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2-3 平稳随机过程的功率谱及高阶谱

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现代谱估计-有理谱估计

现代谱估计-有理谱估计

，随 SNR 的下降而降低，增大阶次会增加分辨率，
但可能出现伪峰且方差增大。
3、滑动平均谱估计
3.1 引言
MA 模型隐含了 k q 的自相关函数 rx k 0 ；可以直接得自相关函数可靠 估计，而不需要 MA 模型参数，得到功率谱估计。与 BT 法的区别：BT 法适用 于任何平稳过程、MA 谱估计仅适用于有限阶 MA 模型；BT 法中自相关函数最 大延迟人为确定，MA 谱估计中模型阶次决定最大延迟；BT 不保证谱的非负性， 而 MA 谱估计非负。 MA 模型适合表示无尖峰有深谷的谱，因此不是高分辨率估计。
自相关函数矩阵 Rx p 同时是 Hermition 矩阵和 Toeplitz 矩阵。
2.2.2 AR 过程的线性预测
2.2.2.1 平稳随机过程的线性预测 平稳随机过程的波形估计 最小均方误差准则，线性估计，Wiener-Hopf 方程，正交原理 滤波、预测、平滑 线性最优预测，m 阶一步前向线性预测，m 阶一步后向线性预测，及它们之 间的关系（系数成共轭关系，最小预测误差功率相等） 最优前向预测误差滤波器的最小相位特性 线性最优预测的按阶次递推关系——Levinson 算法 最小均方预测误差的性质（正交性，递推性）及格型结构实现 反射系数的物理含义（前向预测误差和后向预测误差之间相关系数的负值） 2.2.2.2 AR 过程最优线性预测的特殊性质 AR 过程可由求解线性预测系数来实现 若已知自相关函数，可由 Levinson 递推算法得到 AR 参数 AR 过程可用自相关函数、AR 参数和反射系数三组参数等价表示
1.4 经典谱估计和现代谱估计
经典谱估计中，都隐含了这样一个假设：对于未得到的样本数据或未估计出 的自相关函数，认为是零。但实际上这些值并不一定为零，正是由于这种不合理 假设使得经典谱估计较低的分辨率和较大的失真。现代谱估计，对于未得到的样 本数据或未估计出的自相关函数，并不是简单地作零处理，而是认为与得到的样 本数据服从同一模型，估计质量取决于参数估计质量和模型的准确性。 。这是现 代谱估计与经典谱估计最主要的区别。

随机过程-平稳过程

随机过程-平稳过程

FX () S（） , d X


随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
对平稳时间序列有相类似的结果.
设X={Xn, n=0, ±1, ±2,…}是平稳时间序列,则其 相关函数可以表示为 1 jm R（m） X e dFX (), m 0, 1, () 2
1 t T s( )s( )d T t
只与 有关系.
所以X是平稳过程.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例2 对复随机过程 Z t=Xt +jYt 若mZ(t)是复常数， RZ(t,t+τ )=RZ(τ ),则称 Z={Zt, -∞<t<+ ∞}为复平稳过程. 设Ak和ω k分别是实随机变量和实常数(k=1,2…,n),
随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解平稳过程的谱分解随机过程西安电子科技大学数学系冯海林平稳过程的谱分解定理551是均方连续的平稳过程则其相关函数可以表示为上非负有界单调不减右连续且f随机过程西安电子科技大学数学系冯海林所以f是某个随机变量w的特征函数即存在分布函数g随机过程西安电子科技大学数学系冯海林随机过程西安电子科技大学数学系冯海林称函数f为平稳过程x相关函数的谱展开式或谱分解式
k 1
E[Ak ]=0时，上式与t无关.
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
R（t , t ) E[Zt Z t ] Z E[ Ak e jk t Ak e jk ( t ) ]
k 1 k 1 n n
= E[ Ak Al ]e j (l k )t e jl
令
Zt Ak e
k 1
n
jk t

