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《复变函数》(西安交大第四版)第7章拉普拉斯变换

f (t T ) f (t) (t 0)
当 f (t)在一个周期上连续或分段连续时,则有
ℒ
f
(t)
1
1 es
T
T f (t)es tdt
0
这是求周期函数拉氏变换公式
例8 设f (t)是以2 为周期的函数，且在一个
周期内的表达式为f (t)
cos
0
t
0
t t
2
求: ℒ f (t)
est dt
k
k2
sin k t estdt
0
s2 s2 0
所以
sin
k
t
s2
k
k2
Res 0
即
k sin kt s2 k 2 (Re(s) 0)
同理可得
cos kt
s s2 k2
(Re(s) 0)
如
ℒ
sin
2t
s2
2
4
Res 0
ℒ
cos
3t
s2
s
9
Res 0
例7 求: f (t) e t (t) e tu(t) ( 0)
函数可写为 F(s) f (t) estdt 0
我们称上式为函数 f (t)的拉普拉斯变换式 ,记做
F (s) ℒ f (t)
F(s) 叫做 f (t) 的拉氏变换,象函数.
f (t) 叫做 F(s) 的拉氏逆变换,象原函数,f (t) =ℒ 1 F(s)
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理
d ds
s2
s
k
2
s2 k2 s2 k2 2
例13 求: f (t) te t cos t 的Laplace变换。

复变函数与积分变换———拉普拉斯变换ppt

对并返回结果 F ( s )。
(2) f = ilaplace (F ) 对函数 F ( s ) 进行 Laplace 逆变换，对并返回结果 f ( t )。
22
3t 例求函数 f ( t ) t e sin 2t
的 Laplace 变换。
解 Matlab 程序
clear; syms t; f = t*exp(3*t)*sin(2*t); F = laplace(f)；
若L[f(t)]=F(s), 则有
F (s) L t f (t ) (2.6)
一般地有
F ( n ) (s) L [(t )n f (t )] (2.7)
利用(2.6) 式
【例2.3】求L[tsinkt]
2ks (答案: 2 2 2 ) (s k )
目录上页下页返回结束
2 a 2 s 【例3.5】求 L s( s2 a2 )2 t cos at
1
1 【例3.6】求 L1 ( s1)( s2)( s 3)
1 1 1 1 t 1 2t 1 3t 1 6 15 10 L s 1 s 2 s 3 e e e 6 15 10
注:书上对例4,例5,例6的计算是用“查表”的方法作的.
目录上页下页返回结束
* 三、利用 Matlab 实现 Laplace 变换
在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数来进行 Laplace 变换与 Laplace 逆变换。 (1) F = laplace (f ) 对函数 f ( t ) 进行 Laplace 变换，
输出 F=atan(1/s)
其中， atan 为反正切函数。

高中数学《复变函数与积分变换》

（4）外点
点z是点集E的外点
存在z的某个r邻域不含E内的点
B(z0,r) E
浙江大
（5）边界点点z 既非 E 的内点，又非 E 的外点边界点的任一邻域无论多小，都既含有E的内点，又同时含有E的外点。
（6）开集点集E中的点全是内点（7）闭集开集的余集
空集和整个复平面既是开集，又是闭集。（8）连通集 E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连接起来。
f(z)是满射
f (D) G
f(z)是双射
f(z) 既是单射，又是满射。
浙江大
w f (z) : D G z x iy w u iv u(x, y) iv(x, y)
例： w z 2 x iy2
x2 y 2 2xyi
u(x, y) x2 y 2 , v(x, y) 2xy
z2
z2 z1
z1
Arg
z2
Arg
z2 z1
Arg
z1
Arg
z2 z1
Arg
z2
- Arg
z1
或者
z2 r2 ei(2 1 ) z1 r1
浙江大
例：已知正三角形的两个顶点为 z1 1, z2 2 i
求三角形的另一个顶点。
i
z3 z1 (z2 z1 )e 3
(1 i)(1 3 i) 22
z
x2 y2
u(x, y) x , v(x, y) 0 x2 y2
limu(x, y) lim
x
1
x0 ykx
x0 ykx
x2 (kx)2
1 k2
所以极限不存在。
浙江大
解法2
利用复数的三角表示式
z3 z1 t, z2 z1

