台展示并讲解思路.四、师生互动,课堂小结1.用配方法解一元二次方程的步骤.2.用配方法解一元二次方程的注意事项.1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中课时练习的“课时作业”部分.3.公式法【知识与技能】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.【过程与方法】通过复习配方法解一元二次方程,引导学生推导出求根公式,使学生进一步认识特殊与一般的关系.【情感态度】经历探索求根公式的过程,培养学生抽象思维能力,渗透辩证唯物主义观点.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】一元二次方程求根公式的推导.一、情境导入,初步认识用配方法解方程:(1)x2+3x+2=0 (2)2x2-3x+5=0解:(1)x1=-1,x2=-2 (2)无解二、思考探究,获取新知如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根?问题已知ax2+bx+c=0(a≠0),试推导它的两个根【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多,现在不妨把a,b,c也当成具体数字,根据上面的解题步骤就可以推导下去.探究一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a,b,c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a,b,c代入式子a acbbx24 2-±-=就得到方程的根,当b2-4ac<0时,方程没有实数根.(2)a acbbx24 2-±-=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【教学说明】教师可以引导学生利用配方法推出求根公式,体验获取知识的过程,体会成功的喜悦,可让学生小组展示.例1 用公式法解下列方程:①2x2-4x-1=0 ②5x+2=3x2③(x-2)(3x-5)=0 ④4x2-3x+1=0解:①x1=1+26,x2=1-26②x1=2,x2=-31③x1=2,x2=35④无解【教学说明】(1)对②、③要先化成一般形式;(2)强调确定a,b,c的值,注意它们的符号;(3)先计算b2-4ac的值,再代入公式.三、运用新知,深化理解1.用公式法解下列方程:(1)x2+x-12=0(2)x 2-2x-41=0 (3)x 2+4x+8=2x+11(4)x (x-4)=2-8x(5)x 2+2x=0(6)x 2+25x+10=0解:(1)x 1=3,x 2=-4;(2)x 1=232+,x 2=232-; (3)x 1=1,x 2=-3;(4)x 1=-2+6,x 2=-2-6;(5)x 1=0,x 2=-2;(6)无解.【教学说明】用公式法解方程关键是要先将方程化为一般形式.四、师生互动,课堂小结1.求根公式的概念及其推导过程.2.公式法的概念.3.应用公式法解一元二次方程.1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.4.一元二次方程根的判别式【知识与技能】1.能运用根的判别式,判断方程根的情况和进行有关的推理论证;2.会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围. 【过程与方法】1.经历一元二次方程根的判别式的产生过程;2.向学生渗透分类讨论的数学思想;3.培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力.【情感态度】1.体验数学的简洁美;2.培养学生的探索、创新精神和协作精神.【教学重点】根的判别式的正确理解与运用.【教学难点】含字母系数的一元二次方程根的判别式的应用.一、情境导入,初步认识用公式法解下列一元二次方程(1)x2+5x+6=0(2)9x2-6x+1=0(3)x2-2x+3=0解:(1)x1=-2,x2=-3(2)x1=x2=31(3)无解【教学说明】让学生亲身感知一元二次方程根的情况,回顾已有知识.二、思考探究,获取新知观察解题过程,可以发现:在把系数代入求根公式之前,需先确定a,b,c的值,然后求出b2-4ac的值,它能决定方程是否有解,我们把b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式,通常用符号“Δ”来表示,即Δ=b2-4ac.我们回顾一元二次方程求根公式的推导过程发现:【归纳结论】(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根:a acbbx24 21-+-=,aacbbx2422---=;(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根,x 1=x 2=-ab 2; (3)当Δ<0时,方程没有实数根.例1利用根的判别式判定下列方程的根的情况:解:(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)无实数根;(4)有两个不相等的实数根.例2 当m 为何值时,方程(m+1)x 2-(2m-3)x+m+1=0,(1)有两个不相等的实数根?(2)有两个相等的实数根?(3)没有实数根?解:(1)m <41且m ≠-1; (2)m=41; (3)m >41. 