通信原理试题库_填空题

通信原理试题库_填空题

通信原理填空题库1、按传送信号的复用方式来分，通信系统有__ __，___ _____，___ ______。

2、按传输媒介来分，通信系统可分为___ __和___ __。

3、通信系统按信道中传输的信号不同可以分为___ ______和_ ____。

1.按工作波段来分，通信分为长波通信、中波通信、短波通信、微波通信和。

2.信息是指。

3.数据传送方式可以从不同角度进行区分，若按数据传输的流向和时间关系可分为单工通信、和。

4、相对于模拟通信，数字通信的缺点是一般需要较大的___ ，另外，由于数字通信对同步要求高，因而系统设备复杂。

4.信息速率与传码率的关系是。

5.已知消息x出现的概率为1()16p x=，则该消息的信息量Ｉ= bit。

6.一离散信源由0、1、2、3四个符号组成，它们出现的概率是1/2、1/4、1/8、1/8，且每个符号出现独立，则平均信息量是，最大可能平均信息量是。

7.通信系统的主要性能指标是___ ____，_ ____。

8.消息出现的概率越小，它所含的信息量越__ _____；不可能事件所含的信息量为________。

9.数字通信系统的有效性一般用__ 来衡量，可靠性用__ 来衡量。

10.某四进制系统，4秒钟传输4800个四进制符号，则此系统的传码率BR= ，传信率bR= 。

11.通信系统中通信方式分为三种，广播通信属于，使用同一载频的普通无线对讲机属于，电话属于。

12.模拟调制系统的抗噪声性能主要用来衡量；数字调制系统的抗噪声性能主要用来衡量。

13.数字通信系统的有效性一般用__ 来衡量，可靠性用_ 来衡量。

14.码元速率相同时，8进制的信息速率是二进制的倍。

15.每秒传送N个M进制的码元，则其信息速率为。

16. 设在125s μ内传输256个二进制码元，则码元传输速率为 ；若该信码在2s 内有3个码元产生错误，则误码率为 ；码元速率相同时，八进制的信息速率是二进制的 倍。

17. 八进制数字信号在2分钟内共传送72000个码元，则信息速率为__ _。

平稳随机过程及其遍历性

平稳随机过程及其遍历性
从概率密度函数的角度讲，高阶平稳一定低阶平稳
6
f X (x1, x2 , t1, t2 ) f X (x1, x2 , )
随机过程X(t)的自相关函数，自协方差函数都是 平稳的。
都与时间无关
RX (t1, t2 ) x1x2 f X (x1, x2;t2 t1)dx1dx2
x1x2
➢ 二阶平稳(n=2) 严平稳随机过程的二维概率密度只与 t1, t2的 时间间隔有关，而与时间起点无关。 n 2, t t1, t2 t1时，二维概率密度：
fX (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1, x2,t1 t,t2 t)
fX (x1, x2 , 0,t2 t1) f X (x1, x2, )
平稳随机过程及其遍历性
随机过程可分为平稳与非平稳两大类, 严格地说, 所 有信号都就是非平稳得, 但就是, 平稳信号得分析要容 易得多, 而且在电子系统中, 如果产生一个随机过程得 主要物理条件在时间得进程中不改变, 或变化极小, 可 以忽略, 则此信号可以认为就是平稳得、 如接收机得 噪声电压信号, 刚开机时由于元器件上温度得变化, 使 得噪声电压在开始时有一段暂态过程, 经过一段时间 后, 温度变化趋于稳定, 这时得噪声电压信号可以认为 就是平稳得。
或
X (很t) 小m，X 即使X (两t 者 )的 m相X 关程度较强，则 也不会
太大，所以K并X 不( )能准确表示关联程度的大小。为了消除
实际应用中,通过上式来判定过程得平稳性就是很不容易得,因此 在实际中往往不需要所有时间都平稳,只要观测得有限时间平稳 就行了。
3
f X (x1,, xn ,t1 t,,tn t) f X (x1,, xn ,t1,,tn )
(2) 特性 ➢ 一阶平稳(n=1) 严平稳随机过程得一维概率密度函数与时间无关 n 1, t t1 时,对于一维概率密度有: fX (x1, t1 t) f X (x1, t1) f X (x1, 0) f X (x1)

通信原理各章重要知识常考知识总结通信原理习题及详细答案(第六版)

通信原理各章重要知识常考知识总结通信原理习题及详细答案(第六版)

第一部 通信原理部分习题答案第1章 绪论1—1 设英文字母E 出现的概率为0.105，x 出现的概率为0.002。

试求E 及x 的信息量。

解：英文字母E 的信息量为105.01log 2=E I =3.25bit 英文字母x 的信息量为002.01log 2=x I =8.97bit 1—2 某信息源的符号集由A 、B 、C 、D 和E 组成，设每一符号独立出现，其出现概率分别为1/4、l/8、l/8/、3/16和5/16。

试求该信息源符号的平均信息量。

解：平均信息量，即信息源的熵为∑=-=ni i i x P x P H 12)(log )(=41log 412-81log 812-81log 812-163log 1632-165log 1652- =2.23bit/符号1—3 设有四个消息A 、BC 、D 分别以概率1/4、1/8、1/8和l/2传送，每一消息的出现是相互独立的，试计算其平均信息量。

解：平均信息量∑=-=ni i i x P x P H 12)(log )(=41log 412-81log 812-81log 812-21log 212- =1.75bit/符号1—4 一个由字母A 、B 、C 、D 组成的字。

