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平稳随机过程的功率谱密度

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随机过程的功率谱密度 ppt课件

随机过程的功率谱密度 ppt课件

GX ( ) GX (cos )ppt课件
17
三、互功率谱密度及其性质
GXY ()

E{lim T
1 2T
XT ()YT()}
其中： XT ()
T X (t)e jt dt
T
YT ()
T
Y
(t
)e
jt
dt
T
若X(t)及Y(t)联合平稳，有
GXY ()
GX
( )e
j
d
物理谱定义：
FX () 2GX0()
0 0
ppt课件
12
5
0
-5
0
200
400
600
800
1000
1200
30
频谱
20
10
0 0
40 20
0 -20 -40
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
功率谱
200
400
广义联合平稳的定义：
mX (t) mX , mY (t) mY , R (t , XpYpt课件1 t2 ) RXY ( ), t1 t221
随机过程的功率谱密度 作业：2.31, 2.36, 2.39
功率谱定义：GX
(
)

E[lim T
1 2T
XT () 2 ]

2 0
RX ( ) cos d
实平稳随机过程的功率谱是实的、非负的偶函数。
RX
(0 )

1
2

GX

2.2.4 平稳随机过程的相关性分析

2.2.4 平稳随机过程的相关性分析
τ →∞
2 lim RX (τ ) = RX (∞) = mX
证明 : 当 τ → ∞ 时 , X (t )与 X (t + τ )不相关 , 则有 :
τ →∞
lim R X (τ ) = R X ( ∞ ) = lim E [ X ( t ) X ( t + τ )]
τ →∞
2 = lim { E [ X ( t )] ⋅ E [ X (t + τ )]} = m X
17
∞
样本函数x(t)的平均功率： 样本函数x(t)的平均功率： x(t)的平均功率
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T 1 1 ∞ 2 = lim ⋅ ∫−∞ XT (ω) dω T →∞ 2 T 2π 1 ∞ 1 2 = lim ∫−∞[T→∞ 2T XT (ω) ]dω 2π
∫
∞
−∞
xT ( t ) e
− jω t
dt =
∫
T
−T
x (t )e
− jω t
dt
1 xT (t ) = 2π
1 T 2 w = lim ∫−T xT (t) dt T →∞ 2 T
∫
∞
−∞
X T (ω )e jωt dω
2
1 ∞ 2 ∫−∞[x(t)] dt = 2π ∫−∞ X (ω) dω
样本函数x(t)的功率谱密度， 样本函数x(t)的功率谱密度， x(t)的功率谱密度 简称样本的功率谱密度。 简称样本的功率谱密度。
x(t), w和 T (ω)取 于 验 结 , 都 有 定 随 性 X 决 试 的 果 带 一 的 机 .
例 : 已知平稳过程 X (t )的自相关函数为 : (1) R X (τ ) = 3e

平稳过程的功率谱密度

平稳过程的功率谱密度

●
频率域分析方法的重要工具是 Fouier变换, • 能量 • 功率
几个物理概念
它可以确定时域与频域的转换关系.
●
为了在频域上描述平稳过程的统计特征，需要 研究相关函数的谱分析。为此要引入谱密度. 谱密度是在频域内研究平稳过程的重要指标. 数学上 它是相关函数的Fouier变换,它的物理
意义是功率谱密度.
2013/11/15
2 帕塞瓦尔等式
总能量的谱表示式
2
Fourier变换的性质
● 线性性质 ● 位移性质
F [ f1 (t ) f 2 (t )] F [ f1 (t )] F [ f 2 (t )]



[ x(t )] dt x(t )

1 2


E x 2 (t ) dt.
2013/11/15
功率信号： 0 lim
T

T
T
x 2 (t )dt
t2
E

t1

x 2 (t ) dt 称为x(t )在( - , +) 上的总能量。
5
显而易见，一个能量信号具有零平均功率，而一 个功率信号具有无限大能量。
2013/11/15 6
信号能量的解释：对于电信号，通常是电压或电流， 电压和电流在己知区间 (t1, t2) 内消耗在电阻R上的能 量为 2 t 2 U (t ) t2 E dt ; E RI 2 (t )dt. t1 t1 R
p
1 t2 2 x (t )dt t2 t1 t1
1 2T
R 1 时，上述两式具有相同形式。
1 2