【教学说明】注意(1)中的m+1≠0这一条件.三、运用新知,深化理解1.方程x2-4x+4=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有一个实数根D.没有实数根2.已知x2+2x=m-1没有实数根,求证:x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【答案】1.B2.证明:∵x2+2x-m+1=0没有实数根,∴4-4(1-m)<0,∴m<0.对于方程x2+mx=1-2m,即x2+mx+2m-1=0,Δ=m2-8m+4,∵m<0,∴Δ>0,∴x2+mx=1-2m必有两个不相等的实数根.【教学说明】引导学生灵活运用知识.四、师生互动,课堂小结1.用判别式判定一元二次方程根的情况(1)Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的实数根;(2)Δ=0时,一元二次方程有两个相等的实数根.(3)Δ<0时,一元二次方程无实数根.2.运用根的判别式解决具体问题时,要注意二次项系数不为0这一隐含条件.【教学说明】可让学生分组讨论,回忆整理,再由小组代表陈述.1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.*5.一元二次方程的根与系数的关系【知识与技能】1.引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上,探索出一元二次方程根与系数的关系,及其关系的运用.2.通过观察、实践、讨论等活动,经历从观察判断到发现关系的过程.【过程与方法】通过探究一元二次方程的根与系数的关系,培养学生观察分析和综合判断的能力,激发学生发现规律的积极性,鼓励学生勇于探索的精神.【情感态度】在积极参与数学活动的同时,初步体验发现问题,总结规律的态度及养成质疑和独立思考的习惯.【教学重点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.【教学难点】一元二次方程根与系数之间的关系的运用.一、情境导入,初步认识1.完成下列表格问题你发现了什么规律?①用语言叙述你发现的规律:(两根之和为一次项系数的相反数;两根之积为常数项)②设方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,用式子表示你发现的规律.(x1+x2=-p,x1·x2=q)2.完成下列表格问题上面发现的结论在这里成立吗?(不成立)请完善规律:①用语言叙述发现的规律:(两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数,两根之积为常数项与二次项系数之比)②设方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1,x 2,用式子表示你发现的规律.(x 1+x 2=-a b ,x 1·x 2=ac ) 二、思考探究,获取新知通过以上活动你发现了什么规律?对一般的一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)这一规律是否成立?试通过求根公式加以说明.ax 2+bx+c=0的两根a ac b b x 2421-+-=,a ac b b x 2422---=,x1+x2=-a b , x 1·x 2=ac . 【教学说明】教师可引导学生根据求根公式推导出根与系数之间的关系,体会知识形成的过程,加深对知识的理解.例1 不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:(1)x 2-6x-15=0;(2)3x 2+7x-9=0;(3)5x-1=4x 2.解:(1)x1+x2=6,x1·x2=-15;(2)x1+x2=-37,x1·x2=-3; (3)x1+x2=45,x1·x2=41. 【教学说明】先将方程化为一般形式,找出对应的系数.例2 已知方程2x 2+kx-9=0的一个根是-3,求另一根及k 的值. 解:另一根为23,k=3.【教学说明】本题有两种解法,一种是根据根的定义,将x=-3代入方程先求k,再求另一个根;一种是利用根与系数的关系解答.例3 已知α,β是方程x2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值.三、运用新知,深化理解1.不解方程,求下列方程的两根之和与两根之积:(1)x2-3x=15(2)5x2-1=4x2(3)x2-3x+2=10(4)4x2-144=0(5)3x(x-1)=2(x-1)(6)(2x-1)2=(3-x)22.两根均为负数的一元二次方程是()A.7x2-12x+5=0B.6x2-13x-5=0C.4x2+21x+5=0D.x2+15x-8=0【教学说明】两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数,两根之积为正数.【答案】1.(1)x1+x2=3,x1x2=-15(2)x1+x2=0,x1x2=-1(3)x1+x2=3,x1x2=-8(4)x1+x2=0,x1x2=-36(5)x1+x2=35,x1x2=32(6)x1+x2=-32,x1x2=-382.C【教学说明】可由学生自主完成抢答,教师点评.四、师生互动,课堂小结1.