陕西,江西版2014届高三名校数学(文)试题分省分项汇编专题02 函数

一．基础题组 1.【辽宁省铁岭市第一高级中学2013—2014学年高三上学期期中考试试题理】连续抛掷两次骰子，得到的点数分别为m,n ，记向量()(),,1,1a m n b →→==-的夹角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的概率是（ ） A.512 B. 12 C. 712D. 56二．能力题组1.【辽宁省抚顺市六校联合体2014届高三上学期期中考试理】若实数,a b 满足221a b +≤,则关于x 的方程022=++-b a x x 有实数根的概率是_______________.三．拔高题组1.【辽宁省五校协作体2014届高三摸底考试数学（理）】某市为准备参加省中学生运动会，对本市甲、乙两个田径队的所有跳高运动员进行了测试，用茎叶图表示出甲、乙两队运动员本次测试的跳高成绩（单位：cm，且均为整数），同时对全体运动员的成绩绘制了频率分布直方图．跳高成绩在185cm以上（包括185cm）定义为“优秀”，由于某些原因，茎叶图中乙队的部分数据丢失，但已知所有运动员中成绩在190cm以上（包括190cm）的只有两个人，且均在甲队．（Ⅰ）求甲、乙两队运动员的总人数a及乙队中成绩在[160,170）（单位：cm）内的运动员人数b；（Ⅱ）在甲、乙两队所有成绩在180cm以上的运动员中随机选取2人，已知至少有1人成绩为“优秀”，求两人成绩均“优秀”的概率；（Ⅲ）在甲、乙两队中所有的成绩为“优秀”的运动员中随机选取2人参加省中学生运动会正式比赛，求所选取运动员中来自甲队的人数X的分布列及期望．【答案】（Ⅰ）40人；（Ⅱ）135；（Ⅲ）34. 【解析】(Ⅲ)成绩“优秀”的运动员共6人,甲队4人,乙队2人. 随机变量X 所有可能取值为0,1,2.0242261(0)15C C P X C ===,1142268(1)15C C P X C ===,20422662(2)155C C P X C ====，（9分) X ∴的分布列为：数学期望812204()1515153E X=+==. (12分)考点：茎叶图、频率分布直方图，条件概率，随机变量的分布列.2.【辽宁省抚顺市六校联合体2014届高三上学期期中考试理】(本小题共12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．把符合条件的1000名志愿者按年龄分组：第1组[20,25)、第2组[25,30)、第3组[30,35)、第4组[35,40)、第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示：(1)若从第3、4、5组中用分层抽样的方法抽取12名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3、4、5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这12名志愿者中随机抽取3名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率；(3)在(2)的条件下，若ξ表示抽出的3名志愿者中第3组的人数，求ξ的分布列和数学期望．【答案】(1) 6人、4人、2人；(2)4155P=；(3)分布列见解析，() 1.5ξE=.【解析】(2)从12名志愿者中抽取3名共有312220C =种可能， 第4组至少有一位志愿者被抽中有33128164C C -=种可能，所以第4组至少有一位志愿者被抽中的概率为1644122055P ==. …………………7分 (3)ξ的可能取值为0,1,2,3，()03663122022ξC C P C ===，()12663129122ξC C P C ===，3.【辽宁省沈阳二中2014届高三上学期期中考试理】（本小题满分12分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从1234567,,,,,,,,A A A A A A A A (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若0X =就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. （I ）求小波参加学校合唱团的概率； （II ）求X 的分布列和数学期望.【答案】（I ）小波参加学校合唱团的概率为82(0)287P X ===. （II ）X 的分布列为:15223EX=-⨯-⨯+⨯+⨯=-.(2)+(1)0114147714【解析】所以X的分布列为:……10分15223EX=-⨯-⨯+⨯+⨯=-. ……12分(2)+(1)0114147714考点：古典概型概率的计算，离散性随机变量的分布列、期望.4.【辽宁省铁岭市第一高级中学2013—2014学年高三上学期期中考试试题理】某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出七名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83， （1）求x 和y 的值；（2）计算甲班七名学生成绩的方差；（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率. 参考公式：方差()()()2222121n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦其中12nx x x x n+++=（2）。

一．基础题组1.【广东省中山市一中2014届高三第二次统测】已知集合{}M=，1,2,3 {}=∈<<，则（)14N x Z xA. NM N= M⊆B。

N M=C。

{2,3}D. (1,4)M N=2.【广东省中山市实验高中2014届高三11月阶段考试】设集合{}B=--，则()2,1,2A B等于( ）2,1,0,1,2A=,{}1,2U=--，{}UA。

{}1B。

{}1,2 C.{}2D。

{}0,1,23。

【广东省仲元中学、中山一中、南海中学、潮阳一中、宝安中学、普宁二中2014届高三第一次联考】设U R=，集合{}==∈，A y y x R2,x{}240=∈-≤，则下列结论正确的是（)B x Z xA.()A B=+∞0,B.()(],0A B=-∞UC.(){}2,1,0A B=--UD。

(){}1,2A B=U4。

【广东省增城市2014届高三调研考试】设集合{}U=，集1,2,3,4,5,6,7合{}2,4,5A=,集合B={}A B=1,3,5,7，则()U( )A。

{}5 B.{}2,4,52,4C。

{}D。

{}2,4,65.【广东省惠州市2014届高三第二次调研考试】设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =( ）A 。

(1,2)B 。

[1,2]C 。

[1,2)D 。

(1,2]6.【广东省执信中学2014届高三上学期期中考试】设全集U R =，集合(){}30A x x x =+<，集合{}1B x x =<-，则下图中阴影部分表示的集合为（ ) A 。

{}31x x -<<- B.{}30x x -<< C.{}0x x >D 。

{}1x x <-7。

【广东省深圳市宝安区2014届高三调研考试】已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,3,4P =，{}3,4,5Q =,则()UP Q = （ ）A 。