对于传输的每一个字母用二进制脉冲编码，00代替A ，01代替B ，10代替C ，11代替D ，每个脉冲宽度为5ms 。

(1)不同的字母是等可能出现时，试计算传输的平均信息速率。

(2)若每个字母出现的可能性分别为P A =l/5，P B =1/4，P C =1/4，P D =3/10 试计算传输的平均信息速率。

解：(1)不同的字母是等可能出现，即出现概率均为1／4。

每个字母的平均信息量为∑=-=ni i i x P x P H 12)(log )(=41log 4142⨯-=2 bit/符号因为每个脉冲宽度为5ms ，所以每个字母所占用的时间为 2×5×10-3=10-2s每秒传送符号数为100符号／秒 (2)平均信息量为∑=-=ni i i x P x P H 12)(log )(=51log 512-41log 412-41log 412-103log 1032-=1.985 bit/符号 平均信息速率为 198.5 比特/秒1—5 国际莫尔斯电码用点和划的序列发送英文字母，划用持续3单位的电流脉冲表示，点用持续1个单位的电流脉冲表示；且划出现的概率是点出现概率的l/3； (1)计算点和划的信息量； (2)计算点和划的平均信息量。

随机信号分析__2.3功率谱密度

随机信号分析__2.3功率谱密度
S XY () SYX () 2mX mY ()
证明： 因为X(t)与Y(t)不相关，所以
E[ X (t1 )Y (t2 )] mX mY
SXY ( )
RXY
(
)e
j
d
mX mY
e j d
2mX mY () （1 2()）
性质6： A RXY (t,t ) S XY ()
T
x(t) y(t)dt]
T
1T
lim[ T 2T
T RXY (t, t)dt]
1
lim
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]
d
2 T
2T
定义互功率谱密度为：
S XY
()
lim
T
1 2T
E[ X
* X
(T ,) XY
(T ,)]
则
QXY
1
2
S XY ()d
同理，有：
SYX
()
lim
随机信号分析
2.3 功率谱密度
本节课的整体设计与构思
信号的时域与频域分析：
确定信号 x(t) ： 傅立叶变换
信
x(t) X ()
号 随机信号 X (t)：维纳—辛钦定理
RX ( ) SX ()
2.3.1 随机过程的功率谱密度
问题的引入： 1.对于随机信号，是否可以应用频域分
析方法？
2.傅立叶变换能否用于研究随机信号？
三、互谱密度的性质
＝
性质1：SXY ( ) SYX ( ) SY*X ( )
证明：
SXY ( )
RXY
(

第四章 平稳随机过程的谱分析

第四章 平稳随机过程的谱分析

1 2
S
X
(
)e
j
d
自相关函数和功率谱密度皆为偶函数
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
jt
ddt
1
2
XX
()
x(t)e jt dtd
1
2
X
X
()X
* X
()d
1
2
X
X
()
2d
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖功率谱
功率型信号：能量无限、平均功率有限的信号
P lim 1 T s(t) 2 dt T 2T T 其能谱不存在，而功率谱存在
持续时间无限长的信号一般能量无限
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖如何计算随机信号的平均功率？
2）时域计算方法
任一样本函数的平均功率为
W
lim
T
1 2T
T x2(t, )dt
T
随机过程的平均功率为
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T E{X 2(t)}dt
T
若为各态历经过程：
W =W
4.1、平稳随机过程的功率谱密度 ❖如何计算随机信号的平均功率？
2020/5/20
6
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖傅立叶变换
则 x(t)的傅立叶变换为：
X () x(t)e jt dt
其反变换为：
x(t) 1 X ()e jt d
2
频谱密度存在的条件为：
频谱密度
x(t)dt
2020/5/即20 信号为绝对可积信号
包含：振幅谱 相位谱
求各样本函数功率谱密度的统计平均

随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介

随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介

1) S(ω)为实值非负函数，即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E

1 2T
T
X
2
(t
)dt

T

(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt

E[
X (t )
注
RX
(
)

1
2

e

jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数，若存在SX (ω)，使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足

随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析

随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析

A RX (t , t ) e j d


说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自 相关函数的时间平均与功率谱密度是傅 里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
S X ( ) R X ( )e
0

j
d
0
Ae e


j
d Ae
e
j
d
1 1 A[ ] j j 2 A 2 2
例3.4 P203 设随机相位信号X(t)＝Acos(ω0t+θ)， 其中A, ω0为常数； θ为随机相位，在（0， 2π）均匀分布。可以计算初其自相关函 数RX(τ)=[A2cos (ω0τ)]/2, 求X(t)的功率谱 密度。 解：引入δ函数。 1 1 j ()e d 2 2
3.2.1 功率谱密度的性质
1. 功率谱密度的非负性。即： SX(ω)>=0 2. 功率谱密度是ω的实函数。即： SX(ω)= SX(ω)
3. 对于实随机过程来讲，功率谱密度是ω 的偶函数。即： SX(ω)＝ SX(－ω) 4. 功率谱密度可积。即：



S X ( )d
3.2.2 谱分解定理
满足上述条件的x(t)的傅利叶变换为：
Fx ( ) x(t )e


jt
dt
称为x(t)的频谱。为一复数，有 Fx(ω)= Fx(-ω)
Fx(ω)的傅利叶反变换为：
1 x(t ) 2

第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程

第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程

第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程第二章平稳随机过程的谱分析本章要解决的问题：●随机信号是否也可以应用频域分析方法?●傅里叶变换能否应用于随机信号？● 相关函数与功率谱的关系● 功率谱的应用● 采样定理● 白噪声的定义2.1 随机过程的谱分析2.1.1 预备知识1、付氏变换:对于一个确定性时间脉冲x(t)，设x(t)是时间t 的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。