一元二次方程的根与系数的关系.2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件.1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.2”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.22.3 实践与探索【知识与技能】使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题,学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程.【过程与方法】让学生经历由实际问题转化为数学模型的过程,领悟数学建模思想,体会如何寻找实际问题中的等量关系.【情感态度】通过合作交流进一步感知方程的应用价值,培养学生的创新意识和实践能力,通过交流互动,逐步培养合作的意识及严谨的治学精神.【教学重点】列一元二次方程解决实际问题.【教学难点】寻找实际问题中的等量关系.一、情境导入,初步认识问题1 学校生物小组有一块长32m,宽20m的矩形试验田,为了管理方便,准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道,要使种植面积为540m2,小道的宽应是多少?问题2 某药品经过两次降价,每瓶零售价由56元降为31.5元,已知两次降价的百分率相同,求每次降价的百分率.二、思考探究,获取新知问题1 【分析】问题中的等量关系很明显,即抓住种植面积为540m2来列方程,设小道的宽为xm,如何来表示种植面积?方法一:如图,由题意得,32×20-32x-20x+x2=540方法二:如图,采用平移的方法更简便.由题意可得:(20-x)(32-x)=540解得x1=50,x2=2由题意可得x<20,∴x=2【教学说明】引导学生学会一题多解,同时要注意检验所解得的结果是否符合实际意义.问题2 【分析】这是增长率问题,问题中的数量关系很明了,即原价56元经过两次降价降为31.5元,设每次降价的百分率为x,由题意得56(1-x)2=31.5解得 x1=0.25,x2=1.75(舍去)三、运用新知,深化理解1.青山村种的水稻2011年平均每公顷产量为7200kg,2013年平均每公顷产量为8450kg,求水稻每公顷产量的年平均增长率.2.用一根长40cm的铁丝围成一个长方形,要求长方形的面积为75cm2.(1)求此长方形的宽.(2)能围成一个面积为101cm2的长方形吗?如能,说明围法.(3)若设围成一个长方形的面积为S(cm2),长方形的宽为x(cm),求S 与x的函数关系式,并求出当x为何值时,S的值最大,最大面积为多少.【答案】1.解:设年平均增长率为x,则有7200(1+x)2=8450,解得x1=121≈0.08,x 2=-1224≈-2.08(舍去).即年平均增长率为8%.答:水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.2.解:(1)设此长方形的宽为xcm,则长为(20-x)cm. 根据题意,得x(20-x)=75解得:x1=5,x2=15(舍去).答:此长方形的宽是5cm.(2)不能.由x(20-x)=101,即x2-20x+101=0,,知Δ=202-4×101=-4<0,方程无解,故不能围成一个面积为101cm2的长方形.(3)S=x(20-x)=-x2+20x.由S=-x2+20x=-(x-10)2+100可知,当x=10时,S的值最大,最大面积为100cm2.【教学说明】注意一元二次方程根的判别式和配方法在第2题第(2)、(3)问中的应用.四、师生互动,课堂小结1.列一元二次方程解应用题的步骤:审、设、找、列、解、答.最后要检验根是否符合实际意义.2.用一元二次方程解决特殊图形问题时,通常要先画出图形,利用图形的面积找相等关系列方程.3.若平均增长(降低)率为x,增长(或降低)前的基数是a,增长(或降低)n次后的量是b,则有:a(1±x)n=b(常见n=2).1.布置作业:从教材相应练习和“习题22.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习的“课时作业”部分.本章复习【知识与技能】掌握一元二次方程的基本概念及其解法;灵活运用一元二次方程知识解决一些实际问题.【过程与方法】通过梳理本章知识,回顾解决问题中所涉及到的化归思想、建模思想的过程,加深对本章知识的理解.【情感态度】在运用一元二次方程的有关知识解决具体问题的过程中,进一步体会数学来源于生活又应用于生活,增强数学的应用意识,感受数学的应用价值,激发学生的学习兴趣.【教学重点】一元二次方程的解法及应用.【教学难点】一元二次方程的应用.一、知识框图,整体把握二、释疑解惑,加深理解1.一元二次方程的解法【教学说明】一般考虑选择方法的顺序:直接开平方法、因式分解法、配方法或公式法.2.一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac(1)当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当Δ<0时,方程无实数根.在应用时,要根据根的情况限定Δ的取值,同时应注意二次项系数不为0这一条件.3.一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)的根与系数的关系,在应用时要注意变形.同时要明确根与系数的关系成立的两个条件:(1)a≠0,(2)Δ≥04.