2014年全国高中数学联赛江西赛区预赛试题（6月29日8:30至11:00）一．填空题（共8小题，每小题8分，计64分）1．如果2014是一个正整数等差数列的第八项，那么该数列首项的最小值是 ．2．已知sin cos 2αα+=，则44sin cos αα+= ．3．将1,2,3,4,5,6,7,8,9,10这十个数排成一个数列，使得每相邻两项之和皆是质数，并且首尾两项之和也是质数，你的填法是：（ ）．4．已知P 是椭圆221259x y +=上一点，1F 是其左焦点，Q 在1PF 上且满足11()2OQ OP OF =+，3OQ =，则点P 到该椭圆左准线的距离为 ．5．正三棱锥D ABC -的底面边长为1，侧棱长为2，过点A 作截面与侧棱BD ，CD 分别相交于点E ，F ，当AEF △的周长最小时，AEF △的面积为 ．6．等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意的正整数n 都有5321n n S n T n -=+，则207a b = ．7．已知502501250(1)x a a x a x a x +=++++，则12322325a a a a ++++的值为 ．8．将1,2,3,4,5,6,7,8的每一个全排列皆看成一个八位数，则其中是11倍数的八位数的个数为 ．二．解答题（共86分，其中第9题20分，第10、11、12题各22分）9．设a ，b ，c 为正数，证明：．10．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线22(0)x py p =>有一个共同的焦点F ，PQ 为它们的一条公切线，P ，Q 为切点．证明：PF QF ⊥．11．如图，C 为半圆弧O 的中点，点P 为直径BA 延长线上一点，过点P 作半圆的切线PD ，D 为切点，DPB ∠的平分线分别交AC 、BC 于点E 、F ．证明：PDA CDF ∠=∠．12．若整数a ，b 既不互质，又不存在整除关系，则称a ，b 是一个“联盟”数对：设A 是集合{}1,2,,2014M =的n 元子集，且A 中任两数皆是“联盟”数对，求n 的最大值．。

2014届高考政治（第01期）名校试题解析分项汇编专题4.1 生活智慧与时代精神（含解析）第Ⅰ卷选择题（24小题，共48分）一、选择题(每小题 2分，共48分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.【2014届山西省长治市第二中学高三第二次练考】古代“天人合一”的观念，指导了中华民族数千年的发展；近现代“毛泽东思想”指导了中国革命和建设的胜利；当代“科学发展观”指导着社会的建设和发展。

可见A．哲学产生于人类的实践活动 B．世界观决定方法论C．哲学源于人类对实践的追问和思考D．哲学来源于实践并指导实践2【2014届福建省安溪八中高三上学期9月质量检测】面对有限资源和无限开发的矛盾，人们正在寻找确定新的价值取向，提出以控制人口增长、保护资源基础和开发再生能源来实现可持续发展。

有学者称，可持续发展是一种“发展的哲学”。

这说明A．哲学是智慧之学，为人们的实践提供具体的方法指导B．哲学就在我们身边，来源于人们对实践的追问和思考C．哲学的任务是指导人们科学地看待自然界的变化发展D．哲学正确地总结和概括了时代的实践经验和认识成果【解析】3.【2014届山西省曲沃中学高三上学期第一次月考】德国物理学家朗克说：“研究人员的世界观将永远决定着他的工作方向。

”这表明①世界观决定方法论，方法论体现世界观②哲学给具体科学研究以世界观和方法论指导③具体科学的进步推动着哲学的发展④哲学是科学的世界观和方法论A．①② B．①④ C．②③ D．②④4.【2012-2013学年甘肃省甘谷一中高二第二次月考】在快节奏生活的时代,人们提出了“慢生活”理念,一些人逐步接受了该理念,并加入到“慢餐饮“、“慢旅游”、“慢运动”等行列。

这反映了( )A．世界观决定方法论 B．哲学来源于人们形成的世界观C．方法论影响世界观 D．哲学是对具体生活的概括和升华【解析】5.【2012-2013学年甘肃省秦安二中高二下学期期末】“一个科学家，他首先必须有一个科学的人生观、宇宙观，必须掌握一个研究科学的科学方法！这样，他才能在任何时候都不致迷失道路；这样，他在科学研究上的一切辛勤劳动，才不会白费，才能真正对人类、对自己的祖国做出有益的贡献。