Fx ( ) d

平稳随机过程的功率谱密度-精品文档

平稳随机过程的功率谱密度-精品文档

二、谱密度的性质
性质2
i 即 S ( ) R ( ) e d , X X
性质1 S ( )是 的实的、非负的偶函 . X
S ( ) 和自相关函数 R ( ) 是一傅里叶 . X
1 i R ( ) S ( ) e d . X X 2 π
在 x ( t ) 和 F ( ) 之间成立有帕塞 ( Parsev ) x
等式:
2 1 2 x ( t ) d t F ( ) d , x 2 π
x ( t )在 ( , ) 上的总能量
称为x(t)的能量谱密度 帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.
平稳过程的平均功率
1T 2 2 该过程的 lim E [ X ( t )] d t x T T 2 T 均方值

2 X
1 1 2 lim { E F (, T ) } d . X T 2 π 2 T

S ( ) 或 S ( ) . 平稳过程 X(t) 的功率谱密度, 记为 XX X
1 T 2 将 lim E X( t) d t 定义为平稳过 T T 2 T
X(t)的平均功率 .
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注意
到平稳过程的均方值是常数, 于是
1 T 2 lim E X ( t ) d t T T 2 T
它们统称为维纳-辛钦(hine)公式.
说明
1. 平稳过程在自相关函数绝对可积的条件下, 维纳-辛钦公式成立.
2 . S ( ) 和 R ( ) 都是偶函数, 所以维纳-辛钦 X
公式还可以写成如下的形式:

平稳过程的功率谱密度

平稳过程的功率谱密度


T
T
X t dt 1 2
2



1 E F , T 2 d lim X T 2T
等式左边称为平稳过程 X t 的平均功率 lim E 1 T 2T

T
T
X t dt lim 1 T 2T
由例1
2a 2a 1 2 2 2 a 2 2 a 0 0

1 1 a 2 2 2 2 a 0 a 0
。
2 4 例3：已知谱密度为： S X 4 ，求平稳过程 X t 2 10 9
1 =t1 t 2 2 =t 2 t1

T
T T
X t1 e
i t1
dt1
T
T
X t 2 e i t2 dt 2
i t 2 t1


T T
T
T T
E X t1 X t 2 e R X t 2 t1 e
f ( z ) dz 2 i Re s[ f ( z ), z
C k 1 z z0
n
k
]
Res( f, z 0 ) lim ( z z 0 ) f(z), 当 z 0为一阶极点 d k 1 (z z 0 )k f(z) 1 , 当 z 为 k 阶极点 Res( f, z 0 ) lim 0 ( k 1)! z z 0 dz k 1 形如
明信号的总能量等于各谐分量能量的叠加。在频率域中， x 2 f F
2

2
表示

平稳过程4-平稳过程的功率谱密度

平稳过程4-平稳过程的功率谱密度
5.4 平稳过程的功率谱密度
主讲人：李伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2013年秋季
平稳过程的谱密度
●
相关函数在时域上描述了平稳过程的统计特征.
•许多物理和工程领域中问题, 还要研究其在频域 内的特征, 即频域分析法. •谱密度是在频域内研究平稳过程的重要指标. •Fouier变换可以实现时域与频域的转换. • 时域分析法与频域分析法相互联系, 且各有优 点, 构成了研究平稳过程的两个重要分支.
1 S X (ω ) = lim E T →+∞ 2T
+∞
∫
T
−T
e − jωt X t dt
2
= ∫ e − jωt RX (τ )dt
1 证明 因为 E 2T
−∞
∫
T
−T
e
− jωt
2
X t dt
T T 1 − jω s = E[ ∫ e X s ds ∫ e − jωt X t dt ] −T −T 2T
2
即信号的总能量等于能谱密度在全频域上的积分. 上式也称为总能量的谱表达式.
2. 功率型信号：若信号的总能量是无限的. x(t)不满足绝对可
积的条件， 通常研究x(t)的平均功率，即
1 T 2 lim x (t )dt ∫ T →∞ 2T −T 为信号x(t )在(-∞,+∞)上的平均功率.
能否给出平均功率的的谱表达式？ 为此构造一个截尾函数:
1 RX (0) = 2π
平均功率
∫
+∞
−∞
S（ dω X ω）
T 1 1 2 即 lim E ∫ X t dt = lim −T T →+∞ 2T T →+∞ 2T

随机过程5.4 平稳过程的谱分析简介


1) S(ω)为实值非负函数，即
S() S() 0.
2)又若{X(t), t∈R}是实过程, 则S(ω)是偶 函数. 证 1) S() lim 1 E[ F(,T ) 2 ] S() 0;
T 2T
2) 实平稳过程的相关函数是偶函数, 由(5) 式可得
S() R()e jd R()e jd
2T T
2 2T
成立.
上式两边求均值再取极限, 左端为
lim
T
E