复变函数西安交大版

解
1 因为 w 在复平面内除 z 0 处处可导, z dw 1 且 2, dz z
所以 w在复平面内除 z 0 外处处解析,
z 0 为它的奇点 .
利用求导法则易得下面解析函数的性质.
定理
(1) 在区域 D 内解析的两个函数 f ( z ) 与 g( z ) 的和、差、积、商除去分母为零的点在 D 内解析. ( )
u v i x x
若沿平行于虚轴的方式 z z(x 0) z
第二节解析函数的充要条件 ◇ 一主要定理 ◇ 二典型例题 ◇ 三本节小结
如果复变函数 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y)在定义域 D内处处可导，则函数 w = f (z) 在 D内解析。问题如何判断函数的解析性呢？
本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的一个充分必要条件，并给出解析函数的求导公式.
如果函数在 z0 的微分存在, 则称函数 f ( z ) 在 z0 可微.
特别地,
当 f ( z ) z 时,
dw dz f ( z0 ) z
dw dw f ( z0 ) z f ( z0 ) dz , 即 f ( z0 ) dz z z 0
函数 w f ( z )在 z0 可导与在 z0 可微是等价的.
f [ g( z )] f ( w ) g( z ). 其中w g( z ) (6)
1 (7) f ( z ) , 其中 w f ( z )与z ( w )是 ( w ) 两个互为反函数的单值函数, 且 ( w ) 0
4.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致. 定义设函数 w f ( z )在 z0 可导, 则 w f ( z0 z ) f ( z0 ) f ( z0 ) z ( z )z ,

复变函数(西交大)第七讲

z0的Talor展开式的收敛半径R等于从z0到
f (z)的最近的一个奇点之间的距离,即, R z0
(2) 在收敛圆上,这是因为f (z)在收敛圆内解析, 所以奇点不可能在收敛圆内 . 又奇点不可能在收敛圆外,不然的话, 收敛半径还可以扩大,因此,奇点只能在
则 f (z0 ) a0，再由幂级数的逐项求导性质得，
f '(z) a1 2a2 (z z0 ) nan (z z0 )n1 f '(z0 ) a1
, 依此类推得，an

1 n!
f
(n) (z0 )
n 0,1,2,
由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor 级数，因而是唯一的。
的圆域 z0 r,圆k的半径r可以任意增大,
只要圆k及其内部包含在D内即可, f (z)在解析点z0处的Taylor级数收敛半径至少等于从z0到D的边界上各点的最短距离.证毕!
证明 (不讲)
(1) 若f (z)有奇点, 那么f (z)在解析点
以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。
定理（泰勒展开定理）
设f (z)在区域D内解析, z0 D, R为z0到D的边界上各点的最短距离当 z z0 R时,

f (z) cn(z z0 )n
n0
(1)
f (z)在z0处的Taylor级数
正向封闭路线的积分为0。 (4) f (z)在点z0的某一邻域内可展成幂级数。
§4.4 罗朗(Laurent)级数

拉普拉斯(Laplace)变换法解常微分方程的初值问题-精品文档

拉普拉斯（Laplace）变换法解常微分方程的初值问题
n 阶常系数线性微分方程y（n）+a1y（n-1）
+…+an-1y′+any=f（t）的通解结构与求解方法在高等数学中讲解得比较详细，但是在实际问题中往往要求满足初始条件y（0）=y0，y′（0）=y′ 0，…，y（n-1）（0）=y0（n-1）的特解，为此，当然可以先求出原方程的通解，然后再由已知的初始条件来确定其中的任意常数，但这种方法计算量大，过程冗长.本文介绍的拉普拉斯变换法求解初值问题，是直接求出常微分方程的特解，过程得到了很大的简化，其基本思想是：先通过拉普拉斯变换将已知方程化成代数方程，求出代数方程的解，再通过拉普拉斯变换便可得到所求初值问题的解.
一、拉普拉斯变换
定义设函数f（t）在区间 0，+∞ 上有定义，如果含参变量s的无穷积分。