一．基础题组1.【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试数学理试题（B 卷）】已知F是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，E 是双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ．(1,3)B ．C ．(1,2)D ．二．能力题组1.【湖北荆州中学高三年级第一次质量检测数学试卷理科数学】如图，等腰梯形ABCD 中，//AB CD 且2AB =，1AD =，2DC x =（(0,1)x ∈）．以,A B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ；以,C D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则12e e +的取值范围为 （ ）A . [2,)+∞ B. )+∞ C. )+∞ D. 1,)+∞【答案】B 【解析】2.【2013届高中毕业生四月调研理科数学测试题】已知抛物线2:4M y x =，圆222:(1)N x y r -+=（其中r 为常数，0r >），过(1,0)的直线l 交圆N 于C 、D ，交抛物线M 于A 、B 两点，若满足||||AC BD =的直线l 有三条，则：A. (0,1]r ∈B. 3(1,]2r ∈ C. 3(,2]2r ∈ D. (0,)r ∈+∞3.【2013年湖北七市（州）高三年级联合考试理科数学】已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，过点P(2，0)的直线交抛物线于A(x 1，y 1)和B(x 2，y 2)两点．则：(I)y 1 y 2= ；(Ⅱ)三角形ABF 面积的最小值是 ．【答案】(I)-8;(Ⅱ) 【解析】三．拔高题组1.【2013年湖北七市（州）高三年级联合考试理科数学】已知直线l ：1y ax a =+-()a R ∈．若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”．下面给出四条曲线方程：①y 21x =--；②2y x =；③22(1)(1)1x y -+-=；④2234x y +=；则其中直线l 的“绝对曲线”有 （ ）A ．①④B ．②③C ．②④D ．②③④ 【答案】Da==,从而可知当且仅当13a=-时直线l与曲线④仅一个交点.两边平2.【2013年湖北七市（州）高三年级联合考试理科数学】在矩形ABCD 中，|AB|=23，|AD|=2，E 、F 、G 、H 分别为矩形四条边的中点，以HF 、GE 所在直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系(如图所示)．若R 、R ′分别在线段0F 、CF 上，且1OR CR nOFCF'==. (Ⅰ)求证：直线ER 与GR ′的交点P 在椭圆Ω：32x +2y =1上；(Ⅱ)若M 、N 为椭圆Ω上的两点，且直线GM 与直线GN 的斜率之积为32，求证：直线MN 过定点；并求△GMN 面积的最大值.【答案】()I 详见解析；()II 直线MN 过定点(0,-3),△GMN 【解析】试题分析：()I 先计算出E 、R 、G 、R ′各点坐标，得出直线ER 与GR ′的方程，解得其交点坐标又(0,1)E - 则直线ER的方程为1y x =- ②由①②得2221(,)11n P n n -++∵22222222214(1)1()131(1)n n n n n n -+-++==++ ∴直线ER 与GR '的交点P 在椭圆22:13x y Ω+=上 ……………4分 （Ⅱ）①当直线MN的斜率不存在时，设:(MN x t t =<<不妨取((,M t N t ∴31=⋅GN GM k k ,不合题意……………5分②当直线MN 的斜率存在时，设:MN y kx b =+ 1122(,),(,)M x y N x y∴||1||212x x k MN -+=，点G 到直线MN 的距离为214kd +=∴2221221213183344)(2||2||21k k x x x x x x d MN S GMN+-⋅=-+=-=⋅=△ 由3-=b 及0>∆知：0832>-k(0)t t => 即2238k t =+∴221191396t k t t t==≤+++ 当且仅当3t =时，()332max =∆GMN S ……13分考点：1.直线的方程；2.解析几何；3.基本不等式.3.【湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三下学期6月适应性考试数学理试题（B 卷）】已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 以及椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上． （1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知12,NA AF NB BF λλ==，求12λλ+的值；（3）直线l 交椭圆2C 于,P Q 两不同点，,P Q 在x 轴的射影分别为','P Q ，''10OP OQ OP OQ ⋅+⋅+=，若点S 满足OS OP OQ =+，证明：点S 在椭圆2C 上．试题解析：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2pF 在圆22:1O x y +=上得：214p =，2p ∴= ∴抛物线21:4C y x = . …………………………2分∴(,)p Q p Q S x x y y ++满足椭圆2C 的方程，命题得证． …………………………13分考点：1.抛物线和椭圆的方程；（2）直线与抛物线的位置关系；（3）向量的坐标运算.4.【湖北省荆门龙泉中学2014届高三年级8月月考数学（理科）试卷】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切，直线:4l x my =+与椭圆C 相交于A 、B 两点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求OA OB ⋅的取值范围；（Ⅱ）解：由22:4143l x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：22(34)24360m y my +++= (6)分2220(24)436(34)04m m m ∆>⇒-⨯+>⇒>由设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则1212222436,3434m y y y y m m +=-=++………………8分 ∴()22121212122212100116(1)41643434m OA OB x x y y m y y m y y m m -+⋅=+=++++==-+++ ……10分 ∵24m >∴23416m +>， ∴13(4)4OA OB ⋅∈-，∴OA OB ⋅的取值范围是13(4)4-，．………………………………………………… 13分考点：；；．5.【湖北荆州中学高三年级第一次质量检测数学试卷理科数学】已知椭圆：22221x y a b+=（0a b >>）上任意一点到两焦点距离之和为1F ，2F ，点P 是右准线上任意一点，过2F 作直 线2PF 的垂线2F Q 交椭圆于Q 点．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）证明：直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值；（3）点P 的纵坐标为3，过P 作动直线l 与椭圆交于两个不同点,M N ，在线段MN 上取点H ，满足MP MH PN HN=，试证明点H 恒在一定直线上．即直线PQ 与直线OQ 的斜率之积是定值23-． ……………………7分. （3）设过(3,3)P 的直线l 与椭圆交于两个不同点1122(,),(,)M x y N x y ，点(,)H x y ，则2211236x y +=，2222236x y +=． 设MP MH PN HNλ==，则,MP PN MH NH λλ=-=， ∴1122(3,3)(3,3)x y x y λ--=---，1122(,)(,)x x y y x x y y λ--=--， 整理得1231x x λλ-=-，121x x x λλ+=+，12123,11y y y y y λλλλ-+==-+， ∴从而2222221212223,311x x y y x y λλλλ-+==--， 由于2211236x y +=，2222236x y +=，∴我们知道21x 与21y 的系数之比为2：3，22x 与22y 的系数之比为2：3． ∴222222222221212112222223323(23)69611x x y y x y x y x y λλλλλ-+-+-++===--，所以点H 恒在直线2320x y +-=上． …………………13分考点：1.椭圆的定义；2.离心率的定义；3.垂直的充要条件.6.【湖北省武汉市2013届高中毕业生四月调研理科数学测试题】过椭圆)0(1:2222>>=+Γb a by a x 右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，巳知1AF B ∆（1）求橢圆Γ的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点P ,Q 且 ⊥若存在，求出该圆的方程；若不存在,请说明理由.（2）假设满足条件的圆存在，其方程为222(01)x y r r +=<<，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量的数量积，考查分析转化能力，计算能力.。

1. 【2014高考福建卷第8题】在下列向量组中，可以把向量()2,3=表示出来的是（ ） A.)2,1(),0,0(21==e e B .)2,5(),2,1(21-=-=e e C.)10,6(),5,3(21==e e D.)3,2(),3,2(21-=-=e e2. 【2014高考广东卷理第5题】已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ）A.()1,1,0-B. ()1,1,0-C.()0,1,1-D.()1,0,1-3. 【2014高考湖南卷第16题】在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.【答案】1【解析】因为C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程4. 【2014高考江苏卷第12题】如图在平行四边形ABCD 中，已知8,5AB AD ==，3,2CP PD AP BP =⋅=，则AB AD ⋅的值是 .5. 【2014陕西高考理第13题】设20πθ<<，向量()()1cos cos 2sin ，，，θθθb a =，若b a //，则=θtan _______.6. 【2014高考安徽卷理第10题】在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C Ω为两段分离的曲线，则( )A. 13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<<考点：1.平面向量的应用；2.线性规划. 7. 【2014高考北京版理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= .8. 【2014高考湖北卷理第11题】设向量(3,3)a =，(1,1)b =-，若()()a b a b λλ+⊥-，则实数λ= .【答案】3±10. 【2014江西高考理第15题】已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1cos 3α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β= .11. 【2014辽宁高考理第5题】设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝12. 【2014全国1高考理第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()AC AB AO +=21，则与的夹角为_______．【考点定位】1、平面向量基本定理；2、圆的性质．13. 【2014全国2高考理第3题】设向量a,b 满足|a+b |a-b a ⋅b = ( )A. 1B. 2C. 3D. 514. 【2014高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量54321,,,,x x x x x 和54321,,,,y y y y y 均由2个a 和3个b 排列而成.记5544332211y x y x y x y x y x S ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值.②若,b a ⊥则min S .③若,∥则min S 无关.>，则0min >S .⑤若2min ||2||,8||b a S a ==，则与的夹角为4π2222min 34()8||cos 4||8||S S a b b a a a θ==⋅+=+=，∴2cos 1θ=，∴3πθ=，故⑤错误.所以正确的编号为②④.考点：1.平面向量的运算；2.平面向量的数量积.15. 【2014四川高考理第7题】平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．216. 【2014浙江高考理第8题】记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x y x y x x y ≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+17. 【2014重庆高考理第4题】已知向量(,3),(1,4),(2,1)a k b c ===，且(23)a b c -⊥，则实数k =（ ） 9.2A - .0B .C 3 D.15218. 【2014天津高考理第8题】已知菱形ABCD 的边长为2，120BAD ?，点,E F 分别在边,BC DC 上，BE BC l =，DF DC m =．若1AE AF ?，23CE CF ?-，则l m += （ ）（A ）12 （B ）23 （C ）56 （D ）71219. 【2014大纲高考理第4题】若向量,a b 满足：()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥则b = （ ）A ．2BC ．1D ．2。