1 2T
T
X
2
(t
)dt

T

(4)
电子科技大学
称为平稳过程X(t) 的平均功率.
若(4)中的积分与求均值可交换顺序, 则
1
lim T 2T
T
E{
T
X (t )
2 }dt

E[
X (t )
注
RX
(
)

1
2

e

jt
dFX
(
),
R
称为平稳过程相关函数的谱展式.
定义5.4.1 称FX(ω)为过程{X(t),t∈T}的谱函
数，若存在SX (ω)，使
FX () SX (1 )d1, R
电子科技大学
称SX(ω)为过程的谱密度. 利用特征函数和分布函数之间的关系,可
S() R()e jd, (5)
R()
1 2ຫໍສະໝຸດ S ()ejd,(6)
平稳过程的相关函数与功率谱密度构成一
对Fourier变换.
注 (6) 式称为相关函数的谱分解式.
推论1 {X(t), t∈R}是平稳过程, 则其谱密 度S(ω) 满足

平稳随机过程的功率谱密度


绝对可积
x(t), t T,
xT(t)0 t T.
xT(t)的傅里叶变换为
F x (,T ) x T ( t) e i td t T T x ( t) e i td t
它的帕塞瓦尔等式
x T 2(t)d t2 1 π F x(,T )2d.
三、互谱密度及其性质
互谱密度的定义
设 X( t ) 和Y( t ) 是两个平稳相关的随机过程.
称
1 S X (Y ) T l i2 m T E { F X (,T )F Y (,T )}
为平稳过程 X( t ) 和 Y( t ) 的互谱密度.
说明
互谱密度不 的再 实是 的、正.的偶函
3 .R S X e (Y ) [和 ]R S Y e (X )[是 ] 的偶 , 函
Im S X(Y ) [和 ]Im S Y(X ) [是 ] 的奇 . 函
4. 互谱密度与自谱密度之间成立有不等式
S X(Y )2S X ()S Y().
注意 (1) 在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构 时, 要运用互谱密度. 例如: Z (t) X (t) Y (t),
2
)d,
x(t)在( ,)上的总能量 称为x(t)的能量谱密度
帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.
平均功率 li1 m T x 2 ( t) d t称 x ( t)在 为 ( , )
T 2 T T 上的平均功率.
平均功率的谱表示式
由给定的 x( t ) 构造一个截尾函数
π a2 2
外的周期信号的.
0 o 0
白噪声 1. 定义 均值为零而谱密度为正常数, 即

第七讲 功率谱密度分解


从本例的求解过程可得 RX ( ) ai cos( i )
i 1

的谱密度:
S X ( ) a i [ ( i ) ( i )]
n i 1
例2 已知平稳过程 { X t } 具有如下功率谱密度： 2 4 S X 4 10 2 9 求平稳过程相关函数及平均功率 。
四
1
平稳随机过程的功率谱密度
平均功率与功率谱密度的定义
X ( t )dt 为平稳过程的平均功率 2T T
T 2
定义8 1 lim E 称T
T 1 2 2 由此易得：lim E X ( t ) dt R ( 0 ) X X T 2T T 从而有平稳过程的平均功率等于过程的均方值，
2 S X ( ) , 0 G X ( ) , 0 0
相应地 S X ( ) 可称为“双边功率谱”它 们的图形关系如图所示。
G X ( )
S X ( )
0

性质4
有理谱密度是实际应用中最常
见的一类功率谱密度。其形式必为：
a2 n 2 a S X S0 2 m 2m2 b2 m 2 b 式中 S0 0 。上式要求有理函数的分 子、分母只出现偶次项的原因是因 S X ( ) 为偶函数，又由于要求平均功率有限，所
白噪声 在电路系统分析、自动控制和测量中经 常遇到一类随机干扰—“白噪声” ,因为在电 路系统中，由于分子的热运动，使电路各处 的电流或电压受到随机干扰，在系统分析中 也把随机干扰称为噪声，因为这种电压或电 流的变化反映为声波的变化时，就是人们不 爱听的嘶嘶嚓嚓的声音，从数学上看，这就
五