《复变函数与积分变换》(西安交大_第四版)课后答案

5(x + 1) + 3(y − 3) + i[− 3(x + 1) + 5(y − 3)] 34 1 = [5x + 3y − 4] + i(− 3x + 5y − 18) = 1 + i 34
1 1 ( z + z ), Im( z ) = ( z − z ) 2 2i
w.
)
案
8 21 8 21 ⎛ ⎜ i − 4i + i ⎞ ⎟ = 1 + 3i ， | i − 4i + i |= 10 ⎝ ⎠
5
)
5
(
)
5
答
w.
（2）-1；
2i （5）； −1+ i
案
网
⎛ i arg a ⎞ | z + a| = ⎜ e n ⎟ + |a|e i arg a = (1 + a )e i arg a = 1 + |a| ⎜ ⎟ ⎝ ⎠
解：（1） i = cos
π i ⎛1 3⎞ π π⎞ ⎛ ⎜ ⎟ （3） 1 + i 3 = 2⎜ + i = 2⎜ cos + isin ⎟ = 2e 3 ； 2 ⎟ 3 3⎠ ⎝ ⎝2 ⎠
3 i iπ/2 3 i + , e = i ， ei i 5π/6 = − + 2 2 2 2 3 i 3 i − ， e i 3π/ 2 = − i ， e i11π/ 4 = − 。 2 2 2 2
（4） (1 − i )
1/ 3
1 3
⎡ ⎛ 1 i ⎞⎤ 3 ⎟ = ⎢ 2⎜ − ⎜ ⎟⎥ = 2 ⎠⎦ ⎣ ⎝ 2
(
2e −i π/ 4