第三章 导数一．基础题组1.【广东省珠海市2013-2014学年第一学期期末高三学生学业质量监测】曲线21x y xe x =++在点()0,1处的切线方程为 .二．拔高题组1.【广东省中山市高三级2013-2014学年第一学期期末统一考试】已知函数()x f x e kx =-.（I ）若0k >，且对于任意0)(,>∈x f R x 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （II ）设函数)()()(x f x f x F -+=， 求证：1ln (1)ln (2)ln ()ln(2)()2n n F F F n e n N +*+++>+∈2.【广东省中山市高三级2013-2014学年第一学期期末统一考试】已知函数2()f x x x λλ=+， ()ln g x x x λ=+，()()()h x f x g x =+，其中R λ∈，且0λ≠.⑴当1λ=-时，求函数()g x 的最大值； ⑵求函数()h x 的单调区间；⑶设函数(),0,()(),0.f x x xg x x ϕ≤⎧=⎨>⎩若对任意给定的非零实数x ，存在非零实数t （t x ≠），使得'()'()x t ϕϕ=成立，求实数λ的取值范围.⑶当0x >，1'()x xϕλ=+在(0,)+∞上是减函数，此时'()x ϕ的取值集合(,)A λ=+∞； 当0x <时，'()2x x ϕλλ=+，若0λ>时，'()x ϕ在(,0)-∞上是增函数，此时'()x ϕ的取值集合(,)B λ=-∞； 若0λ<时，'()x ϕ在(,0)-∞上是减函数，此时'()x ϕ的取值集合(,)B λ=+∞.对任意给定的非零实数x ，3.【广东省佛山市2014届高三教学质量检测一】已知函数()1ln 2f x x x a x =+-. （Ⅰ）若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的极值点.⑴ 当0a ≥时，()21ln 2f x x ax x =+-，()21421222x ax f x x a x x +-'=+-=，令()0f x '=，得10x =>，20x =<（舍去），4.【广东省华附、省实、广雅、深中2014届高三上学期期末联考】已知函数2()(266)e x f x x x a =-++⋅（e 为自然对数的底数）.（1）求函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间；（2）设函数()()(24)e xg x f x x a =+--⋅，是否存在区间[](),1,m n ⊆+∞，使得当[],x m n ∈时函数()g x 的值域为[]2,2m n ，若存在求出,m n ，若不存在说明理由.试题解析：（1）2211()(22)e 2()e 22x xf x x x a x a ⎡⎤'=-+⋅=-+-⋅⎢⎥⎣⎦ ①当12a ≥时，由()0f x '≥恒成立，()f x ∴在),0(+∞上单调递增②当12a <时，()0f x '>解得12x <12x >（ⅰ）若0a ≤，则10(0,)2≤∉+∞，11(0,)2≥∈+∞，()f x ∴在1(0,22+上单调递减，在1,22⎡⎫++∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递增（ⅱ）若102a <<，则1102222+>->1x >，()0x ϕ'∴>，()x ϕ∴在(1,)+∞上单调增，又2(1)20,(2)6e 20ϕϕ=-<=->，即存在唯一的012x <<使()00x ϕ=.当()01,x x ∈时，()00x ϕ<，()h x 为减函数；当()0,x x ∈+∞时，()00x ϕ>，()h x 为增函数；()h x ∴在0x 处取到极小值.又2(1)20,(2)2e 40h h =-<=->()h x ∴在()1,+∞只存在一个零点，与方程()2g x x =有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立，所以不存在,m n 符合题意.考点：1.求函数的导数；2.导数性质的应用.5.【广东省广州市2014届高三年级调研测试】已知函数()()2ln 2f x x ax a x =-+-.（1）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间2,a a ⎡⎤⎣⎦上的最大值.①当102a <≤时，()f x 在2,a a ⎡⎤⎣⎦上单调递增， 所以()()32max ln 2f x f a a a a a ==-+-⎡⎤⎣⎦．6.【广东省揭阳市2014届高三年级学业水平考试】设函数()1n n f x ax bx c +=++(0)x >，其中0a b +=，n 为正整数，a 、b 、c 均为常数，曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程为10x y +-=.（1）求a 、b 、c 的值；（2）求函数()f x 的最大值；（3）证明：对任意的()0,x ∈+∞都有()1nf x e<.（e 为自然对数的底）()0g t <在区间内成立，再令11t n =+，得到11ln 1n n n +>+，最终得到()111n n n ne n +<+，再结合（2）中的结论得到()()111nn n f x nen +≤<+.证法2：令()()1ln 10t t t t ϕ=-+>，则()()221110t t t t t t ϕ-'=-=>. 当01x <<时，()0t ϕ'<，故()t ϕ在()0,1上单调递减；而当1x >时， ()0t ϕ'>，故()t ϕ在()1,+∞上单调递增.()t ϕ∴在()0,+∞上有最小值，()()min 10t ϕϕ==. ()()01t t ϕ∴>>，即()1ln 11t t t>->.令11t n =+，得11ln 1n n n +>+，即11ln ln n n e n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以11n n e n ++⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()111nn n nen +<+. 由（2）知，()()111nn n f x nen +≤<+，故所证不等式成立. 考点：1.利用导数求切线方程；2.利用导数求函数的最值；3.函数不等式7.【广东省珠海市2013-2014学年期末高三学生学业质量监测】已知函数()()21f x x x =+，(],0x ∈-∞.（1）求()f x 的极值点；（2）对任意的0<a ，记()f x 在[],0a 上的最小值为()F a ，求()F a k a=的最小值.。