随机过程的谱密度与功率谱密度

随机过程的谱密度与功率谱密度随机过程是在时间上随机变化的过程，它在许多领域中都有广泛的应用。

在研究随机过程时，谱密度和功率谱密度是两个重要的概念。

一、谱密度谱密度是描述随机过程在频域上的性质的一种测量，它用来表示随机过程的频谱特性。

谱密度通常用符号S(f)表示，其中f是频率。

谱密度是随机过程各频率成分的功率平均值，即将随机过程在不同频率上的功率加权平均得到的值。

谱密度越大，表示在该频率上的成分越强。

对于离散随机过程，谱密度可以通过对其自相关函数进行傅里叶变换得到。

而对于连续随机过程，谱密度可以通过对其自相关函数进行傅里叶变换或拉普拉斯变换得到。

谱密度具有一些重要的性质，例如：1. 谱密度是非负的且对称的。

2. 谱密度在频率上的积分等于随机过程的方差。

3. 谱密度函数是随机过程的一种特征，不同的谱密度函数可以表示不同的随机过程。

二、功率谱密度功率谱密度是描述随机过程在频域上能量分布的一种测量，也可以理解为随机过程的平均功率。

功率谱密度通常用符号S(f)表示，其中f 是频率。

与谱密度类似，功率谱密度也可以通过随机过程的自相关函数进行傅里叶变换或拉普拉斯变换得到。

功率谱密度表示随机过程各频率成分的功率分布，即在不同频率上的功率值。

功率谱密度越大，表示在该频率上的功率越强。

功率谱密度具有一些重要的性质，例如：1. 功率谱密度是非负的。

2. 功率谱密度在频率上的积分等于随机过程的总功率。

3. 功率谱密度函数是随机过程的一种特征，不同的功率谱密度函数可以表示不同的随机过程。

三、谱密度与功率谱密度的关系谱密度和功率谱密度之间存在一定的关系。

对于连续随机过程，谱密度和功率谱密度可以通过以下关系进行转换：S(f) = |H(f)|^2 * P(f)其中，S(f)表示谱密度，H(f)表示系统的频率响应函数，P(f)表示功率谱密度。

这个关系说明了谱密度和功率谱密度之间的链接，它们在频域上描述了随机过程的特性。

结论谱密度和功率谱密度是研究随机过程的重要工具，它们在频域上描述了随机过程的特性。

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5 8
F

1 2
9
1 (9e 5e3 ). 48
Im[ SXY ( )] 和 Im[ SYX ( )] 是 的奇函数.
4. 互谱密度与自谱密度之间成立有不等式
SXY ( ) 2 SX ( )SY ( ).
注意 (1) 在应用上当考虑多个平稳过程之和的频率结构 时, 要运用互谱密度. 例如: Z(t) X (t) Y (t),
其中 X( t ) 和 Y( t ) 是平稳相关的.
Z( t ) 的自相关函数是
RZZ ( ) RXX ( ) RXY ( ) RYX ( ) RYY ( ).
根据维纳-辛钦公式, Z( t ) 的自谱密度为
SZZ ( ) SXX ( ) SXY ( ) SYX ( ) SYY ( ) SXX ( ) SYY ( ) 2 Re[SXY ( )].

3i)(
2 4 3i)(

1)(

ei 1)
在 i , 3i 处的留数之和
1 (9e 5e3 ), 48
均方值为

2 X

RX
(0)

7. 24
说明
SX ( )

S0
2n 2m

a 2n2 2n2

b 2m2 2m2
三、互谱密度及其性质
互谱密度的定义
设 X( t ) 和Y( t ) 是两个平稳相关的随机过程.
称
S XY
(
)

lim
T
1 2T
E{FX
(
,T
)FY
(
,T
)}
为平稳过程 X( t ) 和 Y( t ) 的互谱密度.
说明
互谱密度不再是 的实的、正的偶函数.
互谱密度的性质
1.
S XY
外的周期信号的.
0 o 0
白噪声 1. 定义 均值为零而谱密度为正常数, 即
SX ( ) S0 , (S0 0)
的平稳过程X(t) 称为白噪声过程, 简称白噪声. 其名出于白光具有均匀光谱的缘故.
2. 白噪声的自相关函数
RX
( )

1 2π

1 2T
T x2(t )dt 1
T
2π

Fx
(
,T
)
2
d
.
1
lim T 2T
T x2(t )dt 1
T
2π Leabharlann 1 lim T 2TFx ( ,T ) 2d .
x(t) 在 (, ) 上的平均功率 称为 x( t ) 的平均功率谱密度
( )

S
* XY
( )和SYX ( )
2. 在互相关函数 RXY ( )绝对可积的条件下, 有如
下维纳-辛钦公式
SXY ( )

RXY
(
)
ei
d
,
RXY
(
)

1 2π

S

XY
(
)
ei
d
.
3. Re[SXY ( )] 和 Re[SYX ( )] 是 的偶函数,
(2) 互谱密度并不象自谱密度那样具有物理意义,引 入这个概念主要是为了能在频率域上描述两个平稳 过程的相关性.
例如: 对具有零均值的平稳过程 X( t ) 和 Y( t ) , 根据性质(2),
SXY ( ) 0 与 X (t ) 和 Y (t ) 不相关是等价的.
例3 设平稳过程 X (t) 的相关函数 RX ( ) S ( ),
S
X
(
)