应用一元二次方程解决实际问题,要注重分析实际问题中的等量关系,列出方程,求出方程的解,同时要注意检验其是否符合题意.三、典例精析,复习新知例1 用适当的方法解下列方程(1)x2-7x=0(2)x2+12x+27=0(3)x(x-2)+x-2=0(4)x2+x-2=4(5)4(x+2)2=9(2x-1)2解:(1)x1=0,x2=7;(2)x1=-3,x2=-9;(3)x1=2,x2=-1;(4)x1=2,x2=-3;(5)x1=47,x2=-81.【教学说明】依据各种不同方法所对应方程的特点来解.例2 关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0,有两个不相等的实数根x 1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是().A.1B.-1C.1或-1D.2例3 (2012·江苏徐州)为了倡导节能低碳生活,某公司对集体宿舍用电收费作如下规定:一间宿舍一个月用电量不超过a 千瓦时,则一个月的电费为20元;若超过a 千瓦时,则除交20元外,超过部分每千瓦时要交100a元,某宿舍3月份用电80千瓦时,交电费35元;4月份用电45千瓦时,交电费20元.(1)求a 的值;(2)若该宿舍5月份交电费45元,那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时? 解:(1)由题意得20+(80-a )×100a=35,解得a 1=30,a 2=50,∵a >45,∴a=50.(2)设5月份用电x 千瓦时,依题意得20+(x-50)×10050=45,解得x=100,则该宿舍当月用电量为100千瓦时.【教学说明】现实生活中存在大量的实际应用问题,需要用一元二次方程的知识来解决,解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上构建方程模型.四、复习训练,巩固提高. 1.方程x 2-3x=0的解为( ) A.x=0B.x=3C.x 1=0,x 2=-3D.x 1=0,x 2=32.(2012·河北)用配方法解方程x 2+4x+1=0,配方后的方程是( ) A.(x+2)2=3 B.(x-2)2=3 C.(x-2)2=5 D.(x+2)2=53.(2012·辽宁本溪)已知一元二次方程x 2-8x+15=0的两个根恰好分别是等腰△ABC 的底边长和腰长,则△ABC 的周长为( )A.13B.11或13C.11D.124.(2012·山东日照)已知关于x 的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是( )A.k <34且k ≠2 B.k ≥34且k ≠2 C.k >43且k ≠2 D.k ≥43且k ≠2 5.设α,β是一元二次方程x 2+3x-7=0的两个根,则α2+4α+β= . 6.(2012·内蒙古包头)关于x 的两个方程x 2-x-2=0与ax x +=+211有一个解相同,则a= .7.(2012·湖北鄂州)设x 1,x 2是一元二次方程x 2+5x-3=0的两个根,且2x 1(x 22+6x 2-3)+a=4,则a= .8.(2012·山东济宁)一学校为了绿化校园环境,向某园林公司购买了一批树苗,园林公司规定:如果购买树苗不超过60棵,每棵售价120元;如果购买树苗超过60棵,每增加1棵,所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元,但每棵树苗最低售价不得少于100元.该校最终向园林公司支付树苗款8800元,请问该校共购买了多少棵树苗?【答案】1.D 2.A 3.B 4.C 5.4 6.4 7.108.解:∵60棵树苗的售价为120×60=7200(元),而7200<8800,∴该校购买的树苗超过60棵.设该校共购买了x棵树苗,由题意得x[120-0.5(x-60)]=8800,解得x1=220,x2=80,当x1=220时,120-0.5×(220-60)=40<100,∴x=220不合题意,舍去;当x=80时,120-0.5×(80-60)=110>100,∴x=80,即该校共购买了80棵树苗.五、师生互动,课堂小结本堂课你能完整地回顾本章所学的有关一元二次方程的知识吗?你还有哪些困惑与疑问?1.布置作业:从教材本章“复习题”中选取.2.完成练习册中“本章热点专题训练”.第23章图形的相似23.1 成比例线段1.成比例线段【知识与技能】1.了解成比例线段的意义,会判断四条线段是否成比例.2.会利用比例的性质,求出未知线段的长.【过程与方法】培养学生灵活解题及合作探究的能力.【情感态度】感受数学逻辑推理的魅力.【教学重点】成比例线段的定义;比例的基本性质及直接运用.【教学难点】比例的基本性质的灵活运用,探索比例的其他性质.一、情境导入,初步认识 挂上两张照片,问: 1.这两个图形有什么联系?它们都是平面图形,它们的形状相同,大小不相同,是相似图形. 2.这两个图形是相似图形,为什么有些图形是相似的,而有的图形看起来相像又不会相似呢?相似的两个图形有什么主要特征呢?为了探究相似图形的特征,本节课先学习线段的成比例.二、思考探究,获取新知 1.两条线段的比(1)回忆什么叫两个数的比,怎样度量线段的长度,怎样比较两线段的大小.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ,那么就说这两条线段的比AB ∶CD=m ∶n ,或写成ABCD=nm,其中,线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项和后项.如果把n m 表示成比值k ,则CDAB =k 或AB=k ·CD. 注意:在量线段时要选用同一个长度单位. (2)做一做。