即：满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：其反变换为：2、帕赛瓦等式由上面式子可以重新得到：——称为非周期性三十天拉热函数的帕塞瓦(Parseval)等式。

物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流) ，则上式左边代表x(t)在时间(-∞, ∞) 区间的总能量（单位阻抗）。

因此，等式右边的被积函数X X (ω)2表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称X X (ω)2为能量谱密度。

2.1.2、随机过程的功率谱密度变换一个信号的惟教变换是否存在，可能需要满足三个条件，那么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏呢？随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能量一般也是无限的，因此，其付氏变换不牵涉到。

但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然洪可以利用博里叶变换这一工具。

为了将傅里叶变换方法常量应用于随机过程，必须对过程的待测函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。

截取函数x T (t):图2.1 x (t)及其截取函数当x(t)为有限值时，裁取函数x T (t)满足绝对可积条件。

因此，x T (t)的傅里叶变换存在，有很明显，式的变化）x T (t)也应满足帕塞瓦等式，即：（注意积分区间和表达用2T 除上式等号用的两端，可以得到等号于两边取集合平均，可以得到:令T→∞，再取极限，便可得到随机过程的平均功率。

平稳过程的谱分析

平稳过程的谱分析

第二章 平稳过程的谱分析§1谱理论简介我们知道，由Wold 分解定理，一个平稳过程t Y 可以找到一个平稳的(,)ARM A p q 来近似。

且已知1,,T y y ，当T →∞，我们可以一致的估计(,)ARM A p q 模型中的未知参数，并由此来把握平稳过程t Y 。

现在，我们换一个角度看t Y ，把所有二阶矩平稳过程看成为一个Hilbert 空间，那么，由Hilbert 空间的谱表示定理，任何一个二阶矩平稳过程t Y 都可以表示成为一个右连续的正交增量过程的R —S 积分，即，()i tt Y edz πωπω-=⎰，()()()z A iB ωωω=+。

满足：[()()]0i j E dA dA ωω=， [()()]0i j E dB dB ωω=，i j ∀≠。

（正交增量性）[()][()]0E dA E dB ωω==， [()][()]Var dA Var dB ωω=，且右连续是指均方收敛，即，2[()()]0E A A ωδω+-→，0δ↓。

（ 参见MIT 教本）将t Y 改写成，0cos()()sin()()t Y t dA t dB ππωωωω=+⎰⎰。

定义[()][()]Var dA Var dB ωω==2()dF ω，[0,]ωπ∀∈。

那么由(),()A B ωω的正交增量性和右连续性，知()F ω是一个[0,]π上的非减右连续的函数。

称()F ω为t Y 的谱分布函数。

又将()dF ω写成，()()dF f d ωωω=，则()f ω就称为t Y 的谱密度函数。

注意，()F ω或()f ω是由(),()A B ωω唯一决定的，也就是由t Y 唯一决定的。

这里唯一性指的是几乎处处唯一。

反过来也正确。

任给一个谱密度函数()f ω或谱分布函数()F ω，可以决定一个唯一的右连续的正交增量过程，()()()z A iB ωωω=+，并由()z ω决定一个唯一的平稳过程t Y 。

随机过程第五章 平稳随机过程

随机过程第五章 平稳随机过程


1,
0,
T st;
其他.
E{Y (s)Y (t)} E{E[Y (s)Y (t) ]}
st
1 P{ T s t } 1 ,
T 对于 t 的其它情形可做类似推理.
电子科技大学
随机二元传输过程是一个平稳过程,记τ=s－t,
其自相关函数为
0,


),
a;
0,
a
RX(t, t+τ)与 t 无关, 故X(t) 是宽平稳过程.
P128例12 泊松过程不是平稳过程，
是平稳增量过程.
电子科技大学
三、两种平稳性的关系
1）严平稳过程不一定是宽平稳的; 因宽平稳过程一定是二阶矩过程,而严平稳 过程未必是二阶矩过程. 2）宽平稳不一定 严平稳;
CX (s,t) RX (s,t) mX 2 RX () mX 2
电子科技大学
注 自协方差函数与自相关函数都仅依赖于t－s.
平稳过程在实际中是常见过程,如
照明电网中电压的波动过程; 电子系统中的随机噪声; 稳定气象条件下海域中一定点处的海浪高度 随时间的变化或随地点的变化(平稳随机场)； 卫星图片中相同条件下的灰度水平.
t 0,
随机变量与 随机过程》
其中X0 与N(t)相互独立，且
美 A.帕普
力斯，p303
C C
X0 ～ 1 1 C > 0,
2 2
电子科技大学
讨论｛X(t), t≥0｝的平稳性.
C
－C
解 因 X (t) X0(1)N(t) , t 0, mX (t) E[X(t)] E(X0 )E[(1)N(t)] 0, t 0