西安交通大学15年7月课程考试《复变函数》作业考核试题答案

西安交通大学15年7月课程考试《复变函数》作业考核试题答案把分母拆成(z+1)(z-1)。

首先C的表达式你已经化简了，这很明显就是绕“1”这个点的一个正向圆周对不对？因此-1不在圆周里，唯一的奇点是z=1。

由留数定理，2(pi)i lim[z->1]sin(什么x1/4)/(z+1)=答案。

你图片少截了一块不过我猜唯一可能是sin((pi)z/4)习题一答案；1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复；i1；（2）；(i?1)(i?2)3?2i；13i821；（3）?（4）?i?4i?i；i1?i；13?2i；解：（1）z?，?；3?2i1332；因此：Rez?,Imz??，；1313232z?argz??arctan,z?；31313ii?3?i；??（2）z?，；(i?1)(i?2)1?3i习题一答案1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：i1（2）(i?1)(i?2)3?2i13i821（3）? （4）?i?4i?ii1?i13?2i解：（1）z?，?3?2i1332因此：Rez?, Imz??，1313232z? argz??arctan, z??i31313ii?3?i??（2）z?，(i?1)(i?2)1?3i1031因此，Rez??, Imz?，1010131z? argz???arctan, z???i3101013i3?3i3?5i（3）z??，??i??i1?i22因此，Rez?, Imz??，3253?5iz? argz??arctan, z?232821（4）z??i?4i?i??1?4i?i??1?3i（1）因此，Rez??1, Imz?3，z?argz???arctan3, z??1?3i2．将下列复数化为三角表达式和指数表达式：（1）i （2 ）?1?（4）r(cos?解：（1）i（3）r(sin??icos?)?isin?) （5）1?cos??isin? (0???2?)?cos?2?isin?2?2?e1（2）?1??2(cos??isin?)?2e33（3）r(sin?（4）r(cos??icos?)?r[cos(??)?isin(??)]?re22?isin?)?r[cos(??)?isin(??)]?re??i ?isin??2sin2 ??(??)i2?（5）1?cos???2isincos 222???i?2sin[cos2（1）??????????2]?2sine223．求下列各式的值：?i)5 （2）(1?i)100?(1?i)100 (cos5??isin5?)2(1?)(cos??isin?) （3）（4）(cos3??isin3?)3(1?i)(cos??isin?) （5（6解：（1）5?i)5?[2(cos(?)?isin(?))]566??5?5??2(cos(?)?isin(?))???i)66?(1?i)100?(2i)50?(?2i)50??2(2)50??251 (1?)(cos??isin?)（3）(1?i)(cos??isin?)?2[cos(?)?isin(?)](cos??isin?)?)?isin(?)][cos(??)?isin(??)]44?????12)?isin(??12)](cos2??isin2?)????12122)]?(2???12)i(cos5??isin5?)2（4） 3(cos3??isin3?)cos10??isin10???cos19??isin19? cos(?9?)?isin(?9?) （5?1?i, k?0?22?11?1??i, k?1 ?cos(?2k?)?isin(?2k?)???3232?22??i, k?2??（6?i?1?1?, k?0 ?(?2k?)?isin(?2k?)]??2424?8i, k?1?4．设z1?z z2??i,试用三角形式表示z1z2与1z2解：z1?cos??isin, z2?2[cos(?)?isin(?)]，所以4466???z1z2?2[cos(?)?isin(?)]?2(cos?isin)，46461212z11????15?5? ?[cos(?)?isin(?)]?(cos?isin) z224646212125．解下列方程：（1）(z?i)5???????1 （2）z4?a4?0 (a?0) ? 由此解：（1）z?i（2）z2k?i5?i，(k?0,1,2,3,4)??时，对应的411,1,2,3?a[cos(??2k?)?isin(??2k?)]，当k?044(1?i), ?1?i), ?1?i), ?i) 6．证明下列各题：（1）设z?x? iy,?z?x?y证明：首先，显然有其次z??x?y；，因x2?y2?2xy,固此有2(x2?y2)?(2) ,从而z??22（2）对任意复数z1,z2,有z1?z2?z1?z2?2Re(z1z2)x2)2?(y1?y2)2，证明：验证即可，首先左端?(x1?而右端?x12?y12?x22?y22?2Re[(x1?iy1)(x2?iy2)]?x12?y12?x22?y22?2(x1x2?y1y2)?(x1?x2)2?(y1?y2)2，由此，左端=右端，即原式成立。

复变函数与积分变换拉普拉斯变换的性质

0
t
]

f (t )u (t )e t e jt dt
0
f (t )e
( j ) t
dt s j
f (t )e st dt F s
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
Re( s ) c

L1 F ( s ) L tf (t ) F ( s ) f (t ) t
(n) n L1 F ( s ) ( t ) f (t )

n n (n) L t f (t ) (1) F ( s)
L { d t d t
0 0
t
t

t
0
1 f (t ) d t } n F ( s ) s
n次
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
例4 求 f t 0 cos t dt 的拉氏变换.
t
1 1 s 1 L cos tdt L cos t 2 2 0 s s s 1 s 1
从图象讲ftt是由ft沿t轴向右平移t而得其拉氏变换也多一个因子estlftelftefssccomplexanalysisintegraltransformcomplexanalysisintegraltransform已知根据延迟性质complexanalysisintegraltransformcomplexanalysisintegraltransformarccotcomplexanalysisintegraltransformcomplexanalysisintegraltransform83laplace逆变换前面主要讨论了由已知函数f在实际应用中常会碰到与此相反的问题即已知象函数fs求它的象原函数f由拉氏变换的概念可知函数t的拉氏变换实际上就是的傅氏变换