华师大版数学九年级上册第22章《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是华师大版数学九年级上册第22章的内容,本章主要让学生掌握一元二次方程的解法、性质和应用。
一元二次方程是初中数学的重要内容,也是高中数学的基础。
通过本章的学习,学生能理解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的解法,并能运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础,对于方程的概念和解法有一定的了解。
但是,对于一元二次方程的性质和应用,学生可能还存在一定的困难。
因此,在教学过程中,需要引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程,并通过例子让学生感受一元二次方程的应用。
三. 教学目标1.了解一元二次方程的概念,掌握一元二次方程的解法。
2.理解一元二次方程的性质,能运用一元二次方程解决实际问题。
3.培养学生的抽象思维能力,提高学生运用数学解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的概念和性质。
2.一元二次方程的解法。
3.一元二次方程在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法,引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。
2.利用数形结合法,帮助学生理解一元二次方程的性质。
3.运用实例讲解法,让学生感受一元二次方程的应用。
4.采用小组合作学习法,培养学生的团队合作精神。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题,用于引导学生学习一元二次方程。
2.准备一元二次方程的例题,用于讲解一元二次方程的解法。
3.准备一元二次方程的练习题,用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入(5分钟)通过呈现一个实际问题,引导学生从实际问题中抽象出一元二次方程。
例如,某商品打8折后售价为120元,求原价。
2.呈现(10分钟)呈现一元二次方程的定义和性质,让学生了解一元二次方程的概念。
同时,通过例子讲解一元二次方程的解法,让学生掌握解一元二次方程的方法。
3.操练(15分钟)让学生独立完成一些一元二次方程的练习题,巩固所学知识。
22.2.4 一元二次方程的应用一、素质教育目标(一)知识储备点会列一元二次方程解相关的应用题,并能检查所得的结果是否正确、合理.(二)能力培养点通过列一元二次方程解相关的应用题,培养学生分析问题、解决问题的能力,培养学生关心身边生活,勇于思考、勇于探索的实践能力,进一步提高学生列方程解决问题的能力.(三)情感体验点通过应用题的内容,进行理论联系实际的教育,进一步渗透未知化已知的思想,通过挖掘隐含的条件体验用方程解应用题的简洁美和创造美.二、教学设想1.重点:根据相关的应用题的题意列出一元二次方程.2.难点:根据相关的应用题的题意列出一元二次方程,并能够得出正确、•合理的结果.合理设未知数,列方程.3.疑点:如何正确地寻找相等关系.4.课型与基本教学思路:新授课.•本节课通过一些实际生活中遇到的相应问题列一元二次方程解决问题,体会列方程解应用题的步骤,并能熟练进行列方程解应用题.三、媒体平台1.教具、学具准备:自制投影胶片2.多媒体课件撷英:【注意】课件要根据实际需要进行适当修改四、课时安排1课时五、教学步骤(一)教学流程1.情境导入(投影显示)问题:“坡耕地退耕还林还草”是国家为了解决西部地区水土流失生态问题、帮助广大农民脱贫致富的一项战略措施,某村村长为带领全村群众自觉投入“坡耕地退耕还林还草”行动,率先示范.2002年将自家的坡耕地全部退耕,并于当年承包了30亩耕地的还林还草及管理任务,而实际完成的亩数比承包数增加的百分率为x,并保持这一增长率不变,2003年村长完成了36.3•亩坡耕地还林还草任务,求①增长率x是多少?②该村有50户人家,每户均地村长2003•年完成的亩数为准,国家按每亩耕地500斤粮食给予补助,•则国家将对该村投入补助粮食多少万斤?2.课前热身教师投影出教材中的问题1,并解:x(x+10)=900;x2+10x-900=1;x1x2=-5-这两个都是所列方程的解,但x2为负根应舍去,所以符合题意的解是x1=-5+•≈25.4,x+10≈35.4,因此绿地的宽和长应分别为25.4米和35.4米.3.合作探究(1)整体感知:教师引导学生分析关于环保的情境导入问题,•这是一个平均增长率问题,它的基数是30亩,平均增长的百分率为x,那么第一次增长后,•即2002年实际完成的亩数是30(1+x),第二次增长后,即2003年实际完成的亩数是30(1+x)2,而这一年村长完成的亩数正好是36.3亩.教师引导学生运用方程解决问题:因此,有①30(1+x)2=36.3;(1+x)2=1.21;1+x=±1.1;x1=0.1=10%,x2=-2.1(舍去),所以增长的百分率为10%.