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第二章平稳随机过程的谱分析本章要解决的问题：●随机信号是否也可以应用频域分析方法?●傅里叶变换能否应用于随机信号？●相关函数与功率谱的关系●功率谱的应用●采样定理●白噪声的定义2.1 随机过程的谱分析2.1.1 预备知识1、付氏变换:对于一个确定性时间信号x(t)，设x(t)是时间t的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。
即：满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：其反变换为：2、帕赛瓦等式由上面式子可以得到：——称为非周期性时间函数的帕塞瓦(Parseval)等式。
物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流)，则上式左边代表x(t)在时间(- ,)区间的总能量（单位阻抗）。
因此，等式右边的被积函数表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称为能量谱密度。
2.1.2、随机过程的功率谱密度一个信号的付氏变换是否存在，需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏变换呢？随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不存在。
但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然可以利用博里叶变换这一工具。
为了将傅里叶变换方法应用于随机过程，必须对过程的样本函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。
截取函数(t):图2.1(t)及其截取函数当x(t)为有限值时，裁取函数(t)满足绝对可积条件。
因此，(t)的傅里叶变换存在，有很明显，(t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达式的变化）用2T除上式等号的两端，可以得到等号两边取集合平均，可以得到:令，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。
交换求数学期望和积分的次序，可以得到：(注意这里由一条样本函数推广到更一般的随机过程，即下面式子对所有的样本函数均适用)上式等号的左边表示的正是随机过程消耗在单位电阻上的平均功率（包含时间平均和统计平均），以后我们将简称它为随机过程的功率并记为Q。
随机信号分析实验报告实验一：平稳随机过程的数字特征实验二：平稳随机过程的谱分析实验三：随机信号通过线性系统的分析实验四：平稳时间序列模型预测班级：姓名：学号：一、实验目的1、加深理解平稳随机过程数字特征的概念2、掌握平稳随机序列期望、自相关序列的求解3、分析平稳随机过程数字特征的特点二、实验原理平稳随机过程数字特征求解的相关原理三、实验过程function y = experimentnumber = 49; %学号49I = 8; %幅值为8u = 1/number;Ex = I*0.5 + (-I)*0.5;N = 64;C0 = 1; %计数p(1) = exp(-u);for m = 2:Nk = 1:m/2;p(m) = exp(-u*m) + sum((u*m).^(2*k)./factorial(2*k)*exp(-u*m));2222()[()()]{()()}{()()}X R m E X n X n m I P X n X n m I I P X n X n m I =+=+=-+=-E[X(n)]= I P{X(n)=+I}+(-I)P{X(n)=-I}=0⨯⨯0m >当时，/2220(){()()}(2)!m k m k m P X n X n m I e P k λλ⎢⎥⎣⎦-=+===∑222()(1)(21)X R m I P I P I P =--=-2()()X X X C m R m m =-me I m n X n X E m R λ22)]()([)(-=+=end;pp = [fliplr(p) C0 p];Rx = (2*pp - 1)*I^2;m = -N:N;Kx = Rx - Ex*Ex;rx = Kx/25;subplot(211), plot(m,Rx); axis([-N N 0 I*I]); title('自相关序列');subplot(212), plot(m,rx); axis([-N N 0 1]); title('自相关序数');四、实验结果及分析自相关序列的特点分析：m>0时Rx(m)随着m的增大而减小，m<0时Rx(m)随着m的增大而增大。
实验二平稳随机过程的谱分析谱分析是对平稳随机过程的频率特性进行研究的一种方法。
它通过分析随机过程在不同频率下的能量分布，可以揭示出随机过程的主要频率成分和其相应的能量。
在实验二中，我们将以一个平稳随机过程为例，详细介绍谱分析的方法和步骤，并通过具体的实例来说明如何进行谱分析。
首先，我们需要明确谱密度函数的概念。
谱密度函数描述了随机过程在各个频率上的能量分布，其定义为随机过程在单位频率范围内的功率谱与单位频率之比。
一般地，谱密度函数可以通过傅里叶变换和自相关函数计算得到。
接下来，我们需要计算随机过程的自相关函数。
自相关函数反映了随机过程在不同时刻之间的相关性，其定义为随机过程在不同时刻的取值之积的期望。