西安交通大学复数与复变函数教学PPT

共轭复数运算的性质
3). z z Re( z ) Im( z ) .
2 2
4). z z 2Re( z ), z z 2i Im( z ).
西安交通大学
记
C={z | z=x+iy, x, y R }
y y
复数域
z x iy
P ( x, y)
西安交通大学
例1.计算 3 8 ，并说明几何意义。解：3 8 3 8e i 2e
k 0,1,2 2k 2k 2 cos( ) i sin( ) , k 0,1,2 3 3 1 i 3 k0 y 2 k 1 w1 k2 1 i 3 ,
例5. 用复数方程表示曲线：
1). ( x 1) 2 ( y 2) 2 4 2). y 5
解： ( x 1)2 ( y 2)2 | x 1 i ( y 2) |2 | z (1 2i ) |2 1）所以，1）的方程为或 z (1 2i ) 2e i , ( ) | z (1 2i ) | 2 2）
西安交通大学
4. 体现数学之美
简明深刻
和谐
第一章复数与复变函数
§1.复数及其运算
西安交通大学
1.复数
( x 2 1 0) 虚数单位： i 1 x, y 为实数复数：z = x+iy, x =Re(z), z 的实部 y =Im(z), z 的虚部
z的共轭复数： z x iy
x(10 x ) 40
得到 x 5 15, 5 15 很长一段时间内不被人们所理睬。令人困惑，250年几乎没有进展。

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成立,则函数 f ( t ) 的拉氏变换 F(s) f(t)estdt 0
在半平面 Res>C上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内F s 为解析函数
7.1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解: ℒ
7.1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f ( t ) 满足下列条件
Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
t 0 时, f (t) 0 Ⅱ 当 t时,f ( t )的增长速度不超过某一指数函
数,亦即存在常数 M 0, 及 C 0 ,使得
ftM ect 0t
s2k2 s2k2 2
例13 求: f(t)tetcost的 Lap变 lac换 e
解1: ℒ costs2s2, 由象函数的位移性质,
得
ℒ
et
cost
s (s)22,
再由象函数的微分性质,
ℒ f(t)ℒ tet cost

或
f
(t)tℒ1
sF(s)dsa

a

(a

0),
a

0,
a

(a

)
a (a 0,但可为） 0
一般地
ℒ
f(t)
[ tn
] ds s

ds
s

ds F(s)
s
n次
推论
若 ℒ f (t) F (s),
且积分

s
F (s)ds
0
s 0s
u t 1 (Rse)(0)
s
例3 求函数 f (t) ek t的拉氏变换 k R .
解:ℒ f( t) e k te s td t e ( s k ) td t 1 R e s k
0
0
s k
收敛
则
f(t)ຫໍສະໝຸດ dt F(s)ds0t
0
例14
求
ℒ
t
0
sin t
t
dt

在ℒ

f (t) t
0
f (t) estdt t
解因为
ℒ
sin t
1 s2 1

s
F(s)ds中令s

0即得。
sint 1

ℒ [ ]
t
第7章拉普拉斯变换
7.1 拉普拉斯变换 7.2 拉普拉斯变换的基本性质 7.3 拉普拉斯逆变换 7.4 拉普拉斯变换的应用
7.1 拉普拉斯变换
7.1.1拉普拉斯变换的概念
定义1 设函数 f ( t ) 当 t 0 有定义,而且积分
f (t)estdt (s 是一个复参量） 0
(s
s )2
2

(s)2 2 (s)2 2 2
解2: ℒ tco ts s2 s2 (ss2 2 2 2 )2
ℒ f(t) ℒ t e tcots ((s s )) 2 2 2 22
例7 求: f(t)et(t)etu (t)(0)
的 Lap 变 la换 ce。
解: ℒ f(t)0 f(t)esd t t
0 e t( t ) e tu ( t ) e s d t t
0 (t)e (s )td t0 e (s )tdt
1 1e2s
0c
otsestdt