②全村坡耕地还林还草为50×36.3=1 815(亩),•国家将补助粮食1 •815•×500=907 500(斤)=90.75(万斤).(2)师生互动互动1师:教材P36例7.生甲:设截去正方形的边长为xcm,根据题意得:(60-2x)(40-2x)=800教师让每个同学自己解一下这个方程,分组讨论它的解是否符合题意.明确列一元二次方程解应用题的步骤:①审:审题要弄清已知量和未知量,问题中的等量关系;②设:设未知数,有直接和间接两种设法,因题而异;③列:列方程,一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系,列代数式表示相等关系中的各个量,即方程;④解:求出所列方程的解;⑤检验:检验方程的解是否正确,是否符合题意;⑥答:写出答案.互动2师:教材P36例8:由于原价和现在的价格都没有具体的数字,如何列方程?同学们联系已有的知识讨论交流.明确本题属于经济问题,此类营销问题是一个热点问题,当原价和现在的价格都没有具体的数字,可以设原价为1个单位,由于降价的百分率不可能大于1,所以检验x的值是否符合题意是解应用题的重要步骤.互动3对教材的理解:掌握应用题的等量关系,如匀速行程s=vt,工程问题、航行问题、浓度问题、增长率问题、数字问题、营销问题、折纸问题等分析其中的等量关系可以采用列式法、线段图示法、列表法.明确用一元二次方程解相关问题,有许多题型,许多分析方法,同学们可以在多解应用题的基础上自己总结,能熟练地解决并能正确,合理地灵活运用,达到教材所要求的内容与思想方法.4.达标反馈(1)选择题:①某商品计划经过两个月的时间将售价提高20%,设每月平均增长率为x,则列出的方程为(C)A.x+(1+x)x=20% B.(1+x)2=20%C.(1+x)2=1.2 D.(1+x%)2=1+20%②以墙为一边,再用长为13m的铁丝为另外三边,围成面积为20m2的长方形.已知长大于宽,则长方形的长、宽分别是(D)A.5m、4m或9m、2m B.9m、2mC.10m、1.5m D.8m、2.5m或5m、4m③李明同学在演算某数的平方时,将这个数的平方误写成它的2倍,•使答案少了35,则这个数为(D)A.-7 B.-5或-7 C.5或7 D.7④下列判断错误的是(A)A.两个连续整数的积是30,则这两个数是5和6B.已知三角形的面积为24cm2,某边上的高比该边短2cm,若设该边长为xcm,•则可列出方程12x(x-2)=24C.将15cm长的铁丝围成一个面积为10cm2的矩形,设长为xcm,则可列出方程1 2 x(15-2x)=10D.某工厂计划用两年时间把产品的成本下降19%,则平均每一年比上一年下降10%或190%(2)填空题:①若直角三角形的三边长是连续整数,则三边长为3,4,5 .②若等腰直角三角形的面积为8.③若三个连续偶数的平方和为116,则这三个连续偶数依次为-8 、-6 •、-4 ,或 4 、 6 、8 .④等腰三角形的面积为2,底边上的高为3cm.⑤某工厂计划两年内降低成本36%,则平均每年降低成本的百分率是20% .⑥两个正方形的边长之和为25dm,面积之和为325dm2,•设一个小正方形的边长为x,则关于x的一元二次方程是x2+(25-x)=325 ,大正方形的边长为15 dm.⑦两个数的和为16,它们的积是63,那么这两个数的差为 2 .⑧某旅店底楼的客房比二楼少一间,各个房间住的人数同这层楼的房间数相同,现有36人,底楼都住满,而二楼只剩下一间空房,则二楼的房间是 5 .⑨在一块长15cm,宽10cm的铁片的中间挖一个面积为36cm2的长方形的空间,且使剩下的四周一样宽,设这宽为x,则可得方程为(15-2x)(10-2x)=36 .⑩一个两位数,个位上的数字比十位上的数字小4,•且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则方程为 10(x+4)+x-4=(x+4)2+x2.(3)解答题:①请参考下面两题,再编一道类似的应用题.⑴两连续偶数的积是120,求这两个数.⑵已知两数的差是2,积等于323,求这两个数.【答案】略②用16cm长的铁丝弯成一个矩形,用18cm•长的铁丝弯成一个有一条边长为5cm的等腰三角形,如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等,求矩形的边长.【答案】3cm,5cm或2cm,6cm③某工厂一月份的产值是5万元,三月份的产值是11.25万元,求月平均增长率是多少?【答案】50%④某种药剂原售价为4元,经过两次降价,现在每瓶售价为2.56元,•问平均每次降低百分之几?⑤一个容器盛满纯药液63升,第一次倒出一部分药液后加满水,第二次又倒出同样多的药液,再加满水,这时容器内剩下的纯药液是28升,求每次倒出多少升药液?【答案】21⑥为了培养孩子从小热爱动物的良好品德,学校决定一边靠校园20m的院墙,•另外三边用55m长的篱笆,围起一块面积为300m2的矩形场地,•组织生物小组学生喂养鸟、兔子等小动物.问这个场地的各边长是多少?【答案】15,205.学习小结(1)引导学生作知识总结:本节课我们学习了列一元二次方程解应用题,•要注意解题步骤,特别地,检验解的结果是否正确和符合题意,并要注意题型的积累.(2)教师扩展:(方法归纳)解应用题的步骤:审、设、列、解、检验、答.•关键是寻找等量关系,可以采用列式法、线段图示法、列表法等来帮助寻找,并注重检验.(二)拓展延伸1.链接生活链接一:需要用一元二次方程解的应用问题范围很广,数学、物理、化学中皆有用武之地,在数学范畴中,尤其适合解有关增长率的问题.