1．（河北省保定市2013年高三第一次模拟考试）甲酸甲酯水解反应方程武为：HCOOCH3(aq)＋H2O(l)HCOOH(aq)＋CH3OH(aq) △H>0。

某温度下，VL溶液中各组分的起始量如下表，HCOOCH3转化率随反应时间（t)的变化如下图（假设溶液体积不变），下列说法正确的是A．温度升高，该反应的平衡常数减小B．0〜10min，HCOOCH3的平均反应速率u=0. 003mol·L-1• min-1C．HCOOCH3平均反应速率先是增大，后减小，最后保持不变D．80min时，反应刚达平衡，反应物转化率保持不变2．（湖北省荆州市2013届高三毕业班质量检查Ⅰ）可逆反应2A(g)+B(g)2C(g)，根据下表中的数据判断下列图像错误的是3．（江西省红色六校2013届高三下学期第二次联考）如右图所示，隔板I固定不动，活塞Ⅱ可自由移动，M、N两个容器中均发生反应：A(g) + 2B(g)xC(g)ΔH=-192kJ·mol-1，向M 、N 中都通入1molA 和2molB 的混合气体，初始M 、N 容积相同，保持温度不变。

下列说法正确的是A ．若x =3，达到平衡后A 的体积分数关系为：φ(M )>φ(N )B ．若x >3，达到平衡后B 的转化率关系为：α(M )>α(N )C ．若x <3，C 的平衡浓度关系为：c (M )>c (N )D ．x 不论为何值，起始时向N 容器中充入任意值的C ，平衡后N 容器中A 的浓度均相等4．（河南省中原名校2013届高三下学期第一次联考）T ℃时，将气体X 与气体Y 置于一密闭容器中，反应生成气体Z ，反应过程中各物质的浓度变化如图（Ⅰ）所示。

保持其它条件不变，在T 1、T 2两种温度下，Y 的体积分数变化如图（Ⅱ）所示，下列结论正确的是A ．图（Ⅱ）中T 1＞T 2，则正反应是吸热反应B ．t 2 min 时，保持压强不变，通入稀有气体，平衡向正反应方向移动C ．其它条件不变，升高温度，正、逆反应速率均增大，且X 的转化率增大D ．T ℃时，若密闭容器中各物质起始浓度为：0．4 mol ·L -1X 、0．4 mol ·L -1 Y 、0．2mol ／LZ 保持其他条件不变，达到平衡时z 的浓度为0．4 mol ·L -1 5．（河北省邯郸市2013年高三第二次模拟考试）铁的氧化物可用于脱除煤气中的H 2S ，该反应原理为：①Fe 3O 4(s )+3H 2S (g )+H 2(g )3FcS (s )+4H 2O (g )△H =a kJ • mol -1②Fe2O3(s)+2H2S(g) +H2(g)2FeS(s)+3H2O(g)△H=bkJ• mol-1③FeO(s)+H2S(g) FeS(s)+H2O(g) △H=ckJ·mol-1温度与平衡常数的关系如图，下列有关说法正确的是A．a、b、c均小于0B．压强越大，H2S的脱除率越高C．温度越高，H2S的脱除率越高D．反应①、②、③的平衡常数表达式相同6．(河北省邯郸市2013年高三第一次模拟考试)关于下列四个说法正确的是A．已知图①是体系Fe3++3SCN-==Fe(SCN)3中c[Fe(SCN)3]与温度T的平衡图像，则A 点与B点相比，A点的Fe3+浓度大B．图②表示镁和铝分别与等浓度、等体积的过量稀硫酸反应，产生气体的体积V(H2) 与时间t的关系。

一．基础题组1. 【2014年温州市高三第一次适应性测试数学】平面向量a ，b ，e 满足||1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ，||2-=a b ，则⋅a b 的最小值为 ．2. . 【杭州二中2012学年第一学期高一年级期末考数学试卷】已知2=a,1=b ，1=⋅b a，则向量a 在b 方向上的投影是（ ）A ．B ．1-CD ．13. 【杭州二中2012学年第一学期高一年级期末考数学试卷】在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，j i AB +-=→2，j i k AC 3+=→，则k 的可能值有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4. 【2013学年第一学期期中杭州地区七校联考】【题文】正ABC ∆边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则⋅的取值范围是（ ） A. ]23,23[-B. ]21,23[-C.]23,21[-D. ]21,21[-5. 【浙江省湖州中学2013学年第一学期高三期中考试】【题文】如图，半圆的直径6AB =，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +的最小值为（ ）A ．92B ．9C ．92- D ．－9【答案】C ． 【解析】6. 【浙江省建人高复2014届高三上学期第二次月考】【题文】若向量a 与b 的夹角为120° ，且||1,||2,a b c a b ===+，则有（ ） A ．c a ⊥B ．b c ⊥C ．b c //D ．a c //7. 【浙江省建人高复2014届高三上学期第二次月考】【题文】在ABC ∆中，2,2AB BC A π==∠=，如果不等式BA tBC AC -≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A.[)1,+∞B.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦D.(][),01,-∞+∞8. 【浙江省建人高复2014届高三上学期第二次月考】【题文】已知向量→→b a ,的夹角为0120，,5,1==→→b a 则=-→→b a 4________．【答案】61．9. 【浙江省建人高复2014届高三上学期第二次月考】【题文】O 是平面上一点，C B A ,,是平面上不共线三点，动点P 满足：(),AC AB OA OP ++=λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0λ，已知21=λ时，2=. 则PC PA PB PA ⋅+⋅的最小值____________．10. 【浙江省考试院抽学校2014届高三11月抽测测试】【题文】如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ．若|AB |＝a ，|AD |＝b ，则AC BD ⋅＝（ ）A ．b 2－a 2B ．a 2－b 2C ．a 2＋b 2D ．ab【答案】A ． 【解析】试题分析：,,0,0AD DC AB BC AD DC AB BC ⊥⊥∴==，(第7题图)222222()()()().AC BD AD DC AD AB AD AB AD DC AD AB AB BC AD AB b a ∴=+-=-+=-+=-=-考点：向量的运算.11. 【台州中学2013学年第一学期第三次统练试题】【题文】已知P 是圆C ：22(1)(1x y -+=上的一个动点，，则OP OA 的最小值为______.12. 【台州市2013学年第一学期高二年级期末质量评估试题】 已知(1,2,0),(,2,3)AB CD x =-=-，若⊥，则=xA.1B.4C.-1D.-413. 【台州市2013学年第一学期高二年级期末质量评估试题】如图，在四面体OABC 中，G 是底面∆ABC 的重心，则等于A.++B.111222OA OB OC ++ C.111236OA OB OC ++ D.111333OA OB OC++二．能力题组1. 【杭州二中2012学年第一学期高一年级期末考数学试卷】如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若→→→+=AC k AB AD λ，则=+k λ( )A ．22- C ．2 D ．22+2. 【杭州二中2012学年第一学期高一年级期末考数学试卷】 对函数12()()y f x x x x =≤≤，设点),(),(2211y x B y x A 、是图象上的两端点.O 为坐标原点，且点N 满足→→→-+=OB OA ON )1(λλ.点),(y x M 在函数)(x f y =的图象上，且21)1(x x x λλ-+=（λ为实数），则称MN 的最大值为函数的“高度”，则函数)42cos(2)(π-=x x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡89,8ππ上的“高度”为 ．3. 【2013学年第一学期期中杭州地区七校联考】【题文】（14分）在ABC ∆中，满足AB AC 与的夹角为060 ，M 是AB 的中点，（1）若AB AC =，求向量2AB AC AB +与的夹角的余弦值；.（2）322==，点D 在边AC 上且λ=，如果0=⋅，求λ的值。