1
1 e 2
s
(e
ss

s)
s(1 e s ) 1 e 2 s
两次分部积分
7.2 拉普拉斯变换的性质
7.2.1 线性性质
设 ℒ f1 (t ) F1 ( s ) ℒ f2 (t ) F2 (s) , 为常数则
(t) tu(t) s12 (Rse)(0)
例5 求幂函数 tn n 1的拉氏变换
解: ℒ tn 0 tne std t s n n 1 1 R e s 0
当 n 为正整数时,
(m) 0ettm1dt (m0)
在 s 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为 F(s) f(t)estdt
0
我们称上式为函数 f ( t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F (s) ℒ f (t)
F ( s ) 叫做 f ( t ) 的拉氏变换,象函数.
f ( t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数,f ( t ) =ℒ 1 F (s)
(1) [0, ) 上的卷积定义
若函数 f 1 ( t ) , f 2 ( t ) ,满足 t 0 时都为零,
则 f 1 ( t ) f 2 ( t ) f1()f2(t )d
若 ℒ f (t ) F ( s ) t 0 为非负实数，则
ℒ f(t t0) e s0tF (s)
ℒ 1 e s0 F t(s ) f( t t0 )
例10 求函数 u(tb) 1 0
tb (b0)的拉氏变换 tb
解: 因为 ℒ u(t)F(s)1
则
0 sinktestdts k 2k s2 2
sinktestdt
0
所以 ℒ sinkts2 kk2 R es0
即
sinkt
s2
k k2
(Rse)(0)
同理可得
coskt
s2
s k2
(Rse)(0)
如 ℒ sin2ts22 4 Res0 ℒ cos3ts2s9 R es0
( t) ( t) e s d t t( t) e s d t e t st 1
0

t 0
t 1
例2 求单位阶跃函数 u t 的拉氏变换
解: ℒ u (t) e std t 1e st 1 R es 0
ℒ f(n)(t)snF(s)
可以证明
ℒ (n)(t) sn
（2）象函数的微分性质
若 ℒ f (t) F (s), 则
F(s) ℒ tf (t )
从而 ℒ tf(t)F(s) ℒ 1F(s)tf(t)
一般地,有 F(n)(s)(1)nℒ tnf(t)
一般地, ℒ f ( n ) ( t ) s n F ( s ) s n 1 f ( 0 ) s n 2 f ( 0 ) f ( n 1 ) ( 0 )
特别地,当 f( 0 ) f( 0 ) f( 0 ) f(n 1 )( 0 ) 0 时,
4! s 3 s5 s2 4
72 s s5 s2 4
7.2.2 相似性质
若 F ( s ) = ℒ f (t) a 0
则
ℒ f (at)
1 a
F

s a

ℒ 1F(as) af (at)
7.2.3位移性质
（1）象原函数的位移性质(延迟性质)
ℒ f1 ( t) f2 ( t) F 1 ( s ) F 2 ( s )
ℒ 1 F 1 ( s ) F 2 ( s ) f 1 ( t) f2 ( t)
例9 求: f(t)3t4co2ts的 Lap变 lac 换 e 。
解: ℒ f(t) ℒ 3t4 ℒ co2st
ekt 1 sk
(Rse) (k)
例4 求单位斜坡函数 t0t
t0tut的拉氏变换
t0
解:ℒ ( t) 0 te s td t 1 s te s t 0 1 s 0 e s td t s 1 2 R e s 0
复数中的∞是对应与复平面上的无穷远点,实部、虚部与幅角的概念对它均无意义,但它的模则
规定为正无穷大,即|∞|=+∞
若
ℒ f (t) F (s),
且积分 F (s)ds 收敛 s
则
ℒ
[ f (t)]

F(s)ds
关于的四则运算作如下：规定
t
s
aa ,aa (a )
7.2.5 积分性质
(1) 象原函数的积分性质
若
ℒ f (t) F (s),
则 ℒ [ t f (t)dt] F(s)
0
s
ℒ
1F(s) s

t 0
f (t)dt
一般地
t
t
ℒ [ dt dt
00
t 0
f(t)dt
]s1nF(s)
n次
(2) 象函数的积分性质
e(s)t
e(s)t
t0 s
0
1s s s (R s e )(0)
7.1.4 周期函数的拉普拉斯变换
可以证明:若 f ( t ) 是周期为 T 的周期函数,即
f (t T ) f(t) (t0)
当 f ( t ) 在一个周期上连续或分段连续时,则有
s
s2 1d sarctanss2arctans
所以 ℒ 0t stitndt(2arcts)asn
arctsaniln1is 2 1is
顺便可得
0 sitntdt0 1 1s2dsarctans 02
7.2.7 拉氏变换的卷积与卷积定理
ℒ

f
(t)

1 1es T
T f(t)estdt

《复变函数》(西安交大第四版)第7章拉普拉斯变换-精品文档52页

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