增长率是指增长数与基准数的比,即增长率=增长数基准数.设基准数为a,增长率为x,则一年后的总产量为a+a·x=a(1+x);两年后的总产量为a(1+x)+a(1+x)·x=a(1+x)(•1+x)=a(1+x)2.所谓一年后的总产量,也可以说成第二年的总产量;当然两年后的总产量也可以说成第三年的总产量.以此类推.链接二:列方程解应用题应该注意的一些问题:要注意各类应用题中常用的等量关系.例如面积问题中有关的面积公式,还要注意挖掘题目中隐含的等量关系;注意语言与代数表达式的互化.题目中有些条件是通过语言给出的,只有把它转化成代数式才能为列方程服务;注意从语言叙述中写出等量关系;注意单位问题:一是在设元时必须写清单位,用对单位,例如不要把速度单位写成路程单位.二是在列方程时,要注意方程两边的单位必须一致.2.巩固练习(1)某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5 000吨,三月份上升到7 200吨.•这两个月平均每月增长的百分率是多少?【答案】20%(2)现有长方形纸片一张,长19cm,宽15cm,•需要剪去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒?【答案】 4(3)要做一个容积为750cm3,高是6cm,底面的长比宽多5cm的长方形匣子,底面的长及宽应该各是多少(精确到0.1cm)?【答案】9.0(4)一个长方形的相邻两边的长是连续整数,面积是210cm2,求这个长方形的边长.【答案】14,15(5)已知菱形的面积为20,两条对角线的差是3,求它的两条对角线的长.【答案】5,8(6)老李购买某债券4 000元,两年后本利和为4 840元,•求这种债券的平均年利率.(7)若三个连续正整数的中间一个数的9倍比另两个数的积大9,•则这三个数的和是多少?【答案】 24(8)已知A 、B 两地相距60km ,甲骑自行车从A 地出发去B 地,两小时30分后,•乙骑摩托车以每小时比甲骑自行车快25km 的速度从A 地出发追赶甲,结果甲、•乙两人同时到达B 地,求乙骑摩托车的速度是多少?【答案】 15(9)一块长方形的场地,长70m ,宽50m ,在这块场地的外面,•围绕着筑了一条宽度均匀的道路,面积是1 024m 2,求这条道路的宽.【答案】 4(10)直角三角形的三边是三个连续偶数,求它的斜边上的高.【答案】 4.8(11)有一个两位数,两个数位上的数字之和是6,•这两个数位上的数字之积等于这个两位数的13,求这个两位数. 【答案】 15或24(12)有一个倒圆锥形,高0.6m 的水缸养金鱼,用底面直线0.4m ,高为0.5m 的水桶提水灌入水缸,满满地提了10桶水后,恰好将水缸灌满,求水缸的上口直径.【答案】 2(13)某厂第一季度共生产机床273台,若一月份的产量为75台,•那么该厂第一季度的月平均增长率是多少?【答案】 20%(14)一块长方形的场地,长24m ,宽12m ,要在它的中央建一个矩形的花坛,四周铺上草地,其宽度都相等,花坛占去矩形场地面积的59,求草地的宽. 【答案】 2 (15)正方形ABCD 的边长为5,在这个正方形的BC 、CD 边上分别取P 和Q 点,•使△APQ 为等边三角形时.①求BP 的长;②求等边△APQ 的边长;③求等边△APQ 的面积.【答案】 ①②5③(16)小王将2 000元人民币按一年定期存入银行,到期后取出,将1 000元用于购物,其余的全部按一年定期存入银行,若第二年存款利率比第一年降低两个百分点,到期后得本金和利息共1 296元,求第一年定期储蓄的年利率.【答案】 10%(17)某工厂自1999年1月起生产滑坡,平均每月比上月下降10%,5•月起进行体制改革,成立股份公司,工人积极性提高,仅两个月产量就恢复到原来的水平,问:5、6月份平均每月的增长率是多少?(保留到0.1%)【答案】 36.7%(18)两个全等的等腰直角三角形中各有一个内接的小正方形,已知第一个图中内接正方形的面积为a 2,求第二个图中的内接正方形的面积.DCB A Q P(1)(2)【答案】8 9 a2(三)板书设计§22.2一元二次方程的解法4.一元二次方程的应用解题步骤:__________________ 例题:_____________注意事项:__________________ 学生练习:____________六、资料下载中学数学思想方法及其教学研究1.教学思想方法教学的心理学意义美国心理学家布鲁纳认为,“不论我们选教什么学科,务必使学生理解该学科的基本结构”.所谓基本结构就是指“基本的、统一的观点,或者是一般的,基本的原理”.“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的.”数学思想与方法为数学学科的一般原理的重要组成部分.下面从布鲁纳的基本结构学说中来看数学思想、方法教学所具有的重要意义.第一,“懂得基本原理使得学科更容易理解”.心理学认为“由于认知结构中原有的有关观念在包摄和概括水平上高于新学习的知识,因而新知识与旧知识所构成的这种类属关系又可称为下位关系,这种学习便称为下位学习.”当学生掌握了一些数学思想、方法,再去学习相关的数学知识,就属于下位学习了.下位学习所学知识“具有足够的稳定性,有利于牢固地固定新学习的意义,”即使新知识能够较顺利地纳入到学生已有的认知结构中去.学生学习了数学思想、方法就能够更好地理解和掌握数学内容.第二,有利于记忆.布鲁纳认为,“除非把一件件事情放进构造得好的模型里面,否则很快就会忘记.”