4
2 4 10 2

9
,
计算它的相关函数和平均功率.
解 方法1
RX
(
)

1 2π
ei

4
2 4 10 2

d ,
9
先考虑 0 : 令 z4 10z2 9 0,
得零点 z 3i , i ,
其中 z 3i, i 是在上半平面的两个零点,
,
求平稳过程 X( t ) 的自相关函数和均方值. 解 由公式知自相关函数
RX
(
)

1 2π

4
2 4 10 2

9

ei d
1
2π

( 2
2 4 9)( 2

eid .
1)
利用留数定理, 可算得
RX
(
)

1 2π


2πi(
SX
( )ei d

S0 2π
ei d

S0 ( ).
说明 (1) 白噪声也可定义为均值为零、自相关函数为
函数的随机过程. 此过程在 t1 t2 时, X (t1 ) 和 X (t2 )
是不相关的.
(2)白噪声是一种理想化的数学模型. 它的平均功 率是无限的. 白噪声在数学处理上具有简单、方便 优点. 如果某种噪声(或干扰)在比实际考虑的有用频 带宽得多的范围内, 具有比较 “平坦” 的谱密度, 那就可把它近似地当作白噪声来处理.
例2
求自相关函数
RV
(
)

a2 2
cos1
b2e
所对应谱密度 SV ( ).
解 所要求的谱密度为
SV
( )

π a2[
2
(

0 )


(

0 )]
2b2 2 2
.
相应的谱密度如图所示:
此图说明了谱密度 是如何表明噪声以
sv ( ) 2b2 / a
π a2 2
3. 维纳-辛钦公式又称为平稳过程自相关函数 的谱表示式.它揭示了从时间角度描述平稳过程X(t) 的统计规律和从频率角度描述X(t)的统计规律之间 的联系.
在应用上我们可以根据实际情形选择时间域方法 或等价的频率域方法去解决实际问题.
例1
已知谱密度
SX
( )

4
2 4 10 2

9
性质1 SX ( ) 是 的实的、非负的偶函数.
性质2
SX ( ) 和自相关函数 R( ) 是一傅里叶变换对.
即
SX ( )

RX
(
)
ei
d
,
RX ( )
1 2π

S

X
(
)
ei
d
.
它们统称为维纳-辛钦(Wiener-Khintchine)公式.
2. 平稳过程的平均功率和能量谱密度
将
lim
T
E

1 2T
T
X
2
(t
)dt

定义
为平稳过程
T

X (t) 的平均功率.
交换定义式中积分与均值的运算顺序, 并注意 到平稳过程的均方值是常数, 于是
lim
T
E

1 2T
T
X
2
(t
)dt

T

平稳过程的平均功率

2π

2
Fx ( ) d ,
x(t) 在 (, ) 上的总能量 称为x(t)的能量谱密度
帕塞瓦尔等式又可理解为总能量的谱表示式.
平均功率 lim 1 T x2(t)dt 称为 x(t) 在 (, ) T 2T T 上的平均功率.
平均功率的谱表示式
由给定的 x( t ) 构造一个截尾函数
变换存在或者说具有频F谱x*( ) Fx ( )
Fx ( )
x(t )eitdt.

且同时有傅里叶逆变换
x(t)
1 2π

Fx
(
)eit
d
.
在 x(t) 和 Fx() 之间成立有帕塞瓦尔(Parseval)
等式:
x2(t )dt 1
该过程的
均方值
1 lim
T 2T
T T
E[ X
2(t )]dt


2 x

2 X
1 2π

lim
T
1 2T
{
E
FX
(
,T
)
2
}d
.
平稳过程 X(t) 的功率谱密度, 记为 SXX ( ) 或 SX ( ).
即
SX
( )

1 lim T 2T

2 (eia
2

eia
),
由 SX ( ) 与 RX ( ) 互为 傅里叶变换对的关系可知，
2 (eia
2
eia ) 1 2π
ei


S
X
(
)d
,
故 SX ()＝π 2( ( a) ( a)).
例5 设平稳过程 X (t) 的功率谱密度
RX
(
)

1 2π

2πi
Res
eiz

z4
z2 4 10z2
9 ,i

Res eiz
z4
z2 4 10z2
9
,
3i


i
3 16i
e


5 e3 48i

1 (9e 5e3 ), 48