一．基础题组1.【河北衡水中学2017届上学期一调，8】定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()e e 3x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞【答案】A2.【河北衡水中学2017届上学期一调，9】若实数a ，b ，c ，d 满足()()2223ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值 为（ ） A 2 B ．2C ．22D ．8【答案】D 【解析】考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程及其应用．3.【河北衡水中学2017届上学期一调，11】设函数()32133f x x x x =+-，若方程()()210f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的取值范围为（ ） A ．10,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(),2-∞-C ．34,215⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2-【答案】C考点：根的存在性及根的个数判断．4.【湖北2017届百所重点校高三联考，3】已知函数()2111x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为（ ）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 【答案】A考点：导数的几何意义及运用.5.【四川巴中市2017届“零诊”，5】函数x x x f sin )(=，)('x f 为)(x f 的导函数，则)('x f 的图象是（ ）【答案】D. 【解析】试题分析：'()sin cos f x x x x =+，∴'()f x 是奇函数，故排除B ，取x π=，'()0f ππ=-<， 排除A ，取2x π=，'()102f π=>，排除C ，故选D.考点：导数的运用.6.【河北衡水中学2017届上学期一调，14】函数e x y mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________．【答案】3e e,3⎛⎤ ⎥⎝⎦考点：利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．7.【河北衡水中学2017届上学期一调，15】已知函数()3223f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n +=_________． 【答案】11 【解析】试题分析：因为()3223f x x mx nx m =+++，所以()236f x x mx n '=++，所以(1)0(1)0f f -=⎧⎨'-=⎩2130360m n m m n ⎧-+-+=⇒⎨-+=⎩，解得29m n =⎧⎨=⎩或13m n =⎧⎨=⎩，当1,3m n ==时，函数()32331f x x x x =+++，则()223633(1)0f x x x x '=++=+≥，函数在R 单调递增，函数无极值，所以m n +=11．考点：利用导数研究函数的极值．二．能力题组1.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，12】设函数()()3213853f x x x a x a =-+---，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（ ） A ．11,156⎛⎤⎥⎝⎦ B ．11,154⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．11,64⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．15,418⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A .考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、导数的综合应用.2.【河北衡水中学2017届上学期一调，12】设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2- B ．()3,+∞ C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程．3.【河南百校联考2017届高三9月质检，12】已知函数()2ln 2,03,02xx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A考点：函数零点(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.4.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，12】设函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有'22()()f x xf x x +>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f --->的解集为（ ）A ．(2012,)+∞B ．(0,2012)C ．(0,2016)D ．(2016,)+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由'22()()f x xf x x +>且0x >，得2'32()()0xf x x f x x +>>．令2()()g x x f x =(0)x >，则2'()2()()0g x xf x x f x '=+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增．因为(2)4(2)g f =，(2014)g x -＝2(2014)(2014)x f x --，所以不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f --->等价于(2014)(2)g x g ->，所以20142x ->，解得2016x >，故选D ．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的解法．5.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，11】已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B6.【湖北2017届百所重点校高三联考，12】若存在两个正实数,x y ，使得等式()()324ln ln 0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．()3,0,2e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】试题分析：由()()324ln ln 0x a y ex y x +--=可得0ln )42(3=-+x y e x y a ,令t xy=,则原方程可化为0ln )2(23=-+t e t a ,若0=a ,等式不成立,故0≠a ,所以t e t aln )2(23-=-,令t e t t h ln )2()(-=,则t e t t h 21ln )(/-+=,故021)(2//>+=t e t t h ,即tet t h 21ln )(/-+=是增函数,所以当e t >时, 02221ln )()(//>->-+=>t et e t e h t h ,函数t e t t h ln )2()(-=是单调递增函数,当et <<0时,02221ln )()(//<-<-+=<tet e t e h t h , 函数t e t t h ln )2()(-=是单调递减函数,所以当e t =时,函数t e t t h ln )2()(-=取最小值e e e e e h -=-=ln )2()(,即e a -≥-23,也即e a≤23.当0<a 时,成立;当0>a 时,则e a 23≥,综上所求实数a 的取值范围是),23[)0,(+∞-∞e ,应选D.考点：函数方程思想综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时充分利用题设中提供的有关信息,先运用换元法将问题0ln )42(3=-+xye x y a 进行化归和转化为t e t aln )2(23-=-,再构造函数t e t t h ln )2()(-=运用求导法则求导,判断函数t e t t h ln )2()(-=的单调性,利用最小值建立不等式e a -≥-23,最后通过解不等式e a-≥-23求出a 的范围是),23[)0,(+∞-∞e.7.【四川巴中市2017届“零诊”，12】已知函数||)(xxe x f =，方程)(01)()(2R t x tf x f ∈=+-有四个实数根，则t 的取值范围为（ ）A ．),1(2+∞+e eB ．)1,(2e e +--∞C ．2),1(2-+-e eD ．)1,2(2ee + 【答案】A.考点：函数与方程.8.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，16】若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则b =_________. 【答案】ln 29.【河北邯郸2017届9月联考，16】函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 与函数()x g x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有_______个. 【答案】2.考点：1、导数的几何意义；2、函数的图像及其性质.10.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，12】定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x y e =′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．【答案】（﹣∞，2） 【解析】考点：函数单调区间11.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，13】若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ．【答案】5考点：利用导数求最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．12.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，14】已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 【答案】()53,44--xy 121 O【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,()0,03m f f m -><<，解得5153,43244m m m ->->⇒-<<-13.【四川巴中市2017届“零诊”，16】设函数222)2(ln )()(a x a x x f -+-=，其中0>x ，R a ∈，若存在0x 使得54)(0≤x f 成立，则实数a 的值是 . 【答案】15. 【解析】试题分析：由题意得，问题等价于min 4()5f x ≤，而()f x 的集合意义为函数2()ln (0)g x x x =>上任意一考点：1.导数的综合运用；2.数形结合的数学思想；3.转化的数学思想.三．拔高题组1.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，17】(本小题满分14分)已知函数()1ln ,f x a x a R x=+∈． (1) 求函数()f x 的单调递减区间；(2) 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值．