通过计算自相关函数，我们可以得到随机过程的自相关系数和自相关函数的性质。
然后，我们可以通过自相关函数计算随机过程的功率谱密度函数。
功率谱密度函数描述了随机过程在各个频率上的能量分布，其定义为自相关函数的傅里叶变换。
通过计算功率谱密度函数，我们可以得到随机过程的频谱特性。
在进行谱分析时，我们需要选择适当的算法和工具进行计算。
常见的算法包括周期图法、Welch法和傅里叶变换法。
周期图法是一种通过周期图对随机过程进行频谱分析的方法，其步骤包括选择窗函数、计算周期图和计算功率谱密度函数。
Welch法是一种通过分段计算随机过程的频谱的方法，其步骤包括选择窗函数、选择段数、计算每一段的频谱并对它们求平均。
傅里叶变换法是一种通过对随机过程进行傅里叶变换得到频谱的方法，其步骤包括对随机过程进行傅里叶变换和计算功率谱密度函数。
最后，我们可以通过绘制频谱图来直观地表示随机过程的频谱特性。
频谱图是将频率作为横坐标、功率谱密度函数的取值作为纵坐标，以直方图或曲线的形式展示出来。
通过观察频谱图，我们可以得到随机过程的主要频率成分和其相应的能量。
综上所述，谱分析是一种揭示平稳随机过程频率特性的重要方法。
通过计算自相关函数和功率谱密度函数，并绘制频谱图，可以得到平稳随机过程的主要频率成分和其相应的能量，进而对随机过程进行频域分析。
实验二平稳随机过程的谱分析
一、实验目的
1、复习信号处理的采样定理
2、理解功率谱密度函数与自相关函数的关系
3、掌握对功率谱密度函数的求解和分析
二、实验设备
计算机、Matlab软件
三、实验内容与步骤
已知平稳随机过程的相关函数为：
RX(τ)=1-|τ|/T |τ|<T
=0 |τ|>=T
T=学号*3
设计程序求:
1.利用采样定理求R1(m)
2.利用RX(τ)求SX(w),
3.利用功率谱密度采样定理求S(w)(离散时间序列的功率谱密度)
4.利用IFFT求R(m)
5.利用求出的R1(m)，用FFT求S1(w)
6.比较上述结果。
四、实验原理
平稳随机过程的谱分析和付立叶变换
1、
T
T
T
TSa
d
j
T
R
FT
S
T
X
X2
2
2
)
(
sin
4
)
2
(
)
exp(
)
/
1(
2
)}
(
{
)
(
ω
ω
ω
τ
ωτ
τ
τ
ω=
=
-
-
=
=⎰
2、如果时间信号的采样间隔为T0，那么在频谱上的采样间隔1/（N*T0），
保持时域和频域的采样点一致N
3、注意实际信号以原点对称，画图时是以中心对称，注意坐标的变换
五、实验报告要求
1、打印所求出的R1(m)、R(m)、S1(w)、S(w)序列，并绘图。
采样点数根据采
样定理求出，并在程序中设置为可任意键盘输入的值，以便了解采样点数变化
和由采样所得序列能否正确恢复原始信号的关系。
2、附上程序和必要的注解。
六、实验过程
function y = experiment2
close all;
clc;
number = 41;
T = number*3;
T0 = 0.1 %input('采样间隔T0=');
t = -T: T0: T;
t1 = -2*T: T0: 2*T;
n = T/T0;
Rx1 = 1 - abs(t)/T;
Rx = [zeros(1, n) Rx1 zeros(1, n)];
figure(1),
subplot(211), plot(t1, Rx);
title('自相关函数') ; %自相关函数
F = 1/(2*T0);
F0 = 1/(4*T);
f = -F: F0: F;
w = 2* pi* f;
a = w*T/2;
Sx = T*sin(a).*sin(a)./(a.*a);
Sx(2*n + 1) = T;
subplot(212), plot(f, Sx); title('功率谱密度函数') ; %功率谱密度函数
figure(2),
R1 = Rx;
subplot(211),plot(R1); title('自相关序列') ; %自相关序列
S1 = T0*abs(fft(R1));
S1 = fftshift(S1);
subplot(212), plot(S1); title('自相关序列FFT得到功率谱密度函数') ; %自相关序列FFT得到功率谱密度函数
figure(3),
S = Sx;
subplot(211), plot(S); title('功率谱密度函数采样序列') % 功率谱密度函数采样序列
R = 1/T0*abs(ifft(S));
R = ifftshift(R);
subplot(212), plot(R); title('功率谱密度序列IFFT得到自相关序列') %功率谱密度序列IFFT得到自相关序列
七、实验结果及分析
-150-100-500
50100150
00.5
1
自相关函数
-5-4-3-2-1012345
020
40
60
80
功率谱密度函数
050010001500200025003000
00.5
1
自相关序列
050010001500200025003000
020
40
60
80
自相关序列FFT 得到功率谱密度函数
050010001500200025003000
020
40
60
80
功率谱密度函数采样序列
050010001500200025003000
00.5
1
功率谱密度序列IFFT 得到自相关序列
八、实验心得体会
通过本次对平稳随机过程的谱分析的实验，进一步熟悉了Matlab 软件的使用操作，加深了书本上的理论知识，如信号处理的采样定理的理解，掌握了功率谱密度函数与自相关函数的关系，以及对功率谱密度函数的求解和分析方法。