第三章随机过程的功率谱密度

第三章随机过程的功率谱密度
保留有限区 间的数据 置其它 区间为0
图 3-18 样本函数及截断函数
截断函数 和 满足傅立叶变换的绝对可 积和能量有限条件，即
傅立叶变换分别为
在时间范围 内， 和 的互功率为 据巴塞伐定理 用 代换 ，则有 互功率也可表示为
• 由于 和 具有随机性， 、 和 也 具有随机性；
• 为消除单一样本的随机性，采取样本的统计 平均来得到随机过程 和 的互功率。
• 时间带宽乘积：
常数
例3-3 设随机过程 的自相关函数为
试求该随机过程的自相关时间和等效功率谱 带宽。
解：由自相关函数定义
等效功率谱带宽
例3-4 已知平稳过程 的谱密度为
求 的自相关函数，自相关时间和等效带宽。 解：由自相关函数与功率谱关系有
图 3-17 例3-4
§3.4 联合平稳过程的互功率谱密度
功率谱密度与自相关 函数是傅立叶变换对
证明：由功率谱密度函数定义
在区间 定义 则有
令则
得证。
功率谱密度与自相关函数时间 平均值是傅立叶变换对
3.2.2 功率谱密度的性质 1. 功率谱密度为非负实函数，即 证明: 根据功率谱密度定义
2. 功率谱密度函数为 的偶函数,即
证明 : 由功率谱与自相关函数的关系 同理
3. 平稳随机过程的功率谱密度是可积函数,即
证明: 对于平稳随机过程有 平稳随机过程的均方值有限 平稳随机过程的功率谱密度可积,即
4. 功率谱与相关函数 随机过程
平稳随机过程
平稳各经历态过程
偶函 数 非负
可积 图3-4 随机过程及其功率谱密度函数
实数
3.2.3 功率谱 与 平均功率 1. 平均功率是功率谱在频率空间的积分

第六讲平稳随机过程的功率谱密度

第六讲平稳随机过程的功率谱密度

第六讲 平稳随机过程的功率谱密度6.1 确知信号的频谱和能量谱密度对于确知信号，周期信号可以表示成傅立叶级数，非周期信号可以表示成傅立叶积分。

设信号s(t)为时间t 的非周期实函数，满足如下条件：1）⎰∞∞-∞<dt t s )(，即s(t)绝对可积；2）s(t)在),(∞-∞内只有有限个第一类间断点和有限个极值点， 那么，s(t)的傅立叶变换存在，为⎰∞∞--=dt e t s S t j ωω)()(又称为频谱密度，也简称为频谱。

信号s(t)可以用频谱表示为⎰∞∞-=ωωπωd e S t s t j )(21)(信号s(t)的总能量为⎰∞∞-=dt t s E )(2根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的能量等于频域内信号的能量。

即ωωπd S dt t s E 22)(21)(⎰⎰∞∞-∞∞-==其中，2)(ωS 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。

能谱密度存在的条件是∞<⎰∞∞-dt t s )(2即总能量有限，所以s(t)也称为有限能量信号。

6.2 随机过程的功率谱密度随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。

经推导可得，])([21lim )(2ωωT T X X E TS ∞→=为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度。

功率谱密度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的数字特征。

可得随机过程的平均功率为 ⎰∞∞-=ωωπd S P X X )(21对于平稳随机过程，其平均功率为ωωπd S t X E X ⎰∞∞-=)(21)]([2若X(t)为各态历经过程，则功率谱密度可由一个样本函数得到，即2),(21lim )(e X TS T T X ωω∞→=6.3 功率谱密度与自相关函数之间的关系平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度构成傅立叶变换对，即维纳－辛钦定理：⎰⎰∞∞--∞∞-==ωωπτττωωτωτd eS R d e R S j X X j X X )(21)()()(它成立的条件是)()(τωX XR S 和绝对可积，即∞<∞<⎰⎰∞∞-∞∞-ωωττd S d R X X )()(当0=τ时，可得⎰∞∞-==ωωπd S t X E R X X )(21)]([)0(2可知，)]([)0(2t X E R X=是平稳随机过程X(t)的平均功率。