【答案】(1) 0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞，0a >时，()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭．(2) 2ln 2a =考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究函数最值【思路点睛】导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数.2.【河南百校联考2017届高三9月质检，22】（本小题满分12分）设函数()ln af x x x x=+-． （1）当2a =-时，求()f x 的极值； （2）当1a =时，证明：()10x f x x e-+>在()0,+∞上恒成立． 【答案】（1）()f x 在2x =处取得极大值()()2ln 23,f f x =-无极小值（2）详见解析考点：利用导数求函数极值，利用导数证明不等式 【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. (2)已知函数求极值.求f ′(x )―→求方程f ′(x )＝0的根―→列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.(3)已知极值求参数.若函数f (x )在点(x 0，y 0)处取得极值，则f ′(x 0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.3.【河北邯郸2017届9月联考，21】（本小题满分12分）设函数22()(2)ln f x x ax x bx =-+，,a b R ∈.（Ⅰ）当1a =，1b =-时，设2()(1)ln g x x x x =-+，求证：对任意的1x >，2()()xg x f x x x e e ->++-； （Ⅱ）当2b =时，若对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立.求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）(,1)-∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先将所证问题“对任意的1x >，2()()xg x f x x x e e ->++-”转化为“2()()x g x f x x x e e ->++-”，进而转化为“ln 0x e x e +->”，然后令()ln xh x e x e =+-，并求出其导函数并判断其函数的单调性，进而得出所证的结果；（Ⅱ）首先将问题“对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立”转化为“22(24)ln 0x ax x x a -+->”，然后构造函数22()(24)ln p x x ax x x a =-+-，[1,)x ∈+∞，并求出导函数并进行分类讨论：当1a ≤时和当1a >时，并分别求出其导函数并判断其单调性，最后结合已知条件即可得出所求的结果． 试题解析：（Ⅰ）当1a =，1b =-时，22()(2)ln f x x x x x =--， 所以2()()xg x f x x x e e ->++-等价于ln 0x e x e +->. 令()ln xh x e x e =+-，则1'()0x h x e x=+>，可知函数()h x 在(1,)+∞上单调递增， 所以()(1)h x h >，即ln x e x e +>，亦即ln 0x e x e +->， 所以2()()xg x f x x x e e ->++-.所以()q a 在(1,)+∞上单调递减.又(1)0q =，所以()(1)0q a q <=与条件矛盾.综上可知，实数a 的取值范围为(,1)-∞.考点：1.利用导函数判断函数的单调性与极值；2.构造函数.【方法点睛】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想.利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.4.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，21】（本小题满分12分）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-（a R ∈）. （1）当12a ≤时，讨论函数()f x 的单调性； （2）设24()23g x x bx =-+，当13a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,3]x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)；当102a <<时，增区间为1(1,)aa-，减区间为(0,1)和1(,)a a -+∞；当12a =时，减区间为(0,)+∞；（2）2b ≥．（2）当13a =时，由（1）知()f x 在(0,2)，min 2(1)3f f ==-，依题意有2min 2()3g x f ≤=-， ∵2[1,3]x ∈⇒2222b x x ≥+在2[1,3]x ∈上有解， 令2()h x x x=+，知()h x 在2)单调递减，在2,3)单调递增， ∴min ()(2)22h x h ==∴min 2()222b h x b ≥=⇒，∴b 的取值范围为2b ≥或用min min ()()f x g x ≥，而min 2(1)3f f ==-，对min ()g x 分三种情况： ①min 172()(1)233b g x g b ≤⎧⎪⎨==-≤-⎪⎩⇒无解；②2min 1342()()33b g x g b b <<⎧⎪⎨==-≤-⎪⎩ ⇒23b ≤<；③min 3312()(3)633b g x g b ≤⎧⎪⎨==-≤-⎪⎩⇒3b ≤.综上：∴b 的取值范围为2b ≥考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题；3、函数的最值．5.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，20】（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间； （2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值． 【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-．（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能， 故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立， 即对12ln 0,,221xx a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭， 则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 再令()212ln 2,0,2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭， 则()()2221220x m x x x x--'=-+=<，故()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=->⎪⎝⎭， 从而，()0I x '>，于是()I x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22I x I ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭， 故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞， 综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解．6.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，21】（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-． （1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点． 【答案】（1）2a =-；（2）12m >；（3）若0m >时，k ∈R ，函数()x ϕ极小值点为2x ；若0m <时，当2k m >-时，函数()x ϕ极小值点为2x ，极大值点为1x （其中2124k k mx +-+=，2224k k m x +++=）（2）由（1）得()()()2211111f x x x m mg x x x x x -++===-+---，∴()()()()21ln ln 1,11mmx g x x x x x x x x Γ=-+=-+Γ=---，∵存在一条与y 轴垂直的直线和()x Γ的图象相切，且切点的横坐标为0x ，∵0013x x -+>，∴02x >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分令()()122h x x x x =+->，则()()()221111x x h x x x +-'=-=，当2x >时，()()()2211110x x h x x x +-'=-=>，∴()12h x x x =+-在()2,+∞上为增函数，从而()()00011+222h x x h x =->=，∴12m >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（3）()()()()()ln 11ln 11mx g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞，∴()()()()222211111x k x k m m k x x x x ϕ-++-+'=--=---方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．下面只需考虑0∆>的情况，由0∆>，得2k m <--或2k m >-，当2k m <--221224241,1k k m k k m x x +-++++=<=<， 故()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增，∴函数()x ϕ没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分当2k m >-221224241,1k k m k k m x x +-++++=>=>， 则()11,x x ∈时，()()120;,x x x x ϕ'>∈时，()()20;,x x x ϕ'<∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()11,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极大值和极小值，极小值点2x ，有极大值点1x ．综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当2k m >-()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x （其中22122424k k m k k m x x +-++++==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系．7.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，18】(本小题满分16分)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.(1) 求()h x 的表达式；(2) 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）【答案】(1) ()()210473h x x x =+-- （37x <<）(2) 13 4.33x =≈(2) 由（1）可知，套题每日的销售量()()210473h x x x =+--， 设每日销售套题所获得的利润为()F x 则()()()()()2210347104733F x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--⎢⎥-⎣⎦32468364578x x x =-+- ………………………………………10分考点：利用导数求函数最值8.