“学习基本原理的目的,就在于保证记忆的丧失不是全部丧失,而遗留下来的东西将使我们在需要的时候得以把一件件事情重新构思起来.高明的理论不仅是现在用以理解现象的工具,而且也是明天用以回忆那个现象的工具.”由此可见,数学思想、方法作为数学学科的“一般原理”,在数学学习中是至关重要的.无怪乎有人认为,对于中学生“不管他们将来从事什么业务工作,惟有深深地铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法,却随时随地发生作用,使他们受益终生.”第三,学习基本原理有利于“原理和态度的迁移”.布鲁纳认为,“这种类型的迁移应该是教育过程的核心──用基本的和一般的观念来不断扩大和加深知识”.曹才翰教授也认为,“如果学生认知结构中具有较高抽象、概括水平的观念,对于新学习是有利的.”“只有概括的、巩固的和清晰的知识才能实现迁移.”美国心理学家贾德通过实验证明,“学习迁移的发生应有一个先诀条件,就是学生需先掌握原理,形成类比,才能迁移到具体的类似学习中.”学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移,特别是原理和态度的迁移,从而可以较快地提高学习质量和数学能力.第四,强调结构和原理的学习,“能够缩小高级知识和初级知识之间的间隙”.一般地讲,初等数学与高等数学的界限还是比较清楚的,特别是中学数学的许多具体内容在高等数学中不再出现了,有些术语如方程、函数等在高等数学中要赋予它们以新的涵义.而在高等数学中几乎全部保留下来的只有中学数学思想和方法以及与其关系密切的内容,如集合、对应等.因此,数学思想、方法是联结中学数学与高等数学的一条红线.2.中学数学教学内容的层次中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次:一个称为表面知识,另一个称为深层知识.表面知识包括概念、性质、法则、公式、公理、定理等数学的基本知识和基本技能,深层知识主要指数学思想和数学方法.表层知识是深层知识的基础,是教学大纲中明确规定的,教材中明确给出的,以及具有较强操作性的知识.学生只有通过对教材的学习,在掌握和理解了一定的表层知识后,才能进一步地学习和领悟相关的深层知识.深层知识蕴含于表层知识之中,是数学的精髓,它支撑和统帅着表层知识.教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识,让学生在掌握表层知识的同时,领悟到深层知识,才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”,从而使数学教学超脱“题海”之苦,使其更富有朝气和创造性.那种只重视讲授表层知识,而不注重渗透数学思想、方法的教学,是不完备的教学,它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握,使学生的知识水平永远保留在一个初级阶段,难以提高;反之,如果单纯强调数学思想和方法,而忽略表层知识的教学,就会使教学流于形式,成为无源之水,无本之木,学生也难以领略到深层知识的真谛.因此,数学思想、方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体,使学生逐步掌握有关的深层知识,提高数学能力,形成良好的数学素质.3.中学数学中的主要数学思想和方法数学思想是分析、处理和解决数学问题的根本想法,是对数学规律的理性认识.由于中学生认知能力和中学数学教学内容的限制,只能将部分重要的数学思想落实到数学教学的过程中,而对有些数学思想不宜要求过高.我们认为,在中学数学中应予以重视的数学思想主要有三个:集合思想、化归思想和对应思想.其理由是:(1)这三个思想几乎包摄了全部中学数学内容;(2)符合中学生的思维能力及他们的实际生活经验,易于被他们理解和掌握;(3)在中学数学教学中,•运用这些思想分析、处理和解决数学问题的机会比较多;(4)•掌握这些思想可以为进一步学习高等数学打下较好的基础.此外,符号化思想、公理化思想以及极限思想等在中学数学中也不同程度地有所体现,应依据具体情况在教学中予以渗透.数学方法是分析、处理和解决数学问题的策略,这些策略与人们的数学知识,经验以及数学思想掌握情况密切相关.从有利于中学数学教学出发,本着数量不宜过多原则,我们认为目前应予以重视的数学方法有:数学模型法、数形结合法、变换法、函数法和类分法等.一般讲,中学数学中分析、处理和解决数学问题的活动是在数学思想指导下,运用数学方法,通过一系列数学技能操作来完成的.4.数学思想方法的教学模式数学表层知识与深层知识具有相辅相成的关系,这就决定了他们在教学中的辩证统一性.基于上述认识,我们给出数学思想方法教学的一个教学模式:操作──掌握──领悟对此模式作如下说明:(1)数学思想、•方法教学要求教师较好地掌握有关的深层知识,以保证在教学过程中有明确的教学目的;(2)•“操作”是指表层知识教学,即基本知识与技能的教学.“操作”是数学思想、方法教学的基础;(3)•“掌握”是指在表层知识教学过程中,学生对表层知识的掌握.学生掌握了一定量的数学表层知识,是学生能够接受相关深层知识的前提;(4)•“领悟”是指在教师的引导下,学生对掌握的有关表层知识的认识深化,即对蕴于其中的数学思想、方法有所悟,有所体会;(5)数学思想、方法教学是循环往复、螺旋上升的过程,•往往是几种数学思想、方法交织在一起,在教学过程中依据具体情况在一段时间内突出渗透与明确一种数学思想或方法,效果可能更好些.。