高斯平稳随机过程的功率谱

高斯平稳随机过程的功率谱

高斯平稳随机过程的功率谱
高斯平稳随机过程的功率谱是一个重要的统计特性，用于描述随机过程在频域的特性。

功率谱密度是频率域上信号或者时间序列的功率分布的度量。

对于一个高斯平稳随机过程，它的主要特性包括其均值为常数，自相关函数只与时间间隔有关。

这些特性使得我们可以方便地分析和处理这类随机过程。

平稳随机过程的功率谱密度是其自相关函数的傅里叶变换，这是由维纳-辛钦定理给出的。

高斯平稳随机过程的功率谱具有一些特殊的性质。

例如，它是非负的、实的、并且是偶函数。

此外，功率谱密度是可积的，这意味着在整个频率范围内的功率是有限的。

高斯平稳随机过程的功率谱在分析各种信号和噪声中都有广泛的应用，例如通信系统、控制系统、雷达和声学等领域。

通过对功率谱的分析，我们可以了解信号或噪声在不同频率下的强度分布，从而设计出更有效的信号处理算法和系统。

平稳随机过程的谱分析1

平稳随机过程的谱分析1

解：
S ( z)
' X
m
RX (m) z
m 0
E[ X 2 (t )]
1 j S X ( s)ds j 2j
利用留数定理，考虑沿着左半平面上的一个半径为无穷大的半圆积分
3.2平稳随机过程的功率谱密度性质
左半平面有两个极点，在－1和－3处，于是，可以 分别计算两个极点的留数为
K 1 K 3
故
( s 2)(s 2) 3 |s 1 ( s 3)(s 1)(s 3) 16 ( s 2)(s 2) 5 |s 3 ( s 1)(s 1)(s 3) 48


j
5 6 2 5
2 6

习
3.1
题

设平稳随机过程X(t)的功率密度为
25 2 16 S X ( ) 4 34 2 225
求用复频率s=j表示的SX(s)，并在复频率面上画出SX(s) 的零、极点图。
3.2平稳随机过程的功率谱密度性质

2
a 2 1 j0 j0 j ( e e ) e d 2 2 a 2 j ( 0 ) j ( 0 ) [ e e ]d 4 a 2 [ ( 0 ) ( 0 )] 2
3.3平稳随机过程的功率谱密 度与自相关函数之间的关系
1 ' m 1 S ( z ) z dz D X 2j
式中D为收敛区中的简单闭合围线。
3.4 离散时间随机过程的功率谱密度
（二）平稳过程的采样定理
若零均值的限带平稳过程X(t)的功率谱密度为
S X ( ), S X ( ) 0, | | c | | c

功率谱密度的性质

功率谱密度的性质

性质 1 : 宽平稳高斯过程一定是 严平稳高斯过程
11
性质2 : 若平稳高斯过程在任意 两个不同时刻 是不相关的 , 那么也一定是互相独立 的
两个高斯变量 X 1和X 2的联合概率密度 f X ( x1 , x2 ) 1 21 2 1 r 2
2
2
e
( x1 m1 ) 2 2 r ( x1 m1 )( x2 m2 ) ( x2 m2 ) 2 1 [ ] 2 2 2 2 (1 r ) 1 2 1 2
( )

2
[ ( 0 ) ( 0 )]
6
单边功率谱GX(w)与双边功率谱SX(w)的关系
只用正频率部分来表示功率谱密度
G X ( ) 2S X ( ) 0 0 0
S ( ) 2 R ( ) cos d 0 X X 1 RX ( ) S X ( ) cos d 0
RX () 0, 且呈振荡形式, 也可引入 函数解决
1 S X ( ) FT [ RX ( )] FT [ (1 cos 0 )] 2 1 1 FT [ ] FT [ cos 0 ] 2 2 1 1 2 ( ) [ ( 0 ) ( 0 )] 2 2
2.3.2 功率谱密度的性质
1 、S X ()为非负实函数, 即 : S X () 0
1 2 S X ( ) lim E[ X T ( ) ] T 2T
X T ( ) 0, 故S X ( ) 0
2
2、 若X (t )实平稳, 则S X ()是偶函数,即: S X () X (t ), Y (t )互相正交, 互谱密度为零.
RXY ( ) 0 S XY () FT[ RXY ( )] 0

随机信号分析__2.3功率谱密度

随机信号分析__2.3功率谱密度

2 T
2T
定义互功率谱密度为：
S XY
()
lim
T
1 2T
E[ X
* X
(T ,) XY
(T ,)]
则
QXY
1
2
S XY ()d
同理，有：
SYX
()
lim
T
1 2T
E[

* Y
(T
,
)
X
X
(T , )]
PYX
1
2
SYX ()d
且
PXY PYX
二、互谱密度和互相关函数的关系 自相关函数 F 功率谱密度 互相关函数 F 互谱密度
E[ X (t1 )Y (t2 )] mX mY
SXY ( )
RXY
(
)e
j
d
mX mY
e j d
2mX mY () （1 2()）
性质6： A RXY (t,t ) S XY ()
A RYX (t,t ) SYX () 例：设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，
傅立叶变换
X () x(t)e jtdt
x(t) 1 X ()e jtd
2
回顾：傅立叶变换
信号能谱密度 X () 2 存在的条件是它具 有有限的能量。
即：
x(t) 2 dt
信号的平均功率：
P lim 1 T x(t) 2 dt T 2T T
1.随机过程样本的功率谱密度
其互相关函数 RXY ( ) 为:
RXY
(
)
9e 3 0
0 0
求互谱密度SXY ()，SYX () 。
谢谢观看！ 2020
RXY

2.2.4平稳随机过程的相关性分析

2.2.4平稳随机过程的相关性分析
2 1
根 自 关 数 互 关 数 性 判 据 相 函 和 相 函 的 质 断
(1) RXY (τ ) ≤ RX (0) RY (0)
2
R(0) = σ 2
9 ≤ 50不成立, 故不能成为互相关函数. 2 1 + 2τ
8
2
例 : 对于两个零均值联合平 稳随机过程 X (t )和Y (t ),
2 2 已知 σ X = 5, σ Y = 10, 说明下列函数是否可能 成
= E [ X ( t + τ ) X ( t )] = R X ( τ )
பைடு நூலகம்
、 稳 程 自 关 数 最 点 2 平 过 X (t) 相 函 的 大 在τ = 0处,
即: RX (0) ≥ RX (τ )
同 可 : CX (0) ≥ CX (τ ) 理 证
1
3 周期平稳过程X (t)的自相关函数是周期函数, 且与 、 周期平稳过程的周期相同 即: RX (τ +T) = RX (τ ) ,
σ
2 X
RX (τ ) RX (∞) = RX (0) RX (∞)
4
rX (0) =1
rX (τ ) =
2 RX (τ ) mX 2 σX
自相关系数也称归一化自相关函数 自相关系数也称归一化自相关函数
5
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e
9 m = RX (∞) = lim RX (τ ) = lim[16 + ] = 16 2 τ →∞ τ →∞ 1 + 3τ
2 X
mX = ±4
2 σ X = RX (0) RX (∞) = [16 + 9] 16 = 9
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∞ −∞ T
= ∫ x(t )e − jωt dt
−T
应用帕塞瓦等式
1 ∞ 2 ∫−T x (t )dt = 2π ∫−∞ X X (T , ω ) dω 1 T 2 1 ∞ 2 ∫−T x (t )dt = 4πT ∫−∞ X X (T ,ω ) dω 2T 2 1 T 2 1 ∞ E ∫ x (t )dt = E ∫−∞ X X (T ,ω ) dω −T 4πT 2T
。 求 X (t )的功率谱密度 S X (ω )
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21
不是有限值， 解：注意此时∫－∞ RX (τ ) dτ 不是有限值，即不 可积， 的付氏变换不存在， 可积，因此 RX (τ )的付氏变换不存在，需要 函数。 引入 δ 函数。
A2 S X (ω ) = ∫ RX (τ )e − iωτ dτ = ∫ cos(ω0τ )e − iωτ dτ −∞ −∞ 2 A2 ∞ e jω τ + e − jω τ − jωτ e jω0τ + e − jω0τ = e dτ (cos(ω0τ ) = ) ∫−∞ 2 2 2 A2 ∞ jω0τ = （e + e − jω0τ）e − jωτ dτ 4 ∫−∞ πA2 = [δ (ω − ω0 ) + δ (ω + ω0 )] (e jω0τ ↔ 2πδ (ω − ω0 )) 2
2
∞ 1 ∞ = X X (ω ) ∫ x(t )e jωt dtdω −∞ 2π ∫−∞ 1 ∞ = X X (ω )X * (ω )dω X 2π ∫−∞
∞
∞
1 = 2π
∫
∞
−∞
X X (ω ) dω
2
即
1 ∫−∞ [ x(t )] dt = 2π
2
∞
∫
∞
−∞
X X (ω ) dω
2
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2.3 平稳随机过程的功率谱及高阶谱
本节内容
2.3.1 随机过程的功率谱密度 2.3.2 功率谱密度的性质 2.3.3 联合平稳随机过程的互功率谱密度 2.3.4 高阶统计量与高阶谱
2011-2-7
2
2.3.1 随机过程的功率谱密度
预备知识
1 付氏变换 是时间t的非周期实函数 设x(t)是时间 的非周期实函数，且x(t) 满足 是时间 的非周期实函数， • x(t )在(−∞,+∞)范围内满足狄利赫利条件 • x(t )绝对可积，即 绝对可积，
T 2
除以2T 除以 取集合平均
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7
再取极限， 令 T → ∞ ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
存在 非负
2
1 lim T → ∞ 2T
E[ X X (T , ω ) ] 1 ∞ dω ∫−T E[ X ( t )]dt = 2π ∫− ∞ Tlim →∞ 2T
T 2
功率Q 功率
ω = − js
− ( s 2 − 4) S X (s) = 4 s − 10s 2 + 9
=
-3
-2
-1
0
1
2
3
σ
− ( s + 2)( s − 2) ( s + 1)( s − 1)( s + 3)( s − 3)
13
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功率谱密度与自相关函数之间的关系
确定信号： 确定信号： x (t ) ↔ X ( jω ) 随机信号： 随机信号：平稳随机过程的自相关函数
两个结论： 两个结论：
1 <.> 1 Q = A < E[ X ( t )] > A < . >= lim T → ∞ 2T 表示时间平均 若平稳
2
Q = A < E[ X 2 ( t )] >= E[ X 2 ( t )]＝RX ( 0)
1 2 Q= 2π
∫
∞
−∞
S X (ω )dω
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2 S X (ω ) ω ≥ 0 G X (ω ) = ω<0 0
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19
−β τ 例：平稳随机过程的自相关函数为RX (τ ) = Ae ， A>0， β > 0 ，求过程的功率谱密度。 求过程的功率谱密度。 ，
−β τ
解：应将积分按＋τ 和－τ 分成两部分进行 应将积分按＋
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15
设 则 所以： 所以：
τ = t 2 − t1 u = t 2 + t1 τ +u u −τ t2 = t1 = 2 2
1 ∂ ( t1 , t 2 ) J= = 2 ∂ (τ , u) − 1 2
u = 2T + τ
T -2T
1 2 =1 1 2 2
u 2T
t2
u = 2T − τ
a2 = E{ [1 + cos(2ω 0 t + 2Φ )]} 2 2 π 2 a a 22 = + ∫ cos(2ω 0 t + 2ϕ )dϕ 0 π 2 2
π a2 a2 = + sin( 2ω0 t + 2ϕ ) 02 2 2π a2 a2 = − sin 2ω0 t 2 π
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况下，第二项为0) 况下，第二项为0)
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推论：对于一般的随机过程 推论：对于一般的随机过程X(t)，有： ，
S X (ω ) = ∫ A < RX (t , t + τ ) > e − jωτ dτ
−∞ ∞
平均功率为： 平均功率为：
1 T → ∞ 2T lim
T −
1 A < RX (t , t + τ ) >= 2π
∫
+∞
有限个极值 有限个断点
பைடு நூலகம்−∞
x(t ) dt < ∞
• x(t )信号的总能量有限，即 信号的总能量有限，
∫
+∞
−∞
x(t ) dt < ∞
2
断点为有限 值
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3
的傅里叶变换为： 则 x(t ) 的傅里叶变换为：
X X (ω ) = ∫ x(t )e − jωt dt
−∞ ∞
其反变换为： 其反变换为：
2T − τ 1 1 2T = lim{ ∫ dτ ∫ RX (τ )e − jωτ du} − 2T + τ 2 T →∞ 2T − 2T 1 2T = lim (2T − τ )RX (τ )e − jωτ dτ T →∞ 2T ∫− 2T 2T τ = lim ∫ (1 − ) R X (τ )e − jωτ dτ
∞
1 RX (τ ) = 2π
∫
∞
−∞
S X (ω )e jωτ dω
2
2. 证明： 证明：
E[ X X (T , ω ) ] S X (ω ) = lim T →∞ 2T
= lim
1 E[ X X (T , ω ) X * (T , ω )] X T → ∞ 2T
T T 1 jωt1 E[∫ X (t1 )e dt1 ∫ X (t2 )e− jωt2 dt2 ] = lim −T −T T →∞ 2T 1 T T = lim E[ X (t1 ) X (t 2 )]e − jω ( t 2 − t1 ) dt1dt 2 T →∞ 2T ∫−T ∫−T 1 T T = lim R X (t 2 − t1 )e − jω ( t 2 − t1 ) dt1dt 2 T → ∞ 2T ∫−T ∫−T
∫
∞
−∞
S X (ω )e jωτ dω
2 ∫−T E[ X ( t )]dt =
1 ∞ ∫− ∞ S X (ω )dω 2π
利用自相关函数和功率谱密度皆为偶函 数的性质，又可将维纳—辛钦定理表示成 辛钦定理表示成： 数的性质，又可将维纳 辛钦定理表示成：
S X (ω ) = 2∫ RX (τ ) cos ωτdτ
T → ∞ − 2T
2T
= ∫ RX (τ )e
−∞ ∞
∞
− jωτ
lim dτ − T →∞ ∫− 2T
2T
τ
2T
R X (τ )e − jωτ dτ
R τ 因此， (注意T → ∞，2T → 0 且 → ∞ ， X (τ ) → 0 。因此，通常情
τ
= ∫ RX (τ )e − jωτ dτ
−∞
11
Q = A < E[ X 2 (t )] >
1 = lim T →∞ 2T a2 = 2 a2 a2 ∫−T ( 2 − π sin 2ω0t )dt
T
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12
功率谱密度和复频率面
σ =0
ω
S X (ω )
s = σ + jω
s = jω ω = − js
只是记号相同，函数形式不同） S X (s ) （只是记号相同，函数形式不同） ω2 + 4 jω 例：S X (ω ) = 4 ω + 10ω 2 + 9
9
S 功率谱密度： 描述了随机过程X(t)的 功率谱密度： X (ω ) 描述了随机过程 的 功率在各个不同频率上的分布—— S X (ω )称为 功率在各个不同频率上的分布 随机过程X(t)的功率谱密度。 的功率谱密度。 随机过程 的功率谱密度
对 S X (ω ) 在X(t)的整个频率范围内积分， 的整个频率范围内积分， 的整个频率范围内积分 便可得到X(t)的功率。 的功率。 便可得到 的功率 对于平稳随机过程， 对于平稳随机过程，有：
S X (ω ) = ∫ Ae e
−∞ 0