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，20】(本小题满分16分)给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x a x =-.（1）若()f x 在1=x 处取最值．求a 的值；（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．【答案】(1) 2a = (2) a ≥2（3）两个零点．【解析】试题分析：(1) 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′，解得2a = ，需验证(2) ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：241x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()241x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <， 4)0m e ->（ ， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数试题解析：(1) ()2a f x x x=-′ 由已知，(1)0f =′即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意所以 2a = ………………………………………4分(2) ()2222()()()ln 2ln h x f x g x x a x x ax x a x x =+=-+-=-+（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为()22ln 26m x x x x x =--+所以())()2122222221x x x x x x x x m x x x x x --+=--+==′ ………12分当()1,0∈x 时，()0<'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分3241-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（） ，8424812(21))0e e e m e e -++-=>（ 4442()1)2(7)0m e e e e =-+->（ 故由零点存在定理可知：函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性【思路点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．9.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，21】（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax a =+-，()2x g x xe =．（Ⅰ）讨论函数()y f x =的单调性；（Ⅱ）若不等式()()f x g x >有唯一正整数解，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增，当0a <时，()f x 在()()ln ,a -+∞上单调递增，在()(),ln a -∞-上单调递减；（Ⅱ）32532e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.（Ⅱ）由()()f x g x >得：()()121x a x e x ->-当1x =时，不等式显然不成立，又x 为正整数，所以1x >，()211x e x a x ->-，………………………………………………………………………………7分 记()()211x e x x x ϕ-=-，则()()()223'1x e x x x x ϕ-=-，∴()x ϕ在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，…………………………10分 且32342e a ϕ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以()()23a aϕϕ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，解得3 25 32e e a<≤，综上所述，a的取值范围为32532ee⎛⎫⎪⎝⎭，．…………………………………………………………12分考点：导数的应用．【方法点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)('xf，有)('xf的正负，得出函数)(xf的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数)(xf极值或最值.10.【四川巴中市2017届“零诊”，21】(本小题满分12分)已知函数23)(bxaxxf+=在1=x处取得极值61.（1）求ba，的值；（2）若对任意的),0[+∞∈x，都有)1ln()('+≤xkxf成立(其中)('xf是函数)(xf的导函数)，求实数k的最小值；（3）证明：11ln(1)2nini=<++∑(*∈Nn).【答案】（1）31-=a，21=b；（2）1k=；（3）详见解析.考点：1.导数的综合运用；2.等价转化的数学思想.【思路点睛】1.可导函数在某点处取得极值的充要条件；2.用求导法、分类讨论思想探寻恒成立有关的逆向求参问题；3.用特殊赋值法构造“零件”不等式，然后通过叠加、放缩证明难度较大的数列不等式. 11.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，20】（本小题满分12分）已知函数()sin 2cos f x x a x x =++在点6x π=处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）当7[,]66x ππ∈-时，求函数()f x 的最大值.【答案】（1）4a =；（2）536π+.（2）()sin 24cos f x x x x =++，22'()2cos 24sin 12(12sin )4sin 14sin 4sin 3(2sin 3)(2sin 1)f x x x x x x x x x =-+=--+=--+=-+-∵7[,]66x ππ∈-，∴5'()0(,)66f x x ππ<⇒∈，57'()0[,)(,]6666f x x ππππ>⇒∈-， ∴()f x 在[,]66ππ-，57[,]66ππ上都是增函数，在5[,]66ππ上是减函数， 又353()23666f πππ=+=+，737733()23666f πππ=-=， 7()()43066f f πππ-=>， ∴7()()66f f ππ>，()f x 在7[,]66x ππ∈-536π+. 考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性及最值. 12.【江西九江地区2017届高三七校联考，20】（本小题满分12分）某店销售进价为2元/件的产品A ，假设该店产品A 每日的销售量y （单位：千件）与销售价格x （单位：元/件）满足的关系式2104(6)2y x x =+--，其中26x <<. （1）若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；（2）试确定产品A 销售价格x 的值，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大.（保留1位小数点）【答案】（1）42（2）3.3（2）该店每日销售产品A 所获得的利润223210()(2)[4(6)]104(6)(2)456240278(26)2f x x x x x x x x x x =-+-=+--=-+-<<- 从而2'()121122404(310)(6)(26)f x x x x x x =-+=--<<.………………8分令'()0f x =，得103x =，且在10(2,)3上，'()0f x >，函数()f x 单调递增； 在10(,6)3上，'()0f x <，函数()f x 单调递减，………………10分 所以103x =是函数()f x 在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，………………11分 所以当10 3.33x =≈时，函数()f x 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/件时，利润最大.………………12分考点：利用导数求函数最值13.【湖北2017届百所重点校高三联考，21】（本小题满分12分）已知函数()()1ln 0a x f x a x a x a a ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）证明：当1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 没有零点（提示：ln 20.69≈）．【答案】(1)单调增区间为()2,a +∞，单调减区间为()20,a ，极小值为()()2222111ln f a a a a a ⎡⎤=+--⎣⎦；(2)证明见解析.（2）由（1）可知：当2x a =时，()f x 取得极小值，亦即最小值()()2222111ln f a a a a a ⎡⎤=+--⎣⎦，又因为122a ≤≤，所以2144a ≤≤，设()()111ln 44g x x x x x ⎛⎫=+--≤≤ ⎪⎝⎭，则()1ln g x x x '=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分 因为()g x '在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()()10,20g g ''><， 所以()g x '有唯一的零点()1,2m ∈，使得()g x 在1,4m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在(],4m 上单调递减，．．．．．9分 又由于()156ln 20,456ln 2044g g -⎛⎫=>=-> ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 所以()0g x >恒成立，从而()()2222111ln 0f a a a a a ⎡⎤=+-->⎣⎦恒成立，则()0f x >恒成立， 考点：导数的知识和函数的零点等有关知识的综合运用．14.【湖北2017届百所重点校高三联考，22】（本小题满分12分）已知函数()()ln ,,0x ae b x f x a b R a x+=∈≠且． （1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，且()f x 有极大值，求实数a 的取值范围； （2）若1a b ==，试判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并加以证明．（提示：2334169,94e e ><）． 【答案】(1)(),0-∞；(2)证明见解析.（2）当1a b ==时，()ln x e x f x x+=，则()()211ln x e x x f x x -+-'=， 设()()11ln x g x e x x =-+-，则()21x g x x e x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，考点：导数的知识及函数的性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数b a ,的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时借助题设中有极大值这一信息,对参数a 进行分类分析极大值取得的条件,从而求出参数a 的取值范围是(),0-∞；第二问中的推证过程中先构造函数()()11ln x g x e x x =-+-,然后再借助导数,运用导数的知识推证出()0g x >,进而得到()0f x '>,从而证得()f x 在()0,+∞上递增,使得问题简